Razlika prirodnih logaritama. Logaritamske formule. Logaritmi primjeri rješenja

U vezi sa

može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja iz druga dva zadana. Ako su zadani a, a zatim N, oni se nalaze potenciranjem. Ako su N i a zadani vađenjem korijena iz stupnja x (ili podizanjem na potenciju). Sada razmotrite slučaj kada, za dane a i N, trebamo pronaći x.

Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .

Definicija. Logaritam broja N na bazu a je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobio broj N; logaritam je označen sa

Dakle, u jednakosti (26.1) eksponent se nalazi kao logaritam od N na bazu a. Postovi

imaju isto značenje. Jednakost (26.1) ponekad se naziva glavnim identitetom teorije logaritama; u stvarnosti izražava definiciju pojma logaritma. Po ovu definiciju Baza logaritma a uvijek je pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da svaki broj sa zadanom bazom ima točno definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan; u suprotnom zaključak ne bi bio opravdan, budući da je jednakost istinita za bilo koju vrijednost x i y.

Primjer 1. Pronađite

Riješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na potenciju Dakle.

Prilikom rješavanja takvih primjera možete napraviti bilješke u sljedećem obliku:

Primjer 2. Pronađite .

Riješenje. Imamo

U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam tako da smo logaritamski broj predstavili kao potenciju baze s racionalnim eksponentom. U općem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pozornost na jedno pitanje vezano uz ovu izjavu. U paragrafu 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne potencije zadanog pozitivnog broja. To je bilo potrebno radi uvođenja logaritama, koji, općenito govoreći, mogu biti iracionalni brojevi.

Pogledajmo neka svojstva logaritama.

Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedan, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedan, onda su broj i baza jednaki.

Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle

Obrnuto, neka Onda po definiciji

Svojstvo 2. Logaritam od jedan prema bilo kojoj bazi jednak je nuli.

Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta potencija bilo koje pozitivne baze jednaka je jedinici, vidi (10.1)). Odavde

Q.E.D.

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je , tada je N = 1. Doista, imamo .

Prije nego što formuliramo sljedeće svojstvo logaritama, dogovorimo se da dva broja a i b leže s iste strane trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od tih brojeva veći od c, a drugi manji od c, tada ćemo reći da leže duž različite strane sa sela

Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani od jedan, tada je logaritam pozitivan; Ako broj i baza leže na suprotnim stranama od jedan, tada je logaritam negativan.

Dokaz svojstva 3 temelji se na činjenici da je potencija a veća od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Potencija je manja od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.

Postoje četiri slučaja za razmatranje:

Ograničit ćemo se na analizu prvog od njih, ostalo će čitatelj razmotriti sam.

Neka onda u jednakosti eksponent ne može biti ni negativan ni jednak nuli, dakle, pozitivan je, tj. kao što se i traži.

Primjer 3. Odredite koji su od dolje navedenih logaritama pozitivni, a koji negativni:

Rješenje, a) budući da se broj 15 i baza 12 nalaze na istoj strani od jedan;

b) budući da se 1000 i 2 nalaze na jednoj strani jedinice; u ovom slučaju nije važno da je baza veća od logaritamskog broja;

c) budući da 3.1 i 0.8 leže na suprotnim stranama jedinice;

G) ; Zašto?

d) ; Zašto?

Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritmiranja: ona omogućuju, znajući logaritme nekih brojeva, pronaći logaritme njihovog proizvoda, kvocijenta i stupnja svakog od njih.

Svojstvo 4 (pravilo logaritma umnoška). Logaritam umnoška nekoliko pozitivnih brojeva na zadanu bazu jednak zbroju logaritmi ovih brojeva na istu bazu.

Dokaz. Neka su zadani brojevi pozitivni.

Za logaritam njihovog umnoška zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:

Odavde ćemo pronaći

Uspoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobivamo traženu jednakost:

Imajte na umu da je uvjet bitan; logaritam umnoška dvaju negativnih brojeva ima smisla, ali u ovom slučaju dobivamo

Općenito, ako je proizvod nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama apsolutnih vrijednosti tih faktora.

Svojstvo 5 (pravilo za logaritmiranje kvocijenata). Logaritam kvocijenta pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama djelitelja i djelitelja, uzetih na istu bazu. Dokaz. Dosljedno nalazimo

Q.E.D.

Svojstvo 6 (pravilo logaritma potencije). Logaritam potencije bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženom s eksponentom.

Dokaz. Zapišimo ponovno glavni identitet (26.1) za broj:

Q.E.D.

Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu radikala podijeljenom s eksponentom korijena:

Valjanost ove posljedice može se dokazati zamišljanjem kako i korištenjem svojstva 6.

Primjer 4. Uzmite logaritam za bazu a:

a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (pretpostavlja se da ).

Rješenje, a) Pogodno je ići na razlomke u ovom izrazu:

Na temelju jednakosti (26.5)-(26.7), sada možemo napisati:

Primjećujemo da se s logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego sa samim brojevima: pri množenju se brojevima zbrajaju njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.

Zato se u računskoj praksi koriste logaritmi (vidi paragraf 29).

Obrnuto djelovanje logaritma naziva se potenciranje, naime: potenciranje je djelovanje kojim se iz zadanog logaritma broja nalazi sam broj. U biti, potenciranje nije nikakva posebna radnja: ono se svodi na dizanje baze na potenciju (jednaku logaritmu broja). Izraz "potenciranje" može se smatrati sinonimom pojma "potenciranje".

Prilikom potenciranja morate koristiti pravila obrnuta pravilima logaritmiranja: zbroj logaritama zamijenite logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom kvocijenta itd. Osobito, ako je faktor ispred predznaka logaritma, tada se prilikom potenciranja mora prenijeti u stupnjeve eksponenta pod predznakom logaritma.

Primjer 5. Nađi N ako je poznato da

Riješenje. U vezi s upravo navedenim pravilom potenciranja, faktore 2/3 i 1/3 koji stoje ispred predznaka logaritama s desne strane ove jednakosti prenijet ćemo u eksponente ispod predznaka tih logaritama; dobivamo

Sada razliku logaritama zamijenimo logaritmom kvocijenta:

da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (točka 25).

Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, tada veći broj ima veći logaritam (a manji broj ima manji), ako je baza manja od jedan, tada veći broj ima manji logaritam (a manji broj ima veći).

Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za logaritmiranje nejednakosti, čije su obje strane pozitivne:

Kod logaritmiranja nejednakosti na bazu veću od jedan, znak nejednakosti se čuva, a kod logaritmiranja na bazu manju od jedan, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan (vidi i paragraf 80).

Dokaz se temelji na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada If , then and, uzimajući logaritme, dobivamo

(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde

Slučaj a slijedi, čitatelj će sam shvatiti.

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

4. Gdje .

Primjer 2. Nađi x ako

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu točno obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici ispitni papiri. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Logaritamske formule. Logaritmi primjeri rješenja.

Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u konvencionalnim numerički izrazi. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednim” učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam od b na bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći potenciju x () pri kojoj je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se gotovo svi zadaci i primjeri vezani uz logaritme rješavaju na temelju njih. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kod izračunavanja formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susrećete. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na bazi deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava s lg(x).

Na snimci se jasno vidi da u snimci nisu zapisane osnovne stvari. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je baza eksponent (označen s ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je odnosom

Zadani materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski plan i program i sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složeni izraz pojednostavljuje se u obliku pomoću niza pravila

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2. Nađi x ako

Riješenje. Za izračun primjenjujemo na posljednji izraz 5 i 13 svojstava

Stavili smo to u zapisnik i tugujemo

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbroj njenih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte izračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jedno važna tema- logaritamske nejednakosti...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez gotovo ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva malo pojašnjenja. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Kako se društvo razvijalo, a proizvodnja postajala sve složenija, tako se razvijala i matematika. Kretanje od jednostavnog prema složenom. Od običnog računovodstva metodom zbrajanja i oduzimanja, uz njihovo opetovano ponavljanje, došli smo do pojma množenje i dijeljenje. Smanjenje ponovljene operacije množenja postalo je koncept potenciranja. Prve tablice ovisnosti brojeva o bazi i broju potenciranja sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasena. Iz njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Povijesna crtica

Preporod Europe u 16. stoljeću potaknuo je i razvoj mehanike. T zahtijevao veliku količinu računanja vezane uz množenje i dijeljenje višeznamenkasti brojevi. Drevni stolovi bili su od velike usluge. Dopustili su zamjenu složene operacije na jednostavnije – zbrajanje i oduzimanje. Veliki korak naprijed bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizirao zamisao mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za potencije u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614. Škot John Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi pojam "logaritam broja". Sastavljene su nove složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangensa. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati nove tablice koje su znanstvenici uspješno koristili tri stoljeća. Prošlo je dosta vremena prije nova operacija u algebri je dobila svoj potpuni oblik. Dana je definicija logaritma i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, pojavom kalkulatora i računala, čovječanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspješno funkcionirale kroz 13. stoljeće.

Danas logaritam od b s bazom a zovemo broj x koji je potencija od a da čini b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) bio bi jednak 2. Ovo je očito ako slijedite definiciju. Ako 3 podignemo na potenciju 2, dobit ćemo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje: brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija naziva se realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Pažnja: 1 na bilo koju potenciju jednak je 1.

Prava vrijednost logaritma definirano samo kada su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u području matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o veličini njihove baze:

Pravila i ograničenja

Temeljno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam umnoška jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave bit će: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocijent funkcije jednak je razlici funkcija.

Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Ne treba raditi uobičajenu pogrešku - logaritam zbroja nije jednak zbroju logaritama.

Stoljećima je operacija pronalaženja logaritma bila prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije proširenja polinoma:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdje je n - prirodni broj veći od 1, što određuje točnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teorema o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma umnoška.

Budući da je ova metoda vrlo radno intenzivna i pri rješavanju praktičnih problema teško implementirati, koristili smo unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je znatno ubrzalo sav posao.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su dali manju točnost, ali su značajno ubrzali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a(x), konstruirana preko nekoliko točaka, omogućuje korištenje običnog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. inženjeri Dugo vrijeme U te svrhe korišten je tzv. milimetarski papir.

U 17. stoljeću pojavili su se prvi pomoćni analogni računalni uvjeti koji 19. stoljeća dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj nazvan je klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerski proračuni, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računala učinila je besmislenom upotrebu bilo kojih drugih uređaja.

Jednadžbe i nejednadžbe

Za rješavanje raznih jednadžbi i nejednadžbi pomoću logaritama koriste se sljedeće formule:

Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Kao posljedica prethodne opcije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

Vrijednost logaritma bit će pozitivna samo ako su baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma bit će negativna.
Ako se funkcija logaritma primijeni na desnu i lijevu stranu nejednadžbe, a baza logaritma je veća od jedan, tada je znak nejednadžbe sačuvan; inače se mijenja.

Uzorak problema

Razmotrimo nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri s rješavanjem jednadžbi:

Razmotrimo opciju stavljanja logaritma na potenciju:

Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rješenje: u uvjetima zadatka unos je sličan sljedećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je jednak 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, čini se daleko od toga stvaran život da je logaritam iznenada stekao veliki značaj opisati objekte stvarnog svijeta. Teško je pronaći znanost u kojoj se to ne koristi. Ovo je unutra do kraja odnosi se ne samo na prirodna, već i na humanitarna područja znanja.

Logaritamske ovisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika uvijek su se razvijale matematičkim istraživačkim metodama, a ujedno su bile i poticaj za razvoj matematike, pa tako i logaritma. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navedimo samo dva primjera opisivanja fizikalnih zakona pomoću logaritma.

Problem izračuna tako složene veličine kao što je brzina rakete može se riješiti korištenjem formule Ciolkovskog, koja je postavila temelje teorije istraživanja svemira:

V = I * ln (M1/M2), gdje je

V je konačna brzina zrakoplova.
I – specifični impuls motora.
M 1 – početna masa rakete.
M 2 – konačna masa.

Još jedan važan primjer- ovo se koristi u formuli još jednog velikog znanstvenika Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

S – termodinamičko svojstvo.
k – Boltzmannova konstanta.
Ω je statistička težina različitih stanja.

Kemija

Manje je očita uporaba formula u kemiji koje sadrže omjer logaritama. Navedimo samo dva primjera:

Nernstova jednadžba, uvjet redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
Izračun takvih konstanti kao što su indeks autolize i kiselost otopine također se ne može učiniti bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I uopće nije jasno kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao obrnuti omjer vrijednosti intenziteta podražaja prema vrijednosti nižeg intenziteta.

Nakon navedenih primjera, više ne čudi što se tema logaritma naširoko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogli bi se napisati cijeli tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez povezanosti s tom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada se radi o zakonima prirode geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Popis može biti beskrajan. Nakon što ste svladali osnovne principe ove funkcije, možete uroniti u svijet beskrajne mudrosti.