Fizik dersleri. Düzgün hızlandırılmış doğrusal hareketin grafiksel gösterimi. Eşit hızlandırılmış hareketle hareket etme

Sorular.

1. Doğrusal düzgün ivmeli hareketin anlık hız vektörünün izdüşümünü hesaplayabileceğiniz formülü yazın, eğer biliyorsanız: a) ilk hız vektörünün izdüşümü ve ivme vektörünün izdüşümü; b) başlangıç ​​hızı sıfıra eşit olan ivme vektörünün izdüşümü.

2. Başlangıç ​​hızında düzgün şekilde hızlandırılmış hareketin hız vektörünün izdüşümünün grafiği nedir: a) sıfıra eşit; b) sıfıra eşit değil mi?

3. Grafikleri Şekil 11 ve 12'de verilen hareketler nasıl benzer ve birbirlerinden nasıl farklıdır?

Her iki durumda da hareket ivme ile gerçekleşir, ancak ilk durumda ivme pozitif, ikinci durumda ise negatiftir.

Egzersizler.

1. Hokey oyuncusu paka sopasıyla hafifçe vurarak 2 m / s hız verdi. Buz üzerindeki sürtünme sonucunda 0.25 m/s 2 ivme ile hareket ederse, çarpmadan 4 s sonra diskin hızı ne olur?

2. Kayakçı, 0,2 m / s2'ye eşit bir ivme ile dağdan dinlenme durumundan çıkar. Hangi süre sonunda hızı 2 m/s'ye çıkar?

3. Aynı koordinat eksenlerinde, hız vektörünün izdüşümünün grafiklerini oluşturun (X ekseninde, başlangıç ​​hızının vektörü ile eş yönlü) düz bir çizgide düzgün hızlandırılmış hareket durumlar için: a) v ox = 1m / s, a x = 0,5 m / s 2; b) v ox = 1 m / s, a x = 1 m / s 2; c) v ox = 2 m / s, a x = 1 m / s 2.
Ölçek her durumda aynıdır: 1cm - 1m / s; 1cm - 1s.

4. Aynı koordinat eksenlerinde, hız vektörünün izdüşümünün grafiklerini (X ekseninde, ilk hızın vektörü ile eş yönlü) aşağıdaki durumlar için doğrusal düzgün hızlandırılmış hareketle oluşturun: a) v ox = 4,5 m / s, eksen = -1.5 m / s 2; b) v ox = 3 m / s, a x = -1 m / s 2
Ölçeği kendiniz seçin.

5. Şekil 13, iki cismin doğrusal hareketi için hız vektörünün modülünün zamana bağımlılığının grafiklerini göstermektedir. I cismin ivme modülü nedir? vücut II?

Düzgün hızlandırılmış grafik gösterimi düz hareket.

Düzgün hızlandırılmış hareketle hareket.

Benceseviye.

Vücutların hareketini tanımlayan birçok fiziksel nicelik zamanla değişir. Bu nedenle, açıklamanın daha net olması için hareket genellikle grafiksel olarak gösterilir.

Düzgün ivmeli doğrusal hareketi tanımlayan kinematik niceliklerin zamana bağlılığının grafiksel olarak nasıl gösterildiğini gösterelim.

Eşit hızlandırılmış doğrusal hareket- bu, herhangi bir eşit zaman aralığında vücudun hızının aynı şekilde değiştiği bir harekettir, yani büyüklük ve yönde sabit ivmeli bir harekettir.

a = const - ivme denklemi. Yani a zamanla değişmeyen sayısal bir değere sahiptir.

Hızlanmanın tanımı gereği

Buradan hızın zamana bağımlılığı için denklemler bulduk: v = v0 + de.

Şimdi bu denklemin düzgün bir şekilde hızlandırılmış hareketi grafiksel olarak temsil etmek için nasıl kullanılabileceğini görelim.

Üç cisim için kinematik niceliklerin zamana bağımlılığını grafiksel olarak gösterelim.

.

Şekil 1'de gösterildiği gibi, vücut hızını arttırırken 0X ekseni boyunca hareket eder (hızlanma vektörü a, hız vektörü v ile eş yönlüdür). vx> 0, eksen> 0

Şekil 2'de, vücut hızını düşürürken 0X ekseni boyunca hareket eder (hızlanma vektörü, hız vektörü v ile eş yönlü değildir). vx> 0, ah< 0

Şekil 2'de, vücut hızını düşürürken 0X eksenine karşı hareket eder (hızlanma vektörü, hız vektörü v ile eş yönlü değildir). vx< 0, ах > 0

Hızlanma grafiği

Hızlanma tanım gereği sabittir. Daha sonra, sunulan durum için, ivmenin a (t) zamanına bağımlılığının grafiği şu şekilde olacaktır:

İvme grafiğinden hızın nasıl değiştiğini - arttığını veya azaldığını ve hızın hangi sayısal değerle değiştiğini ve hangi vücut için hızın daha fazla değiştiğini belirlemek mümkündür.

hız grafiği

Koordinatın zamana bağımlılığını düzgün hareketle ve hız projeksiyonunun zamana bağımlılığını düzgün hızlandırılmış hareketle karşılaştırırsak, bu bağımlılıkların aynı olduğunu görebiliriz:

x = x0 + vx T vx = v 0 x + a x T

Bu, bağımlılıkların grafiklerinin aynı görünüme sahip olduğu anlamına gelir.

Bu grafiği çizmek için, apsis ekseninde hareketin zamanı ve ordinat ekseninde cismin hızı (hızın izdüşümü) çizilir. Düzgün hızlandırılmış harekette, vücudun hızı zamanla değişir.

Düzgün hızlandırılmış hareketle hareket etmek.

Düzgün hızlandırılmış doğrusal hareketle, vücudun hızı formülle belirlenir.

vx = v 0 x + a x T

Bu formülde υ0 cismin hızıdır. T = 0 (başlangıç ​​hızı ), a= const - hızlanma. υ hızının grafiğinde ( T) bu bağımlılık düz bir çizgi şeklindedir (Şek.).

Hızlanma, hız grafiğinin eğiminden belirlenebilir. a gövde. İlgili yapılar Şekil 2'de gösterilmektedir. grafik I için. İvme sayısal olarak üçgenin kenarlarının oranına eşittir ABC: MsoNormalTable ">

Zaman ekseni ile hız grafiğini oluşturan β açısı ne kadar büyükse, yani grafiğin eğimi o kadar büyük olur ( diklik), vücudun ivmesi o kadar büyük olur.

Grafik I için: υ0 = –2 m/s, a= 1/2 m / s2.

Grafik II için: υ0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s2.

Hız grafiği ayrıca hareketin izdüşümünü belirlemenizi sağlar. s bir süreliğine bedenler T... Zaman ekseninde küçük bir Δ zaman aralığı seçelim. T... Bu zaman aralığı yeterince küçükse, o zaman bu aralıktaki hızdaki değişiklik büyük değildir, yani bu zaman aralığındaki hareket, vücudun anlık hızına υ eşit olan bir ortalama hız ile tek tip olarak kabul edilebilir. aralığın ortası Δ T... Bu nedenle, yer değiştirme Δ s zamanında Δ TΔ'ye eşit olacak s = υΔ T... Bu hareket, gölgeli şeridin alanına eşittir (Şek.). 0'dan bir noktaya zaman aralığını kırmak T küçük aralıklar için Δ T, yer değiştirmeyi anlıyoruz s belirli bir süre için T düzgün hızlandırılmış doğrusal hareket ile yamuk alanına eşittir ODEF... İlgili yapılar Şekil II'deki grafik II için yapılmıştır. 1.4.2. Zaman T 5.5 s'ye eşit olarak alınmıştır.

υ - υ0 = de s Tşu şekilde yazılacaktır:

Koordinatı bulmak için y herhangi bir zamanda bedenler T koordinatı başlatmak gerekiyor y 0 zamanla hareket ekle T: DIV_ADBLOCK189 ">

υ - υ0 = de, hareket etmenin son formülü s 0'dan 0'a kadar bir zaman aralığında düzgün bir şekilde hızlandırılmış harekete sahip vücut Tşu şekilde yazılacaktır: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_57.gif "width =" 146 height = 55 "height =" 55 ">

Düzgün bir şekilde hızlandırılmış hareketi analiz ederken, bazen bir cismin yer değiştirmesini ilk υ0 ve son υ hızları ve ivmelerinin verilen değerlerine göre belirleme sorunu ortaya çıkar. a... Bu problem, yukarıda yazılan denklemlerden zaman çıkarılarak çözülebilir. T... Sonuç olarak yazılır

Başlangıç ​​hızı υ0 sıfıra eşitse, bu formüller MsoNormalTable "> biçimini alır.

Bir kez daha not edilmelidir ki υ0, υ, s, a, y 0 cebirsel büyüklüklerdir. Spesifik hareket türüne bağlı olarak, bu değerlerin her biri hem pozitif hem de negatif değerler alabilir.

Sorunun çözümüne bir örnek:

Petya, 20 s'de 0,5 m / s2'lik bir ivme ile dinlenme durumundan dağ yamacından iner ve ardından yatay bir bölüm boyunca hareket eder. 40 m'yi geçtikten sonra, açık bir Vasya'ya çarpar ve bir rüzgârla oluşan kar yığınına düşerek hızını 0 m / s'ye düşürür. Petya yatay yüzey boyunca rüzgârla oluşan kar yığınına hangi ivmeyle hareket etti? Petya'nın bu kadar başarısız bir şekilde hareket ettiği dağın yamacının uzunluğu nedir?

Aşama 1.

Petya'nın dağdan inişin sonundaki hızının denklemi:

v 1 = v 01 + a 1T 1.

Eksen üzerindeki projeksiyonlarda x elde ederiz:

v 1x = a 1xT.

Petya'nın hız, ivme ve yer değiştirme projeksiyonlarını hareketin ilk aşamasında birbirine bağlayan denklemi yazalım:

veya Petya'nın tepenin en tepesinden V01 = 0 başlangıç ​​hızıyla sürdüğü için

(Petit yerine bu kadar yüksek kaydıraklardan binmemeye dikkat ederdim)

Petya'nın bu 2. aşamadaki ilk hızının, ilk aşamadaki son hızına eşit olduğunu düşünürsek:

v 02 x = v 1 x, v 2x = 0, burada v1, Petya'nın tepenin eteğine ulaştığı ve Vasya'ya doğru hareket etmeye başladığı hızdır. V2x - Petya'nın rüzgârla oluşan kar yığınındaki hızı.

2. Tarafından bu zaman çizelgesi ivme, bize vücudun hızının nasıl değiştiğini söyle. Hareketin başlangıcında (t = 0) vücudun hızı v0х = 0 ise, hızın zamana bağımlılığının denklemlerini yazın. Lütfen unutmayın ki, hareketin sonraki her bölümü, vücudun belirli bir hızda geçmeye başlar (önceki zamanda elde edilen!).

3. İstasyondan ayrılan bir metro treni 72 km/s hıza 20 saniyede ulaşabilmektedir. Metro vagonunda unutulan bir çantanın hangi ivmeyle sizden uzaklaştığını belirleyin. Hangi yoldan seyahat edecek?

4. 3 m/s hızla hareket eden bir bisikletçi 0,8 m/s2 ivme ile dağdan inmeye başlıyor. İniş 6 saniye sürdüyse dağın uzunluğunu bulun.

5. 0,5 m/s2 hızlanma ile frenlemeye başlayan tren 225 m durağa kadar gitti.Frenlemeye başlamadan önceki hızı neydi?

6. Hareket etmeye başlayan futbol topu 50 m/s hıza ulaşmış, 50 m mesafe kat etmiş ve bir pencereye çarpmıştır. Topun bu yolu kat etmesi için geçen süreyi ve hareket ettiği ivmeyi belirleyin.

7. Oleg Amca'nın komşusunun tepki süresi = 1.5 dakika, bu süre zarfında penceresine ne olduğunu anlayacak ve avluya kaçmak için zamanı olacak. Genç futbolcuların hangi hızı geliştirmeleri gerektiğini belirleyin, böylece pencerenin neşeli sahipleri, girişlerine 350 m koşmaları gerektiğinde onlara yetişmesin.

8. İki bisikletçi birbirine doğru gidiyor. Birincisi 36 km/s hıza sahip dağa 0,2 m/s2 ivme ile tırmanmaya, ikincisi 9 km/s hıza sahip ikincisi 0,2 hızlanma ile dağdan inmeye başladı. m / s2. Dağın uzunluğu 100 m ise, dalgınlıkları nedeniyle ne kadar süre ve hangi yerde çarpışacaklar?

tek tip hareket- bu, sabit hızda harekettir, yani hız değişmediğinde (v = sabit) ve hızlanma veya yavaşlama meydana gelmediğinde (a = 0).

Düz hareket- bu düz bir çizgideki harekettir, yani doğrusal hareketin yörüngesi düz bir çizgidir.

Düzgün doğrusal hareket Vücudun herhangi bir eşit zaman aralığında aynı hareketleri yaptığı harekettir. Örneğin, bir zaman aralığını birer saniyelik parçalara bölersek, o zaman cisim düzgün hareketle bu zaman dilimlerinin her biri için aynı mesafeyi hareket ettirecektir.

Düzgün doğrusal hareketin hızı zamana bağlı değildir ve yörüngenin her noktasında vücudun hareketiyle aynı şekilde yönlendirilir. Yani yer değiştirme vektörü, hız vektörü ile aynı doğrultudadır. Bu durumda, herhangi bir süre için ortalama hız, anlık hıza eşittir:

Düzgün düz hareket hızı Fiziksel bir vektör miktarı, vücudun herhangi bir zaman aralığındaki yer değiştirmesinin bu aralığın değerine oranına eşit midir: t:

Böylece, düzgün doğrusal hareketin hızı, bir malzeme noktasının birim zaman başına ne kadar hareket ettiğini gösterir.

Hareketli düzgün doğrusal hareket ile formül ile belirlenir:

Katedilen mesafe doğrusal harekette, yer değiştirme modülüne eşittir. OX ekseninin pozitif yönü hareket yönü ile çakışıyorsa, hızın OX eksenine izdüşümü hızın büyüklüğüne eşittir ve pozitiftir:

v x = v, yani v> 0

OX ekseni üzerindeki yer değiştirmenin izdüşümü şuna eşittir:

s = vt = x - x 0

burada x 0 cismin başlangıç ​​koordinatıdır, x cismin son koordinatıdır (veya herhangi bir zamanda cismin koordinatıdır)

Hareket denklemi, yani vücudun koordinatlarının zamana bağlılığı x = x (t) şu şekildedir:

OX ekseninin pozitif yönü cismin hareket yönünün tersi ise, cismin hızının OX eksenine izdüşümü negatiftir, hız sıfırdan küçüktür (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Hızın, koordinatların ve yolun zamana bağımlılığı

Vücudun hızının izdüşümünün zamana bağımlılığı, Şek. 1.11. Hız sabit (v = const) olduğundan, hızın grafiği Ot zaman eksenine paralel düz bir çizgidir.

Pirinç. 1.11. Düzgün doğrusal hareket için cismin hızının izdüşümünün zamana bağımlılığı.

Yer değiştirmenin koordinat ekseni üzerindeki izdüşümü, OABS dikdörtgeninin alanına sayısal olarak eşittir (Şekil 1.12), çünkü yer değiştirme vektörünün büyüklüğü, yer değiştirmenin yapıldığı zamana göre hız vektörünün ürününe eşittir. yaptı.

Pirinç. 1.12. Düzgün doğrusal hareket ile vücudun hareketinin izdüşümünün zamana bağımlılığı.

Hareketin zamana karşı grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.13. Hızın izdüşümünün olduğu grafikten görülebilir.

v = s 1 / t 1 = tan α

α, grafiğin zaman eksenine olan eğim açısıdır.

α açısı ne kadar büyük olursa, vücut o kadar hızlı hareket eder, yani hızı o kadar büyük olur (vücut daha kısa sürede daha uzun hareket eder). Zamana karşı koordinat grafiğine teğetin eğim açısının tanjantı hıza eşittir:

Pirinç. 1.13. Düzgün doğrusal hareket ile vücudun hareketinin izdüşümünün zamana bağımlılığı.

Koordinatın zamana bağımlılığı Şek. 1.14. Şekil gösteriyor ki

tg α 1> tg α 2

bu nedenle, 1. cismin hızı, 2. cismin hızından daha yüksektir (v 1> v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Vücut hareketsiz durumdaysa, koordinat grafiği zaman eksenine paralel düz bir çizgidir, yani

Pirinç. 1.14. Düzgün doğrusal hareket ile vücudun koordinatlarının zamana bağımlılığı.

açısal ve doğrusal büyüklüklerin ilişkisi

Dönen bir cismin bireysel noktaları farklı doğrusal hızlara sahiptir. Her noktanın hızı, karşılık gelen daireye teğet olarak yönlendirilir ve yönünü sürekli değiştirir. Hızın büyüklüğü, vücudun dönme hızı ve dikkate alınan noktanın dönme ekseninden uzaklığı R ile belirlenir. Kısa bir süre için vücudun bir açıyla dönmesine izin verin (Şekil 2.4). Eksenden R mesafesinde bulunan bir nokta, şuna eşit bir yoldan geçer:

Tanım olarak bir noktanın doğrusal hızı.

teğetsel ivme

Aynı ilişkiyi (2.6) kullanarak, şunu elde ederiz:

Böylece hem normal hem de teğetsel ivmeler, noktanın dönme ekseninden uzaklığı ile doğrusal olarak büyür.

Temel konseptler.

periyodik salınım bir sistemin (örneğin mekanik) belirli bir süre sonra aynı duruma döndüğü sürece denir. Bu süreye salınım periyodu denir.

geri yükleme kuvveti- salınım sürecinin etkisi altındaki kuvvet. Bu kuvvet, dinlenme konumundan sapan bir gövdeyi veya malzeme noktasını orijinal konumuna döndürme eğilimindedir.

Salınım yapan cisim üzerindeki etkinin niteliğine bağlı olarak, serbest (veya doğal) salınımlar ve zorunlu salınımlar ayırt edilir.

Serbest titreşimler salınan gövdeye yalnızca geri yükleme kuvveti etki ettiğinde gerçekleşir. Enerji kaybı olmaması durumunda, serbest titreşimler sönümlemez. Ancak, gerçek salınım süreçleri sönümlenir, çünkü salınan gövde, harekete karşı direnç kuvvetleri (esas olarak sürtünme kuvvetleri) tarafından etkilenir.

Zorlanmış titreşimler zorlayıcı olarak adlandırılan, periyodik olarak değişen harici bir kuvvetin etkisi altında gerçekleştirilir. Çoğu durumda, sistemler harmonik olarak kabul edilebilecek titreşimler gerçekleştirir.

harmonik titreşimler Vücudun denge konumundan yer değiştirmesinin sinüs veya kosinüs yasasına göre gerçekleştirildiği bu tür salınım hareketleri denir:

Fiziksel anlamı göstermek için bir daire düşünün ve OK yarıçapını açısal hız ω saat yönünün tersine (7.1) oklarla döndüreceğiz. Zamanın ilk anında OC yatay düzlemdeyse, t zamanından sonra bir açıyla değişecektir. Başlangıç ​​açısı sıfır değilse ve eşitse φ 0 , daha sonra dönme açısı eşit olacaktır XO ekseni 1 üzerindeki izdüşüm eşittir. OK'nin yarıçapı döndükçe, projeksiyonun büyüklüğü değişir ve nokta, yukarı, aşağı, vb. nokta etrafında salınır. Bu durumda, x'in maksimum değeri A'ya eşittir ve salınımların genliği olarak adlandırılır; ω - dairesel veya döngüsel frekans; - salınım aşaması; - başlangıç ​​aşaması. K noktasının çevre etrafındaki bir dönüşü için, izdüşümü tam bir salınım yapacak ve başlangıç ​​noktasına geri dönecektir.

Dönem T bir tam salınımın zamanı denir. T süresinin sona ermesinden sonra, salınımları karakterize eden tüm fiziksel niceliklerin değerleri tekrarlanır. Bir periyotta salınım noktası, sayısal olarak dört genliğe eşit bir yol kat eder.

Açısal hız T periyodu için OK yarıçapının bir devir yapması koşulundan belirlenir, yani. 2π radyanlık bir açıyla dönecektir:

salınım frekansı- bir saniyedeki bir noktanın salınım sayısı, yani. salınım frekansı, salınım süresinin tersi olarak tanımlanır:

Yaylı sarkaç elastik kuvvetleri.

Yay yüklü bir sarkaç, bir yay ve üzerinde kayabileceği yatay bir çubuk üzerine monte edilmiş büyük bir bilyeden oluşur. Kılavuz ekseni (çubuk) boyunca kayan yay üzerine delikli bir bilye sabitlensin. İncirde. 7.2, a, topun hareketsiz haldeki konumunu gösterir; incirde. 7.2, b - maksimum sıkıştırma ve Şek. 7.2, in - topun keyfi bir pozisyonu.

Sıkıştırma kuvvetine eşit bir geri getirme kuvvetinin etkisi altında, top titreyecektir. Sıkıştırma kuvveti F = -kx, burada k, yay sertliğinin katsayısıdır. Eksi işareti, F kuvvetinin yönü ile x yer değiştirmesinin zıt olduğunu gösterir. Sıkıştırılmış bir yayın potansiyel enerjisi

kinetik.

Topun hareket denklemini elde etmek için x ve t'yi bağlamak gerekir. Sonuç, enerjinin korunumu yasasına dayanmaktadır. Toplam mekanik enerji, sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir. Bu durumda:

... b pozisyonunda): .

Düşünülen harekette mekanik enerjinin korunumu yasası yerine getirildiğinden, şunu yazabiliriz:

... Buradan hızı belirleyelim:

Ama sırayla ve bu nedenle, ... değişkenleri böl ... Bu ifadeyi entegre ederek şunları elde ederiz: ,

entegrasyon sabiti nerede. İkincisinden şu sonuç çıkar

Böylece, elastik kuvvetin etkisi altında, vücut harmonik titreşimler gerçekleştirir. Elastik olandan farklı bir yapıya sahip, ancak F = -kx koşulunun sağlandığı kuvvetlere yarı elastik denir. Bu kuvvetlerin etkisi altında cisimler de harmonik titreşimler gerçekleştirirler. burada:

Matematiksel sarkaç.

Matematiksel bir sarkaç, yerçekimi etkisi altında tek bir dikey düzlemde salınan, uzamayan, ağırlıksız bir iplik üzerinde asılı duran bir maddesel noktadır.

Böyle bir sarkaç, l uzunluğu topun boyutundan çok daha büyük olan, ince bir iplik üzerinde asılı duran m kütleli ağır bir top olarak kabul edilebilir. α açısıyla saptırırsanız (Şekil 7.3.) Dikey çizgiden, o zaman F kuvvetinin etkisi altında - P ağırlığının bileşenlerinden biri, salınacaktır. İplik boyunca yönlendirilen diğer bileşen dikkate alınmaz, çünkü iplik tansiyonu ile dengelenir. Küçük yer değiştirme açılarında ve ardından yatay yönde x koordinatı ölçülebilir. Şekil 7.3, dişe dik olan ağırlığın bileşeninin

Sağ taraftaki eksi işareti, F kuvvetinin α açısını azaltmaya yönelik olduğu anlamına gelir. α açısının küçüklüğünü hesaba katarak

Matematiksel ve fiziksel sarkaçların hareket yasasını türetmek için dönme hareketinin dinamiğinin temel denklemini kullanırız.

O: noktasına göre kuvvet momenti ve eylemsizlik momenti: M = FL... eylemsizlik momenti J bu durumda Açısal İvme:

Bu değerleri dikkate alarak şunları elde ederiz:

Onun kararı ,

Gördüğünüz gibi, bir matematiksel sarkacın salınım periyodu, uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır ve salınımların genliğine bağlı değildir.

Sönümlü Salınımlar.

Tüm gerçek salınım sistemleri enerji tüketir. Böyle bir sistemin mekanik titreşimlerinin enerjisi, yavaş yavaş sürtünme kuvvetlerine karşı çalışmaya harcanır, bu nedenle serbest titreşimler her zaman nemlidir - genlikleri yavaş yavaş azalır. Çoğu durumda, kuru sürtünme olmadığında, ilk yaklaşımda, düşük hareket hızlarında mekanik titreşimlerin sönümlenmesine neden olan kuvvetlerin hızla orantılı olduğu varsayılabilir. Bu kuvvetlere, kökenleri ne olursa olsun, direniş kuvvetleri denir.

Bu denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

ve şunu belirtir:

burada, ortamın direncinin yokluğunda sistemin serbest salınımlarının meydana gelme sıklığını temsil eder, yani. r = 0 olduğunda. Bu frekansa sistemin salınımının doğal frekansı denir; β zayıflama katsayısıdır. O zamanlar

(7.19) denklemine U'nun t'nin bir fonksiyonu olduğu biçimde bir çözüm arayacağız.

Bu ifadeyi t zamanına göre iki kez farklılaştırıyoruz ve birinci ve ikinci türevlerin değerlerini denklem (7.19) ile değiştirerek elde ediyoruz.

Bu denklemin çözümü esas olarak U'daki katsayının işaretine bağlıdır. Bu katsayının pozitif olduğu durumu düşünün. O halde gösterimi gerçek bir ω ile tanıtalım, bu denklemin çözümü, bildiğimiz gibi, fonksiyondur.

Böylece ortamın direncinin düşük olması durumunda (7.19) denkleminin çözümü fonksiyon olacaktır.

Bu fonksiyonun grafiği Şekil 1 de gösterilmiştir. 7.8. Noktalı çizgiler, salınımlı nokta kaymasının bulunduğu sınırları gösterir. Miktar, enerji tüketen sistemin salınımlarının doğal döngüsel frekansı olarak adlandırılır. Sönümlü salınımlar periyodik olmayan salınımlardır, çünkü örneğin maksimum yer değiştirme, hız ve ivme değerlerini asla tekrarlamazlar. Değere genellikle sönümlü salınımların periyodu denir, daha doğrusu - sönümlü salınımların koşullu periyodu,

T periyoduna eşit bir zaman aralığından sonra birbirini izleyen yer değiştirmelerin genliklerinin oranının doğal logaritmasına logaritmik sönüm azalması denir.

Salınımların genliğinin e faktörü kadar azaldığı zaman aralığını τ ile gösterelim. O zamanlar

Sonuç olarak, sönümleme katsayısı, genliğin e faktörü kadar azaldığı τ zaman aralığının tersi fiziksel bir niceliktir. τ miktarına gevşeme zamanı denir.

N, genliğin bir e faktörü kadar azaldığı salınımların sayısı olsun, O zaman

Bu nedenle, logaritmik sönüm azalması δ, fiziksel miktar, salınım sayısının tersi N, ardından genlik e faktörü kadar azalır

Zorlanmış titreşimler.

Zorlanmış salınımlar durumunda, sistem harici (itici) bir kuvvetin etkisi altında salınır ve bu kuvvetin çalışması nedeniyle sistemin enerji kayıpları periyodik olarak telafi edilir. Zorlanmış titreşimlerin frekansı (sürüş frekansı) dış kuvvetteki değişimin frekansına bağlıdır.M kütleli bir cismin zorlanmış titreşimlerinin genliğini, titreşimlerin sürekli bir kuvvet nedeniyle sönümlenmediğini varsayarak belirleyelim. hareket eden kuvvet.

Bu kuvvet, itici kuvvetin genliği olan yasaya göre zamanla değişsin. Geri getirme kuvveti ve direnç kuvveti O halde Newton'un ikinci yasası aşağıdaki biçimde yazılabilir.

Noktanın yörüngesi biliniyorsa, o zaman noktanın geçtiği yolun geçen zaman aralığına bağımlılığı, Tam tanım bu hareket. Düzgün hareket için böyle bir bağımlılığın formül (9.2) şeklinde verilebileceğini gördük. Zamandaki tek tek noktalar arasındaki ilişki, zaman aralığının ve kat edilen mesafenin karşılık gelen değerlerini içeren bir tablo şeklinde de ayarlanabilir. Bir düzgün hareketin hızının 2 m/s olduğu verilsin. Formül (9.2) bu durumda forma sahiptir. Böyle bir hareketin yolunu ve zamanını gösteren bir tablo yapalım:

Bir miktarın diğerine bağımlılığı, genellikle formüller veya tablolarla değil, değişkenlerdeki değişikliklerin resmini daha açık bir şekilde gösteren ve hesaplamaları kolaylaştırabilen grafiklerle tasvir etmek için uygundur. Düşünülen hareket için zamanda kat edilen mesafenin bağımlılığının bir grafiğini oluşturalım. Bunu yapmak için, karşılıklı olarak dik iki düz çizgi alın - eksenleri koordine edin; bunlardan biri (apsis ekseni) zaman ekseni ve diğerine (ordinat ekseni) - yol ekseni olarak adlandırılacaktır. Zaman aralıkları ve yolların görüntüsü için ölçekler seçelim ve eksenlerin kesişme noktasını başlangıç ​​anı ve yörünge üzerindeki başlangıç ​​noktası olarak alalım. Düşünülen hareket için kat edilen zaman ve mesafe değerlerini eksenlere koyalım (Şekil 18). Zaman içinde noktalara kat edilen mesafenin değerlerini "bağlamak" için, eksenlerdeki karşılık gelen noktalardan eksenlere dikler çizeriz (örneğin, 3 s ve 6 m noktaları). Dikeylerin kesişme noktası aynı anda her iki değere de karşılık gelir: yol ve moment ve "bağlanma" bu şekilde sağlanır. Aynı yapı, zaman içindeki diğer noktalar ve karşılık gelen yollar için gerçekleştirilebilir, bu tür her bir zaman yolu değeri çifti için grafikte bir nokta elde edilir. İncirde. 18'de, tablonun her iki sırasını bir sıra nokta ile değiştirerek böyle bir yapı gerçekleştirilir. Zamandaki tüm noktalar için böyle bir yapı yapılırsa, tek tek noktalar yerine düz bir çizgi ortaya çıkar (şekilde de gösterilmiştir). Bu çizgi, yolun zamana bağımlılığının grafiği veya kısaca yolun grafiği olarak adlandırılır.

Pirinç. 18. 2 m / s hızında düzgün hareket yolunun grafiği

Pirinç. 19. Egzersiz yapmak 12.1

Bizim durumumuzda, yol grafiği düz bir çizgi olarak ortaya çıktı. Düzgün hareket yolunun grafiğinin her zaman düz bir çizgi olduğu gösterilebilir; ve tam tersi: yolun zamana karşı grafiği düz bir çizgi ise, hareket tekdüzedir.

Farklı bir hareket hızı için yapıyı tekrar edersek, daha yüksek bir hız için grafiğin noktalarının, grafiğin daha düşük bir hız için karşılık gelen noktalarından daha yüksek olduğunu bulacağız (Şekil 20). Böylece, düzgün hareketin hızı ne kadar büyük olursa, yolun doğrusal grafiği o kadar dik olur, yani zaman ekseni ile yaptığı açı o kadar büyük olur.

Pirinç. 20. 2 ve 3 m / s hızlarda düzgün hareketlerin yolunun grafikleri

Pirinç. 21. Şek. 18, farklı bir ölçekte çizilmiş

Grafiğin eğimi elbette yalnızca hızın sayısal değerine değil, aynı zamanda zaman ve uzunluk ölçeklerinin seçimine de bağlıdır. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen grafik. 21, Şekil 2'deki grafikle aynı hareket için yolun zamana bağımlılığını verir. 18, farklı bir eğime sahip olmasına rağmen. Bu nedenle, ancak aynı ölçekte çizilirlerse, çizelgelerin eğimine göre hareketleri karşılaştırmanın mümkün olduğu açıktır.

Pist grafikleri yardımıyla çeşitli sürüş problemlerini kolayca çözebilirsiniz. Örneğin, Şekil 1'de. 18 kesikli çizgi, belirli bir hareket için aşağıdaki görevleri çözmek için gerekli yapıları göstermektedir: a) 3.5 s'de kapsanan yolu bulun; b) kat edilen mesafenin 9 m olduğu süreyi bulunuz Şekilde grafik olarak (kesik çizgiler) cevaplar bulunmuştur: a) 7 m; b) 4,5 sn.

Düzgün bir doğrusal hareketi tanımlayan grafiklerde, yol yerine ordinat boyunca hareket eden bir noktanın koordinatını çizebilirsiniz. Böyle bir açıklama büyük olasılıklar açar. Özellikle, eksene göre hareket yönünü ayırt etmeyi mümkün kılar. Ek olarak, zaman referansının orijini sıfır olarak alındığında, noktanın hareketini zamanın daha erken noktalarında, negatif olarak kabul edilmesi gereken şekilde göstermek mümkündür.

Pirinç. 22. Hareket noktasının aynı hızda fakat farklı başlangıç ​​konumlarındaki hareketlerin grafikleri

Pirinç. 23. Negatif hızlara sahip birkaç hareketin grafikleri

Örneğin, Şekil 1'de. 22 düz çizgi I, 4 m / s'lik pozitif bir hızla (yani eksen yönünde) meydana gelen bir hareket grafiğidir ve ilk anda hareket noktası m koordinatlı bir noktadaydı. şekil, aynı hızda meydana gelen, ancak ilk anda hareket noktasının bir koordinatlı bir noktada (çizgi II) bulunduğu hareketin bir grafiğini göstermektedir. Düz. III, hareket noktasının o anda m koordinatına sahip noktada olduğu duruma karşılık gelir.Son olarak, düz çizgi IV, hareket noktasının c anında koordinatına sahip olduğu durumdaki hareketi tanımlar.

Dört grafiğin hepsinin eğimlerinin aynı olduğunu görüyoruz: eğim, başlangıç ​​konumuna değil, yalnızca hareket eden noktanın hızına bağlıdır. Başlangıç ​​konumunu değiştirdiğinizde, grafiğin tamamı, uygun mesafe ile yukarı veya aşağı eksen boyunca kendisine paralel olarak basitçe aktarılır.

Negatif hızlarda (yani eksen yönünün tersi yönde) meydana gelen hareketlerin grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 23. Aşağıya doğru eğimli düz çizgilerdir. Bu tür hareketler için noktanın koordinatı zamanla azalır., Had koordinatları

Yol grafikleri ayrıca, vücudun belirli bir süre boyunca düzgün hareket ettiği, daha sonra düzgün hareket ettiği, ancak başka bir süre için farklı bir hızda hareket ettiği, ardından hızı tekrar değiştirdiği vb. durumlar için de oluşturulabilir. Örneğin, Şek. 26, vücudun ilk saatte 20 km/s hızla, ikinci saatte 40 km/s hızla ve üçüncü saatte 15 km/s hızla hareket ettiği bir hareket grafiğini göstermektedir.

Egzersiz yapmak: 12.8. Ardışık saatlik aralıklarla vücudun 10, -5, 0, 2, -7 km / s hıza sahip olduğu bir hareketin yolunun grafiğini çizin. Vücudun toplam yer değiştirmesi nedir?