Za rješavanje nekih problema bit će korisna tablica trigonometrijskih identiteta koja će znatno olakšati izvođenje transformacija funkcija:

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Kvocijent dijeljenja sinusa kuta alfa s kosinusom istog kuta jednak je tangentu ovog kuta (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa kuta alfa sa sinusom istog kuta jednak je kotangensu istog kuta (Formula 2)
Sekans kuta jednak je jedinici podijeljenoj s kosinusom istog kuta (Formula 3)
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbroja kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbroj jedinice i tangenta kuta jednak je omjeru jedinice i kvadrata kosinusa ovog kuta (Formula 5)
Jedinica plus kotangens kuta jednak je kvocijentu dijeljenja jedinice sa sinusnim kvadratom ovog kuta (Formula 6)
Umnožak tangente i kotangensa istog kuta jednak je jedan (Formula 7).

Pretvaranje negativnih kutova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)

Kako biste se riješili negativne vrijednosti stupnja mjere kuta pri izračunu sinusa, kosinusa ili tangente, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) temeljene na principima parnih ili neparnih trigonometrijskih funkcija.

kao što se vidi, kosinus a sekansa je ravnomjerna funkcija, sinus, tangent i kotangens su neparne funkcije.

Sinus negativnog kuta jednak je negativnoj vrijednosti sinusa tog istog pozitivnog kuta (minus sinus alfa).
Kosinus "minus alfa" dat će istu vrijednost kao kosinus kuta alfa.
Tangenta minus alfa je jednaka minus tangenta alfa.

Formule redukcije dvostrukog kuta (sinus, kosinus, tangenta i kotangens dvostrukog kuta)

Ako trebate podijeliti kut na pola, ili obrnuto, prijeći iz dvostrukog kuta u jedan kut, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:

Pretvorba dvostrukog kuta (dvostruki kutni sinus, dvostruki kutni kosinus i dvostruka kutna tangenta) u jedan se događa prema sljedećim pravilima:

Sinus dvostrukog kuta jednak je dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog kuta

Kosinus dvostrukog kuta jednak je razlici između kvadrata kosinusa jednog kuta i kvadrata sinusa ovog kuta

Kosinus dvostrukog kuta jednak dvostrukom kvadratu kosinusa jednog kuta minus jedan

Kosinus dvostrukog kuta jednako jedan minus dvostruki sinusni kvadrat jednog kuta

Dvostruka kutna tangenta jednak je razlomku čiji je brojnik dvostruki tangent jednog kuta, a nazivnik jednak jedan minus tangens kvadrata jednog kuta.

Dvokutni kotangens jednak je razlomku čiji je brojnik kvadrat kotangensa jednog kuta minus jedan, a nazivnik je jednak dvostrukom kotangensu jednog kuta

Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule

Formule pretvorbe u nastavku mogu biti korisne kada trebate podijeliti argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tg α) s dva i dovesti izraz na vrijednost polovice kuta. Iz vrijednosti α dobivamo α/2 .

Ove formule se nazivaju formule univerzalne trigonometrijske supstitucije. Njihova vrijednost je u tome što se trigonometrijski izraz uz njihovu pomoć svodi na izraz tangente pola kuta, bez obzira na to koje su trigonometrijske funkcije (sin cos tg ctg) izvorno bile u izrazu. Nakon toga, jednadžbu s tangentom pola kuta puno je lakše riješiti.

Trigonometrijski identiteti transformacije polukuta

Sljedeće su formule za trigonometrijsku pretvorbu polovice vrijednosti kuta u njegovu cjelobrojnu vrijednost.
Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α/2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.

Trigonometrijske formule za zbrajanje kutova

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangent i kotangens zbroja kutova alfa i beta mogu se pretvoriti prema sljedećim pravilima za pretvaranje trigonometrijskih funkcija:

Tangent zbroja kutova jednak je razlomku, čiji je brojnik zbroj tangenta prvog i tangenta drugog kuta, a nazivnik je jedan minus umnožak tangente prvog kuta i tangente drugog kuta.

Tangenta razlike kutova jednak je razlomku, čiji je brojnik jednak razlici između tangente reduciranog kuta i tangente kuta koji treba oduzeti, a nazivnik je jedan plus umnožak tangenta tih kutova.

Kotangens zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku kotangensa ovih kutova plus jedan, a nazivnik jednak razlici kotangensa drugog kuta i kotangensa prvog kuta.

Kotangens razlike kutova jednak je razlomku čiji je brojnik umnožak kotangensa ovih kutova minus jedan, a nazivnik je jednak zbroju kotangensa tih kutova.

Ovi trigonometrijski identiteti prikladni su za korištenje kada trebate izračunati, na primjer, tangent od 105 stupnjeva (tg 105). Ako je predstavljen kao tg (45 + 60), tada možete koristiti zadane identične transformacije tangenta zbroja kutova, nakon čega jednostavno zamijenite tablične vrijednosti ​​​tangenta od 45 i tangente od 60 stupnjeva.

Formule za pretvaranje zbroja ili razlike trigonometrijskih funkcija

Izrazi koji predstavljaju zbroj oblika sin α + sin β mogu se pretvoriti pomoću sljedećih formula:

Formule trostrukog kuta - pretvoriti sin3α cos3α tg3α u sinα cosα tgα

Ponekad je potrebno pretvoriti trostruku vrijednost kuta tako da kut α umjesto 3α postane argument trigonometrijske funkcije.
U ovom slučaju možete koristiti formule (identitete) za transformaciju trostrukog kuta:

Formule za transformaciju umnoška trigonometrijskih funkcija

Ako postane potrebno pretvoriti umnožak sinusa različitih kutova kosinusa različitih kutova, ili čak umnožak sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:


U tom će se slučaju umnožak funkcija sinusa, kosinusa ili tangente različitih kutova pretvoriti u zbroj ili razliku.

Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija

Tablicu za livenje trebate koristiti na sljedeći način. U retku odaberite funkciju koja nas zanima. Stupac je kut. Na primjer, sinus kuta (α+90) na presjeku prvog retka i prvog stupca, saznajemo da je sin (α+90) = cos α .

Kako pronaći sinus?

Proučavanje geometrije pomaže u razvoju mišljenja. Ovaj predmet je uključen u nastavni plan i program. U životu, poznavanje ove teme može biti korisno - na primjer, prilikom planiranja stana.

Iz povijesti

U sklopu kolegija geometrije izučava se i trigonometrija koja istražuje trigonometrijske funkcije. U trigonometriji proučavamo sinuse, kosinuse, tangente i kotangense kuta.

No, za sada, krenimo s najjednostavnijim – sinusom. Pogledajmo pobliže prvi koncept - sinus kuta u geometriji. Što je sinus i kako ga pronaći?

Koncept "sinusa kuta" i sinusoida

Sinus kuta je omjer vrijednosti suprotnog kraka i hipotenuze pravokutnog trokuta. Ovo je izravna trigonometrijska funkcija, koja je napisana kao "sin (x)", gdje je (x) kut trokuta.

Na grafikonu je sinus kuta označen sinusoidom s vlastitim karakteristikama. Sinusoida izgleda kao neprekidna valovita linija koja leži unutar određenih granica na koordinatnoj ravnini. Funkcija je neparna, stoga je simetrična u odnosu na 0 na koordinatnoj ravnini (napušta ishodište koordinata).

Područje ove funkcije leži u rasponu od -1 do +1 u kartezijanskom koordinatnom sustavu. Period funkcije sinusnog kuta je 2 Pi. To znači da se svakih 2 Pi uzorak ponavlja i sinusni val prolazi kroz puni ciklus.

Sinusoidna jednadžba

• sin x = a / c
• gdje je a krak suprotan kutu trokuta
• c - hipotenuza pravokutnog trokuta

Svojstva sinusa kuta

1. sin(x) = - sin(x). Ova značajka pokazuje da je funkcija simetrična, a ako se vrijednosti x i (-x) odvoje u koordinatnom sustavu u oba smjera, tada će ordinate ovih točaka biti suprotne. Oni će biti na jednakoj udaljenosti jedan od drugog.
2. Druga značajka ove funkcije je da graf funkcije raste na segmentu [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdje je n bilo koji cijeli broj. Na segmentu će se primijetiti smanjenje grafa sinusa kuta: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 kada je x u rasponu (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Vrijednosti sinusa kuta određene su posebnim tablicama. Takve su tablice stvorene kako bi se olakšao proces izračunavanja složenih formula i jednadžbi. Jednostavan je za korištenje i sadrži vrijednosti ne samo funkcije sin(x), već i vrijednosti drugih funkcija.

Štoviše, tablica standardnih vrijednosti ovih funkcija uključena je u obveznu studiju memorije, poput tablice množenja. To se posebno odnosi na nastavu s fizikalnom i matematičkom pristranošću. U tablici možete vidjeti vrijednosti glavnih kutova koji se koriste u trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stupnjeva.

Tu je i tablica koja definira vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova. Koristeći različite tablice, možete jednostavno izračunati sinus, kosinus, tangent i kotangens nekih kutova.

Jednadžbe se izrađuju s trigonometrijskim funkcijama. Rješavanje ovih jednadžbi je jednostavno ako znate jednostavne trigonometrijske identitete i redukcije funkcija, na primjer, kao što su sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) i drugi. Za takve odljeve također je sastavljena posebna tablica.

Kako pronaći sinus kuta

Kada je zadatak pronaći sinus kuta, a pod uvjetom imamo samo kosinus, tangens ili kotangens kuta, lako možemo izračunati što nam treba pomoću trigonometrijskih identiteta.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iz ove jednadžbe možemo pronaći i sinus i kosinus, ovisno o tome koja je vrijednost nepoznata. Dobivamo trigonometrijsku jednadžbu s jednom nepoznatom:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijednost sinusa, znajući vrijednost kotangensa kuta. Da pojednostavimo, zamijenite sin 2 x = y i tada imate jednostavnu jednadžbu. Na primjer, vrijednost kotangensa je 1, tada:

• 1 + 1 = 1/y
• 2 = 1 / god
• 2y = 1
• y = 1/2

Sada izvodimo obrnutu zamjenu igrača:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Budući da smo uzeli vrijednost kotangensa za standardni kut (45 0), dobivene vrijednosti možemo provjeriti u tablici.

Ako imate tangentnu vrijednost, ali trebate pronaći sinus, pomoći će vam još jedan trigonometrijski identitet:

• tg x * ctg x = 1

Iz toga slijedi da:

• ctg x = 1 / tg x

Da biste pronašli sinus nestandardnog kuta, na primjer, 240 0, morate koristiti formule za smanjenje kuta. Znamo da π za nas odgovara 180 0. Stoga ćemo našu jednakost izraziti pomoću standardnih kutova proširenjem.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Moramo pronaći sljedeće: sin (180 0 + 60 0). U trigonometriji postoje formule redukcije koje su korisne u ovom slučaju. Ovo je formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Dakle, sinus kuta od 240 stupnjeva je:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

U našem slučaju, x = 60, odnosno P, 180 stupnjeva. Pronašli smo vrijednost (-√3/2) iz tablice vrijednosti funkcija standardnih kutova.

Na taj način se mogu razložiti nestandardni kutovi, na primjer: 210 = 180 + 30.

Osnovne formule trigonometrije su formule koje uspostavljaju odnose između osnovnih trigonometrijskih funkcija. Sinus, kosinus, tangent i kotangens međusobno su povezani mnogim odnosima. U nastavku dajemo glavne trigonometrijske formule, a radi praktičnosti grupiramo ih prema njihovoj namjeni. Koristeći ove formule, možete riješiti gotovo svaki problem iz standardnog tečaja trigonometrije. Odmah napominjemo da su u nastavku navedene samo same formule, a ne njihovo izvođenje, čemu će biti posvećeni zasebni članci.

Osnovni identiteti trigonometrije

Trigonometrijski identiteti daju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog kuta, dopuštajući da se jedna funkcija izrazi u terminima druge.

Trigonometrijski identiteti

sin 2 a + cos 2 a = 1 tg α = sin α cos α , ctg α = cos α sin α tg α ctg α = 1 tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α , ctg 2 α + 1 = 1 sin 2α

Ovi identiteti izravno slijede iz definicija jedinične kružnice, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangente (tg) i kotangensa (ctg).

Izlivene formule

Formule za lijevanje omogućuju vam da prijeđete s rada s proizvoljnim i proizvoljno velikim kutovima na rad s kutovima u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Izlivene formule

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α tg α + 2 π z = tg α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α tg - α + 2 π z = - tg α , ctg - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α tg π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg π 2 + α + 2 π z = - tg α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α tg π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg π 2 - α + 2 π z = tg α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = tg α , ctg π + α + 2 π z = ctg α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α tg π - α + 2 π z = - tg α , ctg π - α + 2 π z = - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z = - ctg α , ctg 3 π 2 + α + 2 π z = - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z = ctg α , ctg 3 π 2 - α + 2 π z = tg α

Formule redukcije su posljedica periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske formule zbrajanja

Formule zbrajanja u trigonometriji omogućuju vam da izrazite trigonometrijsku funkciju zbroja ili razlike kutova u smislu trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Trigonometrijske formule zbrajanja

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β tg α ± β = tg α α tg β 1 ± tg α tg β ctg α ± β = - 1 ± ctg α ctg β ctg α ± ctg β

Na temelju adicijskih formula izvode se trigonometrijske formule za višestruki kut.

Formule za više kutova: dvostruko, trostruko, itd.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 tg \u003d u003d 2 tg α 1 - tg 2 α s tg 2 α \u003d s tg 2 α - 1 2 s tg α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α3 \u003d α 4 sin 3 α cos 3 α \u003d cos 3 α - 3 sin 2 α cos α, cos 3 α \u003d - 3 cos α + 4 cos 3 α tg 3 α \u003d 3 tg α - tg 3 αt 1 2 α ctg 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1

Formule pola kuta

Formule polovičnog kuta u trigonometriji posljedica su formula dvostrukog kuta i izražavaju odnos između osnovnih funkcija polukuta i kosinusa cijelog kuta.

Formule pola kuta

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule redukcije

Formule redukcije

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Često je u izračunima nezgodno raditi s glomaznim ovlastima. Formule za smanjenje stupnja omogućuju smanjenje stupnja trigonometrijske funkcije s proizvoljno velikog na prvi. Ovdje je njihov opći pogled:

Opći oblik redukcijskih formula

za čak n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C kn cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C kn cos ((n - 2 k) α)

za neparan n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C kn sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C kn cos ((n - 2 k) α)

Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija

Razlika i zbroj trigonometrijskih funkcija može se predstaviti kao umnožak. Faktoriranje razlika sinusa i kosinusa vrlo je zgodno za korištenje pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pojednostavljivanju izraza.

Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Umnožak trigonometrijskih funkcija

Ako vam formule za zbroj i razliku funkcija omogućuju prijelaz na njihov proizvod, tada formule za umnožak trigonometrijskih funkcija izvode obrnuti prijelaz - od proizvoda do zbroja. Razmatraju se formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinus po kosinus.

Formule za umnožak trigonometrijskih funkcija

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (grijeh (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrijska zamjena

Sve osnovne trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus, tangenta i kotangens - mogu se izraziti tangentom pola kuta.

Univerzalna trigonometrijska zamjena

sin α = 2 tg α 2 1 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 ctg α = 1 - tg 2 α 2tgα 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti za trigonometrijske funkcije koristi znak √ za označavanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka - simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu linije koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus od 30 stupnjeva - tražimo stupac sa naslovom sin (sinus) i nalazimo sjecište ovog stupca tablice s linijom "30 stupnjeva", na njihovom presjeku čitamo rezultat - jedan drugi. Slično, nalazimo kosinus 60 stupnjeva, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin (sinus) i reda od 60 stupnjeva nalazimo vrijednost sin 60 = √3/2), itd. Na isti se način pronalaze vrijednosti sinusa, kosinusa i tangenta drugih "popularnih" kutova.

Sinus od pi, kosinus od pi, tangent od pi i drugi kutovi u radijanima

Tablica kosinusa, sinusa i tangenta u nastavku također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kutova. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega očitamo njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega kružnice o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijani je jednako 180 stupnjeva.

Bilo koji broj izražen u pi (radijan) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom broja pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dakle, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
dakle, tangent od pi je isti kao tangent od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta za kutove 0 - 360 stupnjeva (česte vrijednosti)

kut α (stupnjevi)	kut α u radijanima (preko pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sec (sekant)	uzrok (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije označena crtica (tangenta (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada za danu vrijednost mjere stupnja kuta, funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, pa još nismo unijeli željenu vrijednost. Zanima nas po kojim zahtjevima nam se korisnici obraćaju i dopunjuju tablicu novim vrijednostima, unatoč činjenici da su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangenta najčešćih vrijednosti kutova dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(brojčane vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Pojmovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, a neraskidivo su povezane s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno mišljenje. Zato trigonometrijski izračuni često uzrokuju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se bolje upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne pojmove trigonometrije, prvo morate odlučiti što su pravokutni trokut i kut u kružnici i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutni trokut. Povijesno gledano, ovu figuru često su koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i katete. Hipotenuza je stranica trokuta koja je nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta je uvijek 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija je dio trigonometrije koji se ne izučava u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Značajka trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer katete nasuprot željenom kutu i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Obje ove vrijednosti uvijek imaju vrijednost manju od jedan, budući da je hipotenuza uvijek duža od kraka.

Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, odnosno sinusa i kosinusa. Kotangens je pak omjer susjednog kraka željenog kuta i suprotnog kakteta. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedinice s vrijednošću tangente.

jedinični krug

Jedinični krug u geometriji je kružnica čiji je polumjer jednak jedan. Takva se kružnica konstruira u kartezijanskom koordinatnom sustavu, pri čemu se središte kružnice poklapa s ishodišnom točkom, a početni položaj vektora radijusa određen je pozitivnim smjerom osi X (os apscise). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscise i ordinate. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i spuštanjem okomice s nje na os apscise, dobivamo pravokutni trokut formiran polumjerom na odabranu točku (označimo je slovom C), okomicu povučenu na os X (točka presjeka označena je slovom G), a segment os apscise između ishodišta (točka je označena slovom A) i točke presjeka G. Dobiveni trokut ACG je pravokutni trokut upisan u krug, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC su katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta osi apscise s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG/AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedan, ispada da je cos α=AG. Slično, sin α=CG.

Osim toga, znajući ove podatke, možete odrediti koordinate točke C na kružnici, budući da je cos α=AG, a sin α=CG, što znači da točka C ima zadane koordinate (cos α; sin α). Znajući da je tangent jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α \u003d y / x, i ctg α \u003d x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, može se izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jedinični krug, možemo izvesti vrijednosti tih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima je pod znakom trigonometrijske funkcije nepoznata vrijednost nazivaju se trigonometrijske. Identiteti s vrijednošću sin x = α, k je bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, h = ±arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Izlivene formule

Ova kategorija konstantnih formula označava metode pomoću kojih možete prijeći od trigonometrijskih funkcija oblika do funkcija argumenta, odnosno pretvoriti sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta bilo koje vrijednosti u odgovarajuće pokazatelje kuta interval od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.

Formule za redukcijske funkcije za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Upotreba gornjih formula moguća je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može predstaviti kao vrijednost (π/2 ± a) ili (3π/2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može predstaviti kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak reducirane funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav ostaje. Isto vrijedi i za negativne funkcije.

Formule zbrajanja

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično označavaju kao α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve kutove α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule dvostrukog i trostrukog kuta su formule koje povezuju funkcije kutova 2α i 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prijelaz sa zbroja na proizvod

Uzimajući u obzir da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identičnost sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Slično, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prijelaz s proizvoda na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta za prijelaz zbroja u proizvod:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule redukcije

U ovim identitetima, kvadratne i kubične snage sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamjena

Univerzalne trigonometrijske zamjenske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta pola kuta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), dok je x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdje je x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x \u003d π + 2πn.

Posebni slučajevi

U nastavku su dati pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Privatno za sinus:

sin x vrijednost	x vrijednost
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ili 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ili -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ili 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ili -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ili 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ili -2π/3 + 2πk

Kosinusni kvocijent:

cos x vrijednost	x vrijednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privatno za tangentu:

tg x vrijednost	x vrijednost
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangentni kvocijent:

ctg x vrijednost	x vrijednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorem sinusa

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Teorem jednostavnog sinusa: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. U ovom slučaju, a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ su suprotni kutovi.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. U ovom identitetu, R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na ovaj način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. U formuli su a, b, c stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranice a.

Teorem tangente

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljine stranica nasuprot njima. Stranice su označene a, b, c, a odgovarajući suprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentni teorem

Povezuje polumjer kružnice upisane u trokut s duljinom njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C, redom, njihovi suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p je poluperimetar trokuta, sljedeći identiteti drži:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Prijave

Trigonometrija nije samo teorijska znanost povezana s matematičkim formulama. Njegova svojstva, teoreme i pravila u praksi koriste razne grane ljudske djelatnosti - astronomija, zračna i pomorska plovidba, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni rad, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangenta i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, pomoću kojih možete matematički izraziti odnos kutova i duljina stranica u trokutu, te pronaći željene veličine kroz identitete, teoreme i pravila.