Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Używając właściwości dystrybucyjne mnożenia można przekształcić (uprościć) na wielomian, iloczyn jednomianu i wielomianu. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy a i b nie występuje zbyt często; z reguły zamiast liter a i b zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Teraz przejdziemy do otwierania nawiasów w wyrażeniach, w których wyrażenie w nawiasach jest mnożone przez liczbę lub wyrażenie. Sformułujmy zasadę otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem minus: nawiasy wraz ze znakiem minus należy pominąć, a znaki wszystkich wyrazów w nawiasach zastąpić znakami przeciwnymi.
Jednym z rodzajów transformacji wyrażeń jest rozwinięcie nawiasów. numeryczny, wyrażenia dosłowne a wyrażenia ze zmiennymi można składać za pomocą nawiasów, które mogą wskazywać kolejność wykonywania czynności, zawierać liczbę ujemną itp. Załóżmy, że w opisanych powyżej wyrażeniach zamiast liczb i zmiennych mogą znajdować się dowolne wyrażenia.
I zwróćmy uwagę na jeszcze jedną kwestię dotyczącą specyfiki pisania rozwiązania podczas otwierania nawiasów. W poprzednim akapicie zajmowaliśmy się tak zwanymi nawiasami otwierającymi. Aby to zrobić, istnieją zasady otwierania nawiasów, które teraz omówimy. Zasada ta jest podyktowana faktem, że liczby dodatnie zwykle zapisuje się bez nawiasów; w tym przypadku nawiasy są niepotrzebne. Wyrażenie (−3,7)−(−2)+4+(−9) można zapisać bez nawiasów jako −3,7+2+4−9.
Wreszcie trzecia część reguły wynika po prostu ze specyfiki zapisywania liczb ujemnych po lewej stronie wyrażenia (o czym wspomnieliśmy w części dotyczącej nawiasów do zapisywania liczb ujemnych). Możesz napotkać wyrażenia składające się z liczby, znaku minus i kilku par nawiasów. Jeśli otworzysz nawiasy, przechodząc od wewnętrznego do zewnętrznego, rozwiązanie będzie następujące: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.
Jak otwierać nawiasy?
Oto wyjaśnienie: −(−2 x) wynosi +2 x, a ponieważ to wyrażenie jest pierwsze, +2 x można zapisać jako 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Pierwsza część zapisanej reguły otwierania nawiasów wynika bezpośrednio z reguły mnożenia liczb ujemnych. Jego druga część jest konsekwencją reguły mnożenia liczb przez różne znaki. Przejdźmy do przykładów otwierania nawiasów w iloczynach i ilorazach dwóch liczb o różnych znakach.
Nawiasy otwierające: zasady, przykłady, rozwiązania.
Powyższa zasada uwzględnia cały łańcuch tych działań i znacznie przyspiesza proces otwierania nawiasów. Ta sama zasada umożliwia otwieranie nawiasów w wyrażeniach będących iloczynami i wyrażeniach cząstkowych ze znakiem minus, które nie są sumami i różnicami.
Przyjrzyjmy się przykładom zastosowania tej zasady. Podajmy odpowiednią regułę. Powyżej spotkaliśmy się już z wyrażeniami w postaci −(a) i −(−a), które bez nawiasów zapisuje się odpowiednio jako −a i a. Na przykład −(3)=3 i. Są to szczególne przypadki podanej reguły. Przyjrzyjmy się teraz przykładom nawiasów otwierających, gdy zawierają one sumy lub różnice. Pokażmy przykłady wykorzystania tej reguły. Oznaczmy wyrażenie (b1+b2) jako b, po czym skorzystamy z zasady mnożenia nawiasu przez wyrażenie z poprzedniego akapitu, mamy (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.
Przez indukcję stwierdzenie to można rozszerzyć na dowolną liczbę terminów w każdym nawiasie. Pozostaje otworzyć nawiasy w otrzymanym wyrażeniu, korzystając z zasad z poprzednich akapitów, w efekcie otrzymamy 1,3·x·y−1,2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.
Zasadą w matematyce jest otwieranie nawiasów, jeśli przed nawiasami znajdują się (+) i (-).
To wyrażenie jest iloczynem trzech czynników (2+4), 3 i (5+7,8). Będziesz musiał otwierać nawiasy sekwencyjnie. Teraz używamy reguły mnożenia nawiasu przez liczbę, mamy ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stopnie, których podstawą są niektóre wyrażenia zapisane w nawiasach, z w naturze można traktować jako iloczyn kilku nawiasów.
Na przykład przekształćmy wyrażenie (a+b+c)2. Najpierw zapisujemy to jako iloczyn dwóch nawiasów (a+b+c)·(a+b+c), teraz mnożymy nawias przez nawias i otrzymujemy a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Powiedzmy również, że aby podnieść sumy i różnice dwóch liczb w stopień naturalny Wskazane jest stosowanie wzoru dwumianu Newtona. Na przykład (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nie mniej wygodne jest najpierw zastąpienie dzielenia mnożeniem, a następnie zastosowanie odpowiedniej reguły otwierania nawiasów w iloczynie.
Pozostaje zrozumieć kolejność otwierania nawiasów na przykładach. Weźmy wyrażenie (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Podstawiamy te wyniki do pierwotnego wyrażenia: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Pozostaje tylko dokończyć otwieranie nawiasów, w wyniku czego otrzymamy −5+3·2:4+6·7. Oznacza to, że przy przejściu od lewej strony równości do prawej nastąpiło otwarcie nawiasów.
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Najpierw dodaj 445 do 889. Tę czynność można wykonać mentalnie, ale nie jest to zbyt łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona procedura znacznie uprości obliczenia.
Jak rozwinąć nawiasy do innego stopnia
Ilustrujący przykład i reguła. Spójrzmy na przykład: . Wartość wyrażenia można znaleźć, dodając 2 i 5, a następnie biorąc otrzymaną liczbę z przeciwnym znakiem. Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach znajdują się nie dwa, ale trzy lub więcej wyrazów. Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami. Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy pamiętać o własności rozdzielności.
Dla pojedynczych liczb w nawiasach
Twój błąd nie leży w znakach, ale w nieprawidłowym posługiwaniu się ułamkami? W szóstej klasie uczyliśmy się o liczbach dodatnich i ujemnych. Jak rozwiążemy przykłady i równania?
Ile jest w nawiasach? Co możesz powiedzieć o tych wyrażeniach? Oczywiście wynik pierwszego i drugiego przykładu jest taki sam, co oznacza, że możemy postawić między nimi znak równości: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Co zrobiliśmy z nawiasami?
Pokaz slajdu 6 z zasadami otwierania nawiasów. Zatem zasady otwierania nawiasów pomogą nam rozwiązać przykłady i uprościć wyrażenia. Następnie uczniowie proszeni są o pracę w parach: za pomocą strzałek łączą wyrażenie zawierające nawiasy z odpowiadającym im wyrażeniem bez nawiasów.
Slajd 11 Pewnego razu w Słonecznym Mieście Znayka i Dunno kłócili się, który z nich poprawnie rozwiązał równanie. Następnie uczniowie samodzielnie rozwiązują równanie, korzystając z zasad otwierania nawiasów. Rozwiązywanie równań” Cele lekcji: edukacyjne (ugruntowanie wiedzy na temat: „Otwieranie nawiasów.
Temat lekcji: „Nawiasy otwierające. W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Najpierw brane są dwa pierwsze czynniki, ujęte w jeszcze jeden nawias, a wewnątrz tych nawiasów otwierane są nawiasy zgodnie z jedną ze znanych już zasad.
rawalan.freezeet.ru
Nawiasy otwierające: zasady i przykłady (klasa 7)
Główną funkcją nawiasów jest zmiana kolejności działań przy obliczaniu wartości wyrażenia numeryczne . Na przykład, V liczebnie\(5·3+7\) najpierw zostanie obliczone mnożenie, a potem dodawanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Natomiast w wyrażeniu \(5·(3+7)\) najpierw zostanie obliczone dodawanie w nawiasie, a dopiero potem mnożenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Jeśli jednak mamy do czynienia z wyrażenie algebraiczne zawierający zmienny- na przykład tak: \(2(x-3)\) - wtedy nie da się obliczyć wartości w nawiasie, przeszkadza zmienna. Dlatego w tym przypadku nawiasy „otwiera się” stosując odpowiednie zasady.
Zasady otwierania nawiasów
Jeśli przed nawiasem znajduje się znak plus, wówczas nawias jest po prostu usuwany, wyrażenie w nim pozostaje niezmienione. Innymi słowy:
W tym miejscu należy wyjaśnić, że w matematyce w celu skrócenia zapisów zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie \(+7+3\), ale po prostu \(7+3\), mimo że siedem też jest liczbą dodatnią . Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie \((5+x)\) - wiedz o tym przed nawiasem znajduje się plus, który nie jest zapisany.
Przykład
. Otwórz nawias i podaj podobne wyrazy: \((x-11)+(2+3x)\).
Rozwiązanie
: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Jeśli przed nawiasem znajduje się znak minus, to po usunięciu nawiasu każdy wyraz znajdujący się w wyrażeniu zmienia znak na przeciwny:
W tym miejscu należy wyjaśnić, że gdy a było w nawiasie, był znak plus (po prostu go nie napisali), a po usunięciu nawiasu ten plus zmienił się na minus.
Przykład
: Uprość wyrażenie \(2x-(-7+x)\).
Rozwiązanie
: wewnątrz nawiasu znajdują się dwa wyrazy: \(-7\) i \(x\), a przed nawiasem minus. Oznacza to, że znaki się zmienią - i siódemka będzie teraz plusem, a x będzie teraz minusem. Otwórz wspornik i prezentujemy podobne terminy .
Przykład.
Otwórz nawias i podaj podobne wyrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rozwiązanie
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Jeśli przed nawiasem znajduje się współczynnik, wówczas każdy element nawiasu jest przez niego mnożony, czyli:
Przykład.
Rozwiń nawiasy \(5(3-x)\).
Rozwiązanie
: W nawiasie mamy \(3\) i \(-x\), a przed nawiasem jest piątka. Oznacza to, że każdy element nawiasu jest mnożony przez \(5\) - przypominam Znak mnożenia między liczbą a nawiasem nie jest zapisywany w matematyce w celu zmniejszenia rozmiaru wpisów.
Przykład.
Rozwiń nawiasy \(-2(-3x+5)\).
Rozwiązanie
: Podobnie jak w poprzednim przykładzie, \(-3x\) i \(5\) w nawiasach są mnożone przez \(-2\).
Pozostaje rozważyć ostatnią sytuację.
Podczas mnożenia nawiasu przez nawias każdy wyraz pierwszego nawiasu jest mnożony przez każdy wyraz drugiego nawiasu:
Przykład.
Rozwiń nawiasy \((2-x)(3x-1)\).
Rozwiązanie
: Mamy produkt w postaci nawiasów, który można od razu rozszerzyć, korzystając z powyższego wzoru. Ale żeby się nie pomylić, zróbmy wszystko krok po kroku.
Krok 1. Usuń pierwszy nawias i pomnóż każdy człon przez drugi nawias:
Krok 2. Rozwiń iloczyny nawiasów i współczynnika jak opisano powyżej:
- Po pierwsze...
Krok 3. Teraz mnożymy i przedstawiamy podobne terminy:
Nie ma potrzeby tak szczegółowo opisywać wszystkich przekształceń, można je od razu pomnożyć. Ale jeśli dopiero uczysz się otwierać nawiasy, pisz szczegółowo, będzie mniejsze ryzyko popełnienia błędów.
Uwaga do całej sekcji. Tak naprawdę nie musisz pamiętać wszystkich czterech zasad, wystarczy zapamiętać jedną, tę: \(c(a-b)=ca-cb\) . Dlaczego? Ponieważ jeśli zastąpisz jeden zamiast c, otrzymasz regułę \((a-b)=a-b\) . A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę \(-(a-b)=-a+b\) . Cóż, jeśli zastąpisz inny nawias zamiast c, możesz uzyskać ostatnią regułę.
Nawias w nawiasie
Czasami w praktyce występują problemy z nawiasami zagnieżdżonymi w innych nawiasach. Oto przykład takiego zadania: uprość wyrażenie \(7x+2(5-(3x+y))\).
Aby pomyślnie rozwiązać takie zadania, potrzebujesz:
- dokładnie zrozumieć zagnieżdżenie nawiasów - który z nich jest w którym;
— otwieraj nawiasy sekwencyjnie, zaczynając np. od najgłębszego.
Jest to ważne przy otwieraniu jednego z nawiasów nie dotykaj reszty wyrażenia, po prostu przepisz to tak, jak jest.
Spójrzmy na zadanie napisane powyżej jako przykład.
Przykład.
Otwórz nawiasy i podaj podobne wyrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rozwiązanie:
Zacznijmy od otwarcia wspornika wewnętrznego (tego znajdującego się wewnątrz). Rozwijając go, mamy do czynienia tylko z tym, co bezpośrednio się z nim wiąże – jest to sam nawias i znajdujący się przed nim minus (zaznaczony na zielono). Wszystko inne (nie podświetlone) przepisujemy tak samo, jak było.
Rozwiązywanie problemów matematycznych w Internecie
Kalkulator internetowy.
Upraszczanie wielomianu.
Mnożenie wielomianów.
Za pomocą tego programu matematycznego możesz uprościć wielomian.
Podczas działania programu:
- mnoży wielomiany
— sumuje jednomiany (daje podobne)
- otwiera nawiasy
- podnosi wielomian do potęgi
Program upraszczający wielomian nie tylko daje odpowiedź na problem, ale dostarcza szczegółowe rozwiązanie wraz z objaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania, dzięki czemu możesz sprawdzić swoją wiedzę z matematyki i/lub algebry.
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich przygotowujących się do egzaminu testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę poczekać chwilę.
Trochę teorii.
Iloczyn jednomianu i wielomianu. Pojęcie wielomianu
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian ma trzeci stopień, a trójmian drugi.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z niektórymi wyrażeniami w przekształceniach algebraicznych musisz mieć do czynienia częściej niż z innymi. Być może najczęstszymi wyrażeniami są u, czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, na przykład jest to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib. Jednak kwadrat sumy a i b nie występuje zbyt często; z reguły zamiast liter a i b zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości spotkałeś się już z takim zadaniem przy mnożeniu wielomianów:
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
- kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynowi podwójnemu.
— kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
- różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Książki (podręczniki) Abstrakty Unified State Exam i testy OGE Gry online, puzzle Funkcje graficzne słownik ortograficzny Język rosyjski Słownik slangu młodzieżowego Katalog rosyjskich szkół Katalog średnich instytucji edukacyjnych w Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań Znajdowanie GCD i LCM Uproszczanie wielomianu (mnożenie wielomianów) Dzielenie wielomianu przez wielomian z kolumną Obliczanie ułamki liczbowe Rozwiązywanie problemów z procentami Liczby zespolone: suma, różnica, iloczyn i iloraz Systemy 2 równania liniowe z dwoma zmienne Rozwiązanie równanie kwadratowe Podnoszenie dwumianu do kwadratu i rozkładanie go na czynniki trójmian kwadratowy Rozwiązywanie nierówności Rozwiązywanie układów nierówności Rysowanie wykresu funkcja kwadratowa Rysowanie wykresu liniowej funkcji ułamkowej. Rozwiązywanie zadań arytmetycznych i progresje geometryczne Rozwiązywanie równań trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych Obliczanie granic, pochodnych, stycznych Całka i funkcja pierwotna Rozwiązywanie trójkątów Obliczanie działań za pomocą wektorów Obliczanie działań za pomocą prostych i płaszczyzn Powierzchnia figury geometryczne Obwód kształtów geometrycznych Objętość ciał geometrycznych Pole powierzchni ciał geometrycznych
Konstruktor sytuacji drogowych
Pogoda - aktualności - horoskopy
www.mathsolution.ru
Rozwijanie nawiasów
Kontynuujemy naukę podstaw algebry. W ta lekcja nauczymy się, jak rozwijać nawiasy w wyrażeniach. Rozszerzanie nawiasów oznacza usuwanie nawiasów z wyrażenia.
Aby otworzyć nawiasy, musisz zapamiętać tylko dwie zasady. Dzięki regularnej praktyce możesz otwierać zamki za pomocą zamknięte oczy, a zasady, które należało zapamiętać, można bezpiecznie zapomnieć.
Pierwsza zasada otwierania nawiasów
Rozważ następujące wyrażenie:
Wartość tego wyrażenia wynosi 2 . Otwórzmy nawiasy w tym wyrażeniu. Rozszerzanie nawiasów oznacza ich pozbycie się bez wpływu na znaczenie wyrażenia. Oznacza to, że po pozbyciu się nawiasów wartość wyrażenia 8+(−9+3) nadal powinno być równe dwa.
Pierwsza zasada otwierania nawiasów jest następująca:
Otwierając nawiasy, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, to plus ten jest pomijany wraz z nawiasami.
Widzimy to więc w wyrażeniu 8+(−9+3) Przed nawiasami znajduje się znak plus. Plus ten należy pominąć wraz z nawiasami. Innymi słowy, nawiasy znikną wraz z plusem, który stał przed nimi. A to, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:
8−9+3 . To wyrażenie jest równe 2 , podobnie jak poprzednie wyrażenie w nawiasach, było równe 2 .
8+(−9+3) I 8−9+3
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
Przykład 2. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 3 + (−1 − 4)
Przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że plus ten jest pomijany wraz z nawiasami. To, co było w nawiasach, pozostanie niezmienione:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 + (−1)
W tym przykładzie otwarcie nawiasów stało się rodzajem operacji odwrotnej polegającej na zastąpieniu odejmowania dodawaniem. Co to znaczy?
W wyrazie 2−1 następuje odejmowanie, ale można je zastąpić dodawaniem. Następnie otrzymujemy wyrażenie 2+(−1) . Ale jeśli w wyrażeniu 2+(−1) otwórz nawiasy, otrzymasz oryginał 2−1 .
Dlatego pierwszą regułę otwierania nawiasów można zastosować do uproszczenia wyrażeń po pewnych przekształceniach. Oznacza to, że pozbędziesz się nawiasów i uprościsz to.
Na przykład uprośćmy wyrażenie 2a+a−5b+b .
Aby uprościć to wyrażenie, można podać podobne terminy. Przypomnijmy, że aby zredukować wyrazy podobne, należy dodać współczynniki wyrazów podobnych i wynik pomnożyć przez część wspólną literową:
Mam wyraz 3a+(−4b). Usuńmy nawiasy z tego wyrażenia. Przed nawiasami znajduje się plus, dlatego stosujemy pierwszą zasadę otwierania nawiasów, czyli pomijamy nawiasy wraz z plusem znajdującym się przed tymi nawiasami:
Zatem wyrażenie 2a+a−5b+b upraszcza do 3a-4b .
Po otwarciu niektórych nawiasów możesz po drodze spotkać inne. Stosujemy do nich te same zasady, co do tych pierwszych. Na przykład rozwińmy nawiasy w następującym wyrażeniu:
Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W tym przypadku obowiązuje pierwsza zasada otwierania nawiasów, a mianowicie pomijanie nawiasów wraz ze znakiem plus, który je poprzedza:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 6+(−3)+(−2)
W obu miejscach, w których znajdują się nawiasy, poprzedza się je plusem. Tutaj znowu obowiązuje pierwsza zasada otwierania nawiasów:
Czasami pierwszy termin w nawiasie jest zapisywany bez znaku. Na przykład w wyrażeniu 1+(2+3−4) pierwszy wyraz w nawiasie 2 napisane bez znaku. Powstaje pytanie, jaki znak pojawi się przed dwójką po pominięciu nawiasów i plusa przed nawiasami? Odpowiedź sama się nasuwa - przed dwójką będzie plus.
W rzeczywistości nawet będąc w nawiasie, przed dwójką znajduje się plus, ale nie widzimy tego, ponieważ nie jest to zapisane. Już to powiedzieliśmy pełny zapis liczby dodatnie wyglądają +1, +2, +3. Ale zgodnie z tradycją plusów nie zapisuje się, dlatego widzimy znane nam liczby dodatnie 1, 2, 3 .
Dlatego należy rozwinąć nawiasy w wyrażeniu 1+(2+3−4) , jak zwykle, należy pominąć nawiasy wraz ze znakiem plus przed tymi nawiasami, ale pierwsze wyrażenie znajdujące się w nawiasach wpisać ze znakiem plus:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Przykład 4. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −5 + (2 − 3)
Przed nawiasami znajduje się plus, dlatego stosujemy pierwszą zasadę otwierania nawiasów, a mianowicie pomijamy nawiasy wraz z plusem znajdującym się przed tymi nawiasami. Ale pierwszy termin, który zapisujemy w nawiasie ze znakiem plus:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Przykład 5. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu (−5)
Przed nawiasem znajduje się plus, ale nie jest on zapisywany, ponieważ nie było przed nim żadnych innych liczb ani wyrażeń. Naszym zadaniem jest usunięcie nawiasów stosując pierwszą zasadę nawiasów otwierających, czyli pominąć nawiasy wraz z tym plusem (nawet jeśli jest on niewidoczny)
Przykład 6. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2a + (-6a + b)
Przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że plus ten jest pomijany wraz z nawiasami. To, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:
2a + (-6a + b) = 2a -6a + b
Przykład 7. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)
W tym wyrażeniu są dwa miejsca, w których należy rozwinąć nawiasy. W obu fragmentach przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że plus ten jest pomijany wraz z nawiasem. To, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Druga zasada otwierania nawiasów
Przyjrzyjmy się teraz drugiej zasadzie otwierania nawiasów. Stosuje się go, gdy przed nawiasem znajduje się minus.
Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy znajdujące się w nawiasach zmieniają swój znak na przeciwny.
Na przykład rozwińmy nawiasy w poniższym wyrażeniu
Widzimy, że przed nawiasami jest minus. Oznacza to, że musisz zastosować drugą zasadę rozwijania, a mianowicie pominąć nawiasy wraz ze znakiem minus przed tymi nawiasami. W takim przypadku wyrazy w nawiasach zmienią swój znak na przeciwny:
Mamy wyrażenie bez nawiasów 5+2+3 . To wyrażenie jest równe 10, tak jak poprzednie wyrażenie w nawiasach było równe 10.
Zatem pomiędzy wyrażeniami 5−(−2−3) I 5+2+3 możesz postawić znak równości, ponieważ są one równe tej samej wartości:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
Przykład 2. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 6 − (−2 − 5)
Przed nawiasami znajduje się minus, dlatego stosujemy drugą zasadę otwierania nawiasów, a mianowicie pomijamy nawiasy wraz z minusem znajdującym się przed tymi nawiasami. W tym przypadku zapisujemy terminy w nawiasach z przeciwnymi znakami:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 − (7 + 3)
Przed nawiasami jest minus, dlatego stosujemy drugą zasadę otwierania nawiasów:
Przykład 4. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−3 + 4)
Przykład 5. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W pierwszym przypadku należy zastosować drugą zasadę otwierania nawiasów i jeśli chodzi o wyrażenie +(−9−2) musisz zastosować pierwszą zasadę:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Przykład 6. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−a − 1)
Przykład 7. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(4a + 3)
Przykład 8. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu A − (4b + 3) + 15
Przykład 9. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2a + (3b - b) - (3c + 5)
Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W pierwszym przypadku należy zastosować pierwszą zasadę otwierania nawiasów i jeśli chodzi o wyrażenie −(3c+5) musisz zastosować drugą zasadę:
2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b – b – 3c – 5
Przykład 10. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Istnieją trzy miejsca, w których należy otworzyć wsporniki. Najpierw musisz zastosować drugą zasadę otwierania nawiasów, potem pierwszą i jeszcze raz drugą:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a – 6b + 8c – 15
Mechanizm otwierania wspornika
Zasady otwierania nawiasów, które teraz sprawdziliśmy, opierają się na rozdzielnym prawie mnożenia:
W rzeczywistości nawiasy otwierające to procedura, w której wspólny współczynnik jest mnożony przez każdy wyraz w nawiasach. W wyniku tego mnożenia nawiasy znikają. Na przykład rozwińmy nawiasy w wyrażeniu 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Dlatego jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez wyrażenie w nawiasach (lub pomnożyć wyrażenie w nawiasach przez liczbę), musisz powiedzieć otwórzmy nawiasy.
Ale jak rozdzielne prawo mnożenia jest powiązane z zasadami otwierania nawiasów, które omawialiśmy wcześniej?
Faktem jest, że przed nawiasami znajduje się wspólny czynnik. W przykładzie 3×(4+5) wspólnym czynnikiem jest 3 . I na przykładzie a(b+c) wspólnym czynnikiem jest zmienna A.
Jeśli przed nawiasami nie ma liczb ani zmiennych, wówczas wspólnym czynnikiem jest 1 Lub −1 , w zależności od tego, jaki znak znajduje się przed nawiasami. Jeśli przed nawiasem znajduje się plus, to wspólnym czynnikiem jest 1 . Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, wówczas wspólnym czynnikiem jest −1 .
Na przykład rozwińmy nawiasy w wyrażeniu −(3b−1). Przed nawiasami znajduje się znak minus, dlatego przy otwieraniu nawiasów należy zastosować drugą zasadę, czyli pominąć nawiasy wraz ze znakiem minus przed nawiasami. I napisz wyrażenie w nawiasie z przeciwnymi znakami:
Rozszerzyliśmy nawiasy, korzystając z reguły rozszerzania nawiasów. Ale te same nawiasy można otworzyć, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. Aby to zrobić, najpierw napisz przed nawiasami wspólny współczynnik 1, który nie został zapisany:
Znak minus, który poprzednio znajdował się przed nawiasami, odnosił się do tej jednostki. Teraz możesz otworzyć nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. W tym celu wspólny czynnik −1 musisz pomnożyć przez każdy wyraz w nawiasach i dodać wyniki.
Dla wygody różnicę w nawiasach zastępujemy kwotą:
−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Podobnie jak ostatnim razem otrzymaliśmy wyrażenie −3b+1. Wszyscy zgodzą się, że tym razem więcej czasu poświęcono na rozwiązanie tak prostego przykładu. Dlatego rozsądniej jest skorzystać z gotowych zasad otwierania nawiasów, które omówiliśmy w tej lekcji:
Ale nie zaszkodzi wiedzieć, jak działają te zasady.
Na tej lekcji nauczyliśmy się jeszcze jednej rzeczy identyczna transformacja. Wraz z otwieraniem nawiasów, wyjmowaniem z nawiasów ogólnych i wprowadzaniem podobnych terminów, można nieco rozszerzyć zakres problemów do rozwiązania. Na przykład:
Tutaj musisz wykonać dwie czynności - najpierw otwórz nawiasy, a następnie wprowadź podobne terminy. Zatem w kolejności:
1) Otwórz nawiasy:
2) Przedstawiamy podobne terminy:
W wynikowym wyrażeniu −10b+(−1) możesz rozwinąć nawiasy:
Przykład 2. Otwórz nawiasy i dodaj podobne terminy w następującym wyrażeniu:
1) Otwórzmy nawiasy:
2) Przedstawmy podobne terminy. Tym razem, aby zaoszczędzić czas i miejsce, nie będziemy pisać, jak współczynniki są mnożone przez część wspólną literową
Przykład 3. Uprość wyrażenie 8m+3m i znajdź jego wartość przy m=−4
1) Najpierw uprośćmy wyrażenie. Aby uprościć wyrażenie 8m+3m, możesz usunąć z tego wspólny czynnik M poza nawiasami:
2) Znajdź wartość wyrażenia m(8+3) Na m=−4. Aby to zrobić, w wyrażeniu m(8+3) zamiast zmiennej M zastąpić numer −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Jeśli chcesz uwzględnić informacje związane z treścią tekstu, ale nie mieszczą się one w treści zdania lub akapitu, musisz umieścić je w nawiasie. Umieszczając go w nawiasie, zmniejszasz jego znaczenie, aby nie odwracało uwagi od głównego znaczenia tekstu.
- Przykład: J. R. R. Tolkien (autor „Władcy Pierścieni”) i C. S. Lewis (autor „Opowieści z Narnii”) byli stałymi członkami literackiej grupy dyskusyjnej znanej jako Inklingowie.
Uwagi w nawiasach. Często, gdy zapisujesz wartość liczbową słownie, pomocne jest również zapisanie tej wartości liczbowej. Możesz wskazać formę liczbową, umieszczając ją w nawiasach.
- Przykład: Do końca tego tygodnia musi zapłacić siedemset dolarów (700 dolarów) za czynsz.
Używanie cyfr lub liter podczas wystawiania aukcji. Jeśli chcesz umieścić szereg informacji w akapicie lub zdaniu, numeracja każdego elementu może sprawić, że lista będzie mniej zagmatwana. Liczby lub litery używane do oznaczenia każdego elementu należy umieścić w nawiasach.
- Przykład: Firma poszukuje kandydata do pracy, który (1) jest zdyscyplinowany, (2) wie wszystko, co trzeba wiedzieć o najnowszych trendach w edycji zdjęć i ulepszaniu oprogramowania oraz (3) ma co najmniej pięcioletnie doświadczenie zawodowe na polu.
- Przykład: Firma poszukuje kandydata do pracy, który jest (A) zdyscyplinowany, (B) wie wszystko, co trzeba wiedzieć o najnowszych trendach w edycji zdjęć i ulepszaniu oprogramowania oraz (C) ma co najmniej pięcioletnie doświadczenie zawodowe w pole.
Oznaczenie liczby mnogiej. W tekście można mówić o czymś w liczbie pojedynczej, sugerując jednocześnie liczbę mnogą. Jeśli wiesz, że czytelnik odniesie korzyść, wiedząc, że masz na myśli zarówno liczbę mnogą, jak i pojedynczy, możesz wskazać swój zamiar, wskazując w nawiasie bezpośrednio po rzeczowniku odpowiednią końcówkę tego rzeczownika w mnogi, jeśli rzeczownik ma tę formę.
- Przykład: W tym roku organizatorzy festiwalu mają nadzieję duża liczba widzów, dlatego pamiętaj o zakupie dodatkowych biletów.
Oznaczenie skrótów. Pisząc nazwę organizacji, produktu lub innego podmiotu, która zazwyczaj zawiera dobrze znane skróty, należy uwzględnić pełne imię i nazwisko obiekt, gdy wspomnisz o nim po raz pierwszy w tekście. Jeśli zamierzasz później odnosić się do obiektu za pomocą dobrze znanego skrótu, powinieneś umieścić ten skrót w nawiasie, aby czytelnicy wiedzieli, czego później szukać.
- Przykład: Pracownicy i wolontariusze Ligi Obrony Zwierząt (ALSL) mają nadzieję ograniczyć, a ostatecznie wyeliminować okrucieństwo i złe traktowanie zwierząt w społeczności.
Wzmianka o znaczących datach. Chociaż nie zawsze jest to konieczne, w niektórych kontekstach może być konieczne podanie daty urodzenia i/lub daty śmierci konkretnej osoby, o której mowa w tekście. Daty takie należy podać w nawiasach.
- Przykład: Jane Austen (1775-1817) znana jest ze swoich dzieł literackich Duma i uprzedzenie oraz Rozważna i romantyczna.
- George R.R. Martin (ur. 1948) to twórca popularnego serialu telewizyjnego Gra o tron.
Używanie cytatów wprowadzających. W tekstach naukowych cytaty wprowadzające należy umieścić w tekście, gdy bezpośrednio lub pośrednio cytujesz inną pracę. Cytaty te zawierają informacje bibliograficzne i należy je umieścić w nawiasach bezpośrednio po zapożyczonych informacjach.
- Przykład: Badania pokazują, że istnieje związek między migreną a depresją kliniczną (Smith, 2012).
- Przykład: Badania pokazują, że istnieje związek pomiędzy migreną a depresją kliniczną (Smith 32).
- Za zdobycie Dodatkowe informacje O prawidłowe użycie W tekście cytatów wprowadzających patrz „Jak prawidłowo używać cytatów w tekście”.
A+(b + c) można zapisać bez nawiasów: a+(b + c)=a + b + c. Ta operacja nazywa się nawiasami otwierającymi.
Przykład 1. Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu a + (- b + c).
Rozwiązanie. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + do.
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak „+”, możesz pominąć nawiasy i ten znak „+”, zachowując znaki terminów w nawiasach. Jeżeli pierwszy wyraz w nawiasie jest zapisany bez znaku, należy go zapisać ze znakiem „+”.
Przykład 2. Znajdźmy wartość wyrażenia -2,87+ (2,87-7,639).
Rozwiązanie. Otwierając nawiasy, otrzymujemy - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.
Aby znaleźć wartość wyrażenia - (- 9 + 5), musisz dodać liczby-9 i 5 i znajdź liczbę przeciwną otrzymanej sumie: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Tę samą wartość można uzyskać w inny sposób: najpierw zapisz liczby przeciwne tym wyrazom (czyli zmień ich znaki), a następnie dodaj: 9 + (- 5) = 4. Zatem -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Aby zapisać sumę przeciwną sumie kilku wyrazów, należy zmienić znaki tych wyrazów.
Oznacza to - (a + b) = - a - b.
Przykład 3. Znajdźmy wartość wyrażenia 16 - (10 -18 + 12).
Rozwiązanie. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Aby otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „-”, należy zastąpić ten znak znakiem „+”, zmieniając znaki wszystkich terminów w nawiasach na przeciwne, a następnie otworzyć nawiasy.
Przykład 4. Znajdźmy wartość wyrażenia 9,36-(9,36 - 5,48).
Rozwiązanie. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Rozwijanie nawiasów i stosowanie własności przemiennych i łącznych dodatek pozwalają uprościć obliczenia.
Przykład 5. Znajdźmy wartość wyrażenia (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Rozwiązanie. Najpierw otwórzmy nawiasy, a następnie znajdźmy oddzielnie sumę wszystkich liczb dodatnich i osobno sumę wszystkich liczb ujemnych, a na koniec zsumujmy wyniki:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Przykład 6. Znajdźmy wartość wyrażenia
Rozwiązanie. Najpierw wyobraźmy sobie każdy wyraz jako sumę jego części całkowitej i ułamkowej, następnie otwórz nawiasy, następnie dodaj liczby całkowite i osobno frakcyjny części i na koniec zsumuj wyniki:
Jak otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem „+”? Jak znaleźć wartość wyrażenia będącego przeciwieństwem sumy kilku liczb? Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „-”?
1218. Otwórz nawiasy:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Znajdź znaczenie wyrażenia:
1220. Otwórz nawiasy:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Otwórz nawiasy i znajdź znaczenie wyrażenia:
1222. Uprość wyrażenie:
1223. Napisz kwota dwa wyrażenia i uprościć je:
a) - 4 - m i m + 6,4; d) a+b i p - b
b) 1.1+a i -26-a; e) - m + n i -k - n;
c) a + 13 i -13 + b; e) m - n i n - m.
1224. Zapisz różnicę dwóch wyrażeń i uprość ją:
1226. Użyj równania do rozwiązania problemu:
a) Na jednej półce znajdują się 42 książki, a na drugiej 34. Z drugiej półki usunięto kilka książek, a z pierwszej półki zabrano tyle książek, ile zostało na drugiej. Potem na pierwszej półce pozostało 12 książek. Ile książek zostało usuniętych z drugiej półki?
b) W klasie pierwszej jest 42 uczniów, w klasie drugiej jest o 3 uczniów mniej niż w klasie trzeciej. Ilu uczniów jest w trzeciej klasie, jeśli w tych trzech klasach jest 125 uczniów?
1227. Znajdź znaczenie wyrażenia:
1228. Oblicz ustnie:
1229. Znajdź najwyższa wartość wyrażenia:
1230. Podaj 4 kolejne liczby całkowite jeżeli:
a) mniejszy z nich to -12; c) mniejszy z nich to n;
b) największy z nich to -18; d) większa z nich jest równa k.
W tym artykule szczegółowo rozważymy podstawowe zasady takie ważny temat kurs matematyki, jak otwieranie nawiasów. Aby poprawnie rozwiązywać równania, w których się je stosuje, trzeba znać zasady otwierania nawiasów.
Jak poprawnie otwierać nawiasy podczas dodawania
Rozwiń nawiasy poprzedzone znakiem „+”.
Jest to najprostszy przypadek, ponieważ jeśli przed nawiasem znajduje się znak dodania, to znajdujące się w nim znaki nie zmieniają się po otwarciu nawiasu. Przykład:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „-”.
W takim przypadku musisz przepisać wszystkie terminy bez nawiasów, ale jednocześnie zmienić wszystkie znajdujące się w nich znaki na przeciwne. Znaki zmieniają się tylko dla terminów z nawiasów poprzedzonych znakiem „-”. Przykład:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jak otwierać nawiasy podczas mnożenia
Przed nawiasami znajduje się liczba mnożnika
W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz przez współczynnik i otworzyć nawiasy bez zmiany znaków. Jeśli mnożnik ma znak „-”, to podczas mnożenia znaki wyrazów zostają odwrócone. Przykład:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jak otworzyć dwa nawiasy ze znakiem mnożenia między nimi
W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Przykład:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jak otwierać nawiasy w kwadracie
Jeżeli suma lub różnica dwóch wyrazów jest podniesiona do kwadratu, nawiasy należy otworzyć według następującego wzoru:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
W przypadku minusa w nawiasie wzór nie ulega zmianie. Przykład:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jak rozwinąć nawiasy do innego stopnia
Jeśli sumę lub różnicę wyrazów podniesiemy na przykład do potęgi trzeciej lub czwartej, wystarczy rozbić potęgę nawiasu na „kwadraty”. Dodaje się potęgi identycznych czynników, a przy dzieleniu odejmuje się moc dzielnika od potęgi dzielnej. Przykład:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jak otworzyć 3 nawiasy
Istnieją równania, w których mnożone są jednocześnie 3 nawiasy. W takim przypadku należy najpierw pomnożyć wyrazy pierwszych dwóch nawiasów przez siebie, a następnie pomnożyć sumę tego mnożenia przez wyrazy trzeciego nawiasu. Przykład:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Te zasady otwierania nawiasów mają zastosowanie zarówno do rozwiązywania równań liniowych, jak i trygonometrycznych.
