Svaki školarac zna da je kvadrat hipotenuze uvijek jednak zbroju nogu, od kojih je svaka kvadratirana. Ova se tvrdnja naziva Pitagorin teorem. To je jedan od najpoznatijih teorema trigonometrije i matematike općenito. Pogledajmo ga pobliže.

Pojam pravokutnog trokuta

Prije nego što prijeđemo na razmatranje Pitagorinog teorema, u kojem je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta koje su kvadrirane, trebali bismo razmotriti koncept i svojstva pravokutnog trokuta za koje teorem vrijedi.

Trokut - ravna figura ima tri ugla i tri strane. Pravokutni trokut, kao što mu samo ime govori, ima jedan pravi kut, odnosno taj kut je jednak 90o.

Iz općih svojstava svih trokuta poznato je da je zbroj sva tri kuta ovog lika jednak 180 o, što znači da je za pravokutni trokut zbroj dvaju kutova koji nisu pravi kutovi 180 o - 90 o = 90 o. Ova zadnja činjenica znači da će svaki kut u pravokutnom trokutu koji nije pravi uvijek biti manji od 90 o.

Strana koja leži protiv pravi kut, obično se naziva hipotenuza. Druge dvije stranice su kraci trokuta, mogu biti međusobno jednaki, a mogu se i razlikovati. Iz trigonometrije znamo da što je veći kut uz koji leži stranica trokuta, to je veća duljina te stranice. To znači da će u pravokutnom trokutu hipotenuza (leži nasuprot kuta od 90 o) uvijek biti veća od bilo koje katete (leži nasuprot kutova< 90 o).

Matematička notacija Pitagorinog poučka

Ovaj teorem tvrdi da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta od kojih je svaki prethodno kvadriran. Da bismo matematički napisali ovu formulaciju, razmotrimo pravokutni trokut u kojem su stranice a, b i c dvije katete odnosno hipotenuza. U ovom slučaju, teorem, koji je formuliran kao kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta, može se prikazati sljedećom formulom: c 2 = a 2 + b 2. Odavde se mogu dobiti i druge formule važne za praksu: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) i c = √(a 2 + b 2).

Imajte na umu da će u slučaju pravokutnog jednakostraničnog trokuta, to jest a = b, formulacija: kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta, od kojih je svaki kvadriran, biti matematički napisana na sljedeći način: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, što implicira jednakost: c = a√2.

Povijesna referenca

Pitagorin poučak, koji kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta od kojih je svaki kvadriran, bio je poznat mnogo prije nego što je slavni grčki filozof obratio pozornost na njega. Mnogi papirusi starog Egipta, kao i glinene pločice Babilonaca, potvrđuju da su ti narodi koristili zapaženo svojstvo stranica pravokutnog trokuta. Na primjer, jedan od prvih Egipatske piramide, Kefrenova piramida, čija gradnja datira iz 26. stoljeća prije Krista (2000 godina prije Pitagorinog života), izgrađena je na temelju poznavanja omjera stranica u pravokutnom trokutu 3x4x5.

Zašto onda teorem sada nosi naziv grčki? Odgovor je jednostavan: Pitagora je prvi koji je matematički dokazao ovaj teorem. Preživjeli babilonski i egipatski pisani izvori samo govore o njegovoj uporabi, ali ne daju nikakav matematički dokaz.

Vjeruje se da je Pitagora predmetni teorem dokazao koristeći se svojstvima sličnih trokuta koje je dobio povlačenjem visine u pravokutnom trokutu od kuta od 90 o na hipotenuzu.

Primjer korištenja Pitagorinog teorema

Razmotrimo jednostavan problem: potrebno je odrediti duljinu kosog stubišta L, ako je poznato da ima visinu H = 3 metra, a udaljenost od zida na koji se stubište oslanja do njegovog podnožja je P = 2,5. metara.

U u ovom slučaju H i P su katete, a L je hipotenuza. Budući da je duljina hipotenuze jednaka zbroju kvadrata kateta, dobivamo: L 2 = H 2 + P 2, odakle je L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 metara ili 3 m i 90,5 cm.

Provjerite je li trokut koji vam je dan pravokutan jer se Pitagorin teorem odnosi samo na pravokutne trokute. U pravokutnom trokutu jedan od tri kuta uvijek iznosi 90 stupnjeva.

• Pravi kut u pravokutnom trokutu označen je kvadratnom ikonom, a ne krivuljom koja predstavlja kose kutove.

Označite stranice trokuta. Označite katete s "a" i "b" (katete su stranice koje se sijeku pod pravim kutom), a hipotenuzu s "c" (hipotenuza je najveća stranica pravokutnog trokuta, koja leži nasuprot pravog kuta).

upute

Ako trebate izračunati pomoću Pitagorinog poučka, upotrijebite sljedeći algoritam: - U trokutu odredite koje su stranice katete, a koje hipotenuza. Dvije strane koje tvore kut od devedeset stupnjeva su noge, preostala trećina je hipotenuza. (cm) - Podignite svaku nogu na drugu potenciju zadani trokut, odnosno pomnožite sami sa sobom. Primjer 1. Pretpostavimo da trebamo izračunati hipotenuzu ako je jedna kateta u trokutu 12 cm, a druga 5 cm. Prvo, kvadrati kateta su jednaki: 12 * 12 = 144 cm i 5 * 5 = 25 cm. Zatim odredite zbroj kvadrata nogu. Određeni broj je hipotenuza, trebate se riješiti druge potencije broja da biste je pronašli duljina ovu stranu trokuta. Da biste to učinili, uklonite ispod korijen vrijednost zbroja kvadrata kateta. Primjer 1. 144+25=169. Kvadratni korijen od 169 je 13. Prema tome, duljina ovog hipotenuza jednako 13 cm.

Drugi način za izračunavanje duljine hipotenuza leži u terminologiji sinusa i kutova u trokutu. Po definiciji: sinus kuta alfa - kateta suprotna hipotenuzi. Odnosno, gledajući sliku, sin a = CB / AB. Dakle, hipotenuza AB = CB / sin a. Primjer 2. Neka je kut 30 stupnjeva, a suprotna stranica 4 cm. Rješenje: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odgovor: duljina hipotenuza jednako 8 cm.

Sličan način pronalaženja hipotenuza iz definicije kosinusa kuta. Kosinus kuta je omjer stranice koja mu priliježe i hipotenuza. To jest, cos a = AC/AB, stoga je AB = AC/cos a. Primjer 3. U trokutu ABC, AB je hipotenuza, kut BAC je 60 stupnjeva, krak AC je 2 cm.
Rješenje: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odgovor: Hipotenuza je duga 4 cm.

Koristan savjet

Pri pronalaženju vrijednosti sinusa ili kosinusa kuta koristite ili tablicu sinusa i kosinusa ili Bradisovu tablicu.

Savjet 2: Kako pronaći duljinu hipotenuze u pravokutnom trokutu

Hipotenuza je najduža stranica u pravokutnom trokutu, pa ne čudi da grčki jezik ova riječ je prevedena kao "tijesno". Ova stranica uvijek leži nasuprot kutu od 90°, a stranice koje čine taj kut nazivaju se krakovi. Poznavajući duljine tih stranica i veličine oštri kutovi u različitim kombinacijama ovih vrijednosti može se izračunati duljina hipotenuze.

upute

Ako su poznate duljine oba trokuta (A i B), onda se poslužite duljinama hipotenuze (C), možda najpoznatijim matematičkim postulatom – Pitagorinim poučkom. Kaže da je kvadrat duljine hipotenuze zbroj kvadrata duljina kateta, iz čega slijedi da treba izračunati korijen zbroja kvadrata duljina dviju stranica: C = √ ( A² + B²). Na primjer, ako je duljina jedne katete 15 i - 10 centimetara, tada će duljina hipotenuze biti približno 18,0277564 centimetara, budući da je √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Ako je poznata duljina samo jedne katete (A) u pravokutnom trokutu, kao i vrijednost kuta nasuprot njoj (α), tada se duljina hipotenuze (C) može koristiti pomoću jedne od trigonometrijskih funkcije - sinus. Da biste to učinili, podijelite duljinu poznate stranice sa sinusom poznatog kuta: C=A/sin(α). Na primjer, ako je duljina jedne od kateta 15 centimetara, a kut na suprotnom vrhu trokuta 30°, tada će duljina hipotenuze biti jednaka 30 centimetara, budući da je 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Ako je u pravokutnom trokutu poznata veličina jednog od oštrih kutova (α) i duljina susjedne noge (B), tada za izračunavanje duljine hipotenuze (C) možete koristiti drugu trigonometrijska funkcija- kosinus. Duljinu poznatog kraka trebate podijeliti s kosinusom poznatog kuta: C=B/ cos(α). Na primjer, ako je duljina ovog kraka 15 centimetara, a šiljasti kut uz njega je 30°, tada će duljina hipotenuze biti približno 17,3205081 centimetara, budući da je 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.

Duljina se obično koristi za označavanje udaljenosti između dviju točaka na segmentu. Može biti ravna, izlomljena ili zatvorena linija. Duljinu možete izračunati prilično jednostavno ako znate neke druge pokazatelje segmenta.

upute

Ako trebate pronaći duljinu stranice kvadrata, onda to neće biti ako znate njegovu površinu S. Zbog činjenice da sve stranice kvadrata imaju

Povijest Pitagorinog teorema seže nekoliko tisuća godina unatrag. Izjava koja kaže da je bila poznata mnogo prije rođenja grčkog matematičara. Međutim, Pitagorin teorem, povijest njegovog nastanka i njegov dokaz za većinu su povezani s ovim znanstvenikom. Prema nekim izvorima, razlog za to bio je prvi dokaz teorema, koji je dao Pitagora. Međutim, neki istraživači poriču ovu činjenicu.

Glazba i logika

Prije nego što ispričamo kako se razvila povijest Pitagorinog teorema, pogledajmo ukratko biografiju matematičara. Živio je u 6. stoljeću pr. Datumom rođenja Pitagore smatra se 570 godina prije Krista. e., mjesto je otok Samos. Malo se pouzdano zna o životu znanstvenika. Biografski podaci u starogrčkim izvorima isprepleteni su s očitom fikcijom. Na stranicama rasprava pojavljuje se kao veliki mudrac s izvrsnim vladanjem riječima i sposobnošću uvjeravanja. Inače, zbog toga je grčki matematičar dobio nadimak Pitagora, odnosno “uvjerljivi govor”. Prema drugoj verziji, rođenje budućeg mudraca predvidjela je Pitija. Otac je dječaku dao ime Pitagora u njezinu čast.

Mudrac je učio od velikih umova tog vremena. Među učiteljima mladog Pitagore su Hermodamant i Ferekid sa Sirosa. Prvi mu je usadio ljubav prema glazbi, drugi ga je naučio filozofiji. Obje ove znanosti ostat će u fokusu znanstvenika kroz cijeli život.

30 godina treninga

Prema jednoj verziji, Pitagora je kao radoznali mladić napustio svoju domovinu. Otišao je potražiti znanje u Egipat, gdje je i ostao, prema različiti izvori, od 11 do 22 godine, a potom je zarobljen i poslan u Babilon. Pitagora je mogao izvući korist iz svog položaja. 12 godina je studirao matematiku, geometriju i magiju u antička država. Pitagora se vratio na Samos tek u dobi od 56 godina. Ovdje je u to vrijeme vladao tiranin Polikrat. Pitagora to nije mogao prihvatiti politički sustav i ubrzo otišao na jug Italije, gdje se nalazila grčka kolonija Kroton.

Danas je nemoguće sa sigurnošću reći je li Pitagora bio u Egiptu i Babilonu. Možda je kasnije napustio Samos i otišao ravno u Croton.

pitagorejci

Povijest Pitagorinog teorema povezana je s razvojem škole koju je stvorio grčki filozof. Ovo vjersko i etičko bratstvo propovijedalo je poštivanje posebnog načina života, proučavalo aritmetiku, geometriju i astronomiju, te se bavilo proučavanjem filozofske i mistične strane brojeva.

Njemu su pripisivana sva otkrića učenika grčkog matematičara. Međutim, povijest nastanka Pitagorinog teorema drevni biografi povezuju samo sa samim filozofom. Pretpostavlja se da je Grcima prenio znanje stečeno u Babilonu i Egiptu. Postoji i verzija da je on zapravo otkrio teorem o odnosu između nogu i hipotenuze, ne znajući za postignuća drugih naroda.

Pitagorin teorem: povijest otkrića

Neki starogrčki izvori opisuju Pitagorinu radost kada je uspio dokazati teorem. U čast tog događaja naredio je žrtvu bogovima u obliku stotina bikova i priredio gozbu. Neki znanstvenici, međutim, ističu nemogućnost takvog čina zbog osobitosti pogleda Pitagorejaca.

Vjeruje se da u raspravi "Elementi", koju je stvorio Euklid, autor daje dokaz teorema, čiji je autor bio veliki grčki matematičar. Međutim, nisu svi podržali ovo gledište. Tako je čak i drevni neoplatonistički filozof Proklo istaknuo da je autor dokaza danog u Elementima bio sam Euklid.

Bilo kako bilo, prva osoba koja je formulirala teorem nije bio Pitagora.

Stari Egipat i Babilon

Pitagorin teorem, o čijoj se povijesti govori u članku, prema njemačkom matematičaru Cantoru, bio je poznat još 2300. godine prije Krista. e. u Egiptu. Drevni stanovnici doline Nila za vrijeme vladavine faraona Amenemhata I poznavali su jednakost 3 2 + 4 ² = 5 ². Pretpostavlja se da su uz pomoć trokuta sa stranicama 3, 4 i 5 egipatski “potegači užeta” gradili prave kutove.

U Babilonu su poznavali i Pitagorin teorem. Na glinenim pločicama koje potječu iz 2000. pr. i koji datira iz vremena vladavine, otkriven je približan izračun hipotenuze pravokutnog trokuta.

Indija i Kina

Povijest Pitagorinog teorema također je povezana s drevnim civilizacijama Indije i Kine. Traktat "Zhou-bi suan jin" sadrži naznake da je (njegove strane povezane kao 3:4:5) bio poznat u Kini još u 12. stoljeću. PRIJE KRISTA e., a do 6. stoljeća. PRIJE KRISTA e. Matematičari ove države poznavali su opći oblik teoreme.

Konstrukcija pravog kuta pomoću egipatskog trokuta također je opisana u indijskoj raspravi "Sulva Sutra", koja datira iz 7. do 5. stoljeća. PRIJE KRISTA e.

Dakle, povijest Pitagorinog teorema u vrijeme rođenja grčkog matematičara i filozofa već je bila stara nekoliko stotina godina.

Dokaz

Tijekom svog postojanja teorem je postao jedan od temeljnih u geometriji. Povijest dokaza Pitagorinog teorema vjerojatno je započela razmatranjem jednakostraničnog kvadrata na njegovoj hipotenuzi i katetama. Onaj koji je "rastao" na hipotenuzi sastojat će se od četiri trokuta jednaka prvom. Kvadrati na stranicama sastoje se od dva takva trokuta. Jednostavan grafička slika jasno pokazuje valjanost tvrdnje formulirane u obliku poznatog teorema.

Još jedan jednostavan dokaz kombinira geometriju s algebrom. Nacrtana su četiri jednaka pravokutna trokuta sa stranicama a, b, c tako da tvore dva kvadrata: vanjski sa stranicom (a + b) i unutarnji sa stranicom c. U ovom slučaju, površina manjeg kvadrata bit će jednaka c 2. Površina velikog izračunava se iz zbroja površina mali trg i svi trokuti (površina pravokutnog trokuta, podsjetimo, izračunava se formulom (a * b) / 2), odnosno c 2 + 4 * ((a * b) / 2), što je jednako na c 2 + 2ab. Površina velikog kvadrata može se izračunati na drugi način - kao produkt dviju stranica, odnosno (a + b) 2, što je jednako a 2 + 2ab + b 2. Ispada:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

Postoje mnoge verzije dokaza ovog teorema. Na njima su radili Euklid, indijski znanstvenici i Leonardo da Vinci. Često su drevni mudraci citirali crteže, čiji se primjeri nalaze gore, i nisu ih pratili nikakvim objašnjenjima osim napomene "Pogledaj!" Jednostavnost geometrijskog dokaza, uz postojanje određenog znanja, nije zahtijevala komentare.

Povijest Pitagorinog teorema, ukratko opisana u članku, razotkriva mit o njegovom podrijetlu. Međutim, teško je i zamisliti da će se ime velikog grčkog matematičara i filozofa ikada prestati povezivati ​​s njim.

Animirani dokaz Pitagorinog teorema - jedan od temeljni teoremi euklidske geometrije koji utvrđuju odnos između stranica pravokutnog trokuta. Vjeruje se da ju je dokazao grčki matematičar Pitagora, po kojem je i dobila ime (postoje i druge verzije, posebice alternativno mišljenje da je ovaj teorem u opći pogled formulirao je pitagorejski matematičar Hipas).
Teorem kaže:

U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Određivanje duljine hipotenuze trokuta c, a duljine krakova su kao a I b, dobivamo sljedeću formulu:

Dakle, Pitagorin teorem uspostavlja odnos koji vam omogućuje određivanje stranice pravokutnog trokuta, znajući duljine druga dva. Pitagorin poučak je poseban slučaj kosinusnog poučka, koji određuje odnos između stranica proizvoljnog trokuta.
Dokazana je i obrnuta tvrdnja (također nazvana obratno od teoreme Pitagora):

Za bilo koja tri pozitivna broja a, b i c takva da je a ? + b ? = c ?, postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Vizualni dokaz za trokut (3, 4, 5) iz knjige "Chu Pei" 500-200 pr. Povijest teorema može se podijeliti u četiri dijela: znanje o Pitagorinim brojevima, znanje o omjeru stranica u pravokutnom trokutu, znanje o omjeru susjedni uglovi i dokaz teorema.
Megalitske strukture oko 2500 pr. u Egiptu i sjeverna Europa, sadrže pravokutne trokute sa stranicama od cijelih brojeva. Bartel Leendert van der Waerden pretpostavio je da su u to vrijeme pitagorejski brojevi pronađeni algebarski.
Napisano između 2000. i 1876. pr. papirus iz srednjeg egipatskog kraljevstva Berlin 6619 sadrži problem čije su rješenje Pitagorini brojevi.
Za vrijeme vladavine Hamurabija Velikog, Babilonska ploča Plimpton 322, napisano između 1790. i 1750. pr. Kr. sadrži mnogo unosa usko povezanih s Pitagorinim brojevima.
U Budhayana sutrama, koje datiraju iz različite verzije osmo ili drugo stoljeće pr u Indiji, sadrži Pitagorine brojeve izvedene algebarski, izjavu o Pitagorinom teoremu i geometrijski dokaz za jednakostranični pravokutni trokut.
Apastamba Sutre (oko 600. pr. Kr.) sadrže numerički dokaz Pitagorinog teorema pomoću izračuna površine. Van der Waerden vjeruje da se temeljio na tradicijama svojih prethodnika. Prema Albertu Burcu, ovo je izvorni dokaz teorema i on sugerira da je Pitagora posjetio Arakon i kopirao ga.
Pitagora, čije se godine života obično označavaju kao 569. - 475. pr. koristi algebarske metode za izračunavanje Pitagorinih brojeva, prema Proklovljevim komentarima Euklida. Proklo je, međutim, živio između 410. i 485. godine. Prema Thomasu Guiseu, nema naznaka o autorstvu teorema sve do pet stoljeća nakon Pitagore. Međutim, kada autori poput Plutarha ili Cicerona pripisuju teorem Pitagori, čine to kao da je autorstvo općepoznato i sigurno.
Oko 400. pr Prema Proklu, Platon je dao metodu za izračunavanje Pitagorinih brojeva koja je kombinirala algebru i geometriju. Oko 300. pr. Kr., u Počeci Euklida imamo najstariji aksiomatski dokaz koji je preživio do danas.
Napisano negdje između 500. pr. i 200. pr. Kr., kineska matematička knjiga Chu Pei (? ? ? ?), daje vizualni dokaz Pitagorinog teorema, koji se u Kini naziva Guguov teorem (????), za trokut sa stranicama (3, 4, 5 ). Za vrijeme dinastije Han, od 202. pr. do 220. godine Pitagorini brojevi pojavljuju se u knjizi "Devet grana matematičke umjetnosti" zajedno sa spominjanjem pravokutnih trokuta.
Prva zabilježena upotreba teorema bila je u Kini, gdje je poznata kao Gugu (????) teorem, iu Indiji, gdje je poznata kao Bhaskarov teorem.
Naveliko se raspravlja o tome je li Pitagorin teorem otkriven jednom ili više puta. Boyer (1991) vjeruje da bi znanje koje se nalazi u Shulba Sutri moglo biti mezopotamskog podrijetla.
Algebarski dokaz
Kvadrati su formirani od četiri pravokutna trokuta. Poznato je više od stotinu dokaza Pitagorinog teorema. Evo dokaza temeljenog na teoremu postojanja površine figure:

Postavimo četiri identična pravokutna trokuta kao što je prikazano na slici.
Četverokut sa stranicama c je kvadrat, budući da je zbroj dva oštra kuta , a ravni kut je .
Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom "a + b", a s druge strane zbroju površina četiriju trokuta i unutarnjeg kvadrata. .

Što treba i dokazati.
Po sličnosti trokuta
Korištenje sličnih trokuta. Neka ABC- pravokutni trokut u kojem je kut C ravno kao što je prikazano na slici. Povucimo visinu iz točke C, i nazovimo H točka sjecišta sa stranom AB. Formira se trokut ACH sličan trokutu ABC, budući da su oba pravokutna (po definiciji visine) i imaju zajednički kut A, Očito je da će treći kut u ovim trokutima također biti isti. Slično miru, trokut CBH također sličan trokutu ABC. Uz sličnost trokuta: Ako

Ovo se može napisati kao

Ako zbrojimo ove dvije jednakosti, dobivamo

HB + c puta AH = c puta (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

Euklidov dokaz
Euklidov dokaz u Euklidskim elementima, Pitagorin teorem dokazuje se metodom paralelograma. Neka A, B, C vrhovi pravokutnog trokuta, s pravim kutom A. Spustimo okomicu iz točke A na stranu nasuprot hipotenuzi u kvadratu izgrađenom na hipotenuzi. Linija dijeli kvadrat na dva pravokutnika, od kojih svaki ima istu površinu kao kvadrati izgrađeni na stranicama. glavna ideja u dokazu je da se gornji kvadrati pretvaraju u paralelograme iste površine, a zatim se vraćaju i pretvaraju u pravokutnike u donjem kvadratu i opet s istom površinom.

Nacrtajmo segmente CF I OGLAS. dobivamo trokute BCF I B.D.A.
Kutovi TAKSI I TORBA– ravno; odnosno bodova C, A I G– kolinearni. Također B, A I H.
Kutovi CBD I FBA– obje su ravne linije, zatim kut ABD jednak kutu FBC, budući da su oboje zbroj pravog kuta i kuta ABC.
Trokut ABD I FBC razina na dvije strane i kut između njih.
Budući da bodovi A, K I L– kolinearna, površina pravokutnika BDLK jednaka je dvjema površinama trokuta ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Na sličan način dobivamo CKLE = ACIH = AC 2
S jedne strane područje CBDE jednak zbroju površina pravokutnika BDLK I CKLE, a s druge strane površina kvadrata prije Krista 2, ili AB 2 + AC 2 = prije Krista 2.

Korištenje diferencijala
Korištenje diferencijala. Do Pitagorinog poučka može se doći proučavanjem kako povećanje stranice utječe na veličinu hipotenuze kao što je prikazano na slici desno i primjenom malog izračuna.
Kao rezultat povećanja strane a, sličnih trokuta za infinitezimalne inkremente

Integracijom dobivamo

Ako a= 0 tada c = b, pa je "konstanta". b 2. Zatim

Kao što se može vidjeti, kvadrati su rezultat omjera između priraštaja i stranica, dok je zbroj rezultat neovisnog doprinosa priraštaja stranica, što nije očito iz geometrijskih dokaza. U ovim jednadžbama da I dc– odgovarajući infinitezimalni prirast stranica a I c. Ali što koristimo umjesto toga? a I? c, tada je granica omjera ako teže nuli da / DC, izvod, a također je jednak c / a, omjer duljina stranica trokuta, kao rezultat dobivamo diferencijalna jednadžba.
U slučaju ortogonalnog sustava vektora vrijedi jednakost koja se naziva i Pitagorin poučak:

Ako – Ovo su projekcije vektora na koordinatne osi, tada se ova formula poklapa s euklidskom udaljenosti i znači da je duljina vektora jednaka kvadratnom korijenu zbroja kvadrata njegovih komponenti.
Analog ove jednakosti u slučaju beskonačnog sustava vektora naziva se Parsevalova jednakost.