Faktoriziranje polinomov je identitetna transformacija, zaradi katere se polinom pretvori v produkt več faktorjev – polinomov ali monomov.
Polinome lahko faktoriziramo na več načinov.
Metoda 1. Izvzem skupnega faktorja iz oklepajev.
Ta transformacija temelji na distribucijskem zakonu množenja: ac + bc = c(a + b). Bistvo transformacije je izolirati skupni faktor v obeh obravnavanih komponentah in ga "vzeti" iz oklepajev.
Razložimo polinom 28x 3 – 35x 4.
rešitev.
1. Poiščite elementa 28x 3 in 35x 4 skupni delilnik. Za 28 in 35 bo 7; za x 3 in x 4 – x 3. Z drugimi besedami, naš skupni faktor je 7x 3.
2. Vsakega od elementov predstavimo kot produkt dejavnikov, od katerih eden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Skupni faktor vzamemo iz oklepaja
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Uporaba skrajšanih formul množenja. »Mojstrstvo« uporabe te metode je opaziti eno od skrajšanih formul množenja v izrazu.
Polinom faktorizirajmo x 6 – 1.
rešitev.
1. Za ta izraz lahko uporabimo formulo razlike kvadratov. Če želite to narediti, si predstavljajte x 6 kot (x 3) 2 in 1 kot 1 2, tj. 1. Izraz bo imel obliko:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Na dobljeni izraz lahko uporabimo formulo za vsoto in razliko kock:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Torej,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Združevanje. Metoda združevanja je kombiniranje komponent polinoma tako, da je z njimi enostavno izvajati operacije (seštevanje, odštevanje, odštevanje skupnega faktorja).
Polinom faktorizirajmo x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
rešitev.
1. Združimo komponente na ta način: 1. z 2. in 3. s 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. V dobljenem izrazu vzamemo skupne faktorje iz oklepaja: x 2 v prvem primeru in 5 v drugem.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Skupni faktor x – 3 vzamemo iz oklepaja in dobimo:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).
Torej,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).
Zavarujmo material.
Faktoriziraj polinom a 2 – 7ab + 12b 2 .
rešitev.
1. Predstavimo monom 7ab kot vsoto 3ab + 4ab. Izraz bo imel obliko:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Odprimo oklepaje in dobimo:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Združimo komponente polinoma takole: 1. z 2. in 3. s 4. Dobimo:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Vzemimo skupne dejavnike iz oklepajev:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Vzemimo skupni faktor (a – 3b) iz oklepaja:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Torej,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.
Ob množenju polinomov smo si zapomnili več formul, in sicer: formule za (a + b)², za (a – b)², za (a + b) (a – b), za (a + b)³ in za (a – b)³.
Če se izkaže, da dani polinom sovpada z eno od teh formul, ga bo mogoče faktorizirati. Na primer, polinom a² – 2ab + b², kot vemo, je enak (a – b)² [ali (a – b) · (a – b), tj. uspelo nam je faktorizirati a² – 2ab + b² na 2 faktorja ]; tudi
Poglejmo drugega od teh primerov. Vidimo, da se tukaj navedeni polinom ujema s formulo, dobljeno s kvadriranjem razlike dveh števil (kvadrat prvega števila, minus produkt dveh s prvim in drugim številom, plus kvadrat drugega števila): x 6 je kvadrat prvega števila in torej , samo prvo število je x 3, kvadrat drugega števila je zadnji člen danega polinoma, tj. 1, drugo število samo je torej tudi 1; zmnožek dveh s prvim številom in drugim je člen –2x 3, ker je 2x 3 = 2 x 3 1. Naš polinom smo torej dobili s kvadriranjem razlike števil x 3 in 1, tj. je enak (x 3 – 12 . Poglejmo še 4. primer. Vidimo, da lahko ta polinom a 2 b 2 – 25 obravnavamo kot razliko kvadratov dveh števil, in sicer je kvadrat prvega števila a 2 b 2, zato je samo prvo število ab, kvadrat števila drugo število je 25, zakaj je drugo število samo 5. Zato se lahko šteje, da je naš polinom dobljen z množenjem vsote dveh števil z njuno razliko, tj.
(ab + 5) (ab – 5).
Včasih se zgodi, da v določenem polinomu členi niso urejeni v vrstnem redu, kot smo ga navajeni npr.
9a 2 + b 2 + 6ab – v mislih lahko preuredimo drugi in tretji člen in takrat nam bo postalo jasno, da je naš trinom = (3a + b) 2.
... (miselno preuredimo prvi in drugi člen).
25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 itd.
Oglejmo si še en polinom
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Vidimo, da je njegov prvi člen kvadrat števila a, tretji člen pa kvadrat števila 2b, vendar drugi člen ni zmnožek dveh s prvim in drugim številom - tak produkt bi bil enak 2 a 2b = 4ab. Zato na ta polinom ni mogoče uporabiti formule za kvadrat vsote dveh števil. Če bi nekdo napisal, da je a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, potem bi bilo to napačno - treba je skrbno pretehtati vse člene polinoma, preden zanj uporabimo faktorizacijo s formulami.
40. Kombinacija obeh tehnik. Včasih morate pri faktoriziranju polinomov kombinirati tehniko jemanja skupnega faktorja iz oklepajev in tehniko uporabe formul. Tu so primeri:
1. 2a 3 – 2ab 2. Najprej vzamemo skupni faktor 2a iz oklepaja in dobimo 2a (a 2 – b 2). Faktor a 2 – b 2 pa se po formuli razgradi na faktorje (a + b) in (a – b).
Včasih morate tehniko razgradnje formule uporabiti večkrat:
1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)
Vidimo, da prvi faktor a 2 + b 2 ne ustreza nobeni od znanih formul; Še več, ob upoštevanju posebnih primerov deljenja (točka 37) bomo ugotovili, da a 2 + b 2 (vsota kvadratov dveh števil) sploh ni mogoče faktorizirati. Drugi izmed dobljenih faktorjev a 2 – b 2 (razlika na kvadrat dveh števil) se razgradi na faktorje (a + b) in (a – b). Torej,
41. Uporaba posebnih primerov delitve. Na podlagi 37. odstavka lahko takoj zapišemo, da je npr.
Na splošno ta naloga zahteva kreativen pristop, saj univerzalne metode za njeno rešitev ni. Toda poskusimo dati nekaj nasvetov.
V veliki večini primerov faktorizacija polinoma temelji na posledici Bezoutovega izreka, to je, da se najde ali izbere koren in stopnja polinoma zmanjša za ena z deljenjem z . Poiščemo koren dobljenega polinoma in postopek ponavljamo do popolne ekspanzije.
Če korena ni mogoče najti, se uporabijo posebne metode razširitve: od združevanja do uvajanja dodatnih medsebojno izključujočih izrazov.
Nadaljnja predstavitev temelji na veščinah reševanja enačb višjih stopenj s celimi koeficienti.
Oklepaj skupnega faktorja.
Začnimo z najpreprostejšim primerom, ko je prosti člen enak nič, to pomeni, da ima polinom obliko .
Očitno je koren takega polinoma , kar pomeni, da lahko polinom predstavimo v obliki .
Ta metoda ni nič drugega kot dajanje skupnega faktorja iz oklepaja.
Primer.
Deformirajte polinom tretje stopnje.
rešitev.
Očitno, kakšen je koren polinoma, tj X lahko vzamemo iz oklepaja:
Poiščimo korenine kvadratnega trinoma 
torej 
Vrh strani
Faktoriziranje polinoma z racionalnimi koreninami.
Najprej si oglejmo metodo za razširitev polinoma s celimi koeficienti oblike , pri čemer je koeficient najvišje stopnje enak ena.
V tem primeru, če ima polinom celoštevilske korenine, potem so delitelji prostega člena.
Primer.
rešitev.
Preverimo, ali so nedotaknjene korenine. Če želite to narediti, zapišite delitelje števila -18
: . To pomeni, da če ima polinom cele korenine, potem so te med zapisanimi številkami. Preverimo te številke zaporedno z uporabo Hornerjeve sheme. Njegova priročnost je tudi v tem, da na koncu dobimo koeficiente razširitve polinoma: 
to je x=2 in x=-3 so korenine prvotnega polinoma in jih lahko predstavimo kot produkt:
Ostane le še razgradnja kvadratni trinom.
Diskriminanta tega trinoma je negativna, zato nima pravih korenin.
odgovor:
komentar:
Namesto Hornerjeve sheme bi lahko uporabili izbiro korena in kasnejšo delitev polinoma s polinomom.
Zdaj razmislite o razširitvi polinoma s celimi koeficienti oblike , pri čemer koeficient najvišje stopnje ni enak eni.
V tem primeru ima lahko polinom delno racionalne korenine.
Primer.
Faktorizirajte izraz.
rešitev.
Z izvedbo spremembe spremenljivke y=2x, pojdimo na polinom s koeficientom enakim ena na najvišji stopnji. Če želite to narediti, izraz najprej pomnožite z 4
.
Če ima nastala funkcija celoštevilske korene, potem so med delitelji prostega člena. Zapišimo jih:
Zaporedoma izračunajmo vrednosti funkcije g(y) na teh točkah, dokler ni dosežena ničla. 
Kaj se je zgodilo faktorizacija? To je način, da neprijeten in zapleten primer spremenite v preprostega in lepega.) Zelo zelo močna poteza! Najdemo ga na vsakem koraku tako v osnovni kot višji matematiki.
Take transformacije v matematičnem jeziku imenujemo identične transformacije izrazov. Za tiste, ki se ne spoznate, si oglejte povezavo. Zelo malo je, preprosto in uporabno.) Pomen katerega koli transformacija identitete je posnetek izraza v drugi obliki hkrati pa ohranja svoje bistvo.
Pomen faktorizacija zelo preprosto in jasno. Že iz imena samega. Morda pozabite (ali ne veste), kaj je množitelj, vendar lahko ugotovite, da ta beseda izvira iz besede "pomnožiti"?) Faktoring pomeni: predstavljajo izraz v obliki množenja nečesa z nečim. Naj mi matematika in ruski jezik oprostita ...) To je vse.
Na primer, morate razširiti številko 12. Lahko varno napišete:
Tako smo število 12 predstavili kot množenje 3 s 4. Upoštevajte, da sta števili na desni (3 in 4) popolnoma drugačni kot na levi (1 in 2). Ampak popolnoma dobro razumemo, da 12 in 3 4 enako. Bistvo števila 12 iz transformacije se ni spremenilo.
Ali je mogoče 12 razstaviti drugače? Enostavno!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Možnosti razgradnje so neskončne.
Faktoring števil je uporabna stvar. Zelo pomaga na primer pri delu s koreninami. Toda faktoriziranje algebrskih izrazov ni le uporabno, ampak je potrebno! Samo za primer:
Poenostavite:
Tisti, ki ne znajo faktorizirati izraza, počivajo ob strani. Tisti, ki znate - poenostavite in dobite:
Učinek je neverjeten, kajne?) Mimogrede, rešitev je precej preprosta. Spodaj se boste prepričali sami. Ali na primer ta naloga:
Reši enačbo:
x 5 - x 4 = 0
Mimogrede, odloča se v mislih. Uporaba faktorizacije. Spodaj bomo rešili ta primer. odgovor: x 1 = 0; x 2 = 1.
Ali pa isto, samo za starejše):
Reši enačbo:
V teh primerih sem pokazal glavni namen faktorizacija: poenostavitev ulomkov in reševanje nekaterih vrst enačb. Tukaj je pravilo, ki si ga morate zapomniti:
Če imamo pred seboj strašljiv ulomek, lahko poskusimo faktorizirati števec in imenovalec. Zelo pogosto je ulomek zmanjšan in poenostavljen.
Če imamo pred seboj enačbo, kjer je na desni nič, na levi pa - ne razumem kaj, lahko poskusimo faktorizirati levo stran. Včasih pomaga).
Osnovne metode faktorizacije.
Tukaj so najbolj priljubljene metode:
4. Razširitev kvadratnega trinoma.
Te metode si je treba zapomniti. Točno v tem vrstnem redu. Kompleksni primeri so preverjeni za vse možne načine razgradnja. In bolje je, da preverite po vrstnem redu, da se ne zmedete ... Torej začnimo po vrstnem redu.)
1. Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja.
Enostavno in zanesljiv način. Nič slabega ne prihaja od njega! Zgodi se dobro ali pa sploh ne.) Zato je on na prvem mestu. Ugotovimo.
Vsi poznajo (verjamem!) pravilo:
a(b+c) = ab+ac
Ali več splošni pogled:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Vse enakosti delujejo od leve proti desni in obratno, od desne proti levi. Lahko napišete:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+oglas+.... = a(b+c+d+.....)
To je bistvo jemanja skupnega faktorja iz oklepajev.
Na levi strani A - skupni množitelj za vse termine. Pomnoženo z vsem, kar obstaja). Na desni je največ A se že nahaja zunaj oklepaja.
Praktična uporaba Oglejmo si metodo na primerih. Sprva je možnost preprosta, celo primitivna.) Toda pri tej možnosti bom opozoril ( zelena) Zelo pomembne točke za vsako faktorizacijo.
Faktoriziraj:
ah+9x
Katera splošno ali se množitelj pojavlja v obeh izrazih? X, seveda! Dali ga bomo iz oklepaja. Naredimo to. Izven oklepaja takoj zapišemo X:
ax+9x=x(
In v oklepajih zapišemo rezultat deljenja vsak izraz prav na tem X. Po vrstnem redu:
To je vse. Seveda ga ni treba tako podrobno opisovati, to se naredi v mislih. Vendar je priporočljivo razumeti, kaj je kaj). V spomin beležimo:
Skupni faktor zapišemo izven oklepaja. V oklepajih zapišemo rezultate deljenja vseh členov s tem skupnim faktorjem. Po vrstnem redu.
Tako smo izraz razširili ah+9x z množitelji. Spremenil v množenje x s (a+9). Opažam, da je bilo v izvirnem izrazu tudi množenje, celo dva: a·x in 9·x. Ampak to ni bil faktoriziran! Ker je ta izraz poleg množenja vseboval tudi seštevanje, znak “+”! In v izražanju x(a+9) Ni drugega kot množenje!
Kako to!? - slišim ogorčen glas ljudi - In v oklepaju!?)
Da, v oklepaju je dodatek. Toda trik je v tem, da jih upoštevamo, medtem ko oklepaji niso odprti kot ena črka. In vsa dejanja izvajamo v celoti z oklepaji, kot z eno črko. V tem smislu v izrazu x(a+9) Ničesar ni, razen množenja. To je bistvo faktorizacije.
Mimogrede, ali je mogoče nekako preveriti, ali smo vse naredili pravilno? Enostavno! Dovolj je, da tisto, kar ste dali ven (x), pomnožite z oklepaji in preverite, ali je delovalo original izražanje? Če deluje, je vse super!)
x(a+9)=ax+9x
Zgodilo se je.)
V tem primitivnem primeru ni težav. Če pa obstaja več izrazov in celo s različna znamenja... Skratka vsak tretji študent zamoči). Zato:
Če je treba, faktorizacijo preverimo z inverznim množenjem.
Faktoriziraj:
3ax+9x
Iščemo skupni dejavnik. No, z X je vse jasno, lahko ga vzamete ven. Ali obstaja več splošno dejavnik? ja! To je trojka. Izraz lahko zapišete takole:
3ax+3 3x
Tu je takoj jasno, da bo skupni faktor 3x. Tukaj ga vzamemo ven:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Razširiti.
Kaj se zgodi, če ga vzamete ven samo x? Nič posebnega:
3ax+9x=x(3a+9)
To bo tudi faktorizacija. Toda v tem fascinantnem procesu je običajno vse postaviti do meje, dokler obstaja priložnost. Tukaj v oklepaju je priložnost za trojko. Izkazalo se bo:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Ista stvar, le z enim dodatnim dejanjem.) Ne pozabite:
Ko jemljemo skupni faktor iz oklepaja, poskušamo vzeti ven maksimum skupni faktor.
Naj nadaljujemo z zabavo?)
Faktoriraj izraz:
3akh+9х-8а-24
Kaj bomo odnesli? Tri, X? Ne... Ne moreš. Opomnim vas, da lahko vzamete samo ven splošno multiplikator, tj v vsem pogoji izraza. Zato je on splošno. Pri nas tega množitelja ni ... Kaj, saj ga ni treba razširiti!? No, ja, tako smo bili veseli ... Spoznajte:
2. Združevanje.
Pravzaprav je težko poimenovati skupino na samostojen način faktorizacija. To je bolj način, da prideš ven zapleten primer.) Izraze moramo združiti v skupine, da bo vse delovalo. To je mogoče pokazati le z zgledom. Torej imamo izraz:
3akh+9х-8а-24
Vidi se, da obstaja nekaj običajnih črk in številk. ampak... Splošno v vseh pogojih ni množitelja. Ne izgubimo srca in razbiti izraz na koščke. Združevanje v skupine. Tako, da ima vsak kos skupni dejavnik, je nekaj za odvzeti. Kako ga zlomimo? Da, samo oklepaje smo postavili.
Naj vas spomnim, da lahko oklepaje postavite kjerkoli in kakor koli želite. Samo bistvo primera se ni spremenilo. To lahko na primer storite:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Prosimo, bodite pozorni na druge oklepaje! Pred njimi je znak minus in 8a in 24 postal pozitiven! Če za preverjanje odpremo oklepaje nazaj, se bodo znaki spremenili in dobili bomo original izražanje. Tisti. bistvo izraza iz oklepaja se ni spremenilo.
Če pa ste samo vstavili oklepaj, ne da bi upoštevali spremembo predznaka, na primer takole:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
to bi bila napaka. Na desni - že drugo izražanje. Odprite oklepaje in vse bo postalo vidno. Ni se vam treba več odločati, ja ...)
Toda vrnimo se k faktorizaciji. Poglejmo prve oklepaje (3ax+9x) in mislimo, ali lahko kaj vzamemo ven? No, ta zgornji primer smo rešili, lahko ga vzamemo 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Preučimo druge oklepaje, tam lahko dodamo osmico:
(8a+24)=8(a+3)
Naš celoten izraz bo:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktorizirano? št. Rezultat razgradnje naj bi bil samo množenje pri nas pa minus vse pokvari. Ampak ... Oba izraza imata skupni dejavnik! to (a+3). Nisem zaman rekel, da so celotni oklepaji tako rekoč ena črka. To pomeni, da je te oklepaje mogoče odstraniti iz oklepajev. Da, točno tako se sliši.)
Delamo, kot je opisano zgoraj. Zapišemo skupni faktor (a+3), v drugem oklepaju zapišemo rezultate deljenja členov z (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Vse! Na desni ni ničesar razen množenja! To pomeni, da je bila faktorizacija uspešno zaključena!) Tukaj je:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Naj na kratko ponovimo bistvo skupine.
Če izraz ne splošno množitelj za vsi izraz razbijemo v oklepaje, tako da je znotraj oklepajev skupni faktor je bil. Vzamemo ga ven in vidimo, kaj se zgodi. Če imate srečo in v oklepajih ostanejo povsem enaki izrazi, te oklepaje premaknemo iz oklepaja.
Dodal bom, da je združevanje ustvarjalni proces). Ne uspe vedno prvič. V redu je. Včasih morate zamenjati izraze in razmisliti o različnih možnostih združevanja, dokler ne najdete uspešnega. Glavna stvar tukaj je, da ne izgubite srca!)
Primeri.
Zdaj, ko ste se obogatili z znanjem, lahko rešite zapletene primere.) Na začetku lekcije so bili trije od teh ...
Poenostavite:
V bistvu smo ta primer že rešili. Ne da bi sami vedeli.) Opomnim vas: če nam je dan strašen ulomek, poskušamo faktorizirati števec in imenovalec. Druge možnosti poenostavitve preprosto ne.
No, imenovalec tukaj ni razširjen, ampak števec ... Števec smo med poukom že razširili! Všečkaj to:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Rezultat razširitve zapišemo v števec ulomka:
Po pravilu zmanjševanja ulomkov (glavna lastnost ulomka) lahko delimo (hkrati!) števec in imenovalec z istim številom oziroma izrazom. Delček tega ne spremeni. Torej delimo števec in imenovalec z izrazom (3x-8). In tu in tam jih bomo dobili. Končni rezultat poenostavitve:
Posebej želim poudariti: zmanjševanje ulomka je možno, če in samo, če v števcu in imenovalcu poleg množenja izrazov tam ni ničesar. Zato preoblikovanje vsote (razlike) v množenje tako pomembna za poenostavitev. Seveda, če izrazi drugačen, potem se ne bo nič zmanjšalo. Zgodilo se bo. Ampak faktorizacija daje priložnost. Te možnosti brez razgradnje preprosto ni.
Primer z enačbo:
Reši enačbo:
x 5 - x 4 = 0
Izločimo skupni faktor x 4 iz oklepaja. Dobimo:
x 4 (x-1)=0
Zavedamo se, da je produkt faktorjev enak nič takrat in samo takrat, ko je katera koli od njih nič. Če ste v dvomih, mi poiščite nekaj neničelnih števil, ki bodo pri množenju dala nič.) Tako pišemo, najprej prvi faktor:
Pri takšni enakosti nas drugi dejavnik ne zadeva. Vsak je lahko, a na koncu bo vseeno nula. Katero število na četrto potenco daje nič? Samo nič! In nobena druga... Zato:
Ugotovili smo prvi faktor in našli en koren. Poglejmo drugi dejavnik. Zdaj nas prvi faktor ne zanima več.):
Tukaj smo našli rešitev: x 1 = 0; x 2 = 1. Katera koli od teh korenin ustreza naši enačbi.
Zelo pomembna opomba. Upoštevajte, da smo rešili enačbo kos za kosom! Vsak faktor je bil enak nič, ne glede na druge dejavnike. Mimogrede, če v taki enačbi nista dva faktorja, kot je naša, ampak trije, pet, kolikor želite, bomo rešili podobno. Kos za kosom. Na primer:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Kdor odpre oklepaje in vse pomnoži, bo za vedno obstal na tej enačbi.) Pravilen učenec bo takoj videl, da na levi ni ničesar razen množenja, na desni pa nič. In začel bo (v mislih!) enačiti vse oklepaje v ničlo. In prejel bo (v 10 sekundah!) prava odločitev: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Kul, kajne?) Tako elegantna rešitev je možna, če je leva stran enačbe faktorizirano. Ste razumeli namig?)
No, še zadnji primer, za starejše):
Reši enačbo:
Nekoliko je podoben prejšnjemu, se vam ne zdi?) Seveda. Čas je, da se spomnimo, da se v algebri sedmega razreda pod črkami lahko skrivajo sinusi, logaritmi in še kaj! Faktoring deluje v celotni matematiki.
Izločimo skupni faktor lg 4 x iz oklepaja. Dobimo:
log 4 x=0
To je ena korenina. Poglejmo drugi dejavnik.
Tukaj je končni odgovor: x 1 = 1; x 2 = 10.
Upam, da ste spoznali moč faktoriziranja pri poenostavljanju ulomkov in reševanju enačb.)
V tej lekciji smo se učili o skupnem faktoriziranju in združevanju. Še vedno je treba razumeti formule za skrajšano množenje in kvadratni trinom.
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
