Trupmenų dauginimas ir dalijimas.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)
Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:
Pavyzdžiui:
Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia jo...
Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:
Pavyzdžiui:
Jei susiduriate su daugyba arba padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:
Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:
Kaip padaryti, kad ši frakcija atrodytų tinkamai? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:
Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje nesunku suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:
Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):
Antroje (išraiška dešinėje):
Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!
Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnelių, pvz.:
tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!
Ir taip pat labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:
Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.
Štai viskas operacijų su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!
Praktiniai patarimai:
1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Nėra bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai didžiulė būtinybė! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suklysti atliekant mintis skaičiavimus.
2. Pavyzdžiuose su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.
3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).
5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.
Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padarykite teisingas išvadas...
Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.
Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.
Apskaičiuoti:
Ar apsisprendei?
Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...
Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Norėdami išspręsti įvairias matematikos ir fizikos kursų problemas, turite padalyti trupmenas. Tai labai lengva padaryti, jei žinai tam tikros taisyklės atlikti šią matematinę operaciją.
Prieš pereidami prie trupmenų padalijimo taisyklės formulavimo, prisiminkime keletą matematinių terminų:
- Viršutinė trupmenos dalis vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu.
- Dalijant skaičiai vadinami taip: dividendas: daliklis = koeficientas
Kaip padalinti trupmenas: paprastosios trupmenos
Atlikti padalijimą iš dviejų paprastosios trupmenos padauginkite dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės. Ši trupmena taip pat vadinama apversta, nes ji gaunama sukeitus skaitiklį ir vardiklį. Pavyzdžiui:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Kaip padalinti trupmenas: mišrios frakcijos
Jei turime padalinti mišrias trupmenas, tai čia taip pat viskas yra gana paprasta ir aišku. Pirmiausia mišrią trupmeną paverčiame įprasta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, padauginkite tokios trupmenos vardiklį iš sveikojo skaičiaus ir pridėkite skaitiklį prie gautos sandaugos. Dėl to gavome naują skaitiklį mišri frakcija, o jo vardiklis išliks nepakitęs. Be to, trupmenų padalijimas bus atliekamas lygiai taip pat, kaip ir paprastų trupmenų padalijimas. Pavyzdžiui:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Kaip padalyti trupmeną iš skaičiaus
Norint padalyti paprastąją trupmeną iš skaičiaus, pastaroji turėtų būti rašoma trupmena (netaisyklinga). Tai padaryti labai paprasta: šis skaičius rašomas vietoje skaitiklio, o tokios trupmenos vardiklis lygus vienetui. Tolesnis padalijimas atliekamas įprastu būdu. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Kaip padalinti po kablelio
Dažnai suaugusiam žmogui be skaičiuoklės pagalbos sunku padalyti sveikąjį skaičių arba dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos.
Taigi padaryti padalijimą po kablelio, tereikia išbraukti kablelį daliklyje ir nebekreipti į tai dėmesio. Dividenduose kablelis turi būti perkeltas į dešinę tiksliai tiek vietų, kiek buvo daliklio trupmeninėje dalyje, prireikus pridedant nulius. Ir jie toliau gamina reguliarus padalijimas sveikuoju skaičiumi. Kad tai būtų aiškiau, apsvarstykite šį pavyzdį.
) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).
Trupmenų dauginimo formulė:
Pavyzdžiui:
Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.
Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Natūraliųjų skaičių dalybos.
Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:
Mišrių trupmenų dauginimas.
Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:
- mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
- trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
- sumažinti frakciją;
- Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišria trupmena.
Pastaba! Norėdami padauginti mišrią frakciją iš kitos mišrios frakcijos, pirmiausia turite jas sudėti į formą netinkamos trupmenos, o tada padauginkite pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.
Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.
Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.
Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūralusis skaičius Iš šio skaičiaus reikia padalyti trupmenos vardiklį, o skaitiklį palikti nepakeistą.
Iš aukščiau pateikto pavyzdžio aišku, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.
Daugiaaukštės trupmenos.
Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:
Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:
Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.
Pastaba, Pavyzdžiui:
Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:
Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:
1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau savo juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.
2. Užduotyse su skirtingų tipų trupmenomis pereikite prie paprastųjų trupmenų tipo.
3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.
5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.
Įprasti trupmeniniai skaičiai pirmą kartą susitinka su moksleiviais 5 klasėje ir lydi juos visą gyvenimą, nes kasdieniame gyvenime dažnai reikia svarstyti ar naudoti objektą ne kaip visumą, o atskirais gabalais. Pradėkite studijuoti šią temą – dalinkitės. Akcijos yra lygios dalys, į kurią padalintas tas ar kitas objektas. Juk ne visada galima išreikšti, pavyzdžiui, prekės ilgį ar kainą, kaip sveiką kažkokio mato dalių ar dalių skaičių. Sudarytas iš veiksmažodžio „skilti“ - padalyti į dalis ir turintis arabiškas šaknis, pats žodis „frakcija“ rusų kalboje atsirado VIII amžiuje.
Trupmeninės išraiškos ilgą laiką buvo laikomos sunkiausia matematikos šaka. XVII amžiuje, kai pasirodė pirmieji matematikos vadovėliai, jie buvo vadinami „skaldytais skaičiais“, o tai žmonėms buvo labai sunku suprasti.
Šiuolaikinė išvaizda paprastas trupmenines liekanas, kurių dalis skiria horizontali linija, pirmasis iškėlė Fibonacci – Leonardo iš Pizos. Jo darbai datuojami 1202 m. Tačiau šio straipsnio tikslas yra paprastai ir aiškiai paaiškinti skaitytojui, kaip dauginamos mišrios trupmenos su skirtingais vardikliais.
Trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas
Iš pradžių verta nustatyti trupmenų rūšys:
- teisingas;
- neteisingas;
- sumaišytas.
Toliau reikia prisiminti, kaip su trupmeniniais skaičiais dauginami tie patys vardikliai. Pačią šio proceso taisyklę nesunku suformuluoti savarankiškai: paprastų trupmenų su vienodais vardikliais dauginimo rezultatas yra trupmeninė išraiška, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra šių trupmenų vardiklių sandauga. . Tai yra, iš tikrųjų naujasis vardiklis yra vieno iš iš pradžių buvusių vardiklio kvadratas.
Dauginant paprastosios trupmenos su skirtingais vardikliais dėl dviejų ar daugiau veiksnių taisyklė nesikeičia:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Vienintelis skirtumas yra tas, kad gautas skaičius po trupmenine linija bus skirtingų skaičių sandauga ir, žinoma, vieno kvadratas skaitinė išraiška jo įvardinti neįmanoma.
Verta apsvarstyti trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimą naudojant pavyzdžius:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Pavyzdžiuose naudojami trupmeninių išraiškų mažinimo metodai. Jūs galite sumažinti tik skaitiklio skaičius, kai vardiklio skaičiai yra aukščiau arba žemiau trupmenos linijos.
Kartu su paprastosiomis trupmenomis yra ir mišrių trupmenų sąvoka. Mišrus skaičius susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies, tai yra, tai yra šių skaičių suma:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kaip veikia dauginimas?
Pateikiami keli pavyzdžiai.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Pavyzdyje naudojamas skaičiaus dauginimas iš paprastoji trupmeninė dalis, šio veiksmo taisyklė gali būti parašyta taip:
a* b/c = a*b /c.
Tiesą sakant, tokia sandauga yra identiškų trupmeninių liekanų suma, o terminų skaičius rodo šį natūralųjį skaičių. Ypatinga byla:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Yra ir kitas sprendimas, kaip skaičių padauginti iš trupmeninės liekanos. Jums tereikia padalyti vardiklį iš šio skaičiaus:
d* e/f = e/f: d.
Šią techniką naudinga naudoti, kai vardiklis dalijamas iš natūraliojo skaičiaus be liekanos arba, kaip sakoma, iš sveikojo skaičiaus.
Konvertuokite mišrius skaičius į netinkamas trupmenas ir gaukite sandaugą anksčiau aprašytu būdu:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Šis pavyzdys apima būdą, kaip mišrią trupmeną pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną, ji taip pat gali būti pavaizduota kaip bendroji formulė:
a bc = a*b+ c / c, kur naujos trupmenos vardiklis susidaro padauginus visą dalį iš vardiklio ir pridedant ją su pradinės trupmenos liekanos skaitikliu, o vardiklis lieka toks pat.
Šis procesas taip pat veikia išvirkščia pusė. Norėdami atskirti visą dalį ir trupmeninę likutį, netinkamos trupmenos skaitiklį turite padalyti iš vardiklio, naudodami „kampą“.
Netinkamų trupmenų dauginimas pagaminti visuotinai priimtu būdu. Rašydami po viena trupmenos eilute, turite kiek reikia sumažinti trupmenas, kad šiuo metodu sumažintumėte skaičius ir būtų lengviau apskaičiuoti rezultatą.
Internete yra daug pagalbininkų, padedančių išspręsti net sudėtingas matematines problemas įvairiose programų variacijose. Pakankamas tokių paslaugų skaičius siūlo savo pagalbą skaičiuojant trupmenų dauginimą su skirtingi skaičiai vardikliuose – vadinamieji internetiniai skaičiuotuvai trupmenoms skaičiuoti. Jie sugeba ne tik dauginti, bet ir atlikti visus kitus paprastus aritmetinius veiksmus su paprastosiomis trupmenomis ir mišriaisiais skaičiais. Su juo dirbti nėra sunku; užpildote atitinkamus svetainės puslapio laukus, pasirenkate matematinės operacijos ženklą ir spustelėkite „Apskaičiuoti“. Programa apskaičiuoja automatiškai.
Tema aritmetiniai veiksmai su trupmeniniais skaičiais yra aktualus visame vidurinių ir aukštųjų mokyklų mokinių ugdyme. Vidurinėje mokykloje jie nebelaiko paprasčiausių rūšių, bet sveikųjų skaičių trupmeninės išraiškos, tačiau anksčiau gautos žinios apie transformavimo ir skaičiavimų taisykles taikomos pirmine forma. Gerai įsisavintos pagrindinės žinios daugeliui suteikia visišką pasitikėjimą sėkmingu sprendimu sudėtingos užduotys.
Pabaigoje prasminga cituoti Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus žodžius, kurie rašė: „Žmogus yra trupmena. Žmogus negali padidinti savo skaitiklio – nuopelnų – bet kiekvienas gali sumažinti savo vardiklį – savo nuomonę apie save ir su šiuo mažėjimu priartėti prie savo tobulumo.
Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.
Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.
Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.
Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.
Pavadinimas:
Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.
Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ją, žinoma, reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.
Pagal apibrėžimą turime:
Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų
Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.
Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:
- Plius prie minuso duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad iš karto būtų „sudeginti“ keli trūkumai:
- Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
- Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame iš daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Tai, kas liko, padauginame pagal įprastas taisykles. Mes gauname:
Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).
Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiamus skaičius: dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.
Trupmenų mažinimas skrydžio metu
Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia pasirodo gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
Pagal apibrėžimą turime:
Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.
Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.
Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:
Jūs negalite to padaryti!
Klaida atsiranda todėl, kad sudėjus trupmenos skaitiklis sukuria sumą, o ne skaičių sandaugą. Vadinasi, neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.
Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra teisingas sprendimas Ankstesnė užduotis atrodo taip:
Teisingas sprendimas:
Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.
