Encontrar el máximo común divisor de tres o más números se puede reducir a hallar secuencialmente el MCD de dos números. Mencionamos esto al estudiar las propiedades de GCD. Allí formulamos y probamos el teorema: el mayor común divisor varios números a 1, a 2,…, a k igual al número d k, que se encuentra en el cálculo secuencial MCD (a 1, a 2) \u003d d 2, MCD (d 2, a 3) \u003d d 3, MCD (d 3, a 4) \u003d d 4, …,MCD (d k-1, a k) \u003d d k.
Veamos cómo se ve el proceso de encontrar el MCD de varios números considerando la solución de un ejemplo.
Ejemplo.
Hallar el máximo común divisor de cuatro números 78 , 294 , 570 y 36 .
Decisión.
En este ejemplo a 1 \u003d 78, a 2 \u003d 294, a 3 \u003d 570, a 4 \u003d 36.
Primero, usando el algoritmo euclidiano, determinamos el máximo común divisor d 2 los dos primeros números 78 y 294 ... Al dividir obtenemos las igualdades 294 \u003d 78 3 + 60; 78 \u003d 60 1 + 18;60 \u003d 18 3 + 6 y 18 \u003d 6 3... De este modo, d 2 \u003d mcd (78, 294) \u003d 6.
Ahora calculemos d 3 \u003d mcd (d 2, a 3) \u003d mcd (6, 570)... Apliquemos nuevamente el algoritmo de Euclides: 570 \u003d 6 · 95, por lo tanto, d 3 \u003d mcd (6, 570) \u003d 6.
Queda por calcular d 4 \u003d mcd (d 3, a 4) \u003d mcd (6, 36)... Porque 36 dividido por 6 entonces d 4 \u003d mcd (6, 36) \u003d 6.
Por tanto, el máximo común divisor de estos cuatro números es d 4 \u003d 6, es decir, MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
Responder:
MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
Descomposición de números en factores primos también le permite calcular el mcd de tres o más números. En este caso, el máximo factor común se encuentra como el producto de todos los factores primos comunes de los números dados.
Ejemplo.
Calcula el MCD de los números del ejemplo anterior usando sus factorizaciones primas.
Decisión.
Expandir los números 78 , 294 , 570 y 36 por factores primos, obtenemos 78 \u003d 2 3 13,294 \u003d 2 3 7 7, 570 \u003d 2 3 5 19, 36 \u003d 2 2 3 3... Los factores primos comunes de todos estos cuatro números son los números 2 y 3 ... Por lo tanto, MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 2 3 \u003d 6.
Responder:
MCD (78, 294, 570, 36) \u003d 6.
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Encontrar mcd para números negativos
Si uno, varios o todos los números, mayor divisor que se deben encontrar son números negativos, entonces su MCD es igual al máximo común divisor de los valores absolutos de estos números. Esto se debe al hecho de que los números opuestos una y −a tienen los mismos divisores, de los que hablamos al estudiar las propiedades de divisibilidad.
Ejemplo.
Encuentra el mcd de enteros negativos −231 y −140 .
Decisión.
El valor absoluto de un número −231 es igual 231 , y el módulo del número −140 es igual 140 y MCD (−231, −140) \u003d MCD (231, 140)... El algoritmo de Euclides nos da las siguientes igualdades: 231 \u003d 140 1 + 91; 140 \u003d 91 1 + 49; 91 \u003d 49 1 + 42; 49 \u003d 42 1 + 7 y 42 \u003d 7 6... Por lo tanto, MCD (231, 140) \u003d 7... Entonces el máximo común divisor de números negativos buscado −231 y −140 es igual 7 .
Responder:
MCD (−231, −140) \u003d 7.
Ejemplo.
Determina el mcd de tres números −585 , 81 y −189 .
Decisión.
Al encontrar el máximo común divisor, los números negativos se pueden reemplazar con valores absolutos, es decir, MCD (-585, 81, -189) \u003d MCD (585, 81, 189)... Descomposición de números 585 , 81 y 189 por factores primos son respectivamente de la forma 585 \u003d 3 3 5 13, 81 \u003d 3 3 3 3 y 189 \u003d 3 3 3 7... Los factores primos comunes de estos tres números son 3 y 3 ... Entonces MCD (585, 81, 189) \u003d 3 3 \u003d 9, por lo tanto, MCD (−585, 81, −189) \u003d 9.
Responder:
MCD (−585, 81, −189) \u003d 9.
35. Las raíces del polinomio. Teorema de Bezout. (33 y más)
36. Multiplicidad de raíces, criterio de multiplicidad de raíces.
Para comprender cómo calcular el LCM, primero debe decidir el significado del término "múltiple".
Un múltiplo de A es un número natural que es divisible por A. Entonces, los múltiplos de 5 pueden considerarse 15, 20, 25 y así sucesivamente.
Puede haber un número limitado de divisores de un número específico, pero hay infinitos múltiplos.
Múltiplo común números naturales - un número que es divisible por ellos sin resto.
Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números
El mínimo común múltiplo (MCM) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.
Hay varias formas de encontrar el LCM.
Para números pequeños, es conveniente anotar todos los múltiplos de estos números en una línea hasta que haya un común entre ellos. Los múltiplos se designan en la entrada con una letra K mayúscula.
Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:
K (4) \u003d (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K (6) \u003d (12, 18, 24, ...)
Entonces, puede ver que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 24. Esta entrada se realiza de la siguiente manera:
MCM (4, 6) \u003d 24
Si los números son grandes, encuentre el múltiplo común de tres o más números, entonces es mejor usar otro método para calcular el LCM.
Para completar la tarea, debe descomponer los números propuestos en factores primos.
Primero debe escribir la expansión del mayor de los números en una línea, y debajo, el resto.
En la expansión de cada número, puede estar presente un número diferente de factores.
Por ejemplo, factoricemos los números 50 y 20 en factores primos.
En la expansión de un número menor, se deben enfatizar los factores que están ausentes en la expansión de la primera un número grandey luego agréguelos. En el ejemplo presentado, faltan dos.
Ahora puedes calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 50.
MCM (20, 50) \u003d 2 * 5 * 5 * 2 \u003d 100
Entonces, el producto de factores primos más y los factores del segundo número que no estén incluidos en la expansión del mayor será el mínimo común múltiplo.
Para encontrar el MCM de tres números o más, todos ellos deben descomponerse en factores primos, como en el caso anterior.
Como ejemplo, encuentre el mínimo común múltiplo de 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Entonces, en la factorización de un número mayor en factores, solo dos dos de la factorización de dieciséis no se incluyeron (uno está en la factorización de veinticuatro).
Por lo tanto, deben agregarse a la expansión del número mayor.
MCM (12, 16, 36) \u003d 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 \u003d 9
Hay casos especiales de determinación del mínimo común múltiplo. Entonces, si uno de los números se puede dividir sin un resto por otro, entonces el mayor de estos números será el mínimo común múltiplo.
Por ejemplo, el MCM de doce y veinticuatro sería veinticuatro.
Si necesita encontrar el mínimo común múltiplo de números coprimos que no tienen los mismos divisores, entonces su LCM será igual a su producto.
Por ejemplo, LCM (10, 11) \u003d 110.
Para aprender a encontrar el máximo común divisor de dos o más números, debe comprender qué son los números naturales, primos y complejos.
Natural es cualquier número que se utiliza para contar objetos completos.
Si un número natural se puede dividir solo por sí mismo y uno, entonces se llama primo.
Todos los números naturales se pueden dividir por sí mismos y uno, pero el único número primo par es 2, todo el resto se puede dividir por dos. Por lo tanto, solo los números impares pueden ser primos.
Hay muchos números primos lista completa ellos no existen. Para encontrar GCD es conveniente utilizar tablas especiales con tales números.
La mayoría de los números naturales pueden ser divisibles no solo por uno, sino también por otros números. Entonces, por ejemplo, el número 15 se puede dividir entre 3 y 5. Todos ellos se llaman divisores del número 15.
Por tanto, el divisor de cualquier A es un número por el que se puede dividir sin dejar residuo. Si un número tiene más de dos divisores naturales, se llama compuesto.
El número 30 se puede distinguir por factores como 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Puedes ver que 15 y 30 tienen los mismos divisores 1, 3, 5, 15. El máximo común divisor de estos dos números es 15.
Por tanto, el divisor común de los números A y B es un número por el que se pueden dividir por completo. El mayor puede considerarse el número total máximo por el que se pueden dividir.
Para resolver problemas, se utiliza la siguiente inscripción abreviada:
MCD (A; B).
Por ejemplo, MCD (15; 30) \u003d 30.
Para anotar todos los divisores de un número natural, se usa la notación:
D (15) \u003d (1, 3, 5, 15)
MCD (9; 15) \u003d 1
En este ejemplo, los números naturales tienen solo un divisor común. Se llaman coprime, respectivamente, y es su máximo común divisor.
Cómo encontrar el máximo común divisor de números
Para encontrar el GCD de varios números, necesita:
Encuentre todos los divisores de cada número natural por separado, es decir, factorícelos en factores (números primos);
Seleccione todos los mismos factores para los números dados;
Multiplícalos juntos.
Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 30 y 56, escribirías lo siguiente:
Para no confundirse, es conveniente anotar los factores mediante columnas verticales. El dividendo debe colocarse en el lado izquierdo de la línea y el divisor en el derecho. El cociente resultante debe indicarse debajo del dividendo.
Entonces, en la columna de la derecha estarán todos los factores necesarios para la solución.
Los divisores idénticos (factores encontrados) se pueden enfatizar por conveniencia. Deben reescribirse y multiplicarse y anotarse el máximo común divisor.
MCD (30; 56) \u003d 2 * 5 \u003d 10
Así de fácil es encontrar el máximo común divisor de números. Con un poco de práctica, esto se puede hacer casi automáticamente.
La calculadora en línea le permite encontrar rápidamente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo para dos y cualquier otro número de números.
Calculadora para encontrar GCD y LCM
Encuentra GCD y LCM
Encontrado GCD y NOC: 5806
Cómo usar la calculadora
- Ingrese números en el campo de entrada
- Si ingresa caracteres incorrectos, el campo de entrada se resaltará en rojo
- haga clic en el botón "Buscar GCD y LCM"
Cómo ingresar números
- Los números se ingresan separados por espacio, punto o coma
- La longitud de los números ingresados \u200b\u200bno está limitada, por lo que encontrar el GCD y el LCM de números largos no será difícil
¿Qué son GCD y NOC?
Máximo común divisor números múltiples es el entero natural más grande por el cual todos los números originales son divisibles sin un resto. El máximo factor común se abrevia como Gcd.
Minimo común multiplo varios números es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los números originales sin un resto. El mínimo común múltiplo se abrevia como NOC.
¿Cómo comprobar que un número es divisible por otro sin resto?
Para saber si un número es divisible por otro sin un residuo, puede usar algunas de las propiedades de divisibilidad de los números. Luego, combinándolos, se puede verificar la divisibilidad en algunos de ellos y sus combinaciones.
Algunos signos de divisibilidad de números.
1. Divisibilidad de un número por 2
Para determinar si un número es divisible por dos (si es par), basta con mirar el último dígito de este número: si es 0, 2, 4, 6 u 8, entonces el número es par, lo que significa que es divisible por 2.
Ejemplo: determina si 34938 es divisible por 2.
Decisión: mire el último dígito: 8 - entonces el número es divisible por dos.
2. El signo de divisibilidad de un número por 3
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por tres. Por lo tanto, para determinar si un número es divisible por 3, debe calcular la suma de los dígitos y verificar si es divisible por 3. Incluso si la suma de los dígitos es muy grande, puede repetir el mismo proceso nuevamente.
Ejemplo: determina si 34938 es divisible por 3.
Decisión: contamos la suma de dígitos: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27.27 es divisible por 3, lo que significa que el número es divisible por tres.
3. El signo de divisibilidad de un número entre 5
Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es cero o cinco.
Ejemplo: determina si 34938 es divisible por 5.
Decisión: mire el último dígito: 8 significa que el número NO es divisible por cinco.
4. El signo de divisibilidad de un número por 9
Esta característica es muy similar a la divisibilidad por tres: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 9.
Ejemplo: determina si 34938 es divisible por 9.
Decisión: contamos la suma de dígitos: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27.27 es divisible por 9, lo que significa que el número es divisible por nueve.
Cómo encontrar GCD y LCM de dos números
Cómo encontrar el mcd de dos números
Más de una manera sencilla calcular el máximo común divisor de dos números es encontrar todos los posibles divisores de esos números y seleccionar el más grande.
Considere este método usando el ejemplo de encontrar el MCD (28, 36):
- Factoriza ambos números: 28 \u003d 1 2 2 7, 36 \u003d 1 2 2 3 3
- Encontramos los factores comunes, es decir, los que tienen ambos números: 1, 2 y 2.
- Calculamos el producto de estos factores: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - este es el máximo común divisor de los números 28 y 36.
Cómo encontrar el mcm de dos números
Hay dos formas más comunes de encontrar el mínimo múltiplo de dos números. La primera forma es que puede escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre ellos un número que sea común a ambos números y al mismo tiempo el más pequeño. Y el segundo es encontrar el MCD de estos números. Consideremos solo eso.
Para calcular el LCM, debe calcular el producto de los números originales y luego dividirlo por el MCD encontrado anteriormente. Encuentra el MCM para los mismos números 28 y 36:
- Hallar el producto de los números 28 y 36:28 36 \u003d 1008
- MCD (28, 36), como ya se sabe, es igual a 4
- MCM (28; 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.
Encontrar GCD y LCM para varios números
El máximo factor común se puede encontrar para varios números, no solo para dos. Para esto, los números que se van a buscar para el máximo común divisor se descomponen en factores primos, luego se encuentra el producto de los factores primos comunes de estos números. Además, para encontrar el MCD de varios números, puede usar la siguiente relación: Mcd (a, b, c) \u003d mcd (mcd (a, b), c).
Una relación similar se aplica al mínimo común múltiplo: MCM (a, b, c) \u003d MCM (MCM (a, b), c)
Ejemplo: encuentre GCD y LCM para los números 12, 32 y 36.
- Primero, factoriza los números: 12 \u003d 1 2 2 3, 32 \u003d 1 2 2 2 2 2 2, 36 \u003d 1 2 2 3 3 3.
- Encontremos factores comunes: 1, 2 y 2.
- Su producto dará el MCD: 1 2 2 \u003d 4
- Encontremos ahora el MCM: para esto primero encontramos el MCM (12, 32): 12 32/4 \u003d 96.
- Para encontrar el MCM de los tres números, necesitas encontrar el MCD (96, 36): 96 \u003d 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 \u003d 1 2 2 3 3, MCD \u003d 1 2 2 3 \u003d 12.
- MCM (12, 32, 36) \u003d 96 36/12 \u003d 288.
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60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Anotemos los factores incluidos en la descomposición del primero de estos números y agreguemos el factor 5 faltante de la descomposición del segundo número. Obtenemos: 2 * 2 * 3 * 5 * 5 \u003d 300. Encontró el NOC, es decir esta cantidad \u003d 300. No olvide la dimensión y escriba la respuesta:
Respuesta: Mamá da 300 rublos a cada uno.
Definición de GCD: Máximo común divisor (MCD) números naturales y y en llamar al número natural más grande cen que y unay segundo se dividen sin resto. Aquellos. c es el mayor número natural para el cual y y y segundo son múltiplos.
Memorándum:Hay dos enfoques para determinar los números naturales.
- números utilizados para: enumerar (numerar) elementos (primero, segundo, tercero, ...); - en las escuelas, generalmente así.
- designación del número de elementos (sin Pokémon: cero, un Pokémon, dos Pokémon, ...).
Los números negativos y no enteros (racionales, reales, ...) no son naturales. Algunos autores incluyen el cero en el conjunto de números naturales, otros no. El conjunto de todos los números naturales generalmente se denota con el símbolo norte
Memorándum: Divisor de número natural una llamar al número segundo, en la que una divisible sin resto. Numero natural múltiple segundo llamado un número natural una que es divisible por segundo sin un resto. Si el numero segundo - divisor de números una entonces una múltiplo del número segundo... Ejemplo: 2 es un divisor de 4 y 4 es un múltiplo de dos. 3 es divisor de 12 y 12 es múltiplo de 3.
Memorándum: Los números naturales se denominan primos si son divisibles sin residuo solo por sí mismos y por 1. Los números primos mutuos son aquellos que tienen un solo divisor común igual a 1.
Definición de cómo encontrar GCD en el caso general: Para encontrar GCD (mayor divisor común) varios números naturales que necesita:
1) Descompóngalos en factores primos. (La tabla de números primos puede ser muy útil para esto).
2) Anote los factores incluidos en la expansión de uno de ellos.
3) Tacha los que no están incluidos en la expansión de los números restantes.
4) Multiplica los factores obtenidos en el paso 3).
Problema 2 para (NOC): Para el nuevo año, Kolya Puzatov compró 48 hámsteres y 36 cafeteras en la ciudad. A Fyokla Dormidontova, como la chica más honesta de la clase, se le encomendó la tarea de dividir esta propiedad en la mayor cantidad posible de juegos de regalo para maestros. ¿Cuántos juegos obtuviste? ¿Cuál es la composición de los kits?
Ejemplo 2.1. resolver el problema de encontrar GCD. Encontrar GCD por selección.
Decisión:Cada uno de los números 48 y 36 debe ser divisible por el número de regalos.
1) Escribamos los divisores 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Escribamos los divisores 36:36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Elija el máximo común denominador. ¡Ups-la-la! Encontré este número de juegos de 12 piezas.
3) Divida 48 entre 12, obtenga 4, divida 36 entre 12, obtenga 3. No olvide la dimensión y escriba la respuesta:
Respuesta: Obtienes 12 juegos de 4 hámsteres y 3 cafeteras en cada juego.
