Przekrój czworościanu z płaszczyzną równoległą do podstawy. Czworościan i jego przekrój

Slajd 2

Informacje dla nauczycieli. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów konstruowania punktu przecięcia prostej i płaszczyzny, linii przecięcia płaszczyzn i odcinków czworościanu. Nauczyciel może wykorzystać prezentację podczas prowadzenia lekcji na ten temat lub polecić ją samokształcenie dla uczniów, którzy z jakiegoś powodu opuścili naukę lub dla nich, aby powtórzyli pewne pytania. Studenci dołączają do zapoznania się z prezentacją, wypełniając krótkie podsumowanie.

Slajd 3

Informacja dla studenta. Celem stworzenia tej prezentacji jest jasne zademonstrowanie algorytmów rozwiązywania problemów związanych z budową w przestrzeni. Staraj się uważnie i powoli przestudiować komentarze do objaśnień i porównać je z rysunkiem. Wypełnij wszystkie puste pola w podsumowaniu. Na niezależna decyzja problemów, należy najpierw samodzielnie przemyśleć rozwiązanie, a następnie przyjrzeć się temu zaproponowanemu przez autora. Zapisz pytania do nauczyciela i zadaj je na lekcji.

Slajd 4

I. Prosta a przecina płaszczyznę α. Zbuduj punkt przecięcia.

α β P m a Odpowiedź: I. Aby skonstruować punkt przecięcia prostej a z płaszczyzną α należy: 1) narysować (znaleźć) płaszczyznę β przechodzącą przez linię a i płaszczyznę przecinającą α wzdłuż prostej m 2) skonstruować punkt P przecięcia prostych a i m. Przez prostą a rysujemy płaszczyznę β przecinającą płaszczyznę α wzdłuż prostej t. Prostą a przecinamy z linią przecięcia płaszczyzn α i β: prostą t. Punkt P jest punktem wspólnym prostej a i płaszczyzna α, ponieważ prosta m leży w płaszczyźnie α. Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 5

1) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Odpowiedź: Płaszczyzna ABC przechodzi przez prostą MN i przecina płaszczyznę BDC wzdłuż prostej BC. Prosta MN przecina prostą BC w punkcie P. Prosta BC leży w płaszczyźnie BDC, co oznacza, że prosta MN przecina płaszczyznę BDC w punkcie P.

Slajd 6

2) Skonstruuj punkt przecięcia prostej MN i płaszczyzny ABD.

D B A C M N P Odpowiedź: Zobacz rozwiązanie Prosta MN należy do płaszczyzny ВDC, która przecina płaszczyznę АВD wzdłuż prostej DB. Przetnijmy proste MN i DB. Dalej

Slajd 7

II. Niech prosta AB nie będzie równoległa do płaszczyzny α. Skonstruuj linię przecięcia płaszczyzn α i ABC, jeśli punkt C należy do płaszczyzny α

B C A α β P m Skonstruujmy punkt przecięcia prostej AB z płaszczyzną α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Ze względu na stan i konstrukcję punkty C i P są wspólne płaszczyznom ABC i α. Oznacza to, że prosta CP jest pożądaną prostą przecięcia płaszczyzn ABC i α. II Aby skonstruować linię przecięcia płaszczyzny α i płaszczyzny ABC (C α, (A, B) α, AB || α), należy: skonstruować punkt przecięcia prostej AB i płaszczyzny α - punkt P; 2) punkty P i C są punktami wspólnymi płaszczyzn (ABC) oraz α, co oznacza (ABC) α = CP Zapisz algorytm w krótkim podsumowaniu.

Slajd 8

3).Skonstruuj prostą przecięcia płaszczyzn MNP i ADB.

Skonstruuj przecięcie płaszczyzny MNP i ściany ADB. M D B A C N P X Q R Odpowiedź: Skonstruujmy punkt przecięcia prostej MR z płaszczyzną ADB (punkt X). Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Prosta MR leży w płaszczyźnie ADC, która przecina płaszczyznę ADB wzdłuż prostej AD. Punkty X i N są punktami wspólnymi płaszczyzn ADB i MNP. Oznacza to, że przecinają się one wzdłuż linii prostej XN. Zapisuj postęp budowy w krótkim podsumowaniu.

Slajd 9

Przekrój czworościanu.

C D B A M N P α Wielokąt złożony z odcinków, wzdłuż których płaszczyzna przecięcia przecina ściany wielościanu, nazywany jest przekrojem wielościanu. Segmenty tworzące przekrój nazywane są śladami płaszczyzny cięcia na ścianach. ∆ MNP – przekrój. Niech płaszczyzna przecina czworościan, wtedy nazywa się to płaszczyzną przecięcia.Płaszczyzna przecina krawędzie czworościanu w punkty M, N, P, a ściany - wzdłuż odcinków MN, MP, NP... Trójkąt MNP nazywa się przekrojem czworościanu przez tę płaszczyznę... Zapisz to w krótkiej notatce.

Slajd 10

Przekrój czworościanu może być również czworokątem.

A C D B M N P Q α MNPQ – przekrój.

Slajd 11

Algorytm konstrukcji przekroju czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez trzy dane punkty M, N, P.

Sekcja MNPQ jest wymagana. D B A C M N P Q X Utwórz ślady płaszczyzny cięcia na tych ścianach, które mają z nią 2 punkty wspólne. 3) Przez zbudowane punkty poprowadź linię prostą, wzdłuż której płaszczyzna cięcia przecina płaszczyznę wybranej ściany ABC. 4) Zaznacz i zaznacz punkty, w których linia ta przecina krawędzie ściany ABC i uzupełnij pozostałe ślady. 2) Wybierz twarz, która nie ma jeszcze śladu. Skonstruuj punkty przecięcia prostych zawierających już skonstruowane ścieżki z płaszczyzną wybranej ściany: ABC.

Slajd 12

Skonstruuj przekrój metodą płaszczyzny czworościennej MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – wymagana sekcja.

Slajd 13

nr 1. (Sam rozwiąż problem). Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny MNP.

Q D A C M N P X B X Zobacz rozwiązanie Druga metoda: Dalej

Slajd 14

Nr 2. (Zdecyduj sam). Skonstruuj przekrój czworościanu, korzystając z płaszczyzny MNP, jeśli P należy do ściany ADC.

Slajd 15

Nr 3. Skonstruuj przekrój, korzystając z płaszczyzny czworościennej α, równoległej do krawędzi CD i przechodzącej przez punkt F leżący na płaszczyźnie DBC i punkt M.

3)α (ADB)= MN, α (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Dane: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC. α||DC, wtedy (DBC) α=FP i FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Ponieważ α||DC, to (DAC) α=MQ i MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP i NP α, oznaczają DC||α, zatem MNPQ jest pożądaną sekcją. Kontynuuj zdanie: Jeżeli dana prosta a jest równoległa do pewnej płaszczyzny α, to każda płaszczyzna przechodząca przez tę prostą a i nierównoległa do płaszczyzny α przecina płaszczyznę α wzdłuż prostej b………………… ……………… równolegle do prostej A. Kontynuuj... α||DC, wówczas płaszczyzna BDC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt F α||DC, wówczas płaszczyzna ADC przecina α wzdłuż prostej równoległej do DC i przechodzącej przez punkt m

Slajd 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Skonstruuj przekrój płaszczyzny czworościennej α równoległej do ściany BDC i przechodzącej przez punkt M. B A C M N D Dane: α||DBC, M α, M AD. Skonstruuj przekrój czworościanu DABC przez płaszczyznę α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)α=MN 3)α (ABC)=NP. ∆ MNP jest sekcją wymaganą, ponieważ………. Kontynuuj zdanie: Jeśli dwie równoległe płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, to linie ich przecięcia……………………… są równoległe. dwie przecinające się linie MN i MP płaszczyzny α są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii DB i DC płaszczyzny (DBC), co oznacza α||(DBC). α||DВC, wówczas płaszczyzny AВ i ADC przecinają płaszczyzny α i (ВДС) wzdłuż prostych MN i МР, równoległych odpowiednio do DB i DC i przechodzących przez punkt M.

Slajd 17

Dalej M R B A C N Nr 5. Rozwiąż samodzielnie i zapisz rozwiązanie. Skonstruuj przekrój czworościanu przez płaszczyznę α przechodzącą przez punkt M i odcinek PN, jeżeli PN||AB i M należą do płaszczyzny (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. α (ADC)=NR, α (BDC)=PQ. Przekrój wymagany przez RNPQ. Zobacz rozwiązanie NP||(ABC), co oznacza, że płaszczyzna MNP przecina płaszczyznę ABC po prostej MQ równoległej do NP i przechodzącej przez punkt M.

Slajd 18

Nie zapomnij sformułować pytań do nauczyciela, jeśli coś nie było jasne, a także zaleceń dotyczących ulepszenia tej prezentacji.

Slajd 19

Przy tworzeniu prezentacji wykorzystano podręczniki i podręczniki: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzow i inni Geometria 10-11. M. „Oświecenie” 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problemy z geometrii 7-11.M. „Oświecenie” 2000

Wyświetl wszystkie slajdy

Dzisiaj ponownie przyjrzymy się, jak to zrobić skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną.
Rozważmy najprostszy przypadek (poziom obowiązkowy), gdy 2 punkty płaszczyzny przekroju należą do jednej ściany, a trzeci punkt należy do drugiej ściany.

Przypomnijmy algorytm konstruowania przekrojów tego typu (przypadek: 2 punkty należą do tej samej ściany).

1. Szukamy ściany zawierającej 2 punkty płaszczyzny przekroju. Narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty leżące na tej samej ścianie. Znajdujemy punkty jego przecięcia z krawędziami czworościanu. Część linii prostej kończąca się na powierzchni to bok przekroju.

2. Jeśli wielokąt można zamknąć, oznacza to, że przekrój został skonstruowany. Jeśli zamknięcie nie jest możliwe, znajdujemy punkt przecięcia skonstruowanej linii i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt.

1. Widzimy, że punkty E i F leżą na tej samej ścianie (BCD), narysuj linię prostą EF na płaszczyźnie (BCD).
2. Znajdźmy punkt przecięcia prostej EF z krawędzią czworościanu BD, jest to punkt H.
3. Teraz musisz znaleźć punkt przecięcia prostej EF i płaszczyzny zawierającej trzeci punkt G, tj. płaszczyzna (ADC).
Prosta CD leży w płaszczyznach (ADC) i (BDC), co oznacza, że przecina prostą EF, a punkt K jest punktem przecięcia prostej EF i płaszczyzny (ADC).
4. Następnie znajdujemy jeszcze dwa punkty leżące w tej samej płaszczyźnie. Są to punkty G i K, oba leżą w płaszczyźnie lewej ściany bocznej. Rysujemy linię GK i zaznaczamy punkty, w których linia ta przecina krawędzie czworościanu. Są to punkty M i L.
4. Pozostaje „zamknąć” sekcję, czyli połączyć punkty leżące na tej samej powierzchni. Są to punkty M i H, a także L i F. Obydwa te odcinki są niewidoczne, rysujemy je linią przerywaną.

Przekrój okazał się czworokątem MHFL. Wszystkie jego wierzchołki leżą na krawędziach czworościanu. Wybierzmy wynikową sekcję.

Teraz sformułujmy „właściwości” poprawnie skonstruowanej sekcji:

1. Wszystkie wierzchołki wielokąta będącego przekrojem leżą na krawędziach czworościanu (równoległościanu, wielokąta).

2. Wszystkie boki przekroju leżą na ścianach wielościanu.
3. Każda ściana wielokąta może zawierać nie więcej niż jeden (jeden lub żaden!) bok przekroju

, slajdy 1-2)

nauczyć się stosować aksjomaty stereometrii przy rozwiązywaniu problemów;
nauczyć się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu;
główne metody konstruowania tych sekcji
kształtować aktywność poznawczą, zdolność logicznego myślenia;
stwarzać warunki do samokontroli zdobywania wiedzy i umiejętności.

Typ lekcji: Tworzenie nowej wiedzy.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

II. Aktualizowanie wiedzy uczniów

Badanie frontalne. (Aksjomaty stereometrii, własności płaszczyzn równoległych)

Słowo nauczyciela

Aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych związanych z czworościanem, przydatna jest umiejętność ich narysowania Sekcje różne samoloty. ( slajd 3). Zadzwońmy płaszczyzna cięcia czworościan to dowolna płaszczyzna, po obu stronach której znajdują się punkty danego czworościanu. Płaszczyzna cięcia przecina ściany czworościanu wzdłuż segmentów. Nazywa się wielokąt, którego bokami są te segmenty przekrój czworościanu. Ponieważ czworościan ma cztery ściany, jego przekroje mogą składać się tylko z trójkątów i czworokątów. Należy również pamiętać, że aby skonstruować przekrój, wystarczy skonstruować punkty przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu, po czym pozostaje narysować odcinki łączące każde dwa skonstruowane punkty leżące na tej samej ścianie.

Na tej lekcji będziesz mógł szczegółowo przestudiować przekroje czworościanu i opanować metody konstruowania tych przekrojów. Poznasz pięć zasad konstruowania przekrojów wielościanów, nauczysz się znajdować położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z krawędziami czworościanu.

Aktualizacja koncepcji wspierających

Pierwsza zasada. Jeżeli dwa punkty należą zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny jakiejś ściany wielościanu, to prosta przechodząca przez te dwa punkty jest linią przecięcia płaszczyzny przecięcia z płaszczyzną tej ściany (konsekwencja aksjomatu o przecięcie płaszczyzn).
Druga zasada. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do pewnej płaszczyzny, to te dwie płaszczyzny przecinają się z dowolną ścianą wzdłuż równoległych linii (właściwość dwóch równoległych płaszczyzn przeciętych przez trzecią).
Trzecia zasada. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest równoległa do linii leżącej w pewnej płaszczyźnie (na przykład płaszczyźnie jakiejś ściany), to linia przecięcia płaszczyzny cięcia z tą płaszczyzną (twarzą) jest równoległa do tej prostej (właściwość linia równoległa do płaszczyzny).
Czwarta zasada. Płaszczyzna tnąca przecina równoległe ściany wzdłuż linii równoległych (właściwość płaszczyzn równoległych przecinanych jedną trzecią).
Piąta zasada. Niech dwa punkty A i B należą do płaszczyzny cięcia, a punkty A 1 i B 1 są równoległymi rzutami tych punktów na pewną ścianę. Jeśli linie AB i A 1 B 1 są równoległe, wówczas płaszczyzna cięcia przecina tę ścianę wzdłuż linii prostej równoległej do A 1 B 1. Jeżeli proste AB i A 1 B 1 przecinają się w pewnym punkcie, to punkt ten należy zarówno do płaszczyzny przecięcia, jak i płaszczyzny tej ściany (pierwsza część tego twierdzenia wynika z własności prostej równoległej do płaszczyzny, a drugie wynika z dodatkowych właściwości rzutu równoległego).

III. Nauka nowego materiału (kształtowanie wiedzy, umiejętności)

Wspólne rozwiązywanie problemów z wyjaśnieniem(slajd 4)

Zadanie 1. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K є AD,M = DS, E = BC.

Przyjrzyjmy się uważnie rysunkowi. Ponieważ punkty K i M należą do tej samej płaszczyzny, znajdujemy przecięcie płaszczyzny cięcia z powierzchnią ADS - jest to odcinek KM. Punkty M i E również leżą w tej samej płaszczyźnie, co oznacza, że przecięciem płaszczyzny cięcia i powierzchni VDS jest odcinek ME. Znajdujemy punkt przecięcia prostych KM i AC, które leżą w tej samej płaszczyźnie ADS. Teraz punkt X leży na ścianie ABC, wówczas można go połączyć z punktem E. Rysujemy prostą XE, która przecina się z AB w punkcie P. Odcinek PE jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC, a odcinek KP jest przecięciem płaszczyzny cięcia ze ścianą ABC. Dlatego czworokąt KMER jest naszą pożądaną sekcją. Zapisz rozwiązanie w swoim notatniku:

Rozwiązanie.

KM = α ∩ ADS
ME = α ∩ VDS
X = KM ∩ AC
P = XE ∩ AB
PE = α ∩ ABC
KR = α ∩ PRZYSŁ
KMER – sekcja wymagana

Zadanie 2.(slajd 5)

Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K = ABC, M = VDS, N = AD

Przeanalizujmy ten rysunek. Nie ma punktów leżących na tej samej ścianie. W tym przypadku zastosujemy zasadę 5. Rozważmy rzuty dwóch punktów. W czworościanie rzuty punktów znajdują się od wierzchołka do płaszczyzny podstawy, tj. M → M 1, N → A. Znajdujemy przecięcie prostych NM i AM 1 w punkcie X. Punkt ten należy do płaszczyzny cięcia, ponieważ leży na prostej NM i należy do płaszczyzny ABC, ponieważ leży na prostej AM 1. Oznacza to, że teraz w płaszczyźnie ABC mamy dwa punkty, które można połączyć, otrzymujemy prostą KX. Linia prosta przecina bok BC w punkcie L i bok AB w punkcie H. W powierzchni ABC znajdujemy linię przecięcia, która przechodzi przez punkty H i K - to jest NL. W ścianie ABP linia przecięcia to НN, w ścianie VDS rysujemy linię przecięcia przez punkty L i M - to jest LQ, a w ścianie ADS otrzymujemy odcinek NQ. Wymaganą sekcją jest czworobok HNQL.

Rozwiązanie

M → M 1 N → A
X = NM ∩ AM 1
L = KX ∩ BC
H = KX ∩ AB
НL = α ∩ АВС, К є НL
НN = α ∩ АВД,
LQ = α ∩ VDS, М є LQ
NQ = α ∩ ADS
HNQL – sekcja wymagana

IV. Konsolidacja wiedzy

Praca z animowanym obiektem „Konstruowanie przekroju czworościanu z płaszczyzną” (płyta „Lekcje geometrii w klasie 10”, lekcja nr 16)

Rozwiązanie problemu z późniejszą weryfikacją

Zadanie 3. (slajd 6)

Skonstruuj odcinek czworościanu DAWS z płaszczyzną przechodzącą przez punkty K є BC, M є ADV, N є VDS.

Rozwiązanie

1. M → M 1, N → N 1
Х = NM ∩ N 1 М 1
R = KX ∩ AB
RL = α ∩ АВД, М є RL
KR = α ∩ VDS, N є KR
LP = α ∩ ADS
RLPK – sekcja wymagana

V.Samodzielna praca (wg opcji)

(slajd 7)

Zadanie 4.N = AC, K = AD.

Rozwiązanie

KM = α ∩ AVD,
МN = α ∩ АВС,
KN = α ∩ ADS
KMN – sekcja wymagana

Zadanie 5. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M є AB,K є DS, N є DV.

Rozwiązanie

MN = α ∩ AVD
NK = α ∩ VDS
X = NK ∩ BC
P = AC ∩ MX
RK = α ∩ ADS
MNKP – sekcja wymagana

Zadanie 6. Skonstruuj odcinek czworościanu DABC z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M = ABC, K = VD, N = DS

Rozwiązanie

KN = α ∩ LÓD
Х = КN ∩ ВС
T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC
RT = α ∩ ABC, M є RT
PN = α ∩ ADS
TP N K – wymagany odcinek

VI. Podsumowanie lekcji.

(slajd 8)

Tak więc dzisiaj nauczyliśmy się konstruować najprostsze problemy na przekrojach czworościanu. Przypomnę, że przekrój wielościanu to wielokąt powstały w wyniku przecięcia wielościanu z określoną płaszczyzną. Sama płaszczyzna nazywana jest płaszczyzną tnącą. Konstruowanie przekroju oznacza określenie, które krawędzie przecina płaszczyzna cięcia, rodzaj powstałego przekroju oraz dokładne położenie punktów przecięcia płaszczyzny cięcia z tymi krawędziami. Oznacza to, że cele wyznaczone na lekcji zostały osiągnięte.

VII. Praca domowa.

(slajd 9)

Praca praktyczna „Konstruuj przekroje czworościanu” w w formacie elektronicznym lub wersja papierowa. (Każdy otrzymał indywidualne zadanie).

Lekcja na ten temat:

„Konstrukcja odcinków czworościanu i równoległościanu”

Cele Lekcji

1. Zapoznanie się z podstawami rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu przez płaszczyznę.

2. Identyfikować rodzaje problemów przy konstruowaniu przekrojów.

3. Rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu.

4. Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Podczas zajęć.

I Moment organizacyjny.

II Sprawdzanie pracy domowej.

Chłopaki, jakie ciała geometryczne badaliśmy na ostatnich lekcjach? (czworościan, równoległościan).

Jak nazywa się czworościan?

Jak nazywa się równoległościan?

Sprawdźmy teraz ustną pracę domową.

W podręczniku na stronie 31 czytamy i odpowiadamy na pytania 14,15.

14. Czy istnieje czworościan mający pięć prostych narożników?

(Nie, ponieważ w cztery trójkąty tworząc, mogą być tylko cztery kąty proste, po jednym w każdym nie więcej).

15. Czy istnieje równoległościan, który ma:

A) Tylko jedna ściana jest prostokątem. (Nie, ponieważ przeciwne strony równoległościanu są równe).

B) Tylko dwie sąsiednie ściany są rombami. (Nie, tylko przeciwległe ściany mogą być diamentami).

V) Wszystkie kąty krawędzi są ostre. (Nie, równoległobok ma zarówno kąt ostry, jak i rozwarty, a każda ściana jest równoległobokiem).

G) Wszystkie kąty twarzy są prawidłowe. (Tak, w prostopadłościanie prostokątnym).

D) Liczba wszystkich kątów ostrych ściany nie jest równa liczbie wszystkich kątów rozwartych ściany. (Nie, na każdej ścianie jest równa ilość kątów ostrych i rozwartych).

III Wyjaśnienie nowego tematu.

Przejdźmy teraz do nowego tematu. Zapisz temat lekcji. Cel dzisiejszej lekcji:

1. Zapoznanie się z podstawami rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu przez płaszczyznę.

2. Identyfikować rodzaje problemów przy konstruowaniu przekrojów.

3. Rozwijanie umiejętności rozwiązywania problemów polegających na konstruowaniu odcinków czworościanu i równoległościanu.

4. Kształtowanie wyobraźni przestrzennej.

Tak więc, aby rozwiązać wiele problemów geometrycznych związanych z czworościanem i równoległościanem, przydatna jest możliwość narysowania ich przekrojów w różnych płaszczyznach.

Co mamy na myśli płaszczyzna cięcia ? W podręczniku na stronie 27 znajdziemy odpowiedź na to pytanie.

Płaszczyzna cięcia nazwać dowolną płaszczyznę, po obu stronach której znajdują się punkty danego wielościanu.

Następna koncepcja to Sekcja. I znowu zwracamy się o pomoc do podręcznika. Teraz spójrz, jak to wygląda precyzyjna definicja Sekcje.

v Gdzie znajdują się boki wielokąta będącego przekrojem?

v Gdzie znajdują się wierzchołki wielokąta będącego przekrojem?

Teraz odpowiedzmy na pytanie. Co to znaczy skonstruować odcinek wielościanu z płaszczyzną. Zatem w każdej ścianie skonstruujemy odcinki, wzdłuż których płaszczyzna cięcia przecina ściany.

Aby poprawnie skonstruować przekrój poprzeczny, musisz umieć go używać różne twierdzenia i właściwości. Odpowiedzmy na pytanie.

Które z tych stwierdzeń może być przydatne podczas konstruowania sekcji?

1. Jeżeli dwie płaszczyzny mają wspólny punkt, to przecinają się wzdłuż prostej zawierającej ten punkt.

2. Jeżeli prosta leżąca w jednej z przecinających się płaszczyzn przecina inną płaszczyznę, to przecina linię przecięcia płaszczyzn.

3. Jeżeli dwie równoległe płaszczyzny przecinają się z trzecią, wówczas linie przecięcia płaszczyzn są równoległe.

4. Sieczna płaszczyzna przecina ścianę wielościanu wzdłuż linii przerywanej.

5. Na odcinku równoległościanu płaszczyzną może się okazać:

w odcinek

w trójkąt

w czworoboczny

w pięciokąt

w sześciokąt

w Siedmiokąt

Przypomnijmy sobie teraz jak zdefiniować płaszczyznę:

Podczas konstruowania sekcji ważne jest, aby wiedzieć:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" szerokość="559" wysokość="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" szerokość="564" wysokość="355 src=">

Teraz w podręczniku rozważymy główne zadania konstruowania sekcji. I tak zadanie pierwsze, w którym należy skonstruować odcinek czworościanu z trzech punktów należących do siecznej płaszczyzny, dwa z nich leżą w jednej płaszczyźnie, a trzeci w innej płaszczyźnie.
.jpg" szerokość="588" wysokość="359 src=">

Rozwiązywanie problemów. Sprawdzenie poprawności rozwiązania za pomocą slajdów.

V Podsumowanie lekcji.

Wyobraź sobie sytuację:

Twój kolega z klasy zachorował i opuścił lekcje, na których poruszany był temat „Konstruowanie przekrojów wielościanów”. Temat należy wyjaśnić przez telefon. Sformułuj algorytm krok po kroku.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" szerokość="600" wysokość="284 src=">

Teraz zrobię kilka testów. Musisz wykonać trzy zadania w ciągu trzech minut. Wybierz i zapisz liczbę rysunków przedstawiających prawidłowe przekroje czworościanu i równoległościanu oraz właściwy rysunek.

VI Praca domowa . n.14, pytanie 16, nr 000,106. Wymyśl i rozwiąż jedno zadanie dotyczące budowy odcinka czworościanu lub równoległościanu.

Na tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). I rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów czworościanu za pomocą metoda ogólna do budowy sekcji.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Zagadnienia konstrukcji przekrojów czworościanu

Jak zbudować czworościan? Weźmy dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D, nie leżącego w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone tą powierzchnią są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
A,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, PNE., BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, BDC, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: można brać na płasko ABC za podstawa czworościanu, a następnie wskaż D Jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB- to jest przecięcie płaszczyzn ABD I ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek A leży w płaszczyznach ABC, ABD, ADZ. Kropka A jest przecięciem trzech wyznaczonych płaszczyzn. Fakt ten zapisano w następujący sposób: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, czworościan to powierzchnia utworzona przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Z 6 zapałek utwórz 4 równe trójkąty. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A jest to łatwe do zrobienia w kosmosie. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą cztery równe trójkąty. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, kropka N należy do krawędzi czworościanu WD i okres R należy do krawędzi DZ(ryc. 2.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy ścianę czworościanu DSłońce. Z tej strony N I P należą do twarzy DSłońce, a zatem czworościan. Ale zgodnie z warunkiem punktu N., P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP- jest to linia przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzna twarzy DSłońce i płaszczyzna cięcia. Załóżmy, że linie proste NP I Słońce nie równolegle. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłońce. Znajdźmy punkt przecięcia linii NP I Słońce. Oznaczmy to mi(ryc. 3.).

Ryż. 3. Rysunek problemu 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na prostej NP i linię prostą NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Wskaż także mi leży w samolocie ABC, ponieważ leży na prostej Słońce wyjść z samolotu ABC.

Rozumiemy to JEŚĆ- linia przecięcia płaszczyzn ABC I MNP, od punktów mi I M leżą jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC I MNP. Połączmy kropki M I mi i jedź dalej prosto JEŚĆ do przecięcia z linią AC. Punkt przecięcia linii JEŚĆ I AC oznaczmy Q.

Więc w tym przypadku NPQМ- wymagana sekcja.

Ryż. 4. Rysunek problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, kiedy NP równoległy PNE.. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii prostej Słońce wyjść z samolotu ABC, potem prosto NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Żądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC, i przecina płaszczyznę po linii prostej MQ. Zatem linia przecięcia MQ równolegle do linii NP. Dostajemy NPQМ- wymagana sekcja.

Kropka M leży na boku ADW czworościan ABCD. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez ten punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC zgodnie z warunkiem oznacza to, że ten samolot φ równolegle do linii AB, AC, Słońce.
W samolocie ABD przez punkt M zróbmy bezpośredni PQ równoległy AB(ryc. 5). Prosty PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R zróbmy bezpośredni PR równoległy AC. Mam rację R. Dwie przecinające się linie PQ I PR samolot PQR odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB I AC samolot ABC, czyli samoloty ABC I PQR równoległy. PQR- wymagana sekcja. Problem jest rozwiązany.

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt na ścianie czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DZ(ryc. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Rozwiązanie:
Aby rozwiązać ten problem, zbudujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech będzie prosto DM przecina w punkcie prostą AB DO(ryc. 7.). Następnie, SKD- to jest fragment samolotu DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamstwa i prosto N.M. i wynikową linię prostą SK. Więc jeśli N.M. nie równolegle SK, to w pewnym momencie się przetną R. Kropka R i pojawi się pożądany punkt przecięcia linii N.M. i samoloty ABC.

Ryż. 7. Rysunek problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Biorąc pod uwagę czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DZ(ryc. 8.). Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, N I R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu z płaszczyzną

Rozwiązanie:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia prosta MN nie jest równoległy do płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samoloty ABC. O to chodzi DO, uzyskuje się to za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. my robimy DM i mamy punkt F. Wykonujemy CF i na skrzyżowaniu MN zdobywamy punkt DO.

Ryż. 9. Rysunek problemu 5. Znalezienie punktu K

Zróbmy bezpośredni KR. Prosty KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak i w płaszczyźnie ABC. Zdobycie punktów P 1 I R2. Złączony P 1 I M i jako kontynuacja rozumiemy sedno M 1. Łączenie kropki R2 I N. W rezultacie otrzymujemy pożądaną sekcję Р 1 Р 2 NM 1. W pierwszym przypadku problem został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia prosta MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę ABC wzdłuż jakiejś linii prostej R 1 R 2, potem prosto R 1 R 2 równolegle do danej linii MN(ryc. 10.).

Ryż. 10. Rysunek problemu 5. Wymagana sekcja

Teraz narysujmy linię prostą R1 M i mamy punkt M 1.Р 1 Р 2 NM 1- wymagana sekcja.

Przyjrzeliśmy się więc czworościanowi i rozwiązaliśmy kilka typowych problemów z czworościanem. W następnej lekcji przyjrzymy się równoległościanowi.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne(podstawowe i poziomy profilu)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasy 10-11: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Wydanie 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego obejmujący pogłębioną i specjalistyczną naukę matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak skonstruować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Rozwiązuj w domu zadania na temat „Czworościan”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA czworościan MAVS. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty PNE I mi.

3. W czworościanie MABC punkt M należy do ściany AMV, punkt P należy do ściany BMC, punkt K należy do krawędzi AC. Skonstruuj odcinek czworościanu z płaszczyzną przechodzącą przez punkty M, R, K.

4. Jakie kształty można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu z płaszczyzną?