Zaključno delo v obliki enotnega državnega izpita za 11-šolce nujno vsebuje naloge za izračun mej, intervalov padajočega in naraščajočega izvoda funkcije, iskanje ekstremnih točk in gradnjo grafov. Dobro poznavanje te teme vam omogoča, da pravilno odgovorite na več izpitnih vprašanj in ne doživljate težav pri nadaljnjem strokovnem usposabljanju.
Osnove diferencialnega računa so ena glavnih tem matematike moderna šola... Preučuje uporabo izpeljanke za preučevanje odvisnosti spremenljivk – preko izpeljanke je mogoče analizirati povečanje in zmanjšanje funkcije brez sklicevanja na risbo.
Celovita priprava diplomantov za opraviti izpit na izobraževalni portal"Shkolkovo" vam bo pomagal poglobljeno razumeti načela diferenciacije - podrobno razumeti teorijo, preučiti primere reševanja tipičnih problemov in se preizkusiti v samostojnem delu. Pomagali vam bomo zapolniti vrzeli v znanju - razjasniti razumevanje leksikalnih konceptov teme in odvisnosti količin. Študentje bodo lahko ponovili, kako najti intervale monotonije, kar pomeni dvig ali padec izvoda funkcije na določenem odseku, ko so mejne točke vključene in niso vključene v najdene intervale.
Preden se lotite neposrednega reševanja tematskih problemov, priporočamo, da se najprej odpravite v razdelek »Teoretično referenco« in ponovite definicije pojmov, pravil in tabelarnih formul. Tukaj si lahko preberete tudi, kako najti in zabeležiti vsak interval naraščajočih in padajočih funkcij na grafu izpeljanke.
Vse ponujene informacije so predstavljene v najbolj dostopni obliki za razumevanje praktično "iz nič". Stran vsebuje materiale za zaznavanje in asimilacijo v več različne oblike- branje, ogled videa in neposredno usposabljanje pod vodstvom izkušenih učiteljev. Strokovni učitelji vam bodo podrobno povedali, kako poiskati intervale naraščanja in padanja izvoda funkcije z analitičnimi in grafično... Na spletnih seminarjih bo mogoče zastaviti katero koli vprašanje, ki vas zanima, tako v teoriji kot pri reševanju konkretnih problemov.
Ko se spomnite glavnih točk teme, si oglejte primere naraščajoče izpeljanke funkcije, podobno kot naloge izpitnih možnosti. Če želite utrditi naučeno, poglejte v "Katalog" - tukaj boste našli praktične vaje za samostojno delo. Naloge v rubriki so izbrane na različnih težavnostnih stopnjah, ob upoštevanju razvoja spretnosti. Za vsakega od njih na primer niso priloženi algoritmi odločanja in pravilni odgovori.
Z izbiro razdelka »Konstruktor« bodo študentje lahko vadili preučevanje povečanja in padanja izvoda funkcije na realnem različice izpita nenehno posodobljen z najnovejšimi spremembami in novostmi.
zelo pomembna informacija o obnašanju funkcije zagotavljajo intervale naraščanja in padanja. Njihovo iskanje je del procesa raziskovanja funkcij in risanja. Poleg tega so podane točke ekstrema, pri katerih pride do spremembe iz naraščajočega v padajoče ali od padajočega v naraščajoče. Posebna pozornost pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije na določenem intervalu.
V tem članku bomo podali potrebne definicije, oblikovali zadosten kriterij za povečanje in zmanjšanje funkcije na intervalu in zadostne pogoje za obstoj ekstrema ter celotno teorijo uporabili pri reševanju primerov in problemov.
Navigacija po straneh.
Povečanje in zmanjšanje funkcije v intervalu.
Določitev naraščajoče funkcije.
Funkcija y = f (x) se poveča na intervalu X, če za katero koli in 
neenakost velja. Z drugimi besedami - več pomena argument se ujema z večjo vrednostjo funkcije.
Določitev padajoče funkcije.
Funkcija y = f (x) se zmanjša na intervalu X, če za katero koli in neenakost velja 
... Z drugimi besedami, večja kot je vrednost argumenta, manjša je vrednost funkcije.
OPOMBA: če je funkcija definirana in neprekinjena na koncih naraščajočega ali padajočega intervala (a; b), to je za x = a in x = b, so te točke vključene v naraščajoči ali padajoči interval. To ni v nasprotju z definicijami naraščajoče in padajoče funkcije na intervalu X.
Na primer, iz lastnosti osnovnih elementarnih funkcij vemo, da je y = sinx definiran in neprekinjen za vse realne vrednosti argumenta. Zato lahko iz povečanja sinusne funkcije na intervalu trdimo o povečanju na intervalu.
Ekstremne točke, ekstremumi funkcije.
Točka se imenuje največja točka funkcija y = f (x), če neenakost velja za vse x iz njegove soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na najvišji točki največja funkcija in označi.
Točka se imenuje minimalna točka funkcija y = f (x), če neenakost velja za vse x iz njegove soseščine. Prikliče se vrednost funkcije na minimalni točki minimalna funkcija in označi.
Soseska točke se razume kot interval 
, kjer je dovolj majhno pozitivno število.
Najmanjša in največja točka se imenujeta ekstremne točke, in se pokličejo vrednosti funkcije, ki ustrezajo točkam ekstrema ekstremi funkcije.
Ne zamenjujte ekstremov funkcije z največjim in najmanjša vrednost funkcije.
Na prvi sliki največja vrednost funkcije na segmentu je dosežena na najvišji točki in je enaka maksimumu funkcije, na drugi sliki pa je največja vrednost funkcije dosežena v točki x = b, ki ni točka maksimuma.
Zadostni pogoji za povečanje in zmanjšanje funkcije.
Na podlagi zadostnih pogojev (znakov) naraščanja in padanja funkcije najdemo intervale naraščanja in padanja funkcije.
Tu so formulacije znakov naraščanja in padanja funkcije na intervalu:
- če je izvod funkcije y = f (x) pozitiven za kateri koli x iz intervala X, potem se funkcija poveča za X;
- če je izpeljanka funkcije y = f (x) negativna za kateri koli x iz intervala X, potem funkcija pada na X.
Tako je za določitev intervalov naraščanja in padanja funkcije potrebno:
Oglejmo si primer iskanja intervalov naraščanja in padanja funkcije, da razložimo algoritem.
Primer.
Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije.
Rešitev.
Prvi korak je najti obseg funkcije. V našem primeru izraz v imenovalcu torej ne sme izginiti.
Nadaljujmo z iskanjem izpeljanke funkcije: 
Za določitev intervalov naraščanja in padanja funkcije po zadostnem kriteriju rešujemo neenakosti in na domeni definicije. Uporabimo posplošitev metode intervalov. Edini veljaven koren števca je x = 2, imenovalec pa izgine pri x = 0. Te točke delijo področje definicije na intervale, v katerih izpeljanka funkcije ohrani svoj predznak. Označimo te točke na številski premici. S plusi in minusi običajno označujemo intervale, na katerih je izpeljanka pozitivna ali negativna. Spodnje puščice shematično prikazujejo povečanje ali zmanjšanje funkcije na ustreznem intervalu. 
V to smer, 
in 
.
Na točki x = 2, je funkcija definirana in neprekinjena, zato jo je treba dodati tako naraščajočim kot padajočim intervalom. V točki x = 0 funkcija ni definirana, zato te točke ne vključimo v iskane intervale.
Podamo graf funkcije za primerjavo dobljenih rezultatov z njo.
odgovor:
Funkcija se poveča z 
, pada na intervalu (0; 2).
Zadostni pogoji za ekstremu funkcije.
Če želite najti maksimume in minimume funkcije, lahko uporabite katerega koli od treh znakov ekstremuma, seveda, če funkcija izpolnjuje njihove pogoje. Najbolj pogost in priročen je prvi.
Prvi zadosten pogoj za ekstrem.
Naj bo funkcija y = f (x) diferencibilna v soseščini točke in neprekinjena v sami točki.
Z drugimi besedami:
Algoritem za iskanje ekstremnih točk na podlagi prve značilnosti ekstrema funkcije.
- Poiščite domeno funkcije.
- Poiščite izpeljanko funkcije na domeni definicije.
- Določimo ničle števca, ničle imenovalca izpeljanke in točke področja definicije, v katerih izpeljanka ne obstaja (vse naštete točke se imenujejo točke možnih ekstremov ko gre skozi te točke, lahko izpeljanka samo spremeni svoj predznak).
- Te točke delijo področje funkcije na intervale, v katerih izpeljanka ohrani svoj predznak. Določite predznake odvoda na vsakem od intervalov (na primer izračunajte vrednost odvoda funkcije na kateri koli točki določenega intervala).
- Izberemo točke, na katerih je funkcija neprekinjena in ob prehodu skozi katere izpeljanka spremeni predznak - to so točke ekstrema.
Preveč besed, raje razmislimo o več primerih iskanja točk ekstrema in ekstremov funkcije z uporabo prvega zadostnega pogoja za ekstrem funkcije.
Primer.
Poiščite ekstreme funkcije.
Rešitev.
Domena funkcije je celoten niz realnih števil, razen x = 2.
Poiščite izpeljanko: 
Ničeli števca sta točki x = -1 in x = 5, imenovalec izgine pri x = 2. Te točke označimo na številčni osi 
Določite znake izpeljanke na vsakem intervalu, za to izračunamo vrednost izpeljanke na kateri koli točki vsakega intervala, na primer na točkah x = -2, x = 0, x = 3 in x = 6 .
Zato je na intervalu izpeljanka pozitivna (na sliki nad tem intervalom damo znak plus). Prav tako 
Zato postavimo minus nad drugi interval, minus nad tretjim in plus nad četrtim.
Ostaja še izbrati točke, na katerih je funkcija neprekinjena in njen izvod spremeni predznak. To so ekstremne točke.
Na točki x = -1 funkcija je neprekinjena in izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, zato je glede na prvi znak ekstrema x = -1 največja točka, ki ustreza maksimumu funkcije 
.
Na točki x = 5 funkcija je neprekinjena in izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus, zato je x = -1 minimalna točka, ki ustreza minimumu funkcije 
.
Grafična ilustracija.
odgovor:
OPOMBA: prvo zadostno merilo za ekstrem ne zahteva, da je funkcija diferencibilna na sami točki.
Primer.
Poiščite ekstremne točke in ekstreme funkcije 
.
Rešitev.
Domena funkcije je celoten niz realnih števil. Samo funkcijo lahko zapišemo kot: 
Poiščimo izpeljanko funkcije: 
Na točki x = 0, izpeljanka ne obstaja, saj vrednosti enostranskih mej ne sovpadajo, ko se argument nagiba k nič: 
Hkrati je prvotna funkcija neprekinjena v točki x = 0 (glej razdelek o preučevanju funkcije za kontinuiteto): 
Poiščimo vrednosti argumenta, pri katerem izpeljanka izgine: 
Označimo vse dobljene točke na številski premici in na vsakem od intervalov določimo predznak odvoda. Da bi to naredili, izračunamo vrednosti izpeljanke na poljubnih točkah vsakega intervala, na primer pri x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6.
to je, 
Tako so glede na prvi znak ekstremuma minimalne točke 
, največ točk je 
.
Izračunamo ustrezne minimume funkcije 
Izračunamo ustrezne maksimume funkcije 
Grafična ilustracija.
odgovor:
.
Drugi znak ekstrema funkcije.
Kot lahko vidite, ta značilnost ekstremuma funkcije zahteva obstoj derivata vsaj do drugega reda na točki.
Ekstremi funkcije
Opredelitev 2
Točka $ x_0 $ se imenuje največja točka funkcije $ f (x) $, če obstaja soseska te točke, taka, da neenakost $ f (x) \ le f (x_0) $ velja za vse $ x $ iz ta soseska.
Opredelitev 3
Točka $ x_0 $ se imenuje največja točka funkcije $ f (x) $, če obstaja soseska te točke, taka, da za vse $ x $ iz te soseske velja neenakost $ f (x) \ ge f (x_0 ) $ drži.
Koncept ekstremuma funkcije je tesno povezan s konceptom kritične točke funkcije. Predstavimo njegovo definicijo.
Opredelitev 4
$ x_0 $ se imenuje kritična točka funkcije $ f (x) $, če:
1) $ x_0 $ - notranja točka domene definicije;
2) $ f "\ levo (x_0 \ desno) = 0 $ ali ne obstaja.
Za koncept ekstremuma lahko oblikujemo izreke o zadostnih in potrebne pogoje njen obstoj.
2. izrek
Zadostno ekstremno stanje
Naj je točka $ x_0 $ kritična za funkcijo $ y = f (x) $ in leži v intervalu $ (a, b) $. Naj na vsakem intervalu $ \ levo (a, x_0 \ desno) \ in \ (x_0, b) $ obstaja izpeljanka $ f "(x) $ in ohranja predznak konstante. Potem:
1) Če je na intervalu $ (a, x_0) $ izpeljanka $ f "\ levo (x \ desno)> 0 $ in na intervalu $ (x_0, b) $ izpeljanka $ f" \ levo (x \ prav)
2) Če je na intervalu $ (a, x_0) $ izpeljanka $ f "\ levo (x \ desno) 0 $, potem je točka $ x_0 $ minimalna točka za to funkcijo.
3) Če tako na intervalu $ (a, x_0) $ kot na intervalu $ (x_0, b) $ je izpeljanka $ f "\ levo (x \ desno)> 0 $ ali izpeljanka $ f" \ levo (x \ prav)
Ta izrek je prikazan na sliki 1.
Slika 1. Zadosten pogoj za obstoj ekstremov
Primeri ekstremov (slika 2).
Slika 2. Primeri ekstremnih točk
Pravilo raziskovanja funkcije za ekstrem
2) Poiščite izpeljanko $ f "(x) $;
7) Naredite sklepe o prisotnosti maksimumov in minimumov v vsakem intervalu z uporabo izreka 2.
Naraščajoče in padajoče funkcije
Naj za začetek predstavimo definicije naraščajočih in padajočih funkcij.
Definicija 5
Funkcija $ y = f (x) $, definirana na intervalu $ X $, se imenuje naraščajoča, če za katero koli točko $ x_1, x_2 \ v X $ pri $ x_1
Opredelitev 6
Funkcija $ y = f (x) $, definirana na intervalu $ X $, se imenuje padajoča, če za katero koli točko $ x_1, x_2 \ v X $ kot $ x_1f (x_2) $.
Preiskava funkcije za naraščanje in padanje
Funkcije za povečevanje in padanje lahko raziščete z uporabo izpeljanke.
Da bi raziskali funkcijo za intervale naraščanja in padanja, je potrebno narediti naslednje:
1) Poiščite domeno funkcije $ f (x) $;
2) Poiščite izpeljanko $ f "(x) $;
3) Poiščite točke, pri katerih je enakost $ f "\ levo (x \ desno) = 0 $;
4) Poiščite točke, na katerih $ f "(x) $ ne obstaja;
5) Na koordinatni črti označimo vse najdene točke in domeno te funkcije;
6) Določite predznak izpeljanke $ f "(x) $ na vsakem nastalem intervalu;
7) Naredite zaključek: na intervalih, kjer je $ f "\ levo (x \ desno) 0 $ funkcija narašča.
Primeri nalog za preučevanje funkcij za naraščanje, padanje in prisotnost ekstremnih točk
Primer 1
Raziščite funkcijo za naraščanje in padanje ter prisotnost maksimalnih in najmanjših točk: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $
Ker je prvih 6 točk enakih, začnimo z njimi.
1) Področje definicije - vsa realna števila;
2) $ f "\ levo (x \ desno) = 6x ^ 2-30x + 36 $;
3) $ f "\ levo (x \ desno) = 0 $;
\ \ \
4) $ f "(x) $ obstaja na vseh točkah domene;
5) Koordinatna črta:
Slika 3.
6) Določite predznak izpeljanke $ f "(x) $ v vsakem intervalu:
\ \; .
Določimo predznak vrednosti funkcije na koncih segmenta.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
Ker se funkcija na segmentu zmanjša in se predznak vrednosti funkcije spremeni, je na tem segmentu ena ničla funkcije.
Odgovor: funkcija f (x) narašča v intervalih: (-∞; 0];;
funkcija ima eno funkcijo nič na intervalu.
2. Točke ekstrema funkcije: največja in najmanjša točka. Nujni in zadostni pogoji za obstoj ekstremuma funkcije. Pravilo raziskovanja funkcije za ekstrem .
1. opredelitev:Točke, pri katerih je izpeljanka enaka nič, se imenujejo kritične ali stacionarne.
Opredelitev 2. Točka se imenuje najmanjša (največja) točka funkcije, če je vrednost funkcije na tej točki manjša (več) od najbližjih vrednosti funkcije.
Upoštevati je treba, da sta največja in minimalna v v tem primeru so lokalni.
Na sl. 1. prikazani so lokalni vzponi in padci.
Kombinirana največja in minimalna funkcija pogosto ime: ekstrem funkcije.Izrek 1.(nujen kriterij za obstoj ekstrema funkcije). Če ima funkcija, ki se diferencira v točki, na tej točki maksimum ali minimum, potem njen izvod na točki izgine,.
2. izrek.(zadosten pokazatelj obstoja ekstremuma funkcije). Če neprekinjena funkcija ima izvod v vseh točkah nekega intervala, ki vsebuje točka preloma(razen morda te točke same), in če izpeljanka spremeni predznak iz plusa v minus, ko argument prehaja od leve proti desni skozi kritično točko, ima funkcija na tej točki maksimum, ko pa predznak preide iz minusa v plus, pa ima minimum.
