Tiesą sakant, norint rasti figūros sritį, tokių žinių apie neaiškią ir apibrėžtą integralą. Užduotis "Apskaičiuokite sritį su konkrečiu integruotais" visada reiškia piešimo konstrukcijąTodėl daug svarbesnis klausimas bus jūsų žinios ir įgūdžiai statybos brėžiniai. Šiuo atžvilgiu naudinga atnaujinti pagrindinių elementarių funkcijų grafikos atmintį ir bent jau sugebėti statyti tiesią ir hiperbolą.

Curvilinear trapecija vadinama plokščiu figūra, apsiriboti ašimi, tiesiai ir nuolatiniu funkcijos segmente, kuris nekeičia ženklo šiame intervale. Leiskite šiam skaičiui ne mažiau Abscisos ašis:

Tada krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui. Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę.

Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis.

T.y, Konkretus neatsiejamas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros formos plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų neatsiejamą. "Integrand" funkcija nustato kreivę plokštumoje, esančioje virš ašies (kuri nori piešimo), o pats specifinis neatsiejamas yra skaitmeninis lygus atitinkamo kreivinės trapios ploto.

1 pavyzdys.

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo taškas - brėžinio kūrimas. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti.
Atlikite brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis nustato ašį):

Segmento grafiko funkcija yra virš ašies, taip:

Atsakymas:

Užbaigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į brėžinį ir įvertinimą, tai yra tikras. Šiuo atveju "ant akių" skaičiuojame ląstelių skaičių brėžinyje - gerai, maždaug 9 bus skrendama, atrodo tiesa. Labai aišku, kad jei mes turėjome, tarkim, atsakykite: 20 kvadratinių vienetų, akivaizdu, kad kažkur padaryta klaida - 20 ląstelių paveiksle, jis yra aiškiai neįrengtas nuo tuzino stiprumo. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, užduotis taip pat nuspręsta neteisingai.

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos, ribotas linijas ir koordinatės ašis sritį.

Sprendimas Šis sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimi(arba bent jau ne didesnis Ši ašis), tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

DĖMESIO! Nesupainiokite dviejų užduočių tipų:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plokščios figūros sritį, ribotas linijas.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia jums reikia atkreipti piešinį. Apskritai kalbant, kuriant užduotis užduotis, mes esame labiausiai domisi linijų sankirtos taškais. Rasti Parabolos ir tiesioginės sankirtos taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.

Tokiu būdu yra geresnis, jei įmanoma, nenaudokite.

Tai yra daug pelningesnis ir greičiau statyti linijos linijas, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Ir toks pavyzdys, mes taip pat apsvarstyti.

Grįžtame prie mūsų užduoties: racionalesnis pirmasis statyti tiesią liniją ir tik tada parabolą. Atlikite brėžinį:

Ir dabar darbo formulė: Jei ant segmento yra nuolatinė funkcija daugiau arba lygus Kai kurios nuolatinės funkcijos, figūros plotas, ribotas šių funkcijų grafikai ir tiesiogiai, galima rasti pagal formulę:

Čia nebereikia manyti, kur yra figūra - per ašį arba po ašimi, ir, apytiksliai kalbant, sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad dėl parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl būtina atimti

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola iš viršaus ir tiesioginio dugno.
Pagal segmentą pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas ,,,,.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia padarykite brėžinį:

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva (Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktikoje "glitch" dažnai kyla dėmesio, kurį reikia rasti figūros plotą, kuris yra tamsesnis su žalia!

Šis pavyzdys vis dar naudingas ir tai, kad jame figūros plotas yra laikomas naudojant du konkrečius integralus.

Tikrai:

1) tiesus tvarkaraštis yra ant ašies segmente;

2) ant ašies segmento yra hiperbolių grafikas.

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Kaip įterpti matematines formules svetainėje?

Jei norite kada nors pridėti vieną ar dvi matematines formules tinklalapyje, tai yra lengviausia tai padaryti, kaip aprašyta straipsnyje: matematinės formulės yra lengvai įterpti į svetainę į nuotraukas, kurios automatiškai generuoja alfa volframo forma. Be paprastumo, šis universalus būdas padės pagerinti paieškos sistemų svetainės matomumą. Jis veikia ilgą laiką (ir manau, dirbs amžinai), bet moraliai pasenusi.

Jei nuolat naudojate matematines formules savo svetainėje, tada aš rekomenduoju naudoti "Mathjax" - specialiosios "JavaScript" biblioteką, kuri rodo matematinius žymėjimus žiniatinklio naršyklių, naudojant Mathml, latekso ar Asciimathml žymėjimą.

Yra du būdai, kaip pradėti naudoti "Mathjax": (1) Naudojant paprastą kodą, galite greitai prijungti matemax scenarijų į savo svetainę, kuri automatiškai bus automatiškai įkelta iš nuotolinio serverio į norimą vieną; (2) Atsisiųskite "Mathjax" scenarijų nuotolinio serverio į savo serverį ir prisijungti prie visų svetainės puslapių. Antrasis metodas yra sudėtingesnis ir ilgai - paspartins jūsų svetainės puslapių atsisiuntimą ir jei matemax tėvų serveris tam tikroms priežastims tampa laikinai nepasiekiama, ji neturės įtakos jūsų pačių svetainei. Nepaisant šių privalumų, aš pasirinkau pirmą kelią kaip paprastesnį, greitą ir nereikalaujant techninių įgūdžių. Sekite mano pavyzdį, o po 5 minučių galite naudoti visas "Mathjax" funkcijas savo svetainėje.

"Mathjax" bibliotekos scenarijų galite prijungti nuo nuotolinio serverio, naudojant dviejų kodų parinktis, kurių buvo imtasi pagrindinėje "Mathjax" svetainėje arba dokumentuose:

Vienas iš šių kodų parinkčių turi būti nukopijuoti ir įterpti į jūsų tinklalapio kodą, pageidautina tarp žymių ir. \\ T arba iškart po žymos . Pagal pirmąją versiją Mathjax yra pakrauta greičiau ir lėtina puslapį. Tačiau antrasis variantas automatiškai seka ir įkelia naujausias mathjax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jis turės būti periodiškai atnaujinamas. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti "Mathjax" naujinimų.

"Connect Mathjax" yra paprasčiausias būdas "Blogger" arba "WordPress": pridėkite "WordGet" valdiklį, skirtą įterpti trečiosios šalies "JavaScript" kodą įterpti pirmiau pateiktą pirmiau pateiktą atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį prie šablono pradžios (beje , tai nėra būtina, nes "Mathjax" scenarijus yra pakrautas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar perskaitykite MATHML, LATEX ir ASCIIMATHML žymėjimo sintaksę, ir esate pasiruošę įterpti matematines formules savo svetainės tinklalapiuose.

Bet koks fraktalas yra pagrįstas konkrečia taisyklė, kuri nuosekliai taikoma neribotam skaičiui kartų. Visi vadinami iteracija.

Iteratyvinis algoritmas sukonstruoti menmer kempine yra gana paprasta: šaltinis kubas su šone 1 yra padalintas iš lėktuvų lygiagrečiai jo veidams, 27 lygių kubeliai. Iš jo pašalinami vienas centrinis kubas ir 6 gretimos kubeliai. Gauta rinkinys, sudarytas iš 20 likusių mažesnių kubelių. Darydami tą patį su kiekvienu iš šių kubelių, mes gauname rinkinį, kurį jau sudarys nuo 400 mažesnių kubelių. Tęstinis procesas be galo, mes gauname Mengerio kempinę.

Eikite į neatsiejamų taikymo programų svarstymą. Šioje pamokoje analizuojame tipišką ir dažniausiai pasitaikančią užduotį. buto skaičiaus skaičiavimai su konkrečiu neatskiriama. Galiausiai, visa tai reikšmė aukščiausios matematikos prasme - jam bus rasta. Mažai. Turėsime atnešti šalies teritoriją gyvenime su elementarinėmis funkcijomis ir rasti savo teritoriją naudojant konkretų integralą.

Sėkmingam materialinei plėtrai būtina:

1) Suprasti neapibrėžtą integrumą bent vidutinį lygį. Taigi, arbaščiai turėtų būti susipažinę su pamoka Ne.

2) Gebėti taikyti Niutono Labninės formulę ir apskaičiuoti konkretų integralą. Nustatyti šiltus draugystes su tam tikrais integruotais puslapyje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai.. Užduotis "Apskaičiuokite sritį su konkrečiu integruotais" visada reiškia piešimo konstrukcijąTodėl jūsų žinios ir įgūdžiai statybos brėžiniai taip pat bus skubus klausimas. Minimaliu, turite sugebėti statyti tiesią, parabolą ir hiperbolę.

Pradėkime nuo kreivinės trapios. Krovinio trapecijos yra plokščias skaičius ribotas kai kurių funkcijos grafikas. y. = f.(x.), ašis. JAUTIS. ir linijos x. = a.; x. = b..

Krovinio trapecijos plotas yra skaitmeniniu požiūriu lygus konkrečiam integrumui

Bet koks konkretus neatsiejamas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai.mes sakėme, kad tam tikras neatsiejamas skaičius yra numeris. Ir dabar atėjo laikas nurodyti kitą naudingą faktą. Geometrijos požiūriu tam tikras neatsiejamas yra sritis. T.y, konkretus neatsiejamas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kai kurių paveikslų plotą. Apsvarstyti konkretų neatskiriamą

Integrandas. \\ T

nurodo plokštumos kreivę (jis gali būti sudarytas pageidaujant), o tam tikras neatsiejamas pats neatskiriamas vienodas lygus atitinkamo kreivinės trapecijos plotai.

1 pavyzdys.

, , , .

Tai yra tipiška užduoties kompozicija. Svarbiausias sprendimo taškas yra sukurti brėžinį. Ir brėžinys turi būti pastatytas Teisė.

Pastatant brėžinį, aš rekomenduoju šią eilutę: pirmas Geriau statyti visus tiesius (jei jie yra) ir tik vėliau - Parabolas, hiperbolai, kitų funkcijų tvarkaraščiai. Registracijos techniką galima rasti etaloninėje medžiagoje. Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės. Čia taip pat galite rasti labai naudingą medžiagą, susijusią su mūsų pamoka medžiaga - kaip greitai sukurti parabolą.

Šioje užduotyje šis sprendimas gali atrodyti.

Atlikite brėžinį (pažymėkite, kad lygtis y. \u003d 0 nustato ašį JAUTIS.):

Streikia kreivinės trapecijos nebus, tai yra akivaizdu čia apie kuri sritis yra kalba. Sprendimas tebėra toks:

Ant segmento [-2; 1] Funkcijos tvarkaraštis y. = x. 2 + 2 yra virš ašiesJAUTIS., taip:

Atsakymas: .

Kas turi sunkumų skaičiuojant tam tikrą neatskiriamą ir Niuton-Leibnia formulės naudojimą

Žr. Paskaitą Tam tikras neatsiejamas. Sprendimų pavyzdžiai.. Užbaigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į brėžinį ir įvertinimą, tai yra tikras. Šiuo atveju "ant akių" skaičiuojame ląstelių skaičių brėžinyje - gerai, maždaug 9 bus skrendama, atrodo tiesa. Labai aišku, kad jei mes turėjome, tarkim, atsakykite: 20 kvadratinių vienetų, akivaizdu, kad kažkur padaryta klaida - 20 ląstelių paveiksle, jis yra aiškiai neįrengtas nuo tuzino stiprumo. Jei atsakymas pasirodė neigiamas, užduotis taip pat nuspręsta neteisingai.

2 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas xy. = 4, x. = 2, x. \u003d 4 ir ašis JAUTIS..

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra "Curvilinear Trapezis" po ašimiJAUTIS.?

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas y. = e - X., x. \u003d 1 ir koordinuoja ašis.

Sprendimas: Atlikite brėžinį:

Jei kreivai trapecija visiškai įsikūręs po ašimi JAUTIS. , tada jo plotą galima rasti pagal formulę:

Tokiu atveju:

DĖMESIO! Negalima supainioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei kviečiami išspręsti paprastą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tai gali būti neigiama.

2) Jei kviečiami surasti figūros figūrą naudojant konkretų integruotą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl tik laikoma formulė pasirodo minus.

Praktiškai šis skaičius dažniausiai yra viršutinėje ir apatinėje pusėje, todėl nuo paprasčiausių mokyklų diagramų eina į prasmingesnius pavyzdžius.

4 pavyzdys.

Raskite plotą plokščią formą ribotas linijas y. = 2x. – x. 2 , y. = -x..

Sprendimas: Pirmiausia reikia atkreipti piešinį. Statydami piešinį užduotis į vietovę, mes esame labiausiai domina sankirtos taškų linijų. Rasti Parabolos sankirtos taškus y. = 2x. – x. 2 ir tiesiogiai y. = -x.. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Taigi, mažesnė integracijos riba a. \u003d 0, viršutinė integracijos riba b. \u003d 3. Dažnai jis dažnai yra pelningesnis ir greitesnis, kad būtų sukurtos srauto linijos, o integracijos ribos yra paaiškintos kaip "patys". Tačiau analitinis būdas rasti ribas galų gale, kartais būtina taikyti, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis, arba apmokytas konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jie gali būti daliniai ar neracionalūs). Grįžtame prie mūsų užduoties: racionalesnis pirmasis statyti tiesią liniją ir tik tada parabolą. Atlikite brėžinį:

Pakartokite, kad dabartinėje konstrukcijoje, integracijos ribos dažniausiai pasitaiko "automatiškai".

Ir dabar darbo formulė:

Jei ant segmento [ a.; b.] Kai kurios nuolatinės funkcijos f.(x.) daugiau arba lygus Nuolatinė funkcija g.(x.), tada atitinkamo figūros plotą galima rasti pagal formulę:

Čia nereikia galvoti, kur šis skaičius yra virš ašies arba po ašimi, ir sVARBU Kas yra aukščiau pateiktas grafikas(palyginti su kitu tvarkaraščiu) ir kas - žemiau.

Šiame pavyzdyje akivaizdu, kad parabolos segmente yra virš tiesaus, todėl iš 2 x. – x. 2 reikia atimti x..

Tirpalo užbaigimas gali atrodyti taip:

Norimas skaičius apsiriboja parabola y. = 2x. – x. 2 viršuje ir tiesiai y. = -x. apačioje.

Ant segmento 2. x. – x. 2 ≥ -x.. Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas: .

Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos ploto apatinėje pusėje plokštumoje (žr. 3 pavyzdį) - ypatingas formulės atvejis

Nuo ašies. \\ T JAUTIS. Galioja lygtyje y. \u003d 0 ir funkcijų tvarkaraštis g.(x.) Žemiau ašies JAUTIS.T.

Ir dabar yra keletas pavyzdžių už nepriklausomą sprendimą

5 pavyzdys.

6 pavyzdys.

Rasti figūrų ribotų linijų sritį

Siekiant išspręsti užduotis apskaičiuojant teritoriją su konkrečiu neatsiejama, kartais yra juokingas atvejis. Brėžinys yra tinkamai užpildytas, skaičiavimai - dešinėje, tačiau, netiesiogiai, ... rasta sritis nėra figūra.

7 pavyzdys.

Pirmiausia vykdykite brėžinį:

Figūra, kurios teritorija mums reikia rasti mėlyna spalva(Pažvelkite į būklę - nei figūra yra ribota!). Tačiau praktiškai, nesuderinant, dažnai nusprendžia, kad jums reikia rasti figūros plotą, kuris yra tamsintas su žalia!

Šis pavyzdys taip pat yra naudingas, nes manoma, kad jis yra dviejų konkrečių integralų dydis. Tikrai:

1) segmente [-1; 1] Per ašį JAUTIS. Įsikūręs tvarkaraštis Direct. y. = x.+1;

2) ant segmento virš ašies JAUTIS. Įsikūręs hiperbolės diagramą y. = (2/x.).

Akivaizdu, kad kvadratas gali (ir reikia) suskaidyti, taigi:

Atsakymas:

8 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas

Įsivaizduokite "mokyklos" lygtį

ir atlikite dabartinį brėžinį:

Iš piešinio yra aišku, kad viršutinė riba mes turime "gerą": b. = 1.

Bet kas yra apatinė riba?! Akivaizdu, kad tai nėra sveikas skaičius, bet kas?

Gal būt, a.\u003d (- 1/3)? Bet kur yra garantija, kad brėžinys yra pagamintas su idealiu tikslumu, tai gali būti taip a.\u003d (- 1/4). Ir jei mes paprastai netinkamai pastatytume tvarkaraštį?

Tokiais atvejais turite praleisti papildomą laiką ir nurodykite analizės ribas analitiškai.

Raskite grafikų sankirtą

Norėdami tai padaryti, išspręskite lygtį:

Taigi, a.=(-1/3).

Tolesnis sprendimas yra trivialus. Svarbiausia nėra supainioti pakeitimais ir ženklais. Skaičiavimai nėra paprasčiausi. Dėl supjaustymo

, ,

pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Atsižvelgiant į pamoką, apsvarstykite dvi užduotis sunkiau.

9 pavyzdys.

Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas

Sprendimas: parodyti šią formą brėžinyje.

Dėl namo statybos brėžinio, būtina žinoti sinusoidų išvaizdą. Apskritai, naudinga žinoti visų pradinių funkcijų grafikus, taip pat kai kurias sinusų vertybes. Juos galima rasti vertybių lentelėje trigonometrinės funkcijos. Kai kuriais atvejais (pvz., Pavyzdžiui), leidžiama statyti scheminį piešinį, kuriuo diagramos ir integracijos ribos turi būti atspindėtos iš esmės.

Su integracijos ribų, čia nėra problemų, jie seka tiesiogiai iš sąlygos:

- "X" svyruoja nuo nulio iki "Pi". Mes parengiame tolesnį sprendimą:

Ant pjovimo grafiko funkcijos y. \u003d Sin 3. x. Įsikūręs virš ašies JAUTIS., taip:

(1) Kaip integruoti sines ir kosines nelyginius laipsnius, galite pažvelgti į pamoką Integralai iš trigonometrinių funkcijų. Prijunkite vieną siną.

(2) Mes naudojame pagrindinį trigonometrinį tapatybę

(3) Mes pakeisime kintamąjį t. \u003d Cos. x., tada: įsikūrusi virš ašies, todėl:

Pastaba: Atkreipkite dėmesį į tai, kaip priimamas neatsiejamas nuo liestinis Kuboje, čia naudojamas pagrindinio trigonometrinis tapatybės pasekmė.

Užduočių numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros ribotas linijas

Paraiška neatskiriama taikomosioms užduotims spręsti

Kvadrato apskaičiavimas. \\ T

NUSTATYTI NEPRIKLAUSOMĄ NEPRIKLAUSOMĄ FUNKCIJĄ F (X) yra skaitmeninis lyguscurvilinijos trapios sritis, apribota kreivė y \u003d f (x), ašis apie x ir tiesiai x \u003d a ir x \u003d b. Pagal tai, teritorijos sritis yra parašyta taip:

Apsvarstykite keletą pavyzdžių apskaičiuojant plokščių skaičių kvadratus.

Užduotis # 1. Apskaičiuokite plotą, apribojančią Y \u003d x 2 +1, Y \u003d 0, X \u003d 0, X \u003d 2.

Sprendimas. Mes statyti figūrą, kurio sritis turėsime apskaičiuoti.

Y \u003d x 2 + 1 yra parabola, kurios šakos yra nukreiptos į viršų, o parabolla yra perkelta į jaučio ašį iki vieno vieneto (1 pav.).

1 pav. Funkcijų grafikas Y \u003d x 2 + 1

Užduotis # 2. Apskaičiuokite plotą, apribotą Y \u003d x 2 - 1, Y \u003d 0 diapazone nuo 0 iki 1.

Sprendimas. Šios funkcijos grafikas yra parabolos filialas, kuris yra nukreiptas į viršų, o parabolyje yra perkeliamas į jaučio ašį (2 pav.).

2 pav. Funkcijos grafikas Y \u003d x 2 - 1

Užduočių numeris 3. Padarykite brėžinį ir apskaičiuokite figūros ribotas linijas

y \u003d 8 + 2x - x 2 ir y \u003d 2x - 4.

Sprendimas. Pirmoji iš dviejų linijų linijų - Parabola, nukreipta į filialus, nes koeficientas X2 yra neigiamas, o antroji eilutė yra tiesia linija, kertanti abi krypties koordinates.

Sukurti parabolą, rasime savo viršūnių koordinates: y '\u003d 2 - 2x; 2 - 2x \u003d 0, x \u003d 1 - viršūnių abscisa; Y (1) \u003d 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 \u003d 9 - jo ordinatas, N (1; 9) - Į viršų.

Dabar rasime parabolos ir tiesioginių sankirtos taškus, sprendžiant lygčių sistemą:

Lyginti tinkamas lygties dalis, kairiosios dalys yra lygios.

Mes gauname 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 arba x 2 - 12 \u003d 0, iš kur .

Taigi, taškai yra parabolio ir tiesių sankirtos taškai (1 pav.).

3 pav. Funkcijų grafikai Y \u003d 8 + 2x - X 2 ir Y \u003d 2x - 4

Mes statyti tiesią liniją y \u003d 2x - 4. jis eina per taškus (0; -4), (2; 0) ant koordinačių ašių.

Sukurti parabolą, vis tiek galite turėti savo sankirtos taškus su 0x ašimi, ty 8 + 2x - x 2 \u003d 0 arba x 2 - 2x - 8 \u003d 0. Iki Vietos teorijos yra lengva rasti savo šaknis: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d keturi.

3 paveiksle parodyta figūra (parabolinio segmento m 1 n m 2), riboja šiomis linijomis.

Antroji užduoties dalis yra rasti šio skaičiaus sritį. Jo plotą galima rasti konkrečiam integralui pagal formulę .

Atsižvelgiant į šią sąlygą, mes gauname integrumą:

2 Apskaičiavimas tūrio kūno tūrį

Kėbulo tūris, gautas iš kreivės y \u003d f (x) aplink X ašį, apskaičiuojamas pagal formulę:

Pasukdami aplink ašį, formulė turi formą:

Užduoties numeris 4. Nustatykite kūno tūrį, gautą iš kreivinės trapecijos sukimosi, ribojamos tiesiai X \u003d 0 x \u003d 3 ir kreivė Y \u003d aplink ašį apie X.

Sprendimas. Mes sukuriame brėžinį (4 pav.).

4 pav. Funkcijų grafikas Y \u003d

Norimas tūris yra lygus

5 užduočių numeris. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą nuo kreivės trapios sukimosi, ribojamos su kreivė Y \u003d x 2 ir tiesia linija Y \u003d 0 ir Y \u003d 4 aplink ašį.

Sprendimas. Mes turime:

Klausimai dėl pasikartojimo

Iš šio straipsnio, jūs sužinosite, kaip rasti figūrų ribotas linijas, naudojant skaičiavimus naudojant integralus. Pirmą kartą susiduriame su tokia užduotimi vidurinėje mokykloje, kai mes tiesiog išlaikėme tam tikrų integralų tyrimą ir atėjo laikas pradėti praktiškai įgytą žinių geometrinį interpretaciją.

Taigi, kas reikės sėkmingai išspręsti skaičiaus ieškojimo problemą su integralų pagalba:

Įgūdžiai kompetentingai kurti brėžinius;
Gebėjimas išspręsti konkretų integralą su gerai žinomu newton-lignic formulės pagalba;
Gebėjimas "pamatyti" pelningesnį sprendimą - i.e. Suprasti, kaip tokiu atveju bus patogiau atlikti integraciją? Palei x ašį (jautį) arba žaidimo ašį (OY)?
Na, kur be teisingo skaičiavimo?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti šį kito tipo integrals ir teisingus skaičiavimus.

ALGoritmas sprendžiant skaičiavimo figūros sritį, ribotas linijas:

1. Sukurti piešinį. Patartina tai padaryti ant kūrinio narve, su dideliu mastu. Užsisakome pieštuką virš kiekvienos diagramos šios funkcijos pavadinimą. Grafikų parašas atliekamas tik tolesniam skaičiavimo patogumui. Gavę norimo figūros grafiką, daugeliu atvejų jis bus matomas nedelsiant, kokios bus naudojamos integracijos ribos. Taigi išspręsime užduotį su grafiniu metodu. Tačiau atsitinka, kad ribų vertės yra dalinės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, eikite į du žingsnį.

2. Jei integracijos ribos yra aiškiai nenurodytos, randame diagramos sankirtos taškus tarpusavyje, ir mes žiūrime į tai, ar mūsų grafinis sprendimas su analitiniu yra sutapo.

3. Be to, būtina analizuoti brėžinį. Priklausomai nuo to, kaip yra funkcijų grafika, yra skirtingi metodai, kaip rasti figūros plotą. Apsvarstykite skirtingus pavyzdžius, kad surastumėte skaičiaus plotą su integralų pagalba.

3.1. Klasikinė ir paprasta užduočių parinktis yra tada, kai jums reikia rasti kreivinės trapecijos sritį. Kas yra "Curvilinear Trapeze"? Tai yra plokščias skaičius ribotas iki x ašies (y \u003d 0)tiesiai x \u003d a, x \u003d b ir bet kokia kreivė nuolat nuo intervalo a. anksčiau b.. Tuo pačiu metu šis skaičius yra ne neigiamas ir yra ne mažesnis už abscisos ašį. Tokiu atveju kreivinės trapecijos plotas yra vienodas lygus konkrečiam neatskirialui, apskaičiuotam "Newton Labender" formulėje:

1 pavyzdys. y \u003d x2 - 3x + 3, x \u003d 1, x \u003d 3, y \u003d 0.

Kokios eilutės yra figūra ribotas? Mes turime parabolą y \u003d x2 - 3x + 3kuris yra virš ašies OI, tai yra ne neigiama, nes Visi šio parabolos taškai yra teigiami. Toliau, tiesioginis x \u003d 1. ir. \\ T x \u003d 3.kurie lygiagrečiai su ašimi Ou.yra ribojančios figūros linijos kairėje ir dešinėje. Gerai y \u003d 0.Ji yra x ašis, kuri riboja žemiau pateiktą skaičių. Gautas skaičius yra tamsintas, kaip galima matyti iš brėžinio kairėje. Šiuo atveju galite iš karto pradėti spręsti problemą. Mes turime paprastą kreivės trapios, kuri yra toliau sprendžiant su Newton-Leibnic formulės pagalba.

3.2. Ankstesnėje 3.1 punkte byla yra išmontuota, kai kreivinė trapezija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai užduoties sąlygos yra vienodos, išskyrus atvejus, kai funkcija veikia pagal x ašį. Standartinė "Newton-Lesveender" formulė pridedama atėmus. Kaip išspręsti tokią užduotį, toliau svarsto.

2 pavyzdys. . Apskaičiuokite formos plotą, ribotas linijas y \u003d x2 + 6x + 2, x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolą y \u003d x2 + 6x + 2kuri yra kilusi iš ašies OI, tiesiai x \u003d -4, x \u003d -1, y \u003d 0. Čia y \u003d 0. Riboja norimą skaičių iš viršaus. Tiesiai x \u003d -4. ir. \\ T x \u003d -1. Tai yra sienos, per kurias bus apskaičiuojamas konkretus integrumas. Figūros srities problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad nurodyta funkcija nėra teigiama, ir viskas taip pat yra nuolatinė intervalui [-4; -1] . Kas nereiškia teigiamo? Kaip matyti iš paveikslo, paveikslas, kuris yra per nustatytą IC, turi tik "neigiamų" koordinates, kurias turime matyti ir prisiminti sprendžiant problemą. Skaičio sritis ieško "Newton Labitsa" formulės, pradedant nuo minuso ženklo.

Straipsnis nėra baigtas.