Każde dziecko w wieku szkolnym wie, że kwadrat przeciwprostokątnej jest zawsze równy sumie nóg, z których każda jest kwadratowa. To stwierdzenie nazywa się twierdzeniem Pitagorasa. Jest to jedno z najsłynniejszych twierdzeń trygonometrii i matematyki w ogóle. Przyjrzyjmy się temu bliżej.

Pojęcie trójkąta prostokątnego

Zanim przejdziemy do rozważenia twierdzenia Pitagorasa, w którym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, powinniśmy rozważyć pojęcie i właściwości trójkąta prostokątnego, dla którego to twierdzenie jest ważne.

Trójkąt - płaska figura mający trzy kąty i trzy boki. Trójkąt prostokątny, jak sama nazwa wskazuje, ma jeden kąt prosty, to znaczy kąt ten jest równy 90 o.

Z ogólnych właściwości wszystkich trójkątów wiadomo, że suma wszystkich trzech kątów tej figury jest równa 180 o, co oznacza, że ​​​​dla trójkąta prostokątnego suma dwóch kątów, które nie są kątami prostymi, wynosi 180 o - 90 o = 90 o. Ten ostatni fakt oznacza, że ​​każdy kąt w trójkącie prostokątnym, który nie jest prosty, będzie zawsze mniejszy niż 90°.

Strona, przeciwko której leży prosty kąt, zwykle nazywa się przeciwprostokątną. Pozostałe dwa boki to ramiona trójkąta, mogą być sobie równe lub mogą być różne. Z trygonometrii wiemy, że im większy jest kąt, pod jakim leży bok trójkąta, tym większa jest jego długość. Oznacza to, że w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna (leżąca naprzeciw kąta 90°) będzie zawsze większa od którejkolwiek z nóg (leżąca naprzeciw kątów< 90 o).

Zapis matematyczny twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie to stwierdza, że ​​kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie nóg, z których każda jest wcześniej kwadratowa. Aby zapisać to sformułowanie matematycznie, rozważmy trójkąt prostokątny, w którym boki a, b i c to odpowiednio dwie nogi i przeciwprostokątna. W tym przypadku twierdzenie, które jest sformułowane jako kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, można przedstawić za pomocą następującego wzoru: c 2 = a 2 + b 2. Stąd można uzyskać inne ważne w praktyce wzory: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) i c = √(a 2 + b 2).

Należy zauważyć, że w przypadku trójkąta równobocznego prostokątnego, czyli a = b, wzór: kwadrat przeciwprostokątnej równy sumie nóg, z których każda jest kwadratowa, zostanie zapisany matematycznie w następujący sposób: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, co implikuje równość: c = a√2.

Odniesienie historyczne

Twierdzenie Pitagorasa, które stwierdza, że ​​kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie nóg, z których każda jest kwadratem, było znane na długo przed tym, zanim zwrócił na to uwagę słynny grecki filozof. Wiele papirusów starożytnego Egiptu, a także gliniane tabliczki Babilończyków potwierdzają, że ludy te korzystały ze znanej właściwości boków trójkąta prostokątnego. Na przykład jeden z pierwszych Piramidy egipskie, piramida Chefre, której budowa sięga 26 wieku p.n.e. (2000 lat przed życiem Pitagorasa), została zbudowana w oparciu o znajomość proporcji w trójkącie prostokątnym 3x4x5.

Dlaczego więc twierdzenie to nosi teraz nazwę grecką? Odpowiedź jest prosta: Pitagoras jako pierwszy matematycznie udowodnił to twierdzenie. Zachowane źródła pisane babilońskie i egipskie mówią jedynie o jego użyciu, ale nie dostarczają żadnego dowodu matematycznego.

Uważa się, że Pitagoras udowodnił omawiane twierdzenie, wykorzystując właściwości trójkątów podobnych, które uzyskał obliczając wysokość w trójkącie prostokątnym od kąta 90 o do przeciwprostokątnej.

Przykład zastosowania twierdzenia Pitagorasa

Rozważmy prosty problem: należy określić długość pochyłej klatki schodowej L, jeśli wiadomo, że ma ona wysokość H = 3 metry, a odległość od ściany, o którą opierają się schody, do jej podstawy wynosi P = 2,5 metrów.

W w tym przypadku H i P to nogi, a L to przeciwprostokątna. Ponieważ długość przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadratów nóg, otrzymujemy: L 2 = H 2 + P 2, skąd L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 metra lub 3 m i 90,5 cm.

Upewnij się, że podany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, ponieważ twierdzenie Pitagorasa ma zastosowanie tylko do trójkątów prostokątnych. W trójkątach prostokątnych jeden z trzech kątów ma zawsze 90 stopni.

• Kąt prosty w trójkącie prostokątnym jest oznaczony kwadratową ikoną, a nie krzywą reprezentującą kąty ukośne.

Oznacz boki trójkąta. Oznacz nogi jako „a” i „b” (nogi to boki przecinające się pod kątem prostym), a przeciwprostokątną jako „c” (przeciwprostokątna to największy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciw kąta prostego).

Instrukcje

Jeśli chcesz obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, użyj następującego algorytmu: - Określ w trójkącie, które boki są nogami, a które przeciwprostokątną. Dwie strony tworzące kąt dziewięćdziesiąt stopni to nogi, pozostała trzecia to przeciwprostokątna. (cm) - Podnieś każdą nogę do drugiej potęgi dany trójkąt, czyli pomnóż przez siebie. Przykład 1. Załóżmy, że musimy obliczyć przeciwprostokątną, jeśli jedna noga w trójkącie ma długość 12 cm, a druga 5 cm.Po pierwsze, kwadraty nóg są równe: 12 * 12 = 144 cm i 5 * 5 = 25 cm. - Następnie określ sumę nóg kwadratów. Jest pewna liczba przeciwprostokątna, musisz pozbyć się drugiej potęgi liczby, którą chcesz znaleźć długość tej strony trójkąta. Aby to zrobić, usuń spod pierwiastek kwadratowy wartość sumy kwadratów nóg. Przykład 1. 144+25=169. Pierwiastek kwadratowy z 169 wynosi 13. Zatem długość tego przeciwprostokątna równa 13 cm.

Inny sposób obliczania długości przeciwprostokątna leży w terminologii sinusa i kątów w trójkącie. Z definicji: sinus kąta alfa - odnoga przeciwna do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że patrząc na rysunek, grzech a = CB / AB. Zatem przeciwprostokątna AB = CB / sin a. Przykład 2. Niech kąt będzie wynosił 30 stopni, a przeciwprostokątna 4 cm. Musimy znaleźć przeciwprostokątną. Rozwiązanie: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odpowiedź: długość przeciwprostokątna równa 8 cm.

Podobny sposób na znalezienie przeciwprostokątna z definicji cosinusa kąta. Cosinus kąta to stosunek boku do niego przylegającego i przeciwprostokątna. Oznacza to, że cos a = AC/AB, stąd AB = AC/cos a. Przykład 3. W trójkącie ABC przeciwprostokątna AB jest przeciwprostokątna, kąt BAC wynosi 60 stopni, a noga AC ma długość 2 cm. Znajdź AB.
Rozwiązanie: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 4 cm.

Pomocna rada

Aby znaleźć wartość sinusa lub cosinusa kąta, użyj tabeli sinusów i cosinusów lub tabeli Bradisa.

Wskazówka 2: Jak znaleźć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego, więc nie jest to zaskakujące język grecki to słowo jest tłumaczone jako „ciasne”. Strona ta zawsze leży naprzeciwko kąta 90°, a boki tworzące ten kąt nazywane są nogami. Znając długości tych boków i ich wielkości ostre rogi w różnych kombinacjach tych wartości można obliczyć długość przeciwprostokątnej.

Instrukcje

Jeśli znane są długości obu trójkątów (A i B), użyj długości przeciwprostokątnej (C), być może najsłynniejszego postulatu matematycznego - twierdzenia Pitagorasa. Stwierdza, że ​​kwadrat długości przeciwprostokątnej jest sumą kwadratów długości nóg, z czego wynika, że ​​należy obliczyć pierwiastek z sumy kwadratów długości dwóch boków: C = √ ( A² + B²). Na przykład, jeśli długość jednej nogi wynosi 15 i - 10 centymetrów, wówczas długość przeciwprostokątnej wyniesie około 18,0277564 centymetrów, ponieważ √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Jeżeli znana jest długość tylko jednej z nóg (A) w trójkącie prostokątnym oraz wartość kąta leżącego naprzeciw niej (α), to długość przeciwprostokątnej (C) można obliczyć korzystając z jednej z funkcji trygonometrycznych funkcje - sinus. Aby to zrobić, podziel długość znanego boku przez sinus znanego kąta: C=A/sin(α). Na przykład, jeśli długość jednej z nóg wynosi 15 centymetrów, a kąt przy przeciwległym wierzchołku trójkąta wynosi 30°, to długość przeciwprostokątnej będzie równa 30 centymetrów, ponieważ 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest rozmiar jednego z kątów ostrych (α) i długość sąsiedniej nogi (B), to do obliczenia długości przeciwprostokątnej (C) można użyć innego funkcja trygonometryczna- cosinus. Długość znanej nogi należy podzielić przez cosinus znanego kąta: C=B/ cos(α). Na przykład, jeśli długość tej nogi wynosi 15 centymetrów, a przylegający do niej kąt ostry wynosi 30°, to długość przeciwprostokątnej wyniesie w przybliżeniu 17,3205081 centymetra, ponieważ 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Długość jest zwykle używana do określenia odległości między dwoma punktami na odcinku linii. Może być prosty, łamany lub zamknięta linia. Możesz obliczyć długość po prostu, jeśli znasz inne wskaźniki segmentu.

Instrukcje

Jeśli chcesz znaleźć długość boku kwadratu, to nie będzie to , jeśli znasz jego pole S. Ze względu na fakt, że wszystkie boki kwadratu mają

Historia twierdzenia Pitagorasa sięga kilku tysięcy lat. Stwierdzenie, z którego wynika, że ​​było ono znane na długo przed narodzinami greckiego matematyka. Jednak twierdzenie Pitagorasa, historia jego powstania i dowód są dla większości kojarzone z tym naukowcem. Według niektórych źródeł powodem tego był pierwszy dowód twierdzenia podany przez Pitagorasa. Jednak niektórzy badacze zaprzeczają temu faktowi.

Muzyka i logika

Zanim opowiemy, jak rozwinęła się historia twierdzenia Pitagorasa, przyjrzyjmy się krótko biografii matematyka. Żył w VI wieku p.n.e. Za datę urodzenia Pitagorasa uważa się rok 570 p.n.e. e., miejscem jest wyspa Samos. Niewiele wiadomo wiarygodnie o życiu naukowca. Dane biograficzne w starożytnych źródłach greckich przeplatają się z oczywistą fikcją. Na kartach traktatów jawi się jako wielki mędrzec, doskonale władający słowami i potrafiący przekonywać. Nawiasem mówiąc, dlatego grecki matematyk otrzymał przydomek Pitagoras, czyli „mowa przekonująca”. Według innej wersji narodziny przyszłego mędrca przepowiedziała Pytia. Na jej cześć ojciec nazwał chłopca Pitagorasem.

Mędrzec uczył się od wielkich umysłów tamtych czasów. Do nauczycieli młodego Pitagorasa zaliczają się Hermodamantus i Ferecydes z Syros. Pierwszy zaszczepił w nim miłość do muzyki, drugi nauczył go filozofii. Obie te nauki pozostaną przedmiotem zainteresowania naukowca przez całe jego życie.

30 lat szkolenia

Według jednej wersji Pitagoras jako dociekliwy młody człowiek opuścił ojczyznę. Udał się szukać wiedzy do Egiptu, gdzie przebywał wg różne źródła, od 11 do 22 lat, a następnie został schwytany i zesłany do Babilonu. Pitagoras mógł skorzystać na swojej pozycji. Przez 12 lat studiował matematykę, geometrię i magię w stan starożytny. Pitagoras wrócił na Samos dopiero w wieku 56 lat. Rządził tu wówczas tyran Polikrates. Pitagoras nie mógł tego zaakceptować system polityczny i wkrótce udał się na południe Włoch, gdzie znajdowała się grecka kolonia Kroton.

Dziś nie można z całą pewnością stwierdzić, czy Pitagoras był w Egipcie i Babilonie. Być może później opuścił Samos i udał się prosto do Krotonu.

Pitagorejczycy

Historia twierdzenia Pitagorasa związana jest z rozwojem szkoły stworzonej przez greckiego filozofa. To bractwo religijno-etyczne głosiło przestrzeganie szczególnego sposobu życia, studiowało arytmetykę, geometrię i astronomię oraz zajmowało się filozoficzną i mistyczną stroną liczb.

Przypisano mu wszystkie odkrycia uczniów greckiego matematyka. Jednak historia pojawienia się twierdzenia Pitagorasa jest kojarzona przez starożytnych biografów tylko z samym filozofem. Przyjmuje się, że przekazał Grekom wiedzę zdobytą w Babilonie i Egipcie. Istnieje również wersja, w której faktycznie odkrył twierdzenie o związku nóg z przeciwprostokątną, nie wiedząc o osiągnięciach innych narodów.

Twierdzenie Pitagorasa: historia odkryć

Niektóre starożytne źródła greckie opisują radość Pitagorasa, gdy udało mu się udowodnić twierdzenie. Na cześć tego wydarzenia nakazał bogom ofiarę w postaci setek byków i zorganizował ucztę. Niektórzy naukowcy zwracają jednak uwagę na niemożność takiego czynu ze względu na specyfikę poglądów pitagorejczyków.

Uważa się, że w traktacie „Elementy” stworzonym przez Euklidesa autor przedstawia dowód twierdzenia, którego autorem był wielki grecki matematyk. Jednak nie wszyscy podzielali ten punkt widzenia. Tak więc nawet starożytny filozof neoplatoński Proclus wskazywał, że autorem dowodu podanego w Elementach był sam Euklides.

Tak czy inaczej, pierwszą osobą, która sformułowała to twierdzenie, nie był Pitagoras.

Starożytny Egipt i Babilon

Twierdzenie Pitagorasa, którego historię omówiono w artykule, zdaniem niemieckiego matematyka Cantora, było znane już w 2300 roku p.n.e. mi. w Egipcie. Starożytni mieszkańcy Doliny Nilu za panowania faraona Amenemhata znali równość 3 2 + 4 ² = 5 ². Zakłada się, że za pomocą trójkątów o bokach 3, 4 i 5 egipscy „przeciągacze lin” budowali kąty proste.

Znali także twierdzenie Pitagorasa w Babilonie. Na glinianych tabliczkach z 2000 r. p.n.e. i już za panowania odkryto przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Indie i Chiny

Historia twierdzenia Pitagorasa jest również związana ze starożytnymi cywilizacjami Indii i Chin. W traktacie „Zhou-bi suan jin” znajdują się wzmianki, że (jego strony powiązane są jako 3:4:5) był znany w Chinach już w XII wieku. pne e. i do VI wieku. pne mi. Matematycy tego stanu znali ogólną postać twierdzenia.

Konstrukcję kąta prostego z wykorzystaniem trójkąta egipskiego omówiono także w indyjskim traktacie „Sulva Sutra” z VII-V wieku. pne mi.

Tak więc historia twierdzenia Pitagorasa do czasu narodzin greckiego matematyka i filozofa miała już kilkaset lat.

Dowód

W czasie swojego istnienia twierdzenie to stało się jednym z podstawowych w geometrii. Historia dowodu twierdzenia Pitagorasa rozpoczęła się prawdopodobnie od rozważenia kwadratu równobocznego, którego przeciwprostokątna i nogi są zbudowane na jego przeciwprostokątnej. Ten, który „wyrósł” na przeciwprostokątnej, będzie składał się z czterech trójkątów równych pierwszemu. Kwadraty po bokach składają się z dwóch takich trójkątów. Prosty obraz graficzny jasno pokazuje słuszność twierdzenia sformułowanego w formie słynnego twierdzenia.

Kolejny prosty dowód łączy geometrię z algebrą. Poprowadzono cztery identyczne trójkąty prostokątne o bokach a, b, c tak, aby utworzyły dwa kwadraty: zewnętrzny o boku (a + b) i wewnętrzny o boku c. W takim przypadku powierzchnia mniejszego kwadratu będzie równa c 2. Powierzchnię dużego oblicza się z sumy obszarów mały kwadrat i wszystkie trójkąty (przypomnijmy, pole trójkąta prostokątnego jest obliczane według wzoru (a * b) / 2), to znaczy c 2 + 4 * ((a * b) / 2), co jest równe do c 2 + 2ab. Pole dużego kwadratu można obliczyć w inny sposób - jako iloczyn dwóch boków, czyli (a + b) 2, co jest równe a 2 + 2ab + b 2. Okazało się:

za 2 + 2ab + b 2 = do 2 + 2ab,

za 2 + b 2 = do 2.

Istnieje wiele wersji dowodu tego twierdzenia. Pracowali nad nimi Euclid, indyjscy naukowcy i Leonardo da Vinci. Często starożytni mędrcy cytowali rysunki, których przykłady znajdują się powyżej, i nie dołączali do nich żadnych wyjaśnień poza notatką „Patrz!” Prostota dowodu geometrycznego, pod warunkiem posiadania pewnej wiedzy, nie wymagała komentarzy.

Krótko zarysowana w artykule historia twierdzenia Pitagorasa obala mit o jego pochodzeniu. Trudno jednak sobie nawet wyobrazić, aby nazwisko wielkiego greckiego matematyka i filozofa kiedykolwiek przestało być z nim kojarzone.

Animowany dowód twierdzenia Pitagorasa - jeden z fundamentalny twierdzenia geometrii euklidesowej ustalające zależność pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego. Uważa się, że udowodnił to grecki matematyk Pitagoras, od którego pochodzi nazwa (istnieją inne wersje, w szczególności alternatywna opinia, że ​​twierdzenie to w ogólna perspektywa został sformułowany przez pitagorejskiego matematyka Hippasosa).
Twierdzenie stwierdza:

W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Wyznaczanie długości przeciwprostokątnej trójkąta C, i długości nóg są podobne A I B, otrzymujemy następujący wzór:

Zatem twierdzenie Pitagorasa ustanawia zależność, która pozwala określić bok trójkąta prostokątnego, znając długości pozostałych dwóch. Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinus, które określa relację między bokami dowolnego trójkąta.
Udowodniono również stwierdzenie odwrotne (tzw odwrotność twierdzenia Pitagoras):

Dla dowolnych trzech liczb dodatnich a, b i c takich, że a? + b? = c?, istnieje trójkąt prostokątny o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c.

Wizualne dowody na istnienie trójkąta (3, 4, 5) z księgi „Chu Pei” 500-200 p.n.e. Historię twierdzenia można podzielić na cztery części: wiedza o liczbach Pitagorasa, wiedza o stosunku boków w trójkącie prostokątnym, wiedza o stosunku sąsiadujące rogi i dowód twierdzenia.
Struktury megalityczne około 2500 roku p.n.e. w Egipcie i Północna Europa, zawierają trójkąty prostokątne o bokach składających się z liczb całkowitych. Bartel Leendert van der Waerden postawił hipotezę, że w tamtym czasie liczby pitagorejskie znajdowano algebraicznie.
Napisane między 2000 a 1876 rokiem p.n.e. papirus z Królestwa Środkowego Egiptu Berlina 6619 zawiera problem, którego rozwiązaniem są liczby Pitagorasa.
Tablica babilońska za panowania Hammurabiego Wielkiego Plimptona 322, spisane pomiędzy 1790 a 1750 rokiem p.n.e. zawiera wiele haseł ściśle powiązanych z liczbami pitagorejskimi.
W sutrach Budhajany, które pochodzą z różne wersje VIII lub II wiek p.n.e w Indiach, zawiera liczby pitagorasa wyprowadzone algebraicznie, stwierdzenie twierdzenia Pitagorasa i dowód geometryczny na trójkąt równoboczny.
Sutry Apastamba (około 600 rpne) zawierają numeryczny dowód twierdzenia Pitagorasa za pomocą obliczeń powierzchni. Van der Waerden uważa, że ​​bazował na tradycjach swoich poprzedników. Według Alberta Burco jest to oryginalny dowód twierdzenia i sugeruje on, że Pitagoras odwiedził Arakon i go skopiował.
Pitagoras, którego lata życia zwykle podaje się na 569–475 p.n.e. jak wynika z komentarzy Proklowa do Euklidesa, stosuje metody algebraiczne do obliczania liczb pitagorejskich. Proclus jednak żył między 410 a 485 rokiem naszej ery. Według Thomasa Guise'a nic nie wskazuje na autorstwo twierdzenia aż do pięciu wieków po Pitagorasie. Kiedy jednak autorzy tacy jak Plutarch czy Cyceron przypisują twierdzenie Pitagorasowi, robią to tak, jakby autorstwo było powszechnie znane i pewne.
Około 400 roku p.n.e Według Proklusa Platon podał metodę obliczania liczb pitagorejskich, która łączyła algebrę i geometrię. Około 300 roku p.n.e., w Początki Euklidesa mamy najstarszy aksjomatyczny dowód, który przetrwał do dziś.
Napisane gdzieś pomiędzy 500 rokiem p.n.e. i 200 rpne chińska książka matematyczna „Chu Pei” (???), daje wizualny dowód twierdzenia Pitagorasa, zwanego w Chinach twierdzeniem Gugu (????), dla trójkąta o bokach (3, 4 , 5). W czasach dynastii Han, od 202 roku p.n.e. do 220 r. n.e Liczby pitagorejskie pojawiają się w książce „Dziewięć gałęzi sztuki matematycznej” wraz z wzmianką o trójkątach prostokątnych.
Pierwsze odnotowane użycie tego twierdzenia miało miejsce w Chinach, gdzie jest znane jako twierdzenie Gugu (????), oraz w Indiach, gdzie jest znane jako twierdzenie Bhaskara.
Powszechnie dyskutowano, czy twierdzenie Pitagorasa zostało odkryte raz, czy wielokrotnie. Boyer (1991) uważa, że ​​wiedza zawarta w Sutrze Szulba może pochodzić z Mezopotamii.
Dowód algebraiczny
Kwadraty powstają z czterech trójkątów prostokątnych. Znanych jest ponad sto dowodów twierdzenia Pitagorasa. Oto dowód oparty na twierdzeniu o istnieniu pola figury:

Umieśćmy cztery identyczne trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku.
Czworokąt z bokami C jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi , a kąt prosty wynosi .
Pole całej figury jest z jednej strony równe polu kwadratu o boku „a + b”, a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego .

To właśnie trzeba udowodnić.
Przez podobieństwo trójkątów
Używanie podobnych trójkątów. Pozwalać ABC- trójkąt prostokątny, w którym kąt C prosto, jak pokazano na rysunku. Narysujmy wysokość od punktu C, i zadzwońmy H punkt przecięcia z bokiem AB. Tworzy się trójkąt ACH podobny do trójkąta ABC, ponieważ oba są prostokątne (z definicji wysokości) i mają wspólny kąt A, Oczywiście trzeci kąt w tych trójkątach również będzie taki sam. Podobny do pokoju, trójkąta CBH również podobny do trójkąta ABC. Z podobieństwem trójkątów: Jeśli

Można to zapisać jako

Jeśli dodamy te dwie równości, otrzymamy

HB + c razy AH = c razy (HB + AH) = do ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Inaczej mówiąc, twierdzenie Pitagorasa:

Dowód Euklidesa
Dowód Euklidesa w Elementach euklidesowych, twierdzenie Pitagorasa dowodzi się metodą równoległoboków. Pozwalać A, B, C wierzchołki trójkąta prostokątnego o kącie prostym A. Rzućmy prostopadłą z punktu A do strony przeciwnej przeciwprostokątnej w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej. Linia dzieli kwadrat na dwa prostokąty, z których każdy ma takie samo pole jak kwadraty zbudowane po bokach. główny pomysł dowodem jest to, że górne kwadraty zamieniają się w równoległoboki o tej samej powierzchni, a następnie wracają i zamieniają się w prostokąty w dolnym kwadracie i ponownie o tej samej powierzchni.

Narysujmy segmenty CF I OGŁOSZENIE. otrzymujemy trójkąty BCF I BDA
Kąty TAKSÓWKA I TORBA- prosty; odpowiednio punkty C, A I G– współliniowy. Również B, A I H.
Kąty CBD I FBA– obie są liniami prostymi, potem kąt ABD równy kątowi FBC, ponieważ oba są sumą kąta prostego i kąta ABC.
Trójkąt ABD I FBC poziom po obu stronach i kąt między nimi.
Od punktów A, K I L– współliniowy, pole prostokąta BDLK jest równe dwóm obszarom trójkąta ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Podobnie otrzymujemy CKL = ACIH = AK 2
Z jednej strony teren CBDE równa sumie pól prostokątów BDLK I CKL, a po drugiej stronie obszar placu 2 pne, Lub AB 2 + AK 2 = p.n.e. 2.

Korzystanie z różnic
Stosowanie różnic. Twierdzenie Pitagorasa można wyprowadzić badając, jak wzrost boku wpływa na wielkość przeciwprostokątnej, jak pokazano na rysunku po prawej stronie, i stosując niewielkie obliczenia.
W wyniku wzrostu strony A, trójkątów podobnych dla nieskończenie małych przyrostów

Całkując otrzymujemy

Jeśli A= 0 w takim razie C = B, więc jest „stała”. b 2. Następnie

Jak widać, kwadraty wynikają z proporcji przyrostów i boków, natomiast suma jest wynikiem niezależnego udziału przyrostów boków, nieoczywistego na podstawie dowodów geometrycznych. W tych równaniach da I DC– odpowiednio nieskończenie małe przyrosty boków A I C. Ale czego używamy zamiast tego? A I? C, wówczas granica stosunku, jeśli zmierzają do zera, wynosi da / DC, pochodna i jest również równa C / A, w rezultacie otrzymujemy stosunek długości boków trójkątów równanie różniczkowe.
W przypadku ortogonalnego układu wektorów zachodzi równość, zwana także twierdzeniem Pitagorasa:

Jeżeli – Są to rzuty wektora na osie współrzędnych, to wzór ten pokrywa się z odległością euklidesową i oznacza, że ​​długość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego składowych.
Analogię tej równości w przypadku nieskończonego układu wektorów nazywamy równością Parsevala.