Preliminarne informacije
Opseg svakog ravnog geometrijskog lika u ravnini definiran je kao zbroj duljina svih njegovih stranica. Trokut u tome nije iznimka. Prvo dajemo pojam trokuta, kao i vrste trokuta ovisno o stranicama.
Definicija 1
Trokut ćemo zvati geometrijski lik, koji se sastoji od tri točke spojene segmentima (slika 1).
Definicija 2
Točke unutar Definicije 1 nazivat ćemo vrhovima trokuta.
Definicija 3
Segmenti u okviru definicije 1 zvati ćemo stranice trokuta.
Očito će svaki trokut imati 3 vrha kao i 3 stranice.
Ovisno o međusobnom omjeru stranica, trokuti se dijele na skale, jednakokračne i jednakostranične.
Definicija 4
Za trokut se kaže da je razmjeran ako niti jedna njegova stranica nije jednaka niti jednoj drugoj.
Definicija 5
Trokut ćemo nazvati jednakokračnim ako su mu dvije stranice jednake jedna drugoj, ali nisu jednake trećoj strani.
Definicija 6
Trokut se naziva jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake jedna drugoj.
Sve vrste ovih trokuta možete vidjeti na slici 2.
Kako pronaći obod skalenskog trokuta?
Neka nam je dan razmjerni trokut sa duljinama stranica jednakim $α$, $β$ i $γ$.
Zaključak: Da biste pronašli opseg razmjernog trokuta, zbrojite sve duljine njegovih stranica.
Primjer 1
Nađite opseg razmjernog trokuta jednak $34$ cm, $12$ cm i $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: 57 dolara vidi.
Primjer 2
Nađi opseg pravokutnog trokuta čiji su kraci $6$ i $8$ cm.
Prvo, pomoću Pitagorinog teorema nalazimo duljinu hipotenusa ovog trokuta. Označi ga onda s $α$
$α=10$ Prema pravilu za izračunavanje opsega skalanskog trokuta dobivamo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: 24 dolara vidi.
Kako pronaći opseg jednakokračnog trokuta?
Neka nam je zadan jednakokračni trokut čije će duljine stranica biti jednake $α$, a duljina baze jednaka $β$.
Po definiciji perimetra ravnog geometrijskog lika, dobivamo to
$P=α+α+β=2α+β$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakokračnog trokuta, dodajte dvostruku duljinu njegovih stranica duljini njegove baze.
Primjer 3
Nađi opseg jednakokračnog trokuta ako su njegove stranice $12$ cm, a baza $11$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: 35 dolara vidi.
Primjer 4
Nađi opseg jednakokračnog trokuta ako je njegova visina povučena do baze iznosi $8$ cm, a baza $12$ cm.
Razmotrimo sliku prema stanju problema:
Budući da je trokut jednakokračan, $BD$ je također medijan, dakle $AD=6$ cm.
Po Pitagorinom teoremu, iz trokuta $ADB$ nalazimo stranicu. Označi ga onda s $α$
Prema pravilu za izračunavanje opsega jednakokračnog trokuta dobivamo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32 dolara vidi.
Kako pronaći opseg jednakostraničnog trokuta?
Neka nam je dan jednakostranični trokut s duljinama svih strana jednakim $α$.
Po definiciji perimetra ravnog geometrijskog lika, dobivamo to
$P=α+α+α=3α$
Zaključak: Da biste pronašli opseg jednakostraničnog trokuta, pomnožite duljinu stranice trokuta s 3$.
Primjer 5
Nađite opseg jednakostraničnog trokuta ako je njegova stranica 12$ cm.
Iz gornjeg primjera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
P=a+b+c Kako pronaći opseg trokuta: Svi znaju da je opseg lako pronaći - samo trebate zbrojiti sve tri strane trokuta. Međutim, postoji nekoliko drugih načina za pronalaženje zbroja duljina stranica trokuta. Korak 1. S obzirom na polumjer kružnice upisane u trokut i njegovu površinu, pronađite opseg pomoću formule P=2S/r. 
Korak 2 Ako poznajete dva kuta, na primjer, α i β, koji su susjedni uz stranu, i duljinu ove stranice, tada za pronalaženje perimetra koristite formulu a+sinα∙a/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙a /(sin(180°-α-β)). 
Korak 3 Ako uvjet specificira susjedne stranice i kut β između njih, uzmite u obzir kosinusni teorem pri pronalaženju perimetra. Tada je P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), gdje su a^2 i b^2 kvadrati duljina susjednih stranica. Izraz pod korijenom je duljina treće nepoznate stranice, izražena kroz kosinusni teorem. 
Korak 4 Za jednakokračni trokut, formula perimetra ima oblik P=2a+b, gdje su a stranice, a b njegova baza. Korak 5 Izračunajte opseg pravilnog trokuta koristeći formulu P=3a. Korak 6 Pronađite opseg pomoću polumjera kružnica upisanih u trokut ili opisanih oko njega. Dakle, za jednakostranični trokut zapamtite i upotrijebite formulu P=6r√3=3R√3, gdje je r polumjer upisane kružnice, a R polumjer opisane kružnice. Korak 7 Za jednakokračni trokut primijenite formulu P=2R(2sinα+sinβ), gdje je α kut na bazi, a β kut nasuprot bazi.
Opseg trokuta, kao i u drugim stvarima i svaki lik, naziva se zbroj duljina svih strana. Vrlo često ova vrijednost pomaže u pronalaženju područja ili se koristi za izračun drugih parametara figure.
Formula za opseg trokuta izgleda ovako:
Primjer izračunavanja perimetra trokuta. Neka je zadan trokut sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Zamijeni podatke u formulu: cm
Formula za izračunavanje perimetra jednakokračan trokut izgledat će ovako:
Formula za izračunavanje perimetra jednakostraničan trokut:
Primjer izračunavanja opsega jednakostraničnog trokuta. Kada su sve strane figure jednake, onda se jednostavno mogu pomnožiti s tri. Recimo da je u ovom slučaju zadan pravilan trokut sa stranicom 5 cm: cm
Općenito, kada su dane sve strane, pronalaženje perimetra je prilično jednostavno. U drugim situacijama potrebno je pronaći veličinu stranice koja nedostaje. U pravokutnom trokutu možete pronaći treću stranu Pitagorin teorem. Na primjer, ako su poznate duljine nogu, hipotenuzu možete pronaći pomoću formule: 
Razmotrimo primjer izračunavanja opsega jednakokračnog trokuta, pod uvjetom da znamo duljinu kateta u pravokutnom jednakokračnom trokutu.
Zadan je trokut s nogama a \u003d b \u003d 5 cm. Pronađite opseg. Prvo, pronađimo stranu koja nedostaje s . cm
Sada izračunajmo opseg: cm
Opseg pravokutnog jednakokračnog trokuta bit će 17 cm.
U slučaju kada su hipotenuza i duljina jednog kraka poznate, onaj koji nedostaje može se pronaći pomoću formule: 
Ako su hipotenuza i jedan od oštrih kutova poznati u pravokutnom trokutu, tada se strana koja nedostaje nalazi po formuli.
Kako pronaći opseg trokuta? Svatko od nas postavljao je ovo pitanje dok je studirao u školi. Pokušajmo se prisjetiti svega što znamo o ovoj nevjerojatnoj figuri, kao i odgovoriti na postavljeno pitanje.
Odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta obično je prilično jednostavan - samo trebate izvesti postupak zbrajanja duljina svih njegovih strana. Međutim, postoje neke jednostavnije metode željene vrijednosti.
Savjet
U slučaju da su polumjer (r) kružnice koja je upisana u trokut i njegova površina (S) poznati, tada je odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta prilično jednostavan. Da biste to učinili, morate koristiti uobičajenu formulu:
Ako su poznata dva kuta, recimo, α i β, koji su susjedni sa stranicom, i duljina same stranice, tada se perimetar može pronaći pomoću vrlo, vrlo popularne formule, koja izgleda ovako:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Ako znate duljine susjednih stranica i kut β između njih, tada morate upotrijebiti kosinusni teorem da biste pronašli perimetar. Opseg se izračunava po formuli:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙a∙cosβ),
gdje su b2 i a2 kvadrati duljina susjednih stranica. Radikalni izraz je duljina treće strane, koja je nepoznata, izražena pomoću kosinusnog teorema.
Ako ne znate kako pronaći obod jednakokračnog trokuta, onda, zapravo, nema ništa komplicirano. Izračunajte ga pomoću formule:
gdje je b baza trokuta, a a njegove stranice.
Da biste pronašli opseg pravilnog trokuta, koristite najjednostavniju formulu:
gdje je a duljina stranice.
Kako pronaći opseg trokuta ako su poznati samo polumjeri kružnica koje su opisane oko njega ili upisane u njega? Ako je trokut jednakostraničan, tada treba primijeniti formulu:
P = 3R√3 = 6r√3,
gdje su R i r polumjeri opisane i upisane kružnice.
Ako je trokut jednakokračan, na njega se primjenjuje formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
gdje je α kut koji leži na bazi, a β kut koji je nasuprot bazi.
Često je za rješavanje matematičkih problema potrebna duboka analiza i specifična sposobnost pronalaženja i izvođenja traženih formula, a to je, kao što mnogi znaju, prilično težak posao. Iako se neki problemi mogu riješiti samo jednom formulom.
Pogledajmo formule koje su osnovne za odgovor na pitanje kako pronaći opseg trokuta, u odnosu na najrazličitije vrste trokuta.
Naravno, glavno pravilo za pronalaženje opsega trokuta je ova izjava: da biste pronašli opseg trokuta, trebate zbrojiti duljine svih njegovih stranica koristeći odgovarajuću formulu:
gdje su b, a i c duljine stranica trokuta, a P je opseg trokuta.
Postoji nekoliko posebnih slučajeva ove formule. Recimo da je vaš problem formuliran na sljedeći način: "kako pronaći opseg pravokutnog trokuta?" U tom slučaju trebate koristiti sljedeću formulu:
P = b + a + √(b2 + a2)
U ovoj formuli b i a su izravne duljine kateta pravokutnog trokuta. Lako je pogoditi da se umjesto strane c (hipotenuze) koristi izraz dobiven teoremom velikog antičkog znanstvenika Pitagore.
Ako želite riješiti problem u kojem su trokuti slični, onda bi bilo logično koristiti ovu tvrdnju: omjer perimetara odgovara koeficijentu sličnosti. Recimo da imate dva slična trokuta - ∆ABC i ∆A1B1C1. Zatim, da bismo pronašli koeficijent sličnosti, potrebno je podijeliti opseg ΔABC s perimetrom ΔA1B1C1.
Zaključno, može se primijetiti da se perimetar trokuta može pronaći različitim metodama, ovisno o početnim podacima koje imate. Treba dodati da postoje posebni slučajevi za pravokutne trokute.
Sadržaj:
Opseg je ukupna duljina granica 2D oblika. Ako želite pronaći opseg trokuta, tada morate dodati duljine svih njegovih stranica; ako ne znate duljinu barem jedne strane trokuta, morate je pronaći. Ovaj članak će vam reći (a) kako pronaći opseg trokuta s obzirom na tri poznate stranice; (b) kako pronaći opseg pravokutnog trokuta kada su poznate samo dvije strane; (c) kako pronaći opseg bilo kojeg trokuta kada su zadane dvije stranice i kut između njih (koristeći zakon kosinusa).
Koraci
1 Na tri zadane strane
- 1 Da biste pronašli opseg, koristite formulu: P \u003d a + b + c, gdje su a, b, c duljine triju strana, P je perimetar.
- 2
Pronađite duljine sve tri strane. U našem primjeru: a = 5, b = 5, c = 5.
- To je jednakostranični trokut jer su sve tri strane iste duljine. Ali gornja formula vrijedi za bilo koji trokut.
- 3
Dodajte duljine sve tri strane da biste pronašli opseg. U našem primjeru: 5 + 5 + 5 = 15, odnosno P = 15.
- Drugi primjer: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
Ne zaboravite u svoj odgovor uključiti mjernu jedinicu. U našem primjeru stranice se mjere u centimetrima, tako da vaš konačni odgovor mora uključivati i centimetre (ili jedinice navedene u opisu problema).
- U našem primjeru svaka strana je 5 cm, pa je konačni odgovor P = 15 cm.
2 Zadane su dvije stranice pravokutnog trokuta
- 1 Sjetite se Pitagorine teoreme. Ovaj teorem opisuje odnos između stranica pravokutnog trokuta i jedan je od najpoznatijih i primijenjenih teorema u matematici. Teorem kaže da su u bilo kojem pravokutnom trokutu stranice povezane sljedećim odnosom: a 2 + b 2 \u003d c 2, gdje su a, b noge, c hipotenuza.
- 2 Nacrtajte trokut i označite stranice kao a, b, c. Najduža stranica pravokutnog trokuta je hipotenuza. Leži nasuprot pravog kuta. Označite hipotenuzu kao "c". Noge (stranice uz pravi kut) označene su kao "a" i "b".
- 3
Zamijenite vrijednosti poznatih strana u Pitagorin teorem (a 2 + b 2 = c 2). Umjesto slova zamijenite brojeve date u uvjetu zadatka.
- Na primjer, a = 3 i b = 4. Zamijenite ove vrijednosti u Pitagorin teorem: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Drugi primjer: a = 6 i c = 10. Tada je: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Riješite rezultirajuću jednadžbu kako biste pronašli nepoznatu stranu. Da biste to učinili, prvo kvadrirajte poznate duljine stranica (samo pomnožite broj koji vam je dat). Ako tražite hipotenuzu, zbrojite kvadrate dviju stranica i uzmite kvadratni korijen dobivenog zbroja. Ako tražite nogu, oduzmite kvadrat poznate noge od kvadrata hipotenuze i uzmite kvadratni korijen dobivenog kvocijenta.
- U prvom primjeru: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25=c2; √25 = s. Dakle, c = 25.
- U drugom primjeru: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Prenesite 36 na desnu stranu jednadžbe i dobijete: b 2 \u003d 64; b = √64. Dakle, b = 8.
- 5
- U našem prvom primjeru: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- U našem drugom primjeru: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Prema dvije zadane stranice i kutu između njih
- 1 Bilo koja strana trokuta može se pronaći pomoću zakona kosinusa ako su vam zadane dvije stranice i kut između njih. Ovaj teorem vrijedi za sve trokute i vrlo je korisna formula. Kosinusni teorem: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), gdje su a, b, c stranice trokuta, A, B, C su kutovi nasuprot odgovarajućih strana trokuta.
- 2 Nacrtajte trokut i označite stranice kao a, b, c; kutove nasuprot odgovarajućim stranicama označite kao A, B, C (to jest, kut nasuprot stranice "a", označite ga kao "A" i tako dalje).
- Na primjer, zadan je trokut sa stranicama 10 i 12 i kutom između njih od 97°, to jest, a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
Zamijenite vrijednosti koje su vam dane u formulu i pronađite nepoznatu stranu "c". Najprije kvadrirajte duljine poznatih stranica i zbrojite rezultirajuće vrijednosti. Zatim pronađite kosinus kuta C (pomoću kalkulatora ili online kalkulatora). Pomnožite duljine poznatih stranica s kosinusom zadanog kuta i s 2 (2abcos(C)). Dobivenu vrijednost oduzmite od zbroja kvadrata dviju strana (a 2 + b 2) i dobit ćete c 2 . Uzmite kvadratni korijen ove vrijednosti da biste pronašli duljinu nepoznate stranice "c". U našem primjeru:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Dodajte duljine triju strana da biste pronašli opseg. Podsjetimo da se perimetar izračunava po formuli: P = a + b + c.
- U našem primjeru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
