Przykład 1. W pierwszej urnie: trzy kule czerwone i jedna biała. W drugiej urnie: jedna kula czerwona i trzy białe. Rzucamy losowo monetą: jeśli jest to herb, wybieramy ją z pierwszej urny, w przeciwnym razie z drugiej.
Rozwiązanie:
a) prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę czerwoną
A – dostałem czerwoną piłkę
P 1 – herb upadł, P 2 – inaczej
b) Wybrano czerwoną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że zostanie ona pobrana z pierwszej urny z drugiej urny.
B 1 – z pierwszej urny, B 2 – z drugiej urny
,
Przykład 2. W pudełku znajdują się 4 kule. Może być: tylko biały, tylko czarny lub biało-czarny. (Skład nieznany).
Rozwiązanie:
A – prawdopodobieństwo pojawienia się kuli białej
a) Całe białe:
(prawdopodobieństwo, że wybrałeś jedną z trzech opcji tam, gdzie są białe)
(prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli tam, gdzie wszyscy są biali)
b) Wyciągnięto tam, gdzie wszyscy są czarni
c) wycofano opcję, w której wszyscy są biali i/lub czarni
- przynajmniej jeden z nich jest biały
P a + P b + P do =
Przykład 3. W urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne. Wyciąga się z niego 2 kule z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe.
Rozwiązanie:
5 białych i 4 czarne kule
P(A 1) – wyjęto bilę białą
P(A 2) – prawdopodobieństwo, że druga kula również będzie biała
P(A) – białe kule wybrane w rzędzie
Przykład 3a. Opakowanie zawiera 2 fałszywe i 8 prawdziwych banknotów. Z paczki wyciągnięto 2 banknoty z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba są fałszywe.
Rozwiązanie:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Przykład 4. Jest 10 pojemników. Jest 9 urn z 2 kulami czarnymi i 2 białymi. W 1 urnie znajduje się 5 białych i 1 czarny. Z losowo pobranej urny wylosowano kulę.
Rozwiązanie:
P(A) -? Z urny zawierającej 5 kul białych wylosowano kulę białą
B – prawdopodobieństwo wylosowania z urny zawierającej 5 białych
, - zabrane innym
C 1 – prawdopodobieństwo pojawienia się białej bili na poziomie 9.
C 2 – prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli, gdy jest ich 5
P(A 0) = P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Przykład 5. 20 rolek cylindrycznych i 15 stożkowych. Osoba zbierająca bierze 1 wałek, a potem kolejny.
Rozwiązanie:
a) oba wałki są cylindryczne
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – pierwszy cylinder, C 2 – drugi cylinder
P(A)=P(Ts1)P(Ts2) =
b) Co najmniej jeden cylinder
K 1 – pierwszy stożkowy.
K 2 - drugi w kształcie stożka.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) pierwszy cylinder, ale nie drugi
P(C)=P(C1)P(K2)
e) Ani jednego cylindra.
P(D)=P(K1)P(K2)
e) Dokładnie 1 cylinder
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)
Przykład 6. W pudełku znajduje się 10 części standardowych i 5 części wadliwych.
Losowo losowane są trzy części
a) Jeden z nich jest uszkodzony
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – prawdopodobieństwo wadliwych produktów
q – prawdopodobieństwo części standardowych
n=3, trzy części
b) dwie z trzech części są wadliwe P(2)
c) co najmniej jeden standard
P(0) - brak uszkodzeń
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna część będzie standardowa
Przykład 7. W pierwszej urnie znajdują się 3 kule białe i czarne, a w drugiej urnie znajdują się 3 kule białe i 4 czarne. Bez patrzenia przenosimy 2 kule z pierwszej urny do drugiej, a następnie z drugiej urny losujemy 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak różne kolory?
Rozwiązanie:
Podczas przenoszenia kul z pierwszej urny możliwe są następujące opcje:
a) wyjął 2 białe kule z rzędu
P BB 1 =
W drugim kroku zawsze będzie o jedną piłkę mniej, ponieważ w pierwszym kroku jedna piłka została już wyjęta.
b) wyjął jedną białą i jedną czarną bilę
Sytuacja, gdy najpierw losowana jest kula biała, a następnie czarna
Głowica P =
Sytuacja, gdy najpierw została wylosowana kula czarna, a potem biała
P BW =
Razem: P głowica bojowa 1 =
c) wyjął 2 czarne kule z rzędu
P HH 1 =
Ponieważ z pierwszej urny do drugiej urny przeniesiono 2 kule, całkowita liczba kul w drugiej urnie wyniesie 9 (7 + 2). W związku z tym będziemy szukać wszystkich możliwych opcji:
a) Z drugiej urny wylosowano najpierw kulę białą, a następnie czarną
P BB 2 P BB 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny z rzędu wylosowano 2 kule białe. Dlatego liczba białych kul w tym przypadku wynosi 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny wylosowano kulę białą i czarną. Dlatego liczba białych kul w tym przypadku wynosi 4 (3+1), a liczba czarnych kul wynosi pięć (4+1).
P BC 2 P BC 1 - oznacza prawdopodobieństwo, że najpierw została wylosowana kula biała, a następnie czarna, pod warunkiem, że z pierwszej urny z rzędu zostały wylosowane obie kule czarne. Dlatego liczba czarnych kul w tym przypadku wynosi 6 (4+2).
Prawdopodobieństwo, że wylosowane 2 kule będą różnych kolorów, wynosi:
Odpowiedź: P = 0,54
Przykład 7a. Z pierwszej urny zawierającej 5 białych i 3 czarne kule, losowo przeniesiono 2 kule do drugiej urny zawierającej 2 białe i 6 czarnych kul. Następnie z drugiej urny wylosowano 1 kulę.
1) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny okaże się biała?
2) Kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że kule zostały przeniesione z pierwszej urny do drugiej inny kolor.
Rozwiązanie.
1) Zdarzenie A - kula wylosowana z drugiej urny okazuje się biała. Rozważmy następujące opcje wystąpienia tego zdarzenia.
a) Z pierwszej urny do drugiej włożono dwie białe kule: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 4 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Z pierwszej urny do drugiej wrzucono kule białą i czarną: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 3 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Z pierwszej urny do drugiej wrzucono dwie czarne kule: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
W drugiej urnie znajdują się łącznie 2 kule białe. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny wynosi P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Zatem prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z drugiej urny okaże się biała, wynosi:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Kula wyjęta z drugiej urny okazała się biała, tj. całkowite prawdopodobieństwo wynosi P(A)=13/32.
Prawdopodobieństwo, że w drugiej urnie umieszczono kule różnych kolorów (czarnej i białej) i wybrano białą: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Przykład 7b. W pierwszej urnie znajduje się 8 kul białych i 3 czarne, w drugiej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne. Z pierwszej wybieramy losowo jedną kulę, a z drugiej dwie kule. Następnie z wybranych trzech piłek losowana jest jedna kula. Ta ostatnia kula okazała się czarna. Znajdź prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula biała.
Rozwiązanie.
Rozważmy wszystkie warianty zdarzenia A – z trzech kul wylosowana kula okazuje się czarna. Jak to się mogło stać, że wśród trzech kulek była jedna czarna?
a) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny dwie białe.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny dwie czarne.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, z drugiej urny jedną białą i jedną czarną.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny dwie czarne.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, z drugiej urny jedną białą i jedną czarną.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Całkowite prawdopodobieństwo wynosi: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Prawdopodobieństwo, że z białej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Wówczas prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny została wybrana kula biała, przy założeniu, że spośród trzech kul została wybrana kula czarna, wynosi:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Przykład 7c. W pierwszej urnie znajduje się 12 kul białych i 16 czarnych, w drugiej urnie znajduje się 8 kul białych i 10 czarnych. W tym samym czasie z pierwszej i drugiej urny losujemy kulę, mieszamy ją i zwracamy po jednej do każdej urny. Następnie z każdej urny losujemy kulę. Okazało się, że są tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pierwszej urnie pozostanie tyle kul białych, ile było na początku.
Rozwiązanie.
Zdarzenie A – jednocześnie z pierwszej i drugiej urny losowana jest kula.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z pierwszej urny: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny: P2(B) = 8/18 = 4/9
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z drugiej urny: P2(H) = 10/18 = 5/9
Wydarzenie A miało miejsce. Zdarzenie B – z każdej urny losowana jest kula. Po przetasowaniu prawdopodobieństwo, że biała lub czarna kula powróci do urny, wynosi ½.
Rozważmy opcje zdarzenia B - okazały się tego samego koloru.
Za pierwszą urnę
1) do pierwszej urny włożono kulę białą i losowano kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana kula biała, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wylosowano kulę białą, o ile wcześniej wylosowano kulę białą, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) do pierwszej urny włożono czarną kulę i wyciągnięto czarną kulę, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana czarna kula, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Za drugą urnę
1) do pierwszej urny włożono kulę białą i losowano kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej została wylosowana kula biała, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) do pierwszej urny włożono kulę białą i wyciągnięto kulę czarną, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) do pierwszej urny wrzucono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę białą, o ile wcześniej wyciągnięto kulę czarną, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) do pierwszej urny włożono kulę czarną i wyciągnięto kulę czarną, pod warunkiem, że wcześniej wyciągnięto kulę białą, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) do pierwszej urny włożono czarną kulę i wylosowano czarną kulę, o ile wcześniej wylosowano czarną kulę, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Kulki okazały się tego samego koloru:
biały
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) czarny
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Przykład 7d. W pierwszym pudełku znajduje się 5 kul białych i 4 niebieskie, w drugim 3 i 1, a w trzecim odpowiednio 4 i 5. Wybrano losowo pudełko i wyciągnięta z niego kula okazała się niebieska. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula pochodzi z drugiego pudełka?
Rozwiązanie.
A - zdarzenie polegające na wylosowaniu niebieskiej kuli. Rozważmy wszystkie możliwe skutki takiego zdarzenia.
H1 – kula wylosowana z pierwszego pudełka,
H2 – piłka wyciągnięta z drugiego pudełka,
H3 - kula wylosowana z trzeciego pudełka.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Zgodnie z warunkami zadania prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A są równe:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Prawdopodobieństwo, że ta kula pochodzi z drugiego pudełka, wynosi:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Przykład 8. Pięć pudełek po 30 kulek zawiera 5 czerwonych kulek (jest to pudełko o składzie H1), sześć innych pudełek po 20 kulek zawiera 4 czerwone kule (jest to pudełko o składzie H2). Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana czerwona kula znajdzie się w jednym z pierwszych pięciu pudełek.
Rozwiązanie: Problem z aplikacją formuły pełne prawdopodobieństwo.
P(H1) = 5/11
Prawdopodobieństwo, że każdy wzięta piłka znajduje się w jednym z sześciu pudełek:
P(H2) = 6/11
Do zdarzenia doszło – wyciągnięto czerwoną kulę. Może się zatem zdarzyć w dwóch przypadkach:
a) wyciągnięte z pierwszych pięciu pudełek.
P 5 = 5 czerwonych kulek * 5 pudełek / (30 kulek * 5 pudełek) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) wyciągnięte z sześciu innych pudełek.
P 6 = 4 czerwone kulki * 6 pudełek / (20 kulek * 6 pudełek) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Razem: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Zatem prawdopodobieństwo, że losowo wylosowana kula czerwona znajdzie się w jednym z pięciu pierwszych pudełek, wynosi:
P k.sh. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61
Przykład 9. W urnie znajdują się 2 kule białe, 3 czarne i 4 czerwone. Losujemy trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kule będą tego samego koloru?
Rozwiązanie. Istnieją trzy możliwe wyniki:
a) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie białe.
P b (2) = P 2b
Całkowita liczba możliwych elementarnych wyników tych testów jest równa liczbie sposobów, na jakie można wydobyć 3 kule z 9:
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród 3 wybranych kul 2 będą białe.
Liczba opcji do wyboru spośród 2 białych kulek:
Liczba opcji do wyboru 7 innych piłek Trzecia kula:
b) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie czarne (tj. albo 2 czarne, albo 3 czarne).
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród wybranych 3 kul 2 będą czarne.
Liczba opcji do wyboru spośród 3 czarnych kulek:
Liczba opcji do wyboru spośród 6 innych kulek jednej kuli:
P2h = 0,214
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czarne.
P h (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259
c) wśród trzech wylosowanych kul były co najmniej dwie czerwone (tj. albo 2 czerwone, albo 3 czerwone).
Obliczmy prawdopodobieństwo, że spośród 3 wybranych kul 2 będą czerwone.
Liczba opcji do wyboru spośród 4 czarnych kulek:
Ilość opcji do wyboru: 5 kul białych, pozostała 1 biała:
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są czerwone.
P do (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Wtedy prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie kule będą tego samego koloru, wynosi: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Przykład 10. Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 7 białych; W drugiej urnie znajduje się 20 kul, z czego 5 jest białych. Z każdej urny losujemy jedną kulę, a następnie z tych dwóch kul losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wylosowana zostanie kula biała.
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi P(b)1 = 7/10. W związku z tym prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P(h)1 = 3/10.
Prawdopodobieństwo, że z drugiej urny zostanie wylosowana kula biała, wynosi P(b)2 = 5/20 = 1/4. Odpowiednio prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Zdarzenie A – z dwóch kul losowana jest kula biała
Rozważmy możliwy wynik zdarzenia A.
- Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny białą. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- Z pierwszej urny wylosowano kulę białą, a z drugiej urny czarną. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- Z pierwszej urny wylosowano kulę czarną, a z drugiej urny białą. Następnie z tych dwóch kul wylosowano kulę białą. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Przykład 11. W pudełku znajduje się n piłek tenisowych. Spośród nich rozegrano m. W pierwszej grze losowo pobierano dwie piłki i odkładano je z powrotem po grze. W drugiej grze również wzięliśmy losowo dwie piłki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga partia zostanie rozegrana nowymi piłkami?
Rozwiązanie. Rozważmy zdarzenie A - gra została rozegrana po raz drugi nowymi piłkami. Zobaczmy, jakie wydarzenia mogą do tego doprowadzić.
Oznaczmy przez g = n-m liczbę nowych piłek przed wyciągnięciem.
a) w pierwszej grze wyciągnięto dwie nowe piłki.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) w pierwszej grze wyciągnęli jedną nową piłkę i jedną już zagraną.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
c) w pierwszej grze wyciągnięto dwie zagrane piłki.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Przyjrzyjmy się wydarzeniom z drugiej gry.
a) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P1: skoro w pierwszej partii wylosowano już nowe kule, to w drugiej partii ich liczba zmniejszyła się o 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P2: skoro w pierwszej partii została już wylosowana jedna nowa kula, to w drugiej partii ich liczba zmniejszyła się o 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Wylosowano dwie nowe kule, przy spełnieniu warunku P3: ponieważ w pierwszej partii nie używano nowych piłek, w drugiej grze ich liczba nie uległa zmianie g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Prawdopodobieństwo całkowite P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Odpowiedź: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Przykład 12. W pierwszym, drugim i trzecim pudełku znajdują się 2 białe i 3 czarne kule, w czwartym i piątym pudełku znajduje się 1 biała i 1 czarna kula. Wybieramy losowo pudełko i losujemy z niego kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo warunkowe, że zostanie wybrane czwarte lub piąte pole, jeśli wylosowana kula jest biała?
Rozwiązanie.
Prawdopodobieństwo wybrania każdego pudełka wynosi P(H) = 1/5.
Rozważmy prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A - wylosowania bili białej.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Całkowite prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie czwarte pole
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie piąte pole
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
W sumie prawdopodobieństwo warunkowe, że wybrane zostanie czwarte lub piąte pole, wynosi
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Przykład 13. W urnie było 7 kul białych i 4 czerwone. Następnie do urny wkładano kolejną kulę koloru białego, czerwonego lub czarnego i po wymieszaniu jedną kulę wyjmowano. Okazało się, że jest czerwony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) została umieszczona czerwona kula? b) czarna kula?
Rozwiązanie.
a) czerwona kula
Zdarzenie A – losowana jest kula czerwona. Zdarzenie H – położenie czerwonej kuli. Prawdopodobieństwo, że w urnie umieszczono czerwoną kulę P(H=K) = 1/3
Wtedy P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) czarna kula
Zdarzenie A – losowana jest kula czerwona. Zdarzenie H – zostaje położona czarna kula.
Prawdopodobieństwo, że w urnie umieszczono czarną kulę P(H=H) = 1/3
Wtedy P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111
Przykład 14. Znajdują się tam dwie urny z kulami. Jedna ma 10 czerwonych i 5 niebieskich kul, druga ma 5 czerwonych i 7 niebieskich kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula czerwona, a z drugiej – kula niebieska?
Rozwiązanie. Niech zdarzeniem A1 będzie czerwona kula wylosowana z pierwszej urny; A2 - z drugiej urny losujemy kulę niebieską:
,
Zdarzenia A1 i A2 są niezależne. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia zdarzeń A1 i A2 jest równe
Przykład 15. W zestawie talia kart (36 sztuk). Losujemy dwie karty z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wylosowane karty będą czerwone?
Rozwiązanie. Niech zdarzenie A 1 będzie pierwszą wyciągniętą czerwoną kartką. Zdarzenie A 2 – wyciągnięcie drugiej czerwonej kartki. B - obie wyjęte karty są czerwone. Ponieważ musi nastąpić zarówno zdarzenie A 1, jak i zdarzenie A 2, to B = A 1 · A 2 . Zdarzenia A 1 i A 2 są więc zależne, P(B) :
,
Stąd
Przykład 16. W dwóch urnach znajdują się kule różniące się jedynie kolorem, przy czym w pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych, 11 czarnych i 8 czerwonych, a w drugiej odpowiednio 10, 8, 6 kul. Z obu urn losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą tego samego koloru?
Rozwiązanie. Niech indeks 1 oznacza biały kolor, indeks 2 - czarny; 3 - kolor czerwony. Niech zdarzenie A i będzie polegało na tym, że z pierwszej urny zostanie wylosowana kula i-tego koloru; zdarzenie B j - z drugiej urny zostaje wylosowana kula koloru j; zdarzenie A - obie kule są tego samego koloru.
A = ZA 1 · B 1 + ZA 2 · B 2 + ZA 3 · B 3. Zdarzenia A i i B j są niezależne, a A i · B i oraz Aj · B j są niezgodne dla i ≠ j. Stąd,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Przykład 17. Z urny zawierającej 3 kule białe i 2 czarne losujemy po jednej kulie, aż pojawią się czarne. Oblicz prawdopodobieństwo, że z urny wylosujemy 3 kule? 5 piłek?
Rozwiązanie.
1) prawdopodobieństwo, że z urny zostaną wylosowane 3 kule (tzn. trzecia kula będzie czarna, a dwie pierwsze białe).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) prawdopodobieństwo, że z urny zostanie wylosowanych 5 kul
Taka sytuacja nie jest możliwa, ponieważ tylko 3 białe kule.
P=0
Konsekwencją obu głównych twierdzeń – twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw i twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw – jest tzw. wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
Niech konieczne będzie określenie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia, które może wystąpić razem z jednym ze zdarzeń:
tworząc kompletną grupę niezgodnych ze sobą zdarzeń. Nazwiemy te zdarzenia hipotezami.
Udowodnijmy to w tym przypadku
, (3.4.1)
te. prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się jako sumę iloczynów prawdopodobieństwa każdej hipotezy i prawdopodobieństwa zdarzenia w ramach tej hipotezy.
Wzór (3.4.1) nazywany jest wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.
Dowód. Ponieważ hipotezy tworzą kompletną grupę, zdarzenie może pojawić się tylko w połączeniu z dowolną z tych hipotez:
Ponieważ hipotezy są niespójne, kombinacje 
również niezgodne; Stosując do nich twierdzenie o dodawaniu, otrzymujemy:
Stosując twierdzenie o mnożeniu do zdarzenia, otrzymujemy:
,
co było do okazania
Przykład 1. Istnieją trzy identycznie wyglądające urny; w pierwszej urnie znajdują się dwie kule białe i jedna czarna; w drugim - trzy białe i jeden czarny; w trzeciej są dwie białe i dwie czarne kule. Ktoś wybiera losowo jedną z urn i bierze z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała.
Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy:
Wybór pierwszej urny wyborczej
Wybór drugiej urny
Wybór trzeciej urny
a wydarzeniem jest pojawienie się białej kuli.
Ponieważ hipotezy, zgodnie z warunkami problemu, są zatem równie możliwe
.
Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia w ramach tych hipotez są odpowiednio równe:
Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite
.
Przykład 2. W stronę samolotu padają trzy pojedyncze strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale wynosi 0,4, przy drugim – 0,5, przy trzecim – 0,7. Trzy trafienia wystarczą oczywiście, aby unieruchomić samolot; przy jednym trafieniu samolot ulega awarii z prawdopodobieństwem 0,2, przy dwóch trafieniach - z prawdopodobieństwem 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że samolot zostanie unieruchomiony w wyniku trzech strzałów.
Rozwiązanie. Rozważmy cztery hipotezy:
Ani jeden pocisk nie trafił w samolot,
Jeden pocisk trafił w samolot,
Samolot został trafiony dwoma pociskami,
Samolot został trafiony trzema pociskami.
Korzystając z twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu, znajdujemy prawdopodobieństwa tych hipotez:
Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia (awaria statku powietrznego) w ramach tych hipotez są równe:
Stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy:
Należy zauważyć, że pierwszej hipotezy nie można było uwzględnić, ponieważ odpowiadający jej człon we wzorze na prawdopodobieństwo całkowite znika. Tak się zwykle robi, stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając nie całą grupę hipotez niezgodnych, ale tylko te, w ramach których dane zdarzenie jest możliwe.
Przykład 3. Pracą silnika sterują dwa regulatory. Rozważa się pewien okres czasu, w którym pożądane jest zapewnienie bezawaryjnej pracy silnika. Jeśli oba regulatory są obecne, silnik ulegnie awarii z prawdopodobieństwem, jeśli tylko pierwszy z nich będzie działał - z prawdopodobieństwem, jeśli zadziała tylko drugi - , jeśli oba regulatory zawiodą - z prawdopodobieństwem. Pierwszy z regulatorów ma niezawodność, drugi -. Wszystkie elementy zawodzą niezależnie od siebie. Znaleźć niezawodność całkowitą (prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy) silnika.
Rozważmy zdarzenie zależne, co może nastąpić jedynie w wyniku wdrożenia jednego z niezgodnych hipotezy
, która forma pełna grupa. Niech będą znane ich prawdopodobieństwa i odpowiadające im prawdopodobieństwa warunkowe. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:
Ta formuła nazywa się wzory na prawdopodobieństwo całkowite. W podręcznikach formułuje się go jako twierdzenie, którego dowód jest elementarny: według algebra zdarzeń, (wystąpiło wydarzenie I Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie Lub …. Lub miało miejsce wydarzenie I po tym nastąpiło wydarzenie). Od hipotez są niezgodne, a zdarzenie jest zależne, to zgodnie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych (pierwszy krok) I twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa zdarzenia zależne
(drugi krok):
Problem 1
Istnieją trzy identyczne urny. W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 7 czarnych, w drugiej tylko kule białe, a w trzeciej tylko kule czarne. Wybieramy losowo jedną urnę i losujemy z niej kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula jest czarna?
Rozwiązanie: rozważ wydarzenie - z losowo wybranej urny zostanie wylosowana czarna kula. Zdarzenie to może nastąpić w wyniku jednej z następujących hipotez:
– zostanie wybrana pierwsza urna;
– zostanie wybrana druga urna;
– zostanie wybrana trzecia urna.
Ponieważ urna jest wybierana losowo, wybór którejkolwiek z trzech urn równie możliwe, stąd: 
Należy pamiętać, że powyższe hipotezy powstają pełen zespół wydarzeń, czyli zgodnie z warunkiem, czarna kula może pojawić się tylko z tych urn i nie może na przykład pochodzić ze stołu bilardowego. Zróbmy prostą kontrolę pośrednią: 
, OK, przejdźmy dalej:
Pierwsza urna zawiera 4 białe + 7 czarnych = 11 kul w każdej klasyczna definicja:
– prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jeśli się uwzględni, że wybrana zostanie pierwsza urna.
W drugiej urnie znajdują się wyłącznie kule białe, tzw jeśli wybrany pojawia się czarna kula niemożliwe: .
I wreszcie trzecia urna zawiera tylko czarne kule, czyli odpowiadające im kule warunkowe prawdopodobieństwo będzie wyodrębnienie czarnej kuli (wydarzenie jest wiarygodne).
Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite:
– prawdopodobieństwo, że z losowo wybranej urny zostanie wylosowana kula czarna.
Odpowiedź:
Problem 2
Strzelnica posiada 5 karabinów o różnej celności. Prawdopodobieństwa trafienia w cel dla danego strzelca są odpowiednio równe 
i 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w cel, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu?
Problem 3
W piramidzie znajduje się 5 karabinów, z czego trzy są wyposażone w celownik optyczny. Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel podczas strzelania z karabinu z celownikiem teleskopowym, wynosi 0,95; do karabinu bez celownik optyczny prawdopodobieństwo to wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony, jeśli strzelec odda jeden strzał z losowo wybranego karabinu.
Rozwiązanie: w tym zadaniu liczba karabinów jest dokładnie taka sama jak w poprzednim, ale są tylko dwie hipotezy:
– strzelec wybierze karabin z celownikiem optycznym;
– strzelec wybierze karabin bez celownika optycznego.
Przez klasyczna definicja prawdopodobieństwa: 
.
Kontrola:
Problem 4
Silnik pracuje w trzech trybach: normalnym, wymuszonym i jałowym. W trybie jałowym prawdopodobieństwo jego awarii wynosi 0,05, w trybie normalnej pracy – 0,1, a w trybie wymuszonym – 0,7. W 70% przypadków silnik pracuje w trybie normalnym, a w 20% w trybie wymuszonym. Jakie jest prawdopodobieństwo awarii silnika podczas pracy?
Istnieją trzy identycznie wyglądające urny; w pierwszej urnie znajdują się 2 kule białe i 1 czarna; w drugiej urnie znajdują się 3 kule białe i 1 czarna; trzecia zawiera 2 białe i 2 czarne kule.
Ktoś wybiera losowo jedną z urn i losuje z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała.
Rozważmy trzy hipotezy:
H1-wybór pierwszej urny
H2-wybór drugiej urny
H3 – wybór trzeciej urny
Kompletna grupa niezgodnych zdarzeń.
Niech zdarzeniem A będzie pojawienie się białej kuli. Ponieważ hipotezy, zgodnie z warunkami zadania, są jednakowo możliwe, wówczas P(H1) = P(H2) = P(H3) =1\3
Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A przy tych hipotezach są odpowiednio równe: P(A/H1) =2\3; P(A/H2) =3\4; P(A/H3) =1/2.
Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite
P(A) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Odpowiedź: 23\36
P.2. Twierdzenie hipotez.
Konsekwencją twierdzenia o mnożeniu i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite jest tzw. twierdzenie o hipotezie, czyli wzór Bayesa.
Postawmy następujący problem.
Istnieje pełna grupa hipotez niespójnych H1, H2,. . Nn. prawdopodobieństwa tych hipotez są znane przed eksperymentami i wynoszą odpowiednio P(H1), P(H2) ..., P(Hn). Przeprowadzono eksperyment, w wyniku którego zaobserwowano zajście pewnego zdarzenia A. Powstaje pytanie, jak zmienić prawdopodobieństwa hipotez w związku z wystąpieniem tego zdarzenia?
Zasadniczo mówimy tutaj o znalezieniu prawdopodobieństwa warunkowego P(H1/A) dla każdej hipotezy.
Z twierdzenia o mnożeniu mamy:
Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3, .n) lub odrzucając lewą stronę Nutrend enduro bcaa Kup 120 kaps.
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,..,n)
Gdzie P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷P(A),(i=1,2,3, . . n)
Wyrażając za pomocą P(A) przy użyciu prawdopodobieństwa całkowitego, mamy
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ÷∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3, ..n) (2)
Wzór (2) nazywany jest wzorem Baysa lub twierdzeniem o hipotezie
Przykład 2. W fabryce 30% produktów wytwarza maszyna I, 25% produktów maszyna II, reszta produktów maszyna III. W przypadku maszyny I złomowaniu podlega 1% jej wyrobów, w przypadku maszyny II - 1,5%, w przypadku maszyny III - 2%, losowo wybrana jednostka produkcyjna okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że została ona wyprodukowana przez maszynę I?
Wprowadźmy notację zdarzeń.
A – wybrany produkt okazał się wadliwy
H1 – produkt wytwarzany przez maszynę I
H2 - produkt wytwarzany przez maszynę II
H3 - produkt wytwarzany przez maszynę III
P(H1) =0,30; P(H2) =0,25; P(H3) =0,45
P(A/H1) =0,01,
P(A/H2) = 0,015
P(A/H3) =0,02
P(A) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,
P(H1/A) = 0,01*0,30 0,015=0,20
Odpowiedź: 20% wszystkich wadliwych produktów jest wytwarzanych przez maszynę I.
§9. Wzór Bernoulliego
Prawo duże liczby
Niech A Zdarzenie losowe w odniesieniu do jakiegoś doświadczenia σ. Interesuje nas tylko to, czy w wyniku eksperymentu nastąpiło zdarzenie A, czy też nie, dlatego przyjmiemy następujący punkt widzenia: przestrzeń zdarzeń elementarnych związanych z doświadczeniem σ składa się tylko z dwóch elementów – A i A. Oznaczmy prawdopodobieństwa tych elementów odpowiednio przez p i q , (p+q=1).
Załóżmy teraz, że doświadczenie σ w niezmienionych warunkach powtarza się określoną liczbę razy, na przykład 3 razy. Zgódźmy się uważać potrójną realizację σ za pewną nowe doświadczenieη. Jeśli w dalszym ciągu interesuje nas tylko występowanie lub nie występowanie A., to oczywiście należy przyjąć, że przestrzeń zdarzeń elementarnych odpowiadająca doświadczeniu η składa się ze wszystkich możliwych ciągów o długości 3: (A, A, A) , (A, A, A), ( A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), (A, A, A), ( A, A, A), które mogą składać się z A i A.
Każda ze wskazanych sekwencji oznacza taką lub inną sekwencję wystąpienia lub niewystąpienia zdarzeń A w trzech eksperymentach σ, np. sekwencja (A, A, A) oznacza, że A wystąpiło w pierwszym eksperymencie, a A wystąpiło w drugie i trzecie.Zdefiniujmy jakie prawdopodobieństwa należy przypisać każdemu z ciągów (1)
Warunek, że wszystkie trzykrotności doświadczenia σ przeprowadza się w niezmienionych warunkach, powinien oznaczać, co następuje: wynik każdego z trzech eksperymentów nie zależy od tego, co miało miejsce w dwóch pozostałych eksperymentach. Te. dowolna kombinacja wyników trzech eksperymentów reprezentuje potrójną liczbę niezależnych zdarzeń. Naturalnym jest w tym przypadku przypisanie zdarzeniu elementarnemu (A, A, A) prawdopodobieństwa równego p*q*q, a zdarzeniu (A, A, A) prawdopodobieństwa równego q*y*y itp.
To. Dochodzimy do następującego opisu probabilistycznego modelu eksperymentu η (tj. potrójnej realizacji eksperymentu σ). Przestrzeń Ω zdarzeń elementarnych to zbiór od 2 do 3 ciągów potęgowych. (1). Każdy ciąg jest powiązany jako prawdopodobieństwo z liczbą p do potęgi k, q do potęgi e, gdzie wykładniki określają, ile razy symbole A i A występują w wyrażeniu dla danego ciągu.
Modele probabilistyczne tego rodzaju nazywane są schematami Bernoulliego. W ogólnym przypadku schemat Bernoulliego wyznaczają wartości liczb n i p, gdzie n jest liczbą powtórzeń eksperymentu początkowego σ (w poprzednim eksperymencie rozważaliśmy n=3), a p jest liczbą prawdopodobieństwo zdarzenia A w odniesieniu do eksperymentu σ.
Twierdzenie 1. Niech prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie równe p, a Pmn będzie prawdopodobieństwem, że w serii n niezależnych prób zdarzenie to wystąpi m razy.
Wtedy obowiązuje wzór Bernoulliego.
Pmn=Cn do potęgi m *P do potęgi m *q do stopnie n-m
Monetą rzucamy 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że herb pojawi się dokładnie 3 razy?
W w tym przypadku Za sukces uważa się utratę herbu, prawdopodobieństwo p tego zdarzenia w każdym eksperymencie wynosi 1\2.
Stąd: Р10.3=С10 do 3 stopni*(1\2) do 3 stopni*(1\2) do 7 stopni=10*9*8÷1*2*3*(1÷2 do 10 stopni) = 15\128
Odpowiedź: 15\128
Na duża liczba testów względna częstotliwość występowania zdarzenia niewiele różni się od prawdopodobieństwa tego zdarzenia. Matematyczne sformułowanie tego twierdzenia jakościowego wynika z prawa wielkich liczb Bernoulliego, udoskonalonego przez Czebyszewa.
Twierdzenie 2. Niech prawdopodobieństwo zdarzenia A w teście p będzie równe p i niech zostanie przeprowadzona seria n niezależnych powtórzeń tego testu.
Niech m oznacza liczbę prób, w których zaszło zdarzenie A. Wtedy dla dowolnej liczby dodatniej α zachodzi nierówność:
З(|m\n-p|> α) Znaczenie tej nierówności jest takie, że wyrażenie m÷n jest równe względnej częstotliwości zdarzenia A w serii eksperymentów, a |m\n-p|> α oznacza, że odchylenie tej względnej częstotliwości od wartości teoretycznej p. Nierówność |m\n-p|> α oznacza, że odchylenie okazało się większe od α. Ale przy stałej wartości α, wraz ze wzrostem n, prawa strona nierówności (3) dąży do zera. Inaczej mówiąc, serie, w których odchylenie częstotliwości doświadczalnej od teoretycznej jest duże, stanowią niewielki ułamek wszystkich możliwych serii badań. Twierdzenie implikuje stwierdzenie otrzymane przez Bernoulliego: zgodnie z warunkami twierdzenia, dla dowolnej wartości α>0 mamy Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia: A - „wybrana część jest wadliwa”, H i - „wybrana część została odebrana od i-tego dostawcy”, i = 1, 2, 3 Hipotezy Formularz H 1, H 2, H 3 kompletna grupa niezgodnych zdarzeń. Według warunku Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite (1.11) prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe Załóżmy, że w warunkach z poprzedniego przykładu wystąpiło już zdarzenie A: wybrana część okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziło ono od pierwszego dostawcy? Odpowiedź na to pytanie daje wzór Bayesa. Schemat ponownej oceny hipotez Przyrównajmy prawe strony tych wzorów stąd prawdopodobieństwo późniejsze hipotezy H k jest równe Tabela 1.3 – Ponowna ocena hipotez H 1 - część otrzymana od pierwszego dostawcy H 2 - część otrzymana od drugiego dostawcy H 3 - część otrzymana od trzeciego dostawcy Przykład nr 3. Istnieją trzy identyczne urny; w pierwszej urnie znajdują się dwie kule białe i jedna czarna; w drugim - trzy białe i jeden czarny; w trzeciej są dwie białe i dwie czarne kule. Do doświadczenia wybiera się losowo jedną urnę i losuje z niej kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że ta kula będzie biała. Przykład nr 4. W piramidzie znajduje się 19 karabinów, w tym 3 z celownikami optycznymi. Strzelec strzelający z karabinu z celownikiem optycznym może trafić w cel z prawdopodobieństwem 0,81, a strzelając z karabinu bez celownika optycznego z prawdopodobieństwem 0,46. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel przy użyciu losowego karabinu. Przykład nr 5. Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy dwie kule i do urny dodajemy 1 kulę białą. Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana kula będzie biała. Przykład nr 6. Do tarczy padają dwa strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale wynosi 0,2, przy drugim - 0,6. Prawdopodobieństwo zniszczenia celu jednym trafieniem wynosi 0,3, a dwoma - 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel zostanie zniszczony.
Wiadomo, że jakość dostarczanych części jest różna i w produktach pierwszego dostawcy odsetek wad wynosi 4%, drugiego 5%, a trzeciego 2%. Określ prawdopodobieństwo, że część wybrana losowo spośród wszystkich otrzymanych będzie wadliwa.
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,02=0,036
Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana część będzie wadliwa, wynosi 0,036.
Analizę prawdopodobieństw rozpoczęliśmy jedynie od wstępnych, apriorycznych wartości prawdopodobieństw zdarzeń. Następnie przeprowadzono eksperyment (wybrano część) i otrzymaliśmy Dodatkowe informacje o interesującym nas wydarzeniu. Dzięki tym nowym informacjom możemy udoskonalić nasze wcześniejsze prawdopodobieństwa. Nowe wartości prawdopodobieństw tych samych zdarzeń będą już prawdopodobieństwami a posteriori (poeksperymentalnymi) hipotez (ryc. 1.5).
Niech zdarzenie A będzie realizowane tylko razem z jedną z hipotez H 1 , H 2 , …, H n (pełna grupa zdarzeń niezgodnych). Prawdopodobieństwa aprioryczne hipotez oznaczyliśmy jako P(H i), a prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Jeżeli eksperyment został już przeprowadzony i w jego wyniku zaszło zdarzenie A, to prawdopodobieństwami późniejszymi hipotez będą prawdopodobieństwa warunkowe P(H i |A), i = 1, 2,…, n. W zapisie poprzedniego przykładu P(H 1 |A) oznacza prawdopodobieństwo, że wybrana część, która okazała się wadliwa, została otrzymana od pierwszego dostawcy.
Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia H k |A Rozważmy wspólne wystąpienie zdarzeń H k i A, czyli zdarzenie AH k. Jego prawdopodobieństwo można wyznaczyć na dwa sposoby, korzystając ze wzorów na mnożenie (1.5) i (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),
W mianowniku zawarte jest prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A. Zastępując jego wartość zamiast P(A) zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite (1.11) otrzymujemy: 
(1.12)
Nazywa się wzór (1.12). Formuła Bayesa
i służy do ponownego oszacowania prawdopodobieństw hipotez.
W warunkach z poprzedniego przykładu znajdziemy prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od pierwszego dostawcy. Podsumujmy w jednej tabeli prawdopodobieństwa aprioryczne znanych nam hipotez P(H i), prawdopodobieństwa warunkowe P(A|H i) oraz prawdopodobieństwa łączne obliczone w procesie rozwiązywania P(AH i) = P(H i) P(A|H i) i prawdopodobieństwa późniejsze P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n obliczone ze wzoru (1.12) (tabela 1.3).
Spójrzmy na ostatni wiersz tej tabeli. Druga kolumna zawiera sumę prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń H1, H2, H3, tworzących kompletną grupę: Hipotezy Cześć Prawdopodobieństwa
A priori P(H i) Warunkowe P(A|H i) Wspólne P(AH i) A posteriori P(H i |A)
1
2
3
4
5
0.5
0.04
0.02
0.2
0.05
0.01
0.3
0.02
0.006
Suma 1.0
-
0.036
1
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
W czwartej kolumnie wartość w każdym wierszu (łączne prawdopodobieństwa) uzyskuje się z reguły mnożenia prawdopodobieństw poprzez pomnożenie odpowiednich wartości w drugiej i trzeciej kolumnie, a w ostatnim wierszu 0,036 to całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia A ( korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite).
W kolumnie 5 obliczono późniejsze prawdopodobieństwa hipotez, korzystając ze wzoru Bayesa (1.12):
Prawdopodobieństwa późniejsze P(H 2 |A) i P(H 3 |A) oblicza się w podobny sposób, przy czym licznikiem ułamka są łączne prawdopodobieństwa zapisane w odpowiednich wierszach kolumny 4, a mianownikiem jest całkowite prawdopodobieństwo zdarzenia A zapisane w ostatnim wierszu kolumny 4.
Suma prawdopodobieństw hipotez po eksperymencie wynosi 1 i jest zapisana w ostatnim wierszu piątej kolumny.
Zatem prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od pierwszego dostawcy, wynosi 0,555. Prawdopodobieństwo poeksperymentalne jest większe niż aprioryczne (ze względu na dużą wielkość podaży). Prawdopodobieństwo po teście, że wadliwa część została otrzymana od drugiego dostawcy, wynosi 0,278 i jest również większe niż prawdopodobieństwo przed testem (ze względu na duża ilość małżeństwo). Po teście prawdopodobieństwo, że wadliwa część została otrzymana od trzeciego dostawcy, wynosi 0,167.
Rozwiązanie. Rozważmy trzy hipotezy: H 1 – wybrano pierwszą urnę, H 2 – wybrano drugą urnę, H 3 – wybrano trzecią urnę i zdarzenie A – wylosowano białą kulę.
Ponieważ hipotezy dotyczące warunków problemu są jednakowo możliwe, zatem
Prawdopodobieństwa warunkowe zdarzenia A w ramach tych hipotez są odpowiednio równe:
Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite 
Rozwiązanie. Tutaj pierwszym testem jest losowy wybór karabinu, drugim strzelanie do celu. Rozważmy następujące zdarzenia: A - strzelec trafia w cel; H 1 – strzelec weźmie ze sobą karabin z celownikiem optycznym; H 2 - strzelec weźmie karabin bez celownika optycznego. Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Mamy
Biorąc pod uwagę, że karabiny są wybierane pojedynczo i korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymujemy: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Prawdopodobieństwa warunkowe są określone w stwierdzeniu problemu: P(A|H 1) = 0,81 i P(A|H 2) = 0,46. Stąd,
Rozwiązanie. Zdarzenie „wylosowano kulę białą” oznaczamy przez A. Zdarzenie H 1 - losowane są dwie kule białe; H 2 - wylosowano dwie czarne kule; H 3 - wylosowano jedną kulę białą i jedną czarną. Następnie prawdopodobieństwa postawionych hipotez
Prawdopodobieństwa warunkowe w ramach tych hipotez są odpowiednio równe: P(A|H 1) = 1/4 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie znajduje się ten moment jedna kula biała i trzy czarne, P(A|H 2) = 3/4 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie są aktualnie trzy kule białe i jedna czarna, P(A|H 3) = 2/ 4 = 1/2 - prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, jeśli w urnie znajdują się obecnie dwie kule białe i dwie czarne. Zgodnie ze wzorem na prawdopodobieństwo całkowite 
Rozwiązanie. Niech zdarzenie A - cel zostanie zniszczony. Aby to zrobić, wystarczy trafić jednym strzałem z dwóch lub trafić w cel dwoma strzałami z rzędu, nie chybiając. Postawmy hipotezy: H 1 - oba strzały trafiły w cel. Wtedy P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - albo za pierwszym, albo za drugim razem spudłowano. Wtedy P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hipoteza H 3 – oba strzały były niecelne – nie jest brana pod uwagę, gdyż prawdopodobieństwo zniszczenia celu wynosi zero. Wówczas prawdopodobieństwa warunkowe są odpowiednio równe: prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy oddaniu obu udanych strzałów wynosi P(A|H 1) = 0,9, a prawdopodobieństwo zniszczenia celu przy tylko jednym udanym strzale wynosi P(A|H 2) = 0,3. Wtedy prawdopodobieństwo zniszczenia celu według wzoru na prawdopodobieństwo całkowite jest równe.
