Todo estudiante sabe que el cuadrado de la hipotenusa es siempre igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está elevado al cuadrado. Este enunciado se llama el teorema de Pitágoras. Es uno de los teoremas más famosos de la trigonometría y las matemáticas en general. Considerémoslo con más detalle.

El concepto de un triángulo rectángulo

Antes de pasar a la consideración del teorema de Pitágoras, en el que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos que están elevados al cuadrado, debemos considerar el concepto y las propiedades de un triángulo rectángulo, para el cual el teorema es válido.

triangulo - figura plana, que tiene tres ángulos y tres lados. Un triángulo rectángulo, como su nombre lo indica, tiene un ángulo recto, es decir, este ángulo mide 90°.

De las propiedades generales de todos los triángulos, se sabe que la suma de los tres ángulos de esta figura es 180 o, lo que significa que para un triángulo rectángulo, la suma de dos ángulos que no son rectos es 180 o - 90 o = 90 o Este último hecho significa que cualquier ángulo en un triángulo rectángulo que no sea un ángulo recto siempre será menor de 90o.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los otros dos lados son los catetos del triángulo, pueden ser iguales entre sí o pueden diferir. Se sabe por trigonometría que cuanto mayor es el ángulo contra el cual se encuentra un lado en un triángulo, mayor es la longitud de este lado. Esto significa que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa (opuesta al ángulo de 90°) siempre será mayor que cualquiera de los catetos (opuesta a los ángulos< 90 o).

Notación matemática del teorema de Pitágoras

Este teorema establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está previamente elevado al cuadrado. Para escribir matemáticamente esta formulación, considera un triángulo rectángulo en el que los lados a, b y c son los dos catetos y la hipotenusa, respectivamente. En este caso, el teorema, que se formula como que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, se puede representar mediante la siguiente fórmula: c 2 \u003d a 2 + b 2. A partir de aquí, se pueden obtener otras fórmulas importantes para la práctica: a \u003d √ (c 2 - b 2), b \u003d √ (c 2 - a 2) y c \u003d √ (a 2 + b 2).

Tenga en cuenta que en el caso de un triángulo equilátero de ángulo recto, es decir, a \u003d b, la redacción: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos, cada uno de los cuales está al cuadrado, se escribe matemáticamente de la siguiente manera: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, de donde se sigue la igualdad: c = a√2.

Referencia histórica

El teorema de Pitágoras, que establece que la suma de los catetos, cada uno de los cuales está elevado al cuadrado, es igual al cuadrado de la hipotenusa, se conocía mucho antes de que el famoso filósofo griego llamara la atención sobre él. Muchos papiros del antiguo Egipto, así como tablillas de arcilla de los babilonios, confirman que estos pueblos usaron la propiedad señalada de los lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, uno de los primeros Pirámides egipcias, la pirámide de Khafre, cuya construcción data del siglo 26 aC (2000 años antes de la vida de Pitágoras), se construyó a partir del conocimiento de la relación de aspecto en un triángulo rectángulo de 3x4x5.

¿Por qué, entonces, el teorema lleva ahora el nombre de un griego? La respuesta es simple: Pitágoras es el primero en demostrar matemáticamente este teorema. Las fuentes escritas babilónicas y egipcias sobrevivientes hablan solo de su uso, pero no proporcionan ninguna prueba matemática.

Se cree que Pitágoras demostró el teorema bajo consideración usando las propiedades de los triángulos semejantes, que obtuvo al dibujar una altura en un triángulo rectángulo desde un ángulo de 90° a la hipotenusa.

Un ejemplo del uso del teorema de Pitágoras

Considere un problema simple: es necesario determinar la longitud de una escalera inclinada L, si se sabe que tiene una altura H = 3 metros, y la distancia desde la pared contra la que descansa la escalera hasta su pie es P = 2.5 metros

EN este caso H y P son los catetos y L la hipotenusa. Dado que la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, obtenemos: L 2 \u003d H 2 + P 2, de donde L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) \u003d 3.905 metros o 3 m y 90, 5 cm

Asegúrate de que el triángulo que te den sea un triángulo rectángulo, ya que el teorema de Pitágoras solo se aplica a los triángulos rectángulos. En los triángulos rectángulos, uno de los tres ángulos siempre mide 90 grados.

• Un ángulo recto en un triángulo rectángulo se indica mediante un cuadrado en lugar de una curva, lo que representa ángulos no rectos.

Etiqueta los lados del triángulo. Designa los catetos como "a" y "b" (los catetos son lados que se intersecan en ángulos rectos) y la hipotenusa como "c" (la hipotenusa es el lado más grande de un triángulo rectángulo que se encuentra opuesto al ángulo recto).

Instrucción

Si necesitas calcular según el teorema de Pitágoras, utiliza el siguiente algoritmo: - Determina en el triángulo qué lados son los catetos y cuáles la hipotenusa. Los dos lados que forman un ángulo de noventa grados son los catetos, el tercio restante es la hipotenusa. (cm) - Elevar a la segunda potencia cada pierna triángulo dado es decir, multiplicar por ti mismo. Ejemplo 1. Sea necesario calcular la hipotenusa si en un triángulo un cateto mide 12 cm y el otro 5 cm, en primer lugar los cuadrados de los catetos son: 12 * 12 = 144 cm y 5 * 5 = 25 cm. - A continuación, determina la suma de los catetos de los cuadrados. cierto numero es hipotenusa, necesitas deshacerte de la segunda potencia del número para encontrar longitud este lado del triángulo. Para hacer esto, quite de debajo raíz cuadrada el valor de la suma de los cuadrados de los catetos. Ejemplo 1. 144+25=169. La raíz cuadrada de 169 será 13. Por lo tanto, la longitud de este hipotenusa igual a 13 cm.

Otra forma de calcular la longitud. hipotenusa radica en la terminología del seno y los ángulos en un triángulo. Por definición: el seno del ángulo alfa del cateto opuesto a la hipotenusa. Es decir, mirando la figura, sin a \u003d CB / AB. Por lo tanto, la hipotenusa AB \u003d CB / sin a. Ejemplo 2. Deje que el ángulo sea de 30 grados y el cateto opuesto - 4 cm. Necesita encontrar la hipotenusa. Solución: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0.5 \u003d 8 cm Respuesta: longitud hipotenusa igual a 8 cm.

Una forma similar de encontrar hipotenusa de la definición del coseno de un ángulo. El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente a él y hipotenusa. Es decir, cos a \u003d AC / AB, por lo tanto, AB \u003d AC / cos a. Ejemplo 3. En el triángulo ABC, AB es la hipotenusa, el ángulo BAC mide 60 grados, el cateto AC mide 2 cm, encuentra AB.
Solución: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 cm Respuesta: la hipotenusa mide 4 cm de largo.

Consejo útil

Al encontrar el valor del seno o coseno de un ángulo, use la tabla de senos y cosenos o la tabla de Bradis.

Consejo 2: Cómo encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo

La hipotenusa se llama el lado más largo de un triángulo rectángulo, por lo que no es de extrañar que con Griego Esta palabra se traduce como "estirado". Este lado siempre está opuesto al ángulo de 90°, y los lados que forman este ángulo se llaman catetos. Conociendo las longitudes de estos lados y la magnitud de los ángulos agudos en varias combinaciones de estos valores, también se puede calcular la longitud de la hipotenusa.

Instrucción

Si se conocen las longitudes de ambos triángulos (A y B), utilice las longitudes de la hipotenusa (C), quizás el postulado matemático más conocido: el teorema de Pitágoras. Dice que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, de lo que se deduce que debes calcular la raíz de la suma de las longitudes al cuadrado de los dos lados: C \u003d √ (A² + B²). Por ejemplo, si la longitud de un cateto es 15 y - 10 centímetros, entonces la longitud de la hipotenusa será de aproximadamente 18,0277564 centímetros, ya que √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325 ≈ 18,0277564 .

Si se conoce la longitud de uno solo de los catetos (A) de un triángulo rectángulo, así como el valor del ángulo opuesto a él (α), entonces la longitud de la hipotenusa (C) se puede calcular usando una de las ecuaciones trigonométricas funciones - el seno. Para ello, divide la longitud del lado conocido por el seno del ángulo conocido: C=A/sin(α). Por ejemplo, si la longitud de uno de los catetos es de 15 centímetros y el ángulo en el vértice opuesto del triángulo es de 30 °, entonces la longitud de la hipotenusa será de 30 centímetros, ya que 15 / sen (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30.

Si en un triángulo rectángulo se conoce el valor de uno de los ángulos agudos (α) y la longitud del cateto adyacente (B), entonces se puede usar otro para calcular la longitud de la hipotenusa (C). Funcion trigonometrica- coseno. Debes dividir la longitud del cateto conocido por el coseno del ángulo conocido: С=В/ cos(α). Por ejemplo, si la longitud de este cateto es de 15 centímetros, y el valor del ángulo agudo adyacente a él es de 30 °, entonces la longitud de la hipotenusa será de aproximadamente 17,3205081 centímetros, ya que 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0,5 * √3)=30/√3≈17,3205081.

La longitud es la distancia entre dos puntos en un segmento de línea. Puede ser recto, roto o línea cerrada. Puede calcular la longitud de una manera bastante simple, si conoce algunos otros indicadores del segmento.

Instrucción

Si necesitas encontrar la longitud del lado de un cuadrado, no será así si conoces su área S. Debido al hecho de que todos los lados del cuadrado tienen

La historia del teorema de Pitágoras se remonta a varios milenios. Una afirmación que se conocía mucho antes del nacimiento del matemático griego. Sin embargo, el teorema de Pitágoras, la historia de su creación y sus demostraciones están asociadas en su mayoría a este científico. Según algunas fuentes, la razón de esto fue la primera demostración del teorema, dada por Pitágoras. Sin embargo, algunos investigadores refutan este hecho.

musica y logica

Antes de contar cómo se desarrolló la historia del teorema de Pitágoras, detengámonos brevemente en la biografía del matemático. Vivió en el siglo VI a.C. Se considera que la fecha de nacimiento de Pitágoras es el 570 a. e., el lugar es la isla de Samos. Poco se sabe con certeza sobre la vida del científico. Los datos biográficos en fuentes griegas antiguas están entrelazados con ficción obvia. En las páginas de los tratados aparece como un gran sabio, con excelente dominio de la palabra y capacidad de convencimiento. Por cierto, es por eso que el matemático griego fue apodado Pitágoras, es decir, "discurso persuasivo". Según otra versión, el nacimiento del futuro sabio fue predicho por la Pitia. El padre nombró al niño Pitágoras en su honor.

El sabio aprendió de las grandes mentes de la época. Entre los maestros del joven Pitágoras se encuentran Germodamant y Pherekides de Syros. El primero le inculcó el amor por la música, el segundo le enseñó filosofía. Ambas ciencias permanecerán en el centro de atención del científico a lo largo de su vida.

30 años de formación

Según una versión, siendo un joven inquisitivo, Pitágoras abandonó su tierra natal. Fue a buscar conocimiento a Egipto, donde permaneció, según diversas fuentes, de 11 a 22 años, y luego fue capturado y enviado a Babilonia. Pitágoras pudo beneficiarse de su posición. Durante 12 años estudió matemáticas, geometría y magia en estado antiguo. Pitágoras regresó a Samos solo a la edad de 56 años. Aquí en ese momento gobernaba el tirano Polícrates. Pitágoras no podía aceptar tal sistema político y pronto se dirigió al sur de Italia, donde se encontraba la colonia griega de Crotona.

Hoy es imposible decir con certeza si Pitágoras estuvo en Egipto y Babilonia. Es posible que haya dejado Samos más tarde y se haya ido directamente a Croton.

pitagóricos

La historia del teorema de Pitágoras está relacionada con el desarrollo de la escuela creada por el filósofo griego. Esta hermandad religiosa y ética predicó la observancia de una forma de vida especial, estudió aritmética, geometría y astronomía, y estudió el lado filosófico y místico de los números.

Se le atribuyeron todos los descubrimientos de los alumnos del matemático griego. Sin embargo, los biógrafos antiguos asocian la historia del surgimiento del teorema de Pitágoras solo con el filósofo mismo. Se supone que transmitió a los griegos los conocimientos adquiridos en Babilonia y Egipto. También hay una versión de que realmente descubrió el teorema de las proporciones de las piernas y la hipotenusa, sin conocer los logros de otros pueblos.

Teorema de Pitágoras: historia del descubrimiento

Algunas fuentes griegas antiguas describen la alegría de Pitágoras cuando logró demostrar un teorema. En honor a tal evento, ordenó un sacrificio a los dioses en forma de cientos de toros y organizó una fiesta. Algunos estudiosos, sin embargo, señalan la imposibilidad de tal acto debido a las peculiaridades de las opiniones de los pitagóricos.

Se cree que en el tratado "Comienzos", creado por Euclides, el autor proporciona una prueba del teorema, cuyo autor fue el gran matemático griego. Sin embargo, no todos apoyaron este punto de vista. Entonces, incluso el antiguo filósofo neoplatónico Proclo señaló que el autor de la prueba dada en los Elementos es el mismo Euclides.

Sea como fuere, Pitágoras no fue el primero en formular el teorema.

Antiguo Egipto y Babilonia

El teorema de Pitágoras, cuya historia se analiza en el artículo, según el matemático alemán Cantor, se conocía ya en el año 2300 a. mi. en Egipto. Los antiguos habitantes del valle del Nilo durante el reinado del faraón Amenemhat I conocían la ecuación 3 2 + 4 ² = 5 ². Se supone que con la ayuda de triángulos con lados 3, 4 y 5, los "largueros" egipcios se alinearon en ángulo recto.

También conocían el teorema de Pitágoras en Babilonia. En tablillas de arcilla que datan del año 2000 a. y relacionado con el tiempo de reinado, se encontró un cálculo aproximado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

india y china

La historia del teorema de Pitágoras también está relacionada con las antiguas civilizaciones de India y China. El tratado "Zhou-bi suan jin" contiene indicaciones de que (sus lados se correlacionan como 3:4:5) se conocía en China ya en el siglo XII. antes de Cristo e., y por el siglo VI. antes de Cristo mi. los matemáticos de este estado conocían la forma general del teorema.

La construcción de un ángulo recto utilizando el triángulo egipcio también se estableció en el tratado indio Sulva Sutra, que data de los siglos VII-V. antes de Cristo mi.

Así, la historia del teorema de Pitágoras en el momento del nacimiento del matemático y filósofo griego ya tenía varios cientos de años.

Prueba

Durante su existencia, el teorema se ha convertido en uno de los fundamentales en geometría. La historia de la demostración del teorema de Pitágoras probablemente comenzó con la consideración de un cuadrado equilátero, los cuadrados se construyen sobre su hipotenusa y sus catetos. El que "creció" sobre la hipotenusa estará formado por cuatro triángulos iguales al primero. Los cuadrados en las piernas en este caso consisten en dos de esos triángulos. Simple imagen grafica muestra claramente la validez del enunciado formulado en la forma del famoso teorema.

Otra prueba simple combina la geometría con el álgebra. Se dibujan cuatro triángulos rectángulos idénticos de lados a, b, c de manera que formen dos cuadrados: uno exterior de lado (a + b) y otro interior de lado c. En este caso, el área del cuadrado más pequeño será igual a c 2. El área del grande se calcula a partir de la suma de las áreas. cuadrado pequeño y todos los triángulos (recuerde, el área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula (a * b) / 2), es decir, c 2 + 4 * ((a * c) / 2), que es igual a c 2 + 2av. El área de un cuadrado grande se puede calcular de otra manera: como el producto de dos lados, es decir, (a + b) 2, que es igual a 2 + 2ab + b 2. Resulta:

a 2 + 2av + en 2 \u003d c 2 + 2av,

un 2 + en 2 = do 2 .

Hay muchas maneras de demostrar este teorema. Tanto Euclides como los científicos indios y Leonardo da Vinci trabajaron en ellos. A menudo, los sabios antiguos citaron dibujos, cuyos ejemplos se encuentran arriba, y no los acompañaron con ninguna explicación, excepto por la nota "¡Mira!" La simplicidad de la prueba geométrica, sujeta a la presencia de algún conocimiento, no requirió comentarios.

La historia del teorema de Pitágoras, resumida en el artículo, desmiente el mito sobre su origen. Sin embargo, es difícil incluso imaginar que el nombre del gran matemático y filósofo griego dejará de estar asociado con ella.

Una demostración animada del teorema de Pitágoras es una de las fundamental teoremas de la geometría euclidiana, que establecen la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Se cree que fue demostrado por el matemático griego Pitágoras, de quien recibe su nombre (existen otras versiones, en particular, una opinión alternativa de que este teorema está en vista general fue formulado por el matemático pitagórico Hippasus).
El teorema dice:

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo. C, y las longitudes de las piernas como a Y b, obtenemos la siguiente fórmula:

Así, el teorema de Pitágoras establece una relación que permite determinar el lado de un triángulo rectángulo, conociendo las longitudes de los otros dos. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno, que determina la relación entre los lados de un triángulo arbitrario.
La afirmación inversa también se prueba (también llamada teorema inverso Pitágoras):

Para cualesquiera tres números positivos a, b y c tales que a ? +b? = c ?, hay un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c.

Evidencia visual del triángulo (3, 4, 5) de Chu Pei 500-200 aC. La historia del teorema se puede dividir en cuatro partes: conocimiento sobre los números pitagóricos, conocimiento sobre la razón de los lados en un triángulo rectángulo, conocimiento sobre la razón esquinas adyacentes y demostración del teorema.
Estructuras megalíticas alrededor del 2500 a.C. en Egipto y Norte de Europa, contienen triángulos rectángulos con lados enteros. Barthel Leendert van der Waerden conjeturó que en aquellos días los números pitagóricos se hallaban algebraicamente.
Escrito entre 2000 y 1876 a.C. papiro del Reino Medio de Egipto Berlín 6619 contiene un problema cuya solución son los números pitagóricos.
Durante el reinado de Hammurabi el Grande, una tablilla vibilónica Plimpton 322, escrito entre 1790 y 1750 aC contiene muchas entradas estrechamente relacionadas con los números pitagóricos.
En los sutras Budhayana, que datan de diferentes versiones Siglo VIII o II a.C. en la India, contiene números pitagóricos derivados algebraicamente, una formulación del teorema de Pitágoras y una demostración geométrica de un triángulo rectángulo isósceles.
Los Sutras de Apastamba (alrededor del 600 a. C.) contienen una prueba numérica del teorema de Pitágoras utilizando cálculos de área. Van der Waerden cree que se basó en las tradiciones de sus predecesores. Según Albert Burko, esta es la prueba original del teorema y sugiere que Pitágoras visitó a Arakoni y lo copió.
Pitágoras, cuyos años de vida suelen indicarse entre 569 y 475 a. utiliza métodos algebraicos para calcular números pitagóricos, según los comentarios de Proklov sobre Euclides. Proclo, sin embargo, vivió entre el 410 y el 485 d.C. Según Thomas Giese, no hay indicios de autoría del teorema durante cinco siglos después de Pitágoras. Sin embargo, cuando autores como Plutarco o Cicerón atribuyen el teorema a Pitágoras, lo hacen como si la autoría fuera ampliamente conocida y cierta.
Alrededor del 400 a.C. Según Proclo, Platón dio un método para calcular los números pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Hacia el 300 a.C., en Principios Euclides, tenemos la prueba axiomática más antigua que ha llegado hasta nuestros días.
Escrito en algún momento entre el 500 a.C. y 200 aC, el libro matemático chino "Chu Pei" (? ? ? ?), da una prueba visual del teorema de Pitágoras, que en China se llama teorema del gugu (????), para un triángulo con lados (3 , 4, 5). Durante el reinado de la dinastía Han, desde el 202 a. antes del 220 d.C. Los números pitagóricos aparecen en el libro "Nueve secciones del arte matemático" junto con una mención de triángulos rectángulos.
El uso del teorema se documenta por primera vez en China, donde se conoce como teorema de gugu (????) y en India, donde se conoce como teorema de Baskar.
Muchos debaten si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez o varias veces. Boyer (1991) cree que el conocimiento que se encuentra en el Shulba Sutra puede ser de origen mesopotámico.
prueba algebraica
Los cuadrados se forman a partir de cuatro triángulos rectángulos. Se conocen más de cien demostraciones del teorema de Pitágoras. Aquí la evidencia se basa en el teorema de existencia del área de una figura:

Coloque cuatro triángulos rectángulos idénticos como se muestra en la figura.
Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es , y el ángulo enderezado es .
El área de toda la figura es igual, por un lado, al área de un cuadrado de lado "a+b", y por otro, a la suma de las áreas de cuatro triángulos y el cuadrado interior. .

Que es lo que hay que probar.
Por la semejanza de triángulos
Uso de triángulos semejantes. Dejar A B C es un triángulo rectángulo en el que el ángulo C recto, como se muestra en la imagen. Dibujemos una altura desde un punto C, y llama H punto de intersección con un lado AB. triángulo formado CCA como un triangulo a B C, ya que ambos son rectangulares (por definición de altura) y comparten un ángulo A, obviamente el tercer ángulo será el mismo en estos triángulos también. Del mismo modo mirkuyuyuchy, triángulo CBH también similar al triángulo A B C. De la semejanza de triángulos: Si

Esto se puede escribir como

Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos

HB + c veces AH = c veces (HB + AH) = c ^ 2, ! Fuente = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

En otras palabras, el teorema de Pitágoras:

prueba de Euclides
Demostración de Euclides en los "Principios" euclidianos, el teorema de Pitágoras demostrado por el método de los paralelogramos. Dejar A B C vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto A. Suelta una perpendicular desde un punto A al lado opuesto a la hipotenusa en un cuadrado construido sobre la hipotenusa. La línea divide el cuadrado en dos rectángulos, cada uno de los cuales tiene la misma área que los cuadrados construidos sobre las patas. Idea principal la prueba es que los cuadrados superiores se convierten en paralelogramos de la misma área, y luego vuelven y se convierten en rectángulos en el cuadrado inferior y nuevamente con la misma área.

Dibujemos segmentos FC Y ANUNCIO, obtenemos triangulos FCB Y BDA.
esquinas TAXI Y BOLSA- derecho; puntos C, A Y GRAMO son colineales. También B, A Y h
esquinas CDB Y Logística de Amazon- ambos son rectos, luego el ángulo ABD igual al ángulo fbc, ya que ambos son la suma de un ángulo recto y un ángulo A B C.
Triángulo ABD Y FBC nivel en dos lados y el ángulo entre ellos.
porque los puntos A, K Y L– colineal, el área del rectángulo BDLK es igual a dos áreas del triángulo ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
De manera similar, obtenemos CKLE = ACIH = CA 2
Por un lado el área CBDE igual a la suma de las áreas de los rectángulos BDLK Y CKLE, por otro lado, el área del cuadrado BC2, o AB 2 + CA 2 = aC 2.

Uso de diferenciales
El uso de diferenciales. Se puede llegar al teorema de Pitágoras estudiando cómo el incremento de un lado afecta la longitud de la hipotenusa como se muestra en la figura de la derecha y aplicando un pequeño cálculo.
Como resultado del crecimiento del lado a, de triángulos semejantes para incrementos infinitesimales

Integrando obtenemos

Si a= 0 entonces C = b, entonces la "constante" es segundo 2. Entonces

Como se puede observar, los cuadrados se deben a la proporción entre incrementos y lados, mientras que la suma es el resultado de la contribución independiente de los incrementos de los lados, no evidente a partir de la evidencia geométrica. En estas ecuaciones da Y corriente continua son, respectivamente, incrementos infinitesimales de los lados a Y C. Pero en lugar de ellos usamos? a¿Y? C, entonces el límite de la razón si tienden a cero es da / corriente continua, derivada, y también es igual a C / a, la razón de las longitudes de los lados de los triángulos, como resultado obtenemos ecuación diferencial.
En el caso de un sistema ortogonal de vectores, se produce una igualdad, que también se denomina teorema de Pitágoras:

Si - Estas son las proyecciones de un vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.
El análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.