Rozkładanie wielomianów na czynniki. Metoda wyboru całego kwadratu. Połączenie metod. Wielomiany. Rozkładanie wielomianu na czynniki: metody, przykłady

Rozkładanie wielomianów na czynniki jest transformacja tożsamości, w wyniku czego wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.

Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.

Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.

Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.

Rozwiązanie.

1. Znajdź elementy 28x 3 i 35x 4 wspólny dzielnik. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.

2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.

Rozwiązanie.

1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).

Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rozwiązanie.

1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2. i 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zabezpieczmy materiał.

Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2 .

Rozwiązanie.

1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Aby dokonać faktoryzacji, konieczne jest uproszczenie wyrażeń. Jest to konieczne, aby można było je jeszcze bardziej zmniejszyć. Rozszerzanie wielomianu ma sens, gdy jego stopień jest nie mniejszy niż dwa. Wielomian pierwszego stopnia nazywa się liniowym.

Yandex.RTB R-A-339285-1

W artykule omówione zostaną wszystkie pojęcia rozkładu, podstawy teoretyczne i metody rozkładu wielomianu na czynniki.

Teoria

Twierdzenie 1

Gdy dowolny wielomian o stopniu n, mający postać P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, są reprezentowane jako iloczyn ze stałym współczynnikiem o najwyższym stopniu a n i n współczynników liniowych (x - x i), i = 1, 2, ..., n, następnie P n (x) = za n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , gdzie x i, i = 1, 2, …, n są pierwiastkami wielomianu.

Twierdzenie dotyczy pierwiastków typ złożony x i, i = 1, 2, …, n oraz dla współczynników zespolonych a k, k = 0, 1, 2, …, n. To jest podstawa każdego rozkładu.

Gdy współczynniki postaci a k, k = 0, 1, 2, …, n są liczbami rzeczywistymi, wówczas pierwiastki zespolone wystąpią w parach sprzężonych. Na przykład pierwiastki x 1 i x 2 odnoszą się do wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 uważa się za sprzężenie zespolone, wówczas pozostałe pierwiastki są rzeczywiste, z czego otrzymujemy, że wielomian przyjmuje postać P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, gdzie x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Komentarz

Pierwiastki wielomianu można powtarzać. Rozważmy dowód twierdzenia o algebrze, będący konsekwencją twierdzenia Bezouta.

Podstawowe twierdzenie algebry

Twierdzenie 2

Każdy wielomian o stopniu n ma co najmniej jeden pierwiastek.

Twierdzenie Bezouta

Po podzieleniu wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), wtedy otrzymujemy resztę, która jest równa wielomianowi w punkcie s, wtedy otrzymujemy

P. n x = za n x n + za n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , gdzie Q n - 1 (x) jest wielomianem o stopniu n - 1.

Wniosek z twierdzenia Bezouta

Gdy pierwiastek wielomianu P n (x) uznamy za s, wówczas P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ten wniosek jest wystarczający, jeśli zostanie użyty do opisania rozwiązania.

Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy postaci a x 2 + b x + c można rozłożyć na czynniki liniowe. wtedy otrzymujemy, że a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami (zespolonymi lub rzeczywistymi).

To pokazuje, że samo rozwinięcie sprowadza się do późniejszego rozwiązania równania kwadratowego.

Przykład 1

Przeprowadzić rozkład trójmian kwadratowy przez mnożniki.

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby to zrobić, musisz znaleźć wartość dyskryminatora za pomocą wzoru, a następnie otrzymamy D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Stąd mamy to

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Z tego otrzymujemy, że 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Aby przeprowadzić kontrolę, należy otworzyć nawiasy. Otrzymujemy wówczas wyrażenie w postaci:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Po sprawdzeniu dochodzimy do pierwotnego wyrażenia. Oznacza to, że możemy stwierdzić, że rozkład został przeprowadzony prawidłowo.

Przykład 2

Uwzględnij trójmian kwadratowy postaci 3 x 2 - 7 x - 11 .

Rozwiązanie

Uważamy, że konieczne jest obliczenie powstałego równania kwadratowego w postaci 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Aby znaleźć pierwiastki, musisz określić wartość dyskryminatora. Rozumiemy to

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Z tego otrzymujemy, że 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Przykład 3

Rozłóż wielomian na czynniki 2 x 2 + 1.

Rozwiązanie

Teraz musimy rozwiązać równanie kwadratowe 2 x 2 + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki. Rozumiemy to

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ja x 2 = - 1 2 = - 1 2 ja

Pierwiastki te nazywane są koniugatem złożonym, co oznacza, że ​​samo rozwinięcie można przedstawić jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Przykład 4

Rozłóż trójmian kwadratowy x 2 + 1 3 x + 1 .

Rozwiązanie

Najpierw musisz rozwiązać równanie kwadratowe w postaci x 2 + 1 3 x + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 re = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + re 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · ja 6 = - 1 6 + 35 6 · ja x 2 = - 1 3 - re 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ja 2 = - 1 - 35 · ja 6 = - 1 6 - 35 6 · ja

Po uzyskaniu korzeni piszemy

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 ja = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 ja

Komentarz

Jeśli wartość wyróżnika jest ujemna, wówczas wielomiany pozostaną wielomianami drugiego rzędu. Wynika z tego, że nie będziemy ich rozszerzać na czynniki liniowe.

Metody rozkładu na czynniki wielomianu stopnia wyższego niż dwa

Podczas rozkładu zakłada się metodę uniwersalną. Większość przypadków opiera się na następstwie twierdzenia Bezouta. Aby to zrobić, musisz wybrać wartość pierwiastka x 1 i zmniejszyć jego stopień, dzieląc przez wielomian przez 1, dzieląc przez (x - x 1). Powstały wielomian musi znaleźć pierwiastek x 2, a proces wyszukiwania jest cykliczny, aż do uzyskania pełnego rozwinięcia.

Jeśli pierwiastek nie zostanie znaleziony, stosuje się inne metody faktoryzacji: grupowanie, terminy dodatkowe. Temat ten dotyczy rozwiązywania równań o wyższych potęgach i współczynnikach całkowitych.

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

Rozważmy przypadek, gdy wolny wyraz jest równy zero, wówczas wielomian ma postać P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1x .

Można zauważyć, że pierwiastek takiego wielomianu będzie równy x 1 = 0, wówczas wielomian można przedstawić jako wyrażenie P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + za 1 x = = x (za n x n - 1 + za n - 1 x n - 2 + . . . + za 1)

Uważa się, że metoda ta polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów.

Przykład 5

Rozłóż na czynniki wielomian trzeciego stopnia 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Rozwiązanie

Widzimy, że x 1 = 0 jest pierwiastkiem danego wielomianu, wówczas możemy usunąć x z nawiasów całego wyrażenia. Otrzymujemy:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Przejdźmy do znalezienia pierwiastków kwadratowego trójmianu 4 x 2 + 8 x - 1. Znajdźmy dyskryminator i pierwiastki:

re = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + re 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - re 2 4 = - 1 - 5 2

Potem to następuje

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Na początek rozważmy metodę dekompozycji zawierającą współczynniki całkowite postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, gdzie współczynnik najwyższego stopnia wynosi 1.

Kiedy wielomian ma pierwiastki całkowite, wówczas uważa się je za dzielniki wyrazu wolnego.

Przykład 6

Rozłóż wyrażenie f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Rozwiązanie

Zastanówmy się, czy istnieją pełne korzenie. Konieczne jest zapisanie dzielników liczby - 18. Otrzymujemy, że ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Wynika z tego, że ten wielomian ma pierwiastki całkowite. Można to sprawdzić korzystając ze schematu Hornera. Jest to bardzo wygodne i pozwala szybko uzyskać współczynniki rozszerzalności wielomianu:

Wynika z tego, że x = 2 i x = - 3 są pierwiastkami pierwotnego wielomianu, który można przedstawić jako iloczyn postaci:

fa (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Przystępujemy do rozwinięcia trójmianu kwadratowego postaci x 2 + 2 x + 3.

Ponieważ dyskryminator jest ujemny, oznacza to, że nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Odpowiedź: fa (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentarz

Zamiast schematu Hornera można zastosować selekcję pierwiastkową i dzielenie wielomianu przez wielomian. Przejdźmy do rozważenia rozwinięcia wielomianu zawierającego współczynniki całkowite postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z których najwyższy jest równy jeden.

Ten przypadek ma miejsce w przypadku ułamków wymiernych.

Przykład 7

Rozłóż na czynniki f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Rozwiązanie

Należy zastąpić zmienną y = 2 x, należy przejść do wielomianu o współczynnikach równych 1 w najwyższym stopniu. Musisz zacząć od pomnożenia wyrażenia przez 4. Rozumiemy to

4 fa (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Gdy wynikowa funkcja postaci g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ma pierwiastki całkowite, wówczas ich położenie należy do dzielników terminu wolnego. Wpis będzie wyglądał następująco:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Przejdźmy do obliczenia funkcji g (y) w tych punktach, aby w rezultacie otrzymać zero. Rozumiemy to

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Stwierdzamy, że y = - 5 jest pierwiastkiem równania postaci y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, co oznacza, że ​​x = y 2 = - 5 2 jest pierwiastkiem pierwotnej funkcji.

Przykład 8

Konieczne jest podzielenie kolumną 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 przez x + 5 2.

Rozwiązanie

Zapiszmy to i otrzymamy:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Sprawdzanie dzielników zajmie dużo czasu, dlatego bardziej opłaca się rozłożyć na czynniki powstały trójmian kwadratowy postaci x 2 + 7 x + 3. Przyrównując do zera, znajdujemy dyskryminator.

x 2 + 7 x + 3 = 0 re = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Wynika, że

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Sztuczne techniki rozkładu wielomianu na czynniki

Pierwiastki wymierne nie są nieodłączne dla wszystkich wielomianów. Aby to zrobić, musisz użyć specjalnych metod wyszukiwania czynników. Ale nie wszystkie wielomiany można rozwinąć lub przedstawić jako iloczyn.

Metoda grupowania

W niektórych przypadkach można zgrupować wyrazy wielomianu, aby znaleźć wspólny czynnik i wyjąć go z nawiasów.

Przykład 9

Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Rozwiązanie

Ponieważ współczynniki są liczbami całkowitymi, pierwiastki mogą prawdopodobnie być również liczbami całkowitymi. Aby to sprawdzić, weź wartości 1, - 1, 2 i - 2, aby obliczyć wartość wielomianu w tych punktach. Rozumiemy to

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

To pokazuje, że nie ma korzeni, konieczne jest zastosowanie innej metody rozwinięcia i rozwiązania.

Należy pogrupować:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Po zgrupowaniu pierwotnego wielomianu należy go przedstawić jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych. Aby to zrobić, musimy dokonać faktoryzacji. rozumiemy to

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 re = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentarz

Prostota grupowania nie oznacza, że ​​wybór terminów jest dość łatwy. Nie ma określonej metody rozwiązania, dlatego konieczne jest stosowanie specjalnych twierdzeń i reguł.

Przykład 10

Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Rozwiązanie

Podany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Terminy należy pogrupować. Rozumiemy to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Po faktoryzacji otrzymujemy to

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Używanie skróconych wzorów na mnożenie i dwumianu Newtona do rozkładu wielomianu na czynniki

Wygląd często nie zawsze wyjaśnia, jaką metodę należy zastosować podczas rozkładu. Po dokonaniu przekształceń można zbudować prostą składającą się z trójkąta Pascala, w innym przypadku nazywa się je dwumianem Newtona.

Przykład 11

Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Rozwiązanie

Konieczne jest przekształcenie wyrażenia do formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Kolejność współczynników sumy w nawiasach jest oznaczona wyrażeniem x + 1 4 .

Oznacza to, że mamy x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Po zastosowaniu różnicy kwadratów otrzymujemy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Rozważ wyrażenie znajdujące się w drugim nawiasie. Wiadomo, że tam nie ma rycerzy, dlatego warto ponownie zastosować wzór na różnicę kwadratów. Otrzymujemy wyrażenie formy

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Przykład 12

Rozłóż na czynniki x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Rozwiązanie

Zacznijmy przekształcać wyrażenie. Rozumiemy to

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone pomnożenie różnicy kostek. Otrzymujemy:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metoda zastępowania zmiennej podczas rozkładu wielomianu na czynniki

Podczas zastępowania zmiennej stopień jest zmniejszany, a wielomian jest uwzględniany.

Przykład 13

Rozłóż wielomian w postaci x 6 + 5 x 3 + 6 .

Rozwiązanie

Zgodnie z warunkiem jasne jest, że konieczne jest dokonanie zamiany y = x 3. Otrzymujemy:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Zatem pierwiastki powstałego równania kwadratowego wynoszą y = - 2 i y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone mnożenie sumy kostek. Otrzymujemy wyrażenia postaci:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Oznacza to, że uzyskaliśmy pożądany rozkład.

Przypadki omówione powyżej pomogą w rozważaniu i rozkładaniu wielomianu na czynniki na różne sposoby.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rozszerzanie wielomianów w celu uzyskania iloczynu może czasami wydawać się mylące. Ale nie jest to takie trudne, jeśli zrozumiesz proces krok po kroku. W artykule opisano szczegółowo sposób rozkładania na czynniki trójmianu kwadratowego.

Wiele osób nie rozumie, jak rozłożyć na czynniki trójmian kwadratowy i dlaczego to się robi. Na początku może się to wydawać daremnym ćwiczeniem. Ale w matematyce nic nie robi się bez powodu. Transformacja jest konieczna, aby uprościć wyrażenie i ułatwić obliczenia.

Wielomian postaci – ax²+bx+c, zwany trójmianem kwadratowym. Termin „a” musi być ujemny lub dodatni. W praktyce wyrażenie to nazywa się równaniem kwadratowym. Dlatego czasami mówią inaczej: jak rozwinąć równanie kwadratowe.

Ciekawy! Wielomian nazywa się kwadratem ze względu na jego największy stopień – kwadrat. I trójmian - ze względu na 3 składniki.

Niektóre inne typy wielomianów:

• dwumian liniowy (6x+8);
• sześcienny czteromian (x³+4x²-2x+9).

Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Najpierw wyrażenie jest równe zero, następnie musisz znaleźć wartości pierwiastków x1 i x2. Może nie być korzeni, może być jeden lub dwa korzenie. Obecność korzeni jest określana przez dyskryminator. Trzeba znać na pamięć jego wzór: D=b²-4ac.

Jeśli wynik D jest ujemny, nie ma pierwiastków. Jeśli jest dodatni, istnieją dwa pierwiastki. Jeśli wynik wynosi zero, pierwiastek wynosi jeden. Korzenie są również obliczane za pomocą wzoru.

Jeżeli przy obliczaniu dyskryminatora wynik wynosi zero, możesz użyć dowolnego ze wzorów. W praktyce wzór jest po prostu skracany: -b/2a.

Formuły dla różne znaczenia dyskryminatory różnią się.

Jeśli D jest dodatnie:

Jeśli D wynosi zero:

Kalkulatory internetowe

W Internecie jest kalkulator internetowy. Można go wykorzystać do przeprowadzenia faktoryzacji. Niektóre zasoby umożliwiają obejrzenie rozwiązania krok po kroku. Takie usługi pomagają lepiej zrozumieć temat, ale trzeba się postarać, aby dobrze go zrozumieć.

Przydatne wideo: Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Przykłady

Zapraszamy do oglądania proste przykłady, jak rozłożyć na czynniki równanie kwadratowe.

Przykład 1

To wyraźnie pokazuje, że wynikiem są dwa x, ponieważ D jest dodatnie. Należy je zastąpić we wzorze. Jeśli pierwiastki okażą się ujemne, znak we wzorze zmienia się na przeciwny.

Znamy wzór na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego: a(x-x1)(x-x2). Wartości umieszczamy w nawiasach: (x+3)(x+2/3). W potędze nie ma liczby przed wyrazem. Oznacza to, że tam jest jeden, spada.

Przykład 2

Ten przykład wyraźnie pokazuje, jak rozwiązać równanie, które ma jeden pierwiastek.

Wynikową wartość zastępujemy:

Przykład 3

Dane: 5x²+3x+7

Najpierw obliczmy dyskryminator, tak jak w poprzednich przypadkach.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Dyskryminator jest ujemny, co oznacza, że ​​nie ma pierwiastków.

Po otrzymaniu wyniku należy otworzyć nawiasy i sprawdzić wynik. Powinien pojawić się oryginalny trójmian.

Alternatywne rozwiązanie

Niektórzy ludzie nigdy nie byli w stanie zaprzyjaźnić się z osobą dyskryminującą. Istnieje inny sposób rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego. Dla wygody metodę pokazano na przykładzie.

Dane: x²+3x-10

Wiemy, że powinniśmy otrzymać 2 nawiasy: (_)(_). Gdy wyrażenie wygląda tak: x²+bx+c, na początku każdego nawiasu umieszczamy x: (x_)(x_). Pozostałe dwie liczby to iloczyn dający „c”, czyli w tym przypadku -10. Jedynym sposobem, aby dowiedzieć się, jakie to liczby, jest selekcja. Podstawione liczby muszą odpowiadać pozostałemu wyrazowi.

Na przykład pomnożenie następujących liczb daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. NIE.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. NIE.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. NIE.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Pasuje.

Oznacza to, że transformacja wyrażenia x2+3x-10 wygląda następująco: (x-2)(x+5).

Ważny! Należy uważać, aby nie pomylić znaków.

Rozwinięcie złożonego trójmianu

Jeśli „a” jest większe niż jeden, zaczynają się trudności. Ale wszystko nie jest tak trudne, jak się wydaje.

Aby dokonać rozkładu na czynniki, najpierw musisz sprawdzić, czy cokolwiek można rozłożyć na czynniki.

Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie: 3x²+9x-30. Tutaj liczba 3 jest wyjęta z nawiasów:

3(x²+3x-10). Rezultatem jest już dobrze znany trójmian. Odpowiedź wygląda następująco: 3(x-2)(x+5)

Jak rozłożyć, jeśli wyraz znajdujący się w kwadracie jest ujemny? W w tym przypadku Liczba -1 jest usuwana z nawiasów. Na przykład: -x²-10x-8. Wyrażenie będzie wówczas wyglądało następująco:

Schemat niewiele różni się od poprzedniego. Jest tylko kilka nowości. Załóżmy, że podane jest wyrażenie: 2x²+7x+3. Odpowiedź jest również zapisana w 2 nawiasach, które należy wypełnić (_) (_). W drugim nawiasie zapisano x, a w pierwszym to, co zostało. Wygląda to tak: (2x_)(x_). W przeciwnym razie poprzedni schemat zostanie powtórzony.

Liczba 3 jest dana liczbami:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Równania rozwiązujemy podstawiając te liczby. Ostatnia opcja jest odpowiednia. Oznacza to, że transformacja wyrażenia 2x²+7x+3 wygląda następująco: (2x+1)(x+3).

Inne przypadki

Nie zawsze jest możliwa konwersja wyrażenia. W przypadku drugiej metody rozwiązanie równania nie jest wymagane. Natomiast możliwość przekształcenia terminów w iloczyn sprawdza się jedynie poprzez dyskryminator.

Warto poćwiczyć, żeby podjąć decyzję równania kwadratowe aby nie było żadnych trudności przy stosowaniu formuł.

Przydatne wideo: rozkład na czynniki trójmianu

Wniosek

Możesz go wykorzystać w dowolny sposób. Ale lepiej ćwiczyć jedno i drugie, aż staną się automatyczne. Nauczenie się dobrego rozwiązywania równań kwadratowych i wielomianów czynnikowych jest niezbędne dla tych, którzy planują związać swoje życie z matematyką. Na tym opierają się wszystkie poniższe tematy matematyczne.

Pojęcia „wielomianu” i „faktoryzacji wielomianu” w algebrze spotyka się bardzo często, ponieważ trzeba je znać, aby łatwo przeprowadzić obliczenia z dużymi liczby wielocyfrowe. W tym artykule opisano kilka metod rozkładu. Wszystkie są dość łatwe w użyciu, wystarczy wybrać odpowiedni dla każdego konkretnego przypadku.

Pojęcie wielomianu

Wielomian to suma jednomianów, czyli wyrażeń zawierających jedynie operację mnożenia.

Na przykład 2 * x * y jest jednomianem, ale 2 * x * y + 25 jest wielomianem składającym się z 2 jednomianów: 2 * x * y i 25. Takie wielomiany nazywane są dwumianami.

Czasami dla wygody rozwiązywania przykładów z wartościami wielowartościowymi wyrażenie musi zostać przekształcone, na przykład rozłożone na określoną liczbę czynników, czyli liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi wykonywana jest akcja mnożenia. Istnieje wiele sposobów rozkładu wielomianu na czynniki. Warto je rozważyć, zaczynając od tego najbardziej prymitywnego, jakiego używa się w szkole podstawowej.

Grupowanie (zapis w formie ogólnej)

Wzór na rozkład wielomianu na czynniki metodą grupowania ogólna perspektywa wygląda tak:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Konieczne jest pogrupowanie jednomianów tak, aby każda grupa miała wspólny dzielnik. W pierwszym nawiasie jest to współczynnik c, a w drugim - d. Należy to zrobić, aby następnie wysunąć go z nawiasu, upraszczając w ten sposób obliczenia.

Algorytm dekompozycji na konkretnym przykładzie

Najprostszy przykład rozkładu wielomianu na czynniki przy użyciu metody grupowania podano poniżej:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

W pierwszym nawiasie należy wziąć terminy z czynnikiem a, który będzie powszechny, a w drugim - z czynnikiem b. Zwróć uwagę na znaki + i - w gotowym wyrażeniu. Przed jednomianem stawiamy znak, który był w wyrażeniu początkowym. Oznacza to, że musisz pracować nie z wyrażeniem 25a, ale z wyrażeniem -25. Znak minus wydaje się być „przyklejony” do wyrażenia, które się za nim kryje i zawsze brany pod uwagę przy obliczeniach.

W następnym kroku musisz wyjąć mnożnik, który jest powszechny, z nawiasów. Właśnie do tego służy grupowanie. Umieścić poza nawiasem oznacza wpisać przed nawiasem (pomijając znak mnożenia) wszystkie te czynniki, które dokładnie powtarzają się we wszystkich wyrazach znajdujących się w nawiasie. Jeśli w nawiasie nie ma 2, ale 3 lub więcej wyrazów, wspólny czynnik musi być zawarty w każdym z nich, w przeciwnym razie nie można go usunąć z nawiasu.

W naszym przypadku w nawiasach znajdują się tylko 2 wyrazy. Ogólny mnożnik jest natychmiast widoczny. W pierwszym nawiasie jest to a, w drugim b. Tutaj należy zwrócić uwagę na współczynniki cyfrowe. W pierwszym nawiasie oba współczynniki (10 i 25) są wielokrotnościami 5. Oznacza to, że z nawiasu można wyjąć nie tylko a, ale także 5a. Przed nawiasem wpisz 5a, a następnie podziel każdy wyraz w nawiasie przez wyjęty wspólny czynnik, a także wpisz iloraz w nawiasie, nie zapominając o znakach + i -. To samo zrób z drugim nawiasem, usuń 7b, a także 14 i 35 wielokrotności 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Mamy 2 wyrazy: 5a(2c - 5) i 7b(2c - 5). Każdy z nich zawiera wspólny czynnik (całe wyrażenie w nawiasie jest tutaj takie samo, czyli jest to czynnik wspólny): 2c - 5. To też trzeba wyjąć z nawiasu, czyli człony 5a i 7b pozostają w drugim nawiasie:

5a(2c – 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5a + 7b).

Zatem pełne wyrażenie to:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Zatem wielomian 10ac + 14bc - 25a - 35b rozkłada się na 2 czynniki: (2c - 5) i (5a + 7b). Znak mnożenia między nimi można pominąć podczas pisania

Czasami zdarzają się wyrażenia tego typu: 5a 2 + 50a 3, tutaj można wyjąć z nawiasów nie tylko a czy 5a, ale nawet 5a 2. Zawsze powinieneś próbować wyjąć największy wspólny dzielnik z nawiasu. W naszym przypadku, jeśli podzielimy każdy wyraz przez wspólny czynnik, otrzymamy:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(przy obliczaniu ilorazu kilku potęg o równych podstawach podstawa zostaje zachowana, a wykładnik odejęty). Zatem jednostka pozostaje w nawiasie (w żadnym wypadku nie zapomnij jej zapisać, jeśli usuniesz jedno z wyrazów z nawiasu), a iloraz dzielenia: 10a. Okazało się, że:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formuły kwadratowe

Dla ułatwienia obliczeń wyprowadzono kilka wzorów. Nazywa się je skróconymi wzorami na mnożenie i są one używane dość często. Wzory te pomagają rozłożyć wielomiany zawierające potęgi. To jest kolejny efektywny sposób faktoryzacja. Oto one:

• za 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - wzór zwany „kwadratem sumy”, ponieważ w wyniku rozkładu na kwadrat pobierana jest suma liczb zawartych w nawiasach, to znaczy wartość tej sumy jest mnożona przez siebie 2 razy, a zatem jest mnożnik.
• za 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - wzór na kwadrat różnicy, jest podobny do poprzedniego. Wynik jest różnicą ujętą w nawiasy, zawartą w potędze kwadratowej.
• za 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- jest to wzór na różnicę kwadratów, ponieważ początkowo wielomian składa się z 2 kwadratów liczb lub wyrażeń, pomiędzy którymi wykonywane jest odejmowanie. Być może z trzech wymienionych jest on używany najczęściej.

Przykłady obliczeń z wykorzystaniem wzorów kwadratowych

Obliczenia dla nich są dość proste. Na przykład:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - użyj wzoru „kwadrat sumy”.
2. 25x2 to kwadrat 5x. 20xy to podwójny iloczyn 2*(5x*2y), a 4y 2 to kwadrat 2y.
3. Zatem 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Wielomian ten rozkłada się na 2 czynniki (czynniki są takie same, więc jest zapisywany jako wyrażenie z potęgą kwadratową).

Działania wykorzystujące wzór na różnicę kwadratową przeprowadza się analogicznie do powyższych. Pozostała formuła to różnica kwadratów. Przykłady tej formuły są bardzo łatwe do zdefiniowania i znalezienia wśród innych wyrażeń. Na przykład:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Ponieważ 25a 2 = (5a) 2 i 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 lat 2 = (6x - 5 lat) (6x + 5 lat). Ponieważ 36x 2 = (6x) 2 i 25 lat 2 = (5 lat 2)
• do 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Ponieważ 169b 2 = (13b) 2

Ważne jest, aby każdy z terminów był kwadratem jakiegoś wyrażenia. Następnie wielomian ten należy rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. W tym celu nie jest konieczne, aby drugi stopień był wyższy od liczby. Istnieją wielomiany, które zawierają duże stopnie, ale nadal pasują do tych wzorów.

za 8 +10a 4 +25 = (za 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (za 4 +5) 2

W tym przykładzie 8 można przedstawić jako (4) 2, czyli kwadrat określonego wyrażenia. 25 to 5 2, a 10a to 4 - jest to podwójny iloczyn wyrażeń 2 * a 4 * 5. Oznacza to, że wyrażenie to, pomimo obecności stopni z dużymi wykładnikami, można rozłożyć na 2 czynniki, aby później z nimi pracować.

Formuły kostki

Te same wzory istnieją dla rozkładu na czynniki wielomianów zawierających kostki. Są nieco bardziej skomplikowane niż te z kwadratami:

• za 3 + b 3 = (a + b)(za 2 - ab + b 2)- ten wzór nazywa się sumą kostek, ponieważ w swojej początkowej formie wielomian jest sumą dwóch wyrażeń lub liczb zamkniętych w sześcianie.
• za 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - wzór identyczny z poprzednim oznaczono jako różnicę kostek.
• za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - sześcian sumy, w wyniku obliczeń sumę liczb lub wyrażeń podaje się w nawiasach i mnoży się przez siebie 3 razy, czyli umieszcza się w sześcianie
• za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - wzór, opracowany przez analogię do poprzedniego, zmieniający tylko niektóre znaki operacji matematycznych (plus i minus), nazywany jest „kostką różnicową”.

Dwa ostatnie wzory praktycznie nie są używane do rozkładu wielomianu na czynniki, ponieważ są złożone i na tyle rzadko zdarza się znaleźć wielomiany, które w pełni odpowiadają dokładnie tej strukturze, aby można je było rozłożyć na czynniki za pomocą tych wzorów. Ale nadal musisz je znać, ponieważ będą wymagane podczas działania w przeciwnym kierunku - podczas otwierania nawiasów.

Przykłady wzorów sześciennych

Spójrzmy na przykład: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Brane są tutaj dość proste liczby, więc od razu widać, że 64a 3 to (4a) 3, a 8b 3 to (2b) 3. Zatem ten wielomian jest rozwijany zgodnie ze wzorem różnica sześcianów na 2 czynniki. Działania wykorzystujące wzór na sumę kostek przeprowadza się analogicznie.

Ważne jest, aby zrozumieć, że nie wszystkie wielomiany można rozwinąć przynajmniej w jeden sposób. Istnieją jednak wyrażenia, które zawierają większe potęgi niż kwadrat czy sześcian, ale można je również rozwinąć w skrócone formy mnożenia. Na przykład: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 - 5x 4 lata + 25 lat 2).

Ten przykład zawiera aż 12 stopień. Ale nawet to można rozłożyć na czynniki, korzystając ze wzoru na sumę kostek. Aby to zrobić, musisz wyobrazić sobie x 12 jako (x 4) 3, to znaczy jako sześcian jakiegoś wyrażenia. Teraz zamiast a musisz go zastąpić we wzorze. Cóż, wyrażenie 125y 3 jest sześcianem 5y. Następnie należy skomponować produkt za pomocą wzoru i wykonać obliczenia.

Na początek lub w razie wątpliwości zawsze możesz sprawdzić przez odwrotne mnożenie. Wystarczy otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu i wykonać działania z podobnymi terminami. Metodę tę można zastosować do wszystkich wymienionych metod redukcji: zarówno do pracy ze wspólnym czynnikiem i grupowaniem, jak i do pracy ze wzorami na sześciany i potęgi kwadratowe.

Rozkładanie równania na czynniki to proces znajdowania terminów lub wyrażeń, które po pomnożeniu prowadzą do równania początkowego. Rozkładanie na czynniki jest przydatną umiejętnością przy rozwiązywaniu podstawowych problemów algebry i staje się niemal niezbędne podczas pracy z równaniami kwadratowymi i innymi wielomianami. Faktoring służy do upraszczania równań algebraicznych, aby ułatwić ich rozwiązanie. Faktoring może pomóc Ci wyeliminować pewne możliwe odpowiedzi szybciej niż w przypadku ręcznego rozwiązywania równania.

Kroki

Rozkładanie liczb na czynniki i podstawowe wyrażenia algebraiczne

1. Faktoring liczb. Koncepcja faktoryzacji jest prosta, ale w praktyce faktoryzacja może być nie jest to łatwe zadanie(jeśli podano złożone równanie). Zatem najpierw przyjrzyjmy się koncepcji faktoringu na przykładzie liczb, kontynuujmy proste równania, a następnie przejdźmy do złożonych równań. Mnożniki podany numer- Są to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ponieważ 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Podobnie możesz myśleć o czynnikach liczby jak o jej dzielnikach, czyli liczbach, przez które dana liczba jest podzielna.
   • Znajdź wszystkie czynniki liczby 60. Często używamy liczby 60 (na przykład 60 minut w godzinę, 60 sekund w minucie itp.) i liczba ta jest dość duża liczba mnożniki.
     • 60 mnożników: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Pamiętać: terminy wyrażenia zawierającego współczynnik (liczbę) i zmienną można również rozłożyć na czynniki. Aby to zrobić, znajdź współczynniki współczynnika dla zmiennej. Wiedząc, jak rozłożyć składniki równań, możesz łatwo uprościć to równanie.

   • Na przykład wyraz 12x można zapisać jako iloczyn 12 i x. Możesz także zapisać 12x jako 3(4x), 2(6x) itd., rozkładając 12 na czynniki, które najlepiej dla Ciebie działają.
     • Możesz rozdawać 12x wiele razy z rzędu. Innymi słowy, nie powinieneś zatrzymywać się na 3(4x) lub 2(6x); kontynuuj rozwinięcie: 3(2(2x)) lub 2(3(2x)) (oczywiście 3(4x)=3(2(2x)), itd.)

3. Zastosuj rozdzielność mnożenia do równań algebraicznych na czynniki. Wiedząc, jak rozkładać na czynniki liczby i terminy wyrażeń (współczynniki ze zmiennymi), możesz uprościć proste równania algebraiczne, znajdując wspólny czynnik liczby i terminu wyrażenia. Zazwyczaj, aby uprościć równanie, należy znaleźć największy wspólny czynnik (NWD). Uproszczenie to jest możliwe dzięki własność rozdzielcza mnożenie: dla dowolnych liczb a, b, c prawdziwa jest równość a(b+c) = ab+ac.

   • Przykład. Rozważ równanie 12x + 6. Najpierw znajdź gcd 12x i 6. 6 to największa liczba, który dzieli zarówno 12x, jak i 6, więc możesz rozłożyć to równanie na: 6(2x+1).
   • Proces ten jest również prawdziwy w przypadku równań, które mają wyrazy ujemne i ułamkowe. Na przykład x/2+4 można rozłożyć na 1/2(x+8); na przykład -7x+(-21) można rozłożyć na czynniki -7(x+3).

   Rozkładanie na czynniki równań kwadratowych

   1. Upewnij się, że równanie jest podane w postaci kwadratowej (ax 2 + bx + c = 0). Równania kwadratowe mają postać: ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są współczynnikami numerycznymi różnymi od 0. Jeśli mamy równanie z jedną zmienną (x) i w równaniu tym występuje jeden lub więcej wyrazów w przypadku zmiennej drugiego rzędu możesz przenieść wszystkie wyrazy równania na jedną stronę równania i ustawić je na zero.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Można to przekształcić w równanie x 2 + 6x + 9 = 0, które jest równaniem kwadratowym.
      • Równania ze zmienną x dużych rzędów, na przykład x 3, x 4 itp. nie są równaniami kwadratowymi. Są to równania sześcienne, równania czwartego rzędu i tak dalej (chyba że takie równania można uprościć do równań kwadratowych ze zmienną x podniesioną do potęgi 2).

   2. Równania kwadratowe, gdzie a = 1, rozkładamy na (x+d)(x+e), gdzie d*e=c i d+e=b. Jeśli podane przez Ciebie równanie kwadratowe ma postać: x 2 + bx + c = 0 (czyli współczynnik x 2 wynosi 1), to takie równanie można (ale nie jest to gwarantowane) rozszerzyć na powyższe czynniki. Aby to zrobić, musisz znaleźć dwie liczby, które po pomnożeniu dają „c”, a po dodaniu „b”. Gdy już znajdziesz te dwie liczby (d i e), podstaw je do następującego wyrażenia: (x+d)(x+e), co po otwarciu nawiasów prowadzi do pierwotnego równania.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie kwadratowe x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, więc możesz rozłożyć to równanie na (x+3)(x+2).
      • W przypadku terminów ujemnych wprowadź następujące drobne zmiany w procesie faktoryzacji:
        • Jeżeli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx+c, to rozwija się w: (x-_)(x-_).
        • Jeśli równanie kwadratowe ma postać x 2 -bx-c, to rozwija się w: (x+_)(x-_).
      • Uwaga: Spacje można zastąpić ułamkami zwykłymi lub dziesiętnymi. Na przykład równanie x 2 + (21/2)x + 5 = 0 jest rozwinięte do (x+10)(x+1/2).

   3. Faktoryzacja metodą prób i błędów. Proste równania kwadratowe można rozłożyć na czynniki, po prostu podstawiając liczby do możliwe rozwiązania dopóki nie znajdziesz dobra decyzja. Jeżeli równanie ma postać ax 2 +bx+c, gdzie a>1, możliwe rozwiązania zapisuje się w postaci (dx +/- _)(ex +/- _), gdzie d i e są niezerowymi współczynnikami liczbowymi , które po pomnożeniu dają a. Albo d, albo e (lub oba współczynniki) mogą być równe 1. Jeśli oba współczynniki są równe 1, użyj metody opisanej powyżej.

      • Na przykład, biorąc pod uwagę równanie 3x 2 - 8x + 4. Tutaj 3 ma tylko dwa współczynniki (3 i 1), więc możliwe rozwiązania są zapisywane jako (3x +/- _)(x +/- _). W tym przypadku, zastępując spacje -2, znajdziesz poprawną odpowiedź: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, czyli takie rozwinięcie przy otwieraniu nawiasów doprowadzi do wyrazów pierwotnego równania.