Nezáporná druhá odmocnina kladného čísla sa nazýva aritmetická druhá odmocnina a označuje sa pomocou radikálneho znamienka.
Komplexné čísla
Nad oborom komplexných čísel existujú vždy dve riešenia, ktoré sa líšia iba znamienkom (s výnimkou odmocnina od nuly). Koreň komplexného čísla sa často označuje ako , ale tento zápis treba používať opatrne. Častá chyba:
Na extrakciu druhej odmocniny komplexného čísla je vhodné použiť exponenciálnu formu zápisu komplexného čísla: ak
,
,
kde koreň modulu sa chápe v zmysle aritmetická hodnota a k môže nadobudnúť hodnoty k=0 a k=1, takže odpoveď skončí s dvoma rôznymi výsledkami.
Zovšeobecnenia
Druhé odmocniny sa zavádzajú ako riešenia rovníc tvaru pre iné objekty: matice, funkcie, operátory atď. Ako operáciu možno použiť ľubovoľné multiplikatívne operácie, napríklad superpozíciu.
Druhá odmocnina v informatike
V mnohých programovacích jazykoch na úrovni funkcií (rovnako ako v značkovacích jazykoch ako LaTeX) je funkcia druhej odmocniny napísaná ako sqrt(z angličtiny odmocnina"Odmocnina").
Algoritmy na nájdenie druhej odmocniny
Nájdenie alebo výpočet druhej odmocniny daného čísla sa nazýva extrakcia(odmocnina.
Rozšírenie Taylorovho radu
v .Aritmetická druhá odmocnina
Pre druhé mocniny čísel platia nasledujúce rovnosti:
To znamená, že môžete zistiť celú časť druhej odmocniny čísla tak, že od nej odčítate všetky nepárne čísla v poradí, kým zvyšok nie je menší ako nasledujúce odpočítané číslo alebo sa rovná nule, a spočítate počet vykonaných akcií. Napríklad takto:
3 kroky sú dokončené, druhá odmocnina z 9 je 3.
Nevýhodou tejto metódy je, že ak extrahovaný koreň nie je celé číslo, potom môžete zistiť iba jeho celú časť, ale nie presnejšie. Zároveň je táto metóda celkom prístupná deťom, ktoré riešia jednoduché matematické úlohy vyžadujúce extrakciu druhej odmocniny.
Hrubý odhad
Mnoho výpočtových algoritmov odmocniny z kladného reálneho čísla S vyžadujú určitú počiatočnú hodnotu. Ak je počiatočná hodnota príliš vzdialená od skutočnej hodnoty koreňa, výpočty sa spomalia. Preto je užitočné mať hrubý odhad, ktorý môže byť veľmi nepresný, ale dá sa ľahko vypočítať. Ak S≥ 1, let D bude počet číslic S naľavo od desatinnej čiarky. Ak S < 1, пусть D bude počet po sebe idúcich núl napravo od desatinnej čiarky, braných so znamienkom mínus. Potom hrubý odhad vyzerá takto:
Ak D zvláštny, D = 2n+ 1, potom použite 
Ak D dokonca, D = 2n+ 2, potom použite 
Dva a šesť sa používajú, pretože 
A
Pri práci v binárnom systéme (ako v počítačoch) by sa malo použiť iné vyhodnotenie (tu D je počet binárnych číslic).
Geometrická druhá odmocnina
Na manuálne extrahovanie koreňa sa používa zápis podobný dlhému deleniu. Číslo, ktorého koreň hľadáme, sa zapíše. Napravo od neho postupne získame čísla požadovaného koreňa. Zoberme si odmocninu čísla s konečným počtom desatinných miest. Na začiatok, mentálne alebo so značkami, rozdelíme číslo N do skupín po dvoch čísliciach naľavo a napravo od desatinnej čiarky. V prípade potreby sa skupiny doplnia nulami - celočíselná časť je doplnená vľavo, zlomková časť vpravo. Takže 31234.567 môže byť reprezentované ako 03 12 34. 56 70. Na rozdiel od delenia sa demolácia vykonáva v takých 2-miestnych skupinách.
Vizuálny popis algoritmu:
Je čas to vyriešiť metódy extrakcie koreňov. Sú založené na vlastnostiach koreňov, najmä na rovnosti, ktorá platí pre každé nezáporné číslo b.
Nižšie sa pozrieme na hlavné metódy extrakcie koreňov jeden po druhom.
Začnime s najjednoduchším prípadom - extrahovanie koreňov z prirodzených čísel pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
Ak tabuľky štvorcov, kociek atď. Ak ho nemáte po ruke, je logické použiť metódu extrakcie koreňa, ktorá zahŕňa rozklad radikálneho čísla na prvočísla.
Za zmienku stojí najmä to, čo je možné pre korene s nepárnymi exponentmi.
Nakoniec uvažujme o metóde, ktorá nám umožňuje postupne nájsť číslice koreňovej hodnoty.
Začnime.
Pomocou tabuľky štvorcov, tabuľky kociek atď.
V najjednoduchších prípadoch vám umožňujú extrahovať korene tabuľky štvorcov, kociek atď. Čo sú to za tabuľky?
Tabuľka druhých mocnín celých čísel od 0 do 99 vrátane (zobrazená nižšie) pozostáva z dvoch zón. Prvá zóna tabuľky je umiestnená na sivom pozadí, výberom konkrétneho riadku a konkrétneho stĺpca umožňuje zostaviť číslo od 0 do 99. Vyberme napríklad riadok s 8 desiatkami a stĺpec s 3 jednotkami, čím sme opravili číslo 83. Druhá zóna zaberá zvyšok tabuľky. Každá bunka sa nachádza na priesečníku určitého riadku a určitého stĺpca a obsahuje druhú mocninu príslušného čísla od 0 do 99. Na priesečníku nami zvoleného radu 8 desiatok a stĺpca 3 jednotiek je bunka s číslom 6 889, čo je druhá mocnina čísla 83.
Tabuľky kociek, tabuľky štvrtej mocniny čísel od 0 do 99 atď. sú podobné tabuľke štvorcov, len v druhej zóne obsahujú kocky, štvrté mocniny atď. zodpovedajúce čísla.
Tabuľky štvorcov, kociek, štvrtej mocniny atď. umožňujú extrahovať odmocniny, kocky, štvrté odmocniny atď. podľa čísel v týchto tabuľkách. Vysvetlíme si princíp ich použitia pri extrakcii koreňov.
Povedzme, že potrebujeme extrahovať n-tú odmocninu čísla a, pričom číslo a je obsiahnuté v tabuľke n-tých mocnín. Pomocou tejto tabuľky nájdeme číslo b také, že a=b n. Potom 
, preto číslo b bude želaným koreňom n-tého stupňa.
Ako príklad si ukážeme, ako použiť tabuľku kociek na extrahovanie odmocniny 19,683. V tabuľke kociek nájdeme číslo 19 683, z nej zistíme, že toto číslo je kockou čísla 27, teda 
.
Je zrejmé, že tabuľky n-tých mocnín sú veľmi vhodné na extrakciu koreňov. Tie však často nie sú po ruke a ich zostavenie si vyžaduje určitý čas. Okrem toho je často potrebné extrahovať korene z čísel, ktoré nie sú obsiahnuté v príslušných tabuľkách. V týchto prípadoch sa musíte uchýliť k iným metódam extrakcie koreňov.
Rozloženie radikálneho čísla na prvočíslo
Pomerne pohodlný spôsob, ako extrahovať koreň prirodzeného čísla (ak je, samozrejme, koreň extrahovaný), je rozložiť radikálové číslo na prvočísla. Jeho ide o to: potom je celkom ľahké ho reprezentovať ako silu s potrebný ukazovateľ, čo vám umožňuje získať hodnotu koreňa. Ujasnime si tento bod.
Nech sa vezme n-tá odmocnina prirodzeného čísla a a jeho hodnota sa rovná b. V tomto prípade platí rovnosť a=b n. Číslo b ako každé iné prirodzené číslo môže byť reprezentované ako súčin všetkých jeho prvočísel p 1 , p 2 , …, p m v tvare p 1 · p 2 · … · p m a radikálové číslo a je v tomto prípade reprezentované ako (p 1 · p 2 · … · p m) n. Keďže rozklad čísla na prvočiniteľ je jedinečný, rozklad radikálového čísla a na prvočíslo bude mať tvar (p 1 ·p 2 ·...·p m) n, čo umožňuje vypočítať hodnotu odmocniny. ako.
Všimnite si, že ak rozklad radikálneho čísla a na prvočísla nemôže byť vyjadrený vo forme (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, potom n-tá odmocnina takéhoto čísla a nie je úplne extrahovaná.
Poďme na to pri riešení príkladov.
Príklad.
Vezmite druhú odmocninu zo 144.
Riešenie.
Ak sa pozriete na tabuľku štvorcov uvedenú v predchádzajúcom odseku, môžete jasne vidieť, že 144 = 12 2, z čoho je zrejmé, že druhá odmocnina zo 144 sa rovná 12.
Ale vo svetle tohto bodu nás zaujíma, ako sa získava koreň rozkladom radikálneho čísla 144 na prvočísla. Pozrime sa na toto riešenie.
Poďme sa rozložiť 144 k hlavným faktorom:
To znamená 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na základe výsledného rozkladu je možné vykonať nasledujúce transformácie: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. teda 
.
Pomocou vlastností stupňa a vlastností koreňov by sa riešenie dalo formulovať trochu inak: .
odpoveď:
Na konsolidáciu materiálu zvážte riešenia ďalších dvoch príkladov.
Príklad.
Vypočítajte hodnotu koreňa.
Riešenie.
Prvočíslo radikálového čísla 243 má tvar 243=3 5 . teda 
.
odpoveď:
Príklad.
Je koreňová hodnota celé číslo?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na túto otázku, rozložme radikálne číslo na prvočíselné faktory a uvidíme, či sa dá reprezentovať ako kocka celého čísla.
Máme 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Výsledné rozšírenie nie je reprezentované ako kocka celého čísla, pretože stupeň hlavným faktorom 7 nie je násobkom troch. Preto odmocnina z 285 768 nemôže byť extrahovaná úplne.
odpoveď:
Nie
Extrahovanie koreňov z zlomkových čísel
Je čas zistiť, ako extrahovať koreň zlomkového čísla. Nech sa zlomkové radikálové číslo zapíše ako p/q. Podľa vlastnosti koreňa kvocientu platí nasledujúca rovnosť. Z tejto rovnosti vyplýva pravidlo na extrakciu koreňa zlomku: Odmocnina zlomku sa rovná podielu odmocniny čitateľa delenej odmocninou menovateľa.
Pozrime sa na príklad extrakcie koreňa zo zlomku.
Príklad.
Čo je druhá odmocnina z spoločný zlomok 25/169 .
Riešenie.
Pomocou tabuľky štvorcov zistíme, že druhá odmocnina čitateľa pôvodného zlomku sa rovná 5 a druhá odmocnina menovateľa sa rovná 13. Potom 
. Tým je ukončená extrakcia koreňa obyčajnej frakcie 25/169.
odpoveď:
Odmocnina desatinného zlomku alebo zmiešaného čísla sa extrahuje po nahradení radikálových čísel obyčajnými zlomkami.
Príklad.
Vezmite odmocninu desatinného zlomku 474,552.
Riešenie.
Predstavme si originál desiatkový ako spoločný zlomok: 474,552=474552/1000. Potom 
. Zostáva extrahovať kubické korene, ktoré sú v čitateli a menovateli výsledného zlomku. Pretože 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 a 1 000 = 10 3, potom 
A 
. Zostáva už len dokončiť výpočty 
.
odpoveď:
.
Odmocnina zo záporného čísla
Stojí za to zastaviť extrakciu koreňov zo záporných čísel. Pri štúdiu koreňov sme povedali, že keď je koreňový exponent nepárne číslo, potom môže byť pod znamienkom odmocniny záporné číslo. Týmto položkám sme dali nasledujúci význam: pre záporné číslo −a a nepárny exponent odmocniny 2 n−1, 
. Táto rovnosť dáva pravidlo na extrakciu nepárnych koreňov zo záporných čísel: Ak chcete extrahovať odmocninu zo záporného čísla, musíte vziať odmocninu z opačného kladného čísla a pred výsledok vložiť znamienko mínus.
Pozrime sa na príklad riešenia.
Príklad.
Nájdite hodnotu koreňa.
Riešenie.
Transformujme pôvodný výraz tak, aby pod znamienkom koreňa bolo kladné číslo: 
. Teraz nahraďte zmiešané číslo obyčajným zlomkom: 
. Aplikujeme pravidlo na extrakciu koreňa obyčajnej frakcie: 
. Zostáva vypočítať korene v čitateli a menovateli výsledného zlomku: 
.
Tu je krátke zhrnutie riešenia: 
.
odpoveď:
.
Bitové určenie koreňovej hodnoty
Vo všeobecnom prípade je pod odmocninou číslo, ktoré pomocou techník diskutovaných vyššie nemôže byť reprezentované ako n-tá mocnina žiadneho čísla. Ale v tomto prípade je potrebné poznať význam daného koreňa, aspoň do určitého znamienka. V tomto prípade na extrahovanie koreňa môžete použiť algoritmus, ktorý vám umožní postupne získať dostatočný počet číslicových hodnôt požadovaného čísla.
Prvým krokom tohto algoritmu je zistiť, aký je najvýznamnejší bit koreňovej hodnoty. Na tento účel sa čísla 0, 10, 100, ... postupne zvyšujú na mocninu n až do okamihu, keď číslo presiahne radikálne číslo. Potom číslo, ktoré sme v predchádzajúcej fáze zvýšili na mocninu n, bude označovať zodpovedajúcu najvýznamnejšiu číslicu.
Zvážte napríklad tento krok algoritmu pri extrakcii druhej odmocniny z piatich. Vezmite čísla 0, 10, 100, ... a odmocnite ich, kým nedostaneme číslo väčšie ako 5. Máme 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, čo znamená, že najvýznamnejšia číslica bude číslica jednotiek. Hodnota tohto bitu, ako aj nižších, sa zistí v ďalších krokoch algoritmu extrakcie koreňa.
Všetky nasledujúce kroky algoritmu sú zamerané na postupné objasnenie hodnoty koreňa nájdením hodnôt ďalších bitov požadovanej hodnoty koreňa, počnúc najvyšším a prechodom k najnižším. Napríklad hodnota koreňa v prvom kroku je 2, v druhom 2,2, v treťom 2,23 a tak ďalej 2,236067977…. Popíšme, ako sa nachádzajú hodnoty číslic.
Číslice sa nachádzajú vyhľadávaním v nich možné hodnoty 0, 1, 2, ..., 9. V tomto prípade sa paralelne vypočítajú n-té mocniny zodpovedajúcich čísel a porovnajú sa s radikálnym číslom. Ak v určitom štádiu hodnota stupňa prekročí radikálne číslo, potom sa hodnota číslice zodpovedajúcej predchádzajúcej hodnote považuje za nájdenú a ak sa tak nestane, vykoná sa prechod na ďalší krok algoritmu extrakcie koreňov; potom je hodnota tejto číslice 9.
Vysvetlime tieto body na rovnakom príklade extrakcie druhej odmocniny z piatich.
Najprv zistíme hodnotu číslice jednotiek. Prejdeme cez hodnoty 0, 1, 2, ..., 9, počítajúc 0 2, 1 2, ..., 9 2, až kým nedostaneme hodnotu väčšiu ako radikálne číslo 5. Je vhodné uviesť všetky tieto výpočty vo forme tabuľky: 
Takže hodnota číslice jednotky je 2 (keďže 2 2<5
, а 2 3 >5). Prejdime k hľadaniu hodnoty desatiny miesta. V tomto prípade odmocníme čísla 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, pričom výsledné hodnoty porovnáme s radikálnym číslom 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, potom hodnota desatiny miesta je 2. Môžete pokračovať v hľadaní hodnoty stotín miesta: 
Takto bola nájdená ďalšia hodnota odmocniny z piatich, rovná sa 2,23. A tak môžete pokračovať v hľadaní hodnôt: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Na konsolidáciu materiálu analyzujeme extrakciu koreňa s presnosťou na stotiny pomocou uvažovaného algoritmu.
Najprv určíme najvýznamnejšiu číslicu. Aby sme to urobili, dáme kocku čísla 0, 10, 100 atď. kým nedostaneme číslo väčšie ako 2 151 186. Máme 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , takže najvýznamnejšou číslicou sú desiatky.
Určme jej hodnotu. 
Od 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, potom hodnota miesta v desiatkach je 1. Prejdime k jednotkám. 
Hodnota číslice je teda 2. Prejdime k desiatkam. 
Keďže aj 12,9 3 je menej ako radikálne číslo 2 151,186, potom hodnota desatiny miesta je 9. Zostáva vykonať posledný krok algoritmu, ktorý nám dá hodnotu koreňa s požadovanou presnosťou. 
V tomto štádiu sa zistí hodnota koreňa s presnosťou na stotiny: 
.
Na záver tohto článku by som chcel povedať, že existuje mnoho ďalších spôsobov, ako extrahovať korene. Ale pre väčšinu úloh postačujú tie, ktoré sme študovali vyššie.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8. ročník. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).
Umocňovanie zahŕňa vynásobenie daného čísla samo sebou určitým počtom krát. Napríklad zvýšenie čísla 2 na piatu mocninu by vyzeralo takto:
Číslo, ktoré je potrebné vynásobiť, sa nazýva základ mocniny a počet násobení sa nazýva jeho exponent. Zvýšenie na moc zodpovedá dvom opačným akciám: nájdenie exponentu a nájdenie základne.
Extrakcia koreňov
Nájdenie základne moci sa nazýva extrakcia koreňov. To znamená, že musíte nájsť číslo, ktoré je potrebné zvýšiť na mocninu n, aby ste dostali dané číslo.
Napríklad z čísla 16 je potrebné vytiahnuť 4. odmocninu, t.j. na určenie je potrebné vynásobiť sa 4-krát, aby ste nakoniec dostali 16. Toto číslo je 2.
Táto aritmetická operácia sa zapisuje pomocou špeciálneho znamienka - radikálu: √, nad ktorým je exponent uvedený vľavo.
Aritmetický koreň
Ak je exponent párne číslo, potom koreňom môžu byť dve čísla s rovnakou absolútnou hodnotou, ale c je kladné a záporné číslo. Takže v uvedenom príklade by to mohli byť čísla 2 a -2.
Výraz musí byť jednoznačný, t.j. mať jeden výsledok. Na tento účel bol zavedený pojem aritmetického koreňa, ktorý môže predstavovať iba kladné číslo. Aritmetický koreň nemôže byť menší ako nula.
Vo vyššie diskutovanom príklade teda bude aritmetickým koreňom iba číslo 2 a druhá možnosť odpovede - -2 - je z definície vylúčená.
Odmocnina
Pre niektoré stupne, ktoré sa používajú častejšie ako iné, existujú špeciálne názvy, ktoré sú pôvodne spojené s geometriou. Hovoríme o povýšení do druhej a tretej mocnosti.
Na druhú mocninu dĺžku strany štvorca, keď potrebujete vypočítať jeho plochu. Ak potrebujete zistiť objem kocky, dĺžka jej hrany sa zvýši na tretiu mocninu. Preto sa nazýva druhá mocnina čísla a tretina sa nazýva kocka.
Podľa toho sa koreň druhého stupňa nazýva štvorcový a koreň tretieho stupňa sa nazýva kubický. Druhá odmocnina je jediná odmocnina, ktorá sa nezapisuje s exponentom nad radikálom:
Takže aritmetická druhá odmocnina daného čísla je kladné číslo, ktoré sa musí zvýšiť na druhú mocninu, aby sa dané číslo dostalo.
Fakt 1.
\(\bullet\) Zoberme si nejaké nezáporné číslo \(a\) (to znamená \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina od čísla \(a\) sa nazýva také nezáporné číslo \(b\) , pri odmocnení dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(rovnaké ako )\quad a=b^2\] Z definície vyplýva, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tieto obmedzenia sú dôležitou podmienkou existencie druhej odmocniny a mali by ste na ne pamätať!
Pripomeňme, že každé číslo pri druhej mocnine dáva nezáporný výsledok. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čomu sa rovná \(\sqrt(25)\)? Vieme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Keďže podľa definície musíme nájsť nezáporné číslo, potom \(-5\) nie je vhodné, preto \(\sqrt(25)=5\) (keďže \(25=5^2\) ).
Nájdenie hodnoty \(\sqrt a\) sa nazýva prevzatie druhej odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) sa nazýva radikálny výraz.
\(\bullet\) Na základe definície výraz \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) atď. nedávajú zmysel.
Fakt 2.
Pre rýchle výpočty bude užitočné naučiť sa tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]
Fakt 3.
Aké operácie môžete robiť s odmocninami?
\(\bullet\) Súčet alebo rozdiel druhých odmocnín NIE JE ROVNÝ odmocnine súčtu alebo rozdielu, tj \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ak teda potrebujete vypočítať napríklad \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , najprv musíte nájsť hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\ sqrt(49)\ ) a potom ich zložte. teda \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ak pri pridávaní \(\sqrt a+\sqrt b\) nemožno nájsť hodnoty \(\sqrt a\) alebo \(\sqrt b\), potom sa takýto výraz ďalej netransformuje a zostane tak, ako je. Napríklad v súčte \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) môžeme nájsť \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemožno transformovať do v každom prípade, preto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Žiaľ, tento výraz nemožno ďalej zjednodušiť\(\bullet\) Súčin/podiel druhých odmocnín sa rovná druhej odmocnine súčinu/podielu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za predpokladu, že obe strany rovnosti dávajú zmysel)
Príklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocou týchto vlastností je vhodné nájsť druhé odmocniny veľkých čísel ich rozkladom.
Pozrime sa na príklad. Poďme nájsť \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , potom \(44100=100\cdot 441\) . Podľa kritéria deliteľnosti je číslo \(441\) deliteľné \(9\) (keďže súčet jeho číslic je 9 a je deliteľný 9), preto \(441:9=49\), tj \(441=9\ cdot 49\) .
Tak sme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pozrime sa na ďalší príklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Na príklade výrazu \(5\sqrt2\) (krátky zápis pre výraz \(5\cdot \sqrt2\) si ukážeme, ako zadávať čísla pod odmocninu). Keďže \(5=\sqrt(25)\) , potom \
Všimnite si tiež, že napr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
prečo je to tak? Vysvetlíme na príklade 1). Ako ste už pochopili, nemôžeme nejako transformovať číslo \(\sqrt2\). Predstavme si, že \(\sqrt2\) je nejaké číslo \(a\) . Preto výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nie je nič iné ako \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tri ďalšie rovnaké čísla \(a\)). A vieme, že toto sa rovná štyrom takýmto číslam \(a\) , teda \(4\sqrt2\) .
Fakt 4.
\(\bullet\) Často hovoria „nemôžete extrahovať koreň“, keď sa pri hľadaní hodnoty čísla nemôžete zbaviť znamienka \(\sqrt () \ \) koreňa (radikálu) . Napríklad môžete vziať odmocninu čísla \(16\), pretože \(16=4^2\) , teda \(\sqrt(16)=4\) . Ale nie je možné extrahovať odmocninu čísla \(3\), teda nájsť \(\sqrt3\), pretože neexistuje číslo, ktoré by odmocnilo dalo \(3\) .
Takéto čísla (alebo výrazy s takýmito číslami) sú iracionálne. Napríklad čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) a tak ďalej. sú iracionálne.
Iracionálne sú aj čísla \(\pi\) (číslo „pi“, približne rovné \(3,14\)), \(e\) (toto číslo sa nazýva Eulerovo číslo, približne sa rovná \(2,7) \)) atď.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že každé číslo bude racionálne alebo iracionálne. A spolu všetky racionálne a všetky iracionálne čísla tvoria množinu tzv súbor reálnych čísel. Táto množina je označená písmenom \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všetky čísla, ktoré v súčasnosti poznáme, sa nazývajú reálne čísla.
Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálneho čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdialenosti od bodu \(a\) po \(0\) na skutočná línia. Napríklad \(|3|\) a \(|-3|\) sa rovnajú 3, pretože vzdialenosti od bodov \(3\) a \(-3\) po \(0\) sú rovnaké a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Ak \(a\) je nezáporné číslo, potom \(|a|=a\) .
Príklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ak je \(a\) záporné číslo, potom \(|a|=-a\) .
Príklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Hovorí sa, že pre záporné čísla modul „žerie“ mínus, zatiaľ čo kladné čísla, ako aj číslo \(0\), sú modulom ponechané nezmenené.
ALE Toto pravidlo platí len pre čísla. Ak sa pod vaším znamienkom modulu nachádza neznáma \(x\) (alebo iná neznáma), napríklad \(|x|\) , o ktorej nevieme, či je kladná, nulová alebo záporná, potom sa zbavte modulu nemôžeme. V tomto prípade tento výraz zostáva rovnaký: \(|x|\) . \(\bullet\) Platia nasledujúce vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytnutý) a\geqslant 0\] Veľmi často sa robí nasledujúca chyba: hovoria, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) sú jedno a to isté. To platí len vtedy, ak \(a\) je kladné číslo alebo nula. Ale ak \(a\) je záporné číslo, potom je to nepravda. Stačí zvážiť tento príklad. Vezmime namiesto \(a\) číslo \(-1\) . Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vôbec neexistuje (napokon, nie je možné použiť znamienko koreňa vložte záporné čísla!).
Preto dávame do pozornosti, že \(\sqrt(a^2)\) sa nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Príklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), pretože \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Keďže \(\sqrt(a^2)=|a|\) , potom \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje párne číslo)
To znamená, že pri prevzatí odmocniny čísla, ktoré je do určitej miery, sa tento stupeň zníži na polovicu.
Príklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimnite si, že ak modul nie je dodaný, ukáže sa, že koreň čísla sa rovná \(-25\) ) ; ale pamätáme si, že podľa definície koreňa sa to nemôže stať: pri extrakcii koreňa by sme mali vždy dostať kladné číslo alebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (keďže akékoľvek číslo na párnu mocninu nie je záporné)
Fakt 6.
Ako porovnať dve odmocniny?
\(\bullet\) Pre odmocniny platí: ak \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) porovnajte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Najprv transformujme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Od \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Medzi akými celými číslami sa nachádza \(\sqrt(50)\)?
Pretože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Porovnajme \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Predpokladajme, že \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\začiatok(zarovnané) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridajte jeden na obe strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((zarovnanie oboch strán)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnané)\] Vidíme, že sme dostali nesprávnu nerovnosť. Náš predpoklad bol preto nesprávny a \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Všimnite si, že pridanie určitého čísla na obe strany nerovnosti neovplyvní jej znamienko. Násobenie/delenie oboch strán nerovnosti kladným číslom tiež neovplyvní jej znamienko, ale násobenie/delenie záporným číslom obráti znamienko nerovnosti!
Obidve strany rovnice/nerovnice môžete odmocniť LEN AK sú obe strany nezáporné. Napríklad v nerovnosti z predchádzajúceho príkladu môžete odmocniť obe strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Malo by sa to pamätať \[\začiatok (zarovnané) &\sqrt 2\približne 1,4\\ &\sqrt 3\približne 1,7 \koniec (zarovnané)\] Poznanie približného významu týchto čísel vám pomôže pri porovnávaní čísel! \(\bullet\) Aby ste mohli extrahovať koreň (ak sa dá extrahovať) z nejakého veľkého čísla, ktoré nie je v tabuľke štvorcov, musíte najprv určiť, medzi ktorými „stovkami“ sa nachádza, potom – medzi ktorými „ desiatky“ a potom určte poslednú číslicu tohto čísla. Ukážme si, ako to funguje na príklade.
Zoberme si \(\sqrt(28224)\) . Vieme, že \(100^2=10\000\), \(200^2=40\000\) atď. Všimnite si, že \(28224\) je medzi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Preto je \(\sqrt(28224)\) medzi \(100\) a \(200\) .
Teraz určme, medzi ktorými „desiatkami“ sa naše číslo nachádza (teda napríklad medzi \(120\) a \(130\)). Aj z tabuľky štvorcov vieme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atď., potom \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme teda, že \(28224\) je medzi \(160^2\) a \(170^2\) . Preto je číslo \(\sqrt(28224)\) medzi \(160\) a \(170\) .
Skúsme určiť poslednú číslicu. Spomeňme si, aké jednociferné čísla pri odmocnení dávajú na konci \(4\)? Sú to \(2^2\) a \(8^2\) . Preto \(\sqrt(28224)\) skončí buď na 2 alebo 8. Poďme to skontrolovať. Poďme nájsť \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Preto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Na adekvátne vyriešenie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky si musíte najprv preštudovať teoretický materiál, ktorý vás zoznámi s množstvom teorémov, vzorcov, algoritmov atď. Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to celkom jednoduché. Nájsť zdroj, v ktorom je teória pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky prezentovaná jednoduchým a zrozumiteľným spôsobom pre študentov s akoukoľvek úrovňou prípravy, je však v skutočnosti pomerne náročná úloha. Školské učebnice nie je možné mať vždy po ruke. A nájsť základné vzorce na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky môže byť ťažké aj na internete.
Prečo je také dôležité študovať teóriu z matematiky nielen pre tých, ktorí robia jednotnú štátnu skúšku?
- Pretože vám to rozširuje obzory. Štúdium teoretického materiálu z matematiky je užitočné pre každého, kto chce získať odpovede na širokú škálu otázok súvisiacich s poznaním okolitého sveta. Všetko v prírode je usporiadané a má jasnú logiku. To je presne to, čo sa odráža vo vede, prostredníctvom ktorej je možné pochopiť svet.
- Pretože rozvíja inteligenciu. Štúdiom referenčných materiálov pre jednotnú štátnu skúšku z matematiky, ako aj riešením rôznych problémov sa človek učí logicky myslieť a uvažovať, kompetentne a jasne formulovať myšlienky. Rozvíja schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať a vyvodzovať závery.
Pozývame Vás osobne zhodnotiť všetky výhody nášho prístupu k systematizácii a prezentácii vzdelávacích materiálov.
V tomto článku vám predstavíme pojem koreňa čísla. Budeme postupovať postupne: začneme odmocninou, odtiaľ prejdeme k opisu odmocniny, po ktorej zovšeobecníme pojem odmocniny, pričom definujeme n-tú odmocninu. Zároveň uvedieme definície, zápisy, uvedieme príklady koreňov a uvedieme potrebné vysvetlenia a komentáre.
Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina
Aby ste pochopili definíciu odmocniny čísla, a najmä druhej odmocniny, musíte mať . Na tomto mieste sa často stretneme s druhou mocninou čísla – druhou mocninou čísla.
Začnime s definície druhej odmocniny.
Definícia
Druhá odmocnina z a je číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.
S cieľom priniesť príklady odmocniny, vezmite niekoľko čísel, napríklad 5, −0,3, 0,3, 0, a odmocnite ich, dostaneme čísla 25, 0,09, 0,09 a 0 (5 2 =5·5=25, (-0,3)2 = (-0,3)·(-0,3)=0,09(0,3)2=0,3-0,3=0,09 a 02=0,0=0). Potom, podľa definície uvedenej vyššie, číslo 5 je druhá odmocnina čísla 25, čísla -0,3 a 0,3 sú druhé odmocniny 0,09 a 0 je druhá odmocnina nuly.
Treba poznamenať, že pre žiadne číslo a neexistuje a, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Totiž pre žiadne záporné číslo a neexistuje reálne číslo b, ktorého druhá mocnina sa rovná a. V skutočnosti je rovnosť a=b 2 nemožná pre žiadne záporné a, pretože b 2 je nezáporné číslo pre akékoľvek b. teda v množine reálnych čísel neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Inými slovami, na množine reálnych čísel druhá odmocnina záporného čísla nie je definovaná a nemá žiadny význam.
To vedie k logickej otázke: „Existuje druhá odmocnina z a pre akékoľvek nezáporné a“? Odpoveď je áno. Túto skutočnosť možno zdôvodniť konštruktívnou metódou použitou na zistenie hodnoty druhej odmocniny.
Potom vyvstáva ďalšia logická otázka: „Aký je počet všetkých druhých odmocnín daného nezáporného čísla a - jeden, dva, tri alebo dokonca viac“? Tu je odpoveď: ak a je nula, potom jediná druhá odmocnina nuly je nula; ak a je nejaké kladné číslo, potom počet druhých odmocnín čísla a je dva a odmocniny sú . Zdôvodnime to.
Začnime prípadom a=0 . Najprv ukážme, že nula je skutočne druhá odmocnina nuly. Vyplýva to zo zjavnej rovnosti 0 2 =0·0=0 a definície druhej odmocniny.
Teraz dokážme, že 0 je jediná odmocnina z nuly. Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že existuje nejaké nenulové číslo b, ktoré je druhou odmocninou nuly. Potom musí byť splnená podmienka b 2 =0, čo je nemožné, keďže pre každé nenulové b je hodnota výrazu b 2 kladná. Dospeli sme k rozporu. To dokazuje, že 0 je jediná druhá odmocnina nuly.
Prejdime k prípadom, kde a je kladné číslo. Vyššie sme povedali, že z každého nezáporného čísla vždy existuje druhá odmocnina, nech odmocnina z a je číslo b. Povedzme, že existuje číslo c, ktoré je zároveň druhou odmocninou z a. Potom podľa definície druhej odmocniny platia rovnosti b 2 =a a c 2 =a, z čoho vyplýva, že b 2 −c 2 =a−a=0, ale keďže b 2 −c 2 =( b-c)·(b+c), potom (b-c)·(b+c)=0. Výsledná rovnosť platí vlastnosti operácií s reálnymi číslami možné len vtedy, keď b−c=0 alebo b+c=0 . Čísla b a c sú teda rovnaké alebo opačné.
Ak predpokladáme, že existuje číslo d, ktoré je ďalšou druhou odmocninou čísla a, potom podobným uvažovaním ako už bolo uvedené sa dokáže, že d sa rovná číslu b alebo číslu c. Takže počet druhých odmocnín kladného čísla je dva a odmocniny sú opačné čísla.
Pre uľahčenie práce s odmocninou je záporná odmocnina „oddelená“ od kladnej. Na tento účel sa zavádza definícia aritmetickej druhej odmocniny.
Definícia
Aritmetická druhá odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná a.
Zápis pre aritmetickú druhú odmocninu a je . Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina. Nazýva sa aj radikálne znamenie. Preto niekedy môžete počuť aj „koreň“ aj „radikál“, čo znamená ten istý objekt.
Volá sa číslo pod aritmetickou odmocninou radikálne číslo a výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav, pričom výraz „radikálne číslo“ sa často nahrádza výrazom „radikálny výraz“. Napríklad v zápise je číslo 151 radikálne číslo a v zápise je výraz a radikálnym výrazom.
Pri čítaní sa slovo „aritmetika“ často vynecháva, napríklad záznam sa číta ako „druhá odmocnina zo siedmich bodov dvadsaťdeväť“. Slovo „aritmetika“ sa používa iba vtedy, keď chcú zdôrazniť, že hovoríme konkrétne o kladnej druhej odmocnine čísla.
Vo svetle zavedeného zápisu z definície aritmetickej odmocniny vyplýva, že pre akékoľvek nezáporné číslo a .
Druhé odmocniny kladného čísla a sa zapisujú pomocou aritmetickej odmocniny ako a . Napríklad odmocniny z 13 sú a . Aritmetická druhá odmocnina nuly je nula, teda . Pre záporné čísla a nebudeme pripisovať význam zápisu, kým nebudeme študovať komplexné čísla. Napríklad výrazy a sú bezvýznamné.
Na základe definície druhej odmocniny sa dokazujú vlastnosti odmocnín, ktoré sa často využívajú v praxi.
Na záver tohto bodu si všimneme, že druhé odmocniny čísla a sú riešenia tvaru x 2 =a vzhľadom na premennú x.
Kocka odmocniny čísla
Definícia odmocniny kockyčísla a je daná podobne ako pri definícii druhej odmocniny. Len to je založené na koncepte kocky čísla, nie štvorca.
Definícia
Kockový koreň a je číslo, ktorého kocka sa rovná a.
Dajme si príklady kubických koreňov. Ak to chcete urobiť, vezmite niekoľko čísel, napríklad 7, 0, −2/3, a rozdeľte ich na kocku: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Potom na základe definície odmocniny môžeme povedať, že číslo 7 je odmocnina z 343, 0 je odmocnina z nuly a −2/3 je odmocnina z −8/27.
Dá sa ukázať, že odmocnina čísla na rozdiel od druhej odmocniny vždy existuje, nielen pre nezáporné a, ale aj pre akékoľvek reálne číslo a. Ak to chcete urobiť, môžete použiť rovnakú metódu, ktorú sme spomenuli pri štúdiu odmocnín.
Okrem toho existuje iba jedna odmocnina z daného čísla a. Dokážme posledné tvrdenie. Ak to chcete urobiť, zvážte tri prípady oddelene: a je kladné číslo, a=0 a a je záporné číslo.
Je ľahké ukázať, že ak je a kladné, odmocnina z a nemôže byť ani záporné číslo, ani nula. Vskutku, nech b je odmocnina z a, potom podľa definície môžeme napísať rovnosť b 3 =a. Je jasné, že táto rovnosť nemôže platiť pre záporné b a pre b=0, pretože v týchto prípadoch bude b 3 =b·b·b záporné číslo alebo nula. Odmocnina z kladného čísla a je teda kladné číslo.
Teraz predpokladajme, že okrem čísla b existuje ešte jedna odmocnina čísla a, označme ho c. Potom c 3 = a. Preto b 3 −c 3 =a−a=0, ale b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(toto je skrátený vzorec násobenia rozdiel kociek), kde (b−c)·(b2+b·c+c2)=0. Výsledná rovnosť je možná len vtedy, keď b−c=0 alebo b 2 +b·c+c 2 =0. Z prvej rovnosti máme b=c a druhá rovnosť nemá riešenia, pretože jej ľavá strana je kladné číslo pre akékoľvek kladné čísla b a c ako súčet troch kladných členov b 2, b·c a c 2. To dokazuje jedinečnosť druhej odmocniny kladného čísla a.
Keď a=0, odmocninou čísla a je iba číslo nula. Ak totiž predpokladáme, že existuje číslo b, ktoré je nenulovou odmocninou z nuly, potom musí platiť rovnosť b 3 =0, čo je možné len vtedy, keď b=0.
Pre záporné a možno uviesť argumenty podobné prípadom kladného a. Najprv ukážeme, že odmocnina záporného čísla sa nemôže rovnať ani kladnému číslu, ani nule. Po druhé, predpokladáme, že existuje druhá odmocnina záporného čísla a ukážeme, že sa nevyhnutne zhoduje s prvou.
Takže vždy existuje odmocnina akéhokoľvek daného reálneho čísla a a jedno jedinečné.
Dajme si definícia aritmetickej odmocniny.
Definícia
Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého kocka sa rovná a.
Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a sa označuje ako , znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny, číslo 3 v tomto zápise sa nazýva koreňový index. Číslo pod koreňovým znakom je radikálne číslo, výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav.
Hoci aritmetická odmocnina je definovaná len pre nezáporné čísla a, je vhodné použiť aj zápisy, v ktorých sa záporné čísla nachádzajú pod znamienkom aritmetickej kocky. Budeme ich chápať takto: , kde a je kladné číslo. Napríklad, 
.
O vlastnostiach kubických koreňov si povieme vo všeobecnom článku vlastnosti koreňov.
Výpočet hodnoty odmocniny kocky sa nazýva extrakcia odmocniny tejto akcie je popísaná v článku extrahovanie koreňov: metódy, príklady, riešenia.
Na záver tohto bodu povedzme, že odmocnina čísla a je riešením v tvare x 3 =a.
n-tý koreň, aritmetický koreň stupňa n
Zovšeobecnme pojem koreňa čísla – predstavíme definícia n-tého koreňa pre n.
Definícia
n-tý koreň a je číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.
Z tejto definície je zrejmé, že odmocninou prvého stupňa čísla a je samotné číslo a, keďže pri štúdiu stupňa s prirodzeným exponentom sme brali a 1 =a.
Vyššie sme sa pozreli na špeciálne prípady n-tej odmocniny pre n=2 a n=3 - druhá odmocnina a odmocnina. To znamená, že druhá odmocnina je odmocninou druhého stupňa a odmocnina je odmocninou tretieho stupňa. Na štúdium koreňov n-tého stupňa pre n=4, 5, 6, ... je vhodné ich rozdeliť do dvoch skupín: prvá skupina - korene párnych stupňov (t. j. pre n = 4, 6, 8 , ...), druhá skupina - odmocniny nepárnych stupňov (t. j. s n=5, 7, 9, ...). Je to spôsobené tým, že odmocniny párnych mocnín sú podobné odmocninám a odmocniny nepárnych mocnín sú podobné kubickým odmocninám. Poďme sa s nimi vysporiadať jeden po druhom.
Začnime s odmocninami, ktorých mocniny sú párne čísla 4, 6, 8, ... Ako sme už povedali, sú podobné druhej odmocnine čísla a. To znamená, že koreň akéhokoľvek párneho stupňa čísla a existuje len pre nezáporné a. Navyše, ak a=0, potom koreň a je jedinečný a rovný nule, a ak a>0, potom existujú dva korene párneho stupňa čísla a a sú to opačné čísla.
Zdôvodnime posledné tvrdenie. Nech b je párny koreň (označíme ho 2·m, kde m je nejaké prirodzené číslo) čísla a. Predpokladajme, že existuje číslo c - ďalšia odmocnina stupňa 2·m od čísla a. Potom b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ale poznáme tvar b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), potom (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z tejto rovnosti vyplýva, že b−c=0, alebo b+c=0, alebo b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvé dve rovnosti znamenajú, že čísla b a c sú rovnaké alebo b a c sú opačné. A posledná rovnosť platí len pre b=c=0, keďže na jej ľavej strane je výraz, ktorý je nezáporný pre ľubovoľné b a c ako súčet nezáporných čísel.
Pokiaľ ide o korene n-tého stupňa pre nepárne n, sú podobné kubickému koreňu. To znamená, že koreň akéhokoľvek nepárneho stupňa čísla a existuje pre akékoľvek reálne číslo a a pre dané číslo a je jedinečný.
Jedinečnosť odmocniny nepárneho stupňa 2·m+1 čísla a sa dokazuje analogicky s dôkazom jednoznačnosti odmocniny z a. Len tu namiesto rovnosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) používa sa rovnosť tvaru b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m). Výraz v poslednej zátvorke možno prepísať ako b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m-2 +c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Napríklad s m=2 máme b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Keď sú a aj b kladné alebo záporné, ich súčin je kladné číslo, potom výraz b 2 +c 2 +b·c v najvyšších vnorených zátvorkách je kladný ako súčet kladných čísel. Teraz, keď prejdeme postupne k výrazom v zátvorkách predchádzajúcich stupňov vnorenia, sme presvedčení, že sú tiež kladné ako súčet kladných čísel. Výsledkom je, že rovnosť b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 možné len vtedy, keď b−c=0, teda keď sa číslo b rovná číslu c.
Je čas pochopiť označenie n-tých koreňov. Na tento účel je daný definícia aritmetického koreňa n-tého stupňa.
Definícia
Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.
