Ši formulė vadinama integravimas pagal dalių formulę neapibrėžtame integralu:

Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas u, o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima dv. Tada diferencijuodami randame du o integracija – funkcija v. Tuo pačiu metu, už u dv- tokia integrando dalis, kurią galima lengvai integruoti.

Kada naudinga naudoti integravimo dalimis metodą? Tada kada integrandas yra :

1) - logaritminės funkcijos, taip pat atvirkštinės trigonometrinės funkcijos(su priešdėliu „lankas“), tada, remiantis ilgamete integravimo dalimis patirtimi, šios funkcijos žymimos u;

2) , , - sinusas, kosinusas ir eksponentas, padaugintas iš P(x) yra savavališkas x daugianomas, tada šios funkcijos žymimos dv, o daugianomas yra per u;

3) , , , , šiuo atveju integravimas dalimis taikomas du kartus.

Paaiškinkime integravimo dalimis metodo reikšmę pirmojo atvejo pavyzdžiu. Tegul išraiškoje po integralo ženklu yra logaritminė funkcija (tai bus 1 pavyzdys). Naudojant integravimą dalimis, toks integralas sumažinamas iki tik algebrinių funkcijų (dažniausiai daugianario) integralo, ty neturinčio logaritminės ar atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Integravimo dalimis formulės naudojimas, pateikta pačioje pamokos pradžioje

pirmuoju nariu (be integralo) gauname logaritminę funkciją, o antruoju nariu (po integralo ženklu) funkciją, kurioje nėra logaritmo. Algebrinės funkcijos integralas yra daug paprastesnis nei integralas, po kurio ženklu randamas atskirai arba kartu su algebrinis veiksnys logaritminė arba atvirkštinė trigonometrinė funkcija.

Taigi, naudojant integravimas dalių formulėmis integracija atliekama ne iš karto: duoto integralo radimas sumažinamas iki kito. Integravimo dalimis formulės prasmė ta, kad ją pritaikius naujas integralas tampa lentelės pavidalu arba bent jau tampa paprastesnis už pradinį.

Integravimo pagal dalis metodas pagrįstas formulės, skirtos atskirti dviejų funkcijų sandaugą, naudojimu:

tada jis gali būti parašytas formoje

kuri buvo duota pačioje pamokos pradžioje.

Kai randama integruojant funkciją v jam yra begalinis rinkinys antiderivatinės funkcijos. Norėdami taikyti integravimo pagal dalis formulę, galite paimti bet kurią iš jų, taigi ir tą, kuri atitinka savavališką konstantą SU, lygus nuliui. Todėl ieškant funkciją v savavališka konstanta SU neturėtų būti įvestas.

Integravimo dalimis metodas turi labai ypatingą pritaikymą: juo galima išvesti pasikartojančias formules antiderivatinėms funkcijoms rasti, kai reikia sumažinti funkcijų laipsnį po integralo ženklu. Sumažinti laipsnį būtina, kai nėra lentelių integralų, skirtų, pavyzdžiui, funkcijoms, tokioms kaip sinusai ir kosinusai į laipsnius, didesnius už antrąjį ir jų sandaugoms. Pasikartojanti formulė yra formulė, skirta rasti kitą sekos narį per ankstesnį narį. Nurodytais atvejais tikslas pasiekiamas nuosekliai mažinant laipsnį. Taigi, jei integrandas yra sinusas iki ketvirtosios laipsnio x, tai integruojant dalimis galima rasti sinuso integralo į trečiąjį laipsnį formulę ir pan. Paskutinė šios pamokos pastraipa skirta aprašytai užduočiai.

Integracijos taikymas dalimis kartu

1 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

Sprendimas. Integrando išraiškoje - logaritmas, kurį, kaip jau žinome, galima pagrįstai pažymėti u. Mes tikime, kad,.

Randame (kaip jau minėta teorinės nuorodos paaiškinime, pirmajame naryje iškart gauname logaritminę funkciją (be integralo), o antrajame (po integralo ženklu) – funkciją, kurioje nėra logaritmo:

Ir vėl logaritmas...

2 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą:

Sprendimas. Leisti , .

Logaritmas yra kvadrate. Tai reiškia, kad ją reikia diferencijuoti kaip sudėtingą funkciją. Mes randame
,
.

Antrąjį integralą vėlgi randame dalimis ir gauname jau minėtą pranašumą (pirmajame naryje (be integralo) yra logaritminė funkcija, o antrajame (po integralo ženklu) funkcija, kurioje nėra logaritmas).

Mes randame originalų integralą:

3 pavyzdys.

Sprendimas. Arktangentas, kaip ir logaritmas, geriau žymimas u. Taigi tegul,.

Tada,
.

Taikydami integravimo dalimis formulę, gauname:

Antrąjį integralą randame pakeitę kintamąjį.

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname

.

Mes randame originalų integralą:

.

4 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

Sprendimas. Geriau rodiklį žymėti dv. Integrandą padalijome į du veiksnius. Tikėdamas tuo

5 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

.

Sprendimas. Leisti , . Tada,.

Naudodami integravimo pagal dalis formulę (1), randame:

6 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą integruodami dalimis:

Sprendimas. Sinusą, kaip ir eksponentinį, galima patogiai žymėti dv. Leisti , .

Naudodami integravimo pagal dalis formulę randame:

Integraciją dalimis vėl taikome kartu

10 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą integruodami dalimis:

.

Sprendimas. Kaip ir visais panašiais atvejais, patogu kosinusą žymėti dv. Mes žymime ,.

Tada , .

Naudodami integravimo dalimis formulę, gauname:

Integraciją dalimis taikome ir antrajam terminui. Mes žymime ,.

Naudodami šiuos užrašus integruojame minėtą terminą:

Dabar randame reikiamą integralą:

Tarp integralų, kuriuos galima išspręsti integravimo dalimis metodu, yra ir tokių, kurie nepatenka į nė vieną iš trijų teorinėje dalyje paminėtų grupių, kuriems iš praktikos žinoma, kad geriau žymėti u, o per ką dv. Todėl tokiais atvejais reikia atsižvelgti į patogumą, taip pat pateiktą pastraipoje „Integravimo dalimis metodo esmė“: u reikėtų paimti integrando dalį, kuri diferencijuojant netaptų daug sudėtingesnė, bet dv- tokia integrando dalis, kurią galima lengvai integruoti. Paskutinis šios pamokos pavyzdys yra būtent tokio integralo sprendimas.

Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai

Labas dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti dalimis. Integravimo dalimis metodas yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Per kontrolinius ar egzaminus studentų beveik visada prašoma išspręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnį) arba integralas pakeičiant kintamąjį (žr. straipsnį) arba integralas tiesiog įjungtas integravimas dalių metodu.

Kaip visada, po ranka turėtumėte turėti: Integralų lentelė Ir Išvestinių priemonių lentelė. Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės saugykloje: Matematinės formulės ir lentelės. Nepavargsiu kartoti – geriau viską atsispausdinti. Stengsiuosi visą medžiagą pateikti nuosekliai, paprastai ir aiškiai, jokių ypatingų sunkumų integruojant dalis nėra.

Kokią problemą išsprendžia integravimo dalimis metodas? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių nėra lentelėje, dirbti funkcijos, o kai kuriais atvejais – net koeficientai. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: . Bet yra toks: – dalių integravimo asmeniškai formulė. Žinau, žinau, tu vienintelis – dirbsime su ja per visą pamoką (dabar lengviau).

Ir iškart sąrašas į studiją. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , , – logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) ,yra eksponentinė funkcija, padauginta iš kokio nors daugianario. Tai taip pat apima integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padaugintas iš daugianario, bet praktiškai procentas yra 97, po integralu yra graži raidė „e“. ... straipsnis pasirodo kiek lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , , yra trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kurio nors daugianario.

4) , – atvirkštinės trigonometrinės funkcijos („arkos“), „arkos“, padaugintos iš kokio nors daugianario.

Kai kurios trupmenos taip pat paimamos dalimis; mes taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

Logaritmų integralai

1 pavyzdys

Klasika. Retkarčiais šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepatartina naudoti paruošto atsakymo, nes mokytojas turi pavasarinį vitaminų trūkumą ir smarkiai keiks. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis paimtas dalimis. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Mes naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Formulė taikoma iš kairės į dešinę

Mes žiūrime į kairę pusę: . Akivaizdu, kad mūsų pavyzdyje (ir visuose kituose, kuriuos apsvarstysime) kažkas turi būti nurodyta kaip , o kažkas - kaip .

Nagrinėjamo tipo integraluose logaritmas visada žymimas.

Techniškai sprendimo dizainas įgyvendinamas taip, stulpelyje rašome:

Tai yra, mes pažymėjome logaritmą ir - likusią dalį integrando išraiška.

Kitas etapas: raskite skirtumą:

Diferencialas yra beveik tas pats, kas išvestinė; kaip jį rasti, jau aptarėme ankstesnėse pamokose.

Dabar randame funkciją. Norėdami rasti funkciją, turite ją integruoti dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Dabar atidarome savo sprendimą ir sukuriame dešinę formulės pusę: .
Beje, čia yra galutinio sprendimo pavyzdys su kai kuriomis pastabomis:

Vienintelis dalykas darbe yra tas, kad aš iš karto sukeičiau ir , nes įprasta koeficientą rašyti prieš logaritmą.

Kaip matote, integravimo pagal dalis formulės taikymas iš esmės sumažino mūsų sprendimą iki dviejų paprastų integralų.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais iš karto po Taikant formulę, supaprastinimas būtinai atliekamas pagal likusį integralą - nagrinėjamame pavyzdyje integrandą sumažinome iki „x“.

Patikrinkime. Norėdami tai padaryti, turite paimti atsakymo išvestinę:

Gauta originali integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas išspręstas teisingai.

Bandymo metu naudojome produktų diferenciacijos taisyklę: . Ir tai nėra atsitiktinumas.

Integravimo pagal dalis formulė ir formulę – tai dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integrandas yra logaritmo ir daugianario sandauga.
Nuspręskime.

Dar kartą išsamiai aprašysiu taisyklės taikymo tvarką, ateityje pavyzdžiai bus pateikti trumpiau, o jei kils sunkumų sprendžiant pačiam, reikia grįžti prie pirmų dviejų pamokos pavyzdžių. .

Kaip jau minėta, reikia pažymėti logaritmą (tai, kad tai laipsnis, nesvarbu). Mes žymime pagal likusią dalį integrando išraiška.

Stulpelyje rašome:

Pirmiausia randame skirtumą:

Čia mes naudojame diferenciacijos taisyklę sudėtinga funkcija . Neatsitiktinai pačioje pirmoje temos pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sutelkiau dėmesį į tai, kad norint įvaldyti integralus, reikia „paimti į rankas“ išvestines. Su išvestinėmis priemonėmis teks susidurti ne kartą.

Dabar randame funkciją, kurią integruojame dešinioji pusė mažesnė lygybė:

Integravimui naudojome paprasčiausią lentelės formulę

Dabar viskas paruošta taikyti formulę . Atidarykite su žvaigždute ir „sukonstruokite“ sprendimą pagal dešinę pusę:

Pagal integralą vėl turime logaritmo daugianarį! Todėl sprendimas vėl nutraukiamas ir integravimo dalimis taisyklė taikoma antrą kartą. Nepamirškite, kad panašiose situacijose logaritmas visada žymimas.

Būtų gerai, jei šiuo momentuŽodžiu pavyko rasti paprasčiausius integralus ir išvestinius.

(1) Nesusipainiokite dėl ženklų! Labai dažnai čia prarandamas minusas, taip pat atkreipkite dėmesį, kad minusas nurodo visiems laikiklis , ir šiuos skliaustus reikia teisingai išplėsti.

(2) Atidarykite laikiklius. Supaprastiname paskutinį integralą.

(3) Imame paskutinį integralą.

(4) „Sušukuoti“ atsakymą.

Poreikis taikyti integravimo dalimis taisyklę du kartus (ar net tris kartus) iškyla ne itin retai.

O dabar pora pavyzdžių savarankiškas sprendimas:

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Šis pavyzdys išspręstas pakeitus kintamąjį (arba pakeičiant jį diferencialiniu ženklu)! Kodėl gi ne – galite pabandyti imti dalimis, pasirodys juokinga.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tačiau šis integralas yra integruotas dalimis (žadėtoji trupmena).

Tai pavyzdžiai, kuriuos galite spręsti patys, sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Atrodo, kad 3 ir 4 pavyzdžiuose integrandai yra panašūs, tačiau sprendimo būdai skiriasi! Tai yra pagrindinis integralų įsisavinimo sunkumas - jei pasirinksite netinkamą integralo sprendimo metodą, galite su juo dirbti valandų valandas, kaip su tikru galvosūkiu. Todėl kuo daugiau spręsite įvairius integralus, tuo geriau, tuo lengviau bus testas ir egzaminas. Be to, antraisiais metais bus diferencialines lygtis, o be integralų ir išvestinių sprendimo patirties ten nėra ką veikti.

Kalbant apie logaritmus, tai tikriausiai yra daugiau nei pakankamai. Pradedantiesiems taip pat galiu prisiminti, kad inžinerijos studentai vadina logaritmus moteriška krūtinė=). Beje, pravartu mintinai žinoti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus: sinuso, kosinuso, arctangento, eksponento, trečiojo, ketvirto laipsnio daugianario ir kt. Ne, žinoma, prezervatyvas pasaulyje
Neištempsiu, bet dabar daug ką prisiminsite iš skyriaus Diagramos ir funkcijos =).

Rodiklio integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Naudodami pažįstamą algoritmą integruojame dalimis:

Jei kyla sunkumų dėl integralo, turėtumėte grįžti prie straipsnio Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Vienintelis kitas dalykas, kurį galite padaryti, tai pakoreguoti atsakymą:

Bet jei jūsų skaičiavimo technika nėra labai gera, pelningiausias pasirinkimas yra palikti jį kaip atsakymą ar net

Tai yra, pavyzdys laikomas išspręstu, kai imamas paskutinis integralas. Tai nebus klaida; kitas dalykas, kad mokytojas gali paprašyti jūsų supaprastinti atsakymą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šis integralas integruojamas du kartus dalimis. Ypatingas dėmesys turėtumėte atkreipti dėmesį į ženklus - juose lengva susipainioti, taip pat prisimename, kad tai sudėtinga funkcija.

Daugiau apie parodos dalyvį nėra ką pasakyti. Galiu tik pridurti, kad parodos dalyvis ir natūralusis logaritmas abipusės funkcijos, tai aš įdomių grafikų tema aukštoji matematika=) Sustok, sustok, nesijaudink, dėstytojas blaivus.

Trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: nes visada reiškia daugianarį

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integruokime dalimis:

Hmmm... ir nėra ką komentuoti.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas pavyzdys su trupmena. Kaip ir dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose, for reiškia daugianarį.

Integruokime dalimis:

Jei kyla sunkumų ar nesusipratimų ieškant integralo, rekomenduoju apsilankyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Patarimas: prieš naudodami integravimo dalimis metodą, turėtumėte pritaikyti kokią nors trigonometrinę formulę, kuri dviejų trigonometrinių funkcijų sandaugą paverčia viena funkcija. Formulė gali būti naudojama ir taikant integravimo dalimis metodą, kuris jums patogesnis.

Tikriausiai viskas šioje pastraipoje. Kažkodėl prisiminiau eilutę iš fizikos ir matematikos himno „Ir sinuso grafikas eina banga po bangos išilgai abscisių ašies“...

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Pagrindinė taisyklė: visada žymi atvirkštinę trigonometrinę funkciją.

Leiskite jums priminti, kad atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apima arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dėl įrašo trumpumo aš juos pavadinsiu „arkomis“

Išsamiai nagrinėjami integralų dalimis sprendinių pavyzdžiai, kurių integrande yra logaritmas, arcsinusas, arctangentas, taip pat logaritmas iki sveikojo skaičiaus laipsnio ir daugianario logaritmas.

Integravimo pagal dalis formulė

Toliau, sprendžiant pavyzdžius, naudojama integravimo dalimis formulė:
;
.

Integralų, kuriuose yra logaritmų ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų, pavyzdžiai

Štai integralų, integruotų dalimis, pavyzdžiai:
, , , , , , .

Integruojant ta integrando dalis, kurioje yra logaritmas arba atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, žymima u, likusioji – dv.

Žemiau pateikiami pavyzdžiai su išsamiais šių integralų sprendimais.

Paprastas pavyzdys su logaritmu

Apskaičiuokime integralą, kuriame yra daugianario ir logaritmo sandauga:

Sprendimas

Čia integrandas turi logaritmą. Pakeitimų darymas
u = ln x, dv = x 2 dx . Tada
,
.

Integruokime dalimis.
.

.
Tada
.
Skaičiavimų pabaigoje pridėkite konstantą C.

Atsakymas

Logaritmo laipsnio 2 pavyzdys

Panagrinėkime pavyzdį, kuriame integrandas apima logaritmą iki sveikojo skaičiaus laipsnio. Tokius integralus taip pat galima integruoti dalimis.

Sprendimas

Pakeitimų darymas
u = (ln x) 2, dv = x dx . Tada
,
.

Taip pat apskaičiuojame likusį integralą dalimis:
.
Pakeiskime
.

Atsakymas

Pavyzdys, kuriame logaritmo argumentas yra daugianario

Integralus galima skaičiuoti dalimis, kurių integrandas apima logaritmą, kurio argumentas yra daugianario, racionalioji arba iracionalioji funkcija. Pavyzdžiui, apskaičiuokime integralą su logaritmu, kurio argumentas yra daugianario.
.

Sprendimas

Pakeitimų darymas
u = ln (x 2 - 1), dv = x dx .
Tada
,
.

Apskaičiuojame likusį integralą:
.
Modulio ženklo čia nerašome ln | x 2 - 1|, nes integrandas yra apibrėžtas x 2 - 1 > 0 . Pakeiskime
.

Atsakymas

Arcsine pavyzdys

Panagrinėkime integralo, kurio integrandas apima arcsinusą, pavyzdį.
.

Sprendimas

Pakeitimų darymas
u = arcsin x,
.
Tada
,
.

Toliau pažymime, kad integrandas yra apibrėžtas |x|< 1 . Atsižvelgdami į tai, išplėskime modulio ženklą pagal logaritmą 1 – x > 0 Ir 1 + x > 0.

Atsakymas

Lanko liestinės pavyzdys

Išspręskime pavyzdį su arctangentu:
.

Sprendimas

Integruokime dalimis.
.
Pažymime visą trupmenos dalį:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integruokime:
.
Pagaliau turime:
.

Atsakymas

Kitas pavyzdys su arcsine

Išspręskite integralą:
.

Sprendimas

Integruokime dalimis.
.

Apskaičiuojame likusį integralą. Prie x > 0 mes turime:
.
.
.

Prie x < 0 padarykime pakaitalą x = - t, t > 0 :
.

Pagaliau turime.

Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai

Sprendimas.

Pvz.

Apskaičiuokite integralą:

Naudojant integralo savybes (tiesiškumą), ᴛ.ᴇ. , sumažiname jį iki lentelės integralo, gauname tai

Labas dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti dalimis. Integravimo dalimis metodas yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Per kontrolinius ar egzaminus studentų beveik visada prašoma išspręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnįNeapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai ) arba integralas pakeičiant kintamąjį (žr. straipsnįKintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje ) arba integralas tiesiog įjungtas integravimas dalių metodu.

Kaip visada, po ranka turėtumėte turėti: Integralų lentelė Ir Išvestinių priemonių lentelė. Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės sandėlyje: Matematinės formulės ir lentelės. Nepavargsiu kartoti – geriau viską atsispausdinti. Stengsiuosi visą medžiagą pateikti nuosekliai, paprastai ir aiškiai, jokių ypatingų sunkumų integruojant dalis nėra.

Kokią problemą išsprendžia integravimo dalimis metodas? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių nėra lentelėje, dirbti funkcijos, o kai kuriais atvejais – net koeficientai. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: . Tačiau yra tokia: - asmeninio integravimo pagal dalis formulė. Žinau, žinau, tu vienintelis – dirbsime su ja per visą pamoką (dabar lengviau).

Ir iškart sąrašas į studiją. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , – logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) , yra eksponentinė funkcija, padauginta iš kurio nors daugianario. Tai taip pat apima integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padauginta iš daugianario, tačiau praktiškai tai yra 97 procentai, po integralu yra graži raidė ʼʼеʼʼ. ... straipsnis pasirodo kiek lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , – trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kokio nors daugianario.

4) - atvirkštinės trigonometrinės funkcijos ("arkos"), "arkos", padaugintos iš kokio nors daugianario.

Kai kurios trupmenos taip pat paimamos dalimis; mes taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

1 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Klasika. Retkarčiais šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepatartina naudoti paruošto atsakymo, nes mokytojas turi pavasarinį vitaminų trūkumą ir smarkiai keiks. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis paimtas dalimis. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Mes naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Logaritmų integralai – samprata ir rūšys. Kategorijos „Logaritmų integralai“ klasifikacija ir ypatumai 2017, 2018 m.