Cuatro maravillosos puntos del triángulo. Proyecto de investigación puntos notables del triángulo.

El punto de intersección de las medianas de un triángulo El punto de intersección de las bisectrices de un triángulo El punto de intersección de las alturas de un triángulo El punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de un triángulo

La mediana (BD) de un triángulo es el segmento que conecta el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. A B C D Mediana

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto (el centro de gravedad del triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

La bisectriz (A D) de un triángulo es el segmento de bisectriz del ángulo interior del triángulo.

Cada punto de la bisectriz de un ángulo no desarrollado equidista de sus lados. A la inversa: todo punto que se encuentra dentro de un ángulo y equidistante de los lados del ángulo se encuentra sobre su bisectriz. AMBC

Todas las bisectrices de un triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo inscrito en el triángulo. C B 1 M A V A 1 C 1 O El radio de un círculo (OM) es una perpendicular que cae desde el centro (TO) al lado del triángulo.

ALTURA La altura (C D) de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde el vértice del triángulo hasta la recta que contiene el lado opuesto. A B C D

Las altitudes de un triángulo (o sus extensiones) se cruzan en un punto. A A 1 B B 1 C C 1

MEDIOPERPENDICULAR La bisectriz perpendicular (DF) es la recta perpendicular al lado del triángulo y que lo divide por la mitad. A D F B C

A M B m O Cada punto de la mediatriz (m) de un segmento equidista de los extremos de este segmento. Por el contrario: todo punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en su bisectriz perpendicular.

Todas las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo circunscrito al triángulo. A B C O El radio del círculo circunscrito es la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier vértice del triángulo (OA). mnp

Tareas para estudiantes Construir un círculo inscrito en un triángulo obtuso usando un compás y una regla. Para hacer esto: Construya bisectrices en un triángulo obtuso usando un compás y una regla. El punto de intersección de las bisectrices es el centro del círculo. Construye el radio del círculo: una perpendicular desde el centro del círculo hasta el lado del triángulo. Construye un círculo inscrito en el triángulo.

2. Usando un compás y una regla, construye un círculo que circunscriba un triángulo obtuso. Para hacer esto: Construya bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo obtuso. El punto de intersección de estas perpendiculares es el centro del círculo circunscrito. El radio de un círculo es la distancia desde el centro a cualquier vértice del triángulo. Construye un círculo alrededor del triángulo.

Ministerio de Educación General y Profesional de la Región de Sverdlovsk.

Institución Educativa Municipal de Ekaterimburgo.

Institución educativa – MOUSOSH No. 212 “Liceo Cultural de Ekaterimburgo”

Campo educativo – matemáticas.

Asunto - geometría.

Puntos destacables del triángulo.

Referente: estudiante de octavo grado

Selitski Dmitri Konstantinovich.

Consejero científico:

Rabkánov Serguéi Petrovich.

Ekaterimburgo, 2001

Introducción 3

Parte descriptiva:

Ortocentro 4

Icentro 5

Centro de gravedad 7

Circuncentro 8

Euler línea 9

Parte práctica:

Triángulo ortocéntrico 10

Conclusión 11

Referencias 11

Introducción.

La geometría comienza con un triángulo. Durante dos milenios y medio, el triángulo ha sido un símbolo de la geometría. Constantemente se descubren nuevas propiedades. Hablar de todas las propiedades conocidas de un triángulo llevará mucho tiempo. Me interesaba el llamado " Puntos maravillosos triángulo." Un ejemplo de tales puntos es el punto de intersección de bisectrices. Lo notable es que si tomas tres puntos arbitrarios en el espacio, construyes un triángulo a partir de ellos y dibujas bisectrices, ¡entonces (las bisectrices) se cruzarán en un punto! Parecería que esto no es posible porque tomamos puntos arbitrarios, pero esta regla siempre se aplica. Otros “puntos destacables” tienen propiedades similares.

Después de leer la literatura sobre este tema, me fijé en las definiciones y propiedades de cinco puntos maravillosos y un triángulo. Pero mi trabajo no terminó ahí; quería explorar estos puntos yo mismo.

Es por eso objetivo Este trabajo es un estudio de algunas propiedades notables de un triángulo y un estudio de un triángulo ortocéntrico. En el proceso de consecución de este objetivo se pueden distinguir las siguientes etapas:

Selección de literatura, con la ayuda de un profesor.

Estudiar las propiedades básicas de los puntos y líneas notables de un triángulo.

Generalización de estas propiedades.

Elaboración y resolución de un problema que involucra un triángulo ortocéntrico.

Presenté los resultados obtenidos en este trabajo de investigación. Todos los dibujos los hice usando gráficos por computadora (editor de gráficos vectoriales CorelDRAW).

Ortocentro. (Punto de intersección de alturas)

Demostremos que las alturas se cruzan en un punto. Vamos a llevarte a través de los picos A, EN Y CON triángulo A B C rectas paralelas a lados opuestos. Estas líneas forman un triángulo. A 1 EN 1 CON 1 . altura del triangulo A B C son las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo A 1 EN 1 CON 1 . por lo tanto, se cruzan en un punto: el centro del círculo circunstante del triángulo. A 1 EN 1 CON 1 . El punto de intersección de las alturas de un triángulo se llama ortocentro ( h).

Icentro es el centro del círculo inscrito.

(Punto de intersección de bisectrices)

Demostremos que las bisectrices de los ángulos de un triángulo A B C se cruzan en un punto. Considere el punto ACERCA DE intersecciones de bisectrices de ángulos A Y EN. cualquier punto de la bisectriz del ángulo A es equidistante de las rectas AB Y C.A., y cualquier punto de la bisectriz del ángulo EN equidistante de rectas AB Y Sol, así que punto ACERCA DE equidistante de rectas C.A. Y Sol, es decir. se encuentra en la bisectriz del ángulo CON. punto ACERCA DE equidistante de rectas AB, Sol Y SA, lo que significa que hay un círculo con centro ACERCA DE, tangente a estas rectas, y los puntos de tangencia se encuentran en los propios lados y no en sus extensiones. De hecho, los ángulos en los vértices A Y EN triángulo CUALQUIER OTRO NEGOCIO agudo por lo tanto punto de proyección ACERCA DE directamente AB se encuentra dentro del segmento AB.

Para fiestas Sol Y SA la prueba es similar.

El icentro tiene tres propiedades:

Si la continuación de la bisectriz del ángulo CON corta a la circunferencia circunscrita de un triangulo A B C en el punto METRO, Eso MAMÁ=VM=mes.

Si AB- base de un triángulo isósceles A B C, entonces el círculo tangente a los lados del ángulo dia en puntos A Y EN, pasa por el punto ACERCA DE.

Si una recta pasa por un punto ACERCA DE paralelo al lado AB, cruza los lados Sol Y SA en puntos A 1 Y EN 1 , Eso A 1 EN 1 =A 1 EN+AB 1 .

Centro de gravedad. (Punto de intersección de medianas)

Demostremos que las medianas de un triángulo se cortan en un punto. Para esto, considere el punto METRO, en el que las medianas se cruzan Automóvil club británico 1 Y CAMA Y DESAYUNO 1 . dibujemos en un triángulo CAMA Y DESAYUNO 1 CON línea media A 1 A 2 , paralelo CAMA Y DESAYUNO 1 . Entonces A 1 M:A.M.=EN 1 A 2 :AB 1 =EN 1 A 2 :EN 1 CON=Virginia 1 :SOL=1:2, es decir punto de intersección mediana CAMA Y DESAYUNO 1 Y Automóvil club británico 1 divide la mediana Automóvil club británico 1 en una proporción de 1:2. De manera similar, el punto de intersección de las medianas SS 1 Y Automóvil club británico 1 divide la mediana Automóvil club británico 1 en una proporción de 1:2. Por tanto, el punto de intersección de las medianas Automóvil club británico 1 Y CAMA Y DESAYUNO 1 coincide con el punto de intersección de las medianas Automóvil club británico 1 Y SS 1 .

Si el punto de intersección de las medianas de un triángulo está conectado con los vértices, entonces los triángulos se dividirán en tres triángulos de igual área. De hecho, basta demostrar que si R– cualquier punto de la mediana Automóvil club británico 1 en un triangulo A B C, entonces las áreas de los triángulos AVR Y ACP son iguales. Después de todo, las medianas Automóvil club británico 1 Y REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES 1 en triangulos A B C Y RVS córtalos en triángulos de igual área.

La afirmación inversa también es cierta: si por algún punto R, situada dentro del triángulo A B C, área de triángulos AVR, EL MIÉRCOLES Y RAE son iguales, entonces R– punto de intersección de medianas.

El punto de intersección tiene una propiedad más: si corta un triángulo de cualquier material, dibuja medianas en él, coloca una varilla en el punto de intersección de las medianas y fija la suspensión en un trípode, entonces el modelo (triángulo) estará en En un estado de equilibrio, por lo tanto, el punto de intersección no es más que el centro de gravedad del triángulo.

Centro del círculo circunscrito.

Demostremos que hay un punto equidistante de los vértices del triángulo, o, en otras palabras, que hay un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de los puntos. A Y EN, es perpendicular al segmento AB, pasando por su mitad (la bisectriz perpendicular al segmento AB). Considere el punto ACERCA DE, en el que las bisectrices de las perpendiculares a los segmentos se cruzan AB Y Sol. Punto ACERCA DE equidistantes de puntos A Y EN, así como desde puntos EN Y CON. por lo tanto es equidistante de los puntos A Y CON, es decir. también se encuentra en la bisectriz perpendicular al segmento C.A..

Centro ACERCA DE la circunferencia circunscrita está dentro de un triángulo sólo si el triángulo es agudo. Si el triángulo es rectángulo, entonces el punto ACERCA DE coincide con la mitad de la hipotenusa, y si el ángulo en el vértice CON contundente luego recto AB separa los puntos ACERCA DE Y CON.

En matemáticas sucede a menudo que objetos definidos de maneras completamente diferentes resultan ser iguales. Demostremos esto con un ejemplo.

Dejar A 1 , EN 1 ,CON 1 – puntos medios de los lados Sol,SA y AB. Se puede demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos AB 1 CON, A 1 Sol 1 Y A 1 EN 1 CON 1 se cortan en un punto y este punto es el circuncentro del triangulo A B C. Entonces, tenemos dos puntos aparentemente completamente diferentes: el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo A B C y el punto de intersección de los círculos circunstantes de los triángulos AB 1 CON 1 , A 1 Sol Y A 1 EN 1 CON 1 . pero resulta que estos dos puntos coinciden.

La recta de Euler.

lo mas propiedad increíble Lo notable del triángulo es que algunos de ellos están conectados entre sí por ciertas relaciones. Por ejemplo, centro de gravedad. METRO, ortocentro norte y el centro del círculo circunstante ACERCA DE se encuentran en la misma línea recta, y el punto M divide el segmento OH para que la relación sea válida OM: MN=1:2. Este teorema fue demostrado en 1765 por el científico suizo Leonardo Euler.

Triángulo ortocéntrico.

Triángulo ortocéntrico(ortotriángulo) es un triángulo ( METROnorteA), cuyos vértices son las bases de las altitudes de este triángulo ( A B C). Este triángulo tiene muchas propiedades interesantes. Démosle uno de ellos.

Propiedad.

Probar:

triangulos akm, CMN Y BKN similar a un triangulo A B C;

Ángulos de un ortotriángulo MNK son: l KNM = π - 2 l A,lKMN = π – 2 l B, l MNK = π - - 2 l C.

Prueba:

Tenemos AB porque A, ALASKA. porque A. Por eso, SOY./AB = ALASKA./C.A..

Porque en triangulos A B C Y akm esquina A– común, entonces son similares, de lo cual concluimos que el ángulo l akm = l C. Es por eso l BKM = l C. A continuación tenemos l MKC= π/2 – l C, l NKC= π/2 – - - l C, es decir. SK- bisectriz MNK. Entonces, l MNK= π – 2 l C. Las igualdades restantes se demuestran de manera similar.

Conclusión.

Al finalizar este trabajo de investigación se pueden extraer las siguientes conclusiones:

Los puntos y líneas notables del triángulo son:

ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de sus alturas;

ycentro el triángulo es el punto de intersección de las bisectrices;

centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas;

circuncentro– es el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares;

La recta de Euler- es la recta sobre la que se encuentran el centro de gravedad, el ortocentro y el centro del círculo circunscrito.

Un triángulo ortocéntrico se divide triángulo dado tres similares a este.

Después de realizar este trabajo, aprendí mucho sobre las propiedades de un triángulo. Este trabajo fue relevante para mí desde el punto de vista de desarrollar mis conocimientos en el campo de las matemáticas. En el futuro tengo la intención de desarrollar este interesante tema.

Bibliografía.

Kiselyov A.P. Geometría elemental. – M.: Educación, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Nuevos encuentros con la geometría. – M.: Nauka, 1978.

Prasolov V.V. Problemas de planimetría. – M.: Nauka, 1986. – Parte 1.

Sharygin I.F. Problemas de geometría: Planimetría. – M.: Nauka, 1986.

Scanavi MI Matemáticas. Problemas con soluciones. – Rostov del Don: Phoenix, 1998.

Berger M. Geometría en dos volúmenes - M: Mir, 1984.

Contenido

Introducción……………………………………………………………………………………3

Capítulo 1.

1.1 Triángulo………………………………………………………………………………..4

1.2. Medianas de un triangulo

1.4. Alturas en un triangulo

Conclusión

Lista de literatura usada

Folleto

Introducción

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de diversas figuras y sus propiedades. La geometría comienza con un triángulo. Durante dos milenios y medio, el triángulo ha sido un símbolo de la geometría; pero no es sólo un símbolo, un triángulo es un átomo de geometría.

En mi trabajo, consideraré las propiedades de los puntos de intersección de las bisectrices, medianas y alturas de un triángulo, y hablaré sobre sus propiedades notables y las rectas del triángulo.

Los puntos estudiados en un curso de geometría escolar incluyen:

a) el punto de intersección de las bisectrices (el centro del círculo inscrito);

b) el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares (el centro del círculo circunscrito);

c) punto de intersección de alturas (ortocentro);

d) punto de intersección de medianas (centroide).

Relevancia: amplía tus conocimientos sobre el triángulo,sus propiedadespuntos maravillosos.

Objetivo: exploración del triángulo hasta sus puntos notables,estudiándolosclasificaciones y propiedades.

Tareas:

1. Explorar literatura necesaria

2. Estudiar la clasificación de los puntos destacables de un triángulo.

3. Ser capaz de construir puntos de triángulos notables.

4. Resumir el material estudiado para el diseño del cuadernillo.

Hipótesis del proyecto:

la capacidad de encontrar puntos destacables en cualquier triángulo te permite resolver problemas de construcción geométrica.

Capítulo 1. Información histórica sobre los puntos destacables del triángulo.

En el cuarto libro de los Elementos, Euclides resuelve el problema: “Inscribir un círculo en un triángulo dado”. De la solución se deduce que las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo inscrito. De la solución de otro problema euclidiano se deduce que las perpendiculares restauradas a los lados del triángulo en sus puntos medios también se cruzan en un punto: el centro del círculo circunscrito. Los Elementos no dicen que las tres alturas del triángulo se cruzan en un punto, llamado ortocentro (la palabra griega “orthos” significa “recto”, “correcto”). Esta propuesta, sin embargo, era conocida por Arquímedes, Pappus y Proclus.

El cuarto punto singular del triángulo es el punto de intersección de las medianas. Arquímedes demostró que es el centro de gravedad (baricentro) del triángulo. Los cuatro puntos anteriores fueron abordados Atención especial, y desde el siglo XVIII se les llama puntos “notables” o “especiales” del triángulo.

El estudio de las propiedades de un triángulo asociado con estos y otros puntos sirvió de comienzo para la creación de una nueva rama de las matemáticas elementales: la "geometría de triángulos" o "nueva geometría de triángulos", uno de cuyos fundadores fue Leonhard Euler. En 1765, Euler demostró que en cualquier triángulo el ortocentro, el baricentro y el circuncentro se encuentran en la misma línea recta, más tarde llamada “recta de Euler”.

Triángulo - figura geométrica, que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea y tres segmentos que conectan estos puntos en pares. Puntos -picos triángulo, segmentos -lados triángulo.

EN A, B, C - vértices

AB, BC, SA - lados

A C

Cada triángulo tiene cuatro puntos asociados:

Punto de intersección de medianas;

Punto de intersección de bisectrices;

Punto de intersección de alturas.

El punto de intersección de las mediatrices;

1.2. Medianas de un triangulo

Medina de un triángulo - , conectando el vértice desde el centro del lado opuesto (Figura 1). El punto donde la mediana intersecta al lado del triángulo se llama base de la mediana.

Figura 1. Medianas de un triángulo

Construyamos los puntos medios de los lados del triángulo y dibujemos segmentos que conecten cada uno de los vértices con el punto medio del lado opuesto. Estos segmentos se denominan medianas.

Y nuevamente observamos que estos segmentos se cruzan en un punto. Si medimos las longitudes de los segmentos de mediana resultantes, podemos comprobar una propiedad más: el punto de intersección de las medianas divide todas las medianas en una proporción de 2:1, contando desde los vértices. Y, sin embargo, el triángulo que descansa sobre la punta de la aguja en el punto de intersección de las medianas está en equilibrio. Un punto con esta propiedad se llama centro de gravedad (baricentro). El centro de igual masa a veces se llama centroide. Por tanto, las propiedades de las medianas de un triángulo se pueden formular de la siguiente manera: las medianas de un triángulo se cortan en el centro de gravedad y se dividen por el punto de intersección en una proporción de 2:1, contando desde el vértice.

1.3. Bisectrices de un triángulo

Bisectriz llamado bisectriz de un ángulo trazada desde el vértice del ángulo hasta su intersección con el lado opuesto. Un triángulo tiene tres bisectrices correspondientes a sus tres vértices (Figura 2).

Figura 2. Bisectriz del triángulo

En un triángulo arbitrario ABC trazamos las bisectrices de sus ángulos. Y nuevamente, con una construcción exacta, las tres bisectrices se cruzarán en un punto D. El punto D también es inusual: es equidistante de los tres lados del triángulo. Esto se puede verificar bajando las perpendiculares DA 1, DB 1 y DC1 a los lados del triángulo. Todos ellos son iguales entre sí: DA1=DB1=DC1.

Si dibujas un círculo con centro en el punto D y radio DA 1, tocará los tres lados del triángulo (es decir, tendrá solo un punto común con cada uno de ellos). Un círculo así se llama inscrito en un triángulo. Entonces, las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en el centro del círculo inscrito.

1.4. Alturas en un triangulo

Altura del triángulo - , caído desde arriba hacia el lado opuesto o una línea recta coincidente con el lado opuesto. Dependiendo del tipo de triángulo, la altura puede estar contenida dentro del triángulo (por ejemplo triángulo), coincide con su lado (ser triángulo) o pasar fuera del triángulo en un triángulo obtuso (Figura 3).

Figura 3. Alturas en triángulos

Si construyes tres altitudes en un triángulo, todas se cruzarán en un punto H. Este punto se llama ortocentro. (Figura 4).

Mediante construcciones se puede comprobar que según el tipo de triángulo, el ortocentro se sitúa de forma diferente:

para un triángulo agudo - adentro;

para uno rectangular - en la hipotenusa;

para un ángulo obtuso, está en el exterior.

Figura 4. Ortocentro del triángulo.

Así, nos hemos familiarizado con otro punto notable del triángulo y podemos decir que: las alturas del triángulo se cruzan en el ortocentro.

1.5. Bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento dado y que pasa por su punto medio.

Dibujemos un triángulo arbitrario ABC y dibujemos bisectrices perpendiculares a sus lados. Si la construcción se lleva a cabo con precisión, todas las perpendiculares se cruzarán en un punto: el punto O. Este punto es equidistante de todos los vértices del triángulo. En otras palabras, si dibujas un círculo con centro en el punto O, pasando por uno de los vértices del triángulo, entonces también pasará por sus otros dos vértices.

Una circunferencia que pasa por todos los vértices de un triángulo se llama circunscrita a él. Por lo tanto, la propiedad establecida de un triángulo se puede formular de la siguiente manera: las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo se cruzan en el centro del círculo circunscrito (Figura 5).

Figura 5. Triángulo inscrito en un círculo.

Capítulo 2. Estudio de los puntos destacables del triángulo.

Estudio de altura en triángulos.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto se llama ortocentro del triángulo.

Las alturas de un triángulo agudo se encuentran estrictamente dentro del triángulo.

En consecuencia, el punto de intersección de las alturas también se encuentra dentro del triángulo.

En un triángulo rectángulo coinciden dos alturas con los lados. (Estas son las alturas extraídas desde los vértices de los ángulos agudos hasta los catetos).

La altura dibujada hasta la hipotenusa se encuentra dentro del triángulo.

AC es la altura trazada desde el vértice C hasta el lado AB.

AB es la altura trazada desde el vértice B hasta el lado AC.

AK - altura extraída desde el vértice ángulo recto Y a la hipotenusa BC.

Las alturas de un triángulo rectángulo se cortan en el vértice del ángulo recto (A es el ortocentro).

En un triángulo obtuso, sólo hay una altitud dentro del triángulo: la trazada desde el vértice del ángulo obtuso.

Las otras dos alturas se encuentran fuera del triángulo y descienden hasta la continuación de los lados del triángulo.

AK es la altura dibujada hacia el lado BC.

BF - altura dibujada a la continuación del lado AC.

CD es la altura trazada hasta la continuación del lado AB.

El punto de intersección de las altitudes de un triángulo obtuso también está fuera del triángulo:

H es el ortocentro del triángulo ABC.

Estudio de bisectrices en un triángulo.

La bisectriz de un triángulo es la parte de la bisectriz del ángulo del triángulo (rayo) que está dentro del triángulo.

Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.

El punto de intersección de las bisectrices en triángulos agudos, obtusos y rectángulos es el centro del círculo inscrito en el triángulo y se encuentra en el interior.

Estudiar medianas en un triángulo

Como un triángulo tiene tres vértices y tres lados, también hay tres segmentos que conectan el vértice y el centro del lado opuesto.

Habiendo examinado estos triángulos, me di cuenta de que en cualquier triángulo las medianas se cruzan en un punto. Este punto se llama centro de gravedad del triángulo.

Estudio de bisectrices perpendiculares a un lado de un triángulo.

bisectriz perpendicular de un triángulo es una perpendicular trazada al centro de un lado de un triángulo.

Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto y son el centro del círculo circunstante.

El punto de intersección de las bisectrices perpendiculares en un triángulo agudo se encuentra dentro del triángulo; en un ángulo obtuso - fuera del triángulo; en uno rectangular, en el medio de la hipotenusa.

Conclusión

En el transcurso del trabajo realizado llegamos a las siguientes conclusiones:

Objetivo alcanzado:exploró el triángulo y encontró sus puntos notables.

Se resolvieron las tareas asignadas:

1). Estudiamos la literatura necesaria;

2). Estudiamos la clasificación de los puntos destacables de un triángulo;

3). Aprendimos a construir maravillosas puntas de triángulos;

4). Resumimos el material estudiado para el diseño del cuadernillo.

Se confirmó la hipótesis de que la capacidad de encontrar los puntos notables de un triángulo ayuda a resolver problemas de construcción.

El trabajo describe consistentemente las técnicas para construir puntos notables de un triángulo, proporciona información histórica sobre construcciones geométricas.

La información de este trabajo puede ser útil en las lecciones de geometría de séptimo grado. El folleto puede convertirse en un libro de referencia sobre geometría sobre el tema presentado.

Bibliografía

Libro de texto. L.S. Atanasyan “Geometría grados 7-9Mnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Velas Escarlatas

Principal portal educativo Rusia http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

En esta lección veremos cuatro maravillosos puntos del triángulo. Detengámonos en dos de ellos en detalle, recordemos las demostraciones de teoremas importantes y resolvamos el problema. Recordemos y caractericemos los dos restantes.

Sujeto:Revisión del curso de geometría de 8º grado.

Lección: Cuatro maravillosos puntos de un triángulo

Un triángulo es, ante todo, tres segmentos y tres ángulos, por tanto las propiedades de los segmentos y los ángulos son fundamentales.

Se da el segmento AB. Cualquier segmento tiene un punto medio y se puede trazar una perpendicular a través de él; designémoslo como p. Por tanto, p es la bisectriz perpendicular.

Teorema (propiedad principal de la mediatriz)

Cualquier punto que se encuentre sobre la mediatriz equidista de los extremos del segmento.

Pruebalo

Prueba:

Considere triángulos y (ver Fig. 1). Son rectangulares e iguales, porque. tienen un cateto común OM, y los catetos AO y OB son iguales por condición, por lo tanto, tenemos dos triángulos rectángulos, iguales en dos catetos. De ello se deduce que las hipotenusas de los triángulos también son iguales, es decir, lo que se requería demostrar.

Arroz. 1

El teorema inverso es cierto.

Teorema

Cada punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en la bisectriz perpendicular a este segmento.

Dado un segmento AB, una bisectriz perpendicular a él p, un punto M equidistante de los extremos del segmento (ver Fig. 2).

Demuestre que el punto M se encuentra en la mediatriz del segmento.

Arroz. 2

Prueba:

Considere un triángulo. Es isósceles, según la condición. Considere la mediana de un triángulo: el punto O es el centro de la base AB, OM es la mediana. Según la propiedad de un triángulo isósceles, la mediana trazada hasta su base es a la vez altitud y bisectriz. Resulta que . Pero la recta p también es perpendicular a AB. Sabemos que en el punto O es posible trazar una única perpendicular al segmento AB, lo que significa que las rectas OM y p coinciden, se deduce que el punto M pertenece a la recta p, que es lo que necesitábamos demostrar.

Si es necesario describir un círculo alrededor de un segmento, esto se puede hacer, y hay infinitos círculos de este tipo, pero el centro de cada uno de ellos estará en la bisectriz perpendicular al segmento.

Dicen que la mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento.

Un triángulo consta de tres segmentos. Dibujemos perpendiculares bisectoriales a dos de ellos y obtengamos el punto O de su intersección (ver Fig. 3).

El punto O pertenece a la bisectriz perpendicular al lado BC del triángulo, lo que significa que es equidistante de sus vértices B y C, denotaremos esta distancia como R: .

Además, el punto O se encuentra en la mediatriz del segmento AB, es decir , al mismo tiempo, desde aquí.

Por tanto, el punto O de la intersección de dos puntos medios

Arroz. 3

perpendiculares del triángulo es equidistante de sus vértices, lo que significa que también se encuentra en la tercera mediatriz perpendicular.

Hemos repetido la demostración de un teorema importante.

Las tres bisectrices perpendiculares de un triángulo se cortan en un punto: el centro del círculo circunstante.

Entonces, miramos el primer punto notable del triángulo: el punto de intersección de sus perpendiculares bisectoriales.

Pasemos a la propiedad de un ángulo arbitrario (ver Fig. 4).

El ángulo está dado, su bisectriz es AL, el punto M se encuentra en la bisectriz.

Arroz. 4

Si el punto M se encuentra en la bisectriz de un ángulo, entonces es equidistante de los lados del ángulo, es decir, las distancias desde el punto M a AC y BC de los lados del ángulo son iguales.

Prueba:

Considere triángulos y . Estos son triángulos rectángulos y son iguales porque... tienen una hipotenusa común AM, y los ángulos son iguales, ya que AL es la bisectriz del ángulo. Así, los triángulos rectángulos son iguales en hipotenusa y ángulo agudo, se deduce que , que es lo que había que demostrar. Por tanto, un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de ese ángulo.

El teorema inverso es cierto.

Teorema

Si un punto es equidistante de los lados de un ángulo no desarrollado, entonces se encuentra en su bisectriz (ver Fig. 5).

Se da un ángulo no desarrollado, el punto M, tal que la distancia desde él a los lados del ángulo es la misma.

Demuestre que el punto M se encuentra en la bisectriz del ángulo.

Arroz. 5

Prueba:

La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular. Desde el punto M trazamos las perpendiculares MK al lado AB y MR al lado AC.

Considere triángulos y . Estos son triángulos rectángulos y son iguales porque... tienen una hipotenusa común AM, los catetos MK y MR son iguales por condición. Por tanto, los triángulos rectángulos son iguales en hipotenusa y cateto. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los elementos correspondientes; los lados iguales opuestos se encuentran ángulos iguales, De este modo, Por tanto, el punto M se encuentra en la bisectriz del ángulo dado.

Si es necesario inscribir un círculo en un ángulo, esto se puede hacer, y hay infinitos círculos de este tipo, pero sus centros se encuentran en la bisectriz de un ángulo dado.

Dicen que una bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.

Un triángulo consta de tres ángulos. Construyamos las bisectrices de dos de ellos y obtengamos el punto O de su intersección (ver Fig. 6).

El punto O se encuentra en la bisectriz del ángulo, lo que significa que es equidistante de sus lados AB y BC, denotemos la distancia como r: . Además, el punto O se encuentra en la bisectriz del ángulo, lo que significa que equidista de sus lados AC y BC: , , desde aquí.

Es fácil notar que el punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del tercer ángulo, lo que significa que se encuentra en

Arroz. 6

bisectriz. Por tanto, las tres bisectrices del triángulo se cruzan en un punto.

Entonces, recordamos la demostración de otro teorema importante.

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cruzan en un punto: el centro del círculo inscrito.

Entonces, miramos el segundo punto notable del triángulo: el punto de intersección de las bisectrices.

Examinamos la bisectriz de un ángulo y notamos sus propiedades importantes: los puntos de la bisectriz son equidistantes de los lados del ángulo, además, los segmentos tangentes trazados al círculo desde un punto son iguales.

Introduzcamos algo de notación (ver Fig. 7).

Denotamos segmentos tangentes iguales por x, y y z. El lado BC opuesto al vértice A se designa como a, de manera similar AC como b, AB como c.

Arroz. 7

Problema 1: en un triángulo se conocen el semiperímetro y la longitud del lado a. Encuentre la longitud de la tangente trazada desde el vértice A - AK, denotada por x.

Evidentemente, el triángulo no está completamente definido y hay muchos de esos triángulos, pero resulta que tienen algunos elementos en común.

Para problemas que involucran un círculo inscrito, se puede proponer el siguiente método de solución:

1. Dibuja bisectrices y obtén el centro del círculo inscrito.

2. Desde el centro O, traza perpendiculares a los lados y obtén puntos de tangencia.

3. Marca tangentes iguales.

4. Escribe la relación entre los lados del triángulo y las tangentes.

CUATRO PUNTOS DESTACABLES

TRIÁNGULO

Geometría

Octavo grado

Sakharova Natalia Ivanovna

Escuela secundaria MBOU nº 28 de Simferopol

Punto de intersección de medianas triangulares.
Punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.
Punto de intersección de altitudes triangulares.
Punto de intersección de las medianas perpendiculares de un triángulo.

Mediana

Mediana (BD) de un triángulo es el segmento que une el vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Medianas los triangulos se cruzan en un punto (centro de gravedad triángulo) y se dividen por este punto en una proporción de 2: 1, contando desde el vértice.

BISECTRIZ

Bisectriz (AD) de un triángulo es el segmento bisector del ángulo interior del triángulo. ∟ MALO = ∟CAD.

cada punto bisectrices de un ángulo no desarrollado es equidistante de sus lados.

Atrás: Todo punto que se encuentra dentro de un ángulo y equidistante de los lados del ángulo se encuentra sobre su bisectriz.

Todas las bisectrices los triángulos se cruzan en un punto - centro de lo inscrito en un triangulo círculos.

El radio del círculo (OM) es una perpendicular que desciende desde el centro (TO) al lado del triángulo.

ALTURA

Altura (CD) de un triángulo es un segmento perpendicular dibujado desde un vértice del triángulo sobre una línea que contiene el lado opuesto.

alturas los triángulos (o sus extensiones) se cruzan uno punto.

PERPENDICULAR MEDIA

Bisectriz perpendicular (DF) Se llama línea recta perpendicular a un lado de un triángulo y que lo divide por la mitad.

cada punto bisectriz perpendicular(m) a un segmento es equidistante de los extremos de este segmento.

Atrás: Todo punto equidistante de los extremos de un segmento se encuentra en el punto medio. perpendicular a él.

Todas las bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo se cortan en un punto - el centro de lo descrito cerca del triangulo círculo .

El radio del círculo circunstante es la distancia desde el centro del círculo hasta cualquier vértice del triángulo (OA).

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Tarea

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