Absolutne in relativne napake

Pri izračunavanju vrednosti katere koli funkcije ali pri merjenju in obdelavi moramo obravnavati približne številke fizikalne količinepridobljeni kot rezultat poskusov. V obeh primerih morate biti sposobni pravilno zapisati vrednosti približnih števil in njihovo napako.

Približna številka in imenovano število, ki se nekoliko razlikuje od natančnega števila IN in slednjo nadomesti v izračunih. Če se to ve in< А potem in se imenuje približna vrednost števila IN zaradi pomanjkanja; če a\u003e A, - potem v presežku. Če in obstaja približna vrednost števila INnato napiši a ≈ A.

Pod napako ali napako IN približno število in ponavadi pomeni razliko med ustreznim natančnim številom IN in te približne, tj.

Če želite dobiti natančno številko IN, njegovo napako morate dodati približni vrednosti števila, tj.

V mnogih primerih znak napake ni znan. Potem je priporočljivo uporabiti absolutno napako približnega števila

Iz zgornjega zapisa izhaja, da je absolutna napaka približnega števila in se imenuje modul razlike med ustreznim natančnim številom IN in njegovo približno vrednost in, tj.

Natančna številka IN najpogosteje je neznan, zato napake ali absolutne napake ni mogoče najti. V tem primeru je koristno namesto neznane teoretične napake uvesti njeno zgornjo oceno, tako imenovano končno absolutno napako.

Pod mejno absolutno napako približnega števila in razume se vsako število, ki ni manjše od absolutne napake tega števila, tj.

Če v zadnjem vnosu namesto da uporabimo formulo (1.1), potem lahko pišemo

(1.2)

Iz tega sledi, da je natančno število IN zaprta znotraj

Posledično je razlika približek števila A zaradi pomanjkanja in - približek števila IN presežek. V tem primeru za kratkost uporabite zapis

Jasno je, da je mejna absolutna napaka določena dvoumno: če je določeno število mejna absolutna napaka, potem je vsako večje od pozitivnega števila tudi mejna absolutna napaka. V praksi poskušajo pisno izbrati najmanjše in najenostavnejše število, ki izpolnjuje neenakost (1.2).

Če je na primer meritev privedla do dolžine segmenta l \u003d 210 cm ± 0,5 cm, potem je tu največja absolutna napaka = 0,5 cm in natančna vrednost l odsek je zaprt v mejah 209,5 cm ≤l≤210,5 cm.

Absolutna napaka ne zadostuje za označevanje natančnosti meritve ali izračuna. Tako na primer, če se pri merjenju dolžin dveh palic dobijo rezultati l 1\u003d 95,6 cm ± 0,1 cm in l 2 \u003d 8,3 ± 0,1 cm, potem je kljub naključju končnih absolutnih napak natančnost prve meritve večja od druge. Zato je jasno, da je za natančnost merjenja pomembnejša ne absolutna, temveč relativna napaka, ki je odvisna od vrednosti izmerjenih veličin.

Relativna napaka δ približno število inje razmerje med absolutno napako tega števila in modulom ustreznega natančnega števila IN,tiste.

Podobno kot največja absolutna napaka se uporablja tudi definicija največje relativne napake. Omejitvena relativna napaka tega približnega števila in se imenuje poljubno število, ki ni manjše od relativne napake tega števila

tiste. od kod sledi

Tako je za omejujočo absolutno napako števila inlahko vzamete

Ker v praksi А≈а, potem se namesto formule (1.3) pogosto uporablja formula

1.2 Decimalni zapis približnih števil

Vsako pozitivno decimalno število a lahko predstavimo kot končni ali neskončni ulomek

kjer so decimalne številke števila in (\u003d 0,1,2, ..., 9) in najpomembnejša številka a m - število števk pri snemanju celoštevilčnega dela števila in, in n - število števk v zapisu delnega dela števila in... Na primer:

5214,73 ... \u003d 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Vsaka številka na določenem mestu v številki innapisano v obliki (1.4) ima svojo težo. Torej, številka na prvem mestu (tj.) Tehta 10 m, na drugi - 10 m -1 itd.

V praksi običajno ne uporabljamo zapisa v obliki (1.4), ampak uporabljamo skrajšani zapis števil v obliki zaporedja koeficientov pri ustreznih močeh 10. Na primer, v zapisu (1.5) uporabljamo oblika levo od enačbe in ne desna, ki predstavlja razširitev tega števila v moči 10.

V praksi se je treba ukvarjati predvsem s približnimi števili v obliki končnih decimalnih ulomkov. Za pravilno primerjavo različnih računskih in eksperimentalnih rezultatov je uveden koncept pomembna številka v zapisu rezultatov. Vse ohranjeno decimalne vrednosti ( i \u003d m, m-1,…, m-n +1), razen nič in nič, če stoji med pomembnimi števkami ali je predstavnik shranjenega decimalnega mesta na koncu števila, se imenuje pomembne številke približnega števila in... V tem primeru so ničle, povezane s faktorjem 10 n niso pomembni.

Z referenčnimi oznakami in v decimalnem sistemu morate včasih na začetku ali koncu števila vnesti dodatne ničle. Na primer,

in \u003d 7 · 10 -3 + 0 · 10 -4 + 1 · 10 -5 + 0 · 10 -6 \u003d 0,00 7010

b \u003d 2 10 9 + 0 10 8 + 0 10 7 + 3 10 6 + 0 10 5 \u003d 2003000000.

Takšne ničle (v primerih, ki so podčrtane) se ne štejejo za pomembne številke.

Katera koli številka v njeni decimalni podobi, ki ni nič, se imenuje pomembna številka približno števila., in tudi nič, če je med pomembnimi števkami ali predstavlja shranjeno decimalno mesto. Vse druge ničle, ki so del približnega števila in služijo le za določitev njegovih decimalnih mest, se ne štejejo kot pomembna števila.

Na primer, pri številu 0,002080 prve tri ničle niso pomembne števke, saj služijo le za nastavitev decimalnih mest drugih številk. Preostali dve ničli sta pomembni števki, saj je prva med pomembnima številkama 2 in 8, druga pa pomeni, da je decimalno mesto 10 -6 shranjeno v približnem številu. Če v to številko 0,002080 zadnja številka ni pomembna, potem naj bo to število zapisano kot 0,00208. S tega vidika številki 0,002080 in 0,00208 nista enakovredni, saj prva vsebuje štiri pomembne številke, druga pa samo tri.

Poleg koncepta pomembne številke je pomemben koncept pravilno število. Treba je opozoriti, da ta koncept obstaja v dveh definicijah - v ozkoin širokem smislu.

Definicija(v širšem smislu) . Tako pravijo nprve pomembne številke števila (štetje od leve proti desni) so zvest na širokosmiselno, če absolutna napaka tega števila ne presega ene (teže) n-praznjenje. (Pojasnilo: 1 10 1 - tukaj je teža 1 10; 1 10 0 - tukaj je teža 1 1; 1 10 -1 - tukaj je teža 1 0,1; 1 10 -2 - tukaj je teža 1 0,01 itd. Itd.) .

Definicija(v ožjem pomenu). Tako pravijo n prve pomembne številke približnega števila so pravilne, če absolutna napaka tega števila ne presega pol enote (teža) n-praznjenje. (Pojasnilo: 1 10 1 - tukaj je teža polovice 1 5; 1 10 0 - tukaj je teža polovice 1 0,5; 1 10 -1 - 0,05 itd.).

Na primer, v približnem številu na podlagi prve definicije sta pomembni številki 3,4 in 5 na splošno pravilni, številka 6 pa dvomljiva. Na podlagi druge definicije sta pomembni številki 3 in 4 v ožjem pomenu pravilni, številki 5 in 6 pa dvomljivi. Pomembno je poudariti, da natančnost približnega števila ni odvisna od števila pomembnih števk, temveč od števila popravi pomembne številke.

Tako v teoretičnem razmišljanju kot v praktične uporabe večja uporaba je iskanje definicije pravilnega števila v ožjem pomenu besede.

Torej, če za približno število a zamenja število IN, je znano, da

(1.6)

potem po definiciji prva n števke te številke so pravilne.

Na primer za natančno število IN \u003d 35,97 številka in \u003d 36,00 je približno s tremi pravilnimi znaki. Naslednje razmišljanje vodi k temu rezultatu. Ker je absolutna napaka našega približnega števila 0,03, mora po definiciji izpolnjevati pogoj

(1.7)

V našem približnem številu 36,00 je torej številka 3 prva pomembna številka (tj.) m\u003d 1. Zato je očitno, da bo pogoj (1.7) veljal za n = 3.

Običajno je sprejemljivo, če je decimalni zapis približno število napiši samo pravilne številke. Če je znano, da je podana približna številka pravilno napisana, potem je iz zapisa mogoče določiti največjo absolutno napako. S pravilnim zapisom absolutna napaka ne presega polovice najmanj pomembne številke, ki sledi zadnji pravilni številki (ali polovice enote zadnje pravilne številke, ki je enaka)

Na primer, glede na pravilno zapisane približne številke: a \u003d 3,8; b \u003d 0,0283; c \u003d 4260. Po definiciji bodo največje absolutne napake teh številk: \u003d 0,05; \u003d 0,00005; \u003d 0,5.

Absolutne in relativne napake

Absolutna napaka približka

Ko se ukvarjamo z izračuni z neskončnimi decimalnimi ulomki, je za udobje treba te številke približati, torej zaokrožiti. Približne številke dobimo tudi iz različnih meritev.

Koristno je vedeti, koliko se približna vrednost števila razlikuje od njegove natančne vrednosti. Jasno je, da čim manjša je razlika, tem boljša je, natančnejša je meritev ali izračun.

Za določitev natančnosti meritev (izračuni) uvedejo tak koncept kot približna napaka. Na drug način se imenuje absolutna napaka.

Absolutna napaka približki imenuje modul razlike med natančno vrednostjo števila in njegovo približno vrednostjo.

kje x je natančna vrednost števila, in je njegova približna vrednost.

Na primer, število je bilo pridobljeno kot rezultat meritev. Vendar formula izračuna natančno vrednost tega števila. Potem absolutna napaka približka

Pri neskončnih frakcijah se napaka približevanja določi po enaki formuli. Namesto natančnega števila je zapisan sam neskončni ulomek. Na primer. Tu se izkaže, da je absolutna napaka približanja izražena z iracionalnim številom.

Približanje lahko izvedemo kot zaradi pomanjkanja in presežek .

Enako število π pri približevanju pomanjkljivosti z natančnostjo 0,01 je 3,14, pri približevanju presežku z natančnostjo 0,01 pa 3,15.

Pravilo zaokroževanja: če je prva zavržena številka enaka pet ali več kot pet, se izvede presežni približek; če manj kot pet, je to posledica pomanjkanja.

Na primer, od tretja številka za decimalno vejico števila π je 1, nato pa se ob pomanjkanju izvede z natančnostjo 0,01.

Izračunajmo absolutne napake približanja na 0,01 števila π s pomanjkanjem in presežkom:

Kot lahko vidite, je absolutna napaka približanja za pomanjkanje manjša kot za presežek. To pomeni, da ima približek pomanjkljivosti v tem primeru večjo natančnost.

Relativna aproksimacijska napaka

Absolutna napaka ima eno pomembna pomanjkljivost - ne omogoča ocene resnosti napake.

Na primer na trgu kupimo 5 kg krompirja, brezvestni prodajalec pa se je pri merjenju teže zmotil za 50 g v svojo korist. Tisti. absolutna napaka je bila 50 g. Za nas bo takšen nadzor zgolj malenkost in nanj niti ne bomo pozorni. Kaj pa, če se pri pripravi zdravila pojavi podobna napaka? Tu bo vse veliko bolj resno. In pri nalaganju tovornega vagona bodo verjetno prišlo do odstopanj veliko večje od te vrednosti.

Zato absolutna napaka sama po sebi ni preveč informativna. Poleg tega se zelo pogosto dodatno izračuna tudi relativno odstopanje.

Relativna napaka aproksimacije imenuje razmerje med absolutno napako in natančno vrednostjo števila.

Relativna napaka je brezdimenzijska vrednost ali se meri v odstotkih.

Tu je nekaj primerov.

Primer 1. V podjetju je 1284 delavcev in zaposlenih. Število delavcev zaokrožite na celo število s presežkom in pomanjkanjem. Poiščite njihove absolutne in relativne napake (v odstotkih). Naredite zaključek.

Torej,.

Absolutna napaka:

Relativna napaka:

To pomeni, da je natančnost približka s pomanjkljivostjo večja od natančnosti približka s presežkom.

2. primer V šoli je 197 učencev. Število študentov zaokroži na celo število in manj. Poiščite njihove absolutne in relativne napake (v odstotkih). Naredite zaključek.

Torej,.

Absolutna napaka:

Relativna napaka:

To pomeni, da je natančnost približka s presežkom večja od natančnosti približka s pomanjkljivostjo.

Poiščite absolutno napako približanja:

Približna vrednost številkex enakoin ... Poiščite absolutno napako približevanja, če:

Zapišite jo kot dvojno neenakost:

Poiščite približno vrednost številax , enako aritmetični sredini približkov s pomanjkanjem in presežkom, če:

Dokaži, da je aritmetična sredina številin inb je približna vrednost vsakega od teh števil, do.

Zaokroži številke:

do enot

do desetink

na tisočinke

do tisoč

do sto tisočakov

do enot

do desetine

do desetink

na tisočinke

do stotine

do deset tisočakov

Predstavljajte si navadna frakcija kot decimalno zaokroži na tisočinke in poišči absolutno napako:

Dokažite, da je vsako od števil 0,368 in 0,369 približna vrednost števila na 0,001 natančno. Katera je približna vrednost števila z natančnostjo 0,0005?

Dokažite, da je vsako od števil 0,38 in 0,39 približna vrednost števila na 0,01 natančno. Katera je približna vrednost števila z natančnostjo 0,005?

Število zaokroži na eno in poišči relativno napako pri zaokroževanju:

5,12

9,736

49,54

1,7

9,85

5,314

99,83

Predstavite vsako od številk in kot decimalni ulomek... Ko dobljene ulomke zaokrožimo na desetinke, poiščemo absolutne in relativne napake približkov.

Polmer Zemlje je 6380 km z natančnostjo 10 km. Ocenite relativno napako približne vrednosti.

Najmanjša razdalja od Zemlje do Lune je 356400 km z natančnostjo 100 km. Ocenite relativno napako približevanja.

Primerjajte kakovost merjenja maseM električne lokomotive in maset tablete z zdravili, če so t (na 0,5 t natančno) in g (na 0,01 g natančno).

Primerjajte kakovost merjenja dolžine reke Volge in premera žoge za namizni tenis, če km (z natančnostjo 5 km) in mm (z natančnostjo 1 mm).

Z neposrednimi meritvami

1. Na voltmetru naj bosta enkrat izmerjeni dve napetosti U 1 \u003d 10 V, U 2 \u003d 200 V. Voltmeter ima naslednje značilnosti: razred točnosti d cl t \u003d 0,2, U največ \u003d 300 V.

Določimo absolutne in relativne napake teh meritev.

Ker sta bili obe meritvi opravljeni na eni napravi, potem D U 1 \u003d D U 2 in se izračunajo po formuli (B.4)

Glede na definicijo so relativne napake U 1 in U 2 sta enaka

ε 1 \u003d 0,6 ∙ V / 10 V \u003d 0,06 \u003d 6%,

ε 2 \u003d 0,6 ∙ V / 200 V \u003d 0,003 \u003d 0,3%.

Iz danih rezultatov izračunov ε 1 in ε 2 je razvidno, da je ε 1 veliko večji od ε 2.

Od tod pravilo: izbrati morate napravo s tako merilno mejo, da so odčitki v zadnji tretjini lestvice.

2. Naj bo neka vrednost večkrat izmerjena, torej proizvedena n posamezne meritve te količine A x 1 , A x 2 ,..., A x 3 .

Nato se za izračun absolutne napake izvedejo naslednje operacije:

1) po formuli (B.5) določite povprečje aritmetična vrednost IN 0 izmerjena vrednost;

2) izračunamo vsoto kvadratov odstopanj posameznih meritev od najdene aritmetične sredine in v skladu s formulo (B.6) določimo napako sredinskega kvadrata, ki označuje absolutno napako posamezne meritve z večkratnimi neposredne meritve določene vrednosti;

3) relativna napaka ε se izračuna po formuli (B.2).

Izračun absolutne in relativne napake

Posredno merjenje

Izračun napak pri posrednih meritvah - več težka naloga, ker je v tem primeru iskana vrednost funkcija drugih pomožnih veličin, katerih merjenje spremlja pojav napak. Običajno so pri merjenju naključne napake pri merjenju zelo majhne v primerjavi z izmerjeno vrednostjo. Tako majhni so, da sta druga in višja stopnja napake zunaj merilne natančnosti in ju je mogoče zanemariti. Zaradi majhnosti napak za pridobitev formule napak
posredno izmerjene veličine uporabljajo metode diferencialnega računa. Pri posrednem merjenju količine, ko se neposredno izmerijo količine, povezane z določeno matematično odvisnostjo, je primerneje najprej določiti relativno napako
izračunajte absolutno merilno napako z uporabo najdene relativne napake.

Diferencialni račun omogoča najpreprostejši način določanja relativne napake pri posredni meritvi.

Naj iskana vrednost IN je funkcionalno povezan z več neodvisnimi, neposredno izmerjenimi veličinami x 1 ,
x 2 , ..., x k, tj.

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Za določitev relativne napake vrednosti IN vzet je naravni logaritem obeh strani enakosti

ln A\u003d ln f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Nato se izračuna razlika naravni logaritem funkcijo
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A\u003d dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

V dobljenem izrazu je vse mogoče algebrske transformacije in poenostavitev. Po tem se vsi simboli diferencialov d nadomestijo s simboli napake D in negativni znaki preden se diferenciali neodvisnih spremenljivk nadomestijo s pozitivnimi, to pomeni, da se vzame najbolj neugoden primer, ko se vse napake seštejejo. V tem primeru se izračuna največja napaka rezultata.

Glede na zgoraj navedeno

ampak ε \u003d D IN / IN

Ta izraz je formula za relativno napako vrednosti IN pri posrednih meritvah določi relativno napako želene vrednosti, in sicer z relativnimi napakami izmerjenih vrednosti. Po izračunu relativne napake po formuli (B.11),
določite absolutno napako vrednosti IN kot zmnožek relativne napake na izračunano vrednost IN tj.

D IN = ε IN, (AT 12)

kjer je ε izraženo kot brezdimenzijsko število.

Torej je treba relativne in absolutne napake posredno izmerjene vrednosti izračunati v naslednjem zaporedju:

1) vzame se formula, po kateri se izračuna zahtevana vrednost (formula za izračun);

2) vzet je naravni logaritem obeh delov formule izračuna;

3) izračunamo skupno razliko naravnega logaritma želene vrednosti;

4) v dobljenem izrazu so narejene vse možne algebraične transformacije in poenostavitve;

5) simbol diferencialov d se nadomesti s simbolom napake D, medtem ko se vsi negativni znaki pred diferenciali neodvisnih spremenljivk nadomestijo s pozitivnimi (velikost relativne napake bo največja) in formula kajti dobljena je relativna napaka;

6) izračuna se relativna napaka izmerjene vrednosti;

7) glede na izračunano relativno napako se izračuna absolutna napaka posredne meritve po formuli (B.12).

Upoštevajmo več primerov izračuna relativne in absolutne napake pri posrednih meritvah.

1. Iskana vrednost IN povezane z neposredno merljivimi količinami x, ob, z razmerje

kje a in b - konstantne vrednosti.

2. Vzemite naravni logaritem izraza (B.13)

3. Izračunajte skupno razliko naravnega logaritma zahtevane količine IN, torej ločimo (B.13)

4. Izvajamo transformacije. Glede na to, da d in \u003d 0, saj in\u003d const, cos ob/ greh y \u003d ctg y, dobimo:

5. Simbole diferencialov zamenjajte s simboli napak in znak minus pred diferencialom z znakom plus

6. Izračunamo relativno napako izmerjene vrednosti.

7. Glede na izračunano relativno napako se absolutna napaka posredne meritve izračuna po formuli (B.12), tj.

Določi se valovna dolžina rumena barva spektralna črta živega srebra z uporabo difrakcijske rešetke (z uporabo sprejetega zaporedja za izračun relativne in absolutne napake za rumeno valovno dolžino).

1. Valovna dolžina rumene barve se v tem primeru določi s formulo:

kje OD - konstanta difrakcijske rešetke (posredno izmerjena vrednost); φ W je kot difrakcije rumene črte v danem vrstnem redu spektra (neposredno izmerjena vrednost); K g - vrstni red spektra, v katerem je bilo opravljeno opazovanje.

Konstanta difrakcijske rešetke se izračuna po formuli

kje K h - vrstni red spektra zelene črte; λ s - znana zelena valovna dolžina (λ s - konstanta); φ z je difrakcijski kot zelene črte v danem vrstnem redu spektra (neposredno izmerjena vrednost).

Nato ob upoštevanju izraza (B.15)

(B.16)

kje K h, K g - opazovane, ki veljajo za konstantne; φ s, φ w - so
neposredno izmerjene količine.

Izraz (B.16) - izračunana formula za rumeno valovno dolžino, določena z uporabo difrakcijske rešetke.

4.d K h \u003d 0; d K w \u003d 0; dλ s \u003d 0, saj K h, K g in λ z sta konstanti;

Potem

5. (B.17)

kjer so Dφ W, Dφ W absolutne napake pri merjenju kota difrakcije rumene
in zelene črte spektra.

6. Izračunajte relativno napako rumene valovne dolžine.

7. Izračunamo absolutno napako rumene valovne dolžine:

Dλ w \u003d ελ w.

Pri praktični izvedbi merilnega postopka, ne glede na natančnost merilnih instrumentov, pravilnost postopka in temeljitost
rezultati meritev se razlikujejo od resnične vrednosti izmerjene količine, tj. merilne napake so neizogibne. Pri ocenjevanju napake se namesto prave vrednosti vzame dejanska vrednost; zato je mogoče podati le približno oceno merilne napake. Ocena zanesljivosti merilnega rezultata, tj. določanje merilne napake je ena glavnih nalog meroslovja.
Netočnost je odstopanje merilnega rezultata od resnične vrednosti izmerjene količine. Napake lahko pogojno razdelimo na napake merilnih instrumentov in napake merilnega rezultata.
Merilne napake so bili obravnavani v 3. poglavju.
Merilna napaka Je številka, ki označuje možne meje negotovosti za vrednost izmerjene količine.
Spodaj bo podana klasifikacija in upoštevane napake merilnega rezultata.
Mimogrede numerični izraz razlikovati absolutne in relativne napake.
Odvisno od izvora pojava napake so instrumentalno, metodično, štetje in postavitev.
Glede na vzorce manifestacije merilne napake delimo z sistematičen, progresiven, naključen in nesramen.
Podrobneje si oglejmo navedene merilne napake.

4.1. Absolutne in relativne napake

Absolutna napaka D je razlika med izmerjenim X in resničnim X ter izmerjeno vrednostjo. Absolutna napaka je izražena v enotah izmerjene vrednosti: D \u003d X - Chi.
Ker prave vrednosti izmerjene količine ni mogoče določiti, se v praksi namesto nje uporabi dejanska vrednost izmerjene količine Xd. Dejanska vrednost se ugotovi eksperimentalno z uporabo zadostne vrednosti natančne metode in merilni instrumenti. Od resnične vrednosti se malo razlikuje in ga lahko namesto njega uporabimo za rešitev problema. Med preverjanjem se za dejansko vrednost običajno vzamejo odčitki z vzorčnih merilnih instrumentov. Tako v praksi absolutno napako najdemo s formulo D "X - Xd. Relativna napaka d je razmerje med absolutno merilno napako in resnično (dejansko) vrednostjo izmerjene količine (običajno je izraženo v odstotkih) :.

4.2. Instrumentalne in metodološke napake,
štetje in nastavitev

Instrumentalna(instrumentalne ali instrumentalne) napake so tiste, ki pripadajo določenemu merilnemu instrumentu, jih je mogoče ugotoviti med preskusi in vnesti v njegov potni list.
Te napake so posledica konstrukcijskih in tehnoloških pomanjkljivosti merilnih instrumentov ter njihove obrabe, staranja ali okvare. Instrumentalne napakepovzročene z napakami uporabljenih merilnih instrumentov so bile obravnavane v 3. poglavju.
Vendar poleg instrumentnih napak med meritvami obstajajo tudi napake, ki jih tej napravi ni mogoče pripisati, jih ni mogoče navesti v potnem listu in se imenujejo metodično, tiste. povezane s samo napravo, temveč z načinom njene uporabe.
Metodične napake lahko nastanejo zaradi nepopolnosti razvoja teorije pojavov, na katerih temelji merilna metoda, nenatančnosti razmerij, uporabljenih za iskanje ocene izmerjene količine, pa tudi zaradi neskladja med izmerjeno količino in njenim modelom.
Oglejmo si primere, ki ponazarjajo metodološko napako merjenja.
Predmet raziskave je izmenični vir napetosti, katerega amplituda je Hm je treba izmeriti. Na podlagi predhodne študije raziskovalnega predmeta je za njegov model sprejet sinusoidni napetostni generator. Z uporabo voltmetra, namenjenega merjenju efektivnih vrednosti izmeničnih napetosti, in ob poznavanju razmerja med efektivnimi in amplitudnimi vrednostmi sinusne napetosti dobimo rezultat merjenja v obliki Hm \u003d × Uv, Kje Uv -odčitavanje voltmetra. Natančnejša preučitev predmeta bi lahko pokazala, da se oblika izmerjene napetosti razlikuje od sinusne in bolj pravilno razmerje med vrednostjo izmerjene vrednosti in odčitkom voltmetra Hm \u003dk× Uv, Kje k¹ . Tako nepopolnost sprejetega modela raziskovalnega predmeta vodi do metodološke merilne napake DU \u003d × Uv -k× Uv.
To napako lahko zmanjšate ali z izračunom vrednosti k na podlagi analize izmerjene napetostne valovne oblike ali z zamenjavo merilnega instrumenta z uporabo voltmetra, namenjenega merjenju amplitudnih vrednosti izmeničnih napetosti.
Zelo pogost razlog za pojav metodoloških napak je dejstvo, da smo pri organiziranju meritev prisiljeni izmeriti (ali zavestno izmeriti) ne vrednost, ki bi jo bilo treba izmeriti, ampak neko drugo, blizu, vendar ji ni enaka.

Primer takšne metodološke napake je napaka pri merjenju napetosti z voltmetrom s končnim uporom (slika 4.1).
Zaradi ranžiranja z voltmetrom odseka vezja, na katerem se meri napetost, se izkaže, da je manjši, kot je bil pred priključitvijo voltmetra. Dejansko bo napetost, ki jo bo prikazal voltmeter, določena z izrazom U \u003d I× Rv... Glede na to, da je tok v tokokrogu I \u003dE / (Ri +Rv), potem
< .
Zato je pri enem in istem voltmetru, ki je izmenično povezan z različnimi odseki preiskovanega vezja, ta napaka različna: v odpornih odsekih je zanemarljiva, v odpornih odsekih pa je lahko zelo velika. Te napake bi lahko odpravili, če bi bil voltmeter ves čas delovanja naprave neprekinjeno povezan s tem odsekom vezja (kot na stikalni plošči elektrarne), vendar je to iz več razlogov nedonosno.
Pogosti so primeri, ko je na splošno težko navesti merilno metodo, ki izključuje metodološko napako. Naj se na primer meri temperatura žarilnih ingotov, ki se dovajajo iz peči v valjarno. Vprašanje je, kam postaviti temperaturni senzor (na primer termočlen): pod disk, na stran ali nad disk? Kamor koli ga postavimo, ne bomo merili notranje telesne temperature slepega prostora, tj. imeli bomo znatno metodološko napako, saj ne merimo tistega, kar je potrebno, ampak tisto, kar je enostavnejše (v vsako prazno ne izvrtajte kanala, da bi v njeno središče postavili termočlen).
Tako je glavni značilnost metodoloških napak je dejstvo, da jih ni mogoče navesti v potnem listu instrumenta, ampak jih mora preizkusiti sam pri organizaciji izbrane merilne tehnike, zato mora jasno razlikovati med izmerjeno njihova vrednost od meriti.
Napaka pri branju prihaja iz premalo natančnega odčitka. To je posledica subjektivnih značilnosti opazovalca (na primer interpolacijska napaka, tj. Netočno štetje delitvenih frakcij na merilni skali) in vrsta bralne naprave (na primer napaka paralaksa). Napake pri branju pri uporabi digitalnih merilnih instrumentov niso prisotne, kar je eden od razlogov za obetavno naravo slednjih.
Napaka namestitve povzročena z odstopanjem merilnih pogojev od normalnih, tj. pogoje, pod katerimi se je izvajala kalibracija in verifikacija merilnih instrumentov. Sem spada na primer napaka zaradi nepravilne namestitve naprave v vesolje ali kazalca na ničlo, spremembe temperature, napajalne napetosti in drugih vplivnih količin.
Upoštevane vrste napak so enako primerne za označevanje natančnosti tako posameznih rezultatov meritev kot merilnih instrumentov.

4.3. Sistematične, progresivne, naključne in velike napake

Sistematična merilna napaka Dс - komponenta merilne napake, ki ostane konstantna ali se redno spreminja pri ponavljajočih se meritvah iste vrednosti.
Razloge za pojav sistematičnih napak je običajno mogoče ugotoviti med pripravo in izvajanjem meritev. Ti razlogi so zelo raznoliki: nepopolnost uporabljenih merilnih instrumentov in metod, nepravilna namestitev merilnega instrumenta, vpliv zunanji dejavniki (vplivanje na količine) na parametre merilnih instrumentov in na sam predmet merjenja, pomanjkljivosti merilne metode (metodološke napake), posamezne značilnosti operater (subjektivne napake) itd. Po naravi manifestacije se sistematične napake delijo na konstantne in spremenljive. Med konstante spadajo na primer napake, ki nastanejo zaradi nepravilne nastavitve vrednosti mere, napačne kalibracije merilne skale, nepravilne namestitve instrumenta glede na smer magnetnih polj itd. Spremenljive sistematične napake so posledica vpliva na postopek merjenja vplivanja na količine in lahko nastanejo, na primer, ko se spremeni napetost napajalnika naprave, zunanja magnetna polja, frekvenca izmerjene izmenične napetosti itd. Značilnost sistematičnih napak je, da je njihova odvisnost od vplivnih količin v skladu z določenim zakonom. Ta zakon je mogoče preučiti in rezultat meritev izboljšati s spremembami, če so določene numerične vrednosti teh napak. Drug način za zmanjšanje vpliva sistematičnih napak je uporaba takih merilnih metod, ki omogočajo izključitev vpliva sistematičnih napak brez določanja njihovih vrednosti (na primer nadomestna metoda).
Rezultat meritve je bližje resnični vrednosti izmerjene vrednosti, manjše so preostale neobjavljene sistemske napake. Prisotnost izključenih sistematičnih napak določa pravilnost meritev in kakovost, ki odraža bližino sistematičnih napak nič. Rezultat merjenja bo tako pravilen, saj ga ne bodo izkrivljale sistematične napake in bolj ko so pravilne, manjše so te napake.
Napredek (ali premik) so nepredvidljive napake, ki se sčasoma počasi spreminjajo. Te napake praviloma povzročajo procesi staranja določenih delov opreme (praznjenje napajalnikov, staranje uporov, kondenzatorjev, deformacija mehanskih delov, krčenje papirnega traku v snemalnikih itd.). Značilnost progresivnih napak je, da jih je mogoče popraviti z uvedbo popravka le v določenem trenutku in nato znova nepredvidljivo povečati. Zato v nasprotju s sistematičnimi napakami, ki jih je mogoče popraviti s popravkom, ki ga najdemo enkrat za celotno življenjsko dobo naprave, progresivne napake zahtevajo nenehno ponavljanje popravka in pogosteje, manjša mora biti njihova preostala vrednost. Druga značilnost progresivnih napak je, da je njihova časovna sprememba nestacionarni naključni proces, zato jih je mogoče v okviru dobro razvite teorije stacionarnih naključnih procesov opisati le s pridržki.
Naključna merilna napaka - komponenta merilne napake, ki se med naključnimi meritvami enake količine naključno spremeni. Nemogoče je določiti pomen in znak naključnih napak, zaradi svoje kaotične spremembe zaradi hkratnega vpliva različnih dejavnikov, neodvisnih med seboj na rezultat merjenja, se ne podrejajo neposrednemu računovodstvu. Naključne napake med več meritvami iste količine (posamezne meritve v tem primeru imenujemo opazovanje) zaznajo isti merilni instrumenti pod enakimi pogoji istega opazovalca, tj. z enako natančnimi (enako razpršenimi) meritvami. Vpliv naključnih napak na rezultat merjenja upoštevajo metode matematične statistike in teorija verjetnosti.
Bruto merilne napake -naključne merilne napake, ki znatno presegajo napake, pričakovane v danih pogojih.
Bruto napake (napake) običajno nastanejo zaradi napačnega odčitavanja na instrumentu, napake pri snemanju opazovanj, prisotnosti zelo vplivne količine, okvare merilnih instrumentov in drugih razlogov. Rezultati meritev, ki vsebujejo grobe napake, se praviloma ne upoštevajo, zato bruto napake malo vplivajo na natančnost merjenja. Odkrivanje zgrešenega ni vedno enostavno, še posebej z eno meritvijo; pogosto je težko ločiti bruto napako od velike naključne napake. Če so skupne napake pogoste, bomo postavili pod vprašaj vse rezultate meritev. Zato velike napake vplivajo na veljavnost meritev.
Za zaključek opisane delitve napak srednjih vrednosti in rezultatov meritev na naključne, progresivne in sistematične komponente je treba biti pozoren na dejstvo, da je takšna delitev zelo poenostavljena metoda njihove analize. Zato si morate vedno zapomniti, da se v resnici te komponente napake kažejo skupaj in tvorijo en nestacionarni naključni postopek. V tem primeru lahko napako v rezultatu meritve predstavimo kot vsoto naključnih in sistematičnih napak Dс: D \u003d Dс +. Merilna napaka vključuje naključno komponento, zato jo je treba upoštevati naključna spremenljivka.
Upoštevanje narave manifestacije merilnih napak nam pokaže, da edini pravilen način ocene napak dajeta teorija verjetnosti in matematična statistika.

4.4. Verjetnostni pristop k opisu napak

Zakoni porazdelitve naključnih napak. Naključne napake se zaznajo, ko se izvede niz meritev iste količine. Rezultati meritev v tem primeru praviloma ne sovpadajo med seboj, saj zaradi skupnega učinka številnih različnih dejavnikov, ki jih ni mogoče upoštevati, vsaka nova meritev daje tudi novo naključno vrednost izmerjene vrednosti. S pravilnimi meritvami, zadostnim številom le-teh in odpravo sistematičnih napak in napak, lahko trdimo, da resnična vrednost izmerjene količine ne presega vrednosti, dobljenih med temi meritvami. Ostaja neznan, dokler ni določena teoretična verjetna vrednost naključne napake.
Naj se izmeri količina A p krat in opazovali vrednosti a1, a2, a3, ... in jaz, ..., an. Naključna absolutna napaka posamezne meritve je določena z razliko
Di \u003d ai - A. (4.1)
Rezultati posameznih meritev so grafično prikazani na sl. 4.2.
Z dovolj veliko število p iste napake, če imajo številne ločene vrednosti, se ponovijo in zato je mogoče nastaviti relativno frekvenco (frekvenco) njihovega pojavljanja, tj. razmerje med številom prejetih enakih podatkov mi do skupaj opravljene meritve p. Nadaljevanje meritev IN ta frekvenca se ne bo spremenila, zato lahko štejemo za verjetnost napake pri teh meritvah: str(Ai) = mi / n.

Imenuje se statistična odvisnost verjetnosti pojava naključnih napak od njihove vrednosti zakon razdeljevanja napak oz zakon o porazdelitvi verjetnosti... Ta zakon določa naravo videza različne rezultate posamezne meritve. Obstajata dve vrsti opisa zakonov o distribuciji: integralno in diferencial.
Celovito pravo, ali funkcija porazdelitve verjetnostiF (D ) naključna napaka Di vi-tiizkušnja, se imenuje funkcija, katere vrednost za vsak D je verjetnost dogodka R (D), ki je sestavljena iz tega, da naključna napaka Di zavzame vrednosti, manjše od določene vrednosti D, t.j. funkcijo F (D ) \u003d P [Di < D ]. Ko se D spremeni iz - ¥ v + ¥, ta funkcija sprejme vrednosti od 0 do 1 in se ne zmanjšuje. Obstaja za vse naključne spremenljivke, tako diskretne kot neprekinjene (slika 4.3 a).
Če F (D) simetrično glede točke IN, ustrezna verjetnost 0,5, potem bo porazdelitev rezultatov opazovanja simetrična glede na pravo vrednost IN. V tem primeru je priporočljivo F (D)premik vzdolž abscise za vrednost DA, tj. odpraviti sistematično komponento napake (DА \u003dDC) in dobimo funkcijo porazdelitve naključne komponente napake D \u003d (Slika 4.3 b). Funkcija porazdelitve verjetnosti napak D se razlikuje od funkcije porazdelitve verjetnosti naključne komponente napake le po premiku vzdolž osi abscise za vrednost sistematične komponente napake Dc.
Diferencialno pravo verjetnostne porazdelitveza naključne napake z neprekinjeno in diferencirano funkcijo porazdelitve F (D) pokličite funkcijo ... Ta odvisnost je gostota porazdelitve verjetnosti. Graf verjetnostne gostote ima lahko drugačne oblike odvisno od zakona porazdelitve napak. Za F (D)prikazano na sl. 4,3 b, krivulja porazdelitve f (D)ima obliko, ki je blizu obliki zvona (slika 4.3 c).
Verjetnost pojava naključnih napak je določena s površino, omejeno s krivuljo f (D)ali njen del in absciso (slika 4.3 c). Odvisno od upoštevanega intervala napake .

Vrednost f (D)dD je element verjetnosti, enak površini pravokotnika z osnovo dD inabscisi D1,D2,imenovane kvantile. Ker F (+¥)= 1, potem enakost ,
tiste. območje pod krivuljo f (D) po pravilu racioniranja je enak ena in odraža verjetnost vseh možnih dogodkov.
V praksi električne meritve eden najpogostejših zakonov porazdelitve naključnih napak je normalno pravo (Gauss).
Matematični izraz za običajni zakon je
,
Kje f (D) je gostota verjetnosti naključne napake D \u003d ajaz -A; s je standardni odklon. Standardni odmik lahko izrazimo z naključnimi odstopanji rezultatov opazovanja Di (glej formulo (4.1)):
.
Narava krivulj, opisanih s to enačbo za dve vrednosti s, je prikazana na sliki. 4.4. Iz teh krivulj je razvidno, da manjše kot so s, pogosteje se pojavljajo majhne naključne napake, t.j. bolj natančne so meritve. V praksi meritev obstajajo tudi drugi zakoni o distribuciji, ki jih je mogoče določiti na podlagi statistične obdelave

eksperimentalni podatki. Nekateri najpogostejši zakoni o distribuciji so podani v GOST 8.011-84 "Kazalniki natančnosti meritev in predstavitev rezultatov meritev."
Glavne značilnosti distribucijskih zakonov so pričakovana vrednostin disperzija.
Matematično pričakovanje naključne spremenljivke - to je njegov pomen, okoli katerega so razvrščeni rezultati posameznih opazovanj. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke M [X] je opredeljena kot vsota zmnožkov vseh možne vrednosti naključna spremenljivka z verjetnostjo teh vrednosti .
Za zvezne naključne spremenljivke se je treba zateči k integraciji, za katero je treba poznati odvisnost verjetnostne gostote od x, tj. f (x),kje x \u003dD. Potem .
Ta izraz pomeni, da je matematično pričakovanje enako vsoti neskončno velikega števila zmnožkov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke x na neskončno majhna območja f (x)dx, Kje f (x) -ordinate za vsako x, a dx -osnovni odseki osi abscise.
Če obstaja običajna porazdelitev naključnih napak, je matematično pričakovanje naključne napake nič (slika 4.4). Če upoštevamo normalno porazdelitev rezultatov, bo matematično pričakovanje ustrezalo resnični vrednosti izmerjene veličine, ki jo označujemo z A.
V tem primeru je sistematična napaka odstopanje matematično pričakovanje rezultati opazovanja iz prave vrednosti INizmerjena vrednost: DC \u003d M [X] -A, naključna napaka pa je razlika med rezultatom posameznega opazovanja in matematičnim pričakovanjem: .
Variacija številnih opazovanj označuje stopnjo razpršenosti (razpršenosti) rezultatov posameznih opazovanj okoli matematičnega pričakovanja:
D [X] \u003dDx \u003dM [(ai -mx) 2].
Manjša kot je varianca, manjši je razpršenost posameznih rezultatov, bolj natančne so meritve. Vendar je varianca izražena v kvadratnih enotah. Zato se kot značilnost natančnosti niza opazovanj najpogosteje uporablja standardni odklon (RMSD), ki je enak kvadratnemu korenu variance: .
Upoštevana normalna porazdelitev naključnih spremenljivk, vključno z naključnimi napakami, je teoretična, zato je treba opisano normalno porazdelitev šteti za "idealno", to je kot teoretična osnova preučiti naključne napake in njihov vpliv na rezultat merjenja.
Sledijo načini uporabe te porazdelitve v praksi z različnimi stopnjami približevanja. Upošteva se tudi druga porazdelitev (Studentova porazdelitev), ki se uporablja za majhno število opazovanj.
Ocene napak pri rezultatih neposrednih meritev.Naj se drži p neposredne meritve enake količine. Na splošno bo napaka pri vsakem merilnem aktu drugačna:
Di \u003dai -A,
kjer je Di napaka i-te meritve; ai - rezultat i-te meritve.
Ker je resnična vrednost izmerjene količine A ni znano, naključne absolutne napake ni mogoče izračunati neposredno. V praktičnih izračunih namesto A uporabite njegovo oceno. Običajno se domneva, da je resnična vrednost aritmetična sredina serije meritev:
. (4.2)
Kje injaz -rezultati posameznih meritev; p - število meritev.
Zdaj lahko podobno kot v izrazu (4.1) določite odstopanje rezultata vsake meritve od povprečne vrednosti :
(4.3)
Kje v jaz - odstopanje rezultata ene same meritve od povprečne vrednosti. Ne smemo pozabiti, da je vsota odstopanj merilnega rezultata od srednje vrednosti enaka nič, vsota njihovih kvadratov pa je minimalna, tj.
in min.
Te lastnosti se uporabljajo pri obdelavi rezultatov meritev za nadzor pravilnosti izračunov.
Nato ocena vrednosti korenska srednja kvadratna napaka za določeno serijo meritev

. (4.4)
Po teoriji verjetnosti je za dovolj veliko število meritev z neodvisnimi naključnimi napakami ocenjena S verjetnost konvergira k s. Tako

. (4.5)
Zaradi dejstva, da je aritmetična sredina je tudi naključna spremenljivka, koncept povprečja kvadratni odklon aritmetična sredina. Ta vrednost bo označena s simbolom sср. Dokaže se lahko, da gre za neodvisne napake
. (4.6)
Vrednost Sav označuje stopnjo razpršenosti . Kot je navedeno zgoraj, deluje kot ocena resnične vrednosti izmerjene količine, tj. je končni rezultat opravljenih meritev. Zato se sav imenuje tudi povprečna napaka rezultata merjenja.
V praksi se vrednost s, izračunana s formulo (4.5), uporablja, če je treba opredeliti natančnost uporabljene merilne metode: če je metoda natančna, je razpršenost rezultatov posameznih meritev majhna, tj. malo s vrednosti . Vrednost sср , izračunano s (4.6) se uporablja za označevanje natančnosti merilnega rezultata določene količine, tj. rezultat, pridobljen z matematično obdelavo rezultatov številnih ločenih neposrednih meritev.
Pri vrednotenju rezultatov meritev se včasih uporablja koncept največ ali največja dovoljena napaka, katerih vrednost je določena v frakcijah s ali S. Trenutno obstajajo različna merila za določitev največje napake, to je meje tolerančnega polja ± D, v katera se morajo naključne napake prilegati. Še vedno je splošno sprejeto, da se določi največja napaka D \u003d 3s (ali 3 S). IN v zadnjem času na podlagi informacijske teorije meritev profesor P. V. Novitsky priporoča uporabo vrednosti D \u003d 2s.
Zdaj predstavljamo pomembne koncepte stopnja zaupanjain interval zaupanja. Kot je navedeno zgoraj, aritmetična sredina , dobljena kot rezultat številnih meritev, je ocena resnične vrednosti INin se praviloma z njo ne ujema, ampak se razlikuje po vrednosti napake. Naj bo Rd obstaja možnost, da se razlikuje od IN za največ D, tj. R (-D< IN< + D) \u003d Рд... Verjetnost Rd poklical stopnja zaupanja, in območje vrednosti izmerjene vrednosti od - D do + D - interval zaupanja.
Zgornje neenakosti pomenijo, da z verjetnostjo Rdinterval zaupanja od - D do + D vsebuje pravi pomen IN... Za popolno karakterizacijo naključne napake moramo torej imeti dve številki - verjetnost zaupanja in ustrezen interval zaupanja. Če je zakon verjetnostne porazdelitve napak znan, potem lahko določimo interval zaupanja za določeno stopnjo zaupanja. Zlasti pri dovolj velikem številu meritev je pogosto upravičena uporaba običajnega zakona, medtem ko je pri majhnem številu meritev (Str< 20), katerih rezultati spadajo v normalno porazdelitev, je treba uporabiti Študentovo porazdelitev. Ta porazdelitev ima gostoto verjetnosti, ki praktično sovpada z običajno širino p, vendar se bistveno razlikuje od običajnega pri majhnih p.
Tabela 4.1 prikazuje tako imenovane kvantile študentove porazdelitve ½ t (n)½ Rd za število meritev p \u003d 2 - 20 in stopnje zaupanja R = 0,5 - 0,999.
Vendar poudarjamo, da običajno študentske razporeditvene tabele niso podane za vrednosti p in RD, in za vrednote m \u003dn-1in a \u003d 1 - Рд,kaj je treba upoštevati pri njihovi uporabi. Za določitev intervala zaupanja potrebujete podatke p in Rd najdi kvantil ½ t (n)½Pd in \u200b\u200bizračunajte vrednosti An = - sср× ½ t (n)DiRdi Av = + sср× ½ t (n)½Рд, ki bo nižja in zgornje meje interval zaupanja.

Po iskanju intervalov zaupanja za določeno verjetnost zaupanja po zgornji metodologiji se rezultat merjenja zabeleži v obrazec ; D \u003dDн¸ Dv; Rd,
Kje - ocena resnične vrednosti merilnega rezultata v enotah izmerjene vrednosti; D - merilna napaka; Dv \u003d + sср× ½ t (n)½Рд in Dн \u003d - sср× ½ t (n)½Рд - zgornja in spodnja meja merilne napake; Рд - verjetnost zaupanja.

Preglednica 4.1

	Vrednosti kvantilov Studentove t (n) porazdelitve na ravni zaupanja verjetnosti Rd

Ocena napak pri rezultatih posrednih meritev.Pri posrednih meritvah želena vrednost IN funkcionalno povezani z eno ali več neposredno izmerjenimi količinami: x,y,..., t. Razmislimo o najpreprostejšem primeru določitve napake za eno spremenljivko, ko A= F(x). Označevanje absolutne napake merjenja vrednosti x skozi ± Dx, dobimo A +D A\u003d F (x ±D x).
Če razširimo desno stran te enakosti v Taylorjevi vrsti in zanemarimo razširitvene izraze, ki vsebujejo Dx, na stopnjo, večjo od prve, dobimo
A + DA "F (x) ± Dx ali DA" ± Dx.
Relativna merilna napaka funkcije se določi iz izraza
.
Če je izmerjena vrednost IN je funkcija več spremenljivk: A \u003dF (x,y, ...,t), nato absolutna napaka rezultata posrednih meritev
.
Delne relativne napake posrednih meritev določajo formule ; itd. Relativna napaka merilnega rezultata
.
Zadržimo se tudi na značilnostih vrednotenja rezultata posredne meritve ob naključni napaki.
Za oceno naključne napake rezultatov posrednih meritev količine IN domnevali bomo, da so sistematične napake meritev količin x, y,…, t so izključene, naključne merilne napake enakih količin pa niso odvisne druga od druge.
Pri posrednih meritvah vrednost izmerjene količine najdemo s formulo ,
kjer - povprečne ali tehtane povprečne vrednosti količin x, y,…, t.
Za izračun standardnega odklona izmerjene vrednosti IN priporočljivo je uporabiti standardna odstopanja, pridobljena z meritvami x, y,…, t.
IN splošni pogled za določitev standardnega odklona posredne meritve se uporablja naslednja formula:
, (4.7)
Kje Dx;Dy; ...;Dt - tako imenovane delne napake posrednih meritev ; ; …; ; ; ; … ; — delni izvedeni finančni instrumenti IN avtor x, y, ..., t;sx; sy, ...,st, ... - standardni odmiki rezultatov meritev x, y,…, t.
Upoštevajmo nekaj posebnih primerov uporabe enačbe (4.7), ko je funkcionalna odvisnost med posredno in neposredno izmerjenimi veličinami izražena s formulo A \u003dk× xa× yb× zg, Kje k -numerični koeficient (brez dimenzije).
V tem primeru ima formula (4.7) naslednjo obliko:
.
Če a \u003db \u003dg \u003d 1in A \u003dk× x× y× z, potem je formula za relativno napako poenostavljena na obliko .
To formulo lahko na primer uporabimo za izračun standardnega odklona meritve prostornine od višine, širine in globine pravokotnega paralelepipednega rezervoarja.

4.5. Pravila seštevanja naključnih in sistematičnih napak
Napaka kompleksnih merilnih instrumentov je odvisna od napak posameznih enot (blokov). Napake so povzete v skladu z določenimi pravili.
Naj bo na primer merilna naprava sestavljena iz m blokov, od katerih ima vsak naključne napake, neodvisne druga od druge. V tem primeru so absolutne vrednosti efektivne vrednosti sk ali največje Mknapake vsakega bloka.
Aritmetični seštevek ali daje največjo napako naprave, ki ima zanemarljivo verjetnost in se zato redko uporablja za oceno natančnosti naprave kot celote. Po teoriji napak nastala napaka ssec in Mrez se določi z dodajanjem po kvadratnem zakonu ali .
Nastala relativna napaka merjenja se določi podobno: . (4.8)
Z enačbo (4.8) lahko določimo dopustne napake posameznih blokov naprav v razvoju z dano skupno merilno napako. Pri načrtovanju naprave imajo navadno enake napake za posamezne bloke, ki so vanj vključeni. Če obstaja več virov napak, da končni rezultat meritve vplivajo različno (ali je naprava sestavljena iz več blokov z različnimi napakami), je treba v formulo vnesti utežne koeficiente (4.8) ki :
, (4.9)
kjer so d1, d2, ..., dm - relativne napake posameznih vozlišč (blokov) merilne naprave; k1,k2,…,km - koeficienti, ki upoštevajo stopnjo vpliva naključne napake danega bloka na rezultat merjenja.
Če imajo tudi merilne naprave (ali njihove enote) sistematične napake, se skupna napaka določi glede na njihovo vsoto: Enak pristop velja za več sestavnih delov.
Pri ocenjevanju učinka delnih napak je treba upoštevati, da je natančnost merjenja odvisna predvsem od napak, ki so v absolutni vrednosti velike, nekatere najmanjše napake pa je sploh mogoče prezreti. Delna napaka je ocenjena na podlagi t.i. merilo zanemarljive napake,kar je naslednje. Predpostavimo, da je skupna napaka dres določena s formulo (4.8) ob upoštevanju vseh m delne napake, med katerimi ima nekaj napak di majhno vrednost. Če se skupna napaka d ¢ res, izračunana brez upoštevanja napake di, razlikuje od dres za največ 5%, tj. drez-d ¢ rez< 0,05×dрез или 0,95×dрез V praksi tehničnih izračunov se pogosto uporablja manj strogo merilo - v te formule se vnese koeficient 0,4.

4.6. Oblike predstavitve merilnih rezultatov

Rezultat meritve je dragocen le, kadar je mogoče oceniti njegov interval negotovosti, tj. stopnja zanesljivosti. Rezultat meritve mora zato vsebovati vrednost izmerjene količine in značilnosti natančnosti te vrednosti, ki so sistematične in naključne napake. Kvantitativni kazalniki napak, načini njihovega izražanja in oblike predstavitve merilnih rezultatov ureja GOST 8.011-72 "Kazalniki natančnosti meritev in predstavitev rezultatov meritev." Oglejmo si glavne oblike predstavitve rezultatov meritev.
Napaka v rezultatu neposredne posamezne meritve je odvisna od številnih dejavnikov, predvsem pa jo določa napaka uporabljenih merilnih instrumentov. Zato lahko v prvem približku vzamemo napako merilnega rezultata
napaka, za katero je na določeni točki merilnega območja značilen uporabljeni merilni instrument.
Napake merilnih instrumentov se razlikujejo glede na merilno območje. Zato je treba v vsakem primeru za vsako meritev izračunati napako merilnega rezultata z uporabo formul (3.19) - (3.21) za normalizacijo napake ustreznega merilnega instrumenta. Izračunati je treba tako absolutno kot relativno napako merilnega rezultata, saj je prva potrebna za zaokrožitev rezultata in njegovo pravilno beleženje, druga pa za nedvoumno primerjalno značilnost njegove natančnosti.
Za različne značilnosti standardizacije napak SI so ti izračuni narejeni na različne načine, zato bomo upoštevali tri tipične primere.
1. Razred naprave je označen kot ena številka q, zaprta v krog. Potem je relativna napaka rezultata (v odstotkih) g \u003d q, in njegova absolutna napaka D x \u003dq× x /100.
2. Razred naprave je označen z eno številko str (brez kroga). Nato absolutna napaka merilnega rezultata D x \u003dstr× xk /100, kjer xk - meja merjenja, pri kateri je bila opravljena, in relativna merilna napaka (v odstotkih) se določi s formulo ,
to je v tem primeru pri merjenju poleg odčitavanja izmerjene vrednosti x določena mora biti tudi mejna vrednost xk, v nasprotnem primeru napake rezultata kasneje ni mogoče izračunati.
3. Razred naprave je v obliki označen z dvema številkama c / d... V tem primeru je primerneje izračunati relativno napako d rezultat s formulo (3.21) in šele nato poiščite absolutno napako kot Dx \u003dd× x / 100.
Po izračunu napak se ena od oblik predstavitve merilnega rezultata uporabi v naslednji obliki: x;± D in dkje x- izmerjena vrednost; D - absolutna merilna napaka; d - relativna merilna napaka. Na primer, vnese se naslednji vnos: »Meritev je bila izvedena z relativno napako d \u003d…%. Izmerjena vrednost x \u003d (A± D) kje IN - rezultat merjenja ".
Jasneje pa je v obliki navesti meje intervala negotovosti izmerjene količine: x \u003d (A-D)¸(A +D) ali (A-D)< х < (A +D)z navedbo merskih enot.
Druga oblika predstavitve merilnega rezultata je določena na naslednji način: x; Diz Dнprej Dv; R,kje x- rezultat meritve v enotah izmerjene vrednosti; D,Dн,Dv- napaka merjenja z njeno spodnjo in zgornjo mejo v istih enotah; R - verjetnost, s katero je merilna napaka znotraj teh meja.
GOST 8.011-72 omogoča tudi druge oblike predstavitve merilnih rezultatov, ki se od zgornjih obrazcev razlikujejo po tem, da ločeno navajajo značilnosti sistematičnih in naključnih komponent merilne napake. V tem primeru za sistematično napako navedite njene verjetnostne značilnosti. V tem primeru so glavne značilnosti sistematične napake matematično pričakovanje M [ Dxc], standardni odklon s [ Dxc] in njegov interval zaupanja. Ločitev sistematičnih in naključnih komponent napake je priporočljiva, če se bo rezultat merjenja uporabil za nadaljnjo obdelavo podatkov, na primer pri določanju rezultata posrednih meritev in oceni njegove natančnosti, pri seštevanju napak itd.

Kakršna koli oblika predstavitve merilnega rezultata, predvidena z GOST 8.011-72, mora vsebovati potrebne podatke, na podlagi katerih je mogoče določiti interval zaupanja za napako merilnega rezultata. V splošnem primeru je interval zaupanja mogoče določiti, če sta znana oblika zakona o porazdelitvi napak in glavne številčne značilnosti tega zakona.

V našem stoletju je človek izumil in uporablja ogromno različnih vrst merilnih instrumentov. A ne glede na to, kako popolna je tehnologija njihove izdelave, imajo vsi večjo ali manjšo napako. Ta parameter je praviloma prikazan na samem instrumentu in za oceno natančnosti določene vrednosti morate biti sposobni razumeti, kaj pomenijo številke, označene na oznaki. Poleg tega pri kompleksnih matematičnih izračunih neizogibno nastanejo relativne in absolutne napake. Veliko se uporablja v statistiki, industriji (nadzor kakovosti) in na številnih drugih področjih. Kako se izračuna ta vrednost in kako razlagati njeno vrednost - ravno o tem bomo razpravljali v tem članku.

Absolutna napaka

Označimo z x približno vrednost katere koli količine, dobljene na primer z eno samo meritvijo, in z x 0 - njeno natančno vrednost. Zdaj izračunajmo modul razlike med tema dvema številkama. Absolutna napaka je natančno vrednost, ki smo jo dobili s to preprosto operacijo. V smislu formul lahko to opredelitev zapišemo na naslednji način: Δ x \u003d | x - x 0 |.

Relativna napaka

Absolutno odstopanje ima eno pomembno pomanjkljivost - ne omogoča ocene stopnje pomembnosti napake. Na primer na trgu kupimo 5 kg krompirja, brezvestnega prodajalca pa so pri merjenju teže zmotili za 50 gramov v njegovo korist. To pomeni, da je bila absolutna napaka 50 gramov. Za nas bo takšen nadzor zgolj malenkost in nanj niti ne bomo pozorni. Predstavljajte si, kaj bi se zgodilo, če bi prišlo do podobne napake med pripravo zdravila? Tu bo vse veliko bolj resno. In pri nalaganju tovornega vagona se bodo verjetno zgodila odstopanja veliko večja od te vrednosti. Zato absolutna napaka sama po sebi ni preveč informativna. Poleg tega se zelo pogosto dodatno izračuna tudi relativno odstopanje, ki je enako razmerju med absolutno napako in natančno vrednostjo števila. To je zapisano z naslednjo formulo: δ \u003d Δ x / x 0.

Lastnosti napak

Recimo, da imamo dve neodvisni količini: x in y. Izračunati moramo odstopanje približne vrednosti njihove vsote. V tem primeru lahko izračunamo absolutno napako kot vsoto predhodno izračunanih absolutnih odstopanj vsakega od njih. Pri nekaterih meritvah se lahko zgodi, da se napake pri določanju vrednosti x in y medsebojno kompenzirajo. Lahko pa se zgodi, da bodo zaradi dodajanja odstopanja največja. Zato je treba pri izračunu skupne absolutne napake upoštevati najslabši primer. Enako velja za razliko napak več vrednosti. Ta lastnost je značilna samo za absolutno napako in je ni mogoče uporabiti za relativno odstopanje, saj bo to neizogibno privedlo do napačnega rezultata. Razmislimo o tej situaciji z naslednjim primerom.

Recimo, da meritve znotraj valja kažejo, da je notranji polmer (R 1) 97 mm, zunanji polmer (R 2) pa 100 mm. Določiti je treba debelino njegove stene. Najprej poiščite razliko: h \u003d R 2 - R 1 \u003d 3 mm. Če težava ne kaže, čemu je enaka absolutna napaka, se vzame kot polovica delitve skale merilne naprave. Tako je Δ (R2) \u003d Δ (R1) \u003d 0,5 mm. Skupna absolutna napaka je: Δ (h) \u003d Δ (R 2) + Δ (R 1) \u003d 1 mm. Zdaj izračunajmo relativno odstopanje vseh vrednosti:

δ (R1) \u003d 0,5 / 100 \u003d 0,005,

δ (R1) \u003d 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ (h) \u003d Δ (h) / h \u003d 1/3 ≈ 0,3333 \u003e\u003e δ (R 1).

Kot lahko vidite, napaka pri merjenju obeh polmerov ne presega 5,2%, napaka pri izračunu njihove razlike - debeline stene valja - pa je bila kar 33, (3)%!

Naslednja lastnost navaja: relativno odstopanje zmnožka več števil je približno enako vsoti relativnih odstopanj posameznih faktorjev:

δ (xy) ≈ δ (x) + δ (y).

Poleg tega to pravilo velja ne glede na število ocenjenih vrednosti. Tretja in zadnja lastnost relativne napake je, da je relativna ocena k-ta stopnje približno v | k | kratnik relativne napake prvotne številke.