Przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii, mechaniki, fizyki i innych dziedzin wiedzy pojawiła się potrzeba wykorzystania tego samego procesu analitycznego z tej funkcji y=f(x) uzyskać nową funkcję o nazwie funkcja pochodna(lub po prostu pochodna) danej funkcji f(x) i jest oznaczony symbolem

Proces, w wyniku którego z danej funkcji k(x) uzyskać nową funkcję f” (x), zwany różnicowanie i składa się z trzech następujących kroków: 1) podać argument X przyrost  X i wyznacz odpowiedni przyrost funkcji  y = f(x+ x) -f(x); 2) stworzyć relację

3) liczenie X stałe i  X0, znajdujemy
, które oznaczamy przez f” (x), jakby podkreślając, że wynikowa funkcja zależy tylko od wartości X, przy czym dochodzimy do limitu. Definicja: Pochodna y " =f " (x) dana funkcja y=f(x) dla danego x nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że przyrost argumentu dąży do zera, jeśli oczywiście ta granica istnieje, tj. skończone. Zatem,
, Lub

Zauważ, że jeśli dla jakiejś wartości X, na przykład kiedy x=a, postawa
Na  X0 nie dąży do granicy skończonej, wówczas w tym przypadku mówi się, że funkcja k(x) Na x=a(lub w punkcie x=a) nie ma pochodnej lub nie jest różniczkowalna w punkcie x=a.

2. Znaczenie geometryczne pochodnej.

Rozważmy wykres funkcji y = f (x), różniczkowalnej w pobliżu punktu x 0

k(x)

Rozważmy dowolną linię prostą przechodzącą przez punkt na wykresie funkcji - punkt A(x 0, f (x 0)) i przecinającą wykres w pewnym punkcie B(x;f(x)). Taka prosta (AB) nazywana jest sieczną. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Wół, następnie ALO = BAC = β (odpowiednio dla równoległości). Ale ALO jest kątem nachylenia siecznej AB do dodatniego kierunku osi Wół. Oznacza to, że tanβ = k jest nachyleniem prostej AB.

Teraz zmniejszymy ∆х, tj. ∆х → 0. W tym przypadku punkt B zbliży się do punktu A zgodnie z wykresem, a sieczna AB będzie się obracać. Położeniem granicznym siecznej AB w punkcie ∆x → 0 będzie linia prosta (a), zwana styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie A.

Jeśli dojdziemy do granicy jako ∆x → 0 w równości tgβ =∆y/∆x, otrzymamy
ortg =f "(x 0), ponieważ
-kąt nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi Ox
z definicji pochodnej. Ale tg = k jest współczynnikiem kątowym stycznej, co oznacza k = tg = f „(x 0).

Zatem geometryczne znaczenie pochodnej jest następujące:

Pochodna funkcji w punkcie x 0 równy nachylenie styczna do wykresu funkcji narysowanego w punkcie z odciętą x 0 .

3. Znaczenie fizyczne pochodnej.

Rozważmy ruch punktu po linii prostej. Niech będzie podana współrzędna punktu w dowolnym momencie x(t). Wiadomo (z kursu fizyki), że średnia prędkość w pewnym okresie czasu jest równa stosunkowi drogi przebytej w tym okresie do czasu, czyli tj.

Vav = ∆x/∆t. Przejdźmy do granicy w ostatniej równości jako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - prędkość chwilowa w chwili t 0, ∆t → 0.

oraz lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (z definicji pochodnej).

Zatem (t) =x"(t).

Fizyczne znaczenie pochodnej jest następujące: pochodna funkcjiy = F(X) W punkcieX 0 jest szybkością zmiany funkcjiF(x) w punkcieX 0

Pochodną wykorzystuje się w fizyce do obliczania prędkości ze znanej funkcji współrzędnych w funkcji czasu oraz przyspieszenia ze znanej funkcji prędkości w funkcji czasu.

(t) = x"(t) - prędkość,

a(f) = "(t) - przyspieszenie, lub

Jeśli znane jest prawo ruchu punktu materialnego na okręgu, to można wyznaczyć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe podczas ruchu obrotowego:

φ = φ(t) - zmiana kąta w czasie,

ω = φ"(t) - prędkość kątowa,

ε = φ"(t) - przyspieszenie kątowe, czyli ε = φ"(t).

Jeśli znane jest prawo rozkładu masy niejednorodnego pręta, można znaleźć gęstość liniową niejednorodnego pręta:

m = m(x) - masa,

x  , l - długość pręta,

p = m"(x) - gęstość liniowa.

Stosując pochodną rozwiązuje się problemy z teorii sprężystości i drgań harmonicznych. Zatem zgodnie z prawem Hooke’a

F = -kx, x – współrzędna zmienna, k – współczynnik sprężystości sprężyny. Zakładając ω 2 = k/m, otrzymujemy równanie różniczkowe wahadła sprężystego x”(t) + ω 2 x(t) = 0,

gdzie ω = √k/√m częstotliwość oscylacji (l/c), k - sztywność sprężyny (H/m).

Równanie w postaci y" + ω 2 y = 0 nazywane jest równaniem oscylacji harmonicznych (mechanicznych, elektrycznych, elektromagnetycznych). Rozwiązaniem takich równań jest funkcja

y = Asin(ωt + φ 0) lub y = Acos(ωt + φ 0), gdzie

A – amplituda oscylacji, ω – częstotliwość cykliczna,

φ 0 - faza początkowa.

Co to jest pochodna?
Definicja i znaczenie funkcji pochodnej

Wielu będzie zaskoczonych nieoczekiwanym umieszczeniem tego artykułu w moim autorskim kursie na temat pochodnej funkcji jednej zmiennej i jej zastosowań. Przecież, jak to ma miejsce od czasów szkolnych: standardowy podręcznik podaje przede wszystkim definicję pochodnej, jej geometryczne, mechaniczne znaczenie. Następnie studenci znajdują pochodne funkcji z definicji i dopiero wtedy doskonalą technikę różniczkowania za pomocą tablice pochodne.

Jednak z mojego punktu widzenia bardziej pragmatyczne jest następujące podejście: przede wszystkim wskazane jest DOBRE ROZUMIENIE granica funkcji, i w szczególności, nieskończenie małe ilości. Fakt jest taki definicja pochodnej opiera się na pojęciu granicy, co jest słabo uwzględniane w kursie szkolnym. Dlatego znaczna część młodych konsumentów granitu wiedzy nie rozumie samej istoty pochodnej. Tak więc, jeśli masz niewielką wiedzę na temat rachunku różniczkowego lub mądry mózg długie lata pomyślnie pozbyłem się tego bagażu, zacznij od granice funkcji. Jednocześnie opanuj/zapamiętaj ich rozwiązanie.

Ten sam praktyczny sens podpowiada, że ​​jest to przede wszystkim korzystne naucz się znajdować pochodne, w tym pochodne funkcji złożonych. Teoria to teoria, ale jak to mówią, zawsze warto różnicować. W związku z tym lepiej przestudiować wymienione podstawowe lekcje, a może tak się stanie mistrz różnicowania nie zdając sobie nawet sprawy z istoty swoich działań.

Po przeczytaniu artykułu polecam zacząć od materiałów znajdujących się na tej stronie. Najprostsze problemy z instrumentami pochodnymi, gdzie w szczególności rozważa się problem stycznej do wykresu funkcji. Ale możesz poczekać. Faktem jest, że wiele zastosowań pochodnej nie wymaga jej zrozumienia i nic dziwnego, że lekcja teoretyczna pojawiła się dość późno – kiedy musiałem wyjaśniać znajdowanie rosnących/malejących przedziałów i ekstremów Funkcje. Co więcej, był on poruszany w tym temacie przez dość długi czas. Funkcje i wykresy”, aż w końcu zdecydowałem się umieścić to wcześniej.

Dlatego, drogie czajniki, nie spieszcie się z wchłanianiem esencji pochodnej jak głodne zwierzęta, bo nasycenie będzie bez smaku i niepełne.

Pojęcie zwiększania, zmniejszania, maksimum, minimum funkcji

Wiele pomoc naukowa doprowadziłem do koncepcji pochodnej, wykorzystując pewne problemy praktyczne, i ja też wpadłem na ciekawy przykład. Wyobraźmy sobie, że zaraz wybieramy się do miasta, do którego można dotrzeć na różne sposoby. Odrzućmy natychmiast zakrzywione, kręte ścieżki i rozważmy tylko proste autostrady. Inaczej jest jednak także w przypadku kierunków na wprost: do miasta można dojechać gładką autostradą. Lub wzdłuż pagórkowatej autostrady - w górę i w dół, w górę i w dół. Inna droga prowadzi tylko pod górę, a inna cały czas w dół. Miłośnicy ekstremalnych wrażeń wybiorą trasę przez wąwóz ze stromym klifem i stromym podjazdem.

Niezależnie jednak od preferencji, wskazane jest poznanie okolicy lub przynajmniej jej zlokalizowanie Mapa topograficzna. A co jeśli takich informacji brakuje? W końcu możesz wybrać na przykład gładką ścieżkę, ale w rezultacie natkniesz się na stok narciarski z wesołymi Finami. Nie jest faktem, że nawigator czy nawet zdjęcie satelitarne dostarczy wiarygodnych danych. Dlatego miło byłoby sformalizować relief ścieżki za pomocą matematyki.

Spójrzmy na jakąś drogę (widok z boku):

Na wszelki wypadek przypomnę elementarny fakt: podróże się zdarzają od lewej do prawej. Dla uproszczenia zakładamy, że funkcja ciągły na rozpatrywanym obszarze.

Jakie są cechy tego harmonogramu?

W przerwach funkcjonować wzrasta, czyli każda kolejna jego wartość więcej Poprzedni. Z grubsza rzecz biorąc, harmonogram jest zgodny z harmonogramem w dół w górę(wchodzimy na wzgórze). A na przedziale funkcja maleje– każda kolejna wartość mniej poprzedni, a nasz harmonogram jest włączony z góry na dół(schodzimy w dół zbocza).

Zwróćmy także uwagę na punkty specjalne. W miejscu, do którego dotrzemy maksymalny, to jest istnieje taki odcinek ścieżki, w którym wartość będzie największa (najwyższa). W tym samym momencie zostaje to osiągnięte minimum, I istnieje jego otoczenie, w którym wartość jest najmniejsza (najniższa).

Na zajęciach przyjrzymy się bardziej rygorystycznej terminologii i definicjom. o ekstremach funkcji, ale na razie przestudiujmy jeszcze jedno ważna cecha: w przerwach funkcja rośnie, ale rośnie przy różnych prędkościach. Pierwszą rzeczą, która rzuca się w oczy, jest to, że wykres wznosi się w górę w trakcie interwału dużo fajniej, niż w przedziale . Czy można zmierzyć nachylenie drogi za pomocą narzędzi matematycznych?

Szybkość zmiany funkcji

Pomysł jest taki: weźmy jakąś wartość (czytaj „delta x”), który nazwiemy przyrost argumentu i zacznijmy „przymierzać”. różne punkty nasza droga:

1) Spójrzmy na skrajny lewy punkt: pokonując dystans, wspinamy się po zboczu na wysokość (zielona linia). Ilość nazywa się przyrost funkcji, i w w tym przypadku przyrost ten jest dodatni (różnica wartości wzdłuż osi jest większa od zera). Stwórzmy współczynnik, który będzie miarą nachylenia naszej drogi. Oczywiście jest to bardzo specyficzna liczba, a ponieważ oba przyrosty są dodatnie, to .

Uwaga! Oznaczenia są JEDEN symbol, to znaczy nie można „oddzielić” „delty” od „X” i rozważyć te litery osobno. Oczywiście komentarz dotyczy także symbolu przyrostu funkcji.

Przyjrzyjmy się naturze powstałego ułamka w bardziej znaczący sposób. Bądźmy początkowo na wysokości 20 metrów (w lewym czarnym punkcie). Po pokonaniu dystansu metrów (lewa czerwona linia) znajdziemy się na wysokości 60 metrów. Wtedy przyrost funkcji będzie wynosił metrów (zielona linia) i: . Zatem, na każdym metrze ten odcinek drogi wysokość wzrasta przeciętny o 4 metry...zapomniałeś sprzętu wspinaczkowego? =) Inaczej mówiąc, skonstruowana zależność charakteryzuje ŚREDNIE TEMPO ZMIAN (w tym przypadku wzrostu) funkcji.

Notatka : Wartości liczbowe danego przykładu odpowiadają jedynie w przybliżeniu proporcjom rysunku.

2) Teraz przejdźmy w tej samej odległości od czarnego punktu znajdującego się najbardziej na prawo. Tutaj wzrost jest bardziej stopniowy, więc przyrost (karmazynowa linia) jest stosunkowo niewielki, a stosunek w porównaniu do poprzedniego przypadku będzie bardzo skromny. Obiektywnie mówiąc, metrów i tempo wzrostu funkcji Jest . Czyli tu na każdy metr ścieżki przeciętny pół metra wysokości.

3) Mała przygoda na zboczu góry. Spójrzmy na górę czarna kropka, znajdujący się na osi rzędnych. Załóżmy, że jest to znak 50 metrów. Znów pokonujemy dystans, w efekcie czego znajdujemy się niżej – na poziomie 30 metrów. Ponieważ ruch jest wykonywany z góry na dół(w „przeciwnym” kierunku osi), następnie końcowy przyrost funkcji (wysokość) będzie ujemny: metrów (brązowy segment na rysunku). I w tym przypadku już o tym rozmawiamy tempo spadku Cechy: , czyli na każdy metr ścieżki tego odcinka wysokość maleje przeciętny o 2 metry. Zadbaj o swoje ubrania w piątym punkcie.

Zadajmy sobie teraz pytanie: jaką wartość „wzorca pomiarowego” najlepiej zastosować? To całkowicie zrozumiałe, 10 metrów to bardzo nierówny dystans. Z łatwością zmieści się na nich kilkanaście kępek. Niezależnie od nierówności, poniżej może być głęboki wąwóz, a po kilku metrach jest jego druga strona z dalszym stromym wzniesieniem. Zatem przy dziesięciometrowym nie otrzymamy zrozumiałego opisu takich odcinków ścieżki przez stosunek .

Z powyższej dyskusji wynika następujący wniosek: Jak mniejsza wartość , tym dokładniej opisujemy topografię drogi. Ponadto prawdziwe są następujące fakty:

– Dla kazdego punkty podnoszenia możesz wybrać wartość (nawet bardzo małą), która mieści się w granicach konkretnego wzniesienia. Oznacza to, że odpowiedni przyrost wysokości będzie gwarantowany dodatni, a nierówność będzie poprawnie wskazywała wzrost funkcji w każdym punkcie tych przedziałów.

- Podobnie, dla każdego punkt nachylenia istnieje wartość, która będzie całkowicie pasować do tego nachylenia. W konsekwencji odpowiedni wzrost wysokości jest wyraźnie ujemny, a nierówność prawidłowo pokaże spadek funkcji w każdym punkcie danego przedziału.

– Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy szybkość zmian funkcji wynosi zero: . Po pierwsze, zerowy przyrost wysokości () jest oznaką gładkiej ścieżki. Po drugie, istnieją inne ciekawe sytuacje, których przykłady widać na rysunku. Wyobraź sobie, że los zaprowadził nas na sam szczyt wzgórza z szybującymi orłami lub na dno wąwozu z rechotami żab. Jeśli zrobisz mały krok w dowolnym kierunku, zmiana wysokości będzie znikoma i możemy powiedzieć, że szybkość zmian funkcji wynosi w rzeczywistości zero. Dokładnie taki obraz można zaobserwować w punktach.

W ten sposób dotarliśmy do niesamowitej okazji, aby idealnie dokładnie scharakteryzować szybkość zmian funkcji. Przecież analiza matematyczna umożliwia skierowanie przyrostu argumentu na zero: czyli wykonanie go nieskończenie mały.

W rezultacie pojawia się kolejne logiczne pytanie: czy można znaleźć drogę i jej rozkład jazdy inna funkcja, Który dałby nam znać o wszystkich płaskich odcinkach, podjazdach, zjazdach, szczytach, dolinach, a także o tempie wzrostu/spadku w każdym punkcie na trasie?

Co to jest pochodna? Definicja pochodnej.
Geometryczne znaczenie pochodnej i różniczki

Przeczytaj uważnie i niezbyt szybko – materiał jest prosty i przystępny dla każdego! Nie ma problemu, jeśli w niektórych miejscach coś nie wydaje się zbyt jasne, zawsze możesz wrócić do artykułu później. Powiem więcej, warto kilkakrotnie przestudiować teorię, aby dokładnie zrozumieć wszystkie punkty (rady są szczególnie istotne dla studentów „technicznych”, dla których matematyka wyższa odgrywa znaczącą rolę w procesie edukacyjnym).

Oczywiście w samej definicji pochodnej w pewnym momencie zastępujemy ją przez:

Do czego doszliśmy? I doszliśmy do wniosku, że dla funkcji zgodnej z prawem jest zgodne inna funkcja, który jest nazywany funkcja pochodna(lub po prostu pochodna).

Pochodna charakteryzuje tempo zmian Funkcje Jak? Pomysł biegnie jak czerwona nić od samego początku artykułu. Rozważmy pewien punkt dziedzina definicji Funkcje Niech funkcja będzie różniczkowalna w danym punkcie. Następnie:

1) Jeżeli , to funkcja wzrasta w punkcie . I oczywiście, że istnieje interwał(nawet bardzo mały), zawierający punkt, w którym funkcja rośnie, a jej wykres biegnie „od dołu do góry”.

2) Jeżeli , to funkcja maleje w punkcie . I istnieje przedział zawierający punkt, w którym funkcja maleje (wykres biegnie „od góry do dołu”).

3) Jeśli , to nieskończenie blisko w pobliżu punktu funkcja utrzymuje stałą prędkość. Dzieje się tak, jak zauważono, ze stałą funkcją i w krytycznych punktach funkcji, w szczególności w punktach minimalnych i maksymalnych.

Trochę semantyki. Co oznacza czasownik „różnicować” w szerokim znaczeniu? Rozróżniać oznacza podkreślać cechę. Różniczkując funkcję, „izolujemy” szybkość jej zmian w postaci pochodnej funkcji. Swoją drogą, co oznacza słowo „pochodna”? Funkcjonować stało się z funkcji.

Terminy te są bardzo skutecznie interpretowane poprzez mechaniczne znaczenie pochodnej :
Rozważmy prawo zmiany współrzędnych ciała w zależności od czasu i funkcję prędkości ruchu dane ciało. Funkcja charakteryzuje szybkość zmian współrzędnych ciała, dlatego jest pierwszą pochodną funkcji po czasie: . Gdyby pojęcie „ruchu ciała” nie istniało w przyrodzie, to by go nie było pochodna pojęcie „prędkości ciała”.

Przyspieszenie ciała to szybkość zmiany prędkości, zatem: . Gdyby początkowe pojęcia „ruchu ciała” i „prędkości ciała” nie istniały w przyrodzie, to by nie istniały pochodna pojęcie „przyspieszenia ciała”.

Data: 20.11.2014

Co to jest pochodna?

Tabela instrumentów pochodnych.

Instrument pochodny jest jednym z głównych pojęć wyższa matematyka. W tej lekcji przedstawimy tę koncepcję. Poznajmy się bez ścisłych formuł matematycznych i dowodów.

Ta znajomość pozwoli Ci:

Rozumieć istotę prostych zadań z pochodnymi;

Pomyślnie rozwiązując te właśnie problemy trudne zadania;

Przygotuj się na poważniejsze lekcje na temat instrumentów pochodnych.

Po pierwsze - miła niespodzianka.)

Ścisła definicja pochodnej opiera się na teorii granic i sprawa jest dość skomplikowana. To jest denerwujące. Ale praktyczne zastosowanie instrumentów pochodnych z reguły nie wymaga tak obszernej i głębokiej wiedzy!

Aby pomyślnie wykonać większość zadań w szkole i na uniwersytecie, wystarczy wiedzieć tylko kilka terminów- zrozumieć zadanie i tylko kilka zasad- aby to rozwiązać. To wszystko. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.

Zacznijmy się poznawać?)

Terminy i oznaczenia.

W matematyce elementarnej istnieje wiele różnych operacji matematycznych. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie, logarytm itp. Jeśli dodasz jeszcze jedną operację do tych operacji, elementarna matematyka stanie się wyższa. Ten nowa operacja zwany różnicowanie. Definicja i znaczenie tej operacji zostaną omówione w osobnych lekcjach.

Ważne jest, aby zrozumieć, że różniczkowanie jest po prostu operacją matematyczną na funkcji. Przyjmujemy dowolną funkcję i wg pewne zasady, przekształć go. Wynik będzie Nowa cecha. Ta nowa funkcja nazywa się: pochodna.

Różnicowanie- działanie na funkcję.

Pochodna- wynik tej akcji.

Podobnie jak np. suma- wynik dodania. Lub prywatny- wynik dzielenia.

Znając terminy, możesz przynajmniej zrozumieć zadania.) Formuły są następujące: znaleźć pochodną funkcji; weź pochodną; różnicować funkcję; obliczyć pochodną i tak dalej. To wszystko To samo. Oczywiście zdarzają się też zadania bardziej złożone, gdzie znalezienie pochodnej (różniczkowania) będzie tylko jednym z etapów rozwiązania problemu.

Pochodną oznacza się myślnikiem w prawym górnym rogu funkcji. Lubię to: y” Lub f”(x) Lub S”(t) i tak dalej.

Czytanie igrek skok, ef skok z x, es skok z te, cóż, rozumiesz...)

Liczba pierwsza może również wskazywać pochodną określonej funkcji, na przykład: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)” itp. Często pochodne są oznaczane za pomocą różniczków, ale w tej lekcji nie będziemy rozważać takiego zapisu.

Załóżmy, że nauczyliśmy się rozumieć zadania. Pozostaje tylko nauczyć się je rozwiązywać.) Przypomnę jeszcze raz: znalezienie pochodnej jest transformacja funkcji według pewnych zasad. Co zaskakujące, tych zasad jest bardzo niewiele.

Aby znaleźć pochodną funkcji, musisz wiedzieć tylko trzy rzeczy. Trzy filary, na których opiera się całe zróżnicowanie. Oto te trzy filary:

1. Tabela pochodnych (wzory na różniczkowanie).

3. Pochodna złożona funkcja.

Zacznijmy od porządku. W tej lekcji przyjrzymy się tabeli instrumentów pochodnych.

Tabela instrumentów pochodnych.

Na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji. Wśród tej różnorodności znajdują się funkcje, dla których są najważniejsze praktyczne zastosowanie. Funkcje te można znaleźć we wszystkich prawach natury. Z tych funkcji, niczym z cegieł, można zbudować wszystkie pozostałe. Ta klasa funkcji nazywa się funkcje elementarne. To właśnie te funkcje są badane w szkole - liniowe, kwadratowe, hiperbola itp.

Różniczkowanie funkcji „od zera”, tj. Biorąc pod uwagę definicję pochodnej i teorię granic, jest to dość pracochłonne zadanie. A matematycy to też ludzie, tak, tak!) Więc uprościli sobie (i nam) życie. Obliczyli przed nami pochodne funkcji elementarnych. Rezultatem jest tabela instrumentów pochodnych, w której wszystko jest gotowe.)

Oto ona, ta płyta do najpopularniejszych funkcji. Po lewej stronie funkcja elementarna, po prawej jej pochodna.

	Funkcjonować y	Pochodna funkcji y y”
1	C (wartość stała)	C” = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - dowolna liczba)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)” = 2x
4	grzech x	(sin x)” = cosx
	bo x	(cos x)" = - grzech x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	Arcos x
	Arktan x
	arcctg x
4	A X
	mi X
5	dziennik A X
	ln x ( a = mi)

Polecam zwrócić uwagę na trzecią grupę funkcji w tej tabeli pochodnych. Pochodna funkcja zasilania- jedna z najczęstszych formuł, jeśli nie najczęstsza! Czy rozumiesz podpowiedź?) Tak, wskazane jest, aby znać tabelę instrumentów pochodnych na pamięć. Nawiasem mówiąc, nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać. Spróbuj rozwiązać więcej przykładów, sama tabela zostanie zapamiętana!)

Znalezienie wartości tabeli pochodnej, jak rozumiesz, nie jest najtrudniejszym zadaniem. Dlatego bardzo często w takich zadaniach pojawiają się dodatkowe żetony. Albo w brzmieniu zadania, albo w oryginalnej funkcji, której chyba nie ma w tabeli...

Spójrzmy na kilka przykładów:

1. Znajdź pochodną funkcji y = x 3

W tabeli nie ma takiej funkcji. Ale istnieje pochodna funkcji potęgowej w ogólna perspektywa(trzecia grupa). W naszym przypadku n=3. Podstawiamy więc trzy zamiast n i dokładnie zapisujemy wynik:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Otóż ​​to.

Odpowiedź: y” = 3x 2

2. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = sinx w punkcie x = 0.

To zadanie oznacza, że ​​trzeba najpierw znaleźć pochodną sinusa, a następnie podstawić wartość x = 0 w tę właśnie pochodną. Dokładnie w tej kolejności! W przeciwnym razie zdarza się, że natychmiast podstawiają zero do pierwotnej funkcji... Jesteśmy proszeni o znalezienie nie wartości pierwotnej funkcji, ale wartości jego pochodna. Przypomnę, że pochodna jest nową funkcją.

Za pomocą tabliczki znajdujemy sinus i odpowiednią pochodną:

y" = (sin x)" = cosx

Podstawiamy zero do pochodnej:

y"(0) = cos 0 = 1

To będzie odpowiedź.

3. Zróżniczkuj funkcję:

Co, inspiruje?) Nie ma takiej funkcji w tabeli instrumentów pochodnych.

Przypomnę, że różniczkowanie funkcji polega po prostu na znalezieniu pochodnej tej funkcji. Jeśli zapomnimy o elementarnej trygonometrii, szukanie pochodnej naszej funkcji jest dość kłopotliwe. Tabela nie pomaga...

Ale jeśli zobaczymy, że nasza funkcja jest Cosinus podwójnego kąta, wtedy wszystko od razu staje się lepsze!

Tak tak! Pamiętaj o tym, przekształcając oryginalną funkcję przed różnicowaniem całkiem do przyjęcia! A zdarza się, że życie staje się dużo łatwiejsze. Korzystając ze wzoru na cosinus podwójnego kąta:

Te. nasza skomplikowana funkcja to nic innego jak y = cosx. A to jest funkcja tabelaryczna. Natychmiast otrzymujemy:

Odpowiedź: y" = - grzech x.

Przykład dla zaawansowanych absolwentów i studentów:

4. Znajdź pochodną funkcji:

W tabeli pochodnych oczywiście nie ma takiej funkcji. Ale jeśli pamiętasz elementarną matematykę, operacje na potęgach... Wtedy całkiem możliwe jest uproszczenie tej funkcji. Lubię to:

A x do potęgi jednej dziesiątej jest już funkcją tabelaryczną! Trzecia grupa, n=1/10. Piszemy bezpośrednio według wzoru:

To wszystko. To będzie odpowiedź.

Mam nadzieję, że z pierwszym filarem różnicowania wszystko jest jasne - tabelą instrumentów pochodnych. Pozostaje uporać się z dwoma pozostałymi wielorybami. Na następnej lekcji poznamy zasady różniczkowania.

Rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć Analiza matematyczna. Postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej znaczenie fizyczne i geometryczne, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:

Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:

pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.

Znaczenie fizyczne pochodna: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w określonym przedziale czasu:

Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: ustaw stałą

Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych obliczamy ze wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:

O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat ten nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.

Jeżeli masz jakiekolwiek pytania na ten lub inny temat, możesz się z nami skontaktować obsługa studentów. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i zrozumieć zadania, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.