Jei atrodo, kad jūsų vaikas nesupranta, kaip padalinti po kablelio skaičių, tai nėra priežastis manyti, kad jis nesugeba matematikos.
Greičiausiai jie jam tiesiog aiškiai nepaaiškino, kaip tai buvo padaryta. Turime padėti vaikui ir kuo paprasčiau, kone žaismingai pasakoti apie trupmenas ir operacijas su jomis. Ir tam turime ką nors atsiminti patys.
Trupmeninės išraiškos naudojamos kalbant apie ne sveikuosius skaičius. Jei trupmena yra mažesnė už vienetą, ji apibūdina kažko dalį, jei daugiau, ji apibūdina keletą ištisų dalių ir kitą gabalą. Trupmenos apibūdinamos 2 reikšmėmis: vardikliu, kuris paaiškina, į kiek lygių dalių skaičius padalintas, ir skaitikliu, nurodančiu, kiek tokių dalių turime omenyje.
Tarkime, pyragą supjaustėte į 4 lygias dalis ir 1 iš jų atidavėte savo kaimynams. Vardiklis bus lygus 4. O skaitiklis priklauso nuo to, ką norime aprašyti. Jei kalbame apie tai, kiek buvo suteikta kaimynams, tada skaitiklis yra 1, o jei kalbame apie tai, kiek liko, tada 3.
Pyrago pavyzdyje vardiklis yra 4, o išraiškoje „1 diena yra 1/7 savaitės“ – 7. Trupmeninė išraiška su bet kokiu vardikliu yra bendroji trupmena.
Matematikai, kaip ir visi kiti, stengiasi palengvinti savo gyvenimą. Štai kodėl buvo išrastos dešimtainės trupmenos. Juose vardiklis lygus 10 arba skaičiams, kurie yra 10 kartotiniai (100, 1000, 10 000 ir kt.), o jie rašomi taip: sveikoji skaičiaus dedamoji nuo trupmeninės atskiriama kableliu. Pavyzdžiui, 5,1 yra 5 visa ir 1 dešimtoji dalis, o 7,86 yra 7 visa ir 86 šimtoji dalis.
Mažos rekolekcijos skirtos ne jūsų vaikams, o sau. Pas mus įprasta trupmeninę dalį atskirti kableliu. Užsienyje pagal nusistovėjusią tradiciją įprasta atskirti tašku. Todėl, jei svetimame tekste susidursite su panašiu žymėjimu, nenustebkite.
Trupmenų padalijimas
Kiekvienas aritmetinis veiksmas su panašiais skaičiais turi savo ypatybes, tačiau dabar pabandysime išmokti padalyti po kablelio trupmenas. Galima trupmeną padalyti iš natūralusis skaičius arba į kitą trupmeną.
Kad būtų lengviau įsisavinti šį aritmetinį veiksmą, svarbu atsiminti vieną paprastą dalyką.
Išmokę naudoti kablelius, galite naudoti tas pačias padalijimo taisykles kaip ir sveikiesiems skaičiams.
Apsvarstykite galimybę padalyti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus. Padalijimo į stulpelį technologija jums jau turėtų būti žinoma iš anksčiau padengtos medžiagos. Procedūra panaši. Dividendą po ženklą dalina daliklis. Kai tik posūkis pasiekia paskutinį ženklą prieš kablelį, į koeficientą dedamas kablelis, o tada skirstymas vyksta įprasta tvarka.
Tai yra, neskaitant kablelio pašalinimo - daugiausia reguliarus padalijimas, o kablelis nėra labai sunkus.
Trupmenos dalijimas iš trupmenos
Pavyzdžiai, kai reikia padalyti vieną trupmeninę vertę iš kitos, atrodo labai sudėtingi. Tačiau iš tikrųjų su jais susidoroti nėra sunkiau. Vieną dešimtainę trupmeną padalinti iš kitos bus daug lengviau, jei daliklyje atsikratysite kablelio.
Kaip tai padaryti? Jei į 10 dėžučių reikia įdėti 90 pieštukų, kiek pieštukų bus kiekvienoje dėžutėje? 9. Abu skaičius padauginkime iš 10 – 900 pieštukų ir 100 langelių. Kiek kiekvienoje? 9. Tas pats principas galioja, kai reikia padalyti dešimtainę trupmeną.
Daliklis visiškai atsikrato kablelio, o dividendo kablelis perkeliamas į dešinę tiek vietų, kiek anksčiau buvo daliklyje. Tada atliekamas įprastas padalijimas į stulpelį, kurį aptarėme aukščiau. Pavyzdžiui:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividendą reikia padauginti ir dauginti iš 10, kol daliklis taps sveikuoju skaičiumi. Todėl dešinėje gali būti papildomų nulių.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Nieko blogo tame. Prisiminkite pavyzdį su pieštukais – atsakymas nepasikeis, jei abu skaičius padidinsite tiek pat. Paprastąsias trupmenas padalyti sunkiau, ypač jei skaitiklyje ir vardiklyje nėra bendrų veiksnių.
Šiuo atžvilgiu daug patogiau dalytis po kablelio. Sunkiausias triukas čia yra kablelio vyniojimo triukas, tačiau, kaip matėme, jį lengva valdyti. Sugebėdami tai perteikti savo vaikui, išmokysite jį dalyti po kablelio.
Įsisavinęs šią paprastą taisyklę, jūsų sūnus ar dukra matematikos pamokose jausis kur kas drąsiau ir, kas žino, gal susidomės šiuo dalyku. Matematinis mąstymas retai pasireiškia nuo ankstyvos vaikystės, kartais reikia postūmio ir susidomėjimo.
Padėdami vaikui ruošti namų darbus, ne tik pagerinsite jo akademinius rezultatus, bet ir praplėsite jo interesų spektrą, už kuriuos laikui bėgant jis bus jums dėkingas.
Trupmena yra viena ar daugiau visumos dalių, paprastai laikoma viena (1). Kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, su trupmenomis galite atlikti visas pagrindines aritmetines operacijas (sudėti, atimti, dalyti, dauginti), tam reikia žinoti darbo su trupmenomis ypatybes ir atskirti jų tipus. Yra keletas trupmenų tipų: dešimtainės ir paprastosios arba paprastosios. Kiekvienas trupmenų tipas turi savo specifiką, tačiau gerai supratę, kaip su jais elgtis, galėsite išspręsti bet kokius pavyzdžius su trupmenomis, nes žinosite pagrindinius aritmetinių skaičiavimų su trupmenomis principus. Pažvelkime į pavyzdžius, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus naudojant skirtingi tipai trupmenomis.
Kaip padalyti paprastąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus?Paprastosios arba paprastosios trupmenos – tai trupmenos, parašytos skaičių santykio forma, kai trupmenos viršuje nurodomas dividendas (skaitiklis), o apačioje – trupmenos daliklis (vardiklis). Kaip padalyti tokią trupmeną iš sveikojo skaičiaus? Pažiūrėkime į pavyzdį! Tarkime, kad reikia padalyti 8/12 iš 2.
Norėdami tai padaryti, turime atlikti keletą veiksmų:
Taigi, jei susiduriame su užduotimi padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, sprendimo schema atrodys maždaug taip: 
Panašiai galite padalyti bet kurią įprastą (paprastą) trupmeną iš sveikojo skaičiaus.
Kaip padalyti dešimtainį skaičių iš sveikojo skaičiaus?
Dešimtainė yra trupmena, kuri gaunama padalijus vienetą į dešimt, tūkstantį ir pan. Aritmetiniai veiksmai su dešimtainėmis trupmenomis yra gana paprasta.
Pažvelkime į pavyzdį, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Tarkime, kad dešimtainę trupmeną 0,925 reikia padalyti iš natūraliojo skaičiaus 5.
Apibendrinant, apsistokime ties dviem pagrindiniais dalykais, kurie yra svarbūs atliekant padalijimo operaciją po kablelio pagal sveikąjį skaičių: - norint padalinti dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, naudojama ilgoji dalyba;
- Kablelis dedamas į dalinį, kai baigiama dalyti visa dividendo dalis.
Mokykloje šie veiksmai mokomi nuo paprastų iki sudėtingų. Todėl būtina gerai suprasti šių operacijų atlikimo algoritmą paprasti pavyzdžiai. Kad vėliau nekiltų sunkumų dalijant dešimtaines trupmenas į stulpelį. Juk tai labiausiai sunkus variantas panašias užduotis.
Šis dalykas reikalauja nuoseklaus studijų. Žinių spragos čia nepriimtinos. Šio principo kiekvienas mokinys turėtų išmokti jau pirmoje klasėje. Todėl praleidę keletą pamokų iš eilės, medžiagą turėsite įsisavinti patys. Priešingu atveju vėliau kils problemų ne tik su matematika, bet ir su kitais su ja susijusiais dalykais.
Antra reikalinga sąlyga sėkmingas tyrimas matematika – pereikite prie ilgo dalybos pavyzdžių tik įvaldę sudėtį, atimtį ir daugybą.
Vaikui bus sunku dalyti, jei jis neišmoko daugybos lentelės. Beje, geriau to išmokyti naudojant Pitagoro lentelę. Nėra nieko nereikalingo, o daugybos išmokti šiuo atveju lengviau.
Kaip natūralūs skaičiai dauginami stulpelyje?
Jei kyla sunkumų sprendžiant pavyzdžius dalybos ir daugybos stulpelyje, tuomet turėtumėte pradėti spręsti problemą su daugyba. Kadangi dalyba yra atvirkštinė daugybos operacija:
- Prieš padaugindami du skaičius, turite atidžiai juos pažvelgti. Pasirinkite tą, kuriame yra daugiau skaitmenų (ilgesnį), ir pirmiausia užsirašykite. Padėkite antrąjį po juo. Be to, atitinkamos kategorijos numeriai turi būti toje pačioje kategorijoje. Tai reiškia, kad pirmojo skaičiaus dešinysis skaitmuo turi būti virš antrojo dešiniojo skaitmens.
- Padauginkite dešinįjį apatinio skaičiaus skaitmenį iš kiekvieno viršutinio skaičiaus skaitmens, pradedant nuo dešinės. Atsakymą parašykite po eilute, kad paskutinis jo skaitmuo būtų po tuo, iš kurio padauginote.
- Pakartokite tą patį su kitu mažesnio skaičiaus skaitmeniu. Tačiau daugybos rezultatas turi būti perkeltas vienu skaitmeniu į kairę. Šiuo atveju paskutinis jo skaitmuo bus po skaitmeniu, iš kurio jis buvo padaugintas.
Tęskite šį dauginimą stulpelyje, kol baigsis antrojo koeficiento skaičiai. Dabar juos reikia sulankstyti. Tai bus atsakymas, kurio ieškote.
Dešimtainių skaičių dauginimo algoritmas
Pirmiausia turite įsivaizduoti, kad pateiktos trupmenos yra ne dešimtainės, o natūraliosios. Tai yra, pašalinkite iš jų kablelius ir tęskite, kaip aprašyta ankstesniame atveju.
Skirtumas prasideda, kai užrašomas atsakymas. Šiuo metu reikia suskaičiuoti visus skaičius, kurie pasirodo po kablelio abiejose trupmenose. Būtent tiek jų reikia suskaičiuoti nuo atsakymo pabaigos ir dėti kablelį.
Šį algoritmą patogu iliustruoti naudojant pavyzdį: 0,25 x 0,33:
Kur pradėti mokymosi skyrių?
Prieš spręsdami ilgojo padalijimo pavyzdžius, turite atsiminti skaičių pavadinimus, kurie rodomi ilgojo padalijimo pavyzdyje. Pirmasis iš jų (tas, kuris yra padalintas) dalijasi. Antrasis (padalytas iš) yra daliklis. Atsakymas yra privatus.
Po to, naudodami paprastą kasdienį pavyzdį, paaiškinsime šio matematinės operacijos esmę. Pavyzdžiui, jei paimsite 10 saldumynų, nesunku juos po lygiai paskirstyti mamai ir tėčiui. Bet ką daryti, jei jums reikia juos duoti savo tėvams ir broliui?
Po to galėsite susipažinti su padalijimo taisyklėmis ir jas įsisavinti konkrečių pavyzdžių. Pirmiausia paprasti, o tada pereikite prie vis sudėtingesnių.
Skaičių padalijimo į stulpelį algoritmas
Pirmiausia pateiksime natūraliųjų skaičių, dalijamų iš vienaženklio skaičiaus, procedūrą. Jie taip pat bus kelių skaitmenų daliklių arba dešimtainių trupmenų pagrindas. Tik tada turėtumėte įeiti nedideli pakeitimai, bet apie tai vėliau:
- Prieš atlikdami ilgą padalijimą, turite išsiaiškinti, kur yra dividendas ir daliklis.
- Užsirašykite dividendus. Dešinėje nuo jo yra skirstytuvas.
- Nubrėžkite kampą kairėje ir apačioje šalia paskutinio kampo.
- Nustatykite nepilną dividendą, ty skaičių, kuris bus minimalus padalijimui. Paprastai jį sudaro vienas skaitmuo, daugiausia du.
- Pasirinkite skaičių, kuris bus parašytas pirmas atsakyme. Tai turėtų būti tiek kartų, kiek daliklis telpa į dividendą.
- Užrašykite šio skaičiaus padauginus iš daliklio rezultatą.
- Parašykite jį po nepilnu dividendu. Atlikite atimtį.
- Prie likusios dalies pridėkite pirmąjį skaitmenį po jau padalytos dalies.
- Dar kartą pasirinkite atsakymo numerį.
- Pakartokite daugybą ir atimtį. Jei likutis lygus nuliui, o dividendas baigėsi, pavyzdys yra atliktas. Kitu atveju pakartokite veiksmus: pašalinkite skaičių, paimkite skaičių, padauginkite, atimkite.
Kaip išspręsti ilgą padalijimą, jei daliklis turi daugiau nei vieną skaitmenį?
Pats algoritmas visiškai sutampa su tuo, kas buvo aprašyta aukščiau. Skirtumas bus nepilno dividendo skaitmenų skaičius. Dabar jų turėtų būti bent du, bet jei pasirodys mažiau nei daliklis, tuomet turėtumėte dirbti su pirmaisiais trimis skaitmenimis.
Šiame padalinyje yra dar vienas niuansas. Faktas yra tas, kad liekana ir prie jos pridėtas skaičius kartais nesidalija iš daliklio. Tada eilės tvarka turite pridėti kitą numerį. Bet atsakymas turi būti nulis. Jei atliekamas padalijimas triženklius skaičius stulpelyje gali tekti pašalinti daugiau nei du skaitmenis. Tada įvedama taisyklė: atsakyme turi būti vienu nuliu mažiau nei pašalintų skaitmenų.
Šį padalijimą galite apsvarstyti naudodami pavyzdį - 12082: 863.
- Nepilnas dividendas jame pasirodo esąs skaičius 1208. Skaičius 863 į jį įdėtas tik vieną kartą. Todėl atsakymas turėtų būti 1, o po 1208 parašykite 863.
- Po atėmimo liekana yra 345.
- Prie jo reikia pridėti skaičių 2.
- Skaičiuje 3452 yra 863 keturis kartus.
- Keturi turi būti užrašyti kaip atsakymas. Be to, padauginus iš 4, gaunamas būtent toks skaičius.
- Likusi dalis po atėmimo yra lygi nuliui. Tai yra, padalijimas baigtas.
Atsakymas pavyzdyje būtų skaičius 14.
Ką daryti, jei dividendai baigiasi nuliu?
Arba keli nuliai? Šiuo atveju likusi dalis yra lygi nuliui, bet dividende vis tiek yra nuliai. Neverta nusiminti, viskas paprasčiau nei gali atrodyti. Pakanka tiesiog pridėti prie atsakymo visus nulius, kurie lieka nedalyti.
Pavyzdžiui, 400 reikia padalyti iš 5. Nepilnas dividendas yra 40. Penki į jį telpa 8 kartus. Tai reiškia, kad atsakymas turi būti parašytas 8. Atimant liekanos nelieka. Tai yra, padalijimas baigtas, bet dividenduose lieka nulis. Jis turės būti pridėtas prie atsakymo. Taigi, padalijus 400 iš 5, gaunama 80.
Ką daryti, jei reikia padalyti dešimtainę trupmeną?
Vėlgi, šis skaičius atrodo kaip natūralusis skaičius, jei ne kablelis, skiriantis visą dalį nuo trupmeninės dalies. Tai rodo, kad dešimtainių trupmenų padalijimas į stulpelį yra panašus į aprašytą aukščiau.
Vienintelis skirtumas bus kabliataškis. Jis turėtų būti įtrauktas į atsakymą, kai tik bus pašalintas pirmasis skaitmuo iš trupmeninės dalies. Kitas būdas tai pasakyti yra toks: jei baigėte padalinti visą dalį, dėkite kablelį ir tęskite sprendimą toliau.
Sprendžiant ilgojo padalijimo su dešimtainėmis trupmenomis pavyzdžius, reikia atsiminti, kad prie dalies po kablelio galima pridėti bet kokį skaičių nulių. Kartais tai būtina norint užpildyti skaičius.
Dviejų skaičių po kablelio dalijimas
Tai gali atrodyti sudėtinga. Bet tik pradžioje. Juk kaip trupmenų stulpelį padalinti iš natūraliojo skaičiaus, jau aišku. Tai reiškia, kad turime sumažinti šį pavyzdį iki jau žinomos formos.
Tai lengva padaryti. Abi trupmenas reikia padauginti iš 10, 100, 1 000 arba 10 000, o jei to reikalauja problema, galbūt iš milijono. Daugiklis turėtų būti pasirinktas pagal tai, kiek nulių yra daliklio dešimtainėje dalyje. Tai yra, rezultatas bus toks, kad trupmeną turėsite padalyti iš natūraliojo skaičiaus.
Ir tai bus blogiausias scenarijus. Juk gali atsitikti taip, kad dividendas iš šios operacijos tampa sveikuoju skaičiumi. Tada pavyzdžio sprendimas su padalijimu į frakcijų stulpelį bus sumažintas iki labai paprastas variantas: operacijos su natūraliaisiais skaičiais.
Pavyzdžiui: padalinkite 28,4 iš 3,2:
- Pirmiausia juos reikia padauginti iš 10, nes antrasis skaičius turi tik vieną skaitmenį po kablelio. Padauginus gausite 284 ir 32.
- Jie turėtų būti atskirti. Be to, visas skaičius yra 284 x 32.
- Pirmas pasirinktas atsakymo skaičius yra 8. Padauginus gauname 256. Likusioji dalis – 28.
- Visos dalies dalijimas baigtas, atsakyme reikia kablelio.
- Pašalinkite į 0 dalį.
- Vėl paimkite 8.
- Likutis: 24. Pridėkite dar 0.
- Dabar reikia paimti 7.
- Daugybos rezultatas yra 224, likusioji dalis yra 16.
- Nuimkite dar 0. Paimkite po 5 ir gausite lygiai 160. Likusioji dalis yra 0.
Padalijimas baigtas. 28,4:3,2 pavyzdžio rezultatas yra 8,875.
Ką daryti, jei daliklis yra 10, 100, 0,1 arba 0,01?
Kaip ir dauginant, čia nereikia ilgo dalybos. Pakanka tiesiog perkelti kablelį norima kryptimi tam tikram skaičiui skaitmenų. Be to, naudodamiesi šiuo principu galite išspręsti pavyzdžius su sveikaisiais skaičiais ir dešimtainėmis trupmenomis.
Taigi, jei reikia padalyti iš 10, 100 arba 1000, tada kablelis perkeliamas į kairę tiek pat skaitmenų, kiek daliklyje yra nulių. Tai yra, kai skaičius dalijasi iš 100, dešimtainis kablelis turi pasislinkti į kairę dviem skaitmenimis. Jei dividendas yra natūralusis skaičius, tada daroma prielaida, kad kablelis yra gale.
Šis veiksmas duoda tą patį rezultatą, tarsi skaičius būtų padaugintas iš 0,1, 0,01 arba 0,001. Šiuose pavyzdžiuose kablelis taip pat perkeliamas į kairę skaitmenų skaičiumi, lygiu trupmeninės dalies ilgiui.
Dalinant iš 0,1 (tt) arba dauginant iš 10 (tt), dešimtainis kablelis turi pasislinkti į dešinę vienu skaitmeniu (arba dviem, trimis, priklausomai nuo nulių skaičiaus arba trupmeninės dalies ilgio).
Verta paminėti, kad dividende nurodyto skaitmenų skaičiaus gali nepakakti. Tada trūkstamus nulius galima pridėti į kairę (visoje dalyje) arba į dešinę (po kablelio).
Periodinių trupmenų padalijimas
Tokiu atveju skaidant į stulpelį tikslaus atsakymo gauti nepavyks. Kaip išspręsti pavyzdį, jei susiduriate su trupmena su tašku? Čia reikia pereiti prie įprastų trupmenų. Ir tada padalinkite juos pagal anksčiau išmoktas taisykles.
Pavyzdžiui, 0.(3) reikia padalyti iš 0,6. Pirmoji dalis yra periodinė. Jis paverčiamas trupmena 3/9, kurią sumažinus gaunama 1/3. Antroji trupmena yra paskutinė po kablelio. Dar paprasčiau užrašyti kaip įprasta: 6/10, tai yra 3/5. Paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklė reikalauja, kad dalyba būtų pakeista daugyba, o daliklis – atvirkštine. Tai reiškia, kad pavyzdys padauginamas 1/3 iš 5/3. Atsakymas bus 5/9.
Jei pavyzdyje yra skirtingos trupmenos...
Tada galimi keli sprendimai. Pirma, galite pabandyti paversti bendrąją trupmeną į dešimtainę. Tada, naudodami aukščiau pateiktą algoritmą, padalinkite du dešimtaines.
Antra, kiekviena paskutinė dešimtainė trupmena gali būti užrašoma kaip bendroji trupmena. Tačiau tai ne visada patogu. Dažniausiai tokios trupmenos būna didžiulės. Ir atsakymai yra sudėtingi. Todėl pirmasis metodas laikomas geresniu.
Paskutinėje pamokoje išmokome sudėti ir atimti po kablelio skaičių (žr. pamoką „Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas“). Tuo pačiu metu įvertinome, kiek supaprastinami skaičiavimai, palyginti su įprastomis „dviejų aukštų“ trupmenomis.
Deja, šis efektas nepasireiškia dauginant ir dalijant dešimtainius. Kai kuriais atvejais dešimtainis žymėjimas netgi apsunkina šias operacijas.
Pirma, pristatykime naują apibrėžimą. Matysime jį gana dažnai, ir ne tik šioje pamokoje.
Reikšminga skaičiaus dalis yra viskas tarp pirmojo ir paskutinio ne nulio skaitmenų, įskaitant galus. Kalbame tik apie skaičius, į kablelį neatsižvelgiama.
Skaičiai, įtraukti į reikšminę skaičiaus dalį, vadinami reikšminiais skaitmenimis. Jie gali kartotis ir netgi būti lygūs nuliui.
Pavyzdžiui, apsvarstykite kelias dešimtaines trupmenas ir užrašykite atitinkamas reikšmingas dalis:
- 91,25 → 9125 (svarbūs skaičiai: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (svarbūs skaičiai: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (svarbūs skaičiai: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (svarbūs skaičiai: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (yra tik vienas reikšmingas skaičius: 3).
Atkreipkite dėmesį: reikšmingoje skaičiaus dalyje esantys nuliai niekur nedingsta. Su kažkuo panašaus jau susidūrėme, kai išmokome paversti dešimtaines trupmenas į paprastas (žr. pamoką „Dešimtainės trupmenos“).
Šis punktas toks svarbus, o klaidų čia daroma taip dažnai, kad artimiausiu metu paskelbsiu testą šia tema. Būtinai praktikuokite! Ir mes, apsiginklavę reikšmingos dalies samprata, iš tikrųjų pereisime prie pamokos temos.
Dešimtainių skaičių dauginimas
Daugybos operacija susideda iš trijų nuoseklių žingsnių:
- Kiekvienai trupmenai užrašykite reikšmingąją dalį. Gausite du paprastus sveikuosius skaičius – be vardiklio ir po kablelio;
- Padauginkite šiuos skaičius bet kokiu patogiu būdu. Tiesiogiai, jei skaičiai maži, arba stulpelyje. Gauname reikšmingą norimos trupmenos dalį;
- Išsiaiškinkite, kur ir kiek skaitmenų perkeliamas kablelis pradinėse trupmenose, kad gautumėte atitinkamą reikšmingąją dalį. Atlikite atvirkštinius perjungimus svarbiai daliai, gautai ankstesniame žingsnyje.
Leiskite dar kartą priminti, kad į nulius reikšmingos dalies pusėse niekada neatsižvelgiama. Šios taisyklės nepaisymas sukelia klaidų.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Dirbame su pirmąja išraiška: 0,28 · 12,5.
- Užrašykime reikšmingąsias dalis skaičiams iš šios išraiškos: 28 ir 125;
- Jų gaminys: 28 · 125 = 3500;
- Pirmajame koeficiente kablelis perkeliamas 2 skaitmenimis į dešinę (0,28 → 28), o antrajame – dar 1 skaitmeniu. Iš viso jums reikia trijų skaitmenų poslinkio į kairę: 3500 → 3500 = 3,5.
Dabar pažiūrėkime į išraišką 6.3 · 1.08.
- Užrašykime reikšmingąsias dalis: 63 ir 108;
- Jų gaminys: 63 · 108 = 6804;
- Vėlgi, du poslinkiai į dešinę: atitinkamai 2 ir 1 skaitmeniu. Iš viso – vėl 3 skaitmenys į dešinę, taigi atvirkštinis poslinkis bus 3 skaitmenys į kairę: 6804 → 6.804. Šį kartą pasibaigiančių nulių nėra.
Pasiekėme trečią išraišką: 132,5 · 0,0034.
- Reikšmingos dalys: 1325 ir 34;
- Jų produktas: 1325 · 34 = 45 050;
- Pirmoje trupmenoje kablelis pasislenka į dešinę 1 skaitmeniu, o antroje - net 4. Iš viso: 5 į dešinę. Perkeliame 5 į kairę: 45 050 → .45050 = 0,4505. Nulis buvo pašalintas pabaigoje ir pridėtas priekyje, kad neliktų „nuogo“ kablelio.
Ši išraiška yra: 0,0108 · 1600,5.
- Rašome reikšmingas dalis: 108 ir 16 005;
- Juos padauginame: 108 · 16 005 = 1 728 540;
- Skaičiuojame po kablelio: pirmame skaičiuje yra 4, antrame – 1. Iš viso vėlgi 5. Turime: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Pabaigoje „papildomas“ nulis buvo pašalintas.
Galiausiai paskutinė išraiška: 5,25 10 000.
- Reikšmingos dalys: 525 ir 1;
- Juos padauginame: 525 · 1 = 525;
- Pirmoji trupmena perkeliama 2 skaitmenimis į dešinę, o antroji trupmena – 4 skaitmenimis į kairę (10 000 → 1 0000 = 1). Iš viso 4–2 = 2 skaitmenys į kairę. Atliekame atvirkštinį poslinkį 2 skaitmenimis į dešinę: 525, → 52 500 (turėjome pridėti nulius).
Pastaba paskutiniame pavyzdyje: kadangi kablelis juda skirtingomis kryptimis, bendras poslinkis randamas per skirtumą. Tai labai svarbus punktas! Štai dar vienas pavyzdys:
Apsvarstykite skaičius 1,5 ir 12 500. Turime: 1,5 → 15 (paslinkimas 1 į dešinę); 12 500 → 125 (2 poslinkis į kairę). Mes „žingsniuojame“ 1 skaitmenį į dešinę, o tada 2 į kairę. Dėl to mes pasitraukėme 2 − 1 = 1 skaitmenį į kairę.
Dešimtainis padalijimas
Skirstymas yra galbūt labiausiai sudėtinga operacija. Žinoma, čia galite veikti pagal analogiją su daugyba: padalinkite reikšmingas dalis ir tada „perkelkite“ dešimtainį tašką. Tačiau šiuo atveju yra daug subtilybių, kurios paneigia galimą taupymą.
Todėl pažvelkime į universalų algoritmą, kuris yra šiek tiek ilgesnis, bet daug patikimesnis:
- Konvertuoti visas dešimtaines trupmenas į paprastas trupmenas. Šiek tiek pasipraktikavus, šis veiksmas užtruks kelias sekundes;
- Padalinkite gautas trupmenas klasikiniu būdu. Kitaip tariant, padauginkite pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios (žr. pamoką „Skaičių trupmenų dauginimas ir dalijimas“);
- Jei įmanoma, vėl pateikite rezultatą kaip dešimtainę trupmeną. Šis žingsnis taip pat yra greitas, nes vardiklis dažnai jau yra dešimties laipsnis.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Panagrinėkime pirmąją išraišką. Pirmiausia paverskime trupmenas į dešimtaines:
Padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmosios trupmenos skaitiklis vėl bus koeficientas:
Trečiame ir ketvirtame pavyzdžiuose yra svarbus momentas: atsikračius dešimtainio žymėjimo atsiranda redukuojamos trupmenos. Tačiau šio sumažinimo neatliksime.
Paskutinis pavyzdys įdomus tuo, kad antrosios trupmenos skaitiklyje yra pirminis skaičius. Čia tiesiog nėra ko faktorinuoti, todėl svarstome tai tiesiai į priekį:
Kartais padalijus gaunamas sveikasis skaičius (kalbu apie paskutinį pavyzdį). Šiuo atveju trečias veiksmas apskritai neatliekamas.
Be to, dalinant dažnai atsiranda „bjaurių“ trupmenų, kurių negalima paversti dešimtainiais. Tai išskiria padalijimą nuo daugybos, kai rezultatai visada pateikiami dešimtaine forma. Žinoma, tokiu atveju paskutinis veiksmas vėl neatliekamas.
Taip pat atkreipkite dėmesį į 3 ir 4 pavyzdžius. Juose mes tyčia netrumpiname paprastosios trupmenos, gaunamas iš dešimtainių skaičių. Priešingu atveju tai apsunkins atvirkštinę užduotį – galutinį atsakymą vėl pateiksite dešimtaine forma.
Atminkite: pagrindinė trupmenos savybė (kaip ir bet kuri kita matematikos taisyklė) pati savaime nereiškia, kad ji turi būti taikoma visur ir visada, esant kiekvienai progai.
Šiame straipsnyje mes apžvelgsime tai svarbus veiksmas su dešimtainiais skaičiais, pavyzdžiui, padalijimu. Pirmiausia suformuluokime Bendri principai, tada pažiūrėsime, kaip teisingai padalinti dešimtaines trupmenas iš stulpelių tiek iš kitų trupmenų, tiek iš natūraliųjų skaičių. Toliau panagrinėsime paprastųjų trupmenų padalijimą į dešimtainius ir atvirkščiai, o pabaigoje pažiūrėsime, kaip teisingai padalyti trupmenas, kurios baigiasi 0, 1, 0, 01, 100, 10 ir kt.
Čia paimsime tik atvejus su teigiamomis trupmenomis. Jei prieš trupmeną yra minusas, tada, norėdami su juo dirbti, turite išstudijuoti medžiagą apie racionaliųjų ir realiųjų skaičių padalijimą.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Visos dešimtainės trupmenos, tiek baigtinės, tiek periodinės, yra tik speciali paprastųjų trupmenų rašymo forma. Todėl jiems taikomi tie patys principai kaip ir atitinkamoms paprastosioms trupmenoms. Taigi mes sumažiname visą dešimtainių trupmenų padalijimo procesą iki jų pakeitimo įprastomis, o po to apskaičiuojame mums jau žinomais metodais. Paimkime konkretų pavyzdį.
1 pavyzdys
Padalinkite 1,2 iš 0,48.
Sprendimas
Dešimtaines trupmenas rašykime kaip paprastąsias trupmenas. Mes gausime:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Taigi 6 5 turime padalyti iš 12 25. Mes skaičiuojame:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iš gauto netinkama trupmena galite pasirinkti visą dalį ir gauti mišrų skaičių 2 1 2 arba galite jį pavaizduoti kaip dešimtainę trupmeną, kad ji atitiktų pradinius skaičius: 5 2 = 2, 5. Apie tai, kaip tai padaryti, jau rašėme anksčiau.
Atsakymas: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
2 pavyzdys
Apskaičiuokite, kiek bus 0 , (504) 0 , 56.
Sprendimas
Pirma, periodinę dešimtainę trupmeną turime konvertuoti į bendrą trupmeną.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Po to galutinę dešimtainę trupmeną taip pat konvertuosime į kitą formą: 0, 56 = 56 100. Dabar turime du skaičius, su kuriais mums bus lengva atlikti reikiamus skaičiavimus:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Turime rezultatą, kurį taip pat galime konvertuoti į dešimtainę formą. Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio naudodami stulpelio metodą:
Atsakymas: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Jei padalijimo pavyzdyje susidūrėme su neperiodinėmis dešimtainėmis trupmenomis, tada elgsimės šiek tiek kitaip. Negalime jų sumažinti iki įprastų paprastųjų trupmenų, todėl dalydami pirmiausia turime jas suapvalinti iki tam tikro skaitmens. Šis veiksmas turi būti atliktas ir su dividendu, ir su dalikliu: tikslumo sumetimais taip pat apvalinsime esamą baigtinę arba periodinę trupmeną.
3 pavyzdys
Raskite, kiek yra 0,779... / 1,5602.
Sprendimas
Pirmiausia abi trupmenas suapvaliname iki artimiausio šimtosios dalies. Taip pereinama nuo begalinių neperiodinių trupmenų prie baigtinių dešimtainių trupmenų:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Skaičiavimus galime tęsti ir gauti apytikslį rezultatą: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 100 156 = 78 156 = 1 5 = 0,.
Rezultato tikslumas priklausys nuo apvalinimo laipsnio.
Atsakymas: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kaip padalyti natūralųjį skaičių iš kablelio ir atvirkščiai
Požiūris į padalijimą šiuo atveju yra beveik vienodas: baigtines ir periodines trupmenas pakeičiame paprastosiomis, o begalines neperiodines apvaliname. Pradėkime nuo padalijimo iš natūraliojo skaičiaus ir dešimtainės trupmenos pavyzdžio.
4 pavyzdys
Padalinkite 2,5 iš 45.
Sprendimas
Sumažinkime 2, 5 iki paprastosios trupmenos formos: 255 10 = 51 2. Toliau tereikia jį padalyti iš natūraliojo skaičiaus. Mes jau žinome, kaip tai padaryti:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Jei rezultatą konvertuosime į dešimtainį žymėjimą, gausime 0,5 (6).
Atsakymas: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Ilgojo padalijimo metodas tinka ne tik natūraliems skaičiams. Pagal analogiją galime jį naudoti trupmenoms. Žemiau nurodome veiksmų, kuriuos reikia atlikti, seką.
1 apibrėžimas
Norėdami padalinti dešimtainių trupmenų stulpelį iš natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1. Dešinėje prie dešimtainės trupmenos pridėkite kelis nulius (padalinimui galime pridėti bet kokį jų skaičių, kurio mums reikia).
2. Dešimtainę trupmeną padalinkite iš natūraliojo skaičiaus, naudodami algoritmą. Kai visos trupmenos dalies padalijimas baigiasi, į gautą koeficientą dedame kablelį ir skaičiuojame toliau.
Tokio padalijimo rezultatas gali būti baigtinė arba begalinė periodinė dešimtainė trupmena. Tai priklauso nuo liekanos: jei ji yra nulis, rezultatas bus baigtinis, o jei likučiai pradės kartotis, atsakymas bus periodinė trupmena.
Paimkime keletą problemų kaip pavyzdį ir pabandykite atlikti šiuos veiksmus su konkrečiais skaičiais.
5 pavyzdys
Apskaičiuokite, kiek bus 65, 14 4.
Sprendimas
Mes naudojame stulpelio metodą. Norėdami tai padaryti, prie trupmenos pridėkite du nulius ir gaukite dešimtainę trupmeną 65, 1400, kuri bus lygi pradinei. Dabar rašome stulpelį dalinimui iš 4:
Gautas skaičius bus rezultatas, kurio mums reikia padalijus sveikąją dalį. Dedame kablelį, atskiriame jį ir tęsiame:
Pasiekėme nulį likučio, todėl padalijimo procesas baigtas.
Atsakymas: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
6 pavyzdys
Padalinkite 164,5 iš 27.
Sprendimas
Pirmiausia padalijame trupmeninę dalį ir gauname:
Gautą skaičių atskirkite kableliu ir tęskite dalijimą:
Matome, kad likučiai pradėjo periodiškai kartotis, o koeficiente skaičiai devyni, du ir penki pradėjo keistis. Čia sustosime ir parašysime atsakymą periodinės trupmenos 6, 0 (925) forma.
Atsakymas: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Šis padalijimas gali būti sumažintas iki dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus dalinio radimo, jau aprašyto aukščiau. Norėdami tai padaryti, turime padauginti dividendą ir daliklį iš 10, 100 ir tt, kad daliklis virstų natūraliuoju skaičiumi. Toliau atliekame aukščiau aprašytą veiksmų seką. Šis metodas įmanomas dėl dalybos ir daugybos savybių. Mes juos užrašėme taip:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) ir pan.
Suformuluokime taisyklę:
2 apibrėžimas
Norėdami padalyti vieną paskutinę dešimtainę trupmeną iš kitos:
1. Perkelkite kablelį į dividendą ir daliklį į dešinę tiek skaitmenų, kiek reikia dalikliui paversti natūraliuoju skaičiumi. Jei dividende nėra pakankamai ženklų, dešinėje pusėje pridedame nulius.
2. Po to padalykite trupmeną stulpeliu iš gauto natūraliojo skaičiaus.
Pažvelkime į konkrečią problemą.
7 pavyzdys
7,287 padalinkite iš 2,1.
Sprendimas: Norėdami, kad daliklis būtų natūralusis skaičius, dešimtainį skaičių turime perkelti viena vieta į dešinę. Taigi mes perėjome prie dešimtainės trupmenos 72, 87 padalijimo iš 21. Gautus skaičius įrašykime į stulpelį ir apskaičiuokime
Atsakymas: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
8 pavyzdys
Skaičiuoti 16.30.021.
Sprendimas
Kablelį turėsime perkelti trimis vietomis. Tam nepakanka skaitmenų daliklyje, vadinasi, reikia naudoti papildomus nulius. Manome, kad rezultatas bus:
Matome periodinį 4, 19, 1, 10, 16, 13 likučių pasikartojimą. Dalinyje kartojasi 1, 9, 0, 4, 7 ir 5. Tada mūsų rezultatas yra periodinė dešimtainė trupmena 776, (190476).
Atsakymas: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Mūsų aprašytas metodas leidžia daryti priešingai, ty padalyti natūralųjį skaičių iš paskutinės dešimtainės trupmenos. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite, kiek yra 3 5, 4.
Sprendimas
Akivaizdu, kad turėsime perkelti kablelį į reikiamą vietą. Po to galime pradėti dalinti 30, 0 iš 54. Surašykime duomenis į stulpelį ir apskaičiuokime rezultatą:
Pakartojant likusią dalį gauname galutinį skaičių 0, (5), kuris yra periodinė dešimtainė trupmena.
Atsakymas: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kaip padalyti dešimtainius skaičius iš 1000, 100, 10 ir tt
Pagal jau ištirtas paprastųjų trupmenų padalijimo taisykles, trupmenos dalijimas iš dešimčių, šimtų, tūkstančių yra panašus į dauginimą iš 1/1000, 1/100, 1/10 ir tt Pasirodo, kad norint atlikti padalijimą , tokiu atveju Tiesiog perkelkite kablelį iki reikiamo skaitmenų skaičiaus. Jei skaičiuje nėra pakankamai reikšmių, kurias norite perkelti, turite pridėti reikiamą nulių skaičių.
10 pavyzdys
Taigi, 56, 21: 10 = 5, 621 ir 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
Begalinių dešimtainių trupmenų atveju darome tą patį.
11 pavyzdys
Pavyzdžiui, 3, (56): 1 000 = 0, 003 (56) ir 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Kaip padalyti dešimtainę skaičių iš 0,001, 0,01, 0,1 ir kt.
Naudodami tą pačią taisyklę, trupmenas galime padalyti į nurodytas reikšmes. Šis veiksmas bus panašus į padauginimą atitinkamai iš 1000, 100, 10. Norėdami tai padaryti, perkeliame kablelį į vieną, du ar tris skaitmenis, atsižvelgiant į problemos sąlygas, ir pridedame nulius, jei skaičiuje nėra pakankamai skaitmenų.
12 pavyzdys
Pavyzdžiui, 5,739: 0,1 = 57,39 ir 0,21: 0,00001 = 21 000.
Ši taisyklė taip pat taikoma begalinėms dešimtainėms trupmenoms. Tik patariame būti atsargiems su atsakyme rodomos trupmenos periodu.
Taigi, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167), nes po to, kai perkėlėme kablelį dešimtainėje trupmenoje 7, 5716716716... dvi vietas į dešinę, gavome 757, 167167....
Jei pavyzdyje turime neperiodines trupmenas, tai viskas paprasčiau: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Kaip padalyti mišrų skaičių ar trupmeną iš dešimtainės dalies ir atvirkščiai
Šį veiksmą taip pat sumažiname iki operacijų su paprastosiomis trupmenomis. Norėdami tai padaryti, dešimtainius skaičius turite pakeisti atitinkamomis paprastosiomis trupmenomis ir parašyti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną.
Jei dalijame neperiodinę trupmeną iš paprasto ar mišriojo skaičiaus, turime elgtis priešingai, įprastą trupmeną arba mišrųjį skaičių pakeisdami atitinkama dešimtaine trupmena.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
