Escribir las condiciones de los problemas utilizando la notación aceptada en matemáticas conduce a la aparición de las llamadas expresiones matemáticas, que simplemente se denominan expresiones. En este artículo hablaremos en detalle sobre numérico, expresiones literales y expresiones con variables: daremos definiciones y daremos ejemplos de expresiones de cada tipo.
Navegación de páginas.
Expresiones numéricas: ¿qué son?
El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas. Pero oficialmente adquieren su nombre (expresiones numéricas) un poco más tarde. Por ejemplo, si sigues el curso de M.I. Moro, esto sucede en las páginas de un libro de texto de matemáticas de segundo grado. Allí, la idea de expresiones numéricas se da de la siguiente manera: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - esto es todo expresiones numéricas, y si realizamos las acciones indicadas en la expresión, encontraremos valor de expresión.
Podemos concluir que en esta etapa del estudio de las matemáticas las expresiones numéricas son registros con un significado matemático formado por números, paréntesis y signos de suma y resta.
Un poco más tarde, después de familiarizarse con la multiplicación y la división, los registros de expresiones numéricas comienzan a contener los signos “·” y “:”. Pongamos algunos ejemplos: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, etc.
Y en el instituto, la variedad de grabaciones de expresiones numéricas crece como una bola de nieve rodando montaña abajo. Contienen ordinarios y decimales, números mixtos y números negativos, potencias, raíces, logaritmos, senos, cosenos, etc.
Resumamos toda la información en la definición de una expresión numérica:
Definición.
expresión numérica - es una combinación de números, signos operaciones aritmeticas, líneas fraccionarias, signos de raíz (radicales), logaritmos, notaciones para funciones trigonométricas, trigonométricas inversas y otras, así como paréntesis y otros símbolos matemáticos especiales, compilados de acuerdo con las reglas aceptadas en matemáticas.
Expliquemos todos los componentes de la definición establecida.
Las expresiones numéricas pueden involucrar absolutamente cualquier número: desde naturales hasta reales e incluso complejos. Es decir, en expresiones numéricas se puede encontrar
Con los signos de las operaciones aritméticas, todo está claro: estos son los signos de suma, resta, multiplicación y división, que tienen respectivamente la forma "+", "-", "·" y ":". Las expresiones numéricas pueden contener uno de estos signos, algunos de ellos o todos a la vez, o incluso varias veces. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.
En cuanto a los paréntesis, existen tanto expresiones numéricas que contienen paréntesis como expresiones sin ellos. Si hay paréntesis en una expresión numérica, entonces son básicamente
Y a veces los corchetes en expresiones numéricas tienen algún propósito especial específico, indicado por separado. Por ejemplo, puede encontrar corchetes que denotan la parte entera de un número, por lo que la expresión numérica +2 significa que el número 2 se suma a la parte entera del número 1,75.
De la definición de una expresión numérica también queda claro que la expresión puede contener notaciones , , log , ln , lg , etc. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 y 
.
La división en expresiones numéricas se puede indicar con . En este caso se producen expresiones numéricas con fracciones. Aquí hay ejemplos de tales expresiones: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 y 
.
Como símbolos y notaciones matemáticas especiales que se pueden encontrar en expresiones numéricas, presentamos. Por ejemplo, mostremos una expresión numérica con el módulo 
.
¿Qué son las expresiones literales?
El concepto de expresiones alfabéticas se da casi inmediatamente después de familiarizarse con las expresiones numéricas. Se ingresa aproximadamente así. En una determinada expresión numérica no se escribe uno de los números, sino que se coloca un círculo (o cuadrado, o algo parecido), y se dice que se puede sustituir el círculo por un determinado número. Por ejemplo, veamos la entrada. Si pones, por ejemplo, el número 2 en lugar de un cuadrado, obtienes la expresión numérica 3+2. Entonces en lugar de círculos, cuadrados, etc. Acordó escribir letras, y tales expresiones con letras se llamaron expresiones literales. Volvamos a nuestro ejemplo, si en esta entrada ponemos la letra a en lugar de un cuadrado, obtenemos una expresión literal de la forma 3+a.
Entonces, si permitimos en una expresión numérica la presencia de letras que denotan ciertos números, obtenemos la llamada expresión literal. Demos la definición correspondiente.
Definición.
Una expresión que contiene letras que representan ciertos números se llama expresión literal.
De esta definición Está claro que una expresión literal se diferencia fundamentalmente de una expresión numérica en que puede contener letras. Normalmente, las letras minúsculas del alfabeto latino (a, b, c, ...) se utilizan en expresiones de letras, y las letras minúsculas del alfabeto griego (α, β, γ, ...) se utilizan para denotar ángulos.
Entonces, las expresiones literales pueden estar formadas por números, letras y contener todo. simbolos matematicos, que se puede encontrar en expresiones numéricas, como paréntesis, signos de raíz, logaritmos, funciones trigonométricas y otras, etc. Destacamos por separado que una expresión literal contiene al menos una letra. Pero también puede contener varias letras iguales o diferentes.
Ahora demos algunos ejemplos de expresiones literales. Por ejemplo, a+b es una expresión literal con las letras a y b. Aquí hay otro ejemplo de la expresión literal 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Y demos un ejemplo de una expresión literal. tipo complejo: 
.
Expresiones con variables
Si en una expresión literal una letra denota una cantidad que no toma un valor específico, pero puede tomar diferentes significados, entonces esta carta se llama variable y la expresión se llama expresión con variable.
Definición.
Expresión con variables es una expresión literal en la que las letras (todas o algunas) denotan cantidades que toman valores diferentes.
Por ejemplo, supongamos que la letra x en la expresión x 2 −1 tome cualquier valor natural del intervalo de 0 a 10, entonces x es una variable y la expresión x 2 −1 es una expresión con la variable x.
Vale la pena señalar que puede haber varias variables en una expresión. Por ejemplo, si consideramos que xey son variables, entonces la expresión 
es una expresión con dos variables x e y.
En general, la transición del concepto de expresión literal a una expresión con variables se produce en el 7º grado, cuando se comienza a estudiar álgebra. Hasta este punto, las expresiones de letras modelaron algunas tareas específicas. En álgebra, comienzan a observar la expresión de manera más general, sin hacer referencia a tarea específica, en el entendido de que esta expresión se ajusta a una gran cantidad de problemas.
Para concluir este punto, prestemos atención a un punto más: según apariencia Es imposible saber a partir de una expresión literal si las letras que contiene son variables o no. Por tanto, nada nos impide considerar estas letras como variables. En este caso, desaparece la diferencia entre los términos “expresión literal” y “expresión con variables”.
Bibliografía.
- Matemáticas. 2 clases Libro de texto para educación general instituciones con adj. por electrón transportador. A las 14 horas Parte 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3ª ed. - M.: Educación, 2012. - 96 p.: enfermo. - (Escuela de Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Matemáticas: libro de texto para 5to grado. educación general instituciones / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 págs.: enfermo. ISBN 5-346-00699-0.
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- Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Entradas 2 A + 8, 3A + 5b, A 4 – bс se llaman expresiones con variables. Al poner números en lugar de letras, obtenemos expresiones numéricas. Concepto general Las expresiones con variables se definen exactamente de la misma manera que el concepto de expresión numérica, solo que, además de números, las expresiones con variables también pueden contener letras.
Para expresiones con variable también se utilizan simplificaciones: no poner paréntesis que contengan sólo un número o una letra, no poner un signo de multiplicación entre letras, entre números y letras, etc.
Hay expresiones con uno, dos, tres, etc. variables. Designado A(X), EN(x,y) etc.
Una expresión con una variable no puede llamarse ni declaración ni predicado. Por ejemplo, sobre la expresión 2 A+ 5 no se puede decir si es verdadero o falso, por lo tanto no es una afirmación. Si en lugar de una variable A Al sustituir números, obtenemos varias expresiones numéricas, que tampoco son enunciados, por lo tanto, esta expresión tampoco es un predicado.
Cada expresión con una variable corresponde a un conjunto de números, cuya sustitución produce una expresión numérica que tiene sentido. Este conjunto se denomina dominio de definición de la expresión.
Ejemplo. 8: (4 – X) - dominio R\(4), porque en X= 4 expresión 8: (4 – 4) no tiene sentido.
Si la expresión contiene varias variables, por ejemplo, X Y en, entonces el dominio de definición de esta expresión se entiende como un conjunto de pares de números ( A; b) de modo que al reemplazar X en A Y en en b el resultado es una expresión numérica que tiene un valor.
Ejemplo. , el dominio de definición es el conjunto de pares ( A; b) │A≥ b.
Definición. Se dice que dos expresiones con una variable son idénticamente iguales si tienen cualquier valor. Las variables del alcance de las expresiones tienen sus valores correspondientes iguales.
Eso. dos expresiones A(X), EN(X) son idénticamente iguales en el conjunto X, Si
1) conjuntos valores aceptables las variables en estas expresiones son las mismas;
2) para cualquiera X 0 de sus conjuntos de valores permitidos, los significados de las expresiones en X 0 coinciden, es decir A(X 0) = EN(X 0) es una igualdad numérica correcta.
Ejemplo. (2 X+ 5) 2 y 4 X 2 + 20X+ 25 – expresiones idénticamente iguales.
Designado A(X) º EN(X). Tenga en cuenta que si dos expresiones son idénticamente iguales en algún conjunto mi, entonces son idénticamente iguales en cualquier subconjunto mi 1 М MI. También cabe señalar que la afirmación sobre la igualdad de identidad de dos expresiones con una variable es una afirmación.
Si conectamos dos expresiones idénticamente iguales en un determinado conjunto con un signo igual, obtenemos una oración que se llama identidad en este conjunto.
Las verdaderas igualdades numéricas también se consideran identidades. Las identidades son las leyes de la suma y multiplicación de números reales, las reglas para restar un número de una suma y una suma de un número, las reglas para dividir una suma por un número, etc. Las identidades también son las reglas para las operaciones con cero y uno.
Reemplazar una expresión por otra que sea idénticamente igual a ella en algún conjunto se llama transformación idéntica de esta expresión.
Ejemplo. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - transformación idéntica, no es una transformación idéntica en R.
§ 5. Clasificación de expresiones con variable.
1) Una expresión formada por variables y números que utilizan únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponenciación se llama expresión entera o polinomio.
Ejemplo. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3en)
2) Racional es una expresión construida a partir de variables y números usando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación. Una expresión racional se puede representar como una proporción de dos expresiones enteras, es decir polinomios. Tenga en cuenta que las expresiones enteras son un caso especial de las racionales.
Ejemplo. .
3) Irracional es una expresión construida a partir de variables y números utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, así como la operación de extracción de la raíz. PAG-ésimo grado.
La resolución de problemas y algunas expresiones no siempre conduce a respuestas numéricas puras. Incluso en el caso de cálculos triviales, se puede llegar a una determinada construcción llamada expresión con variable.
Por ejemplo, consideremos dos problemas prácticos. En el primer caso, tenemos cierta fábrica que produce 5 toneladas de leche todos los días. Es necesario encontrar cuánta leche produce la planta en p días.
En el segundo caso se tiene un rectángulo cuyo ancho es de 5 cm y largo p cm, encuentra el área de la figura.
Por supuesto, si la planta produce cinco toneladas por día, entonces en p días, según la lógica matemática más simple, producirá 5p toneladas de leche. Por otro lado, el área de un rectángulo es igual al producto de sus lados, es decir, en en este caso, son 5 rublos. En otras palabras, en dos problemas triviales con diferentes condiciones, la respuesta es una expresión completa: 5p. Estos monomios se denominan expresiones con variable, ya que además de la parte numérica contienen una determinada letra llamada incógnita o variable. Dicho elemento se denota con letras minúsculas del alfabeto latino, generalmente x o y, aunque esto no es importante.
La peculiaridad de una variable es que en la práctica puede tomar cualquier valor. Sustituyendo diferentes numeros, obtendremos la solución final a nuestros problemas, por ejemplo, para el primero:
p = 2 días, la planta produce 5p = 10 toneladas de leche;
p = 4 días, la planta produce 5p = 20 toneladas de leche;
O para el segundo:
p = 10 cm, el área de la figura es 5p = 50 cm2
p = 20 cm, el área de la figura es 5p = 100 cm2
Es importante entender que p no es un conjunto de algunos valores individuales, sino el conjunto completo que corresponderá matemáticamente a las condiciones del problema. La función principal de una variable es reemplazar el elemento faltante en una condición. Cualquier problema matemático debe incluir algunas construcciones y mostrar la relación entre estas construcciones en la condición. Si falta el valor de un objeto, se introduce una variable en su lugar. Además, se trata de una sustitución abstracta del elemento mismo de la condición (la cantidad de algo representado por un número o expresión), y no de conexiones funcionales.
Si consideramos una expresión de la forma 5p como un objeto neutral e independiente, entonces el valor de p en ella puede tomar cualquier valor; de hecho, aquí p es igual al conjunto de todos los números reales.
Pero en nuestros problemas, la respuesta en forma de 5p está sujeta a ciertas restricciones matemáticas que se derivan de las condiciones. Por ejemplo, días y días no pueden ser negativos, por lo que p en ambos problemas siempre es igual a cero o mayor que él. Además, los días no pueden ser fraccionarios; para el primer problema, solo son válidos los valores de p que son números enteros positivos.
En el primer problema: p es igual al conjunto finito de todos los números enteros positivos;
En el segundo problema: p es igual al conjunto finito de todos los números positivos.
Las expresiones pueden incluir dos variables a la vez, por ejemplo:
En este caso, un binomio está representado por dos monomios, cada uno de los cuales tiene una variable en su composición, y dichas variables son diferentes, es decir, independientes entre sí. El valor de esta expresión sólo se puede calcular completamente si los valores de ambas variables están disponibles. Por ejemplo, si x = 2 e y = 4, entonces:
2x + 3y = 4 + 12 = 16 (con x = 2, y = 4)
Vale la pena señalar que en esta expresión no existen restricciones matemáticas o lógicas sobre los valores de la variable: tanto x como y pertenecen al conjunto completo de números reales.
EN en términos generales, el conjunto de todos los números, al sustituirlos en lugar de una variable, la expresión conserva su significado y validez, se denomina dominio de definición (o valor) de la variable.
En ejemplos abstractos que no están relacionados con problemas reales, el dominio de definición de una variable suele ser igual al conjunto completo de números reales o limitado a determinadas construcciones, por ejemplo, una fracción. Como sabes, cuando el divisor es cero, toda la fracción deja de tener sentido. Por tanto, una variable en una expresión de la forma:
no puede ser igual a cinco, porque entonces:
7x/(x - 5) = 7x/0 (para x = 5)
Y la fracción perderá su significado. Por lo tanto, para esta expresión, la variable x tiene un dominio de definición: el conjunto de todos los números excepto 5.
Nuestro video tutorial también destaca un caso especial de uso de variables cuando denotan un número del mismo orden. Por ejemplo, los números 54, 30, 78 se pueden especificar mediante la variable a, o mediante la construcción ab (con una barra horizontal en la parte superior, para distinguirlo del producto), donde b especifica unidades (respectivamente 4, 0, 8) y - decenas (respectivamente, 5, 3, 7).
En las lecciones de álgebra en la escuela nos encontramos con expresiones. varios tipos. A medida que aprende material nuevo, la grabación de expresiones se vuelve más diversa y compleja. Por ejemplo, nos familiarizamos con las potencias: aparecieron potencias en expresiones, estudiamos fracciones, aparecieron expresiones fraccionarias, etc.
Para facilitar la descripción del material, las expresiones que constan de elementos similares recibieron nombres específicos para distinguirlas de toda la variedad de expresiones. En este artículo los conoceremos, es decir, daremos una descripción general de las expresiones básicas que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela.
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Monomios y polinomios
Comencemos con expresiones llamadas monomios y polinomios. Al momento de escribir este artículo, la conversación sobre monomios y polinomios comienza en las lecciones de álgebra de séptimo grado. Allí se dan las siguientes definiciones.
Definición.
monomios números, variables, sus potencias se llaman indicador natural, así como cualquier obra compilada a partir de ellos.
Definición.
Polinomios es la suma de los monomios.
Por ejemplo, el número 5, la variable x, la potencia z 7, los productos 5 x y 7 x x 2 7 z 7 son todos monomios. Si tomamos la suma de monomios, por ejemplo, 5+x o z 7 +7+7·x·2·7·z 7, entonces obtenemos un polinomio.
Trabajar con monomios y polinomios a menudo implica hacer cosas con ellos. Así, sobre el conjunto de los monomios se define la multiplicación de monomios y la elevación de un monomio a una potencia, en el sentido de que como resultado de su ejecución se obtiene un monomio.
La suma, la resta, la multiplicación y la exponenciación se definen en el conjunto de polinomios. Cómo se determinan estas acciones y mediante qué reglas se realizan, hablaremos en el artículo Acciones con polinomios.
Si hablamos de polinomios con una sola variable, entonces, cuando se trabaja con ellos, dividir un polinomio entre un polinomio tiene un significado práctico significativo y, a menudo, dichos polinomios deben representarse como un producto; esta acción se llama factorizar el polinomio.
Fracciones racionales (algebraicas)
En octavo grado se inicia el estudio de expresiones que contienen división por una expresión con variables. Y las primeras expresiones de este tipo son fracciones racionales, que algunos autores llaman fracciones algebraicas.
Definición.
Fracción racional (algebraica) es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios, en particular monomios y números.
Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales: y 
. Por cierto, cualquier fracción ordinaria es una fracción racional (algebraica).
Se introducen la suma, resta, multiplicación, división y exponenciación en una variedad de fracciones algebraicas. Cómo se hace esto se explica en el artículo Acciones con fracciones algebraicas.
A menudo es necesario realizar transformaciones de fracciones algebraicas, las más comunes son la reducción y la reducción a un nuevo denominador.
Expresiones racionales
Definición.
Expresiones con potencias (expresiones de potencia) son expresiones que contienen grados en su notación.
A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones con potencias. Es posible que no contengan variables, por ejemplo, 2 3 , 
. También se realizan expresiones de potencia con variables: 
etcétera.
No estaría de más familiarizarse con cómo se hace. convertir expresiones con potencias.
Expresiones irracionales, expresiones con raíz.
Definición.
Las expresiones que contienen logaritmos se llaman expresiones logarítmicas.
Ejemplos de expresiones logarítmicas son log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , 
.
Muy a menudo, las expresiones contienen potencias y logaritmos, lo cual es comprensible, ya que, por definición, un logaritmo es un exponente. Como resultado, expresiones como esta parecen naturales: .
Para continuar con el tema, consulte el material. convertir expresiones logarítmicas.
fracciones
En esta sección veremos las expresiones. tipo especial- fracciones.
La fracción amplía el concepto. Las fracciones también tienen un numerador y un denominador ubicados encima y debajo de la línea de fracción horizontal (a la izquierda y a la derecha de la línea de fracción inclinada), respectivamente. Sólo a diferencia fracciones ordinarias, el numerador y el denominador pueden contener no solo números enteros, pero también cualquier otro número, así como cualquier expresión.
Entonces, definamos una fracción.
Definición.
Fracción es una expresión compuesta por un numerador y un denominador separados por una línea fraccionaria, que representan algunas expresiones o números numéricos o alfabéticos.
Esta definición le permite dar ejemplos de fracciones.
Comencemos con ejemplos de fracciones cuyos numeradores y denominadores son números: 1/4, 
, (-15)/(-2) . El numerador y denominador de una fracción pueden contener expresiones, tanto numéricas como alfabéticas. Aquí hay ejemplos de tales fracciones: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), 
.
Pero las expresiones 2/5−3/7 no son fracciones, aunque contienen fracciones en sus notaciones.
Expresiones generales
En la escuela secundaria, especialmente en problemas de mayor dificultad y problemas del grupo C en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas, te encontrarás con expresiones de forma compleja, que contienen en su notación simultáneamente raíces, potencias, logaritmos y funciones trigonométricas, etcétera. Por ejemplo, 
o 
. Parecen ajustarse a varios tipos de expresiones enumeradas anteriormente. Pero normalmente no se clasifican como uno de ellos. Ellos son considerados expresiones vista general
, y al describir simplemente dicen una expresión, sin agregar aclaraciones adicionales.
Para concluir el artículo, me gustaría decir que si una expresión determinada es engorrosa y no está completamente seguro de a qué tipo pertenece, entonces es mejor llamarla simplemente una expresión que llamarla una expresión que no lo es. .
Bibliografía.
- Matemáticas: libro de texto para 5to grado. educación general instituciones / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 págs.: enfermo. ISBN 5-346-00699-0.
- Matemáticas. 6to grado: educativo. para educación general instituciones / [N. Ya. Vilenkin y otros]. - 22ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Álgebra: libro de texto para 7mo grado educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
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- Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
ÁLGEBRA
Lecciones para séptimo grado.
Lección #14
Sujeto. Expresiones con variables
Objetivo: mejorar la capacidad de los estudiantes para trabajar con expresiones que contienen variables (calcular los valores de expresiones, encontrar la ODZ de expresiones con variables).
Tipo de lección: aplicación de habilidades.
durante las clases
I. Verificación tarea
@ Debes comprobar con especial atención la finalización de la tarea nº 2 (componer una expresión con variables) y nº 3 (buscar la ODZ de una variable en la expresión).
No. 2. La expresión es la siguiente: 6n - 50m. Si m = 2, n = 30, entonces
6 30 - 2 50 = 180 - 100 = 80 (k).
Respuesta. Por 80 kopeks.
@ No. 3. Para los estudiantes, el momento de transición de la condición bajo la cual la expresión no tiene sentido (el divisor o denominador es igual a cero) a las condiciones en las que la expresión tiene sentido es bastante difícil (es decir, desde el conjunto de números excluimos aquellos valores de la variable para los cuales la expresión no tiene sentido):
1) 2x - 5 tiene sentido para cualquier valor de x, porque es una expresión entera;
2) tiene sentido para todo x excepto 0;
3) tiene sentido para todo x excepto x = -3, para x = -3 x + 3 = 0;
4) tiene sentido para cualquier valor de x, porque es una expresión completa.
II. Actualización de conocimientos de referencia.
@ En lugar de preguntas frontales rutinarias (y no muy efectivas), puede organizar el trabajo en parejas (o grupos) con dicha tarea.
Las expresiones dadas son: ; 25: (3,5 + a); (3,5 + a): 25.
Compáralos y encuentra tantas diferencias como sea posible. Durante la presentación de los resultados del trabajo, los estudiantes reproducen el contenido de los conceptos principales del tema:
1. Expresiones numéricas y expresiones con variables.
2. El significado de expresiones numéricas y expresiones con variables.
3. Expresiones que no tienen sentido
III. Mejorando habilidades
@ En esta lección continuamos trabajando para mejorar las habilidades de los estudiantes:
a) calcular los valores de expresiones con variables;
b) encontrar los valores de las variables para las cuales la expresión tiene sentido;
c) componer expresiones con determinadas condiciones.
Seleccionamos un nivel superior de tareas.
Haciendo ejercicios de escritura
1. Encuentra el valor de la expresión si:
1)x = 4; en = 1,5;
2)x = -1; y = ;
3)x = 1,4; y = 0;
4)x = 1,3; y = -2,6.
2. Se sabe que a - b = 6; c = 5. Encuentra el valor de la expresión:
1) a - b + 3 c ;
3. 2) c (b - a);
4.
3)
;
5. 4) .
6. ¿A qué valores de la variable tiene sentido la expresión?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6)
;
7)
?
@ Dado que los estudiantes aún no tienen la capacidad de resolver ecuaciones factorizando polinomios, resolver ecuaciones fraccionarias, sistemas de ecuaciones, resolvemos problemas usando razonamientos con aproximadamente el siguiente contenido: dado que la variable está en el denominador de la expresión (la expresión es fraccionaria ), entonces para que la expresión tenga sentido, es necesario que el denominador no sea igual a 0. Pero como x2 no puede ser un número negativo, la suma de x 2 + 1 no puede ser igual a 0 para ningún valor de x, por lo que x2 + 1 no es igual a 0 para ningún valor de x.
Por tanto, la expresión tiene sentido para cualquier x (etc.).
7. Escribe una expresión para resolver el problema.
a) El perímetro del rectángulo es de 16 cm, uno de sus lados mide m cm ¿Cuál es el área del rectángulo?
b) Desde dos ciudades, cuya distancia es de S km, dos automóviles se dirigieron uno hacia el otro. La rapidez de uno de ellos es v 1 km/h y la rapidez del segundo es v 2 km/h. ¿En cuántas horas se reunirán?
8. Escribe como expresión:
1) la suma del producto de los números ayby el número c;
2) la diferencia entre el número c y la proporción de los números a y b;
3) el producto de la diferencia entre los números xey y su suma;
4) la proporción de la suma de ayby su diferencia.
IV. Diagnóstico de asimilación.
Trabajo independiente (multinivel)
1. Encuentra el significado de la expresión:
A. 3 x - 5 si x = -1. (2 puntos)
B., si a = 3,5. (3 6.)
B. 
, si m + n = 8, r = 3. (4 6.)
2. Inventa una expresión que corresponda a la condición:
A. Diferencia de los números 5 y 7b. (2 puntos)
B. Análisis del producto de los números -0,2 y a por el número 0,8. (Según b.)
B. La velocidad de un barco en aguas tranquilas es v km/h. Velocidad del flujo del río en km/h. ¿Cuánto tiempo le tomará al bote recorrer S km sobre el curso del río? (4 puntos)
3. Encuentre para qué valores de la masa variable tiene sentido la expresión:
R. 2a + 5. (2 b.)
B. . (3 puntos)
EN. . (4 puntos)
@ Mientras realizan el trabajo, los estudiantes deberán elegir solo una tarea (A, B, C) de las tres propuestas. Evaluamos en consecuencia: A - 2 puntos, B - 3 puntos; B - 4 puntos. (El estudiante tiene derecho a elegir tareas de diferentes niveles, por ejemplo No. 1 - A, No. 2 - B, No. 3 - B.)
v. Reflexión
Comprobamos que las tareas se completan correctamente. (Los estudiantes reciben una tabla con soluciones y respuestas y verifican su trabajo).
Tarea No. |
Condición (expresión) |
Valor variable |
expresión numérica |
Valor de expresión |
Número de puntos |
|
|
||||||
|
metro + norte = 8 |
|||||
5a-7b |
||||||
(-0,2 y -0,8) |
||||||
= -16
