Ako se čini da vaše dijete ne može shvatiti kako dijeliti decimale, to nije razlog da mislite da je nesposobno za matematiku.
Najvjerojatnije mu jednostavno nisu jasno objasnili kako se to radi. Djetetu trebamo pomoći i ispričati mu o razlomcima i operacijama s njima na što jednostavniji, gotovo razigran način. A za ovo se moramo nečega i sami sjetiti.
Frakcijski izrazi se koriste kada govorimo o necijelim brojevima. Ako je razlomak manji od jedan, tada opisuje dio nečega, ako je veći, opisuje nekoliko cijelih dijelova i još jedan dio. Razlomke opisuju 2 vrijednosti: nazivnik, koji objašnjava na koliko je jednakih dijelova broj podijeljen, i brojnik, koji nam govori na koliko takvih dijelova mislimo.
Recimo da ste pitu razrezali na 4 jednaka dijela i 1 dali svojim susjedima. Nazivnik će biti jednak 4. A brojnik ovisi o tome što želimo opisati. Ako govorimo o tome koliko je dano susjedima, onda je brojnik 1, a ako govorimo o tome koliko je ostalo, onda je 3.
U primjeru pite, nazivnik je 4, au izrazu "1 dan je 1/7 tjedna" je 7. Razlomak s bilo kojim nazivnikom je obični razlomak.
Matematičari, kao i svi drugi, pokušavaju si olakšati život. I zato su izmišljeni decimalni razlomci. U njima je nazivnik jednak 10 ili brojevima koji su višekratnici broja 10 (100, 1000, 10 000 itd.), a pišu se na sljedeći način: cjelobrojna komponenta broja odvaja se zarezom od razlomne komponente. Na primjer, 5,1 je 5 cijelih i 1 desetina, a 7,86 je 7 cijelih i 86 stotinki.
Malo utočište nije za vašu djecu, već za vas same. Kod nas je uobičajeno da se razlomak odvaja zarezom. U inozemstvu, prema ustaljenoj tradiciji, uobičajeno je odvajati ga točkom. Stoga, ako naiđete na slične oznake u stranom tekstu, nemojte se iznenaditi.
Dijeljenje razlomaka
Svaka aritmetička operacija sa sličnim brojevima ima svoje karakteristike, ali sada ćemo pokušati naučiti kako dijeliti decimalne razlomke. Moguće je podijeliti razlomak sa prirodni broj ili na neki drugi razlomak.
Kako bismo lakše svladali ovu računsku operaciju, važno je zapamtiti jednu jednostavnu stvar.
Nakon što naučite koristiti zareze, možete koristiti ista pravila dijeljenja kao i za cijele brojeve.
Razmislite o dijeljenju razlomka prirodnim brojem. Tehnologija podjele u stupac trebala bi vam već biti poznata iz prethodno obrađenog materijala. Postupak je sličan. Dividendu dijeli predznak djeliteljem. Čim red dođe do zadnjeg znaka ispred zareza, u kvocijent se stavlja zarez, a zatim se dijeljenje nastavlja na uobičajeni način.
Odnosno, osim izbacivanja zareza – najviše redovita podjela, a zarez nije jako težak.
Dijeljenje razlomka razlomkom
Primjeri u kojima trebate podijeliti jednu razlomačku vrijednost drugom čine se vrlo složenima. Ali zapravo, s njima se nije ništa teže nositi. Dijeljenje jednog decimalnog razlomka drugim bit će mnogo lakše ako se riješite zareza u djelitelju.
Kako to učiniti? Ako trebate staviti 90 olovaka u 10 kutija, koliko će olovaka biti u svakoj kutiji? 9. Pomnožimo oba broja s 10 - 900 olovaka i 100 kutija. Koliko u svakoj? 9. Isti princip vrijedi i kada trebate podijeliti decimalni razlomak.
Djelitelj se u potpunosti oslobađa zareza, a zarez djelitelja se pomiče udesno za onoliko mjesta koliko je prethodno bilo u djelitelju. A zatim se provodi uobičajena podjela u stupac, o čemu smo gore govorili. Na primjer:
25,6/6,4 = 256/64 = 4;
10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;
100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.
Dividenda se mora množiti i množiti s 10 dok djelitelj ne postane cijeli broj. Stoga može imati dodatne nule s desne strane.
40,6/0,58 =4060/58=70.
Ništa loše u tome. Sjetite se primjera s olovkama - odgovor se neće promijeniti ako oba broja povećate za isti iznos. Obične razlomke teže je dijeliti, pogotovo ako u brojniku i nazivniku nema zajedničkih faktora.
Dijeljenje decimale mnogo je praktičnije u tom pogledu. Najteži trik ovdje je trik s prelamanjem zareza, ali kao što smo vidjeli, lako je rukovati njime. Ako to budete mogli prenijeti svom djetetu, naučit ćete ga kako dijeliti decimale.
Svladavši ovo jednostavno pravilo, vaš će se sin ili kći osjećati puno sigurnije u nastavi matematike i, tko zna, možda će se zainteresirati za ovaj predmet. Matematički način razmišljanja rijetko se manifestira od ranog djetinjstva; ponekad je potreban poticaj i interes.
Pomažući djetetu oko zadaće, ne samo da ćete poboljšati njegov školski uspjeh, već i proširiti njegov krug interesa, na čemu će vam s vremenom biti zahvalno.
Razlomak je jedan ili više dijelova cjeline, obično se uzima kao jedan (1). Kao i kod prirodnih brojeva, s razlomcima možete izvoditi sve osnovne aritmetičke operacije (zbrajanje, oduzimanje, dijeljenje, množenje), za to morate poznavati značajke rada s razlomcima i razlikovati njihove vrste. Postoji nekoliko vrsta razlomaka: decimalni i obični ili prosti. Svaka vrsta razlomaka ima svoje specifičnosti, ali nakon što temeljito shvatite kako s njima postupati, moći ćete rješavati sve primjere s razlomcima, budući da ćete znati osnovne principe izvođenja aritmetičkih izračuna s razlomcima. Pogledajmo primjere kako podijeliti razlomak cijelim brojem pomoću različiti tipovi razlomci.
Kako prosti razlomak podijeliti prirodnim brojem?Obični ili prosti razlomci su razlomci koji su napisani u obliku omjera brojeva kod kojih je na vrhu razlomka naveden djelitelj (brojnik), a na dnu djelitelj (nazivnik) razlomka. Kako takav razlomak podijeliti cijelim brojem? Pogledajmo primjer! Recimo da trebamo podijeliti 8/12 sa 2.
Da bismo to učinili, moramo izvršiti niz radnji:
Stoga, ako se suočimo sa zadatkom dijeljenja razlomka s cijelim brojem, dijagram rješenja izgledat će otprilike ovako: 
Na sličan način možete podijeliti bilo koji obični (prosti) razlomak cijelim brojem.
Kako podijeliti decimalu s cijelim brojem?
Decimala je razlomak koji se dobije dijeljenjem jedinice na deset, tisuću i tako dalje. Aritmetičke operacije s decimalnim razlomcima prilično su jednostavni.
Pogledajmo primjer kako podijeliti razlomak cijelim brojem. Recimo da decimalni razlomak 0,925 trebamo podijeliti s prirodnim brojem 5.
Ukratko, zadržimo se na dvije glavne točke koje su važne pri izvođenju operacije dijeljenja decimale cijelim brojem: - za dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem koristi se dugo dijeljenje;
- Zarez se stavlja u količniku kada je završeno dijeljenje cijelog dijela dividende.
U školi se te radnje proučavaju od jednostavnih do složenih. Stoga je neophodno temeljito razumjeti algoritam za izvođenje ovih operacija jednostavni primjeri. Tako da kasnije neće biti poteškoća s dijeljenjem decimalnih frakcija u stupac. Uostalom, ovo je najviše teška opcija slične zadatke.
Ova tema zahtijeva dosljedno proučavanje. Praznine u znanju su ovdje nedopustive. Ovo bi načelo svaki učenik trebao naučiti već u prvom razredu. Stoga, ako propustite nekoliko lekcija zaredom, gradivo ćete morati svladati sami. U suprotnom, kasnije će se pojaviti problemi ne samo s matematikom, već i s drugim predmetima vezanim uz nju.
Drugi potrebno stanje uspješan studij matematika - na primjere dugog dijeljenja prijeći tek nakon savladanog zbrajanja, oduzimanja i množenja.
Djetetu će biti teško dijeliti ako nije naučilo tablicu množenja. Usput, bolje ga je podučavati pomoću Pitagorine tablice. Nema ništa suvišno, a množenje je u ovom slučaju lakše naučiti.
Kako se prirodni brojevi množe u stupcu?
Ako se pojave poteškoće u rješavanju primjera u stupcu za dijeljenje i množenje, trebali biste početi rješavati problem s množenjem. Budući da je dijeljenje inverzna operacija množenja:
- Prije nego što pomnožite dva broja, morate ih pažljivo pogledati. Odaberite onaj s više znamenki (duži) i prvi ga zapišite. Stavite drugi ispod njega. Štoviše, brojevi odgovarajuće kategorije moraju biti u istoj kategoriji. To jest, krajnja desna znamenka prvog broja trebala bi biti iznad krajnje desne znamenke drugog.
- Pomnožite krajnju desnu znamenku donjeg broja sa svakom znamenkom gornjeg broja, počevši s desne strane. Odgovor napišite ispod crte tako da zadnja znamenka bude ispod one s kojom ste pomnožili.
- Ponovite isto s drugom znamenkom nižeg broja. Ali rezultat množenja mora biti pomaknut jednu znamenku ulijevo. U ovom slučaju, njegova posljednja znamenka bit će ispod one s kojom je pomnožena.
Nastavite ovo množenje u stupcu dok ne ponestane brojeva u drugom faktoru. Sada ih treba presavijati. Ovo će biti odgovor koji tražite.
Algoritam za množenje decimala
Prvo, trebate zamisliti da zadani razlomci nisu decimalni, već prirodni. Odnosno, uklonite zareze s njih i zatim postupite kao što je opisano u prethodnom slučaju.
Razlika počinje kada se odgovor zapiše. U ovom trenutku potrebno je prebrojati sve brojeve koji se pojavljuju iza decimalnih zareza u oba razlomka. Točno toliko ih treba prebrojati od kraja odgovora i tu staviti zarez.
Pogodno je ilustrirati ovaj algoritam pomoću primjera: 0,25 x 0,33:
Gdje početi učiti dijeljenje?
Prije rješavanja primjera dugog dijeljenja, morate zapamtiti nazive brojeva koji se pojavljuju u primjeru dugog dijeljenja. Prvi od njih (onaj koji se dijeli) je djeljiv. Drugi (podijeljen sa) je djelitelj. Odgovor je privatan.
Nakon toga ćemo na jednostavnom svakodnevnom primjeru objasniti bit ove matematičke operacije. Na primjer, ako uzmete 10 slatkiša, lako ih je jednako podijeliti između mame i tate. Ali što ako ih trebate dati roditeljima i bratu?
Nakon toga možete se upoznati s pravilima podjele i savladati ih konkretni primjeri. Prvo jednostavne, a onda prijeđite na sve složenije.
Algoritam za dijeljenje brojeva u stupac
Najprije predstavimo postupak za prirodne brojeve djeljive jednoznamenkastim brojem. Oni će također biti osnova za višeznamenkaste djelitelje ili decimalne razlomke. Tek tada treba ući manje izmjene, ali o tome kasnije:
- Prije dugog dijeljenja morate odrediti gdje su dividenda i djelitelj.
- Zapišite dividendu. Desno od njega je razdjelnik.
- Nacrtajte kut lijevo i dolje blizu zadnjeg kuta.
- Odredite nepotpunu dividendu, odnosno broj koji će biti minimalan za dijeljenje. Obično se sastoji od jedne znamenke, najviše dvije.
- Odaberite broj koji će biti prvi upisan u odgovoru. To bi trebao biti broj puta koliko se djelitelj uklapa u dividendu.
- Zapiši rezultat množenja tog broja djeliteljem.
- Napišite ga ispod nepotpune dividende. Izvršite oduzimanje.
- Dodajte ostatku prvu znamenku nakon dijela koji je već podijeljen.
- Ponovno odaberite broj za odgovor.
- Ponoviti množenje i oduzimanje. Ako je ostatak nula i dividenda je gotova, tada je primjer gotov. U suprotnom, ponovite korake: uklonite broj, podignite broj, pomnožite, oduzmite.
Kako riješiti dugo dijeljenje ako djelitelj ima više od jedne znamenke?
Sam algoritam u potpunosti se podudara s gore opisanim. Razlika će biti broj znamenki u nepotpunoj dividendi. Sad bi ih trebalo biti barem dvoje, ali ako se pokažu manji od djelitelja, tada biste trebali raditi s prve tri znamenke.
Postoji još jedna nijansa u ovoj podjeli. Činjenica je da ostatak i broj koji mu se dodaje ponekad nisu djeljivi djeliteljem. Zatim morate dodati još jedan broj po redu. Ali odgovor mora biti nula. Ako se dioba provodi troznamenkasti brojevi u stupcu, možda ćete morati ukloniti više od dvije znamenke. Zatim se uvodi pravilo: u odgovoru treba biti jedna nula manje od broja uklonjenih znamenki.
Ovu podjelu možete razmotriti na primjeru - 12082: 863.
- Nepotpuna dividenda u njemu ispada da je broj 1208. Broj 863 je stavljen u njega samo jednom. Dakle, odgovor bi trebao biti 1, a pod 1208 upisati 863.
- Nakon oduzimanja, ostatak je 345.
- Trebate mu dodati broj 2.
- Broj 3452 sadrži 863 četiri puta.
- Kao odgovor mora biti zapisano četiri. Štoviše, kad se pomnoži s 4, dobiva se upravo taj broj.
- Ostatak nakon oduzimanja je nula. Odnosno, podjela je završena.
Odgovor u primjeru bio bi broj 14.
Što ako dividenda završi na nuli?
Ili nekoliko nula? U ovom slučaju, ostatak je nula, ali dividenda i dalje sadrži nule. Nema potrebe očajavati, sve je jednostavnije nego što se čini. Dovoljno je jednostavno dodati odgovoru sve nule koje su ostale nepodijeljene.
Na primjer, trebate podijeliti 400 s 5. Nepotpuna dividenda je 40. Pet stane u nju 8 puta. To znači da odgovor treba napisati kao 8. Kod oduzimanja ne ostaje nikakav ostatak. Odnosno, podjela je završena, ali u dividendi ostaje nula. Morat će se dodati odgovoru. Dakle, dijeljenje 400 sa 5 jednako je 80.
Što učiniti ako trebate podijeliti decimalni razlomak?
Opet, ovaj broj izgleda kao prirodan broj, ako nema zareza koji odvaja cijeli dio od razlomka. Ovo sugerira da je podjela decimalnih razlomaka u stupac slična onoj gore opisanoj.
Jedina razlika bit će točka-zarez. Trebalo bi ga staviti u odgovor čim se iz razlomka ukloni prva znamenka. Drugi način da to kažete je sljedeći: ako ste završili s dijeljenjem cijelog dijela, stavite zarez i nastavite rješenje dalje.
Kada rješavate primjere dugog dijeljenja s decimalnim razlomcima, morate zapamtiti da se u dio iza decimalne točke može dodati bilo koji broj nula. Ponekad je to potrebno kako bi se kompletirali brojevi.
Dijeljenje dvije decimale
Možda se čini komplicirano. Ali samo na početku. Uostalom, kako podijeliti stupac frakcija prirodnim brojem već je jasno. To znači da ovaj primjer moramo svesti na već poznati oblik.
Lako je napraviti. Morate pomnožiti oba razlomka s 10, 100, 1000 ili 10 000, a možda i s milijunom ako problem to zahtijeva. Pretpostavlja se da se množitelj bira na temelju toga koliko nula ima decimalni dio djelitelja. To jest, rezultat će biti da ćete razlomak morati podijeliti prirodnim brojem.
A ovo će biti najgori mogući scenarij. Uostalom, može se dogoditi da dividenda od ove operacije postane cijeli broj. Tada će se rješenje primjera s dijeljenjem u stupac razlomaka svesti na samu jednostavna opcija: operacije s prirodnim brojevima.
Kao primjer: podijelite 28,4 s 3,2:
- Prvo ih je potrebno pomnožiti s 10, jer drugi broj ima samo jednu znamenku iza decimalne točke. Množenje će dati 284 i 32.
- Oni bi trebali biti razdvojeni. Štoviše, cijeli broj je 284 puta 32.
- Prvi broj odabran za odgovor je 8. Množenje daje 256. Ostatak je 28.
- Podjela cijelog dijela je završena, au odgovoru je potreban zarez.
- Uklonite do ostatka 0.
- Ponovno uzmite 8.
- Ostatak: 24. Dodajte mu još 0.
- Sada morate uzeti 7.
- Rezultat množenja je 224, ostatak je 16.
- Skinite još 0. Uzmite 5 svaki i dobit ćete točno 160. Ostatak je 0.
Podjela je završena. Rezultat primjera 28.4:3.2 je 8,875.
Što ako je djelitelj 10, 100, 0,1 ili 0,01?
Kao i kod množenja, ovdje nije potrebno dugo dijeljenje. Dovoljno je jednostavno pomaknuti zarez u željenom smjeru za određeni broj znamenki. Štoviše, pomoću ovog principa možete rješavati primjere i s cijelim brojevima i s decimalnim razlomcima.
Dakle, ako trebate podijeliti s 10, 100 ili 1000, tada se decimalna točka pomiče ulijevo za isti broj znamenki za koliko ima nula u djelitelju. To jest, kada je broj djeljiv sa 100, decimalna točka se mora pomaknuti ulijevo za dvije znamenke. Ako je dividenda prirodan broj, tada se pretpostavlja da je zarez na kraju.
Ova radnja daje isti rezultat kao da se broj pomnoži s 0,1, 0,01 ili 0,001. U ovim primjerima, zarez je također pomaknut ulijevo za broj znamenki jednak duljini razlomka.
Kod dijeljenja s 0,1 (itd.) ili množenja s 10 (itd.), decimalna točka treba se pomaknuti udesno za jednu znamenku (ili dvije, tri, ovisno o broju nula ili duljini razlomka).
Vrijedno je napomenuti da broj znamenki navedenih u dividendi možda neće biti dovoljan. Tada se nule koje nedostaju mogu dodati lijevo (u cijelom dijelu) ili desno (iza decimalne točke).
Dijeljenje periodičkih razlomaka
U tom slučaju neće biti moguće dobiti točan odgovor prilikom podjele u stupac. Kako riješiti primjer ako naiđete na razlomak s točkom? Ovdje trebamo prijeći na obične razlomke. A zatim ih podijelite prema prethodno naučenim pravilima.
Na primjer, trebate podijeliti 0.(3) s 0.6. Prvi razlomak je periodičan. Pretvara se u razlomak 3/9, koji kad se reducira daje 1/3. Drugi razlomak je zadnja decimala. Još je lakše zapisati ga kao i obično: 6/10, što je jednako 3/5. Pravilo dijeljenja običnih razlomaka nalaže da se dijeljenje zamijeni množenjem, a djelitelj recipročnim. Odnosno, primjer se svodi na množenje 1/3 sa 5/3. Odgovor će biti 5/9.
Ako primjer sadrži različite razlomke...
Tada je moguće nekoliko rješenja. Prvo, možete pokušati pretvoriti obični razlomak u decimalu. Zatim podijelite dvije decimale pomoću gornjeg algoritma.
Drugo, svaki krajnji decimalni razlomak može se napisati kao obični razlomak. Ali ovo nije uvijek zgodno. Najčešće se takve frakcije pokažu ogromnima. A odgovori su glomazni. Stoga se prvi pristup smatra poželjnijim.
U prošloj lekciji smo naučili kako zbrajati i oduzimati decimale (vidi lekciju “Zbrajanje i oduzimanje decimala”). Istodobno smo procijenili koliko su izračuni pojednostavljeni u usporedbi s običnim "dvokatnim" razlomcima.
Nažalost, ovaj se učinak ne pojavljuje kod množenja i dijeljenja decimala. U nekim slučajevima decimalni zapis čak komplicira te operacije.
Prvo, uvedimo novu definiciju. Viđat ćemo ga dosta često, i to ne samo u ovoj lekciji.
Značajni dio broja je sve između prve i zadnje znamenke koja nije nula, uključujući krajeve. Govorimo samo o brojevima, decimalna točka se ne uzima u obzir.
Znamenke uključene u značajni dio broja nazivaju se značajnim znamenkama. Mogu se ponavljati i čak biti jednaki nuli.
Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite odgovarajuće značajne dijelove:
- 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna brojka: 3).
Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikamo. Već smo se susreli s nečim sličnim kada smo učili pretvarati decimalne razlomke u obične (vidi lekciju “Decimale”).
Ova točka je toliko važna, a pogreške se ovdje tako često čine, da ću u bliskoj budućnosti objaviti test na ovu temu. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, nastavit ćemo, zapravo, s temom lekcije.
Množenje decimala
Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:
- Za svaki razlomak napiši značajni dio. Dobit ćete dva obična cijela broja - bez ikakvih nazivnika i decimalnih točaka;
- Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Izravno, ako su brojevi mali, ili u stupcu. Dobivamo značajan dio željene frakcije;
- Saznajte gdje je i za koliko znamenki decimalna točka u izvornim razlomcima pomaknuta da bi se dobio odgovarajući značajni dio. Izvršite obrnute pomake za značajan dio dobiven u prethodnom koraku.
Još jednom vas podsjećam da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Ignoriranje ovog pravila dovodi do pogrešaka.
- 0,28 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10.000.
Radimo s prvim izrazom: 0,28 · 12,5.
- Ispišimo značajne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
- Njihov umnožak: 28 · 125 = 3500;
- U prvom faktoru decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom je pomaknuta za još 1 znamenku. Ukupno vam je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3500 = 3,5.
Sada pogledajmo izraz 6.3 · 1.08.
- Zapišimo značajne dijelove: 63 i 108;
- Njihov umnožak: 63 · 108 = 6804;
- Opet dva pomaka udesno: za 2 odnosno 1 znamenku. Ukupno - opet 3 znamenke udesno, tako da će obrnuti pomak biti 3 znamenke ulijevo: 6804 → 6,804. Ovaj put nema nula na kraju.
Došli smo do trećeg izraza: 132,5 · 0,0034.
- Značajni dijelovi: 1325. i 34.;
- Njihov umnožak: 1325 · 34 = 45 050;
- U prvom se razlomku decimalna točka pomiče udesno za 1 znamenku, au drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Pomaknemo se za 5 ulijevo: 45,050 → ,45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju, a dodana naprijed kako ne bi ostala “gola” decimalna točka.
Sljedeći izraz je: 0,0108 · 1600,5.
- Zapisujemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
- Množimo ih: 108 · 16 005 = 1 728 540;
- Brojimo brojeve iza decimalne točke: u prvom broju je 4, u drugom je 1. Ukupno je opet 5. Imamo: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “extra” nula.
Konačno, posljednji izraz: 5,25 10,000.
- Značajni dijelovi: 525 i 1;
- Množimo ih: 525 · 1 = 525;
- Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10 000 → 1,0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 znamenke udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).
Napomena u posljednjem primjeru: budući da se decimalna točka pomiče u različitim smjerovima, ukupni pomak se nalazi kroz razliku. Ovo je vrlo važna točka! Evo još jednog primjera:
Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). „Koračimo“ 1 znamenku udesno, a zatim 2 ulijevo. Kao rezultat, pomaknuli smo se 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.
Decimalno dijeljenje
Podjela je možda najviše složena operacija. Naravno, ovdje možete djelovati analogno množenju: podijelite značajne dijelove, a zatim "pomaknite" decimalnu točku. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalne uštede.
Stoga, pogledajmo univerzalni algoritam, koji je malo dulji, ali puno pouzdaniji:
- Pretvorite sve decimalne razlomke u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
- Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak s "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
- Ako je moguće, ponovno predstavite rezultat kao decimalni razlomak. Ovaj je korak također brz, budući da je nazivnik često već potencija broja deset.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo razlomke u decimale:
Učinimo isto s drugim izrazom. Brojnik prvog razlomka će se ponovno faktorizirati:
U trećem i četvrtom primjeru postoji važna točka: nakon uklanjanja decimalnog zapisa pojavljuju se reduktibilni razlomci. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.
Zadnji primjer je zanimljiv jer brojnik drugog razlomka sadrži prost broj. Ovdje se jednostavno nema što faktorizirati, pa to razmatramo odmah:
Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o zadnjem primjeru). U tom slučaju treći korak se uopće ne izvodi.
Osim toga, prilikom dijeljenja često nastaju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Ovo razlikuje dijeljenje od množenja, gdje su rezultati uvijek predstavljeni u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju zadnji korak se opet ne izvodi.
Obratite pozornost i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne skraćujemo obični razlomci, izvedeno iz decimala. U suprotnom, ovo će zakomplicirati inverzni zadatak - ponovno predstavljanje konačnog odgovora u decimalnom obliku.
Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati svugdje i uvijek, u svakoj prilici.
U ovom ćemo članku pogledati ovo važna akcija s decimalama, poput dijeljenja. Prvo formulirajmo generalni principi, zatim ćemo pogledati kako pravilno podijeliti decimalne razlomke po stupcima i drugim razlomcima i prirodnim brojevima. Zatim ćemo analizirati dijeljenje običnih razlomaka na decimale i obrnuto, a na kraju ćemo pogledati kako pravilno podijeliti razlomke koji završavaju na 0, 1, 0, 01, 100, 10 itd.
Ovdje ćemo uzeti samo slučajeve s pozitivnim razlomcima. Ako postoji minus ispred razlomka, tada za rad s njim morate proučiti materijal o dijeljenju racionalnih i realnih brojeva.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Svi decimalni razlomci, i konačni i periodični, samo su poseban oblik zapisivanja običnih razlomaka. Stoga podliježu istim načelima kao i odgovarajući obični razlomci. Tako cijeli proces dijeljenja decimalnih razlomaka svodimo na njihovu zamjenu običnim, nakon čega slijedi izračunavanje nama već poznatim metodama. Uzmimo konkretan primjer.
Primjer 1
Podijelite 1,2 s 0,48.
Riješenje
Zapišimo decimalne razlomke kao obične razlomke. Dobit ćemo:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Dakle, trebamo podijeliti 6 5 sa 12 25. Mi računamo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iz rezultirajućeg nepravi razlomak možete odabrati cijeli dio i dobiti mješoviti broj 2 1 2 ili ga možete prikazati kao decimalni razlomak tako da odgovara izvornim brojevima: 5 2 = 2, 5. Već smo pisali o tome kako to učiniti ranije.
Odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Primjer 2
Izračunajte koliko će biti 0 , (504) 0 , 56.
Riješenje
Prvo moramo periodični decimalni razlomak pretvoriti u obični razlomak.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Nakon toga ćemo i konačni decimalni razlomak pretvoriti u drugi oblik: 0, 56 = 56,100. Sada imamo dva broja s kojima će nam biti lako izvršiti potrebne izračune:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111 : 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Imamo rezultat koji također možemo pretvoriti u decimalni oblik. Da biste to učinili, podijelite brojnik s nazivnikom koristeći metodu stupca:
Odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Ako smo u primjeru podjele naišli na neperiodične decimalne razlomke, tada ćemo djelovati malo drugačije. Ne možemo ih svesti na uobičajene obične razlomke, pa ih pri dijeljenju prvo moramo zaokružiti na određenu znamenku. Ova se radnja mora izvesti i s djeliteljem i s djeliteljem: također ćemo zaokružiti postojeći konačni ili periodični razlomak u interesu točnosti.
Primjer 3
Pronađite koliko je 0,779... / 1,5602.
Riješenje
Prvo zaokružujemo oba razlomka na najbližu stotinu. Ovako prelazimo s beskonačnih neperiodičnih razlomaka na konačne decimalne:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Možemo nastaviti s izračunima i dobiti približan rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78,100: 156,100 = 78,100 100,156 = 78,156 = 1 2 = 0, 5.
Točnost rezultata ovisit će o stupnju zaokruživanja.
Odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kako prirodni broj podijeliti decimalom i obrnuto
Pristup dijeljenju u ovom je slučaju gotovo isti: konačne i periodične razlomke zamjenjujemo običnim, a beskonačne neperiodične zaokružujemo. Počnimo s primjerom dijeljenja prirodnim brojem i decimalnim razlomkom.
Primjer 4
Podijelite 2,5 sa 45.
Riješenje
Svedimo 2, 5 na oblik običnog razlomka: 255 10 = 51 2. Zatim ga samo trebamo podijeliti s prirodnim brojem. Već znamo kako to učiniti:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Ako rezultat pretvorimo u decimalni zapis, dobit ćemo 0,5 (6).
Odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Metoda dugog dijeljenja dobra je ne samo za prirodne brojeve. Po analogiji, možemo ga koristiti za razlomke. U nastavku navodimo slijed radnji koje je potrebno izvršiti za to.
Definicija 1
Za dijeljenje stupca decimalnih razlomaka prirodnim brojevima potrebno je:
1. Decimalnom razlomku s desne strane dodajte nekoliko nula (za dijeljenje ih možemo dodati koliko god nam je potrebno).
2. Podijeli decimalni razlomak prirodnim brojem pomoću algoritma. Kada dijeljenje cijelog dijela razlomka dođe do kraja, u dobiveni kvocijent stavimo zarez i brojimo dalje.
Rezultat takvog dijeljenja može biti ili konačni ili beskonačni periodički decimalni razlomak. Ovisi o ostatku: ako je nula, tada će rezultat biti konačan, a ako se ostaci počnu ponavljati, tada će odgovor biti periodični razlomak.
Uzmimo nekoliko problema kao primjer i pokušajmo izvesti ove korake s određenim brojevima.
Primjer 5
Izračunajte koliko će biti 65, 14 4.
Riješenje
Koristimo metodu stupaca. Da biste to učinili, dodajte dvije nule razlomku i dobijete decimalni ulomak 65, 1400, koji će biti jednak izvornom. Sada pišemo stupac za dijeljenje s 4:
Dobiveni broj bit će rezultat koji nam je potreban dijeljenjem cijelog dijela. Stavimo zarez, odvajamo ga i nastavljamo:
Dosegli smo nulti ostatak, stoga je proces dijeljenja završen.
Odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Primjer 6
Podijelite 164,5 sa 27.
Riješenje
Prvo podijelimo razlomački dio i dobijemo:
Dobiveni broj odvojite zarezom i nastavite s dijeljenjem:
Vidimo da su se ostaci počeli periodički ponavljati, au kvocijentu su se počeli izmjenjivati brojevi devet, dva i pet. Ovdje ćemo stati i odgovor napisati u obliku periodičnog razlomka 6, 0 (925).
Odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Ovo dijeljenje može se svesti na gore opisani postupak pronalaženja kvocijenta decimalnog razlomka i prirodnog broja. Da bismo to učinili, trebamo pomnožiti dividendu i djelitelj s 10, 100 itd. tako da se djelitelj pretvori u prirodni broj. Zatim provodimo slijed gore opisanih radnji. Ovaj pristup je moguć zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja. Zapisali smo ih ovako:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) i tako dalje.
Formulirajmo pravilo:
Definicija 2
Da biste podijelili jedan posljednji decimalni razlomak drugim:
1. Pomaknite zarez u djelitelju i djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko je potrebno da se djelitelj pretvori u prirodni broj. Ako u dividendi nema dovoljno predznaka, dodajemo joj nule s desne strane.
2. Nakon toga razlomak stupcem podijelite s dobivenim prirodnim brojem.
Pogledajmo konkretan problem.
Primjer 7
Podijelite 7,287 s 2,1.
Rješenje: Da bi djelitelj bio prirodan broj, potrebno je decimalno mjesto pomaknuti jedno mjesto udesno. Pa smo prešli na dijeljenje decimalnog razlomka 72, 87 sa 21. Zapišimo dobivene brojeve u stupac i izračunajmo
Odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Primjer 8
Izračunajte 16.30.021.
Riješenje
Morat ćemo pomaknuti zarez za tri mjesta. Za to nema dovoljno znamenki u djelitelju, što znači da morate koristiti dodatne nule. Mislimo da će rezultat biti:
Vidimo periodično ponavljanje ostataka 4, 19, 1, 10, 16, 13. U kvocijentu se ponavljaju 1, 9, 0, 4, 7 i 5. Tada je naš rezultat periodični decimalni razlomak 776, (190476).
Odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda koju smo opisali omogućuje vam da učinite suprotno, to jest da prirodni broj podijelite konačnim decimalnim razlomkom. Da vidimo kako se to radi.
Primjer 9
Izračunaj koliko je 3 5, 4.
Riješenje
Očito ćemo morati pomaknuti zarez na jedno desno mjesto. Nakon toga možemo nastaviti s dijeljenjem 30, 0 sa 54. Zapišimo podatke u stupac i izračunajmo rezultat:
Ponavljanje ostatka daje nam konačni broj 0, (5), koji je periodični decimalni razlomak.
Odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kako podijeliti decimale sa 1000, 100, 10 itd.
Prema već proučenim pravilima dijeljenja običnih razlomaka, dijeljenje razlomka s desecima, stotinama, tisućicama slično je množenju s 1/1000, 1/100, 1/10 itd. Ispada da za izvođenje dijeljenja , u ovom slučaju Jednostavno pomaknite zarez na željeni broj znamenki. Ako u broju nema dovoljno vrijednosti za prijenos, morate dodati potreban broj nula.
Primjer 10
Dakle, 56, 21: 10 = 5, 621 i 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.
U slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, činimo isto.
Primjer 11
Na primjer, 3, (56): 1000 = 0, 003 (56) i 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Kako podijeliti decimale s 0,001, 0,01, 0,1 itd.
Koristeći isto pravilo, također možemo podijeliti razlomke na navedene vrijednosti. Ova će radnja biti slična množenju s 1000, 100, 10, redom. Da bismo to učinili, premjestimo zarez na jednu, dvije ili tri znamenke, ovisno o uvjetima problema, i dodamo nule ako u broju nema dovoljno znamenki.
Primjer 12
Na primjer, 5,739: 0,1 = 57,39 i 0,21: 0,00001 = 21 000.
Ovo pravilo vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Samo vam savjetujemo da pripazite na period razlomka koji se pojavljuje u odgovoru.
Dakle, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) jer nakon što smo pomaknuli zarez u decimalnom razlomku 7, 5716716716... dva mjesta udesno, dobili smo 757, 167167....
Ako u primjeru imamo neperiodične razlomke, onda je sve jednostavnije: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Kako podijeliti mješoviti broj ili razlomak decimalom i obrnuto
Ovu radnju također svodimo na operacije s običnim razlomcima. Da biste to učinili, potrebno je decimalne brojeve zamijeniti odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj napisati kao nepravi razlomak.
Ako neperiodični razlomak podijelimo običnim ili mješovitim brojem, trebamo učiniti suprotno, zamijeniti obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
