სიმეტრიული განტოლებები. განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა განტოლებათა სიმეტრიული სისტემა ონლაინ

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:სწავლება განტოლებათა სისტემების ამოხსნის შემცველი ერთგვაროვანი განტოლება, განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები;
განვითარებადი: აზროვნების, ყურადღების, მეხსიერების განვითარება, მთავარის გამოკვეთის უნარი;
საგანმანათლებლო:კომუნიკაციის უნარის განვითარება.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის შესწავლის გაკვეთილი.

გამოყენებული სასწავლო ტექნოლოგიები:

ჯგუფებში მუშაობა;
დიზაინის მეთოდი.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილამდე ერთი კვირით ადრე მოსწავლეები იღებენ თემებს შემოქმედებითი დავალებისთვის (ოფციონის მიხედვით).
I ვარიანტი. განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები. გადაწყვეტილებები.
ვარიანტი II. სისტემები, რომლებიც შეიცავს ერთგვაროვან განტოლებას. გადაწყვეტილებები.

თითოეულმა სტუდენტმა დამატებითი საგანმანათლებლო ლიტერატურის გამოყენებით უნდა მოძებნოს შესაბამისი სასწავლო მასალა, აირჩიე განტოლებათა სისტემა და ამოხსენი.
თითოეული ვარიანტიდან ერთი მოსწავლე ქმნის მულტიმედია პრეზენტაციებს შემოქმედებითი ამოცანის თემაზე. მასწავლებელი საჭიროების შემთხვევაში უწევს კონსულტაციებს მოსწავლეებს.

I. მოტივაცია საგანმანათლებლო საქმიანობასტუდენტები

მასწავლებლის გახსნის სიტყვა
წინა გაკვეთილზე განვიხილეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა უცნობის ჩანაცვლებით. Ზოგადი წესიახალი ცვლადების არჩევანი არ არის. ამასთან, განტოლების სისტემის ორი ტიპი შეიძლება გამოიყოს, როდესაც არსებობს ცვლადების გონივრული არჩევანი:

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები;
განტოლებათა სისტემები, რომელთაგან ერთი ერთგვაროვანია.

II. ახალი მასალის სწავლა

მე-2 ვარიანტის მოსწავლეები მოხსენებას აკეთებენ საშინაო დავალების შესახებ.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის „ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემები“ სლაიდების ჩვენება (პრეზენტაცია 1).

2. იმავე მერხთან მსხდომ მოსწავლეთა წყვილებში მუშაობა: მე-2 ვარიანტის მოსწავლე თავის მეზობელს უხსნის ერთგვაროვანი განტოლების შემცველი სისტემის ამოხსნას.

1 ვარიანტის სტუდენტის ანგარიში.

1. მულტიმედიური პრეზენტაციის „განტოლებათა სიმეტრიული სისტემები“ სლაიდების დემონსტრირება (პრეზენტაცია 2).

მოსწავლეები რვეულებში წერენ:

2. იმავე მერხთან მსხდომ მოსწავლეთა წყვილებში მუშაობა: 1 ვარიანტის მოსწავლე თავის მეზობელს უხსნის განტოლებათა სიმეტრიული სისტემის ამონახს.

III. ნასწავლი მასალის განმტკიცება

მუშაობა ჯგუფურად (მოსწავლეები, რომლებიც გვერდით მერხებთან სხედან, გაერთიანებულნი არიან 4 მოსწავლის ჯგუფად).
6 ჯგუფიდან თითოეული ასრულებს შემდეგ დავალებას.

განსაზღვრეთ სისტემის ტიპი და გადაჭრით:

მოსწავლეები ჯგუფურად აანალიზებენ სისტემებს, ადგენენ მათ ტიპს, შემდეგ ფრონტალური მუშაობისას განიხილავენ სისტემების გადაწყვეტილებებს.

სისტემა

სიმეტრიული, შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები x+y=u, xy=v

ბ) სისტემა

შეიცავს ერთგვაროვან განტოლებას.

რიცხვების წყვილი (0;0) არ არის სისტემის გამოსავალი.

IV. მოსწავლის ცოდნის მონიტორინგი

დამოუკიდებელი მუშაობა ვარიანტებზე.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

მოსწავლეები მასწავლებელს გადასცემენ რვეულებს შესამოწმებლად.

V. საშინაო დავალება

1. შესრულებულია ყველა სტუდენტის მიერ.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

2. ასრულებენ „ძლიერი“ მოსწავლეები.

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

VI. გაკვეთილის შეჯამება

კითხვები:
რა ტიპის განტოლებათა სისტემები შეიტყვეთ კლასში?
განტოლებათა სისტემების ამოხსნის რა მეთოდი გამოიყენება მათ ამოსახსნელად?

გაკვეთილზე მოსწავლეების მიერ მიღებული შეფასებების მოხსენება.

მთავარი > გამოსავალი

რაციონალური განტოლებები და უტოლობა

I. რაციონალური განტოლებები.

წრფივი განტოლებები.

სისტემები წრფივი განტოლებები.

ორმხრივი განტოლებები.

ვიეტას ფორმულა უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრებისთვის.

მეორე ხარისხის განტოლებათა სისტემები.

განტოლებებისა და განტოლებათა სისტემების ამოხსნისას ახალი უცნობის შემოღების მეთოდი.

ჰომოგენური განტოლებები.

განტოლებათა სიმეტრიული სისტემების ამოხსნა.

განტოლებები და განტოლებათა სისტემები პარამეტრებით.

არაწრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი.

მოდულის ნიშნის შემცველი განტოლებები.

რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

II. რაციონალური უტოლობები.

ეკვივალენტური უტოლობების თვისებები.

ალგებრული უტოლობები.

ინტერვალის მეთოდი.

წილადი რაციონალური უტოლობა.

უტოლობა, რომელიც შეიცავს უცნობს აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნით.

უტოლობები პარამეტრებთან.

რაციონალური უტოლობების სისტემები.

უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა.

III. სკრინინგის ტესტი.

რაციონალური განტოლებები

ფორმის ფუნქცია

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, a 0, a 1,…, a n არის რამდენიმე რეალური რიცხვი, რომელსაც ეწოდება მთელი რაციონალური ფუნქცია.

P(x) = 0 ფორმის განტოლებას, სადაც P(x) არის მთელი რაციონალური ფუნქცია, ეწოდება მთლიანი რაციონალური განტოლება.

ფორმის განტოლება

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

სადაც P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) არის მთელი რაციონალური ფუნქციები, ე.წ. რაციონალური განტოლება.

გამოსავალი რაციონალური განტოლება P (x) / Q (x) = 0, სადაც P (x) და Q (x) არის პოლინომები (Q (x)  0), მცირდება განტოლების P (x) = 0 ამოხსნამდე და ფესვების დაკმაყოფილების შემოწმებამდე. მდგომარეობა Q (x)  0.

წრფივი განტოლებები.

ax+b=0 ფორმის განტოლებას, სადაც a და b ზოგიერთი მუდმივია, წრფივი განტოლება ეწოდება.

თუ a0, მაშინ წრფივ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x = -b /a.

თუ a=0; b0, მაშინ წრფივ განტოლებას ამონახსნები არ აქვს.

თუ a=0; b=0, მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლების გადაწერით ax = -b სახით, ადვილი მისახვედრია, რომ ნებისმიერი x არის წრფივი განტოლების ამონახსნი.

სწორი ხაზის განტოლებაა: y = ცული + b.

თუ წრფე გადის წერტილში X 0 და Y 0 კოორდინატებით, მაშინ ეს კოორდინატები აკმაყოფილებენ წრფის განტოლებას, ანუ Y 0 = aX 0 + b.

მაგალითი 1.1. ამოხსენით განტოლება

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

გამოსავალი. თანმიმდევრულად გახსენით ფრჩხილები, დაამატეთ მსგავსი ტერმინები და იპოვეთ x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

მაგალითი 1.2.ამოხსენით განტოლება

2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

გამოსავალი. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

პასუხი: .

მაგალითი 1.3. ამოხსენით განტოლება.

2x + 3 – 6 (x – 1) = 4 (x – 1) + 5.

გამოსავალი. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

- 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

წრფივი განტოლებათა სისტემები.

ფორმის განტოლება

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

სადაც a 1, b 1, …, a n, b არის რამდენიმე მუდმივი, რომელსაც ეწოდება წრფივი განტოლება n უცნობით x 1, x 2, …, x n.

განტოლებათა სისტემას წრფივი ეწოდება, თუ სისტემაში შემავალი ყველა განტოლება წრფივია. თუ სისტემა შედგება n უცნობისგან, მაშინ შესაძლებელია შემდეგი სამი შემთხვევა:

სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები;

სისტემას აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი;

სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

მაგალითი 2.4.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენებით, რომელიც შედგება სისტემის ნებისმიერი განტოლებისთვის ერთი უცნობის სხვა უცნობის სახით გამოხატვაში და შემდეგ ამ უცნობის მნიშვნელობის დანარჩენ განტოლებებში ჩანაცვლებისგან.

პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ: x= (8 – 3y) / 2. ამ გამოსახულებას ვცვლით მეორე განტოლებით და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას.

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. მეორე განტოლებიდან ვიღებთ y = 2. ამის გათვალისწინებით პირველი განტოლებიდან x = 1. პასუხი: (1 2) მაგალითი 2.5. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი. სისტემას არ აქვს ამონახსნები, რადგან სისტემის ორი განტოლება არ შეიძლება ერთდროულად დაკმაყოფილდეს (პირველი განტოლებიდან x + y = 3, ხოლო მეორედან x + y = 3.5).

პასუხი: არ არსებობს გამოსავალი.

მაგალითი 2.6. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი. სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი ამონახსნები, ვინაიდან მეორე განტოლება მიიღება პირველიდან 2-ზე გამრავლებით (ანუ, ფაქტობრივად, არსებობს მხოლოდ ერთი განტოლება ორი უცნობით).

პასუხი: უსასრულოდ ბევრი გამოსავალია.

მაგალითი 2.7. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

გამოსავალი. ხაზოვანი განტოლებების სისტემების ამოხსნისას მოსახერხებელია გამოიყენოს გაუსის მეთოდი, რომელიც შედგება სისტემის სამკუთხა ფორმაში გადაქცევისგან.

სისტემის პირველ განტოლებას ვამრავლებთ – 2-ზე და მიღებულ შედეგს დავუმატებთ მეორე განტოლებას, მივიღებთ – 3y + 6z = – 3. ეს განტოლება შეიძლება გადაიწეროს როგორც y – 2z = 1. პირველი განტოლების დამატება მესამე, მივიღებთ 7y = 7, ან y = 1.

ამრიგად, სისტემამ მიიღო სამკუთხა ფორმა

x + y – z = 2,

y = 1 მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ z = 0. y = 1 და z = 0 ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში ვპოულობთ x = 1. პასუხი: (1; 1; 0) მაგალითი 2.8. პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებზეა განტოლებათა სისტემა

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი? გამოსავალი. პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

ამ გამოხატვის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

ბოლო განტოლების გაანალიზებისას აღვნიშნავთ, რომ a = 3-ს აქვს ფორმა 0y = 0, ე.ი. ის დაკმაყოფილებულია y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობით. პასუხი: 3.

კვადრატული განტოლებები და განტოლებები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს მათზე.

ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი (a0);

x არის ცვლადი, რომელსაც ეწოდება კვადრატული განტოლება.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა.

პირველი, მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე ax 2 + bx + c = 0 a-ზე - ეს არ შეცვლის მის ფესვებს. მიღებული განტოლების ამოსახსნელად

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

მონიშნეთ მარცხენა მხარეს იდეალური მოედანი

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / ა) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).

მოკლედ, ჩვენ აღვნიშნავთ გამონათქვამს (b 2 – 4ac) D-ით. შემდეგ მიღებული იდენტობა იღებს ფორმას.

შესაძლებელია სამი შემთხვევა:

თუ რიცხვი D დადებითია (D > 0), მაშინ ამ შემთხვევაში შეგვიძლია გამოვყოთ D-დან Კვადრატული ფესვიდა ჩაწერეთ D სახით D = (D) 2. მერე

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, შესაბამისად, იდენტობა იღებს ფორმას

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით, აქედან გამომდინარეობს:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

თეორემა:თუ ვინაობა ინარჩუნებს

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

მაშინ კვადრატულ განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 X 1  X 2-სთვის აქვს ორი ფესვი X 1 და X 2, ხოლო X 1 = X 2-სთვის - მხოლოდ ერთი ფესვი X 1.

ამ თეორემის ძალით, ზემოთ მიღებული იდენტობიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

და ამრიგად, განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ორი ფესვი:

X 1 =(-b +  D) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a.

ამრიგად x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1) (x – x2).

ჩვეულებრივ, ეს ფესვები იწერება ერთი ფორმულით:

სადაც b 2 – 4ac = D.

თუ რიცხვი D არის ნული (D = 0), მაშინ იდენტურობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

იღებს ფორმას x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

აქედან გამომდინარეობს, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს 2 სიმრავლის ერთი ფესვი: X 1 = – b / 2a

3) თუ რიცხვი D უარყოფითია (D< 0), то – D >0 და, შესაბამისად, გამოხატულება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

არის ორი წევრის ჯამი, რომელთაგან ერთი არის არაუარყოფითი და მეორე დადებითი. ასეთი ჯამი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, ამიტომ განტოლება

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

არ აქვს ნამდვილი ფესვები. განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 არც აქვს ისინი.

ამრიგად, კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად, უნდა გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი

D = b 2 – 4ac.

თუ D = 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი:

თუ D > 0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).

თუ დ< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

თუ ერთ-ერთი კოეფიციენტი b ან c არის ნული, მაშინ კვადრატული განტოლება შეიძლება ამოიხსნას დისკრიმინანტის გამოთვლის გარეშე:

b = 0; c  0; გ/ა<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

ზოგადი კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0 გვხვდება ფორმულით

კვადრატულ განტოლებას, რომელშიც x 2 კოეფიციენტი უდრის 1-ს, ეწოდება შემცირებული. როგორც წესი, მოცემული კვადრატული განტოლება აღინიშნება შემდეგნაირად:

x 2 + px + q = 0.

ვიეტას თეორემა.

ჩვენ გამოვიყვანეთ იდენტობა

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1) (x - x2),

სადაც X 1 და X 2 არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c =0. მოდით გავხსნათ ფრჩხილები ამ იდენტობის მარჯვენა მხარეს.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2.

აქედან გამომდინარეობს, რომ X 1 + X 2 = – b / a და X 1 X 2 = c / a. ჩვენ დავამტკიცეთ შემდეგი თეორემა, რომელიც პირველად დაადგინა ფრანგმა მათემატიკოსმა ფ. ვიეტამ (1540 – 1603 წწ.):

თეორემა 1 (ვიეტა). კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის X-ის კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით და გაყოფილი X 2-ის კოეფიციენტზე; ამ განტოლების ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს გაყოფილი X 2-ის კოეფიციენტზე.

თეორემა 2 (საპირისპირო). თუ თანასწორობები დაკმაყოფილებულია

X 1 + X 2 = – b / a და X 1 X 2 = c / a,

მაშინ X 1 და X 2 რიცხვები არის კვადრატული განტოლების ფესვები ax 2 + bx + c = 0.

კომენტარი. ფორმულები X 1 + X 2 = – b / a და X 1 X 2 = c / a რჩება ჭეშმარიტი იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 აქვს ერთი ფესვი X 1 მრავალჯერადი 2-ის, თუ დავსვამთ X-ს. მითითებულ ფორმულებში 2 = X 1. აქედან გამომდინარე, ზოგადად მიღებულია, რომ D = 0-სთვის განტოლებას ax 2 + bx +c = 0 აქვს ორი ფესვი, რომლებიც ერთმანეთს ემთხვევა.

ვიეტას თეორემასთან დაკავშირებული ამოცანების ამოხსნისას სასარგებლოა მიმართებების გამოყენება

(1 / X 1) + (1/ X 2) = (X 1 + X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).

მაგალითი 3.9.ამოხსენით განტოლება 2x 2 + 5x – 1 = 0.

გამოსავალი. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

პასუხი: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

მაგალითი 3.10.ამოხსენით განტოლება x 3 – 5x 2 + 6x = 0

გამოსავალი. მოდით, განტოლების მარცხენა მხარე გავამრავლოთ x(x 2 – 5x + 6) = 0,

აქედან გამომდინარე, x = 0 ან x 2 – 5x + 6 = 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღებთ X 1 = 2, X 2 = 3.

პასუხი: 0; 2; 3.

მაგალითი 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. ამოხსნა. მოდით გადავიწეროთ განტოლება –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0 და ახლა ჯგუფი x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. პასუხი: x 1 = x 3 = 1, x 2 = – 2. მაგალითი 3.12. ამოხსენით განტოლება 7

(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)ხსნარი. მოდი ვიპოვოთ ტერიტორია მისაღები ღირებულებები x:X + 2  0; x – 6  0; 2x – 7  0 ან x  – 2; x  6; x  3.5 განტოლებას ვამცირებთ ფორმაზე (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), ვხსნით ფრჩხილებს 7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0.11x 3 – 93x 2 + 190x = 0.x(11x 2 – 93x + 190x1 = 01x1) – 93x + 190 = 0,93(8649 – 8360) 93  17 x 2,3 = = ,

იმათ. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.

ნაპოვნი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს ODZ-ს.

პასუხი: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38 / 11.

მაგალითი 3.13.ამოხსენით განტოლება x 6 – 5x 3 + 4 = 0

გამოსავალი. ავღნიშნოთ y = x 3, მაშინ ორიგინალური განტოლება იღებს ფორმას

y 2 – 5y + 4 = 0, რომლის ამოხსნით ვიღებთ Y 1 = 1; Y2 = 4.

ამრიგად, თავდაპირველი განტოლება უდრის სიმრავლეს

განტოლებები: x 3 = 1 ან x 3 = 4, ანუ X 1 = 1 ან X 2 = 3 4

პასუხი: 1; 3 4.

მაგალითი 3.14.ამოხსენით განტოლება (x 3 – 27) / (x – 3) = 27

გამოსავალი. მოდით გავზომოთ მრიცხველი (კუბების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით):

მოხსენება

სამეცნიერო ხელმძღვანელი: კულაბუხოვი სერგეი იურიევიჩი, ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა კანდიდატი, დონის როსტოვის ბავშვთა განათლებისა და მეცნიერების საგანმანათლებლო დაწესებულების მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულების დამატებითი განათლების მასწავლებელი.

1. განტოლებები ე.წ მე-3 ხარისხის სიმეტრიული განტოლებები, თუ ფორმა აქვთ
ცული 3 + bx 2 + bx + a = 0.

ამ ტიპის განტოლებების წარმატებით ამოხსნისთვის სასარგებლოა საპასუხო განტოლებების შემდეგი მარტივი თვისებების ცოდნა და გამოყენება:

ა)კენტი ხარისხის ნებისმიერ საპასუხო განტოლებას ყოველთვის აქვს ფესვი -1-ის ტოლი.

მართლაც, თუ მარცხენა მხარეს ტერმინებს დავაჯგუფებთ შემდეგნაირად: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, მაშინ შესაძლებელია საერთო ფაქტორის ამოღება, ე.ი. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, შესაბამისად,
x + 1 = 0 ან ax 2 + (b – a)x + a = 0, პირველი განტოლება ადასტურებს ჩვენთვის საინტერესო დებულებას.

ბ)საპასუხო განტოლებას არ აქვს ფესვები ნულის ტოლი.

V)უცნაური ხარისხის მრავალწევრის (x + 1-ზე) გაყოფისას, კოეფიციენტი ისევ განმეორებადი მრავალწევრია და ეს მტკიცდება ინდუქციით.

მაგალითი.

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.

გამოსავალი.

თავდაპირველ განტოლებას აუცილებლად აქვს ფესვი x = -1, ამიტომ ჩვენ ვყოფთ x 3 + 2x 2 + 2x + 1-ზე (x + 1) ჰორნერის სქემის მიხედვით:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.

კვადრატულ განტოლებას x 2 + x + 1 = 0 ფესვები არ აქვს.

პასუხი: -1.

2. განტოლებები ე.წ მე-4 ხარისხის სიმეტრიული განტოლებები, თუ ფორმა აქვთ
ცული 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

ამოხსნის ალგორითმიმსგავსი განტოლებებია:

ა)გაყავით ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე x 2-ზე. ეს მოქმედება არ გამოიწვევს ფესვის დაკარგვას, რადგან x = 0 არ არის მოცემული განტოლების ამონახსნი.

ბ)დაჯგუფების გამოყენებით მიიტანეთ განტოლება ფორმაში:

a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

V)შეიყვანეთ ახალი უცნობი: t = (x + 1/x).

გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . თუ ახლა გამოვხატავთ x 2 + 1/x 2, მაშინ t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.

გ)ამოხსენით მიღებული კვადრატული განტოლება ახალ ცვლადებში:

2 + bt + c – 2a = 0.

დ)შეასრულეთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

მაგალითი.

6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.

გამოსავალი.

6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.

6 (x 2 + 1/x 2) - 5 (x + 1/x) - 38 = 0.

შეიყვანეთ t: ჩანაცვლება (x + 1/x) = t. ჩანაცვლება: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, გვაქვს:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 ან t = 10/3.

დავუბრუნდეთ x ცვლადს. საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ ჩვენ ვხსნით მიღებულ ორ განტოლებას:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 ან x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 ან x = 1/3.

პასუხი: -2; -1/2; 1/3; 3.

უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების გარკვეული ტიპის ამოხსნის მეთოდები

1. განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფორმა (x + a) n + (x + ბ) n = c,იხსნება t = x + (a + b)/2 ჩანაცვლებით. ამ მეთოდს ე.წ სიმეტრიიზაციის მეთოდი.

ასეთი განტოლების მაგალითი იქნება (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ფორმის განტოლება.

მაგალითი.

(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.

გამოსავალი.

ჩვენ ვაკეთებთ ზემოთ ნახსენებ ჩანაცვლებას:

t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, გამარტივების შემდეგ: x = t – 2.

(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.

ფორმულების გამოყენებით ფრჩხილების ამოღებით, ჩვენ ვიღებთ:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.

t 4 + 6t 2 – 135 = 0.

t 2 = 9 ან t 2 = -15.

მეორე განტოლება არ იძლევა ფესვებს, მაგრამ პირველიდან გვაქვს t = ±3.

საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ, რომ x = -5 ან x = 1.

პასუხი: -5; 1.

ასეთი განტოლებების ამოხსნა ხშირად ეფექტურია განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორინგის მეთოდი.

2. ფორმის განტოლებები (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = A, სადაც a + d = c + b.

ასეთი განტოლებების ამოხსნის ტექნიკაა ფრჩხილების ნაწილობრივ გახსნა და შემდეგ ახალი ცვლადის შემოღება.

მაგალითი.

(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.

გამოსავალი.

ჩვენ ვიანგარიშებთ: 1 + 4 = 2 + 3. დააჯგუფეთ ფრჩხილები წყვილებად:

((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

ჩანაცვლების გაკეთება x 2 + 5x + 4 = t, გვაქვს განტოლება

t(t + 2) = 24, ეს არის კვადრატი:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 ან t = 4.

საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ადვილად ვპოულობთ საწყისი განტოლების ფესვებს.

პასუხი: -5; 0.

3. ფორმის განტოლებები (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = Ax 2, სადაც ad = cb.

ამოხსნის მეთოდი არის ფრჩხილების ნაწილობრივ გახსნა, ორივე მხარის გაყოფა x 2-ზე და ამოხსნის კვადრატული განტოლებათა სიმრავლე.

მაგალითი.

(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.

გამოსავალი.

მარცხენა მხარეს პირველი ორი და ბოლო ორი ფრჩხილის გამრავლებით მივიღებთ:

(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. გავყოთ x 2 ≠ 0-ზე.

(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. ჩანაცვლებით (x + 24/x) = t მივდივართ კვადრატულ განტოლებამდე:

(t + 14) (t + 11) = 4;

t 2 + 25x + 150 = 0.

t = 10 ან t = 15.

საპირისპირო ჩანაცვლებით x + 24/x = 10 ან x + 24/x = 15, ვიპოვით ფესვებს.

პასუხი: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. ამოხსენით განტოლება (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.

გამოსავალი.

ძნელია ამ განტოლების დაუყოვნებლივ კლასიფიკაცია და ამოხსნის მეთოდის არჩევა. ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ გარდაქმნით კვადრატებისა და კუბების განსხვავების გამოყენებით:

((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. შემდეგ, საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგ, მივდივართ მარტივ განტოლებამდე:

(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.

პასუხი: -5; -9 ± √33.

დავალება.

ააგეთ მესამე ხარისხის მრავალწევრი, რომელშიც ერთ ფესვს 4-ის ტოლი აქვს 2-ის სიმრავლე და ფესვს -2-ის ტოლი.

გამოსავალი.

f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) ან f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).

პირველი ორი ფრჩხილის გამრავლებით და მსგავსი ტერმინების მოყვანით მივიღებთ: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).

x 3 – 6x 2 + 32 არის მესამე ხარისხის მრავალწევრი, ამიტომ q(x) არის რაღაც რიცხვი რ(ანუ რეალური). მოდით q(x) იყოს ერთი, შემდეგ f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

პასუხი: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით განტოლებების ამოხსნა?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.

შესავალი

სიმეტრია... არის იდეა, რომლის მეშვეობითაც ადამიანი საუკუნეების მანძილზე ცდილობდა გაეგო და შეექმნა წესრიგი, სილამაზე და სრულყოფილება.

სიმეტრიის კონცეფცია ვრცელდება კაცობრიობის ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში. იგი წარმოიშვა ცოცხალი ორგანიზმის, კერძოდ, ადამიანის შესწავლასთან დაკავშირებით და გამოიყენებოდა მოქანდაკეების მიერ ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე V საუკუნეში. ე.
სიტყვა "სიმეტრია" ბერძნულია. ეს ნიშნავს "პროპორციულობას", "პროპორციულობას", ნაწილების განლაგების ერთგვაროვნებას. იგი ფართოდ გამოიყენება ყველა მიმართულებით გამონაკლისის გარეშე. თანამედროვე მეცნიერება.
ბევრი დიდი ადამიანი ფიქრობდა ამ ნიმუშზე. მაგალითად, ლ.ნ. ტოლსტოიმ თქვა: „შავი დაფის წინ ვიდექი და მასზე ცარცით სხვადასხვა ფიგურებს ვხატავდი, უცებ გამიელვა აზრმა: რატომ არის სიმეტრია მკაფიო თვალისთვის? რა არის სიმეტრია? თანდაყოლილი გრძნობაა. რას ეფუძნება იგი? ”
მართლაც, სიმეტრია სასიამოვნოა თვალისთვის. ვინ არ აღფრთოვანებულა ბუნების შემოქმედების სიმეტრიით: ფოთლები, ყვავილები, ფრინველები, ცხოველები; ანუ ადამიანის შემოქმედება: შენობები, ტექნოლოგია, - ყველაფერი, რაც ბავშვობიდან გვახვევია, ყველაფერი, რაც სილამაზისა და ჰარმონიისკენ ისწრაფვის.
სიმეტრია (ძველი ბერძნული συμμετρία - "პროპორციულობა"), ფართო გაგებით - უცვლელობა ნებისმიერი ტრანსფორმაციის დროს. მაგალითად, სხეულის სფერული სიმეტრია ნიშნავს, რომ სხეულის გარეგნობა არ შეიცვლება, თუ იგი სივრცეში ბრუნავს თვითნებური კუთხით (ერთი წერტილის შენარჩუნებით). ორმხრივი სიმეტრია ნიშნავს, რომ სწორი და მარცხენა მხარენებისმიერ თვითმფრინავთან შედარებით, ისინი ერთნაირად გამოიყურებიან.
სიმეტრიას ყველგან ვხვდებით - ბუნებაში, ტექნოლოგიაში, ხელოვნებაში, მეცნიერებაში. შევნიშნოთ, მაგალითად, პეპლისა და ნეკერჩხლის ფოთლისთვის დამახასიათებელი სიმეტრია, მანქანისა და თვითმფრინავის სიმეტრია, სიმეტრია ლექსისა და მუსიკალური ფრაზის რიტმულ სტრუქტურაში, ორნამენტებისა და საზღვრების სიმეტრია, სიმეტრია. მოლეკულების და კრისტალების ატომური სტრუქტურის შესახებ. სიმეტრიის ცნება გადის ადამიანის შემოქმედების მთელ მრავალსაუკუნოვან ისტორიაში. ის უკვე გვხვდება ადამიანის ცოდნის საწყისებში; მას ფართოდ იყენებენ თანამედროვე მეცნიერების ყველა სფერო გამონაკლისის გარეშე. სიმეტრიის პრინციპები მნიშვნელოვან როლს ასრულებს ფიზიკასა და მათემატიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, ტექნოლოგიასა და არქიტექტურაში, ფერწერასა და ქანდაკებაში, პოეზიასა და მუსიკაში. ბუნების კანონები, რომლებიც მართავენ ფენომენების ამოუწურავ სურათს მათი მრავალფეროვნებით, თავის მხრივ, ექვემდებარება სიმეტრიის პრინციპებს.

მიზნები:

განვიხილოთ სიმეტრიის სახეები და ტიპები;

გააანალიზეთ როგორ და სად გამოიყენება სიმეტრია;

განვიხილოთ, როგორ გამოიყენება სიმეტრია სკოლის ალგებრის კურსში

Სიმეტრია.
სიტყვა "სიმეტრიას" აქვს ორმაგი ინტერპრეტაცია. ერთი გაგებით, სიმეტრიული ნიშნავს რაღაც ძალიან პროპორციულს, დაბალანსებულს; სიმეტრია გვიჩვენებს მრავალი ნაწილის კოორდინაციას, რომლის დახმარებით ისინი გაერთიანებულია მთლიანობაში. ამ სიტყვის მეორე მნიშვნელობა არის ბალანსი. არისტოტელემ ასევე ისაუბრა სიმეტრიაზე, როგორც მდგომარეობაზე, რომელიც ხასიათდება უკიდურესობათა ურთიერთობით. ამ განცხადებადან გამომდინარეობს, რომ არისტოტელე, ალბათ, ყველაზე ახლოს იყო ბუნების ერთ-ერთი ფუნდამენტური კანონის - მისი ორმაგობის კანონის აღმოჩენასთან.
აუცილებელია ხაზი გავუსვა ასპექტებს, რომელთა გარეშე სიმეტრია შეუძლებელია:
1) ობიექტი არის სიმეტრიის მატარებელი; ნივთები, პროცესები, გეომეტრიული ფიგურები, მათემატიკური გამონათქვამები, ცოცხალი ორგანიზმები და ა.შ.

2) საგნის ზოგიერთი მახასიათებელი - რაოდენობები, თვისებები, მიმართებები, პროცესები, ფენომენები, რომლებიც უცვლელი რჩება სიმეტრიის გარდაქმნების დროს; მათ უწოდებენ ინვარიანტებს ან უცვლელებს.

3) ცვლილებები (ობიექტის), რომელიც ტოვებს ობიექტს თავის იდენტურს უცვლელი მახასიათებლების მიხედვით; ასეთ ცვლილებებს სიმეტრიის გარდაქმნები ეწოდება;

4) ობიექტის თვისება, რომ შერჩეული მახასიათებლების მიხედვით გარდაიქმნას საკუთარ თავში შესაბამისი ცვლილებების შემდეგ.

ამრიგად, სიმეტრია გამოხატავს რაღაცის შენარჩუნებას გარკვეული ცვლილებების მიუხედავად ან რაღაცის შენარჩუნებას ცვლილების მიუხედავად. სიმეტრია გულისხმობს არა მხოლოდ თავად ობიექტის, არამედ მისი ნებისმიერი თვისების უცვლელობას ობიექტზე შესრულებულ გარდაქმნებთან მიმართებაში. გარკვეული ობიექტების უცვლელობა შეიძლება შეინიშნოს სხვადასხვა ოპერაციებთან მიმართებაში - ბრუნვა, თარგმნა, ნაწილების ურთიერთგამოცვლა, ანარეკლები და ა.შ. ამასთან დაკავშირებით ისინი ხაზს უსვამენ განსხვავებული ტიპებისიმეტრია.

ასიმეტრია

ასიმეტრია არის სიმეტრიის არარსებობა ან დარღვევა.
არქიტექტურაში სიმეტრია და ასიმეტრია სივრცითი ფორმის რეგულარული ორგანიზაციის ორი საპირისპირო მეთოდია. ასიმეტრიული კომპოზიციები არქიტექტურის განვითარების პროცესში წარმოიშვა, როგორც რთული კომბინაციების განსახიერება ცხოვრების პროცესებიდა გარემო პირობები.

დისიმეტრია

ჩვენ მოვუწოდებთ გატეხილი, ნაწილობრივ დარღვევის სიმეტრიას დისიმეტრია .
დისიმეტრია ცოცხალ ბუნებაში გავრცელებული ფენომენია. ასევე დამახასიათებელია ადამიანისთვის. ადამიანი დისიმეტრიულია, მიუხედავად იმისა, რომ მისი სხეულის კონტურებს აქვს სიმეტრიის სიბრტყე. დისიმეტრია მოქმედებს
ერთი ხელის უკეთესი კონტროლი, გულის და მრავალი სხვა ორგანოს ასიმეტრიული განლაგება, ამ ორგანოების სტრუქტურაში.
დისიმეტრიები ადამიანის სხეულიარქიტექტურაში ზუსტი სიმეტრიიდან გადახრები ასევე მსგავსია. როგორც წესი, ისინი გამოწვეულია პრაქტიკული აუცილებლობით, იმით, რომ ფუნქციების მრავალფეროვნება არ ჯდება ხისტი სიმეტრიის კანონების საზღვრებში. ზოგჯერ ასეთი გადახრები იძლევა მწვავე ემოციური ეფექტის საფუძველს.

^ მათემატიკასა და მეცნიერებაში ნაპოვნი სიმეტრიის სახეები:

ორმხრივი სიმეტრია- სარკის ასახვის სიმეტრია, რომლის დროსაც ობიექტს აქვს სიმეტრიის ერთი სიბრტყე, რომლის მიმართაც მისი ორი ნახევარი სარკე სიმეტრიულია. ცხოველებში ორმხრივი სიმეტრია ვლინდება სხეულის მარცხენა და მარჯვენა ნახევრის მსგავსებაში ან თითქმის სრულ იდენტურობაში. ამ შემთხვევაში ყოველთვის არის შემთხვევითი გადახრები სიმეტრიიდან (მაგალითად, პაპილარული ხაზების განსხვავება, სისხლძარღვების განშტოება. ხშირად არის მცირე, მაგრამ რეგულარული განსხვავებები. გარე სტრუქტურადა უფრო მნიშვნელოვანი განსხვავებები სხეულის მარჯვენა და მარცხენა ნახევარს შორის მდებარეობაში შინაგანი ორგანოები. მაგალითად, ძუძუმწოვრებში გული ჩვეულებრივ მოთავსებულია ასიმეტრიულად, მარცხნივ გადაადგილებით.

ცხოველებში, ევოლუციაში ორმხრივი სიმეტრიის გამოჩენა ასოცირდება სუბსტრატის გასწვრივ (რეზერვუარის ფსკერზე) სეირნობასთან, რის გამოც ჩნდება სხეულის დორსალური და ვენტრალური, ასევე მარჯვენა და მარცხენა ნახევარი. ზოგადად, ცხოველებს შორის ორმხრივი სიმეტრია უფრო გამოხატულია აქტიურად მოძრავ ფორმებში, ვიდრე მჯდომარეებში, მცენარეებში, როგორც წესი, ორმხრივი სიმეტრია აქვს არა მთელ ორგანიზმს, არამედ მის ცალკეულ ნაწილებს - ფოთლებს ან ყვავილებს. ბოტანიკოსები ორმხრივ სიმეტრიულ ყვავილებს ზიგომორფებს უწოდებენ.

^ N-ე რიგის სიმეტრია- სიმეტრია ნებისმიერი ღერძის გარშემო 360°/ნ კუთხით ბრუნვის მიმართ. აღწერილია Zn ჯგუფის მიერ.

ღერძული სიმეტრია(რადიალური სიმეტრია, სხივის სიმეტრია) - სიმეტრიის ფორმა, რომელშიც სხეული (ან ფიგურა) ემთხვევა თავის თავს, როდესაც ობიექტი ბრუნავს გარკვეული წერტილის ან ხაზის გარშემო. ხშირად ეს წერტილი ემთხვევა ობიექტის სიმეტრიის ცენტრს, ანუ იმ წერტილს, სადაც
ორმხრივი სიმეტრიის ღერძების უსასრულო რაოდენობა იკვეთება. გეომეტრიულ ობიექტებს, როგორიცაა წრე, ბურთი, ცილინდრი ან კონუსი, აქვთ რადიალური სიმეტრია. აღწერილია SO(2) ჯგუფის მიერ.

↑ სფერული სიმეტრია- სიმეტრია ბრუნვის მიმართ სამგანზომილებიან სივრცეში თვითნებური კუთხით. აღწერილია SO(3) ჯგუფის მიერ. სივრცის ან საშუალო ლოკალურ სფერულ სიმეტრიას ასევე უწოდებენ იზოტროპიას.

^ ბრუნვის სიმეტრია- ტერმინი, რომელიც ნიშნავს ობიექტის სიმეტრიას m-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ყველა ან ზოგიერთი სწორი ბრუნვის მიმართ.

^ სიმეტრია ცხოველებსა და ადამიანებში.

სიმეტრია სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია მნიშვნელოვანი ნიშანი, რომელიც ასახავს ცხოველის სტრუქტურის, ცხოვრების წესის და ქცევის თავისებურებებს. თევზის ცურვისთვის აუცილებელია სიმეტრიული ფორმა; ჩიტი საფრენად. ასე რომ, სიმეტრია ბუნებაში არსებობს მიზეზის გამო: ის ასევე სასარგებლოა, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიზანშეწონილი. ბიოლოგიაში სიმეტრიის ცენტრს აქვს: ყვავილები, მედუზა, ვარსკვლავური თევზი და ა.შ. სიმეტრიის ფორმების არსებობა უკვე ჩანს უმარტივესში - ერთუჯრედიანში (ცილიატები, ამები).ადამიანის სხეული აგებულია ორმხრივი პრინციპით. სიმეტრია. ტვინი ორ ნაწილად იყოფა. ადამიანის სხეულის ზოგადი სიმეტრიის სრული დაცვით, თითოეული ნახევარსფერო მეორის თითქმის ზუსტი სარკისებური გამოსახულებაა. ადამიანის სხეულის ძირითადი მოძრაობებისა და მისი სენსორული ფუნქციების კონტროლი თანაბრად ნაწილდება ტვინის ორ ნახევარსფეროს შორის. მარცხენა ნახევარსფეროაკონტროლებს მარჯვენა მხარეტვინი, ხოლო მარჯვენა - მარცხენა მხარე. კვლევებმა აჩვენა, რომ სიმეტრიული სახე უფრო მიმზიდველია. მკვლევარები ასევე ამტკიცებენ, რომ ადამიანს აქვს სრულყოფილი პროპორციებიარის ნიშანი იმისა, რომ მისი მფლობელის ორგანიზმი კარგად არის მომზადებული ინფექციებთან საბრძოლველად. ჩვეულებრივი გაციება, ასთმა და გრიპი უფრო მეტად გაუმჯობესდება იმ ადამიანებში, რომელთა მარცხენა მხარე ზუსტად მათ მარჯვენას ჰგავს. ტანსაცმელში კი ადამიანი, როგორც წესი, ასევე ცდილობს შეინარჩუნოს სიმეტრიის შთაბეჭდილება: მარჯვენა ყდის შეესაბამება მარცხენას, მარჯვენა შარვლის ფეხი - მარცხენას. პიჯაკისა და პერანგზე ღილები ზუსტად შუაზე ზის და თუ მისგან მოშორდება, მაშინ სიმეტრიულ დისტანციებზე. და ამავე დროს, ზოგჯერ ადამიანი ცდილობს ხაზი გაუსვას და გააძლიეროს განსხვავება მარცხენასა და მარჯვენას შორის. შუა საუკუნეებში მამაკაცები ერთ დროს შარვალს შარვალთან ერთად ატარებდნენ სხვადასხვა ფერები(მაგალითად, ერთი წითელი და მეორე შავი ან თეთრი). მაგრამ
ასეთი მოდა ყოველთვის ხანმოკლეა. მხოლოდ ტაქტიანი, მოკრძალებული გადახრები სიმეტრიისგან რჩება დიდი ხნის განმავლობაში.

სიმეტრია ხელოვნებაში

ზოგადად ხელოვნებაში და კონკრეტულად სახვითი ხელოვნებაში სიმეტრია სათავეს იღებს რეალობაში, რომელიც სავსეა სიმეტრიულად განლაგებული ფორმებით.
კომპოზიციის სიმეტრიული ორგანიზაცია ხასიათდება მისი ნაწილების წონასწორობით მასაში, ტონში, ფერში და თანაბარ ფორმაში. ასეთ შემთხვევებში ერთი ნაწილი მეორის თითქმის სარკისებური გამოსახულებაა. სიმეტრიულ კომპოზიციებს ყველაზე ხშირად აქვთ გამოხატული ცენტრი. როგორც წესი, იგი ემთხვევა სურათის სიბრტყის გეომეტრიულ ცენტრს. თუ გაქრობის წერტილი ცენტრიდან არის გადატანილი, ერთ-ერთი ნაწილი უფრო დატვირთულია მასებით, ან გამოსახულება დიაგონალზეა აგებული, ეს ყველაფერი კომპოზიციას დინამიზმს ანიჭებს და გარკვეულწილად არღვევს იდეალურ წონასწორობას.
სიმეტრიის წესს იყენებდნენ მოქანდაკეებიც Უძველესი საბერძნეთი. მაგალითია ზევსისა და ოლიმპიას ტაძრის დასავლეთ ფრონტონის კომპოზიცია. მას საფუძვლად უდევს ლაპიტების (ბერძნების) ბრძოლა კენტავრებთან ღმერთის აპოლონის თანდასწრებით. მოძრაობა კიდეებიდან ცენტრისკენ თანდათან ძლიერდება. ის მაქსიმალურ ექსპრესიულობას აღწევს ორი ახალგაზრდა მამაკაცის გამოსახულებაში, რომლებიც კენტავრებს ატრიალებდნენ. მზარდი მოძრაობა, როგორც ჩანს, მაშინვე ჩერდება აპოლონის ფიგურის მიდგომებთან, რომელიც მშვიდად და დიდებულად დგას ფრონტონის ცენტრში.
ძველი წელთაღრიცხვით მე-5 საუკუნის ცნობილი მხატვრების დაკარგული ნამუშევრების იდეა. ე. შეიძლება შედგენილი იყოს უძველესი ვაზის ნახატებიდან და პომპეის ფრესკებიდან, შთაგონებული, როგორც მკვლევარები მიიჩნევენ, კლასიკური ეპოქის ბერძენი ოსტატების ნამუშევრებით...
სიმეტრიული კომპოზიციები შეიმჩნეოდა აგრეთვე ჩვენს წელთაღრიცხვამდე IV-III საუკუნეების ბერძენ ოსტატებს შორის. ე. ეს შეიძლება ვიმსჯელოთ ფრესკების ასლებიდან. პომპეის ფრესკებში მთავარი ფიგურები პირამიდული კომპოზიციის ცენტრშია, რომელიც ხასიათდება სიმეტრიით.
მხატვრები ხშირად მიმართავდნენ სიმეტრიის წესებს, როდესაც ასახავდნენ საზეიმო ხალხმრავალ შეხვედრებს, აღლუმებს, შეხვედრებს დიდ დარბაზებში და ა.შ.
ადრეული რენესანსის მხატვრები დიდ ყურადღებას აქცევდნენ სიმეტრიის წესს, რასაც მონუმენტური მხატვრობა მოწმობს (მაგალითად, ჯოტოს ფრესკები). მაღალი რენესანსის დროს იტალიურმა კომპოზიციამ სიმწიფეს მიაღწია. მაგალითად, ნახატზე „წმინდა ანა მარიამთან და ყრმა ქრისტესთან“ ლეონარდო და ვინჩი აწყობს სამ ფიგურას ზევით მიმართულ სამკუთხედად. ქვედა მარჯვენა კუთხეში ის გვაძლევს კრავის ფიგურას, რომელსაც პატარა ქრისტე უჭირავს. ყველაფერი ისეა მოწყობილი, რომ ამ სამკუთხედის გამოცნობა მხოლოდ ფიგურათა მოცულობით-სივრცითი ჯგუფის ქვეშაა შესაძლებელი.
ლეონარდო და ვინჩის ბოლო ვახშამი ასევე შეიძლება ეწოდოს სიმეტრიულ კომპოზიციას. ეს ფრესკა გვიჩვენებს დრამატულ მომენტს, როდესაც
ქრისტემ თავის მოწაფეებს უთხრა: „ერთი თქვენგანი გამცემს მე“. მოციქულთა ფსიქოლოგიური რეაქცია ამ წინასწარმეტყველურ სიტყვებზე პერსონაჟებს აკავშირებს კომპოზიციურ ცენტრთან, რომელშიც ქრისტეს ფიგურა მდებარეობს. ამ ცენტრიდანული კომპოზიციიდან მთლიანობის შთაბეჭდილებას კიდევ უფრო აძლიერებს ის ფაქტი, რომ მხატვარმა სატრაპეზო პერსპექტიულად აჩვენა სარკმლის შუაში პარალელური ხაზების გაქრობის წერტილით, რომლის წინააღმდეგაც აშკარად არის დახატული ქრისტეს თავი. ამრიგად, მაყურებლის მზერა უნებურად არის მიმართული სურათის ცენტრალურ ფიგურაზე.
სიმეტრიის შესაძლებლობებს წარმოაჩენს ნამუშევრებს შორის, ასევე შეიძლება დავასახელოთ რაფაელის „მარიამობის ნიშნობა“, სადაც რენესანსისთვის დამახასიათებელმა კომპოზიციურმა ტექნიკამ ყველაზე სრულყოფილი გამოხატულება ჰპოვა.
ვ.მ. ვასნეცოვის ნახატი "ბოგატირები" ასევე აგებულია სიმეტრიის წესის საფუძველზე. კომპოზიციის ცენტრია ილია მურომეცის ფიგურა. მარცხნივ და მარჯვნივ, თითქოს სარკისებურად, არიან ალიოშა პოპოვიჩი და დობრინია ნიკიტიჩი. ფიგურები განლაგებულია სურათის სიბრტყის გასწვრივ, მშვიდად სხედან ცხენებზე. კომპოზიციის სიმეტრიული კონსტრუქცია შედარებით სიმშვიდის მდგომარეობას გადმოსცემს. მარცხენა და მარჯვენა ფიგურები მასობრივად ერთნაირი არ არის, რაც ავტორის იდეოლოგიური გეგმით არის განპირობებული. მაგრამ ორივე მათგანი ნაკლებად ძლიერია მურომეცის ფიგურასთან შედარებით და, მთლიანობაში, სრულ ბალანსს ანიჭებს კომპოზიციას.
კომპოზიციის სტაბილურობა მაყურებელს აძლევს ნდობის განცდას გმირების, რუსული მიწის დამცველების დაუმარცხებლობის მიმართ. უფრო მეტიც, „ბოგატირსში“ მოქმედებაში გადასვლის ზღვარზე მყოფი დაძაბული სიმშვიდის მდგომარეობაა გადმოცემული. ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია ასევე ატარებს დროსა და სივრცეში დინამიური მოძრაობის ჩანასახს.

სიმეტრია ალგებრაში.

კვადრატული განტოლების ფესვების უმარტივესი სიმეტრიული გამონათქვამები გვხვდება ვიეტას თეორემაში. ეს საშუალებას აძლევს მათ გამოიყენონ კვადრატულ განტოლებასთან დაკავშირებული ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრაში. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 1:

Კვადრატული განტოლება აქვს ფესვები და. ამ განტოლების ამოხსნის გარეშე გამოვხატავთ მეშვეობით და ჯამებს, . გამოთქმა სიმეტრიულია და . მოდით გამოვხატოთ ისინი + და ში და შემდეგ გამოვიყენოთ ვიეტას თეორემა.