Zvážte normálne rozdelenie. Pomocou funkcieMS EXCELNORM.DIST() Nakreslíme distribučnú funkciu a hustotu pravdepodobnosti. Vygenerujeme pole náhodných čísel rozdelených podľa normálneho zákona a vyhodnotíme parametre rozdelenia, strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku.
Normálne rozdelenie(tiež nazývaná Gaussova distribúcia) je najdôležitejšia v teórii a aplikáciách systémov riadenia kvality. Dôležitosť hodnoty Normálne rozdelenie(Angličtina) Normálnedistribúcia) v mnohých oblastiach vedy vyplýva z teórie pravdepodobnosti.
Definícia: Náhodná hodnota X distribuované naprieč normálny zákon ak má:
Normálne rozdelenie závisí od dvoch parametrov: μ (mu)- je , a σ ( sigma)- je (štandardná odchýlka). Parameter μ určuje polohu stredu hustota pravdepodobnosti normálne rozdelenie, a σ je rozpätie vzhľadom k stredu (priemer).
Poznámka: Vplyv parametrov μ a σ na tvar rozdelenia je popísaný v článku o, a v vzorový súbor na liste Vplyv parametrov Pomocou nej môžete pozorovať zmenu tvaru krivky.
Normálna distribúcia v MS EXCEL
V MS EXCEL, počnúc verziou 2010, pre Normálne rozdelenie existuje funkcia NORM.DIST(), anglický názov je NORM.DIST(), ktorá umožňuje počítať hustota pravdepodobnosti(pozri vzorec vyššie) a kumulatívna distribučná funkcia(pravdepodobnosť, že náhodná premenná X sa rozdelí cez normálny zákon, bude mať hodnotu menšiu alebo rovnú x). Výpočty v druhom prípade sa vykonávajú pomocou nasledujúceho vzorca:
Vyššie uvedená distribúcia je určená N(μ; σ). Zápis cez N(μ; σ 2).
Poznámka: Pred MS EXCEL 2010 mal EXCEL iba funkciu NORMDIST(), ktorá umožňuje vypočítať aj distribučnú funkciu a hustotu pravdepodobnosti. NORMDIST() je ponechaný v MS EXCEL 2010 kvôli kompatibilite.
Štandardné normálne rozdelenie
Štandardné normálne rozdelenie volal normálne rozdelenie s μ=0 a σ=1. Vyššie uvedená distribúcia je určená N(0;1).
Poznámka: V literatúre pre náhodnú premennú distribuovanú cez štandardné normálny zákon je priradené osobitné označenie z.
akýkoľvek normálne rozdelenie možno previesť na štandard prostredníctvom variabilnej výmeny z=(X-μ)/σ . Tento proces konverzie sa nazýva štandardizácia.
Poznámka: MS EXCEL má funkciu NORMALIZE(), ktorá vykonáva vyššie uvedenú konverziu. Hoci v MS EXCEL sa táto transformácia z nejakého dôvodu volá normalizácie. Vzorce =(x-μ)/σ a =NORMALIZÁCIA(x;μ;σ) vráti rovnaký výsledok.
V MS EXCEL 2010 pre Existuje špeciálna funkcia NORM.ST.DIST() a jej starší variant NORMSDIST(), ktorý vykonáva podobné výpočty.
Ukážeme, ako prebieha proces štandardizácie v MS EXCEL normálne rozdelenie N(1,5; 2).
Na tento účel vypočítame pravdepodobnosť, že sa náhodná premenná rozdelí normálny zákon N(1,5; 2), menšie alebo rovné 2,5. Vzorec vyzerá takto: =NORMAL.DIST(2,5; 1,5; 2; TRUE)=0,691462. Vykonaním variabilnej zmeny z=(2,5-1,5)/2=0,5 , zapíšte si vzorec na výpočet Štandardné normálne rozdelenie:=NORM.ST.DIST(0,5; TRUE)=0,691462.
Prirodzene, oba vzorce poskytujú rovnaké výsledky (pozri. vzorový listový súbor Príklad).
poznač si to štandardizácia platí len pre (argument integrálne rovná sa TRUE), a nie hustota pravdepodobnosti.
Poznámka: V literatúre pre funkciu, ktorá počíta pravdepodobnosti náhodnej premennej rozloženej cez štandardné normálny zákon je zafixované osobitné označenie Ф(z). V MS EXCEL sa táto funkcia vypočíta pomocou vzorca
=NORM.ST.DIST(z;TRUE). Výpočty sa robia pomocou vzorca
Vzhľadom na paritu funkcie rozdelenie f(x), a to f(x)=f(-x), funkcia štandardné normálne rozdelenie má vlastnosť Ф(-x)=1-Ф(x).
Inverzné funkcie
Funkcia NORM.ST.DIST(x;TRUE) vypočíta pravdepodobnosť P, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x. Často sa však vyžaduje opačný výpočet: ak poznáte pravdepodobnosť P, musíte vypočítať hodnotu x. Vypočítaná hodnota x sa nazýva štandardné normálne rozdelenie.
V MS EXCEL na výpočet kvantily použite funkcie NORM.ST.INV() a NORM.INV().
Funkčné grafy
Vzorový súbor obsahuje grafy hustoty distribúcie pravdepodobnosti a kumulatívna distribučná funkcia.
Ako je známe, asi 68% hodnôt vybraných z populácie má normálne rozdelenie, sú v rámci 1 štandardnej odchýlky (σ) od μ (priemer alebo matematické očakávanie); asi 95 % je v rozmedzí 2 σ a už 99 % hodnôt je v rozmedzí 3 σ. Presvedčte sa o tom štandardné normálne rozdelenie môžete napísať vzorec:
=NORM.ST.DIST(1;TRUE)-NORM.ST.DIST(-1;TRUE)
ktorá vráti hodnotu 68,2689 % - to je percento hodnôt, ktoré sú v rozmedzí +/-1 štandardnej odchýlky od priemer(cm. Hárok s grafom vo vzorovom súbore).
Vzhľadom na paritu funkcie norma hustoty normálna distribúcie: f(X)= f(-X), funkcia štandardné normálne rozdelenie má vlastnosť F(-x)=1-F(x). Preto možno vyššie uvedený vzorec zjednodušiť:
=2*NORM.ST.DIST(1;TRUE)-1
Zadarmo normálne distribučné funkcie N(μ; σ) podobné výpočty by sa mali vykonať pomocou vzorca:
2* NORM.DIST(μ+1*σ;μ;σ;TRUE)-1
Vyššie uvedené výpočty pravdepodobnosti sú potrebné pre .
Poznámka: Pre uľahčenie zápisu sú v súbore príkladov vytvorené vzorce pre parametre rozdelenia: μ a σ.
Generovanie náhodných čísel
Vygenerujme 3 polia so 100 číslami, z ktorých každé má rôzne μ a σ. Ak to chcete urobiť v okne generácie náhodné čísla nastavte nasledujúce hodnoty pre každý pár parametrov:
Poznámka: Ak nastavíte možnosť Náhodný rozptyl (Náhodné semeno), potom môžete vybrať konkrétnu náhodnú množinu vygenerovaných čísel. Napríklad nastavením tejto možnosti na 25 môžete generovať rovnaké sady náhodných čísel na rôznych počítačoch (ak sú, samozrejme, rovnaké parametre distribúcie). Hodnota možnosti môže nadobúdať celočíselné hodnoty od 1 do 32 767. Názov možnosti Náhodný rozptyl môže byť mätúce. Bolo by lepšie to preložiť ako Vytočte číslo s náhodnými číslami.
Vo výsledku budeme mať 3 stĺpce čísel, na základe ktorých vieme odhadnúť parametre rozdelenia, z ktorého bola vzorka odobratá: μ a σ . Odhad pre μ je možné urobiť pomocou funkcie AVERAGE() a pre σ pomocou funkcie STANDARDEV.B() viď. príklad hárku súboru Generovanie.
Poznámka: Na generovanie poľa distribuovaných čísel normálny zákon, môžete použiť vzorec =NORM.INV(RAND(),μ,σ). Funkcia RAND() generuje od 0 do 1, čo presne zodpovedá rozsahu zmien pravdepodobnosti (pozri. príklad hárku súboru Generovanie).
Úlohy
Problém 1. Spoločnosť vyrába nylonové nite s priemernou pevnosťou 41 MPa a štandardnou odchýlkou 2 MPa. Spotrebiteľ chce kúpiť nite s pevnosťou najmenej 36 MPa. Vypočítajte pravdepodobnosť, že šarže filamentu vyrobeného spoločnosťou pre zákazníka budú spĺňať alebo prekračovať špecifikácie.
Riešenie1: =1-NORM.DIST(36;41;2;PRAVDA)
Problém 2. Spoločnosť vyrába rúry so stredným vonkajším priemerom 20,20 mm a štandardnou odchýlkou 0,25 mm. Podľa technických špecifikácií sa rúry považujú za vhodné, ak je priemer v rozmedzí 20,00 +/- 0,40 mm. Aký podiel vyrobených rúr spĺňa špecifikácie?
Riešenie2: = NORM.DIST(20,00+0,40;20,20;0,25;TRUE)- NORM.DIST(20,00-0,40;20,20;0,25)
Na obrázku nižšie je zvýraznený rozsah hodnôt priemeru, ktorý spĺňa požiadavky špecifikácie.
Riešenie je uvedené v príklad súboru úloh.
Problém 3. Spoločnosť vyrába rúry so stredným vonkajším priemerom 20,20 mm a štandardnou odchýlkou 0,25 mm. Vonkajší priemer nesmie prekročiť určitú hodnotu (za predpokladu, že spodná hranica nie je dôležitá). Aká horná hranica v technických špecifikáciách musí byť stanovená, aby ju spĺňalo 97,5 % všetkých vyrábaných produktov?
Riešenie 3: =NORM.OBR(0,975; 20,20; 0,25)=20,6899 alebo
=NORM.ST.REV(0,975)*0,25+20,2(„deštandardizácia“ bola vykonaná, pozri vyššie)
Problém 4. Hľadanie parametrov normálne rozdelenie podľa hodnôt 2 (alebo ).
Predpokladajme, že je známe, že náhodná premenná má normálne rozdelenie, ale nie sú známe jej parametre, ale iba 2. percentil(napríklad 0,5- percentil, t.j. medián a 0,95 percentil). Pretože je známy, potom vieme, t.j. μ. Ak chcete nájsť, musíte použiť .
Riešenie je uvedené v príklad súboru úloh.
Poznámka: Pred MS EXCEL 2010 mal EXCEL funkcie NORMINV() a NORMSINV(), ktoré sú ekvivalentom NORM.INV() a NORM.ST.INV() . NORMBR() a NORMSINV() sú ponechané v MS EXCEL 2010 a vyššom len kvôli kompatibilite.
Lineárne kombinácie normálne rozdelených náhodných premenných
Je známe, že lineárna kombinácia normálne rozdelených náhodných premenných X(i) s parametrami μ (i) a σ (i) je tiež normálne distribuovaný. Napríklad, ak náhodná premenná Y=x(1)+x(2), potom Y bude mať rozdelenie s parametrami μ (1)+ μ(2) A ROOT(σ(1)^2+ σ(2)^2). Overme si to pomocou MS EXCEL.
Stručná teória
Normálne je rozdelenie pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej, ktorej hustota má tvar:
kde je matematické očakávanie a je štandardná odchýlka.
Pravdepodobnosť, že nadobudne hodnotu patriacu do intervalu:
kde je Laplaceova funkcia:
Pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky je menšia ako kladné číslo:
Najmä ak platí rovnosť:
Pri riešení problémov, ktoré prináša prax, sa musíme vysporiadať s rôznymi rozdeleniami spojitých náhodných veličín.
Okrem normálneho rozdelenia platia aj základné zákony rozdelenia spojitých náhodných premenných:
Príklad riešenia problému
Časť je vyrobená na stroji. Jeho dĺžka je náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona s parametrami , . Nájdite pravdepodobnosť, že dĺžka súčiastky bude medzi 22 a 24,2 cm Akú odchýlku dĺžky súčiastky je možné zaručiť s pravdepodobnosťou 0,92; 0,98? V akých medziach, symetrických vzhľadom na , budú ležať takmer všetky rozmery dielov?
Riešenie:
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná rozdelená podľa normálneho zákona bude v intervale:
Dostaneme:
Pravdepodobnosť, že sa normálne rozložená náhodná premenná bude odchyľovať od priemeru najviac o .
Zákon normálneho rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej premennej zaujíma osobitné miesto medzi rôznymi teoretickými zákonmi, pretože je základom mnohých praktických štúdií. Opisuje väčšinu náhodných javov spojených s výrobnými procesmi.
Medzi náhodné javy, ktoré sa riadia zákonom normálneho rozdelenia, patria chyby merania výrobných parametrov, rozloženie technologických výrobných chýb, výška a hmotnosť väčšiny biologických objektov atď.
Normálne je zákon rozdelenia pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny, ktorá je opísaná diferenciálnou funkciou
a - matematické očakávanie náhodnej premennej;
Smerodajná odchýlka normálneho rozdelenia.
Graf diferenciálnej funkcie normálneho rozdelenia sa nazýva normálna krivka (Gaussova krivka) (obr. 7).
Ryža. 7 Gaussova krivka
Vlastnosti normálnej krivky (Gaussova krivka):
1. krivka je symetrická podľa priamky x = a;
2. normálna krivka je umiestnená nad osou X, t.j. pre všetky hodnoty X je funkcia f(x) vždy kladná;
3. Os ox je horizontálna asymptota grafu, pretože
4. pre x = a má funkcia f(x) maximum rovné
,
v bodoch A a B at a krivka má inflexné body, ktorých súradnice sú rovnaké.
Pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne smerodajnú odchýlku, sa zároveň rovná 0,6826.
v bodoch E a G, pre a , je hodnota funkcie f(x) rovná
a pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne dvojnásobok smerodajnej odchýlky je 0,9544.
Gaussova krivka v bodoch C a D, v a , sa asymptoticky približuje k osi x veľmi blízko. V týchto bodoch je hodnota funkcie f(x) veľmi malá
a pravdepodobnosť, že absolútna hodnota odchýlky normálne rozloženej náhodnej premennej od jej matematického očakávania nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky je 0,9973. Táto vlastnosť Gaussovej krivky sa nazýva " pravidlo troch sigma".
Ak je náhodná premenná rozdelená normálne, potom absolútna hodnota jej odchýlky od matematického očakávania nepresiahne trojnásobok štandardnej odchýlky.
Zmena hodnoty parametra a (matematické očakávanie náhodnej premennej) nemení tvar normálnej krivky, ale vedie iba k jej posunutiu pozdĺž osi X: doprava, ak sa a zvyšuje, a doľava, ak a klesá.
Keď a=0, normálna krivka je symetrická podľa ordináty.
Zmenou hodnoty parametra (štandardná odchýlka) sa mení tvar normálnej krivky: s rastúcimi ordinátami normálnej krivky sa zmenšujú, krivka sa naťahuje pozdĺž osi X a pritláča sa k nej. Keď klesá, súradnice normálnej krivky sa zväčšujú, krivka sa zmenšuje pozdĺž osi X a stáva sa „špicatejšou“.
Zároveň pre všetky hodnoty a oblasť ohraničená normálnou krivkou a osou X zostáva rovná jednej (t. j. pravdepodobnosť, že normálne rozložená náhodná premenná nadobudne hodnotu ohraničenú na osi X normálnej krivky sa rovná 1).
Normálne rozdelenie s ľubovoľnými parametrami a , t.j. popísané diferenciálnou funkciou
volal všeobecné normálne rozdelenie.
Normálne rozdelenie s parametrami sa nazýva normalizované rozdelenie(obr. 8). Pri normalizovanom rozdelení sa funkcia diferenciálneho rozdelenia rovná:
Ryža. 8 Normalizovaná krivka
Kumulatívna funkcia všeobecného normálneho rozdelenia má tvar:
Nech je náhodná premenná X rozdelená podľa normálneho zákona v intervale (c, d). Potom je pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (c, d), rovná
Príklad. Náhodná premenná X je rozdelená podľa normálneho zákona. Matematické očakávanie a smerodajná odchýlka tejto náhodnej premennej sa rovnajú a=30 a . Nájdite pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu v intervale (10, 50).
Podľa podmienok: . Potom
Pomocou hotových Laplaceových tabuliek (pozri prílohu 3) máme.
(skutočné, prísne pozitívne)
Normálne rozdelenie, tiež nazývaný Gaussovo rozdelenie alebo Gauss - Laplace- rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré je v jednorozmernom prípade špecifikované funkciou hustoty pravdepodobnosti zhodujúcou sa s Gaussovou funkciou:
f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)kde parameter μ je očakávaná (stredná hodnota), medián a spôsob distribúcie a parameter σ je štandardná odchýlka (σ² je rozptyl) distribúcie.
Jednorozmerné normálne rozdelenie je teda dvojparametrová rodina rozdelení. Viacrozmerný prípad je opísaný v článku „Multivariačná normálna distribúcia“.
Štandardné normálne rozdelenie sa nazýva normálne rozdelenie s matematickým očakávaním μ = 0 a smerodajnou odchýlkou σ = 1.
Encyklopedický YouTube
-
1 / 5
Dôležitosť normálneho rozdelenia v mnohých oblastiach vedy (napríklad v matematickej štatistike a štatistickej fyzike) vyplýva z ústrednej limitnej vety teórie pravdepodobnosti. Ak je výsledkom pozorovania súčet mnohých náhodných slabo vzájomne závislých veličín, z ktorých každá má malý príspevok v pomere k celkovému súčtu, potom ako sa počet členov zvyšuje, rozdelenie centrovaného a normalizovaného výsledku má tendenciu byť normálne. Tento zákon teórie pravdepodobnosti vedie k rozšírenému rozdeleniu normálneho rozdelenia, čo bolo jedným z dôvodov jeho názvu.
Vlastnosti
Momenty
Ak náhodné premenné X 1 (\displaystyle X_(1)) A X 2 (\displaystyle X_(2)) sú nezávislé a majú normálne rozdelenie s matematickými očakávaniami μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) A μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) a odchýlky σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) A σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) podľa toho teda X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) má tiež normálne rozdelenie s matematickým očakávaním μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) a rozptyl σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Z toho vyplýva, že normálna náhodná premenná môže byť reprezentovaná ako súčet ľubovoľného počtu nezávislých normálnych náhodných premenných.
Maximálna entropia
Normálne rozdelenie má maximálnu diferenciálnu entropiu medzi všetkými spojitými rozdeleniami, ktorých rozptyl nepresahuje danú hodnotu.
Modelovanie normálnych pseudonáhodných premenných
Najjednoduchšie približné metódy modelovania sú založené na centrálnej limitnej vete. Totiž, ak sčítate niekoľko nezávislých identicky rozdelených veličín s konečným rozptylom, potom sa rozdelí súčet približne Dobre. Napríklad, ak štandardne pridáte 100 nezávislých rovnomerne distribuovaných náhodných premenných, potom bude rozdelenie súčtu približne normálne.
Pre programové generovanie normálne distribuovaných pseudonáhodných premenných je výhodné použiť Box-Mullerovu transformáciu. Umožňuje vám vygenerovať jednu normálne rozloženú hodnotu na základe jednej rovnomerne rozloženej hodnoty.
Normálna distribúcia v prírode a aplikáciách
Normálna distribúcia sa často nachádza v prírode. Napríklad nasledujúce náhodné premenné sú dobre modelované normálnym rozdelením:
- odchýlka pri streľbe.
- chyby merania (chyby niektorých meracích prístrojov však nemajú normálne rozdelenia).
- niektoré charakteristiky živých organizmov v populácii.
Toto rozdelenie je také rozšírené, pretože ide o nekonečne deliteľné spojité rozdelenie s konečným rozptylom. Preto sa k nej približujú niektorí iní v limite, napríklad binomická a Poissonova. Toto rozdelenie modeluje mnoho nedeterministických fyzikálnych procesov.
Vzťah s inými distribúciami
- Normálne rozdelenie je Pearsonovo rozdelenie typu XI.
- Pomer dvojice nezávislých štandardných normálne rozdelených náhodných premenných má Cauchyho rozdelenie. Teda ak náhodná premenná X (\displaystyle X) predstavuje vzťah X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Kde Y (\displaystyle Y) A Z (\displaystyle Z)- nezávislé štandardné normálne náhodné premenné), potom bude mať Cauchyho rozdelenie.
- Ak z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- spoločne nezávislé štandardné normálne náhodné premenné, tzn z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), potom náhodná premenná x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) má chí-kvadrát rozdelenie s k stupňami voľnosti.
- Ak náhodná premenná X (\displaystyle X) podlieha lognormálnemu rozdeleniu, potom má jeho prirodzený logaritmus normálne rozdelenie. Teda ak X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), To Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). A naopak, ak Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), To X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \správny)).
- Pomer druhých mocnín dvoch štandardných normálnych náhodných premenných má
Náhodné, ak v dôsledku experimentu môže nadobudnúť skutočné hodnoty s určitou pravdepodobnosťou. Najkompletnejšou a najkomplexnejšou charakteristikou náhodnej premennej je zákon rozdelenia. Distribučný zákon je funkcia (tabuľka, graf, vzorec), ktorá umožňuje určiť pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne určitú hodnotu xi alebo spadne do určitého intervalu. Ak má náhodná premenná daný distribučný zákon, potom sa hovorí, že je rozdelená podľa tohto zákona alebo sa riadi týmto zákonom o rozdelení.
Každý distribučný zákon je funkcia, ktorá úplne opisuje náhodnú premennú z pravdepodobnostného hľadiska. V praxi sa rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej X často musí posudzovať iba z výsledkov testov.
Normálne rozdelenie
Normálne rozdelenie, tiež nazývané Gaussovo rozdelenie, je rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré hrá rozhodujúcu úlohu v mnohých oblastiach poznania, najmä vo fyzike. Fyzikálna veličina sleduje normálne rozdelenie, keď je vystavená vplyvu veľkého počtu náhodných šumov. Je jasné, že táto situácia je mimoriadne bežná, takže môžeme povedať, že zo všetkých rozdelení je v prírode najbežnejšie normálne rozdelenie – odtiaľ jeden z jeho mien.
Normálne rozdelenie závisí od dvoch parametrov – posunutia a mierky, čiže z matematického hľadiska nejde o jedno rozdelenie, ale o celú ich rodinu. Hodnoty parametrov zodpovedajú hodnotám priemeru (matematické očakávanie) a rozpätia (štandardná odchýlka).
Štandardné normálne rozdelenie je normálne rozdelenie s matematickým očakávaním 0 a štandardnou odchýlkou 1.
Koeficient asymetrie
Koeficient šikmosti je kladný, ak je pravý koniec rozdelenia dlhší ako ľavý, a v opačnom prípade záporný.
Ak je rozdelenie symetrické vzhľadom na matematické očakávanie, potom je jeho koeficient asymetrie nulový.
Koeficient šikmosti vzorky sa používa na testovanie symetrie rozloženia, ako aj na hrubý predbežný test na normalitu. Umožňuje vám odmietnuť, ale neumožňuje prijať hypotézu normality.
Kurtózny koeficient
Koeficient špičky (špičkový koeficient) je mierou ostrosti vrcholu distribúcie náhodnej premennej.
Na konci vzorca sa zavedie „mínus tri“, takže koeficient špičatosti normálneho rozdelenia sa rovná nule. Je pozitívny, ak je vrchol rozloženia okolo matematického očakávania ostrý, a negatívny, ak je vrchol hladký.
Okamihy náhodnej premennej
Moment náhodnej veličiny je číselná charakteristika rozdelenia danej náhodnej veličiny.
