Online kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika dva i bilo kojeg drugog broja brojeva.
Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM
Pronađite GCD i LOC
Pronađen GCD i LOC: 5806
Kako koristiti kalkulator
- Unesite brojeve u polje za unos
- Ako unesete netočne znakove, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
- kliknite gumb "Pronađi GCD i LOC".
Kako unositi brojeve
- Brojevi se unose odvojeni razmakom, točkom ili zarezom
- Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško
Što su GCD i NOC?
Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik više brojeva je najmanji broj koji je djeljiv svakim od početnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.
Kako provjeriti da li je broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?
Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.
Neki znakovi djeljivosti brojeva
1. Test djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: Gledamo posljednju znamenku: 8 - to znači da je broj djeljiv s dva.
2. Test djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s tri. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako je zbroj znamenki vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.
3. Test djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.
4. Test djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.
Kako pronaći GCD i LCM dva broja
Kako pronaći gcd dva broja
Najviše na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronalaženje svih mogućih djelitelja tih brojeva i odabir najvećeg od njih.
Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):
- Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
- Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 = 4 - to je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.
Kako pronaći LCM dva broja
Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dva broja. Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima odabrati broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.
Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:
- Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva
Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. U tu svrhu se brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju na glavni faktori, zatim pronađite umnožak zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također možete upotrijebiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: NOT(a, b, c) = NOT(NOT(a, b), c).
Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.
- Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
- Njihov umnožak će dati GCD: 1·2·2 = 4
- Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
Matematički izrazi i zadaci zahtijevaju mnogo dodatnog znanja. NOC je jedan od glavnih, posebno se često koristi u Tema se proučava u srednjoj školi, a nije osobito teško razumjeti gradivo; osoba koja poznaje potencije i tablicu množenja neće imati poteškoća u prepoznavanju potrebnih brojeva i otkrivanju proizlaziti.
Definicija
Zajednički višekratnik je broj koji se može potpuno podijeliti na dva broja istovremeno (a i b). Najčešće se taj broj dobiva množenjem izvornih brojeva a i b. Broj mora biti djeljiv s oba broja odjednom, bez odstupanja.
NOC je prihvaćena oznaka kratko ime, sabrano od prvih slova.
Načini dobivanja broja
Metoda množenja brojeva nije uvijek prikladna za pronalaženje LCM-a; puno je prikladnija za jednostavne jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Uobičajeno je dijeliti na faktore; što je veći broj, to će faktora biti više.
Primjer br. 1
Za najjednostavniji primjer, škole obično koriste proste, jednoznamenkaste ili dvoznamenkaste brojeve. Na primjer, trebate riješiti sljedeći zadatak, pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 7 i 3, rješenje je vrlo jednostavno, samo ih pomnožite. Kao rezultat toga, postoji broj 21, jednostavno nema manjeg broja.
Primjer br. 2
Druga verzija zadatka je mnogo teža. Dati su brojevi 300 i 1260, pronalaženje LOC-a je obavezno. Za rješavanje problema pretpostavljaju se sljedeće radnje:
Rastavljanje prvog i drugog broja na proste faktore. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je završena.
Druga faza uključuje rad s već dobivenim podacima. Svaki od primljenih brojeva mora sudjelovati u izračunavanju konačnog rezultata. Za svaki množitelj najviše veliki broj pojave. NOC je ukupni broj, dakle, faktori iz brojeva moraju se ponavljati u njemu, svaki pojedini, čak i oni koji su prisutni u jednom primjerku. Oba početna broja sadrže brojeve 2, 3 i 5, in različite stupnjeve, 7 je prisutan samo u jednom slučaju.
Da biste izračunali konačni rezultat, trebate uzeti svaki broj u najvećoj potenciji predstavljenoj u jednadžbi. Ostaje još samo pomnožiti i dobiti odgovor, ako je točno ispunjen, zadatak se sastoji od dva koraka bez objašnjenja:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
To je cijeli problem, ako pokušate izračunati traženi broj množenjem, tada odgovor definitivno neće biti točan, jer 300 * 1260 = 378 000.
Ispitivanje:
6300 / 300 = 21 - točno;
6300 / 1260 = 5 - točno.
Točnost dobivenog rezultata utvrđuje se provjerom - dijeljenjem LCM-a s oba izvorna broja; ako je broj u oba slučaja cijeli broj, tada je odgovor točan.
Što NOC znači u matematici?
Kao što znate, u matematici ne postoji niti jedna beskorisna funkcija, ova nije iznimka. Najčešća svrha ovog broja je svođenje razlomaka na zajednički nazivnik. Što se obično uči u razredima 5-6 Srednja škola. Također je dodatno zajednički djelitelj za sve višekratnike, ako su takvi uvjeti prisutni u problemu. Takav izraz može pronaći višekratnik ne samo dva broja, već i mnogo većeg broja - tri, pet i tako dalje. Što je više brojeva, to je više radnji u zadatku, ali se složenost ne povećava.
Na primjer, s obzirom na brojeve 250, 600 i 1500, trebate pronaći njihov zajednički LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ovaj primjer detaljno opisuje rastavljanje na faktore, bez redukcije.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Za sastavljanje izraza potrebno je navesti sve faktore, u ovom slučaju su navedeni 2, 5, 3 - za sve te brojeve potrebno je odrediti maksimalni stupanj.
Pažnja: svi faktori moraju biti dovedeni do točke potpunog pojednostavljenja, ako je moguće, dekomponirani na razinu jednoznamenkastih brojeva.
Ispitivanje:
1) 3000 / 250 = 12 - točno;
2) 3000 / 600 = 5 - točno;
3) 3000 / 1500 = 2 - točno.
Ova metoda ne zahtijeva nikakve trikove ili sposobnosti na razini genija, sve je jednostavno i jasno.
Drugi način
U matematici su mnoge stvari povezane, mnoge stvari se mogu riješiti na dva ili više načina, isto vrijedi i za nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, LCM. Sljedeća metoda može se koristiti u slučaju jednostavnih dvoznamenkastih i jednoznamenkastih brojeva. Sastavlja se tablica u koju se okomito upisuje množitelj, vodoravno množitelj, a umnožak se označava u ćelijama stupca koje se sijeku. Tablicu možete odraziti linijom, uzeti broj i zapisati rezultate množenja ovog broja cijelim brojevima, od 1 do beskonačnosti, ponekad je dovoljno 3-5 točaka, drugi i sljedeći brojevi prolaze kroz isti proces izračunavanja. Sve se događa dok se ne pronađe zajednički višekratnik.
S obzirom na brojeve 30, 35, 42, trebate pronaći LCM koji povezuje sve brojeve:
1) Višekratnici od 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Višekratnici od 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Višekratnici od 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Primjetno je da su svi brojevi prilično različiti, jedini zajednički broj im je 210, pa će to biti NOO. Među procesima uključenim u ovaj izračun postoji i najveći zajednički djelitelj, koji se izračunava prema sličnim principima i često se susreće u susjednim problemima. Razlika je mala, ali prilično značajna, LCM uključuje izračunavanje broja koji se dijeli sa svim danim početnim vrijednostima, a GCD uključuje izračunavanje najveća vrijednost kojima se dijele izvorni brojevi.
Višekratnik je broj koji je djeljiv sa dati broj bez traga. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim brojem u grupi bez ostavljanja ostatka. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, trebate pronaći proste faktore zadanih brojeva. LCM se također može izračunati korištenjem brojnih drugih metoda koje se primjenjuju na grupe od dva ili više brojeva.
Koraci
Serije višekratnika
- Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa možete koristiti ovu metodu.
-
Višekratnik je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Višekratnike možete pronaći u tablici množenja.
- Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Zapiši niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja kako biste usporedili dva skupa brojeva.
- Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.
-
Pronađite najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika. Možda ćete morati napisati dug niz višekratnika da biste pronašli ukupni broj. Najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.
- Na primjer, najmanji broj, koji je prisutan u nizu višekratnika brojeva 5 i 8, je broj 40. Prema tome, 40 je najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8.
Rastavljanje na proste faktore
-
Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki veći od 10. Ako su dati manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.
- Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da možete koristiti ovu metodu.
-
Rastavi prvi broj na proste faktore. To jest, morate pronaći takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, rezultirati danim brojem. Nakon što pronađete proste faktore, zapišite ih kao jednakosti.
- Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) I 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti faktori broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Napiši ih kao izraz: .
-
Rastavite drugi broj na proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste faktorizirali prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dati zadani broj.
- Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) I 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz: .
-
Zapiši faktore zajedničke obama brojevima. Zapišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok pišete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju rastavljanje brojeva na proste faktore).
- Na primjer, oba broja imaju zajednički faktor 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\times ) i prekrižite 2 u oba izraza.
- Ono što je zajedničko obama brojevima je još jedan faktor 2, pa zapiši 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a drugo 2 precrtajte u oba izraza.
-
Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.
- Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) Oba dvojca (2) su prekrižena jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije prekrižen, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
- U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvije (2) također su prekrižene. Faktori 7 i 3 nisu prekriženi, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
-
Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.
- Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84 je 420.
Pronalaženje zajedničkih faktora
-
Nacrtajte mrežu kao za igru tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s druge dvije paralelne crte. To će vam dati tri retka i tri stupca (mreža izgleda dosta poput ikone #). Napišite prvi broj u prvi redak i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.
- Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30. Napišite broj 18 u prvi red i drugi stupac, a broj 30 napišite u prvi red i treći stupac.
-
Pronađite zajednički djelitelj oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti primarne faktore, ali to nije uvjet.
- Na primjer, 18 i 30 su Parni brojevi, pa će njihov zajednički faktor biti 2. Dakle, zapišite 2 u prvi red i prvi stupac.
-
Svaki broj podijelite prvim djeliteljem. Svaki kvocijent napiši pod odgovarajućim brojem. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.
- Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa ispod 18 napiši 9.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa zapišite 15 ispod 30.
-
Pronađite zajednički djelitelj obama količnicima. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, upišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.
- Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.
-
Podijelite svaki kvocijent s drugim djeliteljem. Svaki rezultat dijeljenja upiši ispod odgovarajućeg kvocijenta.
- Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa ispod 9 napiši 3.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa ispod 15 napiši 5.
-
Ako je potrebno, dodajte dodatne ćelije u mrežu. Ponavljajte opisane korake dok količnici ne dobiju zajednički djelitelj.
-
Zaokružite brojeve u prvom stupcu i zadnjem retku rešetke. Zatim zapišite odabrane brojeve kao operaciju množenja.
- Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u zadnjem redu, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).
-
Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.
- Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30 je 90.
Euklidov algoritam
-
Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj s kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji preostane kada se dva broja podijele.
- Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
15 je dividenda
6 je djelitelj
2 je kvocijent
3 je ostatak.
- Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki manji od 10. Ako je zadana velike brojke, koristite drugu metodu.
Definicija. Najveći prirodni broj kojim su brojevi a i b podijeljeni bez ostatka naziva se najveći zajednički djelitelj (GCD) ove brojke.
Nađimo najveći zajednički djelitelj brojeva 24 i 35.
Djelitelji broja 24 su brojevi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a djelitelji broja 35 su brojevi 1, 5, 7, 35.
Vidimo da brojevi 24 i 35 imaju samo jedan zajednički djelitelj – broj 1. Takvi se brojevi nazivaju međusobno prosti.
Definicija. Prirodni brojevi se nazivaju međusobno prosti, ako je njihov najveći zajednički djelitelj (NOD) 1.
Najveći zajednički djelitelj (GCD) mogu se pronaći bez ispisivanja svih djelitelja zadanih brojeva.
Rastavljajući brojeve 48 i 36 na faktore, dobivamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Od faktora koji su uključeni u proširenje prvog od ovih brojeva, križamo one koji nisu uključeni u proširenje drugog broja (tj. dvije dvojke).
Preostali faktori su 2 * 2 * 3. Njihov umnožak je jednak 12. Ovaj broj je najveći zajednički djelitelj brojeva 48 i 36. Pronađen je i najveći zajednički djelitelj tri ili više brojeva.
Pronaći najveći zajednički djelitelj
2) od faktora uključenih u proširenje jednog od tih brojeva prekrižite one koji nisu uključeni u proširenje drugih brojeva;
3) pronaći umnožak preostalih faktora.
Ako su svi dati brojevi djeljivi s jednim od njih, onda je ovaj broj djeljiv najveći zajednički djelitelj zadani brojevi.
Na primjer, najveći zajednički djelitelj brojeva 15, 45, 75 i 180 je broj 15, jer su njime djeljivi svi ostali brojevi: 45, 75 i 180.
Najmanji zajednički višekratnik (LCM)
Definicija. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) prirodni brojevi a i b su najmanji prirodni broj koji je višekratnik i a i b. Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva 75 i 60 može se pronaći bez zapisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavimo 75 i 60 na proste faktore: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i pribrojimo im faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja drugog broja (tj. kombiniramo faktore).
Dobivamo pet faktora 2 * 2 * 3 * 5 * 5, čiji je umnožak 300. Ovaj broj je najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60.
Također pronalaze najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva.
Do pronaći najmanji zajednički višekratnik nekoliko prirodnih brojeva, potrebno je:
1) rastavite ih na proste faktore;
2) zapišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva;
3) dodati im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva;
4) pronaći umnožak rezultirajućih faktora.
Imajte na umu da ako je jedan od ovih brojeva djeljiv sa svim ostalim brojevima, tada je taj broj najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Na primjer, najmanji zajednički višekratnik brojeva 12, 15, 20 i 60 je 60 jer je djeljiv sa svim tim brojevima.
Pitagora (VI. st. pr. Kr.) i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj, jednak zbroju Sve njegove djelitelje (bez samog broja) nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u 1. stoljeću. n. e. Peti - 33.550.336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već je bilo poznato 27 savršenih brojeva. Ali znanstvenici još uvijek ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.
Zanimanje starih matematičara za proste brojeve proizlazi iz činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao umnožak prostih brojeva, tj. prosti brojevi su kao cigle od kojih su sagrađeni ostali prirodni brojevi.
Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi manje uobičajeni. Postavlja se pitanje postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi “Elementi”, koja je dvije tisuće godina bila glavni udžbenik matematike, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja stoji još veći prost broj. broj.
Za pronalaženje prostih brojeva, drugi grčki matematičar iz istog vremena, Eratosten, smislio je ovu metodu. Zapisao je sve brojeve od 1 do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije ni prost ni složeni broj, zatim precrtao kroz jedan sve brojeve koji dolaze iza 2 (brojevi koji su višekratnici 2, tj. 4, 6, 8, itd.). Prvi preostali broj nakon 2 bio je 3. Zatim, nakon dva, svi brojevi koji dolaze nakon 3 (brojevi koji su bili višekratnici 3, tj. 6, 9, 12, itd.) su prekriženi. na kraju su samo prosti brojevi ostali neprekrižani.
Materijal prikazan u nastavku logičan je nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - najmanji zajednički višekratnik, definicija, primjeri, veza između LCM i GCD. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), I Posebna pažnja Usredotočimo se na rješavanje primjera. Prvo ćemo pokazati kako se LCM dva broja izračunava pomoću GCD ovih brojeva. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva na proste faktore. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na pronalaženje LCM-a tri ili više brojeva, a također ćemo obratiti pozornost na izračunavanje LCM-a negativnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) putem GCD-a
Jedan način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik temelji se na odnosu između LCM i GCD. Postojeća veza između LCM i GCD omogućuje nam izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju pozitivnih cijelih brojeva preko poznatog najvećeg zajedničkog djelitelja. Odgovarajuća formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Pogledajmo primjere pronalaženja LCM-a pomoću dane formule.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva 126 i 70.
Riješenje.
U ovom primjeru a=126 , b=70 . Poslužimo se vezom između LCM i GCD izraženom formulom LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega pomoću zapisane formule možemo izračunati LCM tih brojeva.
Nađimo GCD(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, dakle, GCD(126, 70)=14.
Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: NOD(126, 70)=126·70:NOD(126, 70)= 126·70:14=630.
Odgovor:
LCM(126, 70)=630.
Primjer.
Čemu je jednako LCM(68, 34)?
Riješenje.
Jer 68 je djeljiv sa 34, tada je GCD(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: NOD(68, 34)=68·34:NOD(68, 34)= 68·34:34=68.
Odgovor:
LCM(68, 34)=68.
Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv s b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.
Pronalaženje LCM rastavljanjem brojeva na proste faktore
Drugi način pronalaska najmanjeg zajedničkog višekratnika temelji se na rastavljanju brojeva na proste faktore. Ako sastavite umnožak od svih prostih faktora zadanih brojeva, a zatim iz tog umnoška isključite sve zajedničke proste faktore prisutne u dekompoziciji danih brojeva, tada će rezultirajući umnožak biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku danih brojeva .
Navedeno pravilo za određivanje LCM slijedi iz jednakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Doista, umnožak brojeva a i b jednak je umnošku svih faktora uključenih u proširenje brojeva a i b. Zauzvrat, GCD(a, b) jednak je umnošku svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (kao što je opisano u odjeljku o pronalaženju GCD-a korištenjem ekspanzije brojeva u proste faktore).
Navedimo primjer. Recimo da je 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Sastavimo umnožak svih faktora ovih proširenja: 2·3·3·5·5·5·7 . Sada iz ovog umnoška isključujemo sve faktore prisutne i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (ovi faktori su 3 i 5), tada će umnožak imati oblik 2·3·5·5·7 . Vrijednost ovog umnoška jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Primjer.
Rastavite brojeve 441 i 700 na proste faktore i pronađite najmanji zajednički višekratnik tih brojeva.
Riješenje.
Rastavimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:
Dobivamo 441=3·3·7·7 i 700=2·2·5·5·7.
Kreirajmo sada umnožak svih faktora uključenih u proširenje ovih brojeva: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Isključimo iz ovog umnoška sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tako, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Odgovor:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za pronalaženje LCM-a korištenjem faktorizacije brojeva na proste faktore može se formulirati malo drugačije. Ako se faktorima iz proširenja broja a dodaju faktori koji nedostaju iz proširenja broja b, tada će vrijednost dobivenog umnoška biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.
Na primjer, uzmimo iste brojeve 75 i 210, njihova dekompozicija na proste faktore je sljedeća: 75=3·5·5 i 210=2·3·5·7. Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 pribrojimo nedostajuće faktore 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo umnožak 2·3·5·5·7 čija je vrijednost jednako LCM(75, 210).
Primjer.
Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.
Riješenje.
Prvo dobivamo rastave brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2·2·3·7 i 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorima 2, 2, 3 i 7 iz proširenja broja 84 pribrojimo faktore koji nedostaju 2, 3, 3 i 3 iz proširenja broja 648, dobijemo umnožak 2 2 2 3 3 3 3 7, što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.
Odgovor:
LCM(84, 648)=4,536.
Pronalaženje LCM tri ili više brojeva
Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se pronaći uzastopnim pronalaženjem LCM dvaju brojeva. Prisjetimo se odgovarajućeg teorema, koji daje način da se pronađe LCM tri ili više brojeva.
Teorema.
Neka su zadani pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k tih brojeva nalazi se sekvencijalnim izračunavanjem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Razmotrimo primjenu ovog teorema na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiriju brojeva.
Primjer.
Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.
Riješenje.
U ovom primjeru, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Prvo nalazimo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, odredimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, dakle, GCD(140, 9)=1 , odakle NOD(140, 9)=140 9:NOT(140, 9)= 140·9:1=1,260. Odnosno, m 2 =1 260.
Sada nalazimo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), koji također određujemo pomoću Euklidovog algoritma: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada je gcd(1,260, 54)=18, iz čega je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Odnosno, m 3 =3 780.
Ostaje samo pronaći m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3,780, 250) koristeći Euklidov algoritam: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prema tome, GCM(3,780, 250)=10, odakle je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To jest, m 4 =94,500.
Dakle, najmanji zajednički višekratnik originalna četiri broja je 94 500.
Odgovor:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
U mnogim je slučajevima prikladno pronaći najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva korištenjem prostih faktora danih brojeva. U ovom slučaju, trebali biste se pridržavati sljedeće pravilo. Najmanji zajednički višekratnik više brojeva jednak je umnošku koji se sastavlja na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja pribrajaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja treći se broj dodaje dobivenim faktorima, i tako dalje.
Pogledajmo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika korištenjem proste faktorizacije.
Primjer.
Odredi najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84, 6, 48, 7, 143.
Riješenje.
Prvo, dobivamo dekompozicije ovih brojeva na proste faktore: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prost broj, poklapa se s njegovim rastavljanjem na proste faktore) i 143=11·13.
Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7), trebate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Rastavljanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u rastavljanju prvog broja 84. Dalje, faktorima 2, 2, 3 i 7 dodamo faktore 2 i 2 koji nedostaju iz proširenja trećeg broja 48, dobivamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Neće biti potrebno dodavati množitelje ovom skupu u sljedećem koraku, budući da je 7 već sadržano u njemu. Na kraju faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 pribrajamo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobivamo umnožak 2·2·2·2·3·7·11·13, što je jednako 48,048.
