Trinomio cuadrado y sus raíces.

Maestro categoría más alta: Minaichenko N.S., gimnasio nº 24, Sebastopol

Lección en octavo grado: "Trinomio cuadrado y sus raíces"

tipo de lección : lección de nuevos conocimientos.

El propósito de la lección:

organizar actividades estudiantiles para consolidar y desarrollar conocimientos sobre la descomposición de un trinomio cuadrático en factores lineales y la reducción de fracciones;

Desarrollar habilidades para aplicar el conocimiento de todos los métodos de factorización: poner entre paréntesis, usar fórmulas de multiplicación abreviadas y métodos de agrupación para prepararse para completar con exito examen de álgebra;

crear condiciones para el desarrollo interés cognitivo al tema, formación pensamiento lógico y autocontrol al utilizar la factorización.

Equipo: proyector multimedia, pantalla, presentación: “Raíces del trinomio cuadrado”, crucigrama, examen, folletos.

Conceptos básicos . Factorizar un trinomio cuadrático.

Actividad independiente de los estudiantes. Aplicación del teorema de factorización de un trinomio cuadrático en la resolución de problemas.

Plan de estudios

Resolución de problemas.

Respuestas a las preguntas de los estudiantes.

IV. Prueba primaria de adquisición de conocimientos. Reflexión

Mensaje del maestro.

Mensaje estudiantil

v. Tarea

Escribiendo en la pizarra

Comentario metodológico:

Este tema es fundamental en el apartado " Transformaciones de identidad expresiones algebraicas" Por lo tanto, es importante que los estudiantes puedan automáticamente no solo ver fórmulas de factorización en ejemplos, sino también aplicarlas en otras tareas: como resolver ecuaciones, transformar expresiones, demostrar identidades.

Este tema se centra en factorizar un trinomio cuadrático:

hacha+ bx + c = a(x – x)(x-x),

donde x y x - raíces ecuación cuadrática hacha + bx + c = 0.

Esto le permite ampliar el campo de visión del estudiante, enseñarle a pensar en situación no estándar, utilizando el material que se está estudiando, es decir. usando la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático:

capacidad para reducir fracciones algebraicas;

capacidad para simplificar expresiones algebraicas;

capacidad para resolver ecuaciones;

capacidad para probar identidades.

Contenido de la lección principal:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Reducir la fracción:

№3. Simplifica la expresión:

№4. Resuelve la ecuación:

Durante las clases:

I. Etapa de actualización de conocimientos.

Motivación para las actividades de aprendizaje.

a) de la historia:

b) crucigrama:

Calentamiento y entrenamiento de la mente – crucigrama:

Horizontalmente:

1) La raíz de segundo grado se llama…. (cuadrado)

2) Valores de la variable en la que la ecuación se convierte en igualdad verdadera (raíces)

3) Una igualdad que contiene una incógnita se llama... (ecuación)

4) científico indio, que describió regla general resolver ecuaciones cuadráticas (Brahmagupta)

5) Los coeficientes de la ecuación cuadrática son... (números)

6) Científico griego antiguo que inventó un método geométrico para resolver ecuaciones (Euclides)

7) Teorema que relaciona coeficientes y raíces de una ecuación cuadrática (Vieta)

8) “discriminante”, determinando las raíces de una ecuación cuadrática – esto es... (discriminante)

Además:

Si D>0, ¿cuántas raíces? (dos)

Si D=0, ¿cuántas raíces? (uno)

Si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horizontal y verticalmente el tema de la lección: “ Trinomio cuadrado»

b) motivación:

Este tema es fundamental en el apartado “Transformaciones idénticas de expresiones algebraicas”. Por lo tanto, es importante que automáticamente puedas no solo ver fórmulas de factorización en ejemplos, sino también aplicarlas en otras tareas: como reducir fracciones, resolver ecuaciones, transformar expresiones, demostrar identidades.

Hoy nos centraremos en factorizar el trinomio cuadrático:

II. Aprender material nuevo.

Tema: Trinomio cuadrado y sus raíces.

La teoría general de los polinomios de muchas variables va mucho más allá del alcance del curso escolar. Por tanto, nos limitaremos a estudiar polinomios de una variable real, y sólo en los casos más simples. Consideremos polinomios de una variable, reducidos a su forma estándar.

Raíz de un polinomio es el valor de una variable en la que el valor del polinomio es igual a cero. Esto significa que para encontrar las raíces de un polinomio, es necesario igualarlo a cero, es decir, resuelve la ecuación.

Raíz de un polinomio de primer grado.
fácil de encontrar
. Examen:
.

Las raíces de un trinomio cuadrático se pueden encontrar resolviendo la ecuación:
.

Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática encontramos:

;

Teorema (sobre factorizar un trinomio cuadrático ):

Si Y -raíces de un trinomio cuadrado
, Dónde ≠ 0,

Eso .

Prueba:

Realicemos las siguientes transformaciones del trinomio cuadrático:

=
=
=

=
=

Desde el discriminante
, obtenemos:

=
=

Apliquemos la fórmula de diferencia de cuadrados entre paréntesis y obtengamos:

=
=
,

porque
;
. El teorema está demostrado.

La fórmula resultante se llama fórmula.factorizar un trinomio cuadrático.

III. Formación de habilidades y destrezas.

№1. Factoriza el trinomio cuadrático:

a) 3x + 5x – 2;

Solución:

Respuesta: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

En el escritorio:

b) –5x + 6x – 1;

Además:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Reducir la fracción:

№4. Resuelve la ecuación:

IV. Prueba primaria de adquisición de conocimientos.

A) Prueba.

Opción 1.

1. Encuentra las raíces del trinomio cuadrático:2x 2 -9x-5

Respuesta:

2. ¿Qué polinomio debe sustituirse por los puntos suspensivos para que la igualdad sea verdadera?

b) Verificación mutua de opciones (respuestas y se ilustran los parámetros de evaluación).

c) Reflexión.

V. Tarea.

El estudio de muchos patrones físicos y geométricos conduce a menudo a la resolución de problemas con parámetros. Algunas universidades también incluyen ecuaciones, desigualdades y sus sistemas en los exámenes, que a menudo son muy complejos y requieren un enfoque de solución no estándar. En la escuela, esta una de las secciones más difíciles del curso de álgebra escolar se considera sólo en unos pocos cursos optativos o de materias.
En mi opinión, el método gráfico funcional es una forma cómoda y rápida de resolver ecuaciones con un parámetro.
Como se sabe, en relación a las ecuaciones con parámetros existen dos formulaciones del problema.

Resuelva la ecuación (para cada valor de parámetro, encuentre todas las soluciones de la ecuación).
Encuentre todos los valores del parámetro para cada uno de los cuales las soluciones de la ecuación satisfacen las condiciones dadas.

En este artículo se considera y estudia un problema del segundo tipo en relación con las raíces de un trinomio cuadrado, cuyo hallazgo se reduce a resolver una ecuación cuadrática.
El autor espera que este trabajo ayude a los profesores a desarrollar lecciones y preparar a los estudiantes para el Examen Estatal Unificado.

1. ¿Qué es un parámetro?

Expresión de la forma ah 2 + bx + c en el curso de álgebra del colegio llaman trinomio cuadrático con respecto a X, Dónde a, b, c se dan números reales, y, a=/= 0. Los valores de la variable x en los que la expresión se vuelve cero se denominan raíces del trinomio cuadrado. Para encontrar las raíces de un trinomio cuadrático, debes resolver la ecuación cuadrática. ah 2 + bх + c = 0.
Recordemos las ecuaciones básicas del curso de álgebra escolar. hacha + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Al buscar sus raíces, los valores de las variables. a B C, incluidos en la ecuación se consideran fijos y dados. Las variables mismas se denominan parámetros. Dado que no existe una definición del parámetro en los libros de texto escolares, propongo tomar como base la siguiente versión más simple.

Definición.Un parámetro es una variable independiente, cuyo valor en el problema se considera un número real fijo o arbitrario dado, o un número que pertenece a un conjunto predeterminado.

2. Tipos y métodos básicos para resolver problemas con parámetros.

Entre las tareas con parámetros, se pueden distinguir los siguientes tipos principales de tareas.

Ecuaciones que deben resolverse ya sea para cualquier valor de un parámetro o para valores de parámetros que pertenecen a un conjunto preespecificado. Por ejemplo. Resolver ecuaciones: hacha = 1, (a - 2)x = un 2 – 4.
Ecuaciones para las que es necesario determinar el número de soluciones en función del valor del parámetro (parámetros). Por ejemplo. ¿En qué valores de parámetros? a la ecuacion 4X 2 – 4hacha + 1 = 0 tiene una sola raíz?
Ecuaciones para las cuales, para los valores de parámetros requeridos, el conjunto de soluciones satisface las condiciones especificadas en el dominio de definición.

Por ejemplo, encuentre los valores de los parámetros en los que las raíces de la ecuación ( a - 2)X 2 – 2hacha + un + 3 = 0 positivo.
Las principales formas de resolver problemas con un parámetro: analítica y gráfica.

Analítico- Este es un método de la llamada solución directa, que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en problemas sin parámetro. Veamos un ejemplo de tal tarea.

Tarea número 1

¿A qué valores del parámetro a la ecuación X 2 – 2hacha + un 2 – 1 = 0 tiene dos raíces diferentes pertenecientes al intervalo (1; 5)?

Solución

X 2 – 2hacha + un 2 – 1 = 0.
Según las condiciones del problema, la ecuación debe tener dos raíces diferentes, y esto sólo es posible bajo la condición: D > 0.
Tenemos: D = 4 a 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Como podemos ver, el discriminante no depende de a, por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces diferentes para cualquier valor del parámetro a. Encontremos las raíces de la ecuación: X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Las raíces de la ecuación deben pertenecer al intervalo (1; 5), es decir
Entonces, a las 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Respuesta: 2<A < 4.
Este enfoque para resolver problemas del tipo considerado es posible y racional en los casos en que el discriminante de la ecuación cuadrática sea "bueno", es decir es el cuadrado exacto de cualquier número o expresión, o las raíces de la ecuación se pueden encontrar usando el teorema inverso de Vieta. Entonces las raíces no representan expresiones irracionales. Por lo demás, la resolución de problemas de este tipo implica procedimientos bastante complejos desde el punto de vista técnico. Y resolver desigualdades irracionales requiere nuevos conocimientos por parte del estudiante.

Gráfico- este es un método en el que se utilizan gráficas en el plano de coordenadas (x; y) o (x; a). La claridad y belleza de este método de solución ayuda a encontrar una manera rápida de resolver el problema. Resolvamos gráficamente el problema número 1.
Como sabes por un curso de álgebra, las raíces de una ecuación cuadrática (trinomio cuadrático) son los ceros de la ecuación correspondiente. función cuadrática: U = X 2 – 2Oh + A 2 – 1. La gráfica de la función es una parábola, las ramas están dirigidas hacia arriba (el primer coeficiente es 1). Un modelo geométrico que cumple con todos los requisitos del problema se ve así.

Ahora solo queda “fijar” la parábola en la posición deseada utilizando las condiciones necesarias.

Como una parábola tiene dos puntos de intersección con el eje X, entonces D > 0.
El vértice de la parábola está entre las líneas verticales. X= 1 y X= 5, por lo tanto la abscisa del vértice de la parábola x o pertenece al intervalo (1; 5), es decir
1 <X oh< 5.
Nos damos cuenta que en(1) > 0, en(5) > 0.

Entonces, pasando del modelo geométrico del problema al analítico, obtenemos un sistema de desigualdades.

Respuesta: 2<A < 4.

Como puede verse en el ejemplo, un método gráfico para resolver problemas del tipo considerado es posible en el caso de que las raíces sean "malas", es decir contener un parámetro bajo el signo radical (en este caso, el discriminante de la ecuación no es un cuadrado perfecto).
En el segundo método de solución trabajamos con los coeficientes de la ecuación y el rango de la función. en = X 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Este método de solución no puede llamarse solo gráfico, porque aquí tenemos que resolver un sistema de desigualdades. Más bien, este método es combinado: funcional y gráfico. De estos dos métodos, el último no sólo es elegante, sino también el más importante, ya que muestra la relación entre todo tipo de modelos matemáticos: una descripción verbal del problema, un modelo geométrico - una gráfica de un trinomio cuadrático, un análisis modelo: una descripción de un modelo geométrico mediante un sistema de desigualdades.
Entonces, hemos considerado un problema en el que las raíces de un trinomio cuadrático satisfacen condiciones dadas en el dominio de definición para los valores de parámetros deseados.

¿Qué otras condiciones posibles pueden satisfacer las raíces de un trinomio cuadrático para los valores de parámetros deseados?

Encontrar las raíces de un trinomio cuadrático

Objetivos: introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces; Desarrollar la capacidad de encontrar las raíces de un trinomio cuadrático.

durante las clases

I. Momento organizativo.

II. Trabajo oral.

¿Cuál de los números: –2; -1; 1; 2-son las raíces de las ecuaciones?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

segundo) 5 X 2 – 5 = 0; GRAMO) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Explicación de material nuevo.

La explicación del material nuevo debe realizarse de acuerdo con el siguiente esquema:

1) Introducir el concepto de raíz de un polinomio.

2) Introducir el concepto de trinomio cuadrático y sus raíces.

3) Analizar la cuestión del número posible de raíces de un trinomio cuadrado.

La cuestión de aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado se analiza mejor en la siguiente lección.

En cada etapa de explicación de material nuevo, es necesario ofrecer a los estudiantes una tarea oral para evaluar su dominio de los puntos principales de la teoría.

Tarea 1. ¿Cuál de los números: –1; 1; ; 0 – son las raíces del polinomio X 4 + 2X 2 – 3?

Tarea 2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son trinomios cuadráticos?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

¿Qué trinomios cuadráticos tienen raíz de 0?

Tarea 3. ¿Puede un trinomio cuadrado tener tres raíces? ¿Por qué? ¿Cuántas raíces tiene un trinomio cuadrado? X 2 + X – 5?

IV. Formación de habilidades y destrezas.

Ejercicios:

1. № 55, № 56, № 58.

2. N° 59 (a, c, d), N° 60 (a, c).

En esta tarea no necesitas buscar las raíces de trinomios cuadráticos. Basta encontrar su discriminante y responder a la pregunta planteada.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, lo que significa que este trinomio cuadrático tiene dos raíces.

segundo) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, lo que significa que el trinomio cuadrado tiene una raíz.

a las 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Si queda tiempo, puedes hacer el número 63.

Solución

Dejar hacha 2 + bx + C es un trinomio cuadrático dado. Porque el a+ b +
+c= 0, entonces una de las raíces de este trinomio es igual a 1. Según el teorema de Vieta, la segunda raíz es igual a . Según la condición, Con = 4A, entonces la segunda raíz de este trinomio cuadrático es igual a
.

RESPUESTA: 1 y 4.

V. Resumen de la lección.

Preguntas frecuentes:

– ¿Cuál es la raíz de un polinomio?

– ¿Qué polinomio se llama trinomio cuadrático?

– ¿Cómo encontrar las raíces de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuál es el discriminante de un trinomio cuadrático?

– ¿Cuántas raíces puede tener un trinomio cuadrado? ¿De qué depende esto?

Tarea: N° 57, N° 59 (b, d, f), N° 60 (b, d), N° 62.

Tema de la lección: "Trinomio cuadrado y sus raíces".

El propósito de la lección.: presentar a los estudiantes el concepto de trinomio cuadrado y sus raíces, mejorar sus habilidades en la resolución de problemas para aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado.

La lección incluye cuatro etapas principales:

control del conocimiento

Explicación del nuevo material.

Consolidación reproductiva.

Refuerzo del entrenamiento.

Reflexión.

Nivel 1. Control del conocimiento.

El docente realiza un dictado matemático “al carbón” a partir del material del ciclo anterior. Para el dictado se utilizan tarjetas de dos colores: azul para 1 opción, rojo para 2 opciones.

De los modelos analíticos de funciones dados, seleccione solo los cuadráticos.

Opción 1. y=ax+4, y=45-4x, y=x²+4x-5, y=x³+x²-1.

Opción 2. y=8x-b, y=13+2x, y= -x²+4x, y=-x³+4x²-1.

Dibujar funciones cuadráticas. ¿Es posible determinar de forma única la posición de una función cuadrática en el plano coordenado? Intenta justificar tu respuesta.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Opción 1. a) x² +11x-12=0

B) x² +11x =0

Opción 2. a) x² -9x+20=0

B)x²-9x=0

4. Sin resolver la ecuación, descubre si tiene raíces.

Opción 1. A) x² + x +12=0

Opción 2. A) x² + x - 12=0

El profesor comprueba las respuestas recibidas de los dos primeros pares. Las respuestas incorrectas recibidas se discuten con toda la clase.

Opción 1.	Opcion 2.
1. y=x²+4x-5	1. y= -x²+4x
2. Las ramas están arriba, pero la posición no se puede determinar de manera inequívoca porque no hay suficientes datos.	Se bifurca hacia abajo, pero es imposible determinar la posición de manera inequívoca porque no hay suficientes datos.
3.a) –12; 1b) –11;0	3. a) 4;5 b) 9;0
	4. D0, hay dos raíces

Etapa 2. Creemos un clúster. ¿Qué asociaciones tienes al considerar el trinomio cuadrático?

Creando un clúster.

Respuestas posibles:

el trinomio cuadrático se utiliza para considerar cuadrados. funciones;

puedes encontrar los ceros del cuadrado. funciones

Usando el valor discriminante, estime el número de raíces.

Describir procesos reales, etc.

Explicación de material nuevo.

Párrafo 2. cláusula 3 págs. 19-22.

Se consideran expresiones y se da la definición de un trinomio cuadrático y la raíz de un polinomio (durante la discusión de las expresiones discutidas anteriormente)

Se formula la definición de la raíz de un polinomio.

Se formula la definición de trinomio cuadrático.

Se analizan ejemplos de resolución de un trinomio:

Encuentra las raíces de un trinomio cuadrático.

Aislamos el binomio cuadrado del trinomio cuadrado.

3x²-36x+140=0.

Se elabora un diagrama de la base aproximada de la acción.

Algoritmo para separar un binomio de un trinomio cuadrado.

1. Determine el valor numérico del coeficiente del cuadrado principal. trinomio.

2. Realizar idéntico y 2. Transformar la expresión,

transformaciones equivalentes usando fórmulas

(poner entre paréntesis el factor común; el cuadrado de la suma y la diferencia.

convertir la expresión entre paréntesis

construyéndolo hasta la fórmula para el cuadrado de la suma

o diferencias)

a²+2ab+b²= (a+c)² a²-2ab+b²= (a-c)²

Etapa 3. Resolución de tareas típicas del libro de texto (nº 60 a, c; 61 a, 64 a, c) Se realizan en la pizarra y se comentan.

Etapa 4. Trabajo independiente en 2 opciones (No. 60a, b; 65 a, b). Los estudiantes verifican las soluciones de muestra en la pizarra.

Tarea: P.3 (aprende la teoría, No. 56, 61g, 64g)

Reflexión. El profesor asigna la tarea: evalúa tu progreso en cada etapa de la lección utilizando un dibujo y entrégaselo al profesor. (la tarea se completa en hojas separadas, se proporciona una muestra).

Muestra:

Usando el orden de los elementos en la imagen, determine en qué etapa de la lección prevaleció su ignorancia. Resalte esta etapa en rojo.

La práctica de los exámenes de matemáticas muestra que los problemas con parámetros son los más difíciles, tanto lógica como técnicamente, y por tanto la capacidad de resolverlos determina en gran medida la aprobación exitosa de un examen en cualquier nivel.

En los problemas de parámetros, junto con las cantidades desconocidas, aparecen cantidades cuyos valores numéricos, aunque no se indican específicamente, se consideran conocidos y especificados en un conjunto numérico determinado. En este caso, los parámetros incluidos en la condición influyen significativamente en el curso lógico y técnico de la solución y en la forma de la respuesta. Estos problemas se pueden encontrar en el libro “514 Problemas con parámetros”. En la literatura sobre matemáticas elementales hay muchos libros de texto, libros de problemas y manuales metodológicos que contienen problemas con parámetros. Pero la mayoría de ellos cubren una gama limitada de temas, poniendo el énfasis principal en la receta, más que en la lógica de la solución de los problemas. Además, los libros más exitosos se han convertido desde hace mucho tiempo en una rareza bibliográfica. Al final del trabajo hay una lista de libros, cuyos artículos ayudaron a compilar una clasificación de declaraciones sobre el tema del trabajo. El más significativo es el manual de A. Kh. Schachmeister: Ecuaciones y desigualdades con parámetros.

El objetivo principal de este trabajo es llenar algunos vacíos importantes en el curso de álgebra básica y establecer los hechos del uso de las propiedades de una función cuadrática, lo que puede simplificar significativamente la solución de problemas relacionados con la ubicación de las raíces de una ecuación cuadrática con respeto a ciertos puntos caracteristicos.

Objetivos del puesto:

Establecer posibles casos de ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado en la recta numérica;

Identificar algoritmos que permitan resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro basado en la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático en la recta numérica;

Aprender a resolver problemas de mayor complejidad que el nivel requerido; dominar una serie de habilidades matemáticas técnicas e intelectuales al nivel de su libre uso; mejorar la cultura matemática como parte del curso de matemáticas escolar.

Objeto de estudio: ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado sobre una recta coordenada.

Tema de investigación: ecuaciones cuadráticas con parámetro.

Métodos de investigación. Los principales métodos de estudio de problemas con un parámetro: analítico, gráfico y combinado (funcional - gráfico). El análisis es un método de solución directa, que repite procedimientos estándar para encontrar la respuesta en problemas sin parámetro. Gráfico es un método que utiliza gráficos en el plano de coordenadas (x; y). La claridad del método gráfico ayuda a encontrar una forma rápida de resolver un problema. De estos dos métodos, el último no sólo es elegante, sino también el más importante, ya que muestra la relación entre todo tipo de modelos matemáticos: una descripción verbal del problema, un modelo geométrico - una gráfica de un trinomio cuadrático, un análisis modelo: una descripción de un modelo geométrico mediante un sistema de desigualdades compilado sobre la base de enunciados matemáticos identificados a partir de la gráfica de una función cuadrática.

En muchos casos, resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro conduce a transformaciones engorrosas. Hipótesis: utilizar las propiedades de una función cuadrática simplificará significativamente la solución, reduciéndola a resolver desigualdades racionales.

Parte principal. La ubicación de las raíces de un trinomio cuadrático en la línea de coordenadas.

Consideremos algunas afirmaciones relacionadas con la ubicación de las raíces del trinomio cuadrado f(x)=ax2+bx+c en la recta numérica relativa a los puntos m y n tales que m

x1 y x2 son las raíces del trinomio cuadrático,

D=b2-4ac- discriminante de un trinomio cuadrado, D≥0.

m, n, m1, m2, n1, n2 - números dados.

Todos los argumentos se consideran para a>0, el caso para a

Declaración uno

Para que el número m quede ubicado entre las raíces del trinomio cuadrado (x1

Prueba.

proporcionado x1

Interpretación geométrica

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación. Para a > 0 f(x)

Problema 1. ¿Para qué valores de k la ecuación x2-(2k+1)x + 3k-4=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que 2 y la otra es mayor que 2?

Solución. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1

Para k>-2, la ecuación x2-(2k+1)x + 3k-4=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que 2 y la otra es mayor que 2.

Respuesta: k>-2.

Problema 2. ¿Para qué valores de k la ecuación kx2+(3k-2)x + k-3=0 tiene raíces de diferentes signos?

Este problema se puede formular de la siguiente manera: ¿para qué valores de k se encuentra el número 0 entre las raíces de esta ecuación?

Solución (1 vía) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1

Método 2 (usando el teorema de Vieta). Si una ecuación cuadrática tiene raíces (D>0) y c/a

Problema 3. ¿Para qué valores de k la ecuación (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 tiene dos raíces, una de las cuales es menor que k y la otra es mayor que k?

f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Sustituyendo los valores de k del conjunto encontrado, nos aseguramos de que para estos valores de k D>0.

Declaración dos (a)

Para que las raíces de un trinomio cuadrático sean menos numero metro(x1

Prueba: x1-m>0, x2-m 0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2

Problema 4. ¿En qué valores del parámetro son las raíces de la ecuación x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 menores que -1?

D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- cualquiera; x0-3/2; k0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k1/2

Declaración dos (b)

Para que las raíces de un trinomio cuadrático sean mas numero m(m

D ≥0; x0>m; af(m)>0.

Si la condición m m. Como m no pertenece al intervalo (x1; x2), entonces f(m) > O para a > 0 y f(m)

Por el contrario, dejemos que se satisfaga el sistema de desigualdades. La condición D > 0 implica la existencia de raíces x1 y x2 (x1 m.

Queda por demostrar que x1 > m. Si D = 0, entonces x1 = x2 > m. Si D > 0, entonces f(x0) = -D/4a y af(x0) 0, por lo tanto, en los puntos x0 y m la función toma valores de signos opuestos y x1 pertenece al intervalo (m; x0).

Problema 5. ¿Para qué valores del parámetro m son las raíces de la ecuación x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) mayores que 1? b) menos de -1?

Solución a) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0.

(m-5)2≥0; metro - cualquier metro>1/3; m>1/3;

(2km-3)(m+2)>0. m3/2. Respuesta: m>3/2.

b) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - cualquier x0-3/2; m0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m1/2.

Problema 6. ¿En qué valores del parámetro las raíces de la ecuación kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 son mayores que 1?

Solución. Evidentemente, el problema equivale al siguiente: ¿para qué valores del parámetro m son las raíces de un trinomio cuadrático mayores que 1?

D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0.

Resolviendo este sistema encontramos que

Declaración tres

Para que las raíces de un trinomio cuadrado sean mayores que el número m y menores que n (m

D ≥0; metro 0 af(n)>0.

Nota rasgos de personaje Artes graficas.

1) La ecuación tiene raíces, lo que significa D > 0.

2) El eje de simetría se encuentra entre las rectas x = m y x = n, lo que significa m

3) En los puntos x = m y x = n, la gráfica se ubica por encima del eje OX, por lo tanto f(m) > 0 y f(n) > 0 (en m

Las condiciones enumeradas anteriormente (1; 2; 3) son necesarias y suficientes para los valores de parámetros deseados.

Problema 7. ¿Para qué m x2-2mx+m2-2m+5=0 los números no superan 4 en valor absoluto?

Solución. La condición del problema se puede formular de la siguiente manera: ¿para qué sirve m la relación -4?

Encontramos los valores de m del sistema.

D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0;

4 ≤ x0 ≤ 4; -4≤metro≤4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; cuya solución es el segmento. Respuesta: m.

Problema 8. ¿Para qué valores de m son las raíces del trinomio cuadrático?

(2m - 2)x2 + (m+1)x + 1 es mayor que -1, pero menor que 0?

Solución. Los valores de m se pueden encontrar en el sistema.

D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0;

(2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0;

(2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0;

Respuesta: m > 2.

Declaración cuatro

Para que la raíz menor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m;n), y la mayor no pertenezca al (m

D ≥0; af(m)>0 af(n)

La gráfica de un trinomio cuadrático corta el eje OX exactamente una vez en el intervalo (m; n). Esto significa que en los puntos x=m y x=n el trinomio cuadrado toma valores de distinto signo.

Problema 10. ¿Para qué valores del parámetro a solo la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática x2+2ax+a=0 pertenece al intervalo X(0;3)?

Solución. Considere el trinomio cuadrático y(x) = x2-2ax+a. La gráfica es una parábola. Las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba. Sea x1 la raíz menor del trinomio cuadrado. Según las condiciones del problema, x1 pertenece al intervalo (0;3). Representaremos un modelo geométrico del problema que cumpla con las condiciones del problema.

Pasemos al sistema de desigualdades.

1) Observamos que y(0)>0 y y(3) 0. Por lo tanto, no es necesario escribir esta condición en el sistema de desigualdades.

Entonces, obtenemos el siguiente sistema de desigualdades:

Respuesta: a>1,8.

Declaración cuatro (b)

Para que la raíz mayor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m; n), y la menor no pertenezca al (x1

D ≥0; af(m) 0.

Declaración cuatro (combinada)

Comentario. Formule el problema de la siguiente manera: ¿para qué valores del parámetro una raíz de la ecuación pertenece al intervalo (b;m) y la otra no? Para resolver este problema, no es necesario distinguir entre dos subcasos; encontramos la respuesta a partir de la desigualdad f(m) f(n)

D ≥0; f(m) f(n)

Problema 11. Para qué m solo una raíz de la ecuación x2-mх+6=0 satisface la condición 2

Solución. Con base en el enunciado 4(b), encontramos el valor de m a partir de la condición f(2)f(5) (10 – 2m)(31 – 5m) m2 - 24 = 0, es decir, para m = ±2√6, Para m = -2√6 x = - √6, que no pertenece al intervalo (2; 5), con m = 2√6 x =√6, perteneciente al intervalo (2; 5).

Respuesta: m (2√6) U (5; 31/5).

Declaración cinco

Para que las raíces de un trinomio cuadrático satisfagan la relación (x1

D ≥0; af(m)Problema 12. Encuentre todos los valores de m para los cuales la desigualdad x2+2(m-3)x + m2-6m

Solución. Por condición, el intervalo (0; 2) debe estar contenido en el conjunto de soluciones a la desigualdad x2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m Con base en el enunciado 5, encontramos los valores de m del sistema de desigualdades f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], de donde m.

Respuesta: m.

Declaración seis

Para que la raíz menor del trinomio cuadrado pertenezca al intervalo (m1; m2) y la raíz mayor pertenezca al intervalo (n1; n2) (m2

D ≥0; af(m1)>0; af(m2)Esta declaración es una combinación de las declaraciones 4a y 4b. Las dos primeras desigualdades garantizan que x1(m1, n1), y las dos últimas desigualdades garantizan que x2(m2, n2),

Problema 13. ¿En qué m se encuentra una de las raíces de la ecuación x2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 ubicada entre los números 1 y 3, y la segunda, entre los números 4 y 6?

Solución. 1 vía. Considerando que a = 1, los valores de m se pueden encontrar a partir del sistema f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + m-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3)

4(4) 0; 36-12m-6 + m2 + m-2 0 m (-∞;4)U (7;+∞), de donde m(2; 4).

Respuesta: m(2; 4).

Así, hemos establecido afirmaciones relacionadas con la ubicación de las raíces del trinomio cuadrado f(x)=ax2+bx+ en la recta numérica con respecto a ciertos puntos.

Conclusión

En el transcurso de mi trabajo, dominé una serie de habilidades técnicas y matemáticas a nivel de uso libre y mejoré mi cultura matemática como parte del curso de matemáticas de la escuela.

Como resultado del trabajo se logró el objetivo: se establecieron las propiedades de la función cuadrática, que permiten simplificar significativamente la solución de problemas relacionados con la ubicación de las raíces de una ecuación cuadrática con respecto a ciertos puntos característicos. Se establecen posibles casos de ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado en la recta numérica. Se han identificado algoritmos que permiten resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro basado en la ubicación de las raíces de un trinomio cuadrado en la recta numérica; Se resolvieron tareas de mayor complejidad que el nivel requerido. La obra presenta solución a sólo 12 problemas debido al número limitado de páginas de la obra. Por supuesto, los problemas discutidos en el trabajo se pueden resolver de otras maneras: usando fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, usando la propiedad de las raíces (teorema de Vieta).

De hecho, se resolvieron una cantidad importante de problemas. Por lo tanto, se decidió crear una colección de problemas sobre el tema del trabajo de diseño e investigación “Solucionador de problemas sobre la aplicación de las propiedades de un trinomio cuadrado relacionadas con la ubicación de sus raíces en la recta de coordenadas”. Además, el resultado del trabajo (producto del trabajo de diseño e investigación) es una presentación por computadora que se puede utilizar en las clases de la asignatura optativa “Resolución de problemas con parámetros”.