Preliminarne informacije
Obod katere koli ravne geometrijske figure v ravnini je opredeljen kot vsota dolžin vseh njenih stranic. Trikotnik pri tem ni izjema. Najprej podamo koncept trikotnika, pa tudi vrste trikotnikov, odvisno od stranic.
Opredelitev 1
Trikotnik bomo imenovali geometrijski lik, ki je sestavljen iz treh točk, povezanih s segmenti (slika 1).
Opredelitev 2
Točke v definiciji 1 bomo imenovali oglišča trikotnika.
Opredelitev 3
Segmente v okviru definicije 1 bomo imenovali stranice trikotnika.
Očitno bo imel vsak trikotnik 3 oglišča in 3 stranice.
Glede na razmerje med stranicami so trikotniki razdeljeni na skale, enakokrake in enakostranične.
Opredelitev 4
Trikotnik je skalen, če nobena od njegovih stranic ni enaka nobeni drugi.
Definicija 5
Trikotnik se imenuje enakokraki, če sta dve njegovi strani enaki, ne pa enaki tretji strani.
Opredelitev 6
Trikotnik se imenuje enakostranični, če so vse njegove stranice enake.
Vse vrste teh trikotnikov si lahko ogledate na sliki 2.
Kako najti obod skalenskega trikotnika?
Naj nam je dan skalen trikotnik z dolžinami stranic, enakimi $α$, $β$ in $γ$.
zaključek:Če želite najti obseg skalenskega trikotnika, seštejte vse dolžine njegovih stranic.
Primer 1
Poiščite obseg skalenskega trikotnika, ki je enak $34$ cm, $12$ cm in $11$ cm.
$P=34+12+11=57$ cm
Odgovor: 57 $ glej.
Primer 2
Poiščite obseg pravokotnega trikotnika, katerega kraki sta $6$ in $8$ cm.
Najprej po Pitagorejevem izreku poiščemo dolžino hipotenuz tega trikotnika. Nato ga označite z $α$
$α=10$ Po pravilu za izračun obsega skalenskega trikotnika dobimo
$P=10+8+6=24$ cm
Odgovor: 24 $ glej.
Kako najti obod enakokrakega trikotnika?
Dajmo nam enakokraki trikotnik, katerega dolžine stranic bodo enake $α$, dolžina osnove pa bo enaka $β$.
Po definiciji oboda ravne geometrijske figure dobimo to
$P=α+α+β=2α+β$
zaključek:Če želite najti obseg enakokrakega trikotnika, dodajte dvakrat dolžino njegovih stranic dolžini njegove osnove.
Primer 3
Poiščite obseg enakokrakega trikotnika, če so njegove stranice $12$ cm in njegova osnova $11$ cm.
Iz zgornjega primera to vidimo
$P=2\cdot 12+11=35$ cm
Odgovor: 35 $ glej.
Primer 4
Poiščite obod enakokrakega trikotnika, če je njegova višina, potegnjena na osnovo, $8$ cm, osnova pa $12$ cm.
Upoštevajte sliko glede na stanje težave:
Ker je trikotnik enakokrak, je tudi $BD$ mediana, torej $AD=6$ cm.
Po Pitagorejevem izreku iz trikotnika $ADB$ najdemo stran. Nato ga označite z $α$
Po pravilu za izračun oboda enakokrakega trikotnika dobimo
$P=2\cdot 10+12=32$ cm
Odgovor: 32 $ glej.
Kako najti obseg enakostraničnega trikotnika?
Naj nam je dan enakostranični trikotnik z dolžinami vseh stranic, enakimi $α$.
Po definiciji oboda ravne geometrijske figure dobimo to
$P=α+α+α=3α$
zaključek:Če želite najti obseg enakostraničnega trikotnika, pomnožite dolžino stranice trikotnika s 3$.
Primer 5
Poiščite obseg enakostraničnega trikotnika, če je njegova stranica 12 $ cm.
Iz zgornjega primera to vidimo
$P=3\cdot 12=36$ cm
P=a+b+c Kako najti obseg trikotnika: Vsi vedo, da je iskanje obsega enostavno - samo sešteti morate vse tri stranice trikotnika. Vendar pa obstaja več drugih načinov za iskanje vsote dolžin stranic trikotnika. 1. korak Glede na polmer kroga, vpisanega v trikotnik, in njegovo površino poiščite obod s formulo P=2S/r. 
2. korak Če poznate dva kota, na primer α in β, ki mejita na stran, in dolžino te strani, potem za iskanje oboda uporabite formulo a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). 
Korak 3 Če pogoj določa sosednje stranice in kot β med njimi, upoštevajte kosinusni izrek pri iskanju oboda. Potem je P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), kjer sta a^2 in b^2 kvadrata dolžin sosednjih stranic. Izraz pod korenom je dolžina tretje neznane strani, izražena s kosinusnim izrekom. 
Korak 4 Za enakokraki trikotnik ima formula obsega obliko P=2a+b, kjer sta a stranice in b njegova osnova. 5. korak Izračunajte obseg pravilnega trikotnika s formulo P=3a. Korak 6 Poiščite obseg z uporabo polmerov krogov, vpisanih v trikotnik ali opisanih okoli njega. Torej, za enakostranični trikotnik si zapomnite in uporabite formulo P=6r√3=3R√3, kjer je r polmer vpisanega kroga in R polmer opisanega kroga. Korak 7 Za enakokraki trikotnik uporabite formulo P=2R(2sinα+sinβ), kjer je α kot pri bazi in β kot nasproti osnove.
Obod trikotnika, tako kot pri drugih stvareh in kateri koli številki, se imenuje vsota dolžin vseh stranic. Pogosto ta vrednost pomaga pri iskanju območja ali se uporablja za izračun drugih parametrov figure.
Formula za obseg trikotnika izgleda takole:
Primer izračunavanja obsega trikotnika. Naj bo podan trikotnik s stranicami a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm. Podatke nadomestimo s formulo: cm
Formula za izračun obsega enakokraki trikotnik bo videti takole:
Formula za izračun obsega enakostranični trikotnik:
Primer izračuna oboda enakostraničnega trikotnika. Ko so vse strani figure enake, jih je mogoče preprosto pomnožiti s tri. Recimo, da je v tem primeru podan pravilen trikotnik s stranico 5 cm: cm
Na splošno, ko so podane vse strani, je iskanje oboda dokaj enostavno. V drugih primerih je potrebno najti velikost manjkajoče strani. V pravokotnem trikotniku lahko najdete tretjo stran pitagorejski izrek. Na primer, če so dolžine nog znane, lahko hipotenuzo najdete s formulo: 
Oglejmo si primer izračunavanja oboda enakokrakega trikotnika, če poznamo dolžino krakov v pravokotnem enakokrakem trikotniku.
Podan trikotnik s nogami a \u003d b \u003d 5 cm. Poiščite obseg. Najprej poiščimo manjkajočo stran z . cm
Zdaj izračunajmo obod: cm
Obseg pravokotnega enakokrakega trikotnika bo 17 cm.
V primeru, ko sta hipotenuza in dolžina ene noge znani, lahko manjkajočo poiščemo s formulo: 
Če sta hipotenuza in eden od ostrih kotov znani v pravokotnem trikotniku, potem manjkajočo stran najdemo s formulo.
Kako najti obod trikotnika? Vsak od nas si je to vprašanje zastavil med študijem v šoli. Poskusimo se spomniti vsega, kar vemo o tej neverjetni figuri, in odgovorimo na zastavljeno vprašanje.
Odgovor na vprašanje, kako najti obseg trikotnika, je običajno precej preprost - opraviti morate le postopek seštevanja dolžin vseh njegovih stranic. Vendar pa obstaja nekaj preprostejših metod želene vrednosti.
Nasvet
V primeru, da sta znana polmer (r) kroga, ki je vpisan v trikotnik, in njegova površina (S), je odgovor na vprašanje, kako najti obseg trikotnika, precej preprost. Če želite to narediti, morate uporabiti običajno formulo:
Če sta znana dva kota, recimo, α in β, ki sta sosednji strani, in dolžina same stranice, potem lahko obod najdemo z zelo, zelo priljubljeno formulo, ki izgleda takole:
sinβ∙a/(sin(180° - β - α)) + sinα∙a/(sin(180° - β - α)) + a
Če poznate dolžine sosednjih stranic in kot β med njimi, morate za iskanje oboda uporabiti kosinusni izrek. Obod se izračuna po formuli:
P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),
kjer sta b2 in a2 kvadrata dolžin sosednjih stranic. Radikalni izraz je dolžina tretje strani, ki je neznana, izražena s kosinusnim izrekom.
Če ne veste, kako najti obseg enakokrakega trikotnika, potem pravzaprav ni nič zapletenega. Izračunajte ga po formuli:
kjer je b osnova trikotnika in a so njegove stranice.
Če želite najti obseg običajnega trikotnika, uporabite najpreprostejšo formulo:
kjer je a dolžina stranice.
Kako najti obseg trikotnika, če so znani le polmeri krogov, ki so okoli njega opisani ali vpisani vanj? Če je trikotnik enakostranični, je treba uporabiti formulo:
P = 3R√3 = 6r√3,
kjer sta R in r polmera opisanega in vpisanega kroga.
Če je trikotnik enakokraki, potem zanj velja formula:
P=2R (sinβ + 2sinα),
kjer je α kot, ki leži na dnu, β pa kot nasproti osnove.
Pogosto je za reševanje matematičnih problemov potrebna globoka analiza in posebna sposobnost iskanja in izpeljave zahtevanih formul, kar je, kot mnogi vedo, precej težko delo. Čeprav je nekatere težave mogoče rešiti z eno samo formulo.
Oglejmo si formule, ki so osnovne za odgovor na vprašanje, kako najti obod trikotnika, glede na najrazličnejše vrste trikotnikov.
Seveda je glavno pravilo za iskanje obsega trikotnika ta izjava: če želite najti obseg trikotnika, morate z ustrezno formulo sešteti dolžine vseh njegovih stranic:
kjer so b, a in c dolžine stranic trikotnika in P je obseg trikotnika.
Obstaja več posebnih primerov te formule. Recimo, da je vaš problem formuliran na naslednji način: "kako najti obseg pravokotnega trikotnika?" V tem primeru morate uporabiti naslednjo formulo:
P = b + a + √(b2 + a2)
V tej formuli sta b in a neposredni dolžini krakov pravokotnega trikotnika. Preprosto je uganiti, da se namesto strani c (hipotenuze) uporablja izraz, pridobljen z izrekom velikega antičnega znanstvenika Pitagore.
Če želite rešiti problem, kjer so trikotniki podobni, bi bilo logično uporabiti to izjavo: razmerje obodov ustreza koeficientu podobnosti. Recimo, da imate dva podobna trikotnika - ∆ABC in ∆A1B1C1. Potem, da bi našli koeficient podobnosti, je treba obseg ΔABC deliti z obsegom ΔA1B1C1.
Za zaključek je mogoče opozoriti, da je obod trikotnika mogoče najti z različnimi metodami, odvisno od začetnih podatkov, ki jih imate. Treba je dodati, da obstaja nekaj posebnih primerov za pravokotne trikotnike.
Vsebina:
Obod je skupna dolžina meja 2D oblike. Če želite najti obseg trikotnika, morate dodati dolžine vseh njegovih stranic; če ne poznate dolžine vsaj ene strani trikotnika, jo morate najti. Ta članek vam bo povedal (a) kako najti obseg trikotnika glede na tri znane stranice; (b) kako najti obseg pravokotnega trikotnika, ko sta znani samo dve strani; (c) kako najti obseg katerega koli trikotnika, če sta podani dve strani in kot med njima (z uporabo zakona kosinusov).
Koraki
1 Na treh danih straneh
- 1 Če želite poiskati obod, uporabite formulo: P \u003d a + b + c, kjer so a, b, c dolžine treh strani, P je obseg.
- 2
Poiščite dolžine vseh treh stranic. V našem primeru: a = 5, b = 5, c = 5.
- Je enakostranični trikotnik, saj so vse tri stranice enake dolžine. Toda zgornja formula velja za kateri koli trikotnik.
- 3
Dodajte dolžine vseh treh strani, da najdete obod. V našem primeru: 5 + 5 + 5 = 15, to je P = 15.
- Drug primer: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
- 4
V odgovor ne pozabite vključiti merske enote. V našem primeru so stranice merjene v centimetrih, zato mora vaš končni odgovor vključevati tudi centimetre (ali enote, navedene v izjavi težave).
- V našem primeru je vsaka stranica 5 cm, zato je končni odgovor P = 15 cm.
2 Podani dve strani pravokotnega trikotnika
- 1 Spomnite se Pitagorejevega izreka. Ta izrek opisuje razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika in je eden najbolj znanih in uporabnih izrekov v matematiki. Izrek pravi, da so v katerem koli pravokotnem trikotniku stranice povezane z naslednjim razmerjem: a 2 + b 2 \u003d c 2, kjer so a, b kraki, c hipotenuza.
- 2 Nariši trikotnik in stranice označi kot a, b, c. Najdaljša stranica pravokotnega trikotnika je hipotenuza. Leži nasproti pravega kota. Hipotenuzo označite s "c". Noge (stranice, ki mejijo na pravi kot) so označene kot "a" in "b".
- 3
Nadomestite vrednosti znanih strani v Pitagorov izrek (a 2 + b 2 = c 2). Namesto črk nadomestite številke, navedene v pogoju težave.
- Na primer, a = 3 in b = 4. Te vrednosti nadomestite v Pitagorov izrek: 3 2 + 4 2 = c 2 .
- Še en primer: a = 6 in c = 10. Potem: 6 2 + b 2 = 10 2
- 4
Rešite dobljeno enačbo, da poiščete neznano stran.Če želite to narediti, najprej kvadratirajte znane dolžine stranic (samo pomnožite število, ki vam je dano). Če iščete hipotenuzo, dodajte kvadrate obeh stranic in vzemite kvadratni koren nastale vsote. Če iščete nogo, od kvadrata hipotenuze odštejte kvadrat znane noge in vzemite kvadratni koren nastalega količnika.
- V prvem primeru: 3 2 + 4 2 = c 2 ; 9 + 16 \u003d c 2; 25=c2; √25 = s. Torej c = 25.
- V drugem primeru: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 \u003d 100. Prenesite 36 na desno stran enačbe in dobite: b 2 \u003d 64; b = √64. Torej b = 8.
- 5
- V našem prvem primeru: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- V našem drugem primeru: P = 6 + 8 + 10 = 24.
3 Glede na dve dani strani in kot med njima
- 1 Vsako stran trikotnika lahko najdemo z uporabo zakona kosinusov, če sta podani dve strani in kot med njima. Ta izrek velja za vse trikotnike in je zelo uporabna formula. Kosinusni izrek: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), kjer so a, b, c stranice trikotnika, A, B, C so koti nasproti ustreznih stranic trikotnika.
- 2 Nariši trikotnik in stranice označi kot a, b, c; označite kote nasproti ustreznih stranic kot A, B, C (to je kot nasproti strani "a", označite ga kot "A" itd.).
- Na primer, podan trikotnik s stranicama 10 in 12 in kotom med njima 97°, to je a = 10, b = 12, C = 97°.
- 3
V formulo zamenjajte dane vrednosti in poiščite neznano stran "c". Najprej kvadratirajte dolžine znanih stranic in dodajte nastale vrednosti. Nato poiščite kosinus kota C (z uporabo kalkulatorja ali spletnega kalkulatorja). Pomnožite dolžine znanih stranic s kosinusom danega kota in z 2 (2abcos(C)). Dobljeno vrednost odštejte od vsote kvadratov obeh stranic (a 2 + b 2) in dobite c 2 . Vzemite kvadratni koren te vrednosti, da poiščete dolžino neznane strani "c". V našem primeru:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c2 = 244 + 29,25
- c2 = 273,25
- c = 16,53
- 4
Dodajte dolžine treh strani, da poiščete obod. Spomnimo se, da se obseg izračuna po formuli: P = a + b + c.
- V našem primeru: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.
