I. Wyrażenia, w których można używać liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów wraz z literami, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.
Przykłady wyrażenia algebraiczne:
2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę tę nazywa się zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywa się wyrażeniem ze zmienną.
II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) zostaną zastąpione ich wartościami i zostaną wykonane określone działania, wówczas wynikową liczbę nazywa się wartością wyrażenia algebraicznego.
Przykłady. Znajdź znaczenie wyrażenia:
1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6.
Rozwiązanie.
1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawmy ich wartości. Otrzymujemy:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6. Zastąp wskazane wartości. Pamiętamy, że moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie. Otrzymujemy:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są dopuszczalnymi wartościami litery (zmiennej).
Przykłady. Dla jakich wartości zmiennej wyrażenie nie ma sensu?
Rozwiązanie. Wiemy, że nie można dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu, biorąc pod uwagę wartość litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!
W przykładzie 1) ta wartość wynosi a = 0. Rzeczywiście, jeśli zastąpisz 0 zamiast a, będziesz musiał podzielić liczbę 6 przez 0, ale nie da się tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.
W przykładzie 2) mianownik x wynosi 4 = 0 przy x = 4, dlatego nie można przyjąć tej wartości x = 4. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu, gdy x = 4.
W przykładzie 3) mianownikiem jest x + 2 = 0, gdy x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu, gdy x = -2.
W przykładzie 4) mianownikiem jest 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| = 5, to nie możesz przyjąć x = 5 i x = -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu przy x = -5 i przy x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identyczne, jeśli dla dowolnego dopuszczalne wartości zmiennych, odpowiednie wartości tych wyrażeń są równe.
Przykład: 5 (a – b) i 5a – 5b są również równe, ponieważ równość 5 (a – b) = 5a – 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a – b) = 5a – 5b jest tożsamością.
Tożsamość jest równością obowiązującą dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami tożsamości już znanych są na przykład właściwości dodawania i mnożenia oraz własność rozdzielności.
Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją tożsamości lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Przykłady.
A) przekonwertuj wyrażenie na identyczne, korzystając z rozdzielności mnożenia:
1) 10·(1,2x + 2,3 lat); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Rozwiązanie. Przypomnijmy rozdzielność (prawo) mnożenia:
(a+b)c=ac+bc(rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki).
(a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć odjemną i odjąć tę liczbę osobno, a drugą od pierwszego wyniku odjąć).
1) 10·(1,2x + 2,3 lat) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3 lat = 12x + 23 lata.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6:00 -2an +ak.
B) przekształć wyrażenie na identyczne równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) dodawania:
4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.
Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) dodawania:
a+b=b+a(przemienne: przestawienie wyrazów nie zmienia sumy).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinowane: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiego i trzeciego do pierwszej liczby).
4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.
5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.
6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.
V) Przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) mnożenia:
7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.
Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) mnożenia:
a·b=b·a(przemienne: przestawianie czynników nie zmienia iloczynu).
(a b) c=a (b c)(kombinowane: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).
Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi
Instytucja edukacyjna
„Gomel Uniwersytet stanowy ich. F. Skorina”
Wydział Matematyki
Katedra MPM
Identyczne przekształcenia wyrażeń i metody nauczania studentów ich wykonywania
Wykonawca:
Studentka Starodubova A.Yu.
Doradca naukowy:
Cand. fizyka i matematyka Nauki, profesor nadzwyczajny Lebiediew M.T.
Gomel 2007
Wstęp
1 Główne rodzaje przekształceń i etapy ich badania. Etapy opanowania stosowania transformacji
Wniosek
Literatura
Wstęp
Najprostsze przekształcenia wyrażeń i wzorów w oparciu o właściwości operacji arytmetycznych przeprowadza się w Szkoła Podstawowa oraz klasy 5 i 6. Kształtowanie umiejętności i zdolności do wykonywania przekształceń odbywa się na kursie algebry. Wynika to zarówno z gwałtownego wzrostu liczby i różnorodności przeprowadzanych przekształceń, jak i ze skomplikowania działań zmierzających do ich uzasadnienia i wyjaśnienia warunków stosowalności, identyfikacji i badania uogólnionych koncepcji tożsamości, transformacji tożsamej, równoważna transformacja.
1. Główne typy przekształceń i etapy ich badania. Etapy opanowania stosowania transformacji
1. Początki algebry
Stosowany jest niepodzielny system przekształceń, reprezentowany przez reguły wykonywania działań na jednej lub obu częściach formuły. Celem jest osiągnięcie płynności w wykonywaniu zadań rozwiązywania prostych równań, upraszczania wzorów definiujących funkcje oraz racjonalnego przeprowadzania obliczeń w oparciu o właściwości działań.
Typowe przykłady:
Rozwiąż równania:
A) ; B) ; V) .
Identyczna transformacja (a); równoważne i identyczne (b).
2. Kształcenie umiejętności stosowania określonych typów przekształceń
Wnioski: skrócone wzory na mnożenie; przekształcenia związane z potęgowaniem; transformacje związane z różnymi klasami funkcji elementarnych.
Organizacja integralnego układu przekształceń (synteza)
Celem jest stworzenie elastycznego i wydajnego aparatu, odpowiedniego do wykorzystania w rozwiązywaniu różnorodnych zadań edukacyjnych. Przejście do tego etapu następuje podczas końcowego powtarzania kursu w trakcie rozumienia już znanego materiału poznanego w częściach, dla niektórych typów przekształceń do wcześniej badanych typów dodawane są przekształcenia wyrażeń trygonometrycznych. Wszystkie te przekształcenia można nazwać „algebraicznymi”, do „analitycznych” przekształceń zaliczają się takie, które opierają się na zasadach różniczkowania i całkowania oraz przekształcenia wyrażeń zawierających przejścia do granic. Różnica tego typu polega na naturze zbioru, przez który przechodzą zmienne tożsamości (pewne zbiory funkcji).
Badane tożsamości dzielą się na dwie klasy:
I – tożsamości skróconego mnożenia obowiązujące w pierścieniu przemiennym oraz tożsamości
uczciwie na boisku.
II – tożsamości łączące działania arytmetyczne i podstawowe funkcje elementarne.
2 Cechy organizacji systemu zadań w badaniu przemian tożsamości
Główną zasadą organizacji systemu zadań jest przedstawienie ich od prostych do złożonych.
Cykl ćwiczeń– łączenie w sekwencji ćwiczeń kilku aspektów studiowania i technik porządkowania materiału. Przy badaniu przemian tożsamości cykl ćwiczeń wiąże się z badaniem jednej tożsamości, wokół której grupują się inne tożsamości pozostające z nią w naturalnym związku. Cykl, obok wykonawczego, obejmuje zadania, wymagające uznania możliwości zastosowania danej tożsamości. Badana tożsamość służy do przeprowadzania obliczeń w różnych dziedzinach liczbowych. Zadania w każdym cyklu podzielone są na dwie grupy. DO Pierwszy Należą do nich zadania realizowane w trakcie wstępnego poznawania tożsamości. Służą materiał edukacyjny przez kilka kolejnych lekcji połączonych jednym tematem.
Druga grupaćwiczenia łączą badaną tożsamość z różnymi zastosowaniami. Grupa ta nie tworzy jedności kompozycyjnej - ćwiczenia tutaj są rozproszone na różne tematy.
Opisane struktury cykli odnoszą się do etapu rozwijania umiejętności stosowania określonych przekształceń.
Na etapie syntezy cykle ulegają zmianie, grupy zadań są łączone w kierunku komplikacji i łączenia cykli związanych z różnymi tożsamościami, co pozwala zwiększyć rolę działań mających na celu rozpoznanie stosowalności określonej tożsamości.
Przykład.
Cykl zadań dla tożsamości:
I grupa zadań:
a) występujący w postaci produktu:
b) Sprawdź równość:
c) Rozwiń nawiasy w wyrażeniu:
.
d) Oblicz:
e) Rozłóż na czynniki:
f) uprość wyrażenie:
.
Studenci właśnie zapoznali się z formułowaniem tożsamości, jej zapisywaniem w formie tożsamości i jej dowodem.
Zadanie a) wiąże się z utrwaleniem struktury badanej tożsamości, z nawiązaniem połączenia z nią zestawy numeryczne(porównanie struktur znakowych tożsamości i wyrażenia przekształconego; zamiana litery na cyfrę w tożsamości). W ostatnim przykładzie nadal musimy go zredukować do badanej formy. W poniższych przykładach (e i g) dochodzi do komplikacji spowodowanej zastosowaną rolą tożsamości i skomplikowaniem konstrukcji znaku.
Zadania typu b) mają na celu rozwój umiejętności zastępczych 
NA . Rola zadania c) jest podobna.
Przykłady typu d), w których konieczny jest wybór jednego z kierunków transformacji, dopełniają rozwój tej idei.
Zadania grupy I skupiają się na opanowaniu struktury tożsamości, działaniu substytucji w najprostszych, zasadniczo najważniejszych przypadkach oraz idei odwracalności przekształceń dokonywanych przez tożsamość. Bardzo ważne jest także wzbogacanie środków językowych ukazujących różne aspekty tożsamości. Teksty zadań dają wyobrażenie o tych aspektach.
II grupa zadań.
g) Korzystając z tożsamości dla , rozłóż na czynniki wielomian .
h) Wyeliminuj irracjonalność w mianowniku ułamka.
i) Udowodnij, że jeśli jest liczbą nieparzystą, to jest ona podzielna przez 4.
j) Funkcję podaje się za pomocą wyrażenia analitycznego
.
Pozbądź się znaku modułu, rozważając dwa przypadki: , .
k) Rozwiąż równanie 
.
Zadania te mają na celu jak najwięcej pełne wykorzystanie i biorąc pod uwagę specyfikę tej konkretnej tożsamości, zakładają wykształcenie umiejętności posługiwania się badaną tożsamością dla różnicy kwadratów. Celem jest pogłębienie rozumienia tożsamości poprzez rozważenie jej różnych zastosowań w różne sytuacje, w połączeniu z wykorzystaniem materiału związanego z innymi zagadnieniami z kursu matematyki.
Lub 
.
Cechy cykli zadań związanych z tożsamościami funkcji elementarnych:
1) są badane na podstawie materiału funkcjonalnego;
2) tożsamości pierwszej grupy pojawiają się później i są badane z wykorzystaniem już rozwiniętych umiejętności dokonywania przekształceń tożsamości.
W pierwszej grupie zadań w cyklu powinny znaleźć się zadania polegające na ustaleniu powiązań pomiędzy tymi nowymi obszarami liczbowymi a pierwotnym obszarem liczb wymiernych.
Przykład.
Oblicz:
;
.
Celem takich zadań jest opanowanie cech zapisów, w tym symboli nowych operacji i funkcji, a także rozwinięcie umiejętności mowy matematycznej.
Znacząca część zastosowań przekształceń tożsamościowych związanych z funkcjami elementarnymi polega na rozwiązywaniu równań niewymiernych i transcendentalnych. Kolejność kroków:
a) znajdź funkcję φ, dla której dane równanie f(x)=0 można przedstawić w postaci:
b) podstawiamy y=φ(x) i rozwiązujemy równanie
c) rozwiązać każde z równań φ(x)=y k, gdzie y k jest zbiorem pierwiastków równania F(y)=0.
Stosując opisaną metodę, krok b) często wykonuje się w sposób dorozumiany, bez wprowadzania zapisu dla φ(x). Ponadto studenci często wolą różne sposoby prowadzących do znalezienia odpowiedzi, wybierz tę, która szybciej i łatwiej doprowadzi do równania algebraicznego.
Przykład. Rozwiąż równanie 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (krok a)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3) = 0; 2 x -3=0. (krok b)
Przykład. Rozwiązać równanie:
a) 2 2x -3*2 x +2=0;
b) 2 2x -3*2 x -4=0;
c) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Zaproponuj niezależne rozwiązanie.)
Klasyfikacja zadań w cyklach związanych z rozwiązywaniem równań przestępnych, w tym funkcja wykładnicza:
1) równania, które sprowadzają się do równań postaci a x = y 0 i mają prostą, ogólną odpowiedź:
2) równania sprowadzające się do równań postaci a x = a k, gdzie k jest liczbą całkowitą, lub a x = b, gdzie b≤0.
3) równania sprowadzające się do równań postaci a x = y 0 i wymagające jednoznacznej analizy postaci, w której jawnie zapisana jest liczba y 0.
Bardzo przydatne są zadania, w których do konstruowania grafów wykorzystywane są przekształcenia tożsamościowe przy jednoczesnym upraszczaniu formuł definiujących funkcje.
a) Naszkicuj funkcję y=;
b) Rozwiąż równanie lgx+lg(x-3)=1
c) dla jakiego zbioru formuła log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) jest tożsamością?
Wykorzystanie przekształceń tożsamościowych w obliczeniach (Journal of Mathematics at School, nr 4, 1983, s. 45).
Zadanie nr 1. Funkcję tę wyraża wzór y=0,3x2 +4,64x-6. Znajdź wartości funkcji przy x=1,2
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Zadanie nr 2. Oblicz długość jednej nogi trójkąta prostokątnego, jeśli długość jego przeciwprostokątnej wynosi 3,6 cm, a drugiej nogi 2,16 cm.
Zadanie nr 3. Jaka jest powierzchnia prostokątnej działki o wymiarach a) 0,64 m i 6,25 m; b) 99,8 m i 2,6 m?
a)0,64*6,25=0,8 2*2,5 2 =(0,8*2,5) 2;
b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Te przykłady pozwalają zidentyfikować praktyczne użycie przemiany tożsamości. Student powinien zostać zaznajomiony z warunkami wykonalności transformacji (patrz diagramy).
| |
- obraz wielomianu, w którym dowolny wielomian mieści się w okrągłych konturach (schemat 1)
-
podany jest warunek możliwości przekształcenia iloczynu jednomianu i wyrażenia umożliwiającego przekształcenie na różnicę kwadratów. (schemat 2)
-
tutaj zacienienia oznaczają równe jednomiany i podane jest wyrażenie, które można przekształcić w różnicę kwadratów (schemat 3).
| |
| |
- wyrażenie, które uwzględnia wspólny czynnik.
Umiejętności uczniów w zakresie identyfikowania warunków można rozwijać na podstawie następujących przykładów:
Które z poniższych wyrażeń można przekształcić, usuwając wspólny czynnik z nawiasów:
2) 
3) 0,7a 2 + 0,2b 2 ;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
Większość obliczeń w praktyce nie spełnia warunków spełnialności, dlatego studentom potrzebna jest umiejętność ich sprowadzenia do postaci umożliwiającej obliczenie przekształceń. W takim przypadku odpowiednie są następujące zadania:
podczas badania usuwania wspólnego czynnika z nawiasów:
jeśli to możliwe, zamień to wyrażenie na wyrażenie przedstawione na diagramie 4:
4) 2a*a 2*a 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
Formułując pojęcie „przekształcenia identycznego”, należy pamiętać, że oznacza to nie tylko, że dane i powstałe wyrażenie w wyniku przekształcenia przyjmują wartości równe dla dowolnych wartości liter w nim zawartych, ale także, że podczas identycznej transformacji przechodzimy od wyrażenia definiującego jeden sposób liczenia do wyrażenia definiującego inny sposób liczenia tej samej wartości.
Schemat 5 (zasada przeliczania iloczynu jednomianu i wielomianu) można zilustrować przykładami
0,5a(b+c) lub 3,8(0,7+).
Ćwiczenia uczące, jak wyciągać wspólny czynnik z nawiasów:
Oblicz wartość wyrażenia:
a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
b) a+bc przy a=0,96; b=4,8; c=9,8.
c) a(a+c)-c(a+b) z a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Zilustrujmy przykładami kształtowanie umiejętności obliczeń i transformacji tożsamości (Journal of Mathematics at School, nr 5, 1984, s. 30).
1) umiejętności i zdolności nabywa się szybciej i dłużej zatrzymuje się, jeśli ich kształtowanie następuje na świadomej podstawie (dydaktyczna zasada świadomości).
1) Możesz sformułować regułę dodawania ułamków za pomocą same mianowniki lub wcześniej włączone konkretne przykłady rozważ istotę dodawania równych udziałów.
2) Podczas rozkładu na czynniki poprzez usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów ważne jest, aby zobaczyć ten wspólny czynnik, a następnie zastosować prawo dystrybucji. Podczas wykonywania pierwszych ćwiczeń warto zapisać każdy wyraz wielomianu jako iloczyn, którego jeden z czynników jest wspólny dla wszystkich wyrazów:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Jest to szczególnie przydatne, gdy jeden z jednomianów wielomianu zostanie wyjęty z nawiasu:
II. Pierwszy etap kształtowanie umiejętności – opanowanie umiejętności (ćwiczenia wykonywane są ze szczegółowymi objaśnieniami i notatkami)
(kwestia znaku jest rozwiązywana w pierwszej kolejności)
Druga faza– etap automatyzacji umiejętności poprzez eliminację niektórych operacji pośrednich
III. Siłę umiejętności osiąga się poprzez rozwiązywanie przykładów zróżnicowanych zarówno pod względem treści, jak i formy.
Temat: „Umieszczanie wspólnego czynnika w nawiasach”.
1. Zapisz brakujący czynnik zamiast wielomianu:
2. Rozłóż na czynniki tak, aby przed nawiasami znajdował się jednomian o ujemnym współczynniku:
3. Rozłóż tak, aby wielomian w nawiasach miał współczynniki całkowite:
4. Rozwiąż równanie:
IV. Rozwój umiejętności jest najskuteczniejszy, gdy niektóre pośrednie obliczenia lub przekształcenia wykonywane są ustnie.
(doustnie);
V. Rozwijane umiejętności i zdolności muszą być częścią wcześniej utworzonego systemu wiedzy, umiejętności i zdolności uczniów.
Na przykład, ucząc, jak rozkładać wielomiany na czynniki za pomocą skróconych wzorów na mnożenie, oferowane są następujące ćwiczenia:
Rozkładać na czynniki:
VI. Konieczność racjonalnego wykonywania obliczeń i przekształceń.
V) uprościć wyrażenie:
Racjonalność polega na otwarciu nawiasów, ponieważ
VII. Konwersja wyrażeń zawierających wykładniki.
Nr 1011 (Alg.9) Uprość wyrażenie:
Nr 1012 (Alg.9) Usuń mnożnik spod pierwiastka:
Nr 1013 (Alg.9) Podaj współczynnik pod pierwiastkiem:
Nr 1014 (Alg.9) Uprość wyrażenie:
We wszystkich przykładach najpierw wykonaj faktoryzację lub odejmowanie wspólnego czynnika, albo „zobacz” odpowiedni wzór na redukcję.
Nr 1015 (Alg.9) Zmniejsz ułamek:
Wielu uczniów ma pewne trudności z przekształcaniem wyrażeń zawierających pierwiastki, szczególnie podczas studiowania równości:
Dlatego albo opisz szczegółowo wyrażenia formy, albo 
lub przejdź do stopnia z wykładnikiem racjonalnym.
Nr 1018 (Alg.9) Znajdź wartość wyrażenia:
Nr 1019 (Alg.9) Uprość wyrażenie:
2,285 (Skanavi) Uprość wyrażenie
a następnie wykreśl funkcję y Dla
Nr 2.299 (Skanavi) Sprawdź ważność równości:
Transformacja wyrażeń zawierających stopień jest uogólnieniem nabytych umiejętności i zdolności w badaniu identycznych transformacji wielomianów.
Nr 2.320 (Skanavi) Uprość wyrażenie:
Kurs Algebra 7 zawiera następujące definicje.
def. Mówi się, że dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe wartościom zmiennych, są identycznie równe.
def. Równość jest prawdziwa dla dowolnych wartości wywoływanych zmiennych. tożsamość.
Nr 94 (Alg.7) Czy równość:
A) 
C) 
D) 
Definicja opisu: Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją identyczną lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Nie. (Alg.7) Wśród wyrażeń
znajdź te, które są jednakowo równe.
Temat: „Identyczne przekształcenia wyrażeń” (technika zadawania pytań)
Pierwszy temat „Algebra-7” - „Wyrażenia i ich przekształcenia” pomaga utrwalić umiejętności obliczeniowe nabyte w klasach 5-6, usystematyzować i uogólnić informacje o przekształceniach wyrażeń i rozwiązaniach równań.
Znajdowanie wartości liczbowych i wyrażenia dosłowne umożliwia powtórzenie ze studentami zasad działania na liczbach wymiernych. Możliwość wykonania działania arytmetyczne z liczbami wymiernymi są podstawą całego kursu algebry.
Jeśli chodzi o przekształcenia wyrażeń, umiejętności formalne i operacyjne pozostają na tym samym poziomie, który osiągnięto w klasach 5-6.
Jednak tutaj studenci wznoszą się na nowy poziom w opanowaniu teorii. Wprowadzono pojęcia „identycznie równych wyrażeń”, „tożsamości”, „identycznych przekształceń wyrażeń”, których treść będzie stale odkrywana i pogłębiana podczas badania przekształceń różnych wyrażeń algebraicznych. Podkreśla się, że podstawą przekształceń tożsamości są własności operacji na liczbach.
Studiując temat „Wielomiany”, kształtują się formalne umiejętności operacyjne identycznych transformacji wyrażeń algebraicznych. Skrócone wzory na mnożenie przyczyniają się do dalszego rozwoju umiejętności wykonywania identycznych przekształceń całych wyrażeń; umiejętność stosowania wzorów zarówno na skrócone mnożenie, jak i faktoryzację wielomianów wykorzystuje się nie tylko przy przekształcaniu całych wyrażeń, ale także przy operacjach na ułamkach zwykłych, pierwiastkach , potęgi z wymiernym wykładnikiem .
W klasie VIII nabyte umiejętności przekształceń tożsamości ćwiczone są na operacjach na ułamkach algebraicznych, pierwiastek kwadratowy oraz wyrażenia zawierające potęgi z wykładnikiem całkowitym.
W przyszłości techniki transformacji tożsamości znajdą odzwierciedlenie w wyrażeniach zawierających stopień z wykładnikiem wymiernym.
Grupa specjalna identycznymi transformacjami są wyrażenia trygonometryczne i wyrażenia logarytmiczne.
Obowiązkowe efekty kształcenia na zajęciach z algebry w klasach 7-9 obejmują:
1) przekształcenia tożsamościowe wyrażeń całkowitych
a) nawiasy otwierające i zamykające;
b) sprowadzanie podobnych członków;
c) dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów;
d) rozkład wielomianów na czynniki poprzez wyjmowanie wspólnego czynnika z nawiasów i skrócone wzory na mnożenie;
e) rozkład trójmian kwadratowy przez mnożniki.
„Matematyka w szkole” (B.U.M.) s. 110
2) identyczne przekształcenia wyrażeń wymiernych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków, a także zastosowanie wymienionych umiejętności przy wykonywaniu prostych przekształceń złożonych [s. 111]
3) studenci powinni potrafić wykonywać przekształcenia prostych wyrażeń zawierających stopnie i pierwiastki. (s. 111-112)
Brano pod uwagę główne rodzaje problemów, których umiejętność rozwiązania pozwala na otrzymanie przez ucznia oceny pozytywnej.
Jednym z najważniejszych aspektów metodologii badania przemian tożsamości jest opracowanie przez ucznia celów dokonywania transformacji tożsamości.
1) 
- uproszczenie wartości liczbowej wyrażenia
2) które z przekształceń należy wykonać: (1) 
lub (2) Analiza tych opcji jest motywacją (najlepiej (1), ponieważ w (2) zakres definicji jest zawężony)
3) Rozwiąż równanie:
Faktoring przy rozwiązywaniu równań.
4) Oblicz:
Zastosujmy skróconą formułę mnożenia:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Znajdź wartość wyrażenia:
Aby znaleźć wartość, pomnóż każdy ułamek przez jego koniugat:
6) Wykres funkcji:
Wybierzmy całą część: .
Zapobieganie błędom podczas wykonywania przekształceń tożsamości można uzyskać poprzez różne przykłady ich realizacji. W tym przypadku praktykuje się „małe” techniki, które jako elementy włączane są w większy proces transformacji.
Na przykład:
W zależności od kierunków równania można rozważyć kilka problemów: mnożenie wielomianów od prawej do lewej; od lewej do prawej - faktoryzacja. Lewa strona jest wielokrotnością jednego z czynników po prawej stronie itd.
Oprócz różnicowania przykładów możesz użyć apologia tożsamości i równości liczbowych.
Następne spotkanie– wyjaśnienie tożsamości.
Aby zwiększyć zainteresowanie uczniów, możemy uwzględnić wyszukiwanie na różne sposoby rozwiązywanie problemów.
Lekcje dotyczące studiowania przemian tożsamości staną się ciekawsze, jeśli je poświęcisz poszukiwanie rozwiązania problemu .
Na przykład: 1) skróć ułamek:
3) udowodnić wzór „rodnika złożonego”
Rozważać:
Przekształćmy prawą stronę równości:
-
suma wyrażeń sprzężonych. Można je mnożyć i dzielić przez ich koniugat, ale taka operacja doprowadziłaby nas do ułamka, którego mianownikiem jest różnica rodników.
Zauważ, że pierwszy wyraz w pierwszej części tożsamości jest liczbą większą niż drugi, więc możemy podnieść obie części do kwadratu:
Temat: Identyczne przekształcenia wyrażeń (technika zadawania pytań).
Literatura: „Warsztaty z MPM”, s. 87-93.
Przejawem wysokiej kultury obliczeń i przekształceń tożsamości wśród studentów jest solidna znajomość właściwości i algorytmów działań na wielkościach dokładnych i przybliżonych oraz ich umiejętne zastosowanie; racjonalne metody obliczeń i przekształceń oraz ich weryfikacja; umiejętność uzasadnienia stosowania metod i zasad obliczeń i przekształceń, automatyczna umiejętność bezbłędnego wykonywania operacji obliczeniowych.
W której klasie uczniowie powinni rozpocząć pracę nad rozwijaniem wymienionych umiejętności?
Linia identycznych przekształceń wyrażeń zaczyna się od zastosowania racjonalnych technik obliczeniowych.Zaczyna się od zastosowania racjonalnych technik obliczeniowych dla wartości wyrażeń numerycznych. (5. klasa)
Studiując takie tematy na szkolnym kursie matematyki, musisz zwracać na nie uwagę. Specjalna uwaga!
Świadomą realizację przez uczniów przekształceń tożsamości ułatwia zrozumienie faktu, że wyrażenia algebraiczne nie istnieją same w sobie, lecz w nierozerwalnym związku z pewnym zbiorem liczbowym są uogólnionymi zapisami wyrażeń numerycznych. Analogie między algebraicznymi i wyrażenia numeryczne(i ich przekształcenia) są legalne w sensie logicznym, ich wykorzystanie w nauczaniu pozwala zapobiegać błędom uczniów.
Przekształceń tożsamości nie ma osobny temat szkolnym kursie matematyki, uczy się ich przez cały kurs algebry i początków analizy matematycznej.
Program matematyki dla klas 1-5 jest materiałem propedeutycznym do badania przekształceń identycznych wyrażeń ze zmienną.
Na kursie algebry w klasie 7. wprowadzono definicję tożsamości i przekształceń tożsamości.
def. Wywoływane są dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych. identycznie równe.
ODA. Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywa się tożsamością.
Wartość tożsamości polega na tym, że pozwala ona zastąpić dane wyrażenie innym, identycznie mu równym.
def. Nazywa się zastępowanie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem identyczna transformacja lub po prostu transformacja wyrażenia.
Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Za podstawę przekształceń tożsamości można uznać przekształcenia równoważne.
ODA. Nazywa się dwa zdania, z których każde jest logiczną konsekwencją drugiego. równowartość.
ODA. Zdanie ze zmiennymi A nazywa się. konsekwencja zdania ze zmiennymi B, jeśli dziedzina prawdy B jest podzbiorem dziedziny prawdy A.
Można podać inną definicję zdań równoważnych: dwa zdania ze zmiennymi są równoważne, jeśli ich domeny prawdy są zbieżne.
a) B: x-1=0 przez R; A: (x-1) 2 przez R => A~B, ponieważ obszary prawdy (rozwiązania) pokrywają się (x=1)
b) A: x=2 przez R; B: x 2 =4 nad R => dziedzina prawdy A: x = 2; dziedzina prawdy B: x=-2, x=2; ponieważ dziedzina prawdy A zawiera się w B, wówczas: x 2 = 4 jest konsekwencją twierdzenia x = 2.
Podstawą przekształceń tożsamości jest możliwość przedstawienia tej samej liczby w różnych formach. Na przykład,
-
To przedstawienie będzie pomocne podczas studiowania tematu „podstawowe właściwości ułamków”.
Umiejętności dokonywania przekształceń tożsamości zaczynają się rozwijać przy rozwiązywaniu przykładów podobnych do poniższych: „Znajdź wartość liczbową wyrażenia 2a 3 +3ab+b 2 z a = 0,5, b = 2/3”, które są oferowane uczniom w klasie 5 i dopuszczają propedeutyczną koncepcję funkcji.
Studiując skrócone wzory na mnożenie, należy zwrócić uwagę na ich głębokie zrozumienie i silne przyswojenie. Można w tym celu posłużyć się poniższą ilustracją graficzną:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Pytanie: Jak na podstawie tych rysunków wyjaśnić uczniom istotę podanych wzorów?
Częstym błędem jest mylenie wyrażeń „kwadrat sumy” i „suma kwadratów”. Wskazanie nauczyciela, że wyrażenia te różnią się kolejnością wykonywania działań, nie wydaje się istotne, gdyż uczniowie uważają, że działania te wykonywane są na tych samych liczbach i dlatego wynik nie zmienia się poprzez zmianę kolejności działań.
Zadanie: Ułóż ćwiczenia ustne rozwijające umiejętności uczniów w zakresie bezbłędnego posługiwania się powyższymi wzorami. Jak możemy wyjaśnić, w jaki sposób te dwa wyrażenia są podobne i czym się od siebie różnią?
Różnorodność identycznych przekształceń utrudnia uczniom zorientowanie się w celu, w jakim są przeprowadzane. Rozmyta wiedza o celu dokonywania przekształceń (w każdym konkretnym przypadku) negatywnie wpływa na ich świadomość i jest źródłem masowych błędów wśród uczniów. Sugeruje to, że wyjaśnianie uczniom celów wykonywania różnych identycznych przekształceń jest ważną częścią metodologii ich badania.
Przykładowe motywacje przemian tożsamościowych:
1. uproszczenie znajdowania wartości liczbowej wyrażenia;
2. wybrać taką transformację równania, która nie prowadzi do utraty pierwiastka;
3. Wykonując transformację możesz zaznaczyć jej obszar obliczeniowy;
4. wykorzystanie w obliczeniach przekształceń, np. 99 2 -1=(99-1)(99+1);
Aby móc zarządzać procesem decyzyjnym, ważna jest umiejętność nauczyciela, który potrafi trafnie opisać istotę błędu popełnionego przez ucznia. Kluczem jest dokładna charakterystyka błędów właściwy wybór kolejne działania podejmowane przez nauczyciela.
Przykłady błędów uczniów:
1. wykonanie mnożenia: student otrzymał -54abx 6 (7 komórek);
2. Podnosząc do potęgi (3x 2) 3 uczeń otrzymał 3x 6 (7 ocen);
3. przekształcając (m + n) 2 w wielomian, uczeń otrzymał m 2 + n 2 (klasa VII);
4. Poprzez zmniejszenie ułamka otrzymanego przez ucznia (8 ocen);
5. wykonanie odejmowania: 
, zapisuje uczeń (8 klasa)
6. Reprezentując ułamek w postaci ułamków, student otrzymał: 
(8 klas);
7. Usuwanie pierwiastek arytmetyczny uczeń otrzymał x-1 (ocena 9);
8. rozwiązanie równania (klasa IX);
9. Przekształcając wyrażenie, uczeń otrzymuje: (9 klasa).
Wniosek
Badanie przekształceń tożsamościowych prowadzone jest w ścisłym powiązaniu ze zbiorami liczbowymi badanymi w danej klasie.
Na początku należy poprosić ucznia o wyjaśnienie każdego etapu transformacji, o sformułowanie zasad i praw, które obowiązują.
W identycznych przekształceniach wyrażeń algebraicznych stosuje się dwie zasady: podstawienia i zastępowania przez równe. Najczęściej stosuje się podstawienie, ponieważ Na tym opierają się obliczenia za pomocą wzorów, tj. znajdź wartość wyrażenia a*b dla a=5 i b=-3. Bardzo często uczniowie zaniedbują nawiasy podczas wykonywania operacji mnożenia, wierząc, że implikowany jest znak mnożenia. Na przykład możliwy jest następujący wpis: 5*-3.
Literatura
1. AI Azarow, SA Barvenov „Funkcjonalne i graficzne metody rozwiązywania problemów egzaminacyjnych”, Mn..Aversev, 2004
2. ON Piryutko „Typowe błędy w testowaniu scentralizowanym”, Mn..Aversev, 2006
3. AI Azarow, SA Barvenov „Zadania pułapek w testowaniu scentralizowanym”, Mn..Aversev, 2006
4. AI Azarow, SA Barvenov „Metody rozwiązywania problemów trygonometrycznych”, Mn..Aversev, 2005
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Używając własność rozdzielcza mnożenia można przekształcić (uprościć) na wielomian, iloczyn jednomianu i wielomianu. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy a i b nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter a i b zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zmienne a i b są w nich zastępowane. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
