© Kugusheva Natalia LVIVNA, 2009 Geometria, 8 trojuholník triedy štyri nádherné body
Bod priesečníka Medián trojuholníkového bodu priesečníka bisector trojuholníkového bodu priesečníka výšky trojuholníkového bodu priesečníka stredných kolmých trojuholníkov
Medián (BD) trojuholníka sa nazýva segment, ktorý spája vrchol trojuholníka zo stredu opačnej strany. A s d mediánom
Mediány trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (ťažisko trojuholníka) a sú rozdelené do tohto bodu vzhľadom na 2: 1, počítanie z vrcholu. AM: MA 1 \u003d VM: MV 1 \u003d CM: MS 1 \u003d 2: 1. 1 v 1 m s 1
Bisector (a D) trojuholníka sa nazýva segment bisektora vnútorného rohu trojuholníka.
Každá bodka biseníka neurčovaného uhla sa rovná jeho stranám. Späť: Každý bod ležiaci vnútorný uhol a uhol ekvidistant z boku uhla leží na jeho bisektore. A m
Všetky trojuholníkové bisketers sa pretínajú v jednom bode napísané v trojuholníku kruhu. S 1 m a 1 s 1 na polomer kruhu (om) - kolmého, spusteného zo stredu (SO) na stranu trojuholníka
Výška výšky (c d) trojuholníka sa nazýva priečne kolmo, znížená z vrcholu trojuholníka na priamu obsahujúcu opačnú stranu. A B C D
Výšky trojuholníka (alebo ich pokračovanie) sa pretínajú v jednom bode. A 1 V v 1 s 1
Stredný kolmý na stredný kolmý (DF) sa nazýva rovná, kolmá strana trojuholníka a rozdeľuje ho na polovicu. A d f b c
A m v m o každý bod stredného kolmo (m) na segment sa rovná koncom tohto segmentu. Späť: Každý bod, ktorý je ekvidistant od koncov segmentu leží na strednej kolmej na ňu.
Všetky stredné kolmé strany trojuholníka pretínajú v jednom bode centra opísaného v blízkosti trojuholníka kruhu. A s polomerom opísaného kruhu je vzdialenosť od stredu obvodu k akémukoľvek vrcholu trojuholníka (OA). M n P.
Úlohy pre študentov vybudovať kruh napísaný v hlúpe trojuholník pomocou cirkulácie a pravítka. Na tento účel: Budujte Bisector v hlúpe trojuholník s cirkuláciou a pravítkom. Priesečník bodov bisecu je stred kruhu. Zostavte polomer kruhu: kolmý z stredu obvodu na stranu trojuholníka. Zostavte kruh napísaný v trojuholníku.
2. Stavať s cirkuláciou a pravítkom kruhu opísaným v blízkosti hlúpeho trojuholníka. Na tento účel: Zostavte si stredný kolmý na stranách hlúpeho trojuholníka. Bod priesečníka týchto kolmo je stred opísaného kruhu. Radius Circle - Vzdialenosť od centra do akéhokoľvek vrcholu trojuholníka. Zostavte kruh opísaný v blízkosti trojuholníka.
Ministerstvo všeobecného a odborného vzdelávania regiónu Sverdlovsk.
MOU OO YEAKERINBURG.
Vzdelávacia inštitúcia - Moshosh č. 212 "Ekaterinburg Kultúrny Lyceum"
Vzdelávacia oblasť - Matematika.
Položka - geometria.
Nádherné trojuholníkové body
Referent: Absolvent Class 8
SELITSKY DMITRY KONSTANTINOVICH.
Vedecký poradca:
Rabnanov Sergey Petrovich.
Jekaterinburg, 2001.
Úvod3
Popisná časť:
Orthocenter 4.
Centr 5.
Gravity 7.
Stred opísaného kruhu 8
Priamy EULER 9.
Praktická časť:
Ortocentrický trojuholník 10.
ZÁVER 11.
Odkazy 11.
Úvod
Geometria začína trojuholníkom. Pre dva a pol tisícročia je trojuholník symbolom geometrie. Neustále otvorte nové vlastnosti. Ak chcete povedať o všetkých známych vlastnostiach trojuholníka, bude potrebné veľké množstvo času. Zaujímalo ma to takzvané "nádherné body trojuholníka". Príkladom takýchto bodov je priesečník bisector. Je to skvelé, že ak budete mať tri ľubovoľné miesta priestoru, vybudovať trojuholník z nich a vykonávať bisector, potom sa (bisector) prekročí na jednom mieste! Zdá sa, že to nie je možné, pretože sme vzali svojvoľné body, ale toto pravidlo je vždy platné. Iné "nádherné body" majú takéto vlastnosti
Po prečítaní literatúry na túto tému som opravil definície a vlastnosti piatich nádherných bodov a trojuholník. Ale na tom moja práca nebola u konca, chcel som preskúmať tieto body sám.
teda cieľ Táto práca je štúdia niektorých z nádherných vlastností trojuholníka a štúdie ortocentrického trojuholníka. V procese dosiahnutia cieľa možno rozlíšiť tieto kroky:
Výber literatúry pomocou učiteľa
Študovanie hlavných vlastností nádherných bodov a trojuholníkových liniek
Zovšeobecnenie týchto vlastností
Vypracovanie a riešenie problému spojeného s ortocentrickým trojuholníkom
Dostal som výsledky v tejto výskumnej práci. Všetky kresby som vykonal pomocou počítačovej grafiky (vektorový grafický editor CorelDraw).
Ortocenter. (Bod križovatky výšky)
Dokážeme, že výška pretíname v jednom bode. Prerezávajte vrcholy ALE, V a Ztrojuholník Bradavica Rovné, rovnobežne s opačnými stranami. Táto priamka tvoria trojuholník ALE 1 V 1 Z 1 . Trojuholníkové výšky Bradavica sú stredné kolmo na boky trojuholníka ALE 1 V 1 Z 1 . V dôsledku toho sa pretínajú v jednom bode - stred opísaného obvodu trojuholníka ALE 1 V 1 Z 1 . Bod priesečníka výšok trojuholníka sa nazýva ortotrome ( H.).
Centrum je stred vpísaného kruhu.
(Bissectris priesečník)
Dokážeme, že bisetore rohov trojuholníka Bradavica pretínajte v jednom bode. Zvážte bod O Crossing bisector rohy ALE a V. Akýkoľvek bod bisector Angle A je rovná priame AU a Striedavýa akýkoľvek bod bisector rohu V Rovný AU a slnko, tak bod O Rovný Striedavý a slnko. Leží na Bisector Uhol Z. bod O Rovný AU, slnko a Sa, Takže je tu kruh so stredom OPokiaľ ide o tieto priame, a bod dotyku leží na stranách sami, a nie na ich pokračovanie. V skutočnosti, rohy na vrchole ALE a V Trojuholník Aahsharp preto projekčný bod O na rovno AU Leží vo vnútri AU.
Pre párty slnkoa Sa Podobne.
Centr má tri vlastnosti:
Ak je pokračovanie bisecu rohu Z prekročí opísanom obvodu trojuholníka Bradavica V mieste M.T. Ma.=Mv=Mo.
Ak AU - základ neprístupného trojuholníka Bradavica, potom kruh vzťahujúci sa na boku rohu Qav bodoch ALE a V, prechádza bodom O.
Ak rovno, prechádzajúc bodom O Rovnobežná strana AU, prechádza stranami slnko a Sa V bodoch ALE 1 a V 1 T. ALE 1 V 1 =ALE 1 V+AU 1 .
Ťažisko. (Stredný priesečník)
Dokážeme, že mediány trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Zvážiť tento bod M.v ktorom mediánov pretínajú Aa 1 a Blbosť 1 . Poďme nakresliť trojuholník Blbosť 1 Zstredná čiara ALE 1 ALE 2 paralelne Blbosť 1 . potom ALE 1 M: AM.=V 1 ALE 2 : AV. 1 =V 1 ALE 2 : V 1 Z=V. 1 : Slnko.\u003d 1: 2, t.j. Stredný priesečník Blbosť 1 a Aa 1 rozdeľuje medián Aa 1 S ohľadom na 1: 2. Podobne ako priesečník mediánu Ss 1 a Aa 1 rozdeľuje medián Aa 1 S ohľadom na 1: 2. V dôsledku toho je priesečník medián Aa 1 a Blbosť 1 Sa zhoduje s priesečníkom mediánu Aa 1 a Ss 1 .
Ak je bod priesečníka mediánu trojuholník, aby sa spojil s vrcholom, potom sa trojuholníky zlomia do troch trojuholníkov rovnakej oblasti. V skutočnosti to stačí dokázať, že ak Ročník - akýkoľvek bod mediánu Aa 1 v trojuholníku BradavicaPotom oblasť trojuholníkov Skrývať a Asr rovná. Koniec koncov, mediány Aa 1 a R. 1 v trojuholníkoch Bradavica a Rvs.znížiť ich na trojuholníky rovnakej oblasti.
Spravodlivé a reverzné vyhlásenie: ak pre určitý bod Ročníkležiace vo vnútri trojuholníka Bradavica, Štvorcové trojuholníky Skrývať, V STREDU a Sár rovná, t. Ročník - bod priesečníka.
Na križovatke je ďalšia nehnuteľnosť: ak ste nastrihávali trojuholník z akéhokoľvek materiálu, aby ste na nej strátili, upevnite medián v mieste priesečníka a upevnite suspenziu na statív, potom model (trojuholník) bude Stav rovnováhy, preto je miesto priesečníka, nie je žiadny iný ako ťažisko trojuholníka.
Centra opísaného kruhu.
Dokážeme, že existuje bod, ktorý je ekvidistant z vrcholov trojuholníka, alebo inak, tam je kruh prechádzal cez tri vrcholy trojuholníka. Geometrický bod bodov ekvidáci z bodov ALE a Vje kolmý na segment AUprechodom cez stred (stredný kolmého na segment AU). Zvážte bod Ov ktorom strednom kolmej na segmenty pretínajú AU a slnko. Bod O Z bodu ALE a V Rovnako ako body V a Z. Tak sa rovná bodom ALE a Z. Leží na strednom kolmej na segment Striedavý.
Centrum O Opísaný kruh je vo vnútri trojuholníka, len ak tento trojuholník je akútny. Ak je trojuholník obdĺžnikový, potom bod O sa zhoduje s stredom hyptonenuse, a ak je uhol na vrchole Z hlúpe, potom rovno AU Zdieľa body Oa Z.
V matematike sa často stáva, že objekty definované celkom odlišne sa ukázali, že sa zhodujú. Ukážte ho na príklade.
Byť ALE 1 , V 1 , Z 1 - stredná strana slnko, Sa a av. Môžete dokázať, že kruhy opísané v blízkosti trojuholníkov AU 1 Z, ALE 1 slnko 1 a ALE 1 V 1 Z 1 pretínajte v jednom bode, a tento bod je stred opísaného obvodu trojuholníka Bradavica. Takže máme dve, zdalo by sme úplne iné body: priesečník stredného kolmo na boky trojuholníka Bradavica a priesečníkom opísaných kruhov trojuholníkov AU 1 Z 1 , ALE 1 slnko a ALE 1 V 1 Z 1 . A Ukazuje sa, že tieto dva body sa zhodujú.
Priamy EULER.
Najúžasnejšia vlastnosť nádherných bodov trojuholníka je, že niektoré z nich sú navzájom spojené určitými pomermi. Napríklad ťažisko M., Ortocentre N. a stred opísaného kruhu O leží na jednej priamke a bod m rozdeľuje segment, aby bol pomer pravdivý Ohm: Mall\u003d 1: 2. Táto veta bola dokázaná v roku 1765 švajčiarskym vedec Leonardo Euler.
Ortocentrický trojuholník.
Ortocentrický trojuholník (ortotagón) je trojuholník ( M.N.Na), ktorých vrcholy slúžia založeniu výšok tohto trojuholníka ( Bradavica). Tento trojuholník má mnoho zaujímavých vlastností. Dávame jeden z nich.
Nehnuteľnosť.
Ukázať
Trojuholníky AKM., CMN. a Bkn. Ako trojuholník Bradavica;
Rohy orthornian MNK. Takéto: L. KNM. \u003d π - 2 L. A., L.KMN. = π - 2. L. B., L. MNK. \u003d π - - 2 L. C..
Dôkaz:
Mať Abs cos. A., Ak cos. A.. Teda, AM./Abs = Ak/Striedavý.
Pretože v trojuholníkoch Bradavica a AKM. uhol ALE - všeobecne, potom sú ako, kde sme dospeli k záveru, že uhol L. AKM. = L. C.. teda L. BKM. = L. C.. Ďalej L. MKC. \u003d π / 2 - L. C., L. NKC. \u003d π / 2 - - - L. C.. Sc. - Bisector Corner MNK.. Tak, L. MNK. \u003d π - 2 L. C.. Podobne sa dokazujú zostávajúce rovnosti.
Záver.
Na záver tejto výskumnej práce môžete upraviť tieto závery:
Nádherné body a trojuholníkové čiary sú:
ortocenter Trojuholník je bod priesečníka jeho výšok;
centrumtrojuholník je bod priesečníka bisecu
ťažisko Trojuholník je bod priesečníka jeho mediánu;
centrum popísaného kruhu - Toto je bod priesečníka stredných kolmých;
priamy euler - To je priamou, na ktorej ťažisko, ortocentre a stred opísaného kruhu.
Orthocentrický trojuholník rozdeľuje tento trojuholník do troch podobných údajov.
Po vykonaní tejto práce som sa naučil veľa o vlastnostiach trojuholníka. Táto práca bola pre mňa relevantná z hľadiska rozvoja mojich poznatkov v oblasti matematiky. V budúcnosti predpokladám, že túto zaujímavú tému rozvíjam.
Bibliografia.
Kiselev A. P. Základná geometria. - M.: Osvietenie, 1980.
Koketer G.S., Greitzer S.L. Nové stretnutia s geometriou. - M.: Veda, 1978.
PRASOLOV V.V. Úlohy pre planimetriu. - M.: Veda, 1986. - Časť 1.
Shargin i.f. Úlohy pre geometriu: planimetria. - m.: Veda, 1986.
Scaavi M. I. Matematika. Úloh s riešeniami. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1998.
Berge M. Geometria v dvoch objemoch - M: Mir, 1984.
Obsah
Úvod ................................................... .................................................... 3.
Kapitola 1.
1.1 Trojuholník .................................................. .................................................... ...... ..4
1.2. Trojuholník Mediány
1.4. Výška v trojuholníku
Záver
Zoznam použitých literatúry
Brožúra
Úvod
Geometria je časť matematiky, ktorá považuje rôzne údaje a ich vlastnosti. Geometria začína trojuholníkom. Pre dva a pol tisícročia je trojuholník symbolom geometrie; Ale on nie je len symbolom, trojuholník je atóm geometrie.
V mojej práci budem zvážiť vlastnosti križovatky bisecu, medián a výšky trojuholníka, rozpráva o nádherných vlastnostiach a trojuholníkových líniách.
Body študované v školskom priebehu geometrie zahŕňajú:
a) priesečník bisector (stredisko zapísané obvod);
b) miesto priesečníka stredného kolmej (stred opísaného kruhu);
c) miesto priesečníka výšok (ortocentre);
d) Priemerný bod je medián (centroid).
Relevantnosť: rozbaľte svoje znalosti o trojuholníkuvlastnostinádherné body.
Účel: Štúdium trojuholníka na jeho nádherných miestach,Študovaťklasifikácie a vlastnosti.
Úlohy:
1. Preskúmajte potrebnú literatúru
2. Preskúmajte klasifikáciu nádherných bodov trojuholníka
3. Byť schopný vybudovať nádherné trojuholníkové body.
4. Zhrnutie študovaného materiálu pre návrh brožúry.
Projektová hypotéza:
schopnosť nájsť nádherné body v akejkoľvek trojuholníku vám umožňuje riešiť geometrické úlohy pre budovu.
Kapitola 1. Historické informácie o nádherných miestach trojuholníka
Vo štvrtej knihe, "začal" Euclideus rieši úlohu: "Zadajte kruh na tento trojuholník." Z rozhodnutia vyplýva, že tri bisektor vnútorných rohov trojuholníka sa pretína v jednom bode - stred priloženého kruhu. Z riešenia inej úlohy, euklidy znamená, že kolmé, obnovené na stranách trojuholníka v ich stredu, tiež pretínajú v jednom bode - stred opísaného kruhu. "Začiatok" nehovorí, že tri výšky trojuholníka pretínajú v jednom bode nazývanom centre ortosu (grécke slovo "orthos" znamená "rovný", "správny"). Tento návrh bol však ARTHYPEMEMEM, PEPPE, CLOAK.
Štvrtý špeciálny bod trojuholníka je bodu priesečníka mediánu. Archimeda dokázala, že je to ťažisko (barcenter) trojuholníka. Osobitná pozornosť bola upozornená na vyššie uvedené štyri body, počnúc storočia XVIII, boli nazývané "nádherné" alebo "špeciálne" trojuholníkové body.
Štúdium vlastností trojuholníka spojeného s týmito a inými bodmi bolo začiatkom vytvárania novej vetvy základnej matematiky - "geometria trojuholníka" alebo "geometrie" trojuholníka ", ktorú Leonard Eileler stal jedným z generálov. V roku 1765, EULER ukázal, že v akomkoľvek trojuholníku ortocentre, barcenter a stred opísaného kruhu leží na jednej priamke, pomenované neskôr "Direct Euler".
Trojuholník
Trojuholník - geometrický tvar pozostávajúci z troch bodov, ktoré nie sú ležiace na jednej priamke a tri segmenty, párové pripojenie týchto bodov. Body -vershins trojuholník, segmenty -stranám Trojuholník.
V A, B, C - Vershins
AV, SUN, SA - STRANA
A C.
Štyri body sú spojené s každým trojuholníkom:
Priemerný bod je medián;
Bissectrisový priesečník;
Výškový priesečník.
Priesečník stredného kolmej;
1.2. Trojuholník Mediány
Medina trojuholník - Pripojenie vrcholu Zo strednej opačnej strany (obrázok 1). Bod priesečníka mediánu so stranou trojuholníka sa nazýva základňa mediánu.
Obrázok 1. Trojuholník Mediány
Vytvárame stred po stranách trojuholníka a vykonajte segmenty spájajúce každý z vrcholov zo stredu opačnej strany. Takéto segmenty sa nazývajú medián.
A opäť pozorujeme, že tieto segmenty sa pretínajú v jednom bode. Ak zmerame dĺžku výsledných segmentov mediánu, potom môžete skontrolovať inú nehnuteľnosť: priesečníkový bod Medián rozdeľuje všetkých mediánov s ohľadom na 2: 1, počítanie z vrcholov. A ešte trojuholník, ktorý sa spolieha na okraji ihly na križovatke mediánu, je v rovnováhe! Bod, ktorý má takýto majetok, sa nazýva ťažisko (barcenter). Centrum rovnakých hmôt sa niekedy nazýva centroid. Preto môžu byť vlastnosti mediánu trojuholníka formulovať nasledovne: Mediány trojuholníka sa pretínajú v ťažisku a priesečníkový bod sú rozdelené do 2: 1, počítanie z vrcholu.
1.3. Trojuholníkový bisector
Bissectrice zavolaný bisector z uhla vynaloženého z hornej časti uhla k jeho križovatke s opačnou stranou. Trojuholník má tri bisewitters zodpovedajúce tri z jeho vrcholov (obrázok 2).
Obrázok 2. Trojuholníkový bisector
V ľubovoľnom trojuholníku ABC bude vykonávať bisector jeho rohov. A opäť, s presnou konštrukciou, všetky tri bisEctor cross v jednom bode D. Bod D je tiež nezvyčajné: je rovná všetkých troch stranách trojuholníka. To možno overiť, ak vynecháte kolmo na DA 1, DB 1 a DC1 na strane trojuholníka. Všetky z nich sú rovnaké: DA1 \u003d DB1 \u003d DC1.
Ak máte kruh so stredom v bode D a DA 1 polomer, potom sa dotkne všetkých troch strán trojuholníka (to znamená, že bude mať s každým z nich len jeden spoločný bod). Takýto kruh sa nazýva zapísaný v trojuholníku. Takže bisector trojuholníkových uhlov pretína v strede napísaného kruhu.
1.4. Výška v trojuholníku
Trojuholník výška - Vynechané zhora Na opačnej strane alebo priame, čo sa zhoduje s opačnou stranou. V závislosti od typu trojuholníka môže byť výška obsiahnutá vo vnútri trojuholníka (pre trojuholník), sa zhoduje s jeho bokom (byť Trojuholník) alebo prejsť mimo trojuholníka v hlúpe trojuholník (obrázok 3).
Obrázok 3. Výšky v trojuholníkoch
Ak sa v trojuholníku vybudovať tri výšky, potom sa všetci z nich pretínajú v jednom bode H. Tento bod sa nazýva orto-centrum. (Obrázok 4).
S pomocou stavieb môžete skontrolovať, či je v závislosti od typu trojuholníka, ortocentre sa nachádza odlišne:
akútny koronálny trojuholník je vo vnútri;
na obdĺžnikové - na hyptonuse;
na hlúpe - vonku.
Obrázok 4. Ortoenterový trojuholník
Stretli sme sa teda s jedným pozoruhodným bodom trojuholníka a môžeme povedať, že výška trojuholníka sa pretína v ortocentre.
1.5. Hory kolmé na stranách trojuholníka
Stredný kolmý na segment je priamy, kolmý na tento segment a prechádza cez stred.
Nakreslite ľubovoľný trojuholník ABC a strávte strednú kolmo na svojich strán. Ak je konštrukcia presne presná, potom všetky kolmy prenasleduje na jednom mieste - bod o. Tento bod je ekvivalentný všetkým vrcholom trojuholníka. Inými slovami, ak držíte kruh s centrom v bode o, prechádzajúcej jedným z vrcholov trojuholníka, prejde cez dve ďalšie vrcholy.
Kruh prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka sa volá v jeho blízkosti. Preto môže byť inštalovaná vlastnosť trojuholníka formulovaná nasledovne: Stredná kolmo na boky trojuholníka sa prelína v strede opísaného kruhu (obrázok 5).
Obrázok 5. Trojuholník zapísaný v kruhu
Kapitola 2. Štúdia nádherných bodov trojuholníka.
Vyšetrovanie výšky v trojuholníkoch
Všetky tri výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva ortro trojuholník.
Výška akútneho trojuholníka sa nachádza striktne vnútri trojuholníka.
V súlade s tým je bod križovatky výšky aj vo vnútri trojuholníka.
V pravouhlom trojuholníku sa dve výšky zhodujú so stranami. (Toto sú výška vykonávané z vrcholov ostrých rohov do kategórií).
Výška, ktorá sa uskutočnila pre hyptootenuuse leží vo vnútri trojuholníka.
AC-výška, ktorá sa uskutočnila zhora so stranou AB.
AB - Výška vykonaná z horného B na AC.
AK - výška vykonaná z vrcholu priameho uhla A k Hypotenuz Sun.
Výšky obdĺžnikového trojuholníka sa pretínajú vo vrchole priameho uhla (A - Orthocentre).
V hlúpe trojuholník vo vnútri trojuholníka leží len jedna výška je tá, ktorá sa vykonáva z hornej časti hlúpeho uhla.
Dve ďalšie výšky ležia mimo trojuholníka a vynechajú sa na pokračovanie strán trojuholníka.
AK - výška vykonaná na boku BC.
BF - výška vykonaná na pokračovanie strany AU.
CD - výška vykonaná na pokračovanie strany AB.
Bod priesečníka výšok hlúpeho trojuholníka je tiež mimo trojuholníka:
H je orthocenter trojuholník ABC.
Výskum Bissectris v trojuholníku
Trojuholníkový bisector je súčasťou trojuholníkového uhla bisector (lúče), ktorý je vo vnútri trojuholníka.
Všetky tri trojuholníkové bisers sa pretínajú v jednom bode.
Priestorový bod bisecu v akútnom koronálnom, hlúpe a obdĺžnikových trojuholníkoch je centrum napísané v trojuholníku kruhu a je vo vnútri.
Výskum medián v trojuholníku
Vzhľadom k tomu, trojuholník má tri vrcholy a tri strany, potom segmenty spájajúce vrchol a stred protiľahlej strany sú tiež tri.
Študovaním týchto trojuholníkov som si uvedomil, že v každom trojuholníku mediánov pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva Ťažisko trojuholníka.
Štúdium stredného kolmo na boku trojuholníka
Stredný kolmý Trojuholník je kolmé strávený stredom stranou trojuholníka.
Tri stredné kolmo trojuholníky sa prelínajú v jednom bode, sú centrum popísané kruhu.
Miesto križovatky stredného kolmeho v akútnom koronálnom trojuholníku leží vo vnútri trojuholníka; v hlúpe - mimo trojuholníka; V obdĺžnikovom - uprostred hyptonenutuse.
Záver
V priebehu vykonanej práce dospejeme na tieto závery:
Cieľ sa dosiahne:trojuholník bol skúmaný a našiel svoje nádherné body.
Úlohy sú vyriešené:
jeden). Študovala potrebnú literatúru;
2). Študoval klasifikáciu nádherných bodov trojuholníka;
3). Naučili sa, ako budovať nádherné trojuholníkové body;
štyri). Sumarizoval študovaný materiál pre návrh brožúry.
Hypotéza, že schopnosť nájsť nádherné trojuholníkové body pomáha pri riešení úloh na výstavbu.
Papier konzistentne stanovuje techniky na výstavbu pozoruhodných bodov trojuholníka, historické informácie o geometrických konštrukciách.
Informácie z tejto práce môžu byť užitočné v lekciách geometrie v triede 7. Brožúra sa môže stať sprievodcom na geometrii na uvedenej téme.
Bibliografia
Učebnica. L.S. Atanasyan "geometria 7-9 triedy Mnemozina, 2015.
Wikipediahtts: //ru.wikipedia.org/wiki/heometrium#/media/file: euclid% 27s_postulates.png
Portál Scarlet plachty
Vedúci vzdelávací portál Ruska http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157
V tejto lekcii sa pozrieme na štyri nádherné body trojuholníka. Na dvoch z nich budeme podrobne objavovať, zapamätať si dôkazy o dôležitých teoremoch a vyriešiť úlohu. Zvyšok si spomínajú a charakterizujú.
Predmet:Opakovanie geometrie stupňa 8
Lekcia: Štyri nádherné trojuholníkové body
Trojuholník je predovšetkým tri segmenty a tri uhol, takže vlastnosti segmentov a rohov sú základom.
Nastaviť segment AV. Tam je uprostred akéhokoľvek segmentu a cez ňu je možné držať kolmú - označujeme ho pre p. Preto je p je stredný kolmý.
Veta (hlavná vlastnosť stredného kolmo)
Akýkoľvek bod ležiaci na strednom kolmej je ekvidistant od koncov segmentu.
Dokázať, že
Dôkaz:
Zvážte trojuholníky a (pozri obr. 1). Sú obdĺžnikové a rovnaké, pretože Majú spoločnú cettet OM a Kartátky JSC a H sú rovnaké pod podmienkou, máme teda dva obdĺžnikové trojuholníky rovnajúce sa dve kategórie. Z toho vyplýva, že hypotenzunky trojuholníkov sú tiež rovnaké, to znamená, že bolo potrebné dokázať.
Obr. jeden
Nepodarilo sa reverznej teorem.
Teorem
Každý bod ekvidistant od koncov segmentu leží na strednom kolmej na tento segment.
Segment AB, v polovici kolmej na ňu P, bod m, ekvidistant z koncov segmentu (pozri obr. 2).
Dokážte, že bod m leží na strednom kolmej na segment.
Obr. 2.
Dôkaz:
Zvážte trojuholník. Je to izolované, pretože podľa stavu. Zvážte trojuholníkový medián: bod o - uprostred základne AV, OM - medián. Podľa majetku rovnako pripútaného trojuholníka je medián strávený na svojom základe súčasne výška a bisetor. Z toho vyplýva, že. Priama čiara je však tiež kolmá na AV. Vieme, že v bode O, môžete urobiť jediný kolmý na segment AV, znamená to, že rovné čiary a p zhodnotiť, z toho vyplýva, že bod m patrí do priamky, ktorá bola potrebná na preukázanie.
Ak potrebujete popísať kruh asi jedného segmentu, môže sa to urobiť, a existuje veľa takýchto kruhov, ale stred každého z nich bude ležať na strednom kolmej na segment.
Hovorí sa, že uvedená kolmá je geometrická oblasť bodov rovných koncom segmentu.
Trojuholník pozostáva z troch segmentov. Budeme držať jeden z nich stredný kolmé a dostať bod o ich križovatke (pozri obr. 3).
Bod o patrí do stredného kolmo na stranu trojuholníka, to znamená, že je to rovnaca z jeho vrcholov v a C, označujeme vzdialenosť pre R:.
Okrem toho, bod o je na strednom kolmej na segment AB, t.j. Avšak odtiaľto.
Teda bod priesečníka dvoch stredných
Obr. 3.
trojuholník kolmky je ekvidistant z jeho vrcholov, a teda leží na treťom prostredí kolmého.
Opakovali sme dôležitý dôkaz o dôležitom teorem.
Tri stredné kolmo trojuholníky sa pretínajú v jednom bode - stred popísané kruhu.
Takže sme sa pozreli na prvý nádherný bod trojuholníka - bodu priesečníka jeho stredného kolmého.
Obrátime sa na vlastnosti ľubovoľného uhla (pozri obr. 4).
Uhol je daný, jeho bisector al, bod m leží na bisektore.
Obr. štyri
Ak sa bod m leží na bisektore uhla, potom sa rovná strane uhla, to znamená, že vzdialenosť od bodu m až AC a na celú stranu uhla sú rovnaké.
Dôkaz:
Zvážiť trojuholníky a. Sú to pravouhlé trojuholníky a sú rovnaké, pretože Existujú všeobecné hypotézy, a uhly sú rovnaké, pretože AL je bisetor uhla. Obdĺžnikové trojuholníky sa teda rovná hyptonuse a akútnemu rohu, z toho vyplýva, že je potrebné dokázať. Preto je bod na bisector z uhla rovný stranám tohto rohu.
Nepodarilo sa reverznej teorem.
Teorem
Ak je bod ekvidistant zo strany rovnomerného uhla, leží na jeho bisektore (pozri obr. 5).
Existuje chybný uhol, bod m, taká, že vzdialenosť od neho na boku uhla je rovnaká.
Dokážte, že bod m leží na bisetore rohu.
Obr. päť
Dôkaz:
Vzdialenosť od bodu na priamu je dĺžka kolmo. Vykonávame z bodu m kolmého MK na stranu AB a MR na boku AU.
Zvážiť trojuholníky a. Sú to pravouhlé trojuholníky a sú rovnaké, pretože Majú všeobecné hypotézu AM, MK a pána Karta sú rovnaké podľa stavu. Takže pravouhlé trojuholníky sa teda rovná hypotenuse a katedrácii. Z rovnosti trojuholníkov sa nasleduje rovnosť zodpovedajúcich prvkov, rovnaké uhly sú umiestnené proti rovnakým katétrom, takže 
Preto bod m leží na bisetore tohto uhla.
Ak potrebujete vstúpiť do kruhu do uhla, môže sa to urobiť, a takéto kruhy sú nekonečne veľa, ale ich centrá ležia na bisetore tohto uhla.
Hovorí sa, že bisector je geometrická oblasť bodov ekvidistant z boku uhla.
Trojuholník sa skladá z troch uhlov. Vytvárame bisector z dvoch z nich, dostaneme bod o ich križovatke (pozri obr. 6).
Bod o leží na bisetore z uhla, to znamená, že je to ekvidistant jeho strán AV a Slnko, označujeme vzdialenosť pre R:. Tiež, bod o leží na bisetore uhla, to znamená, že je to ekvidistant zo svojich strán AC a Slnka :.
Je ľahké si uvedomiť, že priesečník bisector je ekvidistant zo strán tretieho uhla, čo znamená, že leží
Obr. 6.
bissektris roh. Tak, všetky tri trojuholníkové bisketers pretínajú v jednom bode.
Takže sme si spomenuli na dôkaz o ďalšej dôležitej teorem.
Bisector rohov trojuholníka sa pretína v jednom bode - stred vpredpísaného kruhu.
Tak sme sa pozreli na druhý nádherný bod trojuholníka - bod priesečníka bisecu.
Preskúmali sme bisector z uhla a poznamenali sme svoje dôležité vlastnosti: Bisectorové body sú rovnakostné z boku uhla, okrem toho, segmenty dotyčnice, uskutočňované na obvod z jedného bodu sú rovnaké.
Predstavujeme určitú notáciu (pozri obr. 7).
Označujú rovnaké segmenty tančín cez X, Y a Z. Strana lietadla ležiaceho proti vrcholu A je označená ako podobná AC ako B, AB as.
Obr. 7.
Úloha 1: V trojuholníku sú známe pol metra a dĺžka strán. Nájdite dĺžku dotyčnice, vykonaná z horného A - AK, označeného pre X.
Je zrejmé, že trojuholník nie je úplne nastavený, a existuje mnoho takýchto trojuholníkov, ale ukazuje sa, niektoré prvky sú bežné.
Pre úlohy, v ktorých hovoríme o zapísanom kruhu, môžete ponúknuť nasledovnú metódu rozhodnutia:
1. Vykonajte bisector a získajte centrum napísané kruh.
2. Z centra na vykonávanie kolmého na stranách a získajte dotykové body.
3. Označte rovnocenných tangás.
4. Ak chcete napísať prepojenie medzi stranami trojuholníka a dotyčníkom.
Štyri nádherné body
Trojuholník
Geometria
8. ročník
SACHAROV NATALIA IVANOVNA
MBOU SOSH №28 symperopol
- Bod priečny mediánsky trojuholník
- Bod priesečníka Bisector Trojuholník
- Trojuholník Výška križovatky
- Priesečník mediánskych kolmých prvkov trojuholníka
Medián
Medián (BD) Trojuholník sa nazýva segment, ktorý spája vrchol trojuholníka zo stredu opačnej strany.
Mediány Trojuholník sa pretína v jednom bode (ťažisko Trojuholník) a rozdeliť tento bod z hľadiska 2: 1, počítanie zhora.
Bisector
Bissectrice (AD) Trojuholník sa nazýva segment vnútorného rohu trojuholníka. ∟ BAD \u003d ∟ CAD.
Každý bod bissektris Inteligentný uhol sa rovná jeho stranám.
Späť: Každý bod ležiaci vo vnútri uhla a ekvidistant z boku uhla leží na jeho bissectrice.
Všetky bisector Trojuholník sa pretína v jednom bode centrum je zapísané v trojuholníku kruh.
Polomer kruhu (om) je kolmý, spustený zo stredu (SO) na stranu trojuholníka
Výška
Výška (CD) Trojuholník sa nazýva kolmý segment, spustený z vrcholu trojuholníka na priamku obsahujúcu opačnú stranu.
Výška trojuholník (alebo ich pokračovanie) pretínajú jeden bod.
Stredný kolmý
Serino kolmý (DF) Nazýva sa rovno, kolmé na stranu trojuholníka a rozdeľuje ho na polovicu.
Každý bod stredný kolmý m) segment je ekvidistant od koncov tohto segmentu.
Späť: Každý bod, ekvidistant z koncov segmentu, leží na strede kolmý jemu.
Všetky stredné kolmé strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode opísal centrum V blízkosti trojuholníka kruh .
Polomer opísal obvodu je vzdialenosť od stredu kruhu na ľubovoľný vrchol trojuholníka (OA).
P. \\ t 177 №675 (kreslenie)
Domáca úloha
P.173 § 3 Definície a vety str.177 č. 675 (Dokončenie)
