En esta lección, continuaremos resolviendo desigualdades racionales usando el método de intervalo para desigualdades más complejas. Considere la solución de desigualdades fraccionarias lineales y fraccionarias cuadráticas y problemas relacionados.
Ahora volvamos a la desigualdad
Consideremos algunas tareas relacionadas.
Encuentre la solución más pequeña a la desigualdad.
Encuentre el número de soluciones naturales a la desigualdad
Halla la longitud de los intervalos que componen el conjunto de soluciones de la desigualdad.
2.Portal Ciencias Naturales ().
3. Complejo educativo y metodológico electrónico para preparar los grados 10-11 para los exámenes de ingreso en informática, matemáticas, idioma ruso ().
5. Centro Educativo "Tecnología de la Educación" ().
6. Sección College.ru sobre matemáticas ().
1. Mordkovich A.G. y otros Álgebra Grado 9: Libro de tareas para estudiantes Instituciones educacionales/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina y otros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. núm. 28 (b, c); 29(b, c); 35(a, b); 37 (b, c); 38(a).
Primero, algunas letras para tener una idea del problema que resuelve el método de intervalo. Supongamos que necesitamos resolver la siguiente desigualdad:
(x − 5)(x + 3) > 0
¿Cuales son las opciones? Lo primero que les viene a la mente a la mayoría de los estudiantes son las reglas "más por más es más" y "menos por menos es más". Por lo tanto, basta con considerar el caso cuando ambos paréntesis son positivos: x − 5 > 0 y x + 3 > 0. Luego también consideramos el caso cuando ambos paréntesis son negativos: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Los estudiantes más avanzados recordarán (quizás) que a la izquierda hay una función cuadrática cuya gráfica es una parábola. Además, esta parábola corta al eje OX en los puntos x = 5 y x = −3. Para seguir trabajando, debe abrir los soportes. Tenemos:
x 2 - 2x - 15 > 0
Ahora está claro que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, porque coeficiente a = 1 > 0. Tratemos de dibujar un diagrama de esta parábola:
La función es mayor que cero donde pasa por encima del eje OX. En nuestro caso, estos son los intervalos (−∞ −3) y (5; +∞) - esta es la respuesta.
Tenga en cuenta que la imagen muestra exactamente diagrama de funciones, no su horario. Porque para un gráfico real, necesita calcular coordenadas, calcular compensaciones y otras tonterías, que ahora no necesitamos en absoluto.
¿Por qué estos métodos son ineficaces?
Entonces, hemos considerado dos soluciones para la misma desigualdad. Ambos resultaron ser muy engorrosos. Surge la primera decisión: ¡solo piénsalo! es un conjunto de sistemas de desigualdades. La segunda solución tampoco es muy fácil: necesitas recordar el gráfico de parábola y un montón de otros pequeños hechos.
Era una desigualdad muy simple. Solo tiene 2 multiplicadores. Ahora imagine que no habrá 2 multiplicadores, sino al menos 4. Por ejemplo:
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0
¿Cómo resolver tal desigualdad? ¿Repasar todas las combinaciones posibles de pros y contras? Sí, nos dormiremos más rápido de lo que encontremos una solución. Dibujar un gráfico tampoco es una opción, ya que no está claro cómo se comporta dicha función en el plano de coordenadas.
Para tales desigualdades, se necesita un algoritmo de solución especial, que consideraremos hoy.
¿Qué es el método de intervalo?
El método de intervalo es un algoritmo especial diseñado para resolver desigualdades complejas de la forma f (x) > 0 y f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Resuelva la ecuación f (x) \u003d 0. Por lo tanto, en lugar de una desigualdad, obtenemos una ecuación que es mucho más fácil de resolver;
- Marque todas las raíces obtenidas en la línea de coordenadas. Así, la línea recta se dividirá en varios intervalos;
- Encuentra el signo (más o menos) de la función f (x) en el intervalo más a la derecha. Para ello, basta sustituir en f(x) cualquier número que quedará a la derecha de todas las raíces marcadas;
- Marque marcas en otros intervalos. Para hacer esto, basta recordar que al pasar por cada raíz, el signo cambia.
¡Eso es todo! Después de eso, solo queda escribir los intervalos que nos interesan. Se marcan con un signo “+” si la desigualdad era de la forma f (x) > 0, o con un signo “-” si la desigualdad era de la forma f (x)< 0.
A primera vista, puede parecer que el método de intervalo es una especie de hojalata. Pero en la práctica, todo será muy simple. Se necesita un poco de práctica, y todo se aclarará. Eche un vistazo a los ejemplos y compruébelo usted mismo:
Tarea. Resuelve la desigualdad:
(x − 2)(x + 7)< 0
Trabajamos el método de los intervalos. Paso 1: reemplaza la desigualdad con una ecuación y resuélvela:
(x − 2)(x + 7) = 0
El producto es igual a cero si y solo si al menos uno de los factores es igual a cero:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Tengo dos raíces. Ve al paso 2: marca estas raíces en la línea de coordenadas. Tenemos:
Ahora paso 3: encontramos el signo de la función en el intervalo más a la derecha (a la derecha del punto marcado x = 2). Para hacer esto, tome cualquier número que más número x = 2. Por ejemplo, tomemos x = 3 (pero nadie prohíbe tomar x = 4, x = 10 e incluso x = 10,000). Obtenemos:
f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;
Obtenemos que f (3) = 10 > 0, por lo que ponemos un signo más en el intervalo más a la derecha.
Pasamos al último punto: es necesario observar los signos en los intervalos restantes. Recuerda que al pasar por cada raíz, el signo debe cambiar. Por ejemplo, a la derecha de la raíz x = 2 hay un signo más (nos aseguramos de esto en el paso anterior), por lo que debe haber un signo menos a la izquierda.
Este menos se extiende a todo el intervalo (−7; 2), por lo que hay un menos a la derecha de la raíz x = −7. Por lo tanto, hay un más a la izquierda de la raíz x = −7. Queda por marcar estos signos en el eje de coordenadas. Tenemos:
Volvamos a la desigualdad original, que se veía así:
(x − 2)(x + 7)< 0
Entonces la función debe ser menor que cero. Esto significa que estamos interesados en el signo menos, que aparece solo en un intervalo: (−7; 2). Esta será la respuesta.
Tarea. Resuelve la desigualdad:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Paso 1: Igualar el lado izquierdo a cero:
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Recuerda: el producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. Por eso tenemos derecho a igualar a cero cada tramo individual.
Paso 2: marca todas las raíces en la línea de coordenadas:
Paso 3: encuentra el signo del espacio más a la derecha. Tomamos cualquier número que sea mayor que x = 1. Por ejemplo, podemos tomar x = 10. Tenemos:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.
Paso 4: Coloca el resto de las señales. Recuerda que al pasar por cada raíz, el signo cambia. Como resultado, nuestra imagen se verá así:
Eso es todo. Solo queda escribir la respuesta. Echa otro vistazo a la desigualdad original:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Esta es una desigualdad de la forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Esta es la respuesta.
Una nota sobre los signos de función
La práctica muestra que las mayores dificultades en el método del intervalo surgen en los dos últimos pasos, es decir al colocar letreros. Muchos estudiantes comienzan a confundirse: qué números tomar y dónde colocar los signos.
Para comprender finalmente el método de intervalo, considere dos comentarios sobre los que se basa:
- Una función continua cambia de signo sólo en los puntos donde es igual a cero. Dichos puntos rompen el eje de coordenadas en pedazos, dentro de los cuales el signo de la función nunca cambia. Es por eso que resolvemos la ecuación f (x) \u003d 0 y marcamos las raíces encontradas en una línea recta. Los números encontrados son los puntos "fronterizos" que separan las ventajas de las desventajas.
- Para encontrar el signo de una función en cualquier intervalo, basta con sustituir cualquier número de este intervalo en la función. Por ejemplo, para el intervalo (−5; 6) podemos tomar x = −4, x = 0, x = 4 e incluso x = 1,29374 si queremos. ¿Por qué es importante? Sí, porque a muchos alumnos les empiezan a roer las dudas. Por ejemplo, ¿qué pasa si para x = −4 obtenemos un positivo y para x = 0 obtenemos un negativo? Nunca pasará nada parecido. Todos los puntos en el mismo intervalo dan el mismo signo. Recuerda esto.
Eso es todo lo que necesita saber sobre el método de intervalo. Por supuesto, lo desarmamos en la mayoría versión sencilla. Hay desigualdades más complejas: no estrictas, fraccionarias y con raíces repetidas. Para ellos, también puede aplicar el método de intervalo, pero este es un tema para una gran lección por separado.
Ahora me gustaría analizar un truco avanzado que simplifica drásticamente el método de intervalo. Más precisamente, la simplificación afecta solo al tercer paso: el cálculo del signo en la parte más a la derecha de la línea. Por alguna razón, esta técnica no se lleva a cabo en las escuelas (al menos nadie me explicó esto). Pero en vano, de hecho, este algoritmo es muy simple.
Entonces, el signo de la función está en la parte derecha del eje numérico. Esta pieza tiene la forma (a; +∞), donde a es la raíz más grande de la ecuación f (x) = 0. Para no volarnos los sesos, considera un ejemplo específico:
(x − 1)(2 + x)(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
Tenemos 3 raíces. Los enumeramos en orden ascendente: x = −2, x = 1 y x = 7. Obviamente, la raíz más grande es x = 7.
Para aquellos a quienes les resulte más fácil razonar gráficamente, marcaré estas raíces en la línea de coordenadas. Veamos qué pasa:
Se requiere encontrar el signo de la función f (x) en el intervalo más a la derecha, es decir en (7; +∞). Pero como ya hemos señalado, para determinar el signo, puede tomar cualquier número de este intervalo. Por ejemplo, puede tomar x = 8, x = 150, etc. Y ahora, la misma técnica que no se enseña en las escuelas: tomemos el infinito como un número. Más precisamente, más infinito, es decir. +∞.
"¿Estas drogado? ¿Cómo se puede sustituir el infinito en una función? tal vez, usted pregunta. Pero piénsalo: no necesitamos el valor de la función en sí, solo necesitamos el signo. Por tanto, por ejemplo, los valores f (x) = −1 y f (x) = −938 740 576 215 significan lo mismo: la función es negativa en este intervalo. Por lo tanto, todo lo que se requiere de ti es encontrar el signo que ocurre en el infinito, y no el valor de la función.
De hecho, sustituir infinito es muy simple. Volvamos a nuestra función:
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)
Imagina que x es muy Número grande. Mil millones o incluso un billón. Ahora veamos qué sucede en cada paréntesis.
Primer paréntesis: (x − 1). ¿Qué pasa si restas uno de mil millones? El resultado será un número no muy diferente de mil millones, y este número será positivo. De manera similar con el segundo paréntesis: (2 + x). Si sumamos mil millones a dos, obtenemos mil millones con kopeks: este es un número positivo. Finalmente, el tercer paréntesis: (7 − x ). Aquí habrá menos mil millones, de los cuales se ha "roído" una pieza miserable en forma de siete. Aquellos. el número resultante no diferirá mucho de menos mil millones, será negativo.
Queda por encontrar el signo de toda la obra. Como teníamos un más en los primeros corchetes y un menos en el último paréntesis, obtenemos la siguiente construcción:
(+) · (+) · (−) = (−)
¡El signo final es menos! No importa cuál sea el valor de la función en sí. Lo principal es que este valor es negativo, es decir. en el intervalo más a la derecha hay un signo menos. Queda por completar el cuarto paso del método de intervalo: organizar todos los signos. Tenemos:
La desigualdad original se veía así:
(x − 1)(2 + x)(7 − x )< 0
Por lo tanto, nos interesan los intervalos marcados con un signo menos. Escribimos la respuesta:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Ese es todo el truco que quería contar. En conclusión, hay una desigualdad más, que se resuelve por el método del intervalo utilizando el infinito. Para acortar visualmente la solución, no escribiré números de pasos ni comentarios detallados. Escribiré solo lo que realmente se necesita escribir al resolver problemas reales:
Tarea. Resuelve la desigualdad:
x (2x + 8)(x − 3) > 0
Sustituimos la desigualdad por una ecuación y la resolvemos:
x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Marcamos las tres raíces en la línea de coordenadas (inmediatamente con signos):
Hay un signo más en el lado derecho del eje de coordenadas, porque la función se parece a:
f(x) = x(2x + 8)(x − 3)
Y si sustituimos infinito (por ejemplo, mil millones), obtenemos tres corchetes positivos. Dado que la expresión original debe ser mayor que cero, solo nos interesan las ventajas. Queda por escribir la respuesta:
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)
Método de espaciado es una forma sencilla de resolver desigualdades racionales fraccionarias. Este es el nombre de las desigualdades que contienen expresiones racionales (o fraccionarias-racionales) que dependen de una variable.
1. Considere, por ejemplo, la siguiente desigualdad
El método de intervalo te permite resolverlo en un par de minutos.
En el lado izquierdo de esta desigualdad hay una función racional fraccionaria. Racional, porque no contiene raíces, ni senos, ni logaritmos, solo expresiones racionales. A la derecha es cero.
El método de intervalo se basa en la siguiente propiedad de una función racional fraccionaria.
Una función racional fraccionaria puede cambiar de signo solo en aquellos puntos donde es igual a cero o no existe.
Recuerda cómo se factoriza un trinomio cuadrado, es decir, una expresión de la forma .
Donde y estan las raices ecuación cuadrática.
Dibujamos un eje y ordenamos los puntos en los que desaparecen el numerador y el denominador.
Los ceros del denominador y son puntos pinchados, ya que en estos puntos no está definida la función del lado izquierdo de la desigualdad (no se puede dividir por cero). Los ceros del numerador y - están sombreados porque la desigualdad no es estricta. Para y nuestra desigualdad se satisface, ya que ambas partes son iguales a cero.
Estos puntos dividen el eje en intervalos.
Determinemos el signo de la función racional-fraccionaria en el lado izquierdo de nuestra desigualdad en cada uno de estos intervalos. Recordemos que una función racional fraccionaria puede cambiar de signo solo en aquellos puntos en los que es igual a cero o no existe. Esto significa que en cada uno de los intervalos entre los puntos donde desaparece el numerador o el denominador, el signo de la expresión del lado izquierdo de la desigualdad será constante, ya sea "más" o "menos".
Y por lo tanto, para determinar el signo de la función en cada uno de esos intervalos, tomamos cualquier punto que pertenezca a este intervalo. El que nos conviene.
. Toma, por ejemplo, y verifica el signo de la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad. Cada uno de los "paréntesis" es negativo. El lado izquierdo tiene un letrero.
Próximo intervalo: . Vamos a comprobar el signo de . Obtenemos que el lado izquierdo ha cambiado de signo a .
Echemos . Cuando la expresión es positiva, por lo tanto, es positiva en todo el intervalo desde hasta .
Para , el lado izquierdo de la desigualdad es negativo.
Y finalmente class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}
Hemos encontrado en qué intervalos la expresión es positiva. Queda por escribir la respuesta:
Respuesta: .
Tenga en cuenta: los signos en los intervalos se alternan. Esto sucedió porque al pasar por cada punto, exactamente uno de los factores lineales cambió de signo, y el resto lo mantuvo sin cambios.
Vemos que el método del intervalo es muy simple. Para resolver una desigualdad fraccionaria-racional por el método de los intervalos, la llevamos a la forma:
O class="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, o o .
(en el lado izquierdo - una función racional-fraccional, en el lado derecho - cero).
Luego, marcamos en la recta numérica los puntos en los que se anula el numerador o el denominador.
Estos puntos dividen toda la recta numérica en intervalos, en cada uno de los cuales la función racional-fraccional conserva su signo.
Solo queda descubrir su signo en cada intervalo.
Hacemos esto comprobando el signo de la expresión en cualquier punto dentro del intervalo dado. Después de eso, escribimos la respuesta. Eso es todo.
Pero surge la pregunta: ¿los signos siempre se alternan? ¡No, no siempre! Debemos tener cuidado de no colocar las señales de forma mecánica e irreflexiva.
2. Veamos otra desigualdad.
Clase="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \izquierda(x-3\derecha))>0"> !}
Volvemos a colocar puntos en el eje. Los puntos y se pinchan porque son los ceros del denominador. El punto también está perforado, ya que la desigualdad es estricta.
Cuando el numerador es positivo, ambos factores en el denominador son negativos. Esto es fácil de verificar tomando cualquier número de un intervalo dado, por ejemplo, . El lado izquierdo tiene el signo:
Cuando el numerador es positivo; el primer factor en el denominador es positivo, el segundo factor es negativo. El lado izquierdo tiene el signo:
Cuando la situación es la misma! El numerador es positivo, el primer factor en el denominador es positivo, el segundo es negativo. El lado izquierdo tiene el signo:
Finalmente, con class="tex" alt="x>3">
все множители положительны, и левая часть имеет знак :!} 
Respuesta: .
¿Por qué se rompió la alternancia de personajes? Porque al pasar por el punto, el multiplicador "responsable" del mismo no cambio de signo. En consecuencia, todo el lado izquierdo de nuestra desigualdad tampoco cambió de signo.
Conclusión: si el factor lineal está en una potencia par (por ejemplo, en un cuadrado), entonces al pasar por un punto, el signo de la expresión del lado izquierdo no cambia. En el caso de un grado impar, el signo, por supuesto, cambia.
3. Considere más caso dificil. Se diferencia del anterior en que la desigualdad no es estricta:
El lado izquierdo es el mismo que en el problema anterior. La imagen de los signos será la misma:
¿Quizás la respuesta sea la misma? ¡No! La solución se suma Esto se debe a que en , tanto el lado izquierdo como el derecho de la desigualdad son iguales a cero; por lo tanto, este punto es una solución.
Respuesta: .
En el problema del examen de matemáticas, esta situación se encuentra a menudo. Aquí, los solicitantes caen en una trampa y pierden puntos. ¡Ten cuidado!
4. ¿Qué sucede si el numerador o el denominador no se pueden factorizar en factores lineales? Considere esta desigualdad:
El trinomio cuadrado no se puede factorizar: el discriminante es negativo, no hay raíces. ¡Pero esto es bueno! Esto quiere decir que el signo de la expresión es el mismo para todos, y en concreto, es positivo. Puedes leer más sobre esto en el artículo sobre las propiedades de una función cuadrática.
Y ahora podemos dividir ambos lados de nuestra desigualdad por un valor que sea positivo para todos. Llegamos a una desigualdad equivalente:
Lo cual se resuelve fácilmente por el método del intervalo.
Preste atención: dividimos ambos lados de la desigualdad por el valor, que sabíamos con certeza que era positivo. Por supuesto, en el caso general, no debes multiplicar o dividir una desigualdad por una variable cuyo signo se desconoce.
5 . Considere otra desigualdad, aparentemente bastante simple:
Entonces quiero multiplicarlo por . Pero ya somos inteligentes, y no lo haremos. Después de todo, puede ser tanto positivo como negativo. Y sabemos que si ambas partes de la desigualdad se multiplican por un valor negativo, el signo de la desigualdad cambia.
Actuaremos de manera diferente: reuniremos todo en una parte y lo llevaremos a un denominador común. El cero permanecerá en el lado derecho:
Clase="tex" alt="\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}
Y después de eso - aplicable método de intervalo.
¡Notas importantes!
1. Si en lugar de fórmulas ve abracadabra, borre su caché. Cómo hacerlo en su navegador está escrito aquí:
2. Antes de comenzar a leer el artículo, presta atención a nuestro navegador para obtener la mayor cantidad recurso útil Para
¡Solo necesita comprender este método y conocerlo como la palma de su mano! Aunque solo sea porque sirve para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo bien este método, resolver estas desigualdades es sorprendentemente sencillo. Un poco más adelante te revelaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo al resolver estas desigualdades. Bueno, ¿estás intrigado? ¡Entonces vamos!
La esencia del método es factorizar la desigualdad (repita el tema) y determinar la ODZ y el signo de los factores, ahora explicaré todo. Tomemos el ejemplo más simple: .
Áreas valores permitidos() no es necesario escribirlo aquí, ya que no hay división por una variable, y aquí no se observan radicales (raíces). Todo aquí ya está multiplicado para nosotros. ¡Pero no te relajes, todo esto es para recordar lo básico y entender la esencia!
Suponga que no conoce el método de los intervalos, ¿cómo resolvería esta desigualdad? Sea lógico y construya sobre lo que ya sabe. Primero, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menores que cero, ya que "Más" sobre "más" hace "más" y "menos" sobre "menos" hace "más", ¿verdad? Y si los signos de las expresiones entre paréntesis son diferentes, al final el lado izquierdo será menor que cero. Pero, ¿qué necesitamos para averiguar aquellos valores para los cuales las expresiones entre paréntesis serán negativas o positivas?
Necesitamos resolver la ecuación, es exactamente igual que la desigualdad, solo que en lugar del signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar esos valores límite, desviándonos de los cuales los factores y serán mayores o menos que cero.
Y ahora los intervalos en sí. ¿Qué es un intervalo? Este es un determinado intervalo de la recta numérica, es decir, todos los números posibles encerrados entre dos números: los extremos del intervalo. No es tan fácil imaginar estos espacios en la cabeza, por lo que es costumbre dibujar intervalos, ahora te enseñaré.
Dibujamos un eje, en él se ubica toda la serie numérica desde y hacia. Los puntos se trazan en el eje, los muy llamados ceros de la función, valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "pinchados", lo que significa que no están entre esos valores para los que la desigualdad es cierta. EN este caso, están pinchados. el signo en la desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor que y no mayor o igual que.
Quiero decir que no es necesario marcar cero, aquí no tiene círculos, pero sí, para comprender y orientar a lo largo del eje. Bien, se dibujó el eje, se colocaron los puntos (o más bien círculos), entonces, ¿cómo me ayudará esto a resolver? - usted pregunta. Ahora simplemente tome el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyalos en su desigualdad y vea cuál será el signo como resultado de la multiplicación.
En resumen, solo tomamos un ejemplo, lo reemplazamos aquí, resultará, lo que significa que en todo el intervalo (en todo el intervalo) desde hasta, desde el cual tomamos, la desigualdad será verdadera. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.
Hacemos lo mismo con un intervalo de a, tomar o, por ejemplo, sustituir en, determinar el signo, el signo será "menos". Y hacemos lo mismo con el último, tercer intervalo de a, donde el signo resultará ser "más". Salió un montón de texto, pero hay poca visibilidad, ¿verdad?
Mira de nuevo la desigualdad.
Ahora, en el mismo eje, también aplicamos los signos que serán el resultado. La línea discontinua, en mi ejemplo, denota las secciones positivas y negativas del eje.
Mira la desigualdad - la imagen, otra vez la desigualdad - y otra vez la imagen esta algo claro? Ahora trata de decir en qué intervalos de x, la desigualdad será verdadera. Así es, de a la desigualdad también se cumplirá de a, y en el intervalo de a la desigualdad de cero y este intervalo nos interesa poco, porque tenemos un signo en la desigualdad.
Bueno, ya que lo averiguaste, ¡entonces depende de ti escribir la respuesta! En respuesta, escribimos aquellos intervalos en los que el lado izquierdo es mayor que cero, lo que se lee como X pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale aclarar que los paréntesis significan que los valores que acotan el intervalo no son soluciones a la desigualdad, es decir, no se incluyen en la respuesta, sino que solo dicen que antes, por ejemplo, pero no hay solución.
Ahora un ejemplo en el que tendrás que dibujar no solo el intervalo:
¿Qué crees que se debe hacer antes de poner puntos en el eje? Sí, factorízalo:
Dibujamos intervalos y colocamos signos, notamos los puntos que hemos pinchado, porque el signo es estrictamente menor que cero:
¡Es hora de revelarles un secreto que les prometí al comienzo de este tema! Pero que tal si te digo que no puedes sustituir los valores de cada intervalo para determinar el signo, sino que puedes determinar el signo en uno de los intervalos, y en el resto solo alternar los signos!
Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo al colocar los letreros. ¡Creo que esta vez ganado en el examen no hará daño!
Escribimos la respuesta:
Ahora considere un ejemplo de una desigualdad racional fraccionaria: una desigualdad, cuyas dos partes son expresiones racionales (ver).
¿Qué puedes decir acerca de esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación racional fraccionaria, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, lo que significa que definitivamente es racional, pero luego hay una fracción, ¡e incluso con una incógnita en el denominador!
Así es, ¡ODZ es necesario!
Entonces, vayamos más allá, aquí todos los factores excepto uno tienen una variable de primer grado, pero hay un factor donde x tiene un segundo grado. Por lo general, nuestro signo cambia después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, por lo que determinamos cuál debe ser x en cada factor. Y aquí, por lo que siempre es positivo, porque. cualquier número al cuadrado > cero y un término positivo.
¿Cómo crees que afectará el valor de la desigualdad? Así es, ¡no importa! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y, por lo tanto, eliminar este factor para que no nos dañe la vista.
es hora de dibujar intervalos, para esto necesitas determinar esos valores límite, desviándose de los cuales los multiplicadores y serán mayores y menores que cero. Pero presta atención que aquí el signo significa el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, no lo pincharemos, porque está incluido en el número de soluciones, tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Podemos colorear el punto donde el denominador es negativo? - ¡Por supuesto que no!
El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo se verá así:
De acuerdo con este esquema, ya puede escribir fácilmente una respuesta, solo puedo decir que ahora tiene un nuevo tipo de paréntesis a su disposición: ¡cuadrado! Aquí hay un paréntesis [ dice que el valor está en el intervalo de solución, es decir es parte de la respuesta, este paréntesis corresponde a un punto relleno (no perforado) en el eje.
Entonces, ¿obtuviste la misma respuesta?
Factorizamos y transferimos todo en una dirección, porque solo necesitamos dejar el cero a la derecha para poder comparar con él:
Llamo su atención sobre el hecho de que en la última transformación, para entrar tanto en el numerador como en el denominador, multiplico ambas partes de la desigualdad por. ¡Recuerda que cuando multiplicas ambos lados de la desigualdad por, el signo de la desigualdad se invierte!
Escribimos ODZ:
De lo contrario, el denominador se convertirá en cero y, como recordarás, ¡no puedes dividir por cero!
De acuerdo, en la desigualdad resultante es tentador reducir el numerador y el denominador. ¡No puedes hacer esto, puedes perder algunas de las decisiones o ODZ!
Ahora intente poner puntos en el eje usted mismo. Solo señalaré que al dibujar puntos, debe prestar atención al hecho de que un punto con un valor que, según el signo, parece que debería dibujarse en el eje como se llena, no se llenará , será perforado! ¿Por qué preguntarte? ¿Y recuerdas ODZ, no vas a dividir por cero así?
Recuerda, ¡ODZ está por encima de todo! Si todas las desigualdades y los signos de igualdad dicen una cosa, y la ODZ dice otra, ¡confíe en la ODZ, grande y poderosa! Bueno, construiste los intervalos, estoy seguro de que tomaste mi consejo sobre la alternancia y lo obtuviste así (ver la imagen a continuación) ¡Ahora táchalo y no vuelvas a repetir este error! ¿Qué error? - usted pregunta.
El caso es que en esta desigualdad el factor se repetía dos veces (¿recuerdas cómo todavía intentaste reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite en la desigualdad un número par de veces, entonces al pasar por un punto del eje que convierte este factor a cero (en este caso, un punto), el signo no cambiará, si es impar, entonces el signo cambia!
El siguiente eje con intervalos y signos será correcto:
Y, tenga en cuenta que no estamos interesados en el signo que estaba al principio (cuando acabamos de ver la desigualdad, el signo era), después de las transformaciones, el signo cambió a, lo que significa que estamos interesados en las lagunas con el signo .
Respuesta:
También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no están incluidas en ningún hueco, en respuesta se escriben entre llaves, así, por ejemplo:. Puede leer más sobre este tipo de situaciones en el artículo Nivel Intermedio.
Resumamos cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo:
- Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha dejamos solo cero;
- Encontramos ODZ;
- Ponemos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
- Tomamos una arbitraria de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad, depende del número par o impar de tiempos de su repetición, ya sea que el signo cambie al pasar por ellos o no;
- En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.
Y por último, nuestra sección favorita, ¡"hazlo tú mismo"!
Ejemplos:
Respuestas:
MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL PROMEDIO
Función lineal
Una función de la forma se llama lineal. Tomemos una función como ejemplo. Es positivo en y negativo en. El punto es el cero de la función (). Mostremos los signos de esta función en el eje real:
Decimos que "la función cambia de signo al pasar por un punto".
Se puede ver que los signos de la función corresponden a la posición de la gráfica de la función: si la gráfica está arriba del eje, el signo es “ ”, si está abajo - “ ”.
Si generalizamos la regla resultante a un número arbitrario función lineal, obtenemos el siguiente algoritmo:
- Encontramos el cero de la función;
- Lo marcamos en el eje numérico;
- Determinamos el signo de la función por lados diferentes desde cero
función cuadrática
Espero que recuerdes cómo se resuelven las desigualdades cuadráticas. Si no, lee el hilo. Recordar la vista general función cuadrática: .
Ahora recordemos qué signos toma la función cuadrática. Su gráfica es una parábola, y la función toma el signo “ ” para aquellas en las que la parábola está por encima del eje, y “ ” - si la parábola está por debajo del eje:
Si la función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola se cruza con el eje en dos puntos: las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. Así, el eje se divide en tres intervalos, y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.
¿Es posible determinar de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?
Recuerda que el trinomio cuadrado se puede factorizar:
Por ejemplo: .
Tenga en cuenta las raíces en el eje:
Recordemos que el signo de una función solo puede cambiar al pasar por la raíz. Usamos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que el eje se divide por raíces, es suficiente determinar el signo de la función solo en un punto elegido arbitrariamente: en los otros puntos del intervalo, el signo será el mismo.
En nuestro ejemplo: porque ambas expresiones entre paréntesis son positivas (las sustituimos, por ejemplo:). Ponemos el signo "" en el eje:
Bueno, si (sustituir, por ejemplo) ambos paréntesis son negativos, entonces el producto es positivo:
Eso es lo que es método de intervalo: conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo de todo el producto.
Consideremos también casos en los que la función no tiene ceros, o es solo uno.
Si no hay ninguno, entonces no hay raíces. Esto significa que no habrá “paso por la raíz”. Esto significa que la función en todo el eje numérico toma solo un signo. Es fácil de determinar sustituyéndolo en una función.
Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Cuál es la regla para tales situaciones?
Si factorizamos tal función, obtenemos dos factores idénticos:
¡Y cualquier expresión al cuadrado es no negativa! Por lo tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, seleccionaremos la raíz, al pasar por la cual el signo no cambia, rodeándola con un cuadrado:
Tal raíz se llamará múltiplo.
El método de los intervalos en las desigualdades
Ahora cualquier desigualdad cuadrática se puede resolver sin dibujar una parábola. Basta con colocar los signos de la función cuadrática en el eje y elegir los intervalos según el signo de la desigualdad. Por ejemplo:
Medimos las raíces en el eje y organizamos los signos:
Necesitamos la parte del eje con el signo ""; como la desigualdad no es estricta, las propias raíces también se incluyen en la solución:
Ahora considere una desigualdad racional - una desigualdad, cuyas dos partes son expresiones racionales (ver).
Ejemplo:
Todos los factores excepto uno - aquí son "lineales", es decir, contienen una variable solo en primer grado. Necesitamos dichos factores lineales para aplicar el método de intervalo: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el multiplicador no tiene raíces en absoluto. Esto significa que siempre es positivo (compruébalo tú mismo), y por lo tanto no afecta el signo de toda la desigualdad. Esto significa que puedes dividir los lados izquierdo y derecho de la desigualdad en ella y así deshacerte de ella:
Ahora todo es igual que antes desigualdades cuadráticas: determinamos en qué puntos desaparece cada uno de los factores, marcamos estos puntos en el eje y ordenamos los signos. Llamo su atención sobre un hecho muy importante:
Respuesta: . Ejemplo: .
Para aplicar el método del intervalo, es necesario que en una de las partes de la desigualdad se haya. Por lo tanto, movemos el lado derecho hacia el izquierdo:
El numerador y el denominador tienen el mismo factor, ¡pero no tenemos prisa por reducirlo! Después de todo, entonces podemos olvidarnos de resaltar este punto. Es mejor marcar esta raíz como un múltiplo, es decir, al pasar por ella, el signo no cambiará: 
Respuesta: .
Y otro ejemplo muy ilustrativo:
Nuevamente, no reducimos los mismos factores del numerador y el denominador, porque si reducimos, tendremos que recordar específicamente que necesitamos hacer un punto.
- : veces repetidas;
- : veces;
- : veces (en el numerador y uno en el denominador).
En el caso de un número par, se procede de la misma forma que antes: rodeamos el punto con un cuadrado y no cambiamos de signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de un número impar, esta regla no se cumple: el signo seguirá cambiando al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada adicional con tal raíz, como si no fuera un múltiplo de nosotros. Las reglas anteriores se aplican a todas las potencias pares e impares. 
¿Qué escribimos en la respuesta?
Si se viola la alternancia de signos, debe tener mucho cuidado, porque con desigualdad no estricta, la respuesta debe incluir todos los puntos llenos. Pero algunos de ellos a menudo están solos, es decir, no ingresan al área sombreada. En este caso, los agregamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):
Ejemplos (decide por ti mismo):
Respuestas:
- Si entre los factores es simple, esta es la raíz, porque se puede representar como.
.
MÉTODO DE INTERVALO. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES
El método del intervalo se utiliza para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto a partir de los signos de los factores en diferentes intervalos.
Algoritmo para resolver desigualdades racionales por el método del intervalo.
- Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha dejamos solo cero;
- Encontramos ODZ;
- Ponemos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
- Tomamos una arbitraria de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad, depende del número par o impar de tiempos de su repetición, ya sea que el signo cambie al pasar por ellos o no;
- En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.
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El método de intervalo se considera universal para resolver desigualdades. A veces, este método también se llama el método de la brecha. Se puede utilizar tanto para resolver desigualdades racionales con una variable como para desigualdades de otro tipo. En nuestro material, tratamos de prestar atención a todos los aspectos del problema.
¿Qué te espera en esta sección? Analizaremos el método de la brecha y consideraremos algoritmos para resolver desigualdades usándolo. vamos a tocar aspectos teóricos en que se basa la aplicación del método.
Prestamos especial atención a los matices del tema, que normalmente no se abordan en el currículum escolar. Por ejemplo, considere las reglas para colocar signos en intervalos y el método de intervalos en vista general sin vincularlo a desigualdades racionales.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algoritmo
¿Quién recuerda cómo se introdujo el método de la brecha en el curso de álgebra escolar? Por lo general, todo comienza con la resolución de desigualdades de la forma f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >o ≥). Aquí f(x) puede ser un polinomio o una razón de polinomios. El polinomio, a su vez, se puede representar como:
- el producto de binomios lineales con coeficiente 1 para la variable x;
- trabajar trinomios cuadrados con el coeficiente principal 1 y con el discriminante negativo de sus raíces.
Aquí hay algunos ejemplos de tales desigualdades:
(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,
(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,
(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,
(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .
Escribimos un algoritmo para resolver desigualdades de este tipo, como hemos dado en los ejemplos, usando el método del intervalo:
- encontramos los ceros del numerador y denominador, para ello igualamos a cero el numerador y denominador de la expresión del lado izquierdo de la desigualdad y resolvemos las ecuaciones resultantes;
- determine los puntos que corresponden a los ceros encontrados y márquelos con guiones en el eje de coordenadas;
- definir signos de expresión f(x) del lado izquierdo de la desigualdad resuelta en cada intervalo y colóquelos en el gráfico;
- aplicar sombreado sobre las secciones deseadas del gráfico, guiado por siguiente regla: en caso de que la desigualdad tenga signos< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >o ≥ , luego seleccionamos con sombreado las áreas marcadas con el signo “+”.
El dibujo con el que trabajaremos puede tener una vista esquemática. El exceso de detalles puede sobrecargar el dibujo y dificultar la decisión. Nos interesará poco la escala. Será suficiente para pegar ubicación correcta puntos a medida que aumentan los valores de sus coordenadas.
Cuando trabajemos con desigualdades estrictas, usaremos la notación de un punto en forma de círculo con un centro vacío (vacío). En el caso de desigualdades no estrictas, los puntos que correspondan a los ceros del denominador se mostrarán vacíos, y el resto en negro ordinario.
Los puntos marcados dividen la línea de coordenadas en varios intervalos numéricos. Esto nos permite obtener una representación geométrica del conjunto de números, que en realidad es la solución a la desigualdad dada.
Base científica del método gap
El enfoque subyacente al método de la brecha se basa en la siguiente propiedad función continua: la función permanece constante en el intervalo (a , b) en el que esta función es continua y no desaparece. La misma propiedad es típica para rayos numéricos (− ∞ , a) y (a, +∞).
La propiedad anterior de la función está confirmada por el teorema de Bolzano-Cauchy, que se da en muchos manuales para preparar los exámenes de ingreso.
También es posible justificar la constancia del signo en los intervalos sobre la base de las propiedades de las desigualdades numéricas. Por ejemplo, toma la desigualdad x - 5 x + 1 > 0 . Si encontramos los ceros del numerador y del denominador y los ponemos en la recta numérica, obtenemos una serie de huecos: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) y (5 , + ∞) .
Tomemos cualquiera de los intervalos y mostremos que en todo el intervalo la expresión del lado izquierdo de la desigualdad tendrá un signo constante. Sea este el intervalo (− ∞ , − 1) . Tomemos cualquier número t de este intervalo. satisfará las condiciones t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .
Usando tanto las desigualdades obtenidas como la propiedad de las desigualdades numéricas, podemos suponer que t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t en el intervalo (− ∞ , − 1) .
Usando la regla para dividir números negativos, podemos afirmar que el valor de la expresión t - 5 t + 1 será positivo. Esto significa que el valor de la expresión x - 5 x + 1 será positivo para cualquier valor X de la brecha (− ∞ , − 1) . Todo esto nos permite afirmar que en el intervalo tomado como ejemplo, la expresión tiene signo constante. En nuestro caso, este es el signo "+".
Encontrar ceros del numerador y denominador
El algoritmo para encontrar ceros es simple: igualamos las expresiones del numerador y el denominador a cero y resolvemos las ecuaciones resultantes. Si tiene alguna dificultad, puede consultar el tema "Resolución de ecuaciones mediante factorización". En esta sección, nos limitaremos a un ejemplo.
Considere la fracción x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Para encontrar los ceros del numerador y del denominador, los igualamos a cero para obtener y resolver las ecuaciones: x (x − 0, 6) = 0 y x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.
En el primer caso, podemos ir al conjunto de dos ecuaciones x = 0 y x − 0, 6 = 0, lo que nos da dos raíces 0 y 0, 6. Estos son los ceros del numerador.
La segunda ecuación es equivalente al conjunto de tres ecuaciones x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Realizamos una serie de transformaciones y obtenemos x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. La raíz de la primera ecuación es 0, la segunda ecuación no tiene raíces, ya que tiene un discriminante negativo, la raíz de la tercera ecuación es 5. Estos son los ceros del denominador.
0 en este caso es tanto el cero del numerador como el cero del denominador.
En el caso general, cuando hay una fracción en el lado izquierdo de la desigualdad, que no es necesariamente racional, el numerador y el denominador también se igualan a cero para obtener ecuaciones. Resolver ecuaciones te permite encontrar los ceros del numerador y el denominador.
Determinar el signo del intervalo es simple. Para hacer esto, puede encontrar el valor de la expresión del lado izquierdo de la desigualdad para cualquier punto elegido arbitrariamente del intervalo dado. El signo resultante del valor de la expresión en un punto arbitrariamente elegido del intervalo coincidirá con el signo de todo el intervalo.
Veamos esta afirmación con un ejemplo.
Toma la desigualdad x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . La expresión ubicada en el lado izquierdo de la desigualdad no tiene ceros en el numerador. El denominador cero será el número -3. Obtenemos dos huecos en la recta numérica. (− ∞ , − 3) y (− 3 , + ∞) .
Para determinar los signos de los intervalos, calculamos el valor de la expresión x 2 - x + 4 x + 3 para puntos tomados arbitrariamente en cada uno de los intervalos.
Desde el primer intervalo (− ∞ , − 3) tomar - 4 . En X = -4 tenemos (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Tenemos significado negativo, por lo que todo el intervalo será con el signo "-".
por lapso (− 3 , + ∞) realicemos cálculos con un punto que tiene una coordenada cero. Para x = 0 tenemos 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Consiguió valor positivo, lo que significa que todo el lapso tendrá un signo "+".
Puede utilizar otra forma de definir los signos. Para ello, podemos buscar el signo en uno de los intervalos y guardarlo o cambiarlo al pasar por cero. Para hacer todo correctamente, es necesario seguir la regla: al pasar por cero el denominador, pero no el numerador, o el numerador, pero no el denominador, podemos cambiar el signo al contrario si el grado de la la expresión que da este cero es impar, y no podemos cambiar el signo si el grado es par. Si tenemos un punto que es cero tanto en el numerador como en el denominador, entonces es posible cambiar el signo al opuesto solo si la suma de las potencias de las expresiones que dan este cero es impar.
Si recordamos la desigualdad que consideramos al comienzo del primer párrafo de este material, entonces en el intervalo de la derecha podemos colocar un signo "+".
Ahora pasemos a los ejemplos.
Toma la desigualdad (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 y resuélvela usando el método del intervalo. Para hacer esto, necesitamos encontrar los ceros del numerador y el denominador y marcarlos en la línea de coordenadas. Los ceros del numerador serán puntos 2 , 3 , 4 , el denominador del punto 1 , 3 , 4 . Los marcamos en el eje de coordenadas con guiones.
Los ceros del denominador están marcados con puntos vacíos.
Como estamos tratando con una desigualdad no estricta, reemplazamos los guiones restantes con puntos ordinarios.
Ahora coloquemos los puntos en los intervalos. El intervalo más a la derecha (4, +∞) será el signo +.
Moviéndonos de derecha a izquierda, marcaremos los espacios restantes. Pasamos por el punto de coordenada 4 . Es a la vez el cero del numerador y del denominador. En suma, estos ceros dan las expresiones (x - 4) 2 Y x - 4. Sumamos sus potencias 2 + 1 = 3 y obtenemos un número impar. Esto significa que el signo en la transición en este caso cambia al contrario. En el intervalo (3, 4) habrá un signo menos.
Pasamos al intervalo (2, 3) por el punto de coordenada 3. Esto también es cero tanto para el numerador como para el denominador. Lo conseguimos gracias a dos expresiones (x − 3) 3 y (x − 3) 5, cuya suma de potencias es 3 + 5 = 8 . Obtener un número par nos permite dejar el signo del intervalo sin cambios.
El punto de coordenada 2 es el cero del numerador. El grado de expresión x - 2 es igual a 1 (impar). Esto significa que al pasar por este punto, se debe invertir la señal.
Nos quedamos con el último intervalo (− ∞ , 1) . El punto con la coordenada 1 es el denominador cero. Se derivó de la expresión (x - 1) 4, con un grado par 4 . Por lo tanto, el signo sigue siendo el mismo. El dibujo final se verá así:
El uso del método de intervalo es especialmente efectivo en casos donde el cálculo del valor de una expresión está asociado con una gran cantidad de trabajo. Un ejemplo sería la necesidad de evaluar el valor de una expresión
x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)
en cualquier punto del intervalo 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .
Ahora apliquemos los conocimientos y habilidades adquiridos en la práctica.
Ejemplo 1
Resuelve la desigualdad (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .
Solución
Es recomendable aplicar el método de los intervalos para resolver la desigualdad. Encuentra los ceros del numerador y el denominador. Los ceros del numerador son 1 y -5 , los ceros del denominador son 7 y 1 . Vamos a marcarlos en la recta numérica. Estamos tratando con una desigualdad no estricta, por lo que marcaremos los ceros del denominador con puntos vacíos, el cero del numerador - 5 se marcará con un punto relleno regular.
Colocamos los signos de los espacios usando las reglas para cambiar el signo al pasar por cero. Comencemos con el intervalo más a la derecha, para el cual calculamos el valor de la expresión del lado izquierdo de la desigualdad en un punto tomado arbitrariamente del intervalo. Obtenemos el signo "+". Pasemos secuencialmente por todos los puntos en la línea de coordenadas, colocando signos y obtengamos:
Trabajamos con una desigualdad no estricta de signo ≤ . Esto significa que debemos marcar los espacios marcados con el signo "-" con sombreado.
Respuesta: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .
La solución de desigualdades racionales en la mayoría de los casos requiere su transformación preliminar a el tipo correcto. Solo entonces es posible utilizar el método de intervalo. Los algoritmos para llevar a cabo tales transformaciones se consideran en el material "Solución de desigualdades racionales".
Considere un ejemplo de conversión de trinomios cuadrados en desigualdades.
Ejemplo 2
Encuentre una solución a la desigualdad (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .
Solución
Veamos si los discriminantes de trinomios cuadrados en el registro de desigualdad son realmente negativos. Esto nos permitirá determinar si la forma de esta desigualdad nos permite aplicar el método del intervalo a la solución.
Calcular el discriminante para el trinomio x 2 + 3 x + 3: re = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . Ahora calculemos el discriminante para el trinomio x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Como puede ver, la desigualdad requiere una transformación preliminar. Para ello, representamos el trinomio x 2 + 2 x − 8 como (x + 4) (x − 2), y luego aplique el método de intervalo para resolver la desigualdad (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .
Respuesta: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .
El método de la brecha generalizada se usa para resolver desigualdades de la forma f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , donde f (x) es una expresión arbitraria con una variable X.
Todas las acciones se llevan a cabo de acuerdo con un determinado algoritmo. En este caso, el algoritmo para resolver desigualdades por el método de intervalo generalizado diferirá un poco de lo que hemos analizado anteriormente:
- encontrar el dominio de la función f y los ceros de esta función;
- marcar puntos límite en el eje de coordenadas;
- trazar los ceros de la función en la recta numérica;
- determinar los signos de los intervalos;
- aplicamos la eclosión;
- escribe la respuesta.
En la recta numérica, también es necesario marcar puntos individuales del dominio de definición. Por ejemplo, el dominio de una función es el conjunto (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Esto significa que necesitamos marcar puntos con coordenadas − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 Y 10 . puntos − 5 y 7 se muestran vacíos, el resto se puede resaltar con un lápiz de color para distinguirlos de los ceros de la función.
Los ceros de la función en el caso de desigualdades no estrictas se marcan con puntos ordinarios (sombreados), y para desigualdades estrictas, con puntos vacíos. Si los ceros coinciden con los puntos límite o puntos individuales del dominio de definición, entonces se pueden volver a colorear en negro, dejándolos vacíos o rellenos, según el tipo de desigualdad.
El registro de respuesta es conjunto de números que incluye:
- huecos tramados;
- separar puntos del dominio con signo más si se trata de una desigualdad cuyo signo es > o ≥ o con signo menos si hay signos en la desigualdad< или ≤ .
Ahora quedó claro que el algoritmo que presentamos al comienzo del tema es un caso especial del algoritmo para aplicar el método de intervalo generalizado.
Considere un ejemplo de aplicación del método de intervalo generalizado.
Ejemplo 3
Resuelve la desigualdad x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .
Solución
Introducimos una función f tal que f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Encuentre el dominio de la función F:
X 2 + 2 X - 24 ≥ 0 X ≠ 7 re (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .
Ahora encontremos los ceros de la función. Para ello resolveremos la ecuación irracional:
x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0
Obtenemos la raíz x = 12 .
Para designar puntos límite en el eje de coordenadas, usamos color naranja. Puntos: 6, 4 se completarán y 7 se dejarán vacíos. Obtenemos:
Marcamos el cero de la función con un punto negro vacío, ya que estamos trabajando con desigualdad estricta.
Determinamos los signos en intervalos separados. Para hacer esto, tome un punto de cada intervalo, por ejemplo, 16 , 8 , 6 Y − 8 , y calcular el valor de la función en ellos F:
f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0
Colocamos los signos que acabamos de definir y aplicamos sombreado sobre los espacios con un signo menos:
La respuesta será la unión de dos intervalos con el signo "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
En respuesta, hemos incluido un punto con coordenada - 6 . Este no es el cero de la función, que no incluiríamos en la respuesta al resolver una desigualdad estricta, sino el punto límite del dominio de definición, que está incluido en el dominio de definición. El valor de la función en este punto es negativo, lo que significa que satisface la desigualdad.
No incluimos el punto 4 en la respuesta, así como no incluimos todo el intervalo [4, 7) . En este punto, al igual que en todo el intervalo especificado, el valor de la función es positivo, lo que no satisface la desigualdad que se está resolviendo.
Vamos a escribirlo de nuevo para más comprensión clara: se deben incluir puntos de colores en la respuesta en los siguientes casos:
- estos puntos son parte de un espacio rayado,
- estos puntos son puntos separados del dominio de la función, resolviéndose los valores de la función en los que se satisface la desigualdad.
Respuesta: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .
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