Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). To je:
Na primjer:
Sve je krajnje jednostavno. I nemojte, molim vas, tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...
Da biste podijelili razlomak na razlomak, morate okrenuti drugi(ovo je važno!) razlomak i pomnožite ih, tj.:
Na primjer:
Ako se uhvati množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima, u redu je. Kao i kod zbrajanja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:
U srednjoj školi često se morate baviti trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:
Kako ovaj razlomak dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo jednostavno! Koristite dijeljenje kroz dvije točke:
Ali ne zaboravite na redoslijed podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnici je lako pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:
U prvom slučaju (izraz lijevo):
U drugom (izraz desno):
Osjeti razliku? 4 i 1/9!
Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljinu horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, na primjer:
zatim podijeli-množi redom, slijeva na desno!
I vrlo jednostavno i važan trik. U akcijama sa diplomama, dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu s bilo kojim razlomkom, na primjer s 13/15:
Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada dijelite 1 bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.
To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktične savjete, i njih (grešaka) će biti manje!
Praktični savjeti:
1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost! Nije uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je teška potreba! Napravite sve izračune na ispitu kao cjeloviti zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu, nego zabrljati pri računanju u glavi.
2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - idite na obične razlomke.
3. Sve razlomke svodimo do kraja.
4. Višerazinske frakcijske izraze reduciramo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (vodimo redoslijed dijeljenja!).
5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.
Ovdje su zadaci koje morate izvršiti. Nakon svih zadataka daju se odgovori. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko biste primjera mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...
Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (pogotovo trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.
Tako, riješiti u ispitnom načinu ! Usput, ovo je priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeći. Sve smo odlučili – ponovno provjerili od prvog do zadnjeg. Ali samo Zatim pogledajte odgovore.
Izračunati:
Jeste li se odlučili?
Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Ja sam ih posebno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni izračuni s razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...
Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Za rješavanje raznih zadataka iz matematike, fizika mora dijeliti razlomke. Ovo je vrlo lako učiniti ako znate određena pravila izvesti ovu matematičku operaciju.
Prije nego što prijeđemo na formuliranje pravila o tome kako dijeliti razlomke, prisjetimo se nekih matematičkih pojmova:
- Gornji dio razlomka naziva se brojnik, a donji nazivnik.
- Prilikom dijeljenja brojevi se nazivaju ovako: dividend: djelitelj \u003d količnik
Kako dijeliti razlomke: prosti razlomci
Za izvođenje dijeljenja na dva prosti razlomci pomnožite dividendu recipročnom vrijednošću djelitelja. Ovaj se razlomak naziva i obrnutim na drugi način, jer se dobiva kao rezultat zamjene brojnika i nazivnika. Na primjer:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Kako dijeliti razlomke: mješoviti razlomci
Ako moramo podijeliti mješovite frakcije, onda je i ovdje sve vrlo jednostavno i jasno. Prvo pretvorite mješoviti razlomak u obični nepravi razlomak. Da bismo to učinili, pomnožimo nazivnik takvog razlomka s cijelim brojem i dodamo brojnik dobivenom proizvodu. Kao rezultat toga, dobili smo novi brojnik mješovita frakcija, a njen nazivnik ostaje nepromijenjen. Daljnje dijeljenje razlomaka provodit će se na isti način kao i dijeljenje jednostavnih razlomaka. Na primjer:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Kako podijeliti razlomak brojem
Da bi se jednostavan razlomak podijelio s brojem, potonji treba biti napisan kao razlomak (nepravilno). To je vrlo lako učiniti: ovaj broj je napisan umjesto brojnika, a nazivnik takvog razlomka jednak je jedan. Daljnja podjela se provodi na uobičajeni način. Pogledajmo ovo na primjeru:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Kako podijeliti decimale
Često odrasla osoba ima poteškoća, ako je potrebno, bez pomoći kalkulatora, podijeliti cijeli broj ili decimalni ulomak u decimalni ulomak.
Pa da napravimo podjelu decimalni razlomci, samo treba precrtati zarez u djelitelju i prestati obraćati pozornost na to. U djeljivom se zarez mora pomaknuti udesno točno onoliko znakova koliko je bio u razlomačkom dijelu djelitelja, dodajući po potrebi nule. I nastaviti proizvoditi obična podjela na cijeli broj. Da ovo bude jasnije, uzmimo sljedeći primjer.
) a nazivnik nazivnikom (dobivamo nazivnik umnoška).
Formula množenja razlomaka:
Na primjer:
Prije nastavka množenja brojnika i nazivnika potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomka. Ako uspijete smanjiti razlomak, bit će vam lakše nastaviti s izračunima.
Dijeljenje običnog razlomka razlomkom.
Dijeljenje razlomaka s prirodnim brojem.
Nije tako strašno kao što se čini. Kao i u slučaju zbrajanja, cijeli broj pretvaramo u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:
Množenje mješovitih razlomaka.
Pravila za množenje razlomaka (mješovito):
- pretvoriti mješovite razlomke u neprave;
- množiti brojnike i nazivnike razlomaka;
- smanjujemo razlomak;
- ako dobijemo nepravi razlomak, tada nepravi razlomak pretvaramo u mješoviti.
Bilješka! Da biste pomnožili mješoviti razlomak s drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate dovesti u oblik nepravi razlomci, a zatim pomnožite po pravilu množenja običnih razlomaka.
Drugi način množenja razlomka prirodnim brojem.
Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.
Bilješka! Za množenje razlomka sa prirodni broj potrebno je nazivnik razlomka podijeliti s tim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjenim.
Iz gornjeg primjera jasno je da je ova opcija prikladnija za korištenje kada se nazivnik razlomka podijeli bez ostatka s prirodnim brojem.
Višerazinski razlomci.
U srednjoj školi često se nalaze trokatni (ili više) razlomci. Primjer:
Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se dijeljenje kroz 2 točke:
Bilješka! Kod dijeljenja razlomaka vrlo je važan redoslijed dijeljenja. Budite oprezni, ovdje se lako zbuniti.
Bilješka, Na primjer:
Kada dijelite jedan bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnut:
Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:
1. Najvažnija stvar u radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažljivost. Sve proračune izvodite pažljivo i točno, koncentrirano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redaka u nacrt nego se zbuniti u izračunima u svojoj glavi.
2. U zadacima s različitim vrstama razlomaka – prijeći na vrstu običnih razlomaka.
3. Sve razlomke reduciramo dok više nije moguće reducirati.
4. Donosimo višerazinske frakcijske izraze u obične, koristeći dijeljenje kroz 2 točke.
5. Jedinicu dijelimo na razlomak u mislima, jednostavnim okretanjem razlomka.
Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školskom djecom u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno razmotriti ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijelite. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, duljinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zdrobiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom.
Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, nazvani su "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati ljudima.
moderan izgled jednostavni frakcijski ostaci, čiji su dijelovi odvojeni precizno vodoravnom linijom, prvi su pridonijeli Fibonacciju - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi datiraju iz 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako nastaje množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima.
Množenje razlomaka s različitim nazivnicima
U početku je potrebno odrediti raznolikosti razlomaka:
- ispravan;
- krivo;
- mješoviti.
Zatim se morate sjetiti kako se množe razlomački brojevi isti nazivnici. Samo pravilo ovog procesa lako je samostalno formulirati: rezultat množenja jednostavnih razlomaka s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik je umnožak nazivnika tih razlomaka. . To jest, zapravo, novi nazivnik je kvadrat jednog od početnih postojećih.
Pri množenju jednostavni razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomačke crte biti umnožak različitih brojeva i, naravno, kvadrata jednog brojčani izraz nemoguće ga je imenovati.
Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
U primjerima se koriste načini smanjivanja frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.
Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako radi množenje?
Navedeno je nekoliko primjera za razmatranje.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primjer koristi množenje broja s obični razlomački dio, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:
a * b/c = a*b /c.
Zapravo, takav umnožak je zbroj identičnih frakcijskih ostataka, a broj članova označava taj prirodni broj. Poseban slučaj:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja ostatkom u razlomku. Jednostavno podijelite nazivnik ovim brojem:
d* e/f = e/F D.
Korisno je koristiti ovu tehniku kada je nazivnik podijeljen prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.
Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke i dobijete umnožak na prethodno opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ovaj primjer uključuje način predstavljanja mješovitog razlomka kao nepravog razlomka, također se može predstaviti kao opća formula:
a bc = a*b+ c / c, gdje se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela s nazivnikom i njegovim dodavanjem brojniku izvornog ostatka razlomka, a nazivnik ostaje isti.
Ovaj proces također funkcionira u obrnuta strana. Da biste odabrali cjelobrojni dio i razlomački ostatak, potrebno je brojnik nepravog razlomka podijeliti s njegovim nazivnikom "kutom".
Množenje nepravih razlomaka proizvedeno na uobičajeni način. Kada unos ide ispod jedne crte razlomaka, prema potrebi morate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše izračunali rezultat.
Na Internetu postoji mnogo pomoćnika za rješavanje čak i složenih matematičkih problema u raznim varijantama programa. Dovoljan broj takvih usluga nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka različite brojeve u nazivnicima - tzv. online kalkulatori za izračunavanje razlomaka. U stanju su ne samo množiti, već i izvoditi sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web mjesta, odabire se znak matematičke akcije i pritisne se "izračunaj". Program automatski broji.
Predmet aritmetičke operacije s razlomačkim brojevima relevantan je za cijelo obrazovanje srednjoškolske djece. U srednjoj školi više se ne razmatraju najjednostavnije vrste, već cjelobrojni frakcijski izrazi, ali znanje o pravilima za transformaciju i izračune, stečeno ranije, primjenjuje se u izvornom obliku. Dobro naučeno temeljno znanje daje puno povjerenje u uspješno rješenje većine izazovne zadatke.
U zaključku ima smisla navesti riječi Lava Tolstoja koji je napisao: “Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik - vlastite zasluge, ali svako može smanjiti svoj nazivnik - svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se približiti svom savršenstvu.
Zadnji put smo naučili zbrajati i oduzimati razlomke (vidi lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su te operacije još lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.
Da biste pomnožili dva razlomka, morate zasebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj bit će brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.
Da biste podijelili dva razlomka, morate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutim" drugim.
Oznaka:
Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste preokrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.
Kao rezultat množenja može nastati smanjeni ulomak (i često nastaje) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokazao netočnim, u njemu treba izdvojiti cijeli dio. Ali ono što se točno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, maksimalni faktori i najmanji zajednički višekratnici.
Po definiciji imamo:
Množenje razlomaka s cijelim i negativnim razlomcima
Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.
Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:
- Plus puta minus daje minus;
- Dvije negativne riječi čine potvrdnu.
Do sada su se ova pravila susrela samo kod zbrajanja i oduzimanja negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:
- Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije pronašao podudaranje;
- Ako nema preostalih minusa, operacija je završena - možete započeti množenje. Ako zadnji minus nije prekrižen, budući da nije našao par, izbacujemo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Sve razlomke prevodimo u neprave, a zatim minuse izbacujemo izvan granica množenja. Ono što ostane umnožava se prema uobičajenim pravilima. Dobivamo:
Još jednom podsjećam da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli dio (ovo se odnosi na zadnja dva primjera).
Također obratite pozornost na negativne brojeve: kada se množe, oni su u zagradama. To je učinjeno kako bi se odvojili minusi od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.
Smanjenje razlomaka u hodu
Množenje je vrlo naporna operacija. Ovdje su brojevi prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu reducirati korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Po definiciji imamo:
U svim primjerima crvenom bojom označeni su brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.
Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svom mjestu, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.
Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje samo želite smanjiti. Evo, pogledajte:
Ne možete to učiniti!
Pogreška se javlja zbog činjenice da se pri zbrajanju razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se to svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.
Jednostavno nema drugog razloga za smanjivanje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:
Točno rješenje:
Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.
