El tema de la lección es "Resolver desigualdades y sus sistemas" (matemáticas grado 9)
Tipo de lección: lección de sistematización y generalización de conocimientos y habilidades
Lección de tecnología: tecnología de desarrollo pensamiento crítico, aprendizaje diferenciado, tecnologías TIC
El propósito de la lección: repetir y sistematizar el conocimiento sobre las propiedades de las desigualdades y los métodos para resolverlas, crear condiciones para la formación de habilidades para aplicar este conocimiento en la resolución de problemas estándar y creativos.
Tareas.
Educativo:
promover el desarrollo de las habilidades de los estudiantes para resumir el conocimiento adquirido, analizar, sintetizar, comparar, sacar las conclusiones necesarias
Organizar las actividades de los estudiantes para aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica.
promover el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones no estándar
Desarrollando:
seguir dando forma pensamiento lógico, atención y memoria;
mejorar las habilidades de análisis, sistematización, generalización;
crear condiciones que aseguren la formación de habilidades de autocontrol en los estudiantes;
contribuir a la adquisición de las habilidades necesarias para la independencia Actividades de aprendizaje.
Educativo:
cultivar la disciplina y la serenidad, la responsabilidad, la independencia, la actitud crítica hacia uno mismo, la atención.
Resultados educativos planificados.
Personal: actitud responsable ante el aprendizaje y competencia comunicativa en la comunicación y cooperación con los compañeros en el proceso de las actividades educativas.
Cognitivo: la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, elegir de forma independiente los motivos y criterios para la clasificación, construir un razonamiento lógico, sacar conclusiones;
Regulador: la capacidad de identificar posibles dificultades para resolver una tarea educativa y cognitiva y encontrar medios para eliminarlas, para evaluar sus logros
Comunicativo: capacidad de emitir juicios utilizando términos matemáticos y conceptos, formular preguntas y respuestas en el curso de la tarea, compartir conocimientos entre los miembros del grupo para tomar decisiones conjuntas efectivas.
Términos básicos, conceptos: desigualdad lineal, desigualdad cuadrática, sistema de desigualdades.
Equipo
Proyector, portátil del profesor, varios netbooks para los alumnos;
Presentación;
Tarjetas con conocimientos y habilidades básicos sobre el tema de la lección (Apéndice 1);
Fichas con trabajo independiente (Apéndice 2).
Plan de estudios
| durante las clases |
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| Etapas tecnológicas. Objetivo. | Actividad del profesor | actividades estudiantiles | |
| Componente introductorio-motivacional |
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| 1.Organizativo Objetivo: preparación psicológica a la comunicación | Hola. Es bueno verlos a todos. Siéntate. Compruebe si todo está listo para la lección. Si está bien, entonces mírame. | Hola. Consultar accesorios. Preparandose para trabajar. | Personal. Se forma una actitud responsable hacia la enseñanza. |
| 2.Actualización de conocimientos (2 min) Propósito: identificar brechas individuales en el conocimiento sobre el tema | El tema de nuestra lección es "Resolver desigualdades con una variable y sus sistemas". (diapositiva 1) Aquí hay una lista de conocimientos básicos y habilidades sobre el tema. Evalúa tus conocimientos y habilidades. Organice los iconos apropiados. (diapositiva 2) | Evaluar sus propios conocimientos y habilidades. (Anexo 1) | Regulador Autoevaluación de sus conocimientos y habilidades. |
| 3.Motivación (2 minutos) Propósito: proporcionar actividades para determinar los objetivos de la lección . | EN el trabajo de la OGE en matemáticas, varias preguntas tanto de la primera como de la segunda parte determinan la capacidad para resolver desigualdades. ¿Qué necesitamos repetir en la lección para hacer frente con éxito a estas tareas? | Discutir, pedir preguntas para repetir. | Cognitivo. Identificar y formular una meta cognitiva. |
| Etapa de reflexión (componente de contenido) |
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| 4.Autoevaluación y elección de trayectoria (1-2 minutos) | Dependiendo de cómo evaluó sus conocimientos y habilidades sobre el tema, elija la forma de trabajo en la lección. Puedes trabajar con toda la clase conmigo. Puedes trabajar individualmente en netbooks, siguiendo mis consejos, o en parejas, ayudándose unos a otros. | Determinado con un camino de aprendizaje individual. Cambiar si es necesario. | Regulador identificar posibles dificultades para resolver tareas educativas y cognitivas y encontrar medios para eliminarlas |
| 5-7 Trabajo en parejas o individualmente (25 min) | El profesor aconseja a los estudiantes que trabajen de forma independiente. | Los estudiantes que conocen bien el tema trabajan individualmente o en parejas con una presentación (diapositivas 4-10) Realizan tareas (diapositivas 6.9). | cognitivo la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, construir una cadena lógica Regulador la capacidad de determinar acciones de acuerdo con la tarea educativa y cognitiva Comunicativo capacidad para organizar la cooperación educativa y actividades conjuntas, trabajar con la fuente de información Personal actitud responsable hacia el aprendizaje, preparación y capacidad para el autodesarrollo y la autoeducación |
| 5. Solución de desigualdades lineales. (10 minutos) | ¿Qué propiedades de las desigualdades usamos para resolverlas? ¿Puedes distinguir entre desigualdades lineales, cuadráticas y sus sistemas? (diapositiva 5) Cómo resolver desigualdad lineal? Ejecutar la solución. (diapositiva 6) El maestro sigue la decisión en la pizarra. Compruebe si la solución es correcta. | Nombran las propiedades de las desigualdades, luego de responder o en caso de dificultad, el docente abre la diapositiva 4. son llamados características desigualdades Uso de las propiedades de las desigualdades. Un estudiante resuelve la desigualdad No. 1 en la pizarra. El resto se encuentran en cuadernos, siguiendo la decisión del demandado. Las desigualdades No. 2 y 3 se realizan de forma independiente. Verifique con la respuesta preparada. | cognitivo Comunicativo |
| 6. Solución de desigualdades cuadráticas. (10 minutos) | ¿Cómo resolver la desigualdad? ¿Qué es esta desigualdad? ¿Qué métodos se utilizan para resolver desigualdades cuadráticas? Recordar el método de la parábola (diapositiva 7) El maestro recuerda los pasos para resolver una desigualdad. El método del intervalo se utiliza para resolver desigualdades de segundo grado y superiores. (diapositiva 8) Para resolver desigualdades cuadráticas, puede elegir un método que sea conveniente para usted. Resolver desigualdades. (diapositiva 9). El maestro monitorea el progreso de la solución, recuerda formas de resolver incompletos ecuaciones cuadráticas. El profesor asesora individualmente a los estudiantes que trabajan. | Respuesta: Desigualdad cuadrada resolvemos por el método de la parábola o por el método del intervalo. Los estudiantes siguen la decisión sobre la presentación. En la pizarra, los estudiantes se turnan para resolver las desigualdades No. 1 y 2. Verifica con la respuesta. (para resolver el nervio-va No. 2, debe recordar la forma de resolver ecuaciones cuadráticas incompletas). La desigualdad No. 3 se resuelve de forma independiente, se comprueba con la respuesta. | cognitivo la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, desarrollar razonamientos desde patrones generales hasta soluciones particulares Comunicativo la capacidad de presentar en forma oral y escrita un plan detallado de las propias actividades; |
| 7. Resolución de sistemas de desigualdades (4-5 minutos) | Recuerda los pasos necesarios para resolver un sistema de desigualdades. Resuelve el sistema (Diapositiva 10) | Nombra las etapas de la solución. El alumno decide en la pizarra, comprueba con la solución en la diapositiva. | |
| Etapa reflexiva-evaluativa |
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| 8. Control y verificación del conocimiento (10 minutos) Propósito: identificar la calidad de asimilación del material. | Pongamos a prueba tus conocimientos sobre el tema. Resuelve tareas por tu cuenta. El profesor comprueba el resultado de acuerdo con las respuestas preparadas. | Realizar trabajo independiente sobre opciones (Apéndice 2) Después de completar el trabajo, el estudiante informa esto al maestro. El estudiante determina su calificación de acuerdo con los criterios (diapositiva 11). Una vez finalizado con éxito el trabajo, puede proceder a tarea adicional(diapositiva 11) | Cognitivo. Construir cadenas lógicas de razonamiento. |
| 9. Reflexión (2 min) Propósito: formado autoestima adecuada sus capacidades y habilidades, ventajas y limitaciones | ¿Hay una mejora en los resultados? Si todavía tiene preguntas, consulte el libro de texto en casa (pág. 120) | Evalúan sus propios conocimientos y habilidades en la misma hoja de papel (Apéndice 1). Compare con la autoestima al comienzo de la lección, saque conclusiones. | Regulador Autoevaluación de sus logros |
| 10. Tarea (2 minutos) Propósito: consolidación del material estudiado. | Tarea determinar por resultados Trabajo independiente(diapositiva 13) | Determinar y registrar una tarea individual | Cognitivo. Construir cadenas lógicas de razonamiento. Producir análisis y transformación de la información. |
Lista de literatura usada: Álgebra. Libro de texto para el grado 9. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Ilustración, 2014
1. El concepto de desigualdad con una variable
2. Desigualdades equivalentes. Teoremas de equivalencia para desigualdades
3. Resolver desigualdades con una variable
4. Solución gráfica de desigualdades con una variable
5. Desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo
6. Principales hallazgos
Desigualdades con una variable
Ofertas 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se denominan desigualdades de una sola variable.
EN vista general Este concepto se define de la siguiente manera:
Definición. Sean f(x) y g(x) dos expresiones con variable x y dominio X. Entonces una desigualdad de la forma f(x) > g(x) o f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Valor variable X desde muchos X, bajo el cual la desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica, se llama su decisión. Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de sus soluciones.
Así, resolviendo la desigualdad 2 X + 7 > 10 -x, x? R es el numero X= 5, ya que 2 5 + 7 > 10 - 5 es una verdadera desigualdad numérica. Y el conjunto de sus soluciones es el intervalo (1, ∞), que se encuentra realizando la transformación de la desigualdad: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.
Desigualdades equivalentes. Teoremas de equivalencia para desigualdades
El concepto de equivalencia subyace a la solución de desigualdades con una variable.
Definición. Se dice que dos desigualdades son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales.
Por ejemplo, desigualdades 2 X+ 7 > 10 y 2 X> 3 son equivalentes, ya que sus conjuntos solución son iguales y representan el intervalo (2/3, ∞).
Los teoremas de equivalencia de desigualdades y sus consecuencias son similares a los correspondientes teoremas de equivalencia de ecuaciones. Al demostrarlas, se utilizan las propiedades de las desigualdades numéricas verdaderas.
Teorema 3. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) establecer en el conjunto X Y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) + h(x) > g(x) + h(x) son equivalentes en el conjunto X.
Las consecuencias se derivan de este teorema, que a menudo se usan para resolver desigualdades:
1) Si ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) agrega el mismo numero d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) + d > g(x) + d, equivalente al original.
2) Si cualquier término (una expresión numérica o una expresión con una variable) se traslada de una parte de la desigualdad a otra, cambiando el signo del término al contrario, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.
Teorema 4. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) establecer en el conjunto X Y h(X X desde muchos X expresión h(x) acepta valores positivos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el conjunto X.
f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero positivo d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a este.
Teorema 5. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) establecer en el conjunto X Y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto, y para todo X su multitud X expresión h(X) acepta valores negativos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el conjunto X.
El corolario se sigue de este teorema: si ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero negativo d e invertimos el signo de la desigualdad, obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a este.
Resolver desigualdades con una variable
Resolvamos la desigualdad 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, y justificar todas las transformaciones que realizaremos en el proceso de solución.
Solución de desigualdad X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 es el intervalo (-∞, 7).
Ejercicios
1. Determine cuáles de las siguientes entradas son desigualdades de una sola variable:
a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( X+2)>4; e) 17-12 8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3X-4> 0.
2. ¿Es el número 3 una solución a la desigualdad? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? ¿Y el número 4,25?
3. Son los siguientes pares de desigualdades equivalentes en el conjunto de los números reales:
a) -17 X< -51 и X > 3;
segundo) (3 X-1)/4 >0 y 3 X-1>0;
c) 6-5 X>-4 y X<2?
4. Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) -7 X < -28 => X>4;
b) X < 6 => X < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Resolver la desigualdad 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 y justifica todas las transformaciones que realizarás en este caso.
6. Demostrar que la solución de la desigualdad 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) es cualquier número real.
7. Demostrar que no existe ningún número real que sea solución de la desigualdad 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Un lado del triángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm ¿Cuál puede ser la longitud del tercer lado si el perímetro del triángulo es:
a) menos de 22 cm;
b) más de 17 cm?
SOLUCIÓN GRÁFICA DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE. Para solucion grafica desigualdades f(x) > g(x) necesidad de trazar gráficos de funciones
y = f(x) = g(x) y elige aquellos intervalos del eje de abscisas, en los que la gráfica de la función y = f(x) ubicado sobre el gráfico de la función y \u003d g(x).
Ejemplo 17.8. Resolver gráficamente una desigualdad x2- 4 > 3X.
| Y - x * - 4 |
Solución. Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas
y \u003d x 2 - 4 y y= Zx (figura 17.5). En la figura se puede ver que las gráficas de las funciones en= x2- 4 está ubicado sobre el gráfico de la función y \u003d 3 X en X< -1 y X > 4, es decir el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto
(- ¥; -1) È (4; + oh) .
Respuesta: xO(-oo; -1) y ( 4; +oo).
cronograma función cuadrática en= hacha 2 + bx + c es una parábola con ramas apuntando hacia arriba si un > 0, y hacia abajo si A< 0. En este caso, son posibles tres casos: la parábola corta el eje Oh(es decir, la ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 tiene dos raíces diferentes); la parábola toca el eje X(es decir, la ecuación hacha 2 + bx+ c = 0 tiene una raíz); la parábola no corta el eje Oh(es decir, la ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 no tiene raíces). Por lo tanto, hay seis posiciones posibles de la parábola, que sirve como gráfico de la función y \u003d Ah 2+b x + c(Figura 17.6). Usando estas ilustraciones, uno puede resolver desigualdades cuadráticas.
Ejemplo 17.9. Resuelve la desigualdad: a) 2 x r+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Solución, a) La ecuación 2x 2 + 5x -3 \u003d 0 tiene dos raíces: x, \u003d -3, x2 = 0.5. Parábola que sirve como gráfico de una función. en= 2x2+ 5x -3, que se muestra en la fig. A. Desigualdad 2x2+ 5x -3 > 0 se realiza para esos valores X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran por encima del eje Oh: será en X< х х o cuando X> xr> aquellos. en X< -3 o en X > 0.5. Por lo tanto, el conjunto de soluciones a la desigualdad original es el conjunto (- ¥; -3) y (0.5; + ¥).
b) Ecuación -Zx 2 + 2x- 6 = 0 no tiene raíces reales. Parábola que sirve como gráfico de una función. en= - 3x 2 - 2x - 6 se muestra en la fig. 17.6 Desigualdad -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran debajo del eje Oh. Como toda la parábola se encuentra debajo del eje Oh, entonces el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto R .
DESIGUALDADES QUE CONTIENEN UNA VARIABLE BAJO EL SIGNO DEL MÓDULO. Al resolver estas desigualdades, tenga en cuenta que:
|f(x) | =
f(x), Si f(x) ³ 0,
- f(x), Si f(x) < 0,
Al mismo tiempo, el área valores permitidos las desigualdades deben dividirse en intervalos, en cada uno de los cuales las expresiones bajo el signo del módulo conservan su signo. Luego, al expandir los módulos (teniendo en cuenta los signos de las expresiones), debe resolver la desigualdad en cada intervalo y combinar las soluciones resultantes en un conjunto de soluciones a la desigualdad original.
Ejemplo 17.10. Resuelve la desigualdad:
|x-1| + |2-x| > 3+x.
Solución. Los puntos x = 1 y x = 2 dividen el eje real (ODZ de la desigualdad (17.9) en tres intervalos: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Resolvamos esta desigualdad en cada uno de ellos. si x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; entonces |x -1| = - (x - yo), |2 - x | = 2 - x. Por lo tanto, la desigualdad (17.9) toma la forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, es decir X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Si 1 £ x £.2, entonces x - 1 ³ 0 y 2 - x ³ 0; por lo tanto | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 - x. .Entonces, hay un sistema:
x - 1 + 2 - x > 3 + x,
El sistema de desigualdades resultante no tiene soluciones. Por lo tanto, en el intervalo [ 1; 2], el conjunto de soluciones de la desigualdad (17.9) está vacío.
Si x > 2, entonces x - 1 > 0 y 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x - 2 > 3 + x,
x > 6 o
Combinando las soluciones encontradas en todas las partes de la ODZ de la desigualdad (17.9), obtenemos su solución: el conjunto (-¥; 0) È (6; + oo).
A veces es útil utilizar la interpretación geométrica del módulo de un número real, según el cual | un | significa la distancia del punto a de la línea de coordenadas desde el origen O, y | a - b | significa la distancia entre los puntos a y b en la línea de coordenadas. Alternativamente, puedes usar el método de elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad.
Teorema 17.5. si las expresiones f(x) y g(x) para cualquier x tome solo valores no negativos, entonces las desigualdades f(x) > g(x) Y f (x) ² > g (x) ² son equivalentes.
58. Principales conclusiones § 12
En esta sección hemos definido las siguientes conceptos:
expresión numérica;
Significado expresión numérica;
Una expresión que no tiene sentido;
Expresión con variable(s);
Ámbito de expresión;
expresiones idénticamente iguales;
Identidad;
Transformación de identidad expresiones;
Igualdad numérica;
Desigualdad numérica;
Ecuación con una variable;
raíz de la ecuación;
¿Qué significa resolver una ecuación;
ecuaciones equivalentes;
Desigualdad con una variable;
Solución de desigualdad;
¿Qué significa resolver una desigualdad;
Desigualdades equivalentes.
Además, consideramos teoremas sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades, que son la base para su solución.
Conocimiento de las definiciones de todos los conceptos y teoremas anteriores sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades - condición necesaria estudio metódicamente competente con estudiantes más jóvenes material algebraico.
Este artículo ha recopilado información inicial sobre los sistemas de desigualdades. Aquí damos una definición de un sistema de desigualdades y una definición de una solución a un sistema de desigualdades. También enumera los principales tipos de sistemas con los que tiene que trabajar con más frecuencia en las lecciones de álgebra en la escuela, y se dan ejemplos.
Navegación de página.
¿Qué es un sistema de desigualdades?
Es conveniente definir los sistemas de desigualdades de la misma manera que introdujimos la definición de un sistema de ecuaciones, es decir, según el tipo de registro y el significado incrustado en él.
Definición.
Sistema de desigualdades es un registro que representa un cierto número de desigualdades escritas una debajo de otra, unidas a la izquierda por un paréntesis, y que denota el conjunto de todas las soluciones que son simultáneamente soluciones de cada desigualdad del sistema.
Pongamos un ejemplo de un sistema de desigualdades. Tome dos arbitrarios, por ejemplo, 2 x−3>0 y 5−x≥4 x−11, escríbalos uno debajo del otro
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
y unir con el signo del sistema - un corchete, como resultado obtenemos un sistema de desigualdades de la siguiente forma:
Asimismo, se da una idea sobre los sistemas de desigualdades en los libros de texto escolares. Vale la pena señalar que las definiciones en ellos se dan de manera más estrecha: para desigualdades con una variable o con dos variables.
Los principales tipos de sistemas de desigualdades.
Está claro que hay infinitas varios sistemas desigualdades Para no perderse en esta diversidad, es recomendable considerarlos en grupos que tengan sus propias características distintivas. Todos los sistemas de desigualdades se pueden dividir en grupos de acuerdo con los siguientes criterios:
- por el número de desigualdades en el sistema;
- por el número de variables involucradas en el registro;
- por la naturaleza de las desigualdades.
Según el número de desigualdades incluidas en el registro se distinguen sistemas de dos, tres, cuatro, etc. desigualdades En el párrafo anterior, dimos un ejemplo de un sistema que es un sistema de dos desigualdades. Mostremos otro ejemplo de un sistema de cuatro desigualdades 
.
Por separado, decimos que no tiene sentido hablar de un sistema de una desigualdad, en este caso, de hecho, estamos hablando de la desigualdad en sí, y no del sistema.
Si miras el número de variables, entonces hay sistemas de desigualdades con uno, dos, tres, etc. variables (o, como se suele decir, incógnitas). Mira el último sistema de desigualdades escrito dos párrafos arriba. Este es un sistema con tres variables x , y y z . Tenga en cuenta que sus dos primeras desigualdades no contienen las tres variables, sino solo una de ellas. En el contexto de este sistema, deben entenderse como desigualdades con tres variables de la forma x+0 y+0 z≥−2 y 0 x+y+0 z≤5, respectivamente. Tenga en cuenta que la escuela se centra en las desigualdades con una variable.
Queda por discutir qué tipos de desigualdades están involucradas en los sistemas de escritura. En la escuela, se consideran principalmente sistemas de dos desigualdades (con menos frecuencia, tres, incluso más raramente, cuatro o más) con una o dos variables, y las desigualdades en sí mismas suelen ser desigualdades enteras primer o segundo grado (con menos frecuencia, grados superiores o fraccionalmente racional). Pero no se sorprenda si en los materiales de preparación para el OGE se encuentra con sistemas de desigualdades que contienen desigualdades irracionales, logarítmicas, exponenciales y otras. Como ejemplo, presentamos el sistema de desigualdades 
, se toma de .
¿Cuál es la solución de un sistema de desigualdades?
Introducimos otra definición relacionada con los sistemas de desigualdades: la definición de una solución a un sistema de desigualdades:
Definición.
Resolver un sistema de desigualdades con una variable se llama tal valor de una variable que convierte en verdaderas cada una de las desigualdades del sistema, es decir, es la solución de cada desigualdad del sistema.
Vamos a explicar con un ejemplo. Tomemos un sistema de dos desigualdades con una variable. Tomemos el valor de la variable x igual a 8 , es una solución a nuestro sistema de desigualdades por definición, ya que su sustitución en las desigualdades del sistema da dos desigualdades numéricas correctas 8>7 y 2−3 8≤0 . Por el contrario, la unidad no es una solución del sistema, ya que al sustituirla por la variable x, la primera desigualdad se convertirá en una desigualdad numérica incorrecta 1>7.
De manera similar, podemos introducir la definición de una solución a un sistema de desigualdades con dos, tres y un número grande variables:
Definición.
Resolver un sistema de desigualdades con dos, tres, etc. Variables llamado par, triple, etc. valores de estas variables, que es simultáneamente una solución a cada desigualdad del sistema, es decir, convierte cada desigualdad del sistema en una verdadera desigualdad numérica.
Por ejemplo, un par de valores x=1, y=2, o en otra notación (1, 2) es una solución a un sistema de desigualdades con dos variables, ya que 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Los sistemas de desigualdades pueden no tener soluciones, pueden tener un número finito de soluciones o pueden tener infinitas soluciones. A menudo se habla de un conjunto de soluciones a un sistema de desigualdades. Cuando un sistema no tiene soluciones, entonces hay un conjunto vacío de sus soluciones. Cuando hay un número finito de soluciones, entonces el conjunto de soluciones contiene un número finito de elementos, y cuando hay un número infinito de soluciones, entonces el conjunto de soluciones consta de un número infinito de elementos.
Algunas fuentes introducen definiciones de una solución particular y general a un sistema de desigualdades, como, por ejemplo, en los libros de texto de Mordkovich. Bajo una solución particular al sistema de desigualdades entender su única solución. A su momento solución general del sistema de desigualdades- Estas son todas sus decisiones privadas. Sin embargo, estos términos tienen sentido solo cuando se requiere enfatizar qué solución se está discutiendo, pero generalmente esto ya está claro por el contexto, por lo que es mucho más común decir simplemente "solución de un sistema de desigualdades".
De las definiciones de un sistema de desigualdades y sus soluciones presentadas en este artículo, se deduce que la solución de un sistema de desigualdades es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas las desigualdades de este sistema.
Bibliografía.
- Álgebra: libro de texto para 8 celdas. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edición S. A. Teliakovski. - 16ª edición. - M. : Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Álgebra: Grado 9: libro de texto. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edición S. A. Teliakovski. - 16ª edición. - M. : Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G.Álgebra. Grado 9 A las 2 pm Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G.Álgebra y comienzo del análisis matemático. Grado 11. A las 2 pm Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
- USAR-2013. Matemáticas: opciones típicas de examen: 30 opciones/ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Editorial "Educación Nacional", 2012. - 192 p. - (USE-2013. FIPI - escuela).
Hoy en la lección generalizaremos nuestro conocimiento para resolver sistemas de desigualdades y estudiaremos la solución de un conjunto de sistemas de desigualdades.
Definición uno.
Se dice que varias desigualdades con una variable forman un sistema de desigualdades si la tarea es encontrar todas las soluciones comunes de las desigualdades dadas.
El valor de la variable, en el que cada una de las desigualdades del sistema se convierte en una verdadera desigualdad numérica, se denomina solución particular del sistema de desigualdades.
El conjunto de todas las soluciones particulares a un sistema de desigualdades es una solución general a un sistema de desigualdades (más a menudo simplemente dicen una solución a un sistema de desigualdades).
Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas sus soluciones particulares, o probar que ese sistema no tiene soluciones.
¡Recordar! La solución de un sistema de desigualdades es la intersección de las soluciones de las desigualdades incluidas en el sistema.
Las desigualdades incluidas en el sistema se combinan con un corchete.
Algoritmo para resolver un sistema de desigualdades con una variable:
La primera es resolver cada desigualdad por separado.
El segundo es encontrar la intersección de las soluciones encontradas.
Esta intersección es el conjunto de soluciones al sistema de desigualdades
Ejercicio 1
Resolver el sistema de desigualdades siete x menos cuarenta y dos menor o igual a cero y dos x menos siete mayor que cero.
La solución a la primera desigualdad - x es menor o igual a seis, la segunda desigualdad - x es mayor que siete segundos. Marcamos estos espacios en la línea de coordenadas. La solución de la primera desigualdad se marca con un sombreado desde abajo, la solución de la segunda desigualdad está marcada con un sombreado desde arriba. La solución del sistema de desigualdades será la intersección de las soluciones de las desigualdades, es decir, el intervalo en el que coinciden ambas eclosiones. Como resultado, obtenemos un medio intervalo de siete segundos a seis, incluidos seis.
Tarea 2
Resuelve el sistema de desigualdades: x al cuadrado más x menos seis es mayor que cero y x al cuadrado más x más seis es mayor que cero.
Solución
Resolvamos la primera desigualdad: x al cuadrado más x menos seis es mayor que cero.
Considere la función y es igual a x al cuadrado más x menos seis. Ceros de la función: el primer x es igual a menos tres, el segundo x es igual a dos. Representando esquemáticamente una parábola, encontramos que la solución a la primera desigualdad es la unión de rayos numéricos abiertos de menos infinito a menos tres y de dos a más infinito.
Resolvamos la segunda desigualdad del sistema x al cuadrado más x más seis mayor que cero.
Considere la función y es igual a x al cuadrado más x más seis. El discriminante es menos veintitrés menos que cero, lo que significa que la función no tiene ceros. La parábola no tiene puntos comunes con el eje x. Representando esquemáticamente una parábola, encontramos que la solución de la desigualdad es el conjunto de todos los números.
Representemos en la línea de coordenadas las soluciones de las desigualdades del sistema.
Se puede ver en la figura que la solución del sistema es la unión de rayos numéricos abiertos de menos infinito a menos tres y de dos a más infinito.
Respuesta: la unión de rayos numéricos abiertos de menos infinito a menos tres y de dos a más infinito.
¡Recordar! Si en un sistema de varias desigualdades una es consecuencia de otra (u otras), entonces se puede descartar la desigualdad-consecuencia.
Considere un ejemplo de resolución de una desigualdad por un sistema.
Tarea 3
Resuelve el logaritmo de desigualdad de la expresión x al cuadrado menos trece x más cuarenta y dos en base dos mayor o igual a uno.
Solución
La desigualdad ODZ está dada por x al cuadrado menos trece x más cuarenta y dos mayor que cero. Representamos el número uno como el logaritmo de dos en base dos y obtenemos la desigualdad: el logaritmo de la expresión x cuadrado menos trece x más cuarenta y dos en base dos es mayor o igual que el logaritmo de dos en base dos.
Vemos que la base del logaritmo es igual a dos más uno, entonces llegamos a la desigualdad equivalente x cuadrado menos trece x más cuarenta y dos es mayor o igual a dos. Por tanto, la solución de esta desigualdad logarítmica se reduce a la solución de un sistema de dos desigualdades cuadradas.
Además, es fácil ver que si se satisface la segunda desigualdad, más se satisface la primera desigualdad. Por lo tanto, la primera desigualdad es consecuencia de la segunda y puede descartarse. Transformamos la segunda desigualdad y la escribimos en la forma: x al cuadrado menos trece x más cuarenta más que cero. Su solución es la unión de dos rayos numéricos de menos infinito a cinco y de ocho a más infinito.
Respuesta: la unión de dos rayos numéricos de menos infinito a cinco y de ocho a más infinito.
haces de números abiertos
Definición dos.
Se dice que varias desigualdades con una variable forman un conjunto de desigualdades si la tarea es encontrar todos esos valores de la variable, cada uno de los cuales es una solución a al menos una de las desigualdades dadas.
Cada uno de estos valores de una variable se denomina solución particular del conjunto de desigualdades.
El conjunto de todas las soluciones particulares del conjunto de desigualdades es solución general de un conjunto de desigualdades.
¡Recordar! La solución de un conjunto de desigualdades es la unión de soluciones de desigualdades incluidas en el conjunto.
Las desigualdades incluidas en el conjunto están unidas por un corchete.
Algoritmo para resolver un conjunto de desigualdades:
La primera es resolver cada desigualdad por separado.
La segunda es encontrar la unión de las soluciones encontradas.
Esta unión es la solución al conjunto de desigualdades.
Tarea 4
cero punto dos décimos multiplicado por la diferencia de dos x y tres es menor que x menos dos;
cinco x menos siete es mayor que x menos seis.
Solución
Transformemos cada una de las desigualdades. Obtenemos un conjunto equivalente
x es mayor que siete tercios;
x es mayor que un cuarto.
Para la primera desigualdad, el conjunto de soluciones es el intervalo de siete tercios a más infinito, y para la segunda, el intervalo de un cuarto a más infinito.
Dibuja en la línea de coordenadas un conjunto de números que satisfagan las desigualdades x es mayor que siete tercios y x es mayor que un cuarto.
Encontramos que la unión de estos conjuntos, i.e. la solución a este conjunto de desigualdades es un rayo numérico abierto de un cuarto a más infinito.
Respuesta: un haz numérico abierto desde un cuarto hasta más infinito.
Tarea 5
Resolver un conjunto de desigualdades:
dos x menos uno es menor que tres y tres x menos dos es mayor o igual que diez.
Solución
Transformemos cada una de las desigualdades. Obtenemos un conjunto equivalente de desigualdades: x es mayor que dos y x es mayor o igual que cuatro.
Dibuja en la línea de coordenadas el conjunto de números que satisfacen estas desigualdades.
Encontramos que la unión de estos conjuntos, i.e. la solución a este conjunto de desigualdades es un rayo numérico abierto de dos a más infinito.
Respuesta: un haz de números abiertos de dos a más infinito.
Tema de la lección: Resolver un sistema de desigualdades lineales con una variable
Fecha de: _______________
Clase: 6a, 6b, 6c
Tipo de lección: aprendizaje de material nuevo y consolidación primaria.
Objetivo didáctico: crear condiciones para comprender y comprender el bloque de nueva información educativa.
Objetivos: 1) Educativo: introducir conceptos: solución de sistemas de desigualdades, sistemas equivalentes de desigualdades y sus propiedades; enseñar cómo aplicar estos conceptos al resolver los sistemas más simples de desigualdades con una variable.
2) Desarrollando: promover el desarrollo de elementos de actividad creativa e independiente de los estudiantes; desarrollar el habla, la capacidad de pensar, analizar, resumir, expresar los propios pensamientos de forma clara y concisa.
3) Educativo: fomentar una actitud respetuosa hacia los demás y una actitud responsable hacia la labor educativa.
Tareas:
repetir la teoría sobre el tema de las desigualdades numéricas y las brechas numéricas;
dar un ejemplo de un problema que se resuelve mediante un sistema de desigualdades;
considerar ejemplos de sistemas de resolución de desigualdades;
hacer trabajo independiente.
Formas de organización de las actividades educativas:- frontal - colectivo - individual.
Métodos: explicativo - ilustrativo.
Plan de estudios:
1. Momento organizacional, motivación, establecimiento de metas
2. Actualización del estudio del tema
3. Aprender material nuevo
4. Fijación primaria y aplicación de nuevo material
5. Hacer tu propio trabajo
7. Resumiendo la lección. Reflexión.
Durante las clases:
1. Momento organizacional
La desigualdad puede ser una buena ayuda. Solo necesita saber cuándo llamar para pedir ayuda. El lenguaje de las desigualdades se usa a menudo para formular problemas en muchas aplicaciones de las matemáticas. Por ejemplo, muchos problemas económicos se reducen al estudio de sistemas de desigualdades lineales. Por lo tanto, es importante poder resolver sistemas de desigualdades. ¿Qué significa “resolver el sistema de desigualdades”? Eso es lo que cubriremos en la lección de hoy.
2. Actualización del conocimiento.
trabajo oral con la clase tres estudiantes trabajan en tarjetas individuales.
Para repetir la teoría del tema "Desigualdades y sus propiedades", realizaremos pruebas, seguidas de una prueba y una conversación sobre la teoría de este tema. Cada tarea de prueba implica la respuesta "Sí" - una cifra, "No" - una cifra ____
Como resultado de la prueba, se debe obtener alguna cifra.
(respuesta: ).
Establecer una correspondencia entre la desigualdad y una brecha numérica
1. (– ; – 0,3)
2. (3; 18)
3. [ 12; + )
4. (– 4; 0]
5. [ 4; 12]
6. [ 2,5; 10)
"Las matemáticas nos enseñan a superar las dificultades y corregir nuestros propios errores". Encuentra un error al resolver la desigualdad, explica por qué se cometió el error, anota la solución correcta en tu cuaderno.
2x<8-6
x>-1
3. Aprender material nuevo.
¿Cómo crees que se llama la solución de un sistema de desigualdades?
(La solución de un sistema de desigualdades con una variable es el valor de la variable para el cual se cumplen cada una de las desigualdades del sistema)
¿Qué significa "Resolver un sistema de desigualdades"?
(Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas sus soluciones o probar que no hay soluciones)
¿Qué se debe hacer para responder a la pregunta "¿Es el número dado
una solución a un sistema de desigualdades?
(Sustituye este número en ambas desigualdades del sistema, si se obtienen desigualdades correctas, entonces el número dado es una solución al sistema de desigualdades, si se obtienen desigualdades incorrectas, entonces el número dado no es una solución al sistema de desigualdades)
Formular un algoritmo para resolver sistemas de desigualdades
1. Resuelve cada desigualdad del sistema.
2. Dibuja gráficamente las soluciones de cada desigualdad en la línea de coordenadas.
3. Encuentra la intersección de soluciones de desigualdades en la línea de coordenadas.
4. Escriba la respuesta como un intervalo numérico.
Considere ejemplos:
Respuesta: 
Respuesta: sin solucion
4. Arreglando el tema.
Trabajando con el libro de texto No. 1016, No. 1018, No. 1022
5. Trabajo independiente por opciones (Tarjetas-tareas para estudiantes en las mesas)
Trabajo independiente
Opción 1
Resolver el sistema de desigualdades:
