Funkcie, nie je vôbec potrebné vedieť o prítomnosti prvej a druhej derivácie a rozumieť im fyzický význam. Najprv musíte pochopiť nasledovné:
- extrémy funkcie maximalizujú alebo naopak minimalizujú hodnotu funkcie v ľubovoľne malom okolí;
- v extrémnom bode by nemala byť žiadna diskontinuita funkcie.
A teraz je to to isté, len jednoduchým jazykom. Pozrite sa na špičku tyče guľôčkové pero. Ak je pero umiestnené vertikálne, s koncom na písanie hore, potom bude extrémom - najvyšším bodom samotný stred gule. V tomto prípade hovoríme o maxime. Ak teraz otočíte pero koncom na písanie nadol, v strede gule už bude minimálna funkcia. Pomocou tu uvedeného obrázku si môžete predstaviť uvedené manipulácie pre kancelársku ceruzku. Takže extrémy funkcie sú vždy kritické body: jej maximum alebo minimum. Susedná časť grafu môže byť ostrá alebo hladká podľa potreby, ale musí existovať na oboch stranách, iba v tomto prípade je bod extrémom. Ak je graf prítomný len na jednej strane, tento bod nebude extrémom, aj keď na jednej strane budú splnené extrémne podmienky. Teraz poďme študovať extrémy funkcie s vedecký bod vízie. Na to, aby bol bod považovaný za extrém, je potrebné a postačujúce, aby:
- prvá derivácia bola nula alebo v danom bode neexistovala;
- prvá derivácia v tomto bode zmenila svoje znamienko.
Podmienka sa z pohľadu derivácií vyššieho rádu interpretuje trochu inak: pre funkciu, ktorá je diferencovateľná v bode, stačí, že existuje derivácia nepárneho rádu, ktorá sa nerovná nule, pričom musia existovať všetky derivácie nižšieho rádu. a rovnať sa nule. Toto je najjednoduchší možný výklad viet z učebníc.Ale pre väčšinu Obyčajní ľudia Stojí za to objasniť tento bod príkladom. Základom je obyčajná parabola. Okamžite urobme rezerváciu: v nulovom bode má minimum. Len trocha matematiky:
- prvá derivácia (X 2) | = 2X, pre nulový bod 2X = 0;
- druhá derivácia (2X) | = 2, pre nulový bod 2 = 2.
Tento jednoduchý spôsob ilustruje podmienky, ktoré určujú extrémy funkcie pre derivácie prvého rádu aj pre derivácie vyššia moc. K tomu môžeme dodať, že druhá derivácia je presne tá istá derivácia nepárneho rádu, ktorá sa nerovná nule, o ktorej sme hovorili vyššie. Pokiaľ ide o extrémy funkcie dvoch premenných, musia byť splnené podmienky pre oba argumenty. Keď dôjde k zovšeobecneniu, použijú sa parciálne deriváty. To znamená, že pre prítomnosť extrému v bode je potrebné, aby sa obe derivácie prvého rádu rovnali nule, alebo aspoň jedna z nich neexistovala. Aby sa zabezpečilo, že prítomnosť extrému je dostatočná, skúma sa výraz, ktorý je rozdielom medzi súčinom derivácií druhého rádu a druhou mocninou zmiešanej derivácie druhého rádu funkcie. Ak je tento výraz väčší ako nula, potom existuje extrém, ale ak je rovný nule, potom otázka zostáva otvorená a je potrebné vykonať ďalší výskum.
Ide o pomerne zaujímavú časť matematiky, s ktorou sa stretávajú úplne všetci absolventi a študenti. Nie každému sa však matan páči. Niektorí nedokážu pochopiť ani základné veci, ako je zdanlivo štandardná štúdia funkcií. Cieľom tohto článku je napraviť takéto prehliadnutie. Chcete sa dozvedieť viac o funkčnej analýze? Chceli by ste vedieť, čo sú extrémne body a ako ich nájsť? Potom je tento článok určený práve vám.
Štúdium grafu funkcie
Po prvé, stojí za to pochopiť, prečo vôbec potrebujete analyzovať graf. Existujú jednoduché funkcie, ktoré nie je ťažké kresliť. Pozoruhodný príklad Podobnú funkciu môže plniť aj parabola. Nakresliť graf nebude ťažké. Stačí jednoduchou transformáciou nájsť čísla, pri ktorých má funkcia hodnotu 0. A v zásade je to všetko, čo potrebujete vedieť, aby ste nakreslili graf paraboly.
Ale čo ak je funkcia, ktorú potrebujeme na graf, oveľa zložitejšia? Vzhľadom k tomu, vlastnosti komplexné funkcie sú celkom jednoznačné, je potrebné vykonať celá analýza. Až potom je možné funkciu znázorniť graficky. Ako na to? Odpoveď na túto otázku nájdete v tomto článku.
Plán analýzy funkcií
Prvá vec, ktorú musíme urobiť, je vykonať povrchnú štúdiu funkcie, počas ktorej nájdeme doménu definície. Začnime teda pekne po poriadku. Doména definície je množina hodnôt, ktorými je funkcia definovaná. Jednoducho povedané, toto sú čísla, ktoré možno použiť vo funkcii namiesto x. Na určenie rozsahu sa stačí pozrieť do záznamu. Napríklad je zrejmé, že funkcia y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 má definičný obor, ktorým je množina reálnych čísel. No s funkciou ako (x 2 - 2x)/x je všetko trochu inak. Keďže číslo v menovateli sa nesmie rovnať 0, doménou definície tejto funkcie budú všetky reálne čísla iné ako nula.
Ďalej musíte nájsť takzvané nuly funkcie. Toto sú hodnoty argumentov, pri ktorých má celá funkcia hodnotu nula. Na to je potrebné prirovnať funkciu k nule, podrobne ju zvážiť a vykonať nejaké transformácie. Zoberme si už známu funkciu y(x) = (x 2 - 2x)/x. Zo školského kurzu vieme, že zlomok sa rovná 0, keď sa čitateľ rovná nule. Preto zahodíme menovateľa a začneme pracovať s čitateľom a prirovnáme ho k nule. Dostaneme x 2 - 2x = 0 a dáme x zo zátvoriek. Preto x (x - 2) = 0. V dôsledku toho zistíme, že naša funkcia sa rovná nule, keď sa x rovná 0 alebo 2.
Pri skúmaní grafu funkcie sa veľa ľudí stretáva s problémami v podobe extrémnych bodov. A je to zvláštne. Koniec koncov, extrémy sú celkom jednoduchá téma. neveríš mi? Presvedčte sa sami prečítaním tejto časti článku, v ktorej budeme hovoriť o minimálnych a maximálnych bodoch.
Po prvé, stojí za to pochopiť, čo je extrém. Extrém je hraničná hodnota, ktorú funkcia dosiahne v grafe. Ukazuje sa, že existujú dve extrémne hodnoty - maximum a minimum. Pre prehľadnosť sa môžete pozrieť na obrázok vyššie. V skúmanej oblasti je bod -1 maximum funkcie y (x) = x 5 - 5x a bod 1 je teda minimum.
Tiež si nezamieňajte pojmy. Extrémne body funkcie sú tie argumenty, pri ktorých daná funkcia nadobúda extrémne hodnoty. Na druhej strane, extrém je hodnota minima a maxima funkcie. Zvážte napríklad znova obrázok vyššie. -1 a 1 sú extrémne body funkcie a 4 a -4 sú samotné extrémy.
Hľadanie extrémnych bodov
Ale ako nájdete extrémne body funkcie? Všetko je celkom jednoduché. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je nájsť deriváciu rovnice. Povedzme, že sme dostali úlohu: "Nájdite extrémne body funkcie y (x), argument x je. Pre názornosť zoberme funkciu y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Diferencujme a získajte nasledujúcu rovnicu: 3x 2 + 4x + 1. Výsledkom je štandardná kvadratická rovnica. Všetko, čo musíme urobiť, je prirovnať ju k nule a nájsť korene. Keďže diskriminant je väčší ako nula (D = 16 - 12 = 4), táto rovnica je určená dvoma koreňmi. Nájdite ich a získajte dve hodnoty: 1/3 a -1. To budú extrémne body funkcie. Ako však stále môžete určiť, kto je kto? Ktorý bod je maximum a ktorý minimum? Aby ste to urobili, musíte zobrať susedný bod a zistiť jeho hodnotu. Napríklad zoberte číslo -2, ktoré sa nachádza vľavo pozdĺž súradnicovej čiary od -1 Túto hodnotu dosaďte do našej rovnice y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Výsledkom je kladné číslo, čo znamená, že v intervale od Funkcia sa zvýši z 1/3 na -1. , zase znamená, že na intervaloch od mínus nekonečna do 1/3 a od -1 do plus nekonečna funkcia klesá. Môžeme teda dospieť k záveru, že číslo 1/3 je minimálny bod funkcie na študovanom intervale a -1 je maximálny bod.
Za zmienku tiež stojí, že jednotná štátna skúška si vyžaduje nielen nájdenie extrémnych bodov, ale aj vykonanie určitých operácií s nimi (sčítanie, násobenie atď.). Z tohto dôvodu sa oplatí zaplatiť Osobitná pozornosť na podmienky problému. Nepozornosťou totiž môžete prísť o body.
Ako vidíte, tento znak extrému funkcie vyžaduje v bode existenciu derivácie aspoň druhého rádu.
Príklad.
Nájdite extrémy funkcie.
Riešenie.
Začnime s doménou definície: 
Rozlišujme pôvodnú funkciu: 
x=1, teda ide o bod možného extrému. Nájdeme druhú deriváciu funkcie a vypočítame jej hodnotu at x = 1:
Preto druhou postačujúcou podmienkou pre extrém, x=1- maximálny bod. Potom 
- maximálna funkcia.
Grafické znázornenie.
odpoveď:
Tretia postačujúca podmienka pre extrém funkcie.
Nechajte funkciu y=f(x) má derivátov až n-tý rád v -okolí bodu a derivácie až n+1-tého rádu v samotnom bode. Nechaj to tak.
Príklad.
Nájdite extrémne body funkcie 
.
Riešenie.
Pôvodná funkcia je racionálna celá funkcia; jej doménou definície je celá množina reálnych čísel.
Rozlišujme funkciu: 
Derivát ide na nulu pri 
ide teda o body možného extrému. Využime tretiu dostatočnú podmienku pre extrém.
Nájdeme druhú deriváciu a vypočítame jej hodnotu v bodoch možného extrému (vynecháme medzivýpočty): 
V dôsledku toho je maximálny bod (pre tretie dostatočné znamenie extrému máme n=1 A).
Ak chcete zistiť povahu bodov 
nájdeme tretiu deriváciu a vypočítame jej hodnotu v týchto bodoch: 
Preto je inflexný bod funkcie ( n=2 A).
Zostáva sa zaoberať pointou. Nájdeme štvrtý derivát a vypočítame jeho hodnotu v tomto bode: 
Preto je minimálny bod funkcie.
Grafické znázornenie.
odpoveď:
Maximálny bod je minimálny bod funkcie.
10. Extrémy funkcie Definícia extrému
Zavolá sa funkcia y = f(x). zvyšujúci sa (klesajúci) v určitom intervale, ak pre x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Ak diferencovateľná funkcia y = f(x) rastie (klesá) na intervale, potom jej derivácia na tomto intervale f " (x) 0
(f " (x) 0).
Bodka X O volal miestny maximálny bod (minimálne) funkcia f(x), ak existuje okolie bodu X O, pre všetky body, ktorých nerovnosť f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) platí.
Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.
Extrémne body
Nevyhnutné podmienky pre extrém. Ak bod X O je extrémnym bodom funkcie f(x), potom buď f " (x o) = 0, alebo f (x o) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritický, a samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.
Prvá postačujúca podmienka. Nechaj X O- kritický bod. Ak f "(x) pri prechode bodom X O zmení znamienko plus na mínus a potom na bod X O funkcia má maximum, inak má minimum. Ak pri prechode cez kritický bod derivácia nezmení znamienko, potom v bode X O neexistuje extrém.
Druhá postačujúca podmienka. Nech funkcia f(x) má deriváciu f " (x) v blízkosti bodu X O a druhá derivácia v samotnom bode X O. Ak f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка X O je bod lokálneho minima (maxima) funkcie f(x). Ak = 0, potom musíte použiť prvú dostatočnú podmienku alebo použiť vyššie derivácie.
Na segmente môže funkcia y = f(x) dosiahnuť svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.
Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Riešenie. Pretože f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), potom kritické body funkcie x 1 = 2 a x 2 = 3. Extrémy môžu byť iba pri tieto body.Tak ako pri prechode bodom x 1 = 2 derivácia zmení znamienko z plus na mínus, tak v tomto bode má funkcia maximum.Pri prechode bodom x 2 = 3 derivácia zmení znamienko z mínusu. do plusu, teda v bode x 2 = 3 má funkcia minimum. Po vypočítaní hodnôt funkcie v bodoch x 1 = 2 a x 2 = 3 nájdeme extrémy funkcie: maximum f( 2) = 14 a minimum f(3) = 13.
Definície:
Extrémne volať maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danej množine.
Extrémny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna alebo minimálna hodnota funkcie.
Maximálny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna hodnota funkcie.
Minimálny bod je bod, v ktorom sa dosiahne minimálna hodnota funkcie.
Vysvetlenie.
Na obrázku v blízkosti bodu x = 3 funkcia dosahuje svoju maximálnu hodnotu (t. j. v okolí tohto konkrétneho bodu už nie je bod vyššie). V okolí x = 8 má opäť maximálnu hodnotu (upresnime ešte raz: práve v tomto okolí nie je bod vyššie). V týchto bodoch nárast ustupuje poklesu. Sú to maximálny počet bodov:
x max = 3, x max = 8.
V okolí bodu x = 5 je dosiahnutá minimálna hodnota funkcie (teda v okolí x = 5 nie je bod nižšie). V tomto bode pokles ustupuje nárastu. Ide o minimálny bod:
Maximálny a minimálny počet bodov je extrémnych bodov funkcie a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.
Kritické a stacionárne body funkcie:
Nevyhnutná podmienka pre extrém:
Dostatočná podmienka pre extrém:
Na segmente funkcia r = f(X) môže dosiahnuť svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.
Algoritmus na štúdium spojitej funkcier = f(X) pre monotónnosť a extrémy:
Čo je to extrém funkcie a aká je nevyhnutná podmienka pre extrém?
Extrémom funkcie je maximum a minimum funkcie.
Nevyhnutná podmienka pre maximum a minimum (extrém) funkcie je nasledovná: ak má funkcia f(x) extrém v bode x = a, potom je v tomto bode derivácia buď nulová, alebo nekonečná, alebo má neexistuje.
Táto podmienka je nevyhnutná, ale nie postačujúca. Derivácia v bode x = a môže ísť k nule, nekonečnu alebo nemusí existovať bez toho, aby funkcia mala v tomto bode extrém.
Aká je dostatočná podmienka pre extrém funkcie (maximum alebo minimum)?
Prvá podmienka:
Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) kladná vľavo od a a záporná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) maximálne
Ak je v dostatočnej blízkosti bodu x = a derivácia f?(x) záporná vľavo od a a kladná vpravo od a, potom v bode x = a má funkcia f(x) minimálne za predpokladu, že funkcia f(x) je tu spojitá.
Namiesto toho môžete použiť druhú dostatočnú podmienku pre extrém funkcie:
Nech v bode x = a prvá derivácia f?(x) zmizne; ak je druhá derivácia f??(a) záporná, tak funkcia f(x) má maximum v bode x = a, ak je kladná, tak má minimum.
Aký je kritický bod funkcie a ako ho nájsť?
Toto je hodnota argumentu funkcie, pri ktorej má funkcia extrém (t. j. maximum alebo minimum). Aby ste to našli, potrebujete nájsť derivát funkcia f?(x) a prirovnať ju k nule, vyriešiť rovnicu f?(x) = 0. Korene tejto rovnice, ako aj tie body, v ktorých derivácia tejto funkcie neexistuje, sú kritické body, t. j. hodnoty argumentu, v ktorých môže byť extrém. Dajú sa ľahko identifikovať pohľadom derivačný graf: zaujímajú nás tie hodnoty argumentu, pri ktorých graf funkcie pretína os x (os Ox) a tie, pri ktorých má graf nespojitosť.
Napríklad nájdime extrém paraboly.
Funkcia y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Derivácia funkcie: y?(x) = 6x + 2
Vyriešte rovnicu: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
V tomto prípade je kritický bod x0=-1/3. Funkcia má práve túto hodnotu argumentu extrém. Jemu Nájsť, nahraďte nájdené číslo vo výraze za funkciu namiesto „x“:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Ako určiť maximum a minimum funkcie, t.j. jeho najväčšie a najmenšie hodnoty?
Ak sa znamienko derivácie pri prechode cez kritický bod x0 zmení z „plus“ na „mínus“, potom x0 je maximálny bod; ak sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom x0 je minimálny bod; ak sa znamienko nemení, tak v bode x0 nie je ani maximum, ani minimum.
Pre uvažovaný príklad:
Vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu naľavo od kritického bodu: x = -1
Pri x = -1 bude hodnota derivácie y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. j. znamienko je „mínus“).
Teraz vezmeme ľubovoľnú hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1
Pri x = 1 bude hodnota derivácie y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t.j. znamienko je „plus“).
Ako vidíte, derivácia zmenila znamienko z mínus na plus pri prechode cez kritický bod. To znamená, že pri kritickej hodnote x0 máme minimálny bod.
Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na intervale(na segmente) sa nachádzajú rovnakým postupom, len s prihliadnutím na skutočnosť, že možno nie všetky kritické body budú ležať v špecifikovanom intervale. Kritické body, ktoré sú mimo intervalu, musia byť vylúčené z úvahy. Ak je v intervale iba jeden kritický bod, bude mať buď maximum alebo minimum. V tomto prípade, aby sme určili najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, berieme do úvahy aj hodnoty funkcie na koncoch intervalu.
Napríklad nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
v intervaloch:
Takže derivácia funkcie je
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Riešime rovnicu 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ± arccos (0,16667) + 2πk.
Kritické body nájdeme na intervale [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nie je zahrnuté v intervale)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nie je zahrnuté v intervale)
Hodnoty funkcie nájdeme pri kritických hodnotách argumentu:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Je vidieť, že na intervale [-9; 9] funkcia má najväčšiu hodnotu pri x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
a najmenší - pri x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Na intervale [-6; -3] máme len jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkcie pri x = -4,88 sa rovná y = 5,398.
Nájdite hodnotu funkcie na koncoch intervalu:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Na intervale [-6; -3] máme najväčšiu hodnotu funkcie
y = 5,398 pri x = -4,88
najmenšia hodnota -
y = 1,077 pri x = -3
Ako nájsť inflexné body funkčného grafu a určiť konvexnú a konkávnu stranu?
Ak chcete nájsť všetky inflexné body priamky y = f(x), musíte nájsť druhú deriváciu, prirovnať ju k nule (vyriešiť rovnicu) a otestovať všetky tie hodnoty x, pre ktoré je druhá derivácia nula, nekonečné alebo neexistuje. Ak pri prechode cez jednu z týchto hodnôt druhá derivácia zmení znamienko, potom má graf funkcie v tomto bode inflexiu. Ak sa to nezmení, potom nie je žiadny ohyb.
Korene rovnice f? (x) = 0, ako aj možné body diskontinuity funkcie a druhá derivácia rozdeľujú definičný obor funkcie na množstvo intervalov. Konvexnosť na každom z ich intervalov je určená znamienkom druhej derivácie. Ak je druhá derivácia v bode skúmaného intervalu kladná, potom je priamka y = f(x) konkávna smerom nahor a ak je záporná, potom smerom nadol.
Ako nájsť extrémy funkcie dvoch premenných?
Ak chcete nájsť extrémy funkcie f(x,y), diferencovateľné v oblasti jej špecifikácie, potrebujete:
1) nájdite kritické body, a preto vyriešte systém rovníc
fх? (x,y) = 0, fу? (x, y) = 0
2) pre každý kritický bod P0(a;b) skontrolujte, či znamienko rozdielu zostáva nezmenené
pre všetky body (x;y) dostatočne blízko k P0. Ak rozdiel zostane kladný, tak v bode P0 máme minimum, ak záporný, tak máme maximum. Ak si rozdiel nezachová svoje znamienko, potom v bode P0 neexistuje extrém.
Extrémy funkcie sú určené podobne pre väčší počet argumentov.
Kedy sa v novembri oslavuje Svetový deň televízie?
Valné zhromaždenie 17. decembra 1996 vyhlásilo 21. november za „Svetový deň televízie“, aby si pripomenulo dátum prvého Svetového televízneho fóra v OSN. Štáty boli požiadané, aby si tento deň pripomenuli výmenou televíznych programov o otázkach ako mier, bezpečnosť
Čo je to vtáčia čerešňa
Čerešňa vtáčia je druh čerešne z čeľade Rosaceae, pôvodom zo severnej Európy a severnej Ázie. Jedná sa o pomerne vysoký ker, ktorý dosahuje výšku až 16 metrov. Zvyčajne je výška vtáčieho čerešňa asi 9 metrov. Vyznačuje sa svojou voňavou vôňou kvetov. Rastie najmenej 800 metrov nad morom. Preferuje kyslé dubové pôdy
Aké dve fázy zahŕňa obdobie delenia buniek (fáza M)?
Bunkový cyklus je obdobie existencie bunky od okamihu jej vzniku delením materskej bunky až po jej vlastné rozdelenie alebo smrť. Dĺžka bunkového cyklu sa medzi rôznymi bunkami líši. Rýchlo proliferujúce bunky dospelých organizmov, ako sú hematopoetické alebo bazálne bunky epidermy a tenkého čreva, môžu vstúpiť do bunkového cyklu
Prečo prehliadač Opera nezobrazuje hlavnú ponuku?
Aby sa ušetrilo miesto na obrazovke prehliadača Opera, počnúc verziou 10.5 je hlavná ponuka predvolene vypnutá. Vývojári sa tak rozhodli v súvislosti s rozšírením netbookov s malými displejmi a širokouhlými LCD monitormi, ktorých výška obrazovky je podstatne menšia ako šírka. Prístup ku všetkým funkciám, ktoré boli v hlavnom menu
Kde sa nachádza mesto Bratsk?
Bratsk je mesto v Rusku v regióne Irkutsk. Geografická poloha Bratska predurčila jeho premenu na „bránu“ severu. Mesto sa nachádza v centre východosibírskeho regiónu Ruska v centrálnej časti hrebeňa Angara na brehoch Bratskej priehrady na rieke Angara. Vzdialenosť od regionálneho centra - mesta Irkutsk:
Čo je alegória
Alegória (z gréckeho alegoria - alegória) je jednou z foriem alegórie, podmieneného prenosu abstraktného pojmu alebo úsudku prostredníctvom konkrétneho obrazu. Alegória je najrozšírenejšia vo výtvarnom umení (žena so zaviazanými očami a váhami v rukách - spravodlivosť, kotva - nádej atď.). V literatúre je veľa alegorických obrazov
Ako sa starať o helichrysum
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) Latinský názov: Helichrysum Kategórie: jednoročné rastliny, skalky Čeľaď: Asteraceae (Compositae). Vlasť: Helichrysum rastie v miernych oblastiach Európy, Ázie, Afriky a Austrálie. Rodiskom Milfordovej tsminy je okraj Kapského mesta Forma: bylina
Kto napísal román „Biely a čierny“
Román „Biely a čierny“ je o šachu a šachistoch. Ústrednou postavou románu je veľký šachista, majster sveta Alexander Aljochin. Autor románu „Biely a čierny“ je vynikajúci sovietsky šachista, medzinárodný veľmajster, spisovateľ, člen Zväzu spisovateľov
Aký je úplný názov druhej knihy trilógie Robinson Crusoe od Daniela Defoea?
Daniel Defoe (anglicky: Daniel Defoe; narodený pod menom Daniel Foe; cca 1660 - 1731) - anglický spisovateľ a publicista, dnes známy najmä ako autor románu "Robinson Crusoe" (ako je to zvykom vo vedeckej literárnej kritike a publikovaní
Čo jedia lasice?
Hranoš hranostaj (Mustela erminea) je cenné kožušinové zviera z čeľade mušľovitých. Vzhľad. Všetci zástupcovia rodu fretiek sú zvieratá s pružným, predĺženým telom, veľmi pôvabné a obratné a líšia sa od kún prítomnosťou bielej farby na špičke papule. Uši sú malé, zaoblené.Dĺžka tela hranostaju je 16-3
Aké choroby nie sú prijaté do armády?
Kategóriu vhodnosti na výkon vojenskej služby („A“, „B“, „C“, „D“, „D“) určuje vojenská lekárska komisia pri lekárskej prehliadke branca. A - spôsobilý na vojenskú službu. B&nd
