Paydaları benzer olan kesirleri toplama
İki tür kesir toplama işlemi vardır:
- Paydaları benzer olan kesirleri toplama
- Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:
Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .
Cevap değildi uygun kesir. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, parçanın tamamı kolayca izole edilebilir - iki bölü ikiye eşittir bir:
İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .
Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:
Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.
Örneğin kesirler toplanabilir çünkü bunlar aynı paydalar.
Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.
Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesirin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.
örnek 1. Kesirleri toplayalım ve
Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:
Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).
İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.
Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:
Ama aynı zamanda var arka taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
- Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıda verilen talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır
Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin
LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın
Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:
Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:
Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin
Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:
Bir cevap aldık
Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:
- Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
- Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 2.İfadenin değerini bulun.
Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.
Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:
Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:
Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bir cevap aldık
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız
Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):
İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.
Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.
Bir cevap aldık
Bir kesri bir sayıyla çarpmak
Bir kesri bir sayıyla çarpmak için verilen kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.
Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın
Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız
Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:
Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Kesrin payını 4 ile çarpın
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.
Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:
Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Örnek 1.İfadenin değerini bulun.
Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2'ye kadar azaltılabilir. son karar aşağıdaki formu alacaktır:
İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:
Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:
Yani aynı boy pizzadan bahsediyoruz. Bu nedenle ifadenin değeri
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için bu kesrin payını ve paydasını en büyüğüne bölmeniz gerekir. ortak bölen(GCD) 105 ve 450 numaraları.
O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:
Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz GCD'ye, yani 15'e bölüyoruz.
Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:
Karşılıklı sayılar
Şimdi matematikte çok ilginç bir konuyla tanışacağız. Buna "ters sayılar" denir.
Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.
Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:
Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:
Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:
Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.
Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.
Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.
Bir kesri bir sayıya bölmek
Diyelim ki yarım pizzamız var:
İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.
Kesirlerin bölünmesi karşılıklı işlemler kullanılarak yapılır. Karşılıklı sayılar, bölmeyi çarpmayla değiştirmenize olanak tanır.
Bir kesri bir sayıya bölmek için kesri bölenin tersiyle çarpmanız gerekir.
Bu kuralı kullanarak pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.
Yani kesri 2 sayısına bölmeniz gerekiyor. Burada temettü kesirdir ve bölen ise 2 sayısıdır.
Bir kesri 2 sayısına bölmek için bu kesri bölen 2'nin tersi ile çarpmanız gerekir. Bölen 2'nin tersi kesirdir. Yani şununla çarpmanız gerekiyor:
) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).
Kesirleri çarpma formülü:
Örneğin:
Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.
Ortak bir kesri bir kesire bölmek.
Doğal sayılarla kesirleri bölme.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpılması.
Kesirleri çarpma kuralları (karışık):
- karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
- fraksiyonu azaltın;
- Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.
Not! Karışık bir kesiri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından sıradan kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.
Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.
Not! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmemeniz gerekir.
Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok öykülü kesirler.
Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:
Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:
Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.
Not, Örneğin:
Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:
Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.
2. Görevlerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirler biçimine gidin.
3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.
4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
T ders türü: ONZ (yeni bilginin keşfi - aktiviteye dayalı öğretim yönteminin teknolojisinin kullanılması).
Temel hedefler:
- Bir kesri bir doğal sayıya bölmenin yollarını bulun;
- Bir kesri doğal sayıya bölme yeteneğini geliştirmek;
- Kesirlerin bölünmesini tekrarlayın ve güçlendirin;
- Kesirleri azaltma, problemleri analiz etme ve çözme yeteneğini geliştirin.
Ekipman tanıtım malzemesi:
1. Bilgiyi güncellemeye yönelik görevler:
İfadeleri karşılaştırın:
Referans:
2. Deneme (bireysel) görevi.
1. Bölmeyi gerçekleştirin:
2. Tüm hesaplama zincirini gerçekleştirmeden bölme işlemini gerçekleştirin: .
Standartlar:
- Bir kesri bir doğal sayıya bölerken paydayı bu sayıyla çarpabilirsiniz ancak payı aynı bırakabilirsiniz.
- Pay bir doğal sayıya bölünebiliyorsa, bir kesri bu sayıya bölerken payı sayıya bölebilir ve paydayı aynı bırakabilirsiniz.
Dersler sırasında
I. Motivasyon (kendi kaderini tayin etme) Eğitim faaliyetleri.
Sahnenin amacı:
- Eğitim faaliyetleri açısından öğrenci gereksinimlerinin güncellenmesini organize etmek (“zorunluluk”);
- Tematik çerçeveler oluşturmak için öğrenci etkinlikleri düzenleyin (“Yapabilirim”);
- Öğrencinin eğitim faaliyetlerine dahil edilmeye yönelik içsel bir ihtiyaç geliştirmesi için koşullar yaratın ("istiyorum").
Organizasyon Eğitim süreci I. aşamada.
Merhaba! Hepinizi matematik dersinde gördüğüme sevindim. Umarım karşılıklıdır.
Çocuklar, son derste hangi yeni bilgileri edindiniz? (Kesirleri bölün).
Sağ. Kesirlerde bölme işlemi yapmanıza ne yardımcı olur? (Kural, özellikler).
Bu bilgiye nerede ihtiyacımız var? (Örneklerde, denklemlerde, problemlerde).
Tebrikler! Son dersteki ödevleri iyi yaptın. Bugün yeni bilgileri kendiniz keşfetmek ister misiniz? (Evet).
O zaman - hadi gidelim! Dersin mottosu da “Komşunu izleyerek matematiği öğrenemezsin!” cümlesi olacak.
II. Bilginin güncellenmesi ve bir deneme eylemindeki bireysel zorlukların düzeltilmesi.
Sahnenin amacı:
- Yeni bilgi oluşturmaya yetecek öğrenilen eylem yöntemlerinin güncellenmesini organize edin. Bu yöntemleri sözlü olarak (konuşmada) ve sembolik olarak (standart) kaydedin ve genelleştirin;
- Zihinsel operasyonların gerçekleştirilmesini organize etmek ve bilişsel süreçler yeni bilginin inşası için yeterli;
- Bir deneme eylemi ve bunun bağımsız olarak uygulanması ve gerekçelendirilmesi için motive etmek;
- Bir deneme eylemi için bireysel bir görev sunun ve yeni eğitim içeriğini belirlemek için onu analiz edin;
- Dersin eğitim hedefinin ve konusunun belirlenmesini organize etmek;
- Bir deneme eyleminin uygulanmasını organize etmek ve zorluğu düzeltmek;
- Alınan yanıtların bir analizini düzenleyin ve bir deneme eyleminin gerçekleştirilmesinde veya gerekçelendirilmesinde karşılaşılan bireysel zorlukları kaydedin.
Aşama II'de eğitim sürecinin organizasyonu.
Önden, tabletler (bireysel panolar) kullanarak.
1. İfadeleri karşılaştırın:
(Bu ifadeler eşittir)
Hangi ilginç şeyleri fark ettiniz? (Her ifadede bölenin pay ve paydası, bölenin pay ve paydası aynı sayıda arttırılmıştır. Böylece ifadelerdeki bölen ve bölenler birbirine eşit kesirlerle temsil edilmiştir).
İfadenin anlamını bulun ve tabletinize yazın. (2)
Bu sayıyı kesirli olarak nasıl yazabilirim?
Bölme işlemini nasıl gerçekleştirdiniz? (Çocuklar kuralı söyler, öğretmen tahtaya harf sembolleri koyar)
2. Yalnızca sonuçları hesaplayın ve kaydedin:
3. Sonuçları toplayın ve cevabı yazın. (2)
Görev 3'te elde edilen sayının adı nedir? (Doğal)
Bir kesri bir doğal sayıya bölebileceğinizi düşünüyor musunuz? (Evet, deneyeceğiz)
Bunu dene.
4. Bireysel (deneme) görevi.
Bölmeyi gerçekleştirin: (yalnızca örnek a)
Bölmek için hangi kuralı kullandınız? (Kesirleri kesirlere bölme kuralına göre)
Şimdi kesri aşağıdakilerden daha büyük bir doğal sayıya bölün. basit bir şekilde, tüm hesaplama zincirini gerçekleştirmeden: (örnek b). Bunun için sana 3 saniye veriyorum.
Kim görevi 3 saniyede tamamlayamadı?
Kim yaptı? (Böyle bir şey yok)
Neden? (Yolu bilmiyoruz)
Ne aldın? (Zorluk)
Sizce sınıfta ne yapacağız? (Kesirleri doğal sayılara bölme)
Aynen öyle, defterlerinizi açın ve dersin konusunu yazın: "Bir kesri doğal sayıya bölmek."
Kesirleri nasıl böleceğinizi zaten bildiğiniz halde bu konu neden yeni geliyor? (Yeni bir yola ihtiyaç var)
Sağ. Bugün bir kesrin doğal sayıya bölünmesini kolaylaştıran bir teknik geliştireceğiz.
III. Sorunun yerinin ve nedeninin belirlenmesi.
Sahnenin amacı:
- Tamamlanan operasyonların restorasyonunu organize edin ve zorluğun ortaya çıktığı yeri - adımı, operasyonu - kaydedin (sözlü ve sembolik);
- Öğrencilerin eylemlerinin, kullanılan yöntemle (algoritma) ve dış konuşmada zorluğun nedeninin - bu tür ilk problemi çözmek için eksik olan belirli bilgi, beceri veya yeteneklerin - sabitlenmesi ile korelasyonunu düzenleyin.
Aşama III'te eğitim sürecinin organizasyonu.
Hangi görevi tamamlamanız gerekiyordu? (Hesaplama zincirinin tamamını gözden geçirmeden bir kesri doğal bir sayıya bölün)
Zorlanmanıza ne sebep oldu? (Hızlı bir yöntemle kısa sürede çözemezdik)
Derste kendimize hangi hedefi koyuyoruz? (Bulmak hızlı yol bir kesrin bir doğal sayıya bölünmesi)
Sana ne yardımcı olacak? (Çoktan bilinen kural kesirlere bölme)
IV. Bir problemden kurtulmak için bir proje oluşturmak.
Sahnenin amacı:
- Proje hedefinin açıklığa kavuşturulması;
- Yöntem seçimi (açıklama);
- Araçların belirlenmesi (algoritma);
- Hedefe ulaşmak için bir plan oluşturmak.
Aşama IV'te eğitim sürecinin organizasyonu.
Test görevine dönelim. Kesirlerde bölme kuralına göre böldüğünüzü mü söylediniz? (Evet)
Bunu yapmak için doğal sayıyı kesirle değiştirmek ister misiniz? (Evet)
Hangi adımın (veya adımların) atlanabileceğini düşünüyorsunuz?
(Çözüm zinciri tahtada açıktır: 
Analiz edin ve bir sonuç çıkarın. (Aşama 1)
Cevap yoksa, sizi sorularla yönlendiririz:
Doğal bölen nereye gitti? (Paydaya doğru)
Pay değişti mi? (HAYIR)
Peki hangi adımı “atlayabilirsiniz”? (Aşama 1)
Hareket planı:
- Bir kesrin paydasını bir doğal sayıyla çarpın.
- Payını değiştirmiyoruz.
- Yeni bir kesir elde ediyoruz.
V. İnşa edilen projenin uygulanması.
Sahnenin amacı:
- Eksik bilgiyi edinmeyi amaçlayan inşa edilmiş projenin uygulanması için iletişimsel etkileşimi organize edin;
- Konuşma ve işaretlerde oluşturulmuş eylem yönteminin kaydını düzenleyin (bir standart kullanarak);
- Başlangıçtaki problemin çözümünü organize edin ve zorluğun nasıl aşılacağını kaydedin;
- Yeni bilginin genel doğasının açıklığa kavuşturulmasını organize edin.
Aşama V'de eğitim sürecinin organizasyonu.
Şimdi test senaryosunu hızlı bir şekilde yeni bir şekilde çalıştırın.
Artık görevi hızlı bir şekilde tamamlayabildiniz mi? (Evet)
Bunu nasıl yaptığını açıkla? (Çocuklar konuşur)
Bu, yeni bir bilgi edindiğimiz anlamına gelir: bir kesri doğal sayıya bölme kuralı.
Tebrikler! Çiftler halinde söyleyin.
Daha sonra bir öğrenci sınıfta konuşuyor. Kural-algoritmayı sözlü olarak ve bir standart şeklinde tahtaya sabitliyoruz.
Şimdi harf tanımlarını girin ve kuralımızın formülünü yazın.
Öğrenci tahtaya şu kuralı söyleyerek yazar: Bir kesri doğal bir sayıya bölerken paydayı bu sayıyla çarpabilirsiniz, ancak payı aynı bırakabilirsiniz.
(Herkes formülü defterlerine yazar).
Şimdi cevaba özellikle dikkat ederek test görevini çözme zincirini tekrar analiz edin. Ne yaptın? (15 kesirinin payı 3 sayısına bölündü (azaltıldı)
Bu numara ne? (Doğal, bölen)
Peki bir kesri bir doğal sayıya başka nasıl bölebilirsiniz? (Kontrol edin: Bir kesrin payı bu doğal sayıya bölünüyorsa, payı bu sayıya bölebilir, sonucu yeni kesrin payına yazabilir ve paydayı aynı bırakabilirsiniz)
Bu yöntemi formül olarak yazın. (Öğrenci kuralı söylerken tahtaya yazar. Herkes formülü defterlerine yazar.)
İlk yönteme dönelim. Eğer a:n? (Evet genel yöntem)
Peki ikinci yöntemi kullanmak ne zaman uygundur? (Bir kesrin payının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi)
VI. Dış konuşmada telaffuzla birincil konsolidasyon.
Sahnenin amacı:
- Dış konuşmadaki telaffuzlarıyla (önden, çiftler veya gruplar halinde) standart problemleri çözerken çocukların yeni bir eylem yöntemini özümsemesini düzenleyin.
VI. Aşamada eğitim sürecinin organizasyonu.
Yeni bir şekilde hesaplayın:
- 363 (a; d) - tahtada kuralın söylenmesiyle gerçekleştirilir.
- 363 (e; f) - örneğe göre kontrol edilen çiftler halinde.
VII. Standarda göre kendi kendine test ile bağımsız çalışma.
Sahnenin amacı:
- Düzenlemek kendini idam etmeöğrencilere yeni bir oyunculuk tarzı için ödevler verilir;
- Standartla karşılaştırmaya dayalı olarak kendi kendine testi düzenleyin;
- Yürütme sonuçlarına göre bağımsız iş yeni bir eylem biçiminin asimilasyonu üzerine düşünceyi organize etmek.
Aşama VII'de eğitim sürecinin organizasyonu.
Yeni bir şekilde hesaplayın:
- 363(b;c)
Öğrenciler standardı kontrol eder ve uygulamanın doğruluğunu işaretler. Hataların nedenleri analiz edilerek hatalar düzeltilir.
Öğretmen hata yapan öğrencilere sebebinin ne olduğunu sorar.
Bu aşamada her öğrencinin bağımsız olarak çalışmalarını kontrol etmesi önemlidir.
VIII. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama.
Sahnenin amacı:
- Yeni bilginin uygulama sınırlarının belirlenmesini organize etmek;
- Anlamlı sürekliliği sağlamak için gerekli eğitim içeriğinin tekrarını düzenleyin.
Aşama VIII'de eğitim sürecinin organizasyonu.
Aşama IX'da eğitim sürecinin organizasyonu.
1. Diyalog:
Çocuklar, bugün hangi yeni bilgileri keşfettiniz? (Basit bir şekilde bir kesirin bir doğal sayıya nasıl bölüneceğini öğrendim)
Genel bir yöntem formüle edin. (Onlar söylüyor)
Hangi şekilde ve hangi durumlarda kullanabilirsiniz? (Onlar söylüyor)
Yeni yöntemin avantajı nedir?
Ders hedefimize ulaştık mı? (Evet)
Hedefinize ulaşmak için hangi bilgiyi kullandınız? (Onlar söylüyor)
Senin için her şey yolunda gitti mi?
Zorluklar nelerdi?
2. Ev ödevi: madde 3.2.4.; 365(l, n, o, p); 370 numara.
3. Öğretmen: Bugün herkesin aktif olmasına ve bu zorluktan kurtulmanın bir yolunu bulmasına sevindim. Ve en önemlisi yenisini açarken ve kurarken komşu değillerdi. Ders için teşekkürler çocuklar!
Bu yazıda nasıl olduğunu anlayacağız karışık sayıların bölünmesi. Öncelikle karışık sayıları bölme kuralının ana hatlarını çizelim ve örneklerin çözümlerini ele alalım. Daha sonra karışık bir sayıyı doğal sayıya bölme ve bölme işlemlerine odaklanacağız. doğal sayı karışık bir sayıya. Sonuç olarak, karışık bir sayıyı şuna nasıl böleceğimize bakalım: ortak kesir.
Sayfada gezinme.
Karışık bir sayıyı karışık bir sayıya bölme
Karışık sayıların bölünmesi sıradan kesirleri bölmeye indirgenebilir. Bunu yapmak için karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek yeterlidir.
Haydi yazalım karışık sayıları bölme kuralı: Karışık bir sayıyı karışık bir sayıya bölmek için şunları yapmanız gerekir:
- karşılık gelen sıradan kesirleri bölün.
Geriye karışık sayıları bölme örneğine bakmaya devam ediyoruz.
Örnek.
Bir karma sayının bir karma sayıya bölünmesinin sonucu nedir?
Çözüm.
Tam sayılı kesirlerin bölünmesini sıradan kesirlerin bölünmesine indirgemek için, tam sayılı kesirleri bileşik kesirlere dönüştürürüz, şunu elde ederiz: 
Ve 
.
Böylece, 
. Şimdi sıradan kesirleri bölme kuralını kullanalım: 
. Bu aşamada kesri azaltabilirsiniz: . Bu, karışık sayıların bölünmesini tamamlar.
Cevap:
.
Karışık bir sayıyı doğal sayıya bölme
Karışık bir sayıyı doğal sayıya bölme sıradan bir kesrin bir doğal sayıya bölünmesine yol açar. Bunu yapmak için, bölünen karışık sayıyı bileşik kesire dönüştürmek yeterlidir.
Örnek.
Karışık sayıyı doğal sayı olan 75'e bölün.
Çözüm.
Öncelikle karışık sayıdan bileşik kesire geçiyoruz: 
, Daha sonra 
. Sıradan kesri doğal bir sayıya bölmek kalır: 
. İndirgeme işleminden sonra, karışık bir sayının 75 doğal sayısına bölünmesiyle elde edilen bölüm olan 1/20 kesirini elde ederiz.
Cevap:
Doğal bir sayıyı tam sayılı bir sayıya bölmek
Doğal bir sayıyı tam sayılı bir sayıya bölmek Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesirle değiştirdikten sonra, doğal bir sayının ortak bir kesire bölünmesine indirgenir. Açıklık sağlamak için, örneğin çözümüne bakalım.
Örnek.
40 doğal sayısını bir tam sayıya bölün.
Çözüm.
Öncelikle karışık sayıyı uygunsuz kesir olarak temsil edelim: 
.
Artık bölme işlemine geçebiliriz, elde ederiz. Ortaya çıkan kesir indirgenemez (bkz. indirgenebilir ve indirgenemez kesirler), ancak uygunsuzdur, bu nedenle tüm parçayı ondan ayırmamız gerekir, elimizde . Bu, bir doğal sayının tam sayıya bölünmesini tamamlar.
Kesirlerde çarpma ve bölme.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Bu işlem toplama-çıkarmadan çok daha güzel! Çünkü daha kolay. Bir hatırlatma olarak, bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu, sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:
Örneğin:
Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada ona gerek yok...
Bir kesri kesre bölmek için işlemi tersine çevirmeniz gerekir. ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:
Örneğin:
Tamsayılar ve kesirlerle çarpma veya bölme işlemiyle karşılaşırsanız sorun değil. Toplama işleminde olduğu gibi, paydası bir olan bir tam sayıdan kesir yaparız ve devam ederiz! Örneğin:
Lisede sık sık üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:
Bu kesirin düzgün görünmesini nasıl sağlayabilirim? Evet, çok basit! İki noktalı bölmeyi kullanın:
Ancak bölünme sırasını unutmayın! Çarpmanın aksine burada bu çok önemli! Elbette 4:2 veya 2:4'ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen örneğin şunu unutmayın:
İlk durumda (soldaki ifade):
İkincisinde (sağdaki ifade):
Farkı hissediyor musun? 4 ve 1/9!
Bölünme sırasını ne belirler? Ya parantezlerle, ya da (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğuyla. Gözünüzü geliştirin. Ve eğer parantez veya tire yoksa, örneğin:
sonra böl ve çarp sırasıyla soldan sağa!
Ve ayrıca çok basit ve önemli teknik. Dereceli eylemlerde size çok faydalı olacaktır! Birini herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:
Vuruş tersine döndü! Ve bu her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesirdir, yalnızca ters çevrilmiş hali.
Kesirli işlemler için bu kadar. Olay oldukça basit ama gereğinden fazla hata veriyor. Not pratik tavsiye ve bunlardan daha az olacak (hatalar)!
Pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! Değil ortak kelimeler, iyi dilekler değil! Bu çok ciddi bir gereklilik! Birleşik Devlet Sınavındaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü, odaklanmış ve net bir görev olarak yapın. Taslağınıza fazladan iki satır yazmak, zihinsel hesaplamalar yaparken ortalığı karıştırmaktan daha iyidir.
2. Farklı kesir türlerine sahip örneklerde sıradan kesirlere geçiyoruz.
3. Tüm kesirleri durana kadar azaltıyoruz.
4. Çok seviyeli kesirli ifadeleri iki noktaya bölmeyi kullanarak sıradan ifadelere indirgeriz (bölme sırasını takip ederiz!).
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
İşte mutlaka tamamlamanız gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konuyla ilgili materyalleri ve pratik ipuçlarını kullanın. Kaç örneği doğru çözebildiğinizi tahmin edin. İlk defa! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın...
Unutmayın - doğru cevap ikinciden (özellikle üçüncüden) alınanlar sayılmaz! Zorlu hayat böyle.
Bu yüzden, sınav modunda çöz ! Bu arada, bu zaten Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, bir sonrakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ama sadece Daha sonra cevaplara bakın.
Hesaplamak:
Karar verdin mi?
Sizinkine uygun cevaplar arıyoruz. Bunları kasıtlı olarak, deyim yerindeyse, baştan çıkarıcılıktan uzak, dağınık bir şekilde yazdım... İşte, noktalı virgülle yazılmış cevaplar.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda gittiyse, senin adına sevindim! Kesirlerle yapılan temel hesaplamalar sizin sorununuz değil! Daha ciddi şeyler yapabilirsiniz. Değilse...
Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi de aynı anda.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Ama bu çözülebilir Sorunlar.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
