Šis straipsnis yra išsamios informacijos, susijusios su šaknų savybių tema, rinkinys. Atsižvelgdami į temą, pradėsime nuo savybių, išnagrinėsime visas formuluotes ir pateiksime įrodymus. Norėdami konsoliduoti temą, apsvarstysime n-ojo laipsnio savybes.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Šaknų savybės
Mes kalbėsime apie savybes.
- Nuosavybė padauginti skaičiai a Ir b, kuri vaizduojama kaip lygybė a · b = a · b. Jis gali būti pavaizduotas faktorių forma, teigiamas arba lygus nuliui a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- iš koeficiento a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, jis gali būti parašytas ir tokia forma a b = a b;
- Savybė iš skaičiaus galios a su lyginiu rodikliu a 2 m = a m bet kuriam skaičiui a, pavyzdžiui, ypatybė iš skaičiaus kvadrato a 2 = a.
Bet kurioje pateiktoje lygtyje galite sukeisti dalis prieš ir po brūkšnelio, pavyzdžiui, lygybė a · b = a · b paverčiama kaip a · b = a · b. Lygybės savybės dažnai naudojamos sudėtingoms lygtims supaprastinti.
Pirmųjų savybių įrodymas pagrįstas kvadratinės šaknies apibrėžimu ir galių su savybėmis natūralus rodiklis. Norint pagrįsti trečiąją savybę, būtina remtis skaičiaus modulio apibrėžimu.
Pirmiausia reikia įrodyti kvadratinės šaknies a · b = a · b savybes. Pagal apibrėžimą būtina atsižvelgti į tai, kad a b yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, kuris bus lygus a b statybos metu į aikštę. Išraiškos a · b reikšmė yra teigiama arba lygi nuliui kaip neneigiamų skaičių sandauga. Padaugintų skaičių laipsnių savybė leidžia lygybę pavaizduoti forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą a 2 = a ir b 2 = b, tada a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Panašiu būdu tai galima įrodyti iš produkto k daugikliai a 1 , a 2 , … , a k bus lygus produktui kvadratinės šaknys nuo šių veiksnių. Iš tiesų, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Iš šios lygybės išplaukia, kad a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kad sustiprintume temą.
1 pavyzdys
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 ir 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .
Būtina įrodyti dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybę: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Savybė leidžia parašyti lygybę a: b 2 = a 2: b 2 ir a 2: b 2 = a: b, o a: b yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Ši išraiška taps įrodymu.
Pavyzdžiui, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 ir 30,121 = 30,121.
Panagrinėkime skaičiaus kvadrato kvadratinės šaknies savybę. Jis gali būti parašytas kaip lygybė kaip a 2 = a Norint įrodyti šią savybę, reikia išsamiai apsvarstyti keletą lygybių a ≥ 0 ir pas a< 0 .
Akivaizdu, kad a ≥ 0 lygybė a 2 = a yra teisinga. At a< 0 lygybė a 2 = - a bus teisinga. Tiesą sakant, šiuo atveju − a > 0 ir (− a) 2 = a 2 . Galime daryti išvadą, kad a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
2 pavyzdys
5 2 = 5 = 5 ir - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.
Įrodyta savybė padės pagrįsti 2 m = a m, kur a– tikras ir m- natūralus skaičius. Iš tiesų, galios didinimo savybė leidžia mums ją pakeisti a 2 m išraiška (a m) 2, tada a 2 m = (a m) 2 = a m.
3 pavyzdys
3 8 = 3 4 = 3 4 ir (- 8 , 3) 14 = - 8, 3 7 = (8 , 3) 7 .
N-osios šaknies savybės
Pirmiausia turime atsižvelgti į pagrindines n-osios šaknų savybes:
- Savybė iš skaičių sandaugos a Ir b, kurie yra teigiami arba lygūs nuliui, gali būti išreikšti lygybe a · b n = a n · b n , ši savybė galioja sandaugai k numeriai a 1 , a 2 , … , a k kaip a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
- iš trupmeninio skaičiaus turi savybę a b n = a n b n , kur a yra bet koks tikrasis skaičius, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, ir b– teigiamas realusis skaičius;
- Bet kuriam a ir net rodikliai n = 2 m a 2 · m 2 · m = a yra teisinga, o nelyginė n = 2 m − 1 galioja lygybė a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Išgavimo iš a m n = a n m savybė, kur a– bet koks skaičius, teigiamas arba lygus nuliui, n Ir m – sveikieji skaičiai, ši savybė taip pat gali būti pavaizduota formoje. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
- Bet kokiam neneigiamam a ir savavališkam n Ir m, kurios yra natūralios, taip pat galime apibrėžti teisingąją lygybę a m n · m = a n ;
- Laipsnio savybė n iš skaičiaus galios a, kuris yra teigiamas arba lygus nuliui, natūraliajai galiai m, apibrėžiamas lygybe a m n = a n m ;
- Palyginimo savybė, kurios rodikliai yra tokie patys: bet kokiems teigiamiems skaičiams a Ir b toks kad a< b , nelygybė a n< b n ;
- Palyginimo ypatybė, kurios šaknyje yra tie patys skaičiai: jei m Ir n – natūraliuosius skaičius, kad m > n, tada val 0 < a < 1 nelygybė a m > a n yra teisinga, o kada a > 1įvykdė m< a n .
Aukščiau pateiktos lygybės galioja, jei dalys prieš ir po lygybės ženklo yra sukeistos. Jie taip pat gali būti naudojami šioje formoje. Tai dažnai naudojama supaprastinant arba transformuojant išraiškas.
Minėtų šaknies savybių įrodymas grindžiamas apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Šios savybės turi būti įrodytos. Bet viskas tvarkoje.
- Pirmiausia įrodykime sandaugos a · b n = a n · b n n-osios šaknies savybes. Dėl a Ir b , kuris yra teigiamas arba lygus nuliui , reikšmė a n · b n taip pat yra teigiama arba lygi nuliui, nes tai yra neneigiamų skaičių padauginimo pasekmė. Produkto savybė natūraliajai galiai leidžia užrašyti lygybę a n · b n n = a n n · b n n . Pagal šaknies apibrėžimą n-tasis laipsnis a n n = a ir b n n = b , todėl a n · b n n = a · b . Gauta lygybė yra būtent tai, ką reikėjo įrodyti.
Šią savybę panašiai galima įrodyti ir gaminiui k daugikliai: neneigiamiems skaičiams a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Čia yra šakninės nuosavybės naudojimo pavyzdžiai n gaminio galia: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 ir 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Įrodykime dalinio a b n = a n b n šaknies savybę. At a ≥ 0 Ir b > 0 sąlyga a n b n ≥ 0 tenkinama, o a n b n n = a n n b n n = a b .
Parodykime pavyzdžius:
4 pavyzdys
8 27 3 = 8 3 27 3 ir 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Kitam žingsniui reikia įrodyti n-ojo laipsnio savybes nuo skaičiaus iki laipsnio n. Įsivaizduokime tai kaip lygybę a 2 m 2 m = a ir a 2 m - 1 2 m - 1 = a bet kuriai realiai a ir natūralus m. At a ≥ 0 gauname a = a ir a 2 m = a 2 m, kas įrodo lygybę a 2 m 2 m = a, o lygybė a 2 m - 1 2 m - 1 = a yra akivaizdi. At a< 0 gauname atitinkamai a = - a ir a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Paskutinė skaičiaus transformacija galioja pagal galios savybę. Būtent tai įrodo lygybę a 2 m 2 m = a ir 2 m - 1 2 m - 1 = a bus teisinga, nes nelyginis laipsnis laikomas - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 bet kuriam skaičiui c , teigiamas arba lygus nuliui.
Norėdami konsoliduoti gautą informaciją, apsvarstykite keletą nuosavybės naudojimo pavyzdžių:
5 pavyzdys
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 ir (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Įrodykime tokią lygybę a m n = a n m . Norėdami tai padaryti, turite sukeisti skaičius prieš ir po lygybės ženklo a n · m = a m n . Tai reiškia, kad įrašas yra teisingas. Dėl a, kuri yra teigiama arba lygus nuliui , a m n formos skaičius yra teigiamas arba lygus nuliui. Panagrinėkime savybę pakelti galią į galią ir jos apibrėžimą. Jų pagalba galite paversti lygybes forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Tai įrodo nagrinėjamos šaknies šaknies savybę.
Panašiai įrodytos ir kitos savybės. Tikrai,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .
Pavyzdžiui, 7 3 5 = 7 5 3 ir 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Įrodykime tokią savybę a m n · m = a n . Norėdami tai padaryti, reikia parodyti, kad n yra skaičius, teigiamas arba lygus nuliui. Pakėlus iki laipsnio n m lygus esu. Jei numeris a yra teigiamas arba lygus nuliui, tada n– laipsnis iš tarpo a yra teigiamas skaičius arba lygus nuliui. Šiuo atveju a n · m n = a n n m , ką ir reikėjo įrodyti.
Siekdami įtvirtinti įgytas žinias, pažvelkime į kelis pavyzdžius.
- Įrodykime tokią savybę – a m n = a n m formos laipsnio šaknies savybę. Akivaizdu, kad kai a ≥ 0 laipsnis a n m yra neneigiamas skaičius. Be to, ji n toji galia lygi esu, iš tiesų, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Tai įrodo nagrinėjamo laipsnio savybę.
Pavyzdžiui, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Būtina įrodyti, kad bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b sąlyga tenkinama a< b . Apsvarstykite nelygybę a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Todėl n< b n при a< b .
Pavyzdžiui, duokime 12 4< 15 2 3 4 .
- Apsvarstykite šaknies savybę n-tas laipsnis. Pirmiausia reikia atsižvelgti į pirmąją nelygybės dalį. At m > n Ir 0 < a < 1 tiesa a m > a n . Tarkime, kad a m ≤ a n. Savybės leis supaprastinti išraišką iki a n m · n ≤ a m m · n . Tada, atsižvelgiant į laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybes, galioja nelygybė a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tai yra, a n ≤ a m. Gauta vertė m > n Ir 0 < a < 1 neatitinka aukščiau nurodytų savybių.
Lygiai taip pat galima įrodyti, kad kada m > n Ir a > 1 sąlyga a m yra teisinga< a n .
Norėdami įtvirtinti pirmiau minėtas savybes, apsvarstykite keletą konkrečių pavyzdžių. Pažvelkime į nelygybes naudodami konkrečius skaičius.
6 pavyzdys
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas ar tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis Dėl
Pabandykime išsiaiškinti, kas yra ši sąvoka „šaknis“ ir „su kuo ji valgoma“. Norėdami tai padaryti, pažvelkime į pavyzdžius, su kuriais jau susidūrėte klasėje (na, arba jūs tik ruošiatės su tuo susidurti).
Pavyzdžiui, turime lygtį. Koks yra šios lygties sprendimas? Kokius skaičius galima pakelti kvadratu ir gauti? Prisimindami daugybos lentelę, nesunkiai galite atsakyti: ir (juk padauginus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas skaičius)! Norėdami supaprastinti, matematikai pristatė specialią kvadratinės šaknies sąvoką ir priskyrė jai specialų simbolį.
Apibrėžkime aritmetinę kvadratinę šaknį.
Kodėl skaičius turi būti neneigiamas? Pavyzdžiui, kam jis lygus? Na, gerai, pabandykime išsirinkti vieną. Gal trys? Patikrinkime: , ne. Gal būt, ? Dar kartą patikriname: . Na, ar netinka? To ir reikia tikėtis – nes nėra skaičių, kuriuos patraukus kvadratu gautas neigiamas skaičius!
Štai ką reikia atsiminti: skaičius arba posakis po šaknies ženklu turi būti neneigiamas!
Tačiau dėmesingiausi tikriausiai jau pastebėjo, kad apibrėžime sakoma, jog kvadratinės šaknies iš „skaičiaus“ sprendinys vadinamas taip ne neigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus ". Kai kas sakys, kad pačioje pradžioje išanalizavome pavyzdį, atrinkome skaičius, kuriuos galima pakelti kvadratu ir gauti, atsakymas buvo ir, bet čia kalbame apie kažkokį „neneigiamą skaičių“! Ši pastaba yra gana tinkama. Čia tiesiog reikia atskirti kvadratinių lygčių sąvokas ir skaičiaus aritmetinę kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, nėra lygiavertis išraiškai.
Iš to išplaukia, kad, tai yra, arba. (Skaityti temą "")
Ir iš to išplaukia.
Žinoma, tai labai painu, tačiau reikia atsiminti, kad ženklai yra lygties sprendimo rezultatas, nes spręsdami lygtį turime užrašyti visus X, kuriuos pakeitus į pradinę lygtį, bus gauta teisingas rezultatas. Mūsų kvadratinė lygtis tinka abiems.
Tačiau jei tiesiog paimkite kvadratinę šaknį nuo kažko, tada visada gauname vieną neneigiamą rezultatą.
Dabar pabandykite išspręsti šią lygtį. Viskas nebėra taip paprasta ir sklandu, ar ne? Pabandyk perskaityti skaičius, gal kas nors pavyks? Pradėkime nuo pat pradžių – nuo nulio: – netelpa, eik toliau – mažiau nei trys, taip pat nušluoti, o jeigu. Patikrinkime: - irgi netinka, nes... tai daugiau nei trys. Ta pati istorija su neigiamais skaičiais. Taigi ką turėtume daryti dabar? Ar tikrai paieškos nieko nedavė? Visai ne, dabar tikrai žinome, kad atsakymas bus tam tikras skaičius tarp ir, taip pat tarp ir. Be to, akivaizdu, kad sprendimai nebus sveikieji skaičiai. Be to, jie nėra racionalūs. Taigi, kas toliau? Pavaizduokime funkcijos grafiką ir pažymėkime joje sprendimus.
Pabandykime apgauti sistemą ir gaukime atsakymą naudodami skaičiuotuvą! Išmeskime šaknis! Oi-oi, pasirodo taip. Šis skaičius niekada nesibaigia. Kaip galite tai atsiminti, nes egzamino metu nebus skaičiuoklės!? Viskas labai paprasta, nereikia to atsiminti, tereikia atsiminti (arba sugebėti greitai įvertinti) apytikslę vertę. ir patys atsakymai. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais; siekiant supaprastinti tokių skaičių rašymą, buvo įvesta kvadratinės šaknies sąvoka.
Pažvelkime į kitą pavyzdį, kad tai sustiprintume. Pažiūrėkime į tokią problemą: reikia kirsti kvadratinį lauką, kurio kraštinė yra km įstrižai, kiek km reikia nuvažiuoti?
Akivaizdžiausias dalykas čia yra apsvarstyti trikampį atskirai ir naudoti Pitagoro teoremą: . Taigi,. Taigi koks čia reikalingas atstumas? Akivaizdu, kad atstumas negali būti neigiamas, mes tai suprantame. Dviejų šaknis yra maždaug lygi, bet, kaip minėjome anksčiau, jau yra išsamus atsakymas.
Norėdami išspręsti pavyzdžius su šaknimis nesukeldami problemų, turite juos pamatyti ir atpažinti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti bent skaičių kvadratus nuo iki, taip pat mokėti juos atpažinti. Pavyzdžiui, jūs turite žinoti, kas yra lygus kvadratui, ir, atvirkščiai, kas yra lygus kvadratui.
Ar supratote, kas yra kvadratinė šaknis? Tada išspręskite keletą pavyzdžių.
Pavyzdžiai.
Na, kaip tai pavyko? Dabar pažvelkime į šiuos pavyzdžius:
Atsakymai:
Kubo šaknis
Na, atrodo, kad išsiaiškinome kvadratinės šaknies sąvoką, dabar pabandykime išsiaiškinti, kas yra kubinė šaknis ir kuo jos skiriasi.
Skaičiaus kubinė šaknis yra skaičius, kurio kubas yra lygus. Ar pastebėjote, kad čia viskas daug paprasčiau? Nėra jokių apribojimų galimas vertes tiek reikšmės po kubo šaknies ženklu, tiek išgaunamas skaičius. Tai yra, kubo šaknį galima išskirti iš bet kurio skaičiaus: .
Ar suprantate, kas yra kubo šaknis ir kaip ją išgauti? Tada eikite į priekį ir išspręskite pavyzdžius.
Pavyzdžiai.
Atsakymai:
Šaknis – o laipsnis
Na, mes supratome kvadratinių ir kubo šaknų sąvokas. Dabar apibendrinkime su koncepcija įgytas žinias 1-oji šaknis.
1-oji šaknis skaičiaus yra skaičius, kurio laipsnis yra lygus, t.y.
lygiavertis.
Jei – net, Tai:
- su neigiamu, išraiška neturi prasmės (lyginės neigiamų skaičių šaknys negalima pašalinti!);
- už neneigiamą() išraiška turi vieną neneigiamą šaknį.
Jei - yra nelyginis, tada išraiška turi unikalią šaknį bet kuriai.
Neišsigąskite, čia galioja tie patys principai kaip ir kvadratinėms bei kubinėms šaknims. Tai reiškia, kad principai, kuriuos taikėme svarstydami kvadratines šaknis, taikomi visoms lyginio laipsnio šaknims.
O savybės, kurios buvo naudojamos kubinei šaknims, taikomos nelyginio laipsnio šaknims.
Na, ar tapo aiškiau? Pažiūrėkime į pavyzdžius:
Čia viskas daugmaž aišku: pirmiausia žiūrime – taip, laipsnis lyginis, skaičius po šaknimi yra teigiamas, o tai reiškia, kad mūsų užduotis yra rasti skaičių, kurio ketvirtoji galia duos mums. Na, bet kokių spėjimų? Gal būt, ? tiksliai!
Taigi, laipsnis lygus - nelyginis, skaičius po šaknimi yra neigiamas. Mūsų užduotis yra rasti skaičių, kuris, padidintas iki galios, sukuria. Gana sunku iš karto pastebėti šaknį. Tačiau jūs galite iš karto susiaurinti paiešką, tiesa? Pirma, reikalingas skaičius yra neabejotinai neigiamas, antra, galima pastebėti, kad jis yra nelyginis, taigi ir norimas skaičius yra nelyginis. Pabandykite rasti šaknį. Žinoma, galite drąsiai jo atsisakyti. Gal būt, ?
Taip, štai ko mes ieškojome! Atkreipkite dėmesį, kad norėdami supaprastinti skaičiavimą, naudojome laipsnių savybes: .
Pagrindinės šaknų savybės
Tai aišku? Jei ne, tai pažiūrėjus pavyzdžius, viskas turėtų stoti į savo vietas.
Dauginamos šaknys
Kaip padauginti šaknis? Paprasčiausia ir pagrindinė savybė padeda atsakyti į šį klausimą:
Pradėkime nuo kažko paprasto:
Ar gautų skaičių šaknys nėra tiksliai ištrauktos? Jokių problemų – štai keli pavyzdžiai:
O jei yra ne du, o daugiau daugiklių? Tas pats! Šaknų dauginimo formulė veikia su daugybe veiksnių:
Ką mes galime su juo padaryti? Na, žinoma, paslėpkite tris po šaknimi, prisimindami, kad trys yra kvadratinė šaknis!
Kodėl mums to reikia? Taip, tik norėdami išplėsti savo galimybes sprendžiant pavyzdžius:
Kaip jums patinka ši šaknų savybė? Ar tai labai palengvina gyvenimą? Man tai visiškai teisinga! Jūs tiesiog turite tai atsiminti Teigiamus skaičius galime įvesti tik po lyginio laipsnio šaknies ženklu.
Pažiūrėkime, kur dar tai gali būti naudinga. Pavyzdžiui, norint išspręsti problemą, reikia palyginti du skaičius:
Tai daugiau:
Negalite pasakyti iš karto. Na, naudokimės išardyta savybe įvesti skaičių po šaknies ženklu? Tada pirmyn:
Na, žinant ką didesnis skaičius po šaknies ženklu, tuo didesnė pati šaknis! Tie. jei tada, . Iš to darome tvirtą išvadą. Ir niekas mūsų neįtikins kitaip!
Prieš tai įvedėme daugiklį po šaknies ženklu, bet kaip jį pašalinti? Jums tereikia įtraukti tai į veiksnius ir išskirti tai, ką ištraukiate!
Buvo galima pasukti kitu keliu ir išplėsti kitus veiksnius:
Neblogai, tiesa? Bet kuris iš šių būdų yra teisingas, nuspręskite, kaip norite.
Pavyzdžiui, čia yra išraiška:
Šiame pavyzdyje laipsnis yra lyginis, bet kas, jei jis yra nelyginis? Vėlgi, taikykite eksponentų savybes ir įvertinkite viską:
Atrodo, kad viskas aišku, bet kaip ištraukti skaičiaus šaknį į laipsnį? Štai, pavyzdžiui, tai:
Gana paprasta, tiesa? O jei laipsnis didesnis nei du? Mes vadovaujamės ta pačia logika, naudodami laipsnių savybes:
Na, ar viskas aišku? Tada čia yra pavyzdys:
Tai yra spąstai, apie juos visada verta prisiminti. Tai iš tikrųjų atsispindi nuosavybės pavyzdžiuose:
| už nelyginį: lygiam ir: |
Tai aišku? Sustiprinkite pavyzdžiais:
Taip, matome, kad šaknis yra lygiam laipsniui, neigiamas skaičius po šaknimi taip pat yra lyginis. Na, ar pavyksta taip pat? Štai kas:
Tai viskas! Dabar čia yra keletas pavyzdžių:
Supratau? Tada eikite į priekį ir išspręskite pavyzdžius.
Pavyzdžiai.
Atsakymai.
Jei gavote atsakymus, galite ramybė judėti toliau. Jei ne, supraskime šiuos pavyzdžius:
Pažvelkime į dvi kitas šaknų savybes:
Šios savybės turi būti analizuojamos pavyzdžiuose. Na, padarykime tai?
Supratau? Apsaugokime tai.
Pavyzdžiai.
Atsakymai.
ŠAKNYS IR JŲ SAVYBĖS. VIDUTINIS LYGIS
Aritmetinė kvadratinė šaknis
Lygtis turi du sprendinius: ir. Tai skaičiai, kurių kvadratas lygus.
Apsvarstykite lygtį. Išspręskime grafiškai. Nubraižykime funkcijos grafiką ir tiesę lygiu. Šių linijų susikirtimo taškai bus sprendimai. Matome, kad ši lygtis taip pat turi du sprendinius – vieną teigiamą, kitą neigiamą:
Bet į tokiu atveju sprendiniai nėra sveikieji skaičiai. Be to, jie nėra racionalūs. Norėdami užrašyti šiuos neracionalius sprendimus, įvedame specialų kvadratinės šaknies simbolį.
Aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus. Kai išraiška neapibrėžta, nes Nėra skaičiaus, kurio kvadratas būtų lygus neigiamam skaičiui.
Kvadratinė šaknis: .
Pavyzdžiui, . Ir iš to seka, kad arba.
Leiskite dar kartą atkreipti jūsų dėmesį, tai labai svarbu: Kvadratinė šaknis visada yra neneigiamas skaičius: !
Kubo šaknis skaičiaus yra skaičius, kurio kubas yra lygus. Kubo šaknis yra apibrėžta kiekvienam. Jį galima išgauti iš bet kurio skaičiaus: . Kaip matote, jis taip pat gali turėti neigiamas reikšmes.
Skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio laipsnis yra lygus, t.y.
Jei jis lygus, tada:
- jei, tada a šaknis neapibrėžta.
- jei, tada neneigiama lygties šaknis vadinama aritmetine th laipsnio šaknimi ir žymima.
Jei - yra nelyginis, tada lygtis turi unikalią šaknį bet kuriai.
Ar pastebėjote, kad kairėje virš šaknies ženklo rašome jo laipsnį? Bet ne už kvadratinę šaknį! Jei matote šaknį be laipsnio, tai reiškia, kad ji yra kvadratinė (laipsniai).
Pavyzdžiai.
Pagrindinės šaknų savybės
ŠAKNYS IR JŲ SAVYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS
Kvadratinė šaknis (aritmetinė kvadratinė šaknis) iš neneigiamo skaičiaus vadinamas tai neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra
Šaknų savybės:
Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.
Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!
Dabar svarbiausia.
Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.
Problema ta, kad to gali nepakakti...
Kam?
Dėl sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis egzaminas, skirtas stojant į koledžą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.
Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...
Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.
Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.
Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...
Bet pagalvok pats...
Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?
ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.
Egzamino metu jūsų neprašys teorijos.
Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.
Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.
Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.
Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!
Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.
Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.
Kaip? Yra dvi parinktys:
- Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
- Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR
Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.
Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.
Apibendrinant...
Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.
„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.
Raskite problemas ir jas spręskite!
Kvadratinio žemės sklypo plotas 81 dm². Surask jo pusę. Tarkime, kvadrato kraštinės ilgis yra X decimetrų. Tada sklypo plotas yra X² kvadratinių decimetrų. Kadangi pagal būklę šis plotas lygus 81 dm², tai X² = 81. Kvadrato kraštinės ilgis yra teigiamas skaičius. Teigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus 81, yra skaičius 9. Sprendžiant uždavinį reikėjo rasti skaičių x, kurio kvadratas lygus 81, t.y išspręsti lygtį X² = 81. Ši lygtis turi dvi šaknis: x 1 = 9 ir x 2 = - 9, nes 9² = 81 ir (- 9)² = 81. Abu skaičiai 9 ir - 9 vadinami 81 kvadratinėmis šaknimis.
Atkreipkite dėmesį, kad viena iš kvadratinių šaknų X= 9 yra teigiamas skaičius. Jis vadinamas aritmetine kvadratine šaknimi iš 81 ir žymima √81, taigi √81 = 9.
Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus A.
Pavyzdžiui, skaičiai 6 ir - 6 yra skaičiaus 36 kvadratinės šaknys. Tačiau skaičius 6 yra aritmetinė kvadratinė šaknis iš 36, nes 6 yra neneigiamas skaičius, o 6² = 36. Skaičius - 6 nėra aritmetinė šaknis.
Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis Ažymimas taip: √ A.
Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu; A- vadinama radikalia išraiška. Išraiška √ A skaityti kaip šitaip: aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis A. Pavyzdžiui, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tais atvejais, kai aišku, kad kalbame apie aritmetinę šaknį, jie trumpai sako: „kvadratinė šaknis A«.
Skaičiaus kvadratinės šaknies radimo veiksmas vadinamas kvadratine šaknimi. Šis veiksmas yra atvirkštinis kvadratui.
Galite kvadratuoti bet kurį skaičių, bet negalite ištraukti kvadratinės šaknies iš bet kurio skaičiaus. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti kvadratinės šaknies iš skaičiaus - 4. Jei tokia šaknis egzistavo, tai pažymint ją raide X, gautume neteisingą lygybę x² = - 4, nes kairėje yra neneigiamas skaičius, o dešinėje - neigiamas skaičius.
Išraiška √ A prasminga tik tada, kai a ≥ 0. Kvadratinės šaknies apibrėžimą galima trumpai parašyti taip: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Lygybė (√ A)² = A galioja iki a ≥ 0. Taigi, norint užtikrinti, kad neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis A lygus b, ty tuo, kad √ A =b, turite patikrinti, ar tenkinamos šios dvi sąlygos: b ≥ 0, b² = A.
Kvadratinė trupmenos šaknis
Paskaičiuokime. Atkreipkite dėmesį, kad √25 = 5, √36 = 6, ir patikrinkime, ar galioja lygybė.
Nes 
ir , tada lygybė yra tiesa. Taigi, 
.
Teorema: Jeigu A≥ 0 ir b> 0, tai yra, trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies. Būtina įrodyti, kad: ir 
.
Nuo √ A≥0 ir √ b> 0, tada .
Apie trupmenos pakėlimo laipsnį savybę ir kvadratinės šaknies apibrėžimą 
teorema įrodyta. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite naudodami įrodytą teoremą 
.
Antras pavyzdys: įrodykite tai 
, Jei A ≤ 0, b < 0. 
.
Kitas pavyzdys: Apskaičiuokite .
.
Kvadratinės šaknies konversija
Daugiklio pašalinimas iš po šaknies ženklo. Tegul išraiška pateikiama. Jeigu A≥ 0 ir b≥ 0, tada naudodamiesi sandaugos šaknies teorema galime parašyti:
Ši transformacija vadinama faktoriaus pašalinimu iš šaknies ženklo. Pažiūrėkime į pavyzdį;
Apskaičiuokite ties X= 2. Tiesioginis pakeitimas X= 2 radikalioje išraiškoje veda į sudėtingi skaičiavimai. Šiuos skaičiavimus galima supaprastinti, jei pirmiausia pašalinsite veiksnius iš po šaknies ženklo: . Dabar pakeitę x = 2, gauname:.
Taigi, pašalinus veiksnį iš po šaknies ženklo, radikali išraiška pavaizduojama sandaugos forma, kurioje vienas ar keli veiksniai yra neneigiamų skaičių kvadratai. Tada pritaikykite sandaugos šaknies teoremą ir paimkite kiekvieno veiksnio šaknį. Panagrinėkime pavyzdį: Supaprastinkite išraišką A = √8 + √18 - 4√2, iš po šaknies ženklo išimdami veiksnius iš pirmųjų dviejų terminų, gausime:. Tą lygybę akcentuojame 
galioja tik tada, kai A≥ 0 ir b≥ 0. jei A < 0, то .
Sveikiname: šiandien pažvelgsime į šaknis – vieną labiausiai jaudinančių temų 8 klasėje. :)
Daugelis žmonių susipainioja dėl šaknų ne todėl, kad jos sudėtingos (kas čia tokio sudėtingo – pora apibrėžimų ir dar pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys apibrėžiamos per tokias džiungles, kad tik vadovėlių autoriai. patys gali suprasti šį raštą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio. :)
Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai turėtumėte atsiminti. Ir tada paaiškinsiu: kam viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.
Bet pirmiausia prisimink vieną svarbus punktas, apie kurį daugelis vadovėlių rengėjų kažkodėl „pamiršta“:
Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mėgstamiausias $\sqrt(a)$, taip pat visų rūšių $\sqrt(a)$ ir net $\sqrt(a)$) ir nelyginio laipsnio (visų rūšių $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ ir kt.). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.
Turbūt 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis, slypi šiame sušiktame „kiek kitaip“. Taigi kartą ir visiems laikams išsiaiškinkime terminiją:
Apibrėžimas. Net šaknis n nuo skaičiaus $a$ yra bet koks ne neigiamas skaičius $b$ yra toks, kad $((b)^(n))=a$. O to paties skaičiaus $a$ nelyginė šaknis paprastai yra bet koks skaičius $b$, kuriam galioja ta pati lygybė: $((b)^(n))=a$.
Bet kokiu atveju šaknis žymima taip:
\(a)\]
Skaičius $n$ tokiame žymėjime vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $a$ – radikaliąja išraiška. Konkrečiai, kai $n=2$ gauname „mėgstamiausią“ kvadratinę šaknį (beje, tai lyginio laipsnio šaknis), o už $n=3$ gauname kubinę šaknį (nelyginį laipsnį), kuri yra taip pat dažnai randama uždaviniuose ir lygtyse.
Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(lygiuoti)\]
Beje, $\sqrt(0)=0$ ir $\sqrt(1)=1$. Tai gana logiška, nes $((0)^(2))=0$ ir $((1)^(2))=1$.
Kubo šaknys taip pat dažnos – jų nereikia bijoti:
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(lygiuoti)\]
Na, pora „egzotiškų pavyzdžių“:
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(lygiuoti)\]
Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!
Tuo tarpu apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių rodiklių apibrėžimą.
Kam iš viso reikalingos šaknys?
Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Ir iš tikrųjų: kam iš viso reikalingos visos šios šaknys?
Norėdami atsakyti į šį klausimą, trumpam grįžkime prie pradines klases. Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas panašaus į „penki penki – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet jūs galite dauginti skaičius ne poromis, o trynukais, keturkampiais ir paprastai ištisomis rinkiniais:
\[\begin(lygiuoti) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end (lygiuoti)\]
Tačiau tai ne esmė. Triukas kitoks: matematikai yra tinginiai, todėl jiems sunkiai sekėsi užrašyti dešimties penketukų dauginimą taip:
Štai kodėl jie sugalvojo laipsnius. Kodėl faktorių skaičiaus neįrašius kaip viršutinį indeksą, o ne kaip ilgą eilutę? Kažkas panašaus į tai:
Tai labai patogu! Visi skaičiavimai žymiai sutrumpėja, ir jums nereikia švaistyti krūvos pergamento lapų ir sąsiuvinių, kad užsirašytumėte 5183. Šis rekordas buvo vadinamas skaičiaus galia, jame buvo rasta krūva savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.
Po grandiozinio išgertuvės, surengtos vien dėl laipsnių „atradimo“, kažkoks ypač užsispyręs matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, o pats skaičius nežinomas? Iš tiesų, jei žinome, kad tam tikras skaičius $b$, tarkime, iki 5 laipsnio duoda 243, tai kaip galime atspėti, kam yra lygus pats skaičius $b$?
Ši problema pasirodė daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „paruoštų“ galių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\RightArrow b=4\cdot 4\cdot 4\RightArrow b=4. \\ \end(lygiuoti)\]
O kas, jei $((b)^(3)) = 50 $? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tai yra šis skaičius yra kažkur tarp trijų ir keturių, bet jūs nesuprasite, kam jis lygus.
Būtent todėl matematikai sugalvojo $n$-ąją šaknį. Būtent todėl buvo įvestas radikalus simbolis $\sqrt(*)$. Pažymėti patį skaičių $b$, kuris nurodytu laipsniu suteiks mums anksčiau žinomą reikšmę
\[\sqrt[n](a)=b\Rodyklė dešinėn ((b)^(n))=a\]
Aš nesiginčiju: dažnai šios šaknys yra lengvai apskaičiuojamos - aukščiau matėme keletą tokių pavyzdžių. Tačiau daugeliu atvejų, jei sugalvosite savavališką skaičių ir bandysite iš jo išgauti savavališko laipsnio šaknį, jūsų laukia siaubingas bėdas.
Kas ten! Netgi paprasčiausias ir žinomiausias $\sqrt(2)$ negali būti pavaizduotas mums įprasta forma – kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:
\[\sqrt(2)=1,4142...\apytiksliai 1,4 \lt 1,5\]
Arba štai kitas pavyzdys:
\[\sqrt(3)=1,73205...\apytiksliai 1,7 \gt 1,5\]
Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir, antra, jūs taip pat turite mokėti dirbti su apytiksliais dydžiais, antraip galite pagauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžius reikia patikrinti profilyje „Vieningas valstybinis egzaminas“).
Todėl rimtoje matematikoje neapsieisite be šaknų - jie yra tokie patys lygūs visų realiųjų skaičių aibės $\mathbb(R)$ atstovai, kaip ir mums seniai žinomos trupmenos ir sveikieji skaičiai.
Nesugebėjimas pavaizduoti šaknies kaip formos $\frac(p)(q)$ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti nebent naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir kt.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.
Panagrinėkime kelis pavyzdžius, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apytiksliai 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apytiksliai -1,2599... \\ \end(lygiuoti)\]
Natūralu, anot išvaizdašaknis beveik neįmanoma atspėti, kurie skaičiai bus po kablelio. Tačiau galite pasikliauti skaičiuotuvu, tačiau net ir pažangiausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti formomis $\sqrt(5)$ ir $\sqrt(-2)$.
Būtent dėl to jie buvo išrasti. Norėdami patogiai įrašyti atsakymus.
Kodėl reikalingi du apibrėžimai?
Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys paimtos iš teigiamų skaičių. Na, bent jau nuo nulio. Tačiau kubo šaknis galima ramiai išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – ar tai būtų teigiama, ar neigiama.
Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $y=((x)^(2))$ grafiką:
Tvarkaraštis kvadratinė funkcija suteikia dvi šaknis: teigiamą ir neigiamą Pabandykime apskaičiuoti $\sqrt(4)$ naudodami šį grafiką. Tam grafike (pažymėta raudona spalva) nubrėžiama horizontali linija $y=4$, kuri susikerta su parabole dviejuose taškuose: $((x)_(1))=2$ ir $((x) )_(2)) = -2 $. Tai gana logiška, nes
Su pirmuoju skaičiumi viskas aišku - jis yra teigiamas, taigi tai yra šaknis:
Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Kaip keturi turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl tada neparašius $\sqrt(4)=-2$? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave suvalgyti? :)
Bėda ta, kad jei nekelsite jokių papildomų sąlygų, keturkampis turės dvi kvadratines šaknis - teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du iš jų. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų – tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.
Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:
- Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $n$;
- Iš neigiamų skaičių šaknis su net $n$ iš viso neišgaunama.
Štai kodėl lyginio laipsnio $n$ šaknies apibrėžime konkrečiai nurodyta, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.
Tačiau nelyginiams $n$ tokios problemos nėra. Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į funkcijos $y=((x)^(3))$ grafiką:
Kubo parabolė gali turėti bet kokią reikšmę, todėl kubo šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:
- Kubinės parabolės šakos, skirtingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl nesvarbu, kokio aukščio nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija tikrai susikirs su mūsų grafiku. Vadinasi, kubo šaknį visada galima išgauti iš absoliučiai bet kokio skaičiaus;
- Be to, tokia sankryža visada bus unikali, todėl jums nereikės galvoti, kuris skaičius laikomas „teisinga“ šaknimi, o kurį ignoruoti. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknis nustatyti yra paprasčiau nei lyginiam (neneigiamumo reikalavimo nėra).
Gaila, kad šie paprastus dalykus daugumoje vadovėlių nepaaiškinami. Vietoj to, mūsų smegenys pradeda sklandyti su visomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.
Taip, aš nesiginčiju: jūs taip pat turite žinoti, kas yra aritmetinė šaknis. Ir apie tai išsamiai pakalbėsiu atskiroje pamokoje. Šiandien apie tai taip pat pakalbėsime, nes be jos visos mintys apie $n$-osios daugumos šaknis būtų neišsamios.
Bet pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.
Viskas, ką jums reikia padaryti, tai suprasti skirtumą tarp lyginių ir nelyginių rodiklių. Todėl dar kartą surinkime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:
- Lyginio laipsnio šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių šaknis neapibrėžta.
- Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems skaičiams, kaip rodo viršutinė riba, neigiama.
Ar tai sunku? Ne, tai nėra sunku. Tai aišku? Taip, tai visiškai akivaizdu! Taigi dabar šiek tiek pasipraktikuosime su skaičiavimais.
Pagrindinės savybės ir apribojimai
Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – apie tai bus kalbama atskiroje pamokoje. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „gudrybę“, kuri taikoma tik šaknims su lygiu indeksu. Parašykime šią savybę kaip formulę:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]
Kitaip tariant, jei skaičių padidinsime iki lyginės laipsnio ir tada ištrauksime tos pačios laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią galima nesunkiai įrodyti (pakanka atskirai nagrinėti neneigiamus $x$, o po to atskirai neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, tai pateikiama kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalus ženklas), mokiniai vieningai pamiršta šią formulę.
Norėdami išsamiai suprasti problemą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite iš karto apskaičiuoti du skaičius:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Tai labai paprasti pavyzdžiai. Daugelis žmonių išspręs pirmąjį pavyzdį, tačiau daugelis žmonių įstringa ties antrajam. Kad be problemų išspręstumėte tokius nešvarumus, visada apsvarstykite procedūrą:
- Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Gausite naują skaičių, kurį galite rasti net daugybos lentelėje;
- Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtą šaknį. Tie. nevyksta šaknų ir galių „sumažinimas“ - tai nuoseklūs veiksmai.
Pažiūrėkime į pirmąją išraišką: $\sqrt(((3)^(4)))$. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:
\[((3)^(4))=3\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 3=81\]
Tada ištraukiame ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:
Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kurį reikia padauginti iš savęs 4 kartus:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kairėje (-3 \right) = 81\]
Gavome teigiamą skaičių, nes bendras gaminio minusų skaičius yra 4 ir jie visi vienas kitą panaikins (juk minusas už minusą duoda pliusą). Tada vėl ištraukiame šaknį:
Iš principo šios eilutės negalėjo būti parašytos, nes negalvojama, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „sudegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Šie skaičiavimai gerai sutampa su lyginio laipsnio šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o radikaliame ženkle taip pat visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis neapibrėžta.
Pastaba apie procedūrą
- Žymėjimas $\sqrt(((a)^(2)))$ reiškia, kad iš pradžių skaičių $a$ paimame kvadratu, o tada gaunamos reikšmės kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad po šaknies ženklu visada yra neneigiamas skaičius, nes $((a)^(2))\ge 0$ bet kuriuo atveju;
- Tačiau žymėjimas $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, priešingai, reiškia, kad pirmiausia paimame tam tikro skaičiaus $a$ šaknį ir tik po to rezultatą kvadratu. Todėl skaičius $a$ jokiu būdu negali būti neigiamas – tai yra privalomas reikalavimas, įtrauktas į apibrėžimą.
Taigi jokiu būdu nereikėtų neapgalvotai mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastinant“ pirminę išraišką. Nes jei šaknis turi neigiamą skaičių, o jos rodiklis lyginis, gauname krūvą problemų.
Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.
Minuso ženklo pašalinimas iš po šaknies ženklo
Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo bruožą, kurio iš esmės nėra su lyginiais. Būtent:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Trumpai tariant, minusą galite pašalinti iš po nelyginio laipsnio šaknų ženklo. Tai labai naudingą turtą, kuri leidžia „išmesti“ visus neigiamus dalykus:
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(lygiuoti)\]
Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar jums nereikia jaudintis: o kas, jei neigiama išraiška būtų paslėpta po šaknimi, o laipsnis prie šaknies pasirodė lygus? Užtenka tik „išmesti“ visus minusus už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas iš kito, dalytis ir apskritai padaryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju mus garantuotai prives prie klaida.
Ir čia pasirodo kitas apibrėžimas – tas pats, su kuriuo daugumoje mokyklų jie pradeda tyrinėti neracionalius posakius. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Susitikti!
Aritmetinė šaknis
Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Pamirškime lyginius/nelyginius rodiklius, pamirškime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?
Ir tada gausime aritmetinę šaknį - ji iš dalies sutampa su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.
Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $a$ $n$-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$.
Kaip matome, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.
Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į mums jau pažįstamus kvadratinės ir kubinės parabolės grafikus:
Aritmetinės šaknies paieškos sritis – neneigiami skaičiai Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tie grafikų fragmentai, kurie yra pirmajame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $x$ ir $y$ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar mes turime teisę dėti neigiamą skaičių po šaknimi, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.
Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio sterilizuoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl negalime susitvarkyti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?
Na, aš pateiksiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponencijos taisyklė:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai pavyzdžiai:
\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(lygiuoti)\]
Taigi, kas per didelis? Kodėl mes negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Panagrinėkime paprastą išraišką: $\sqrt(-2)$ - šis skaičius yra gana normalus mūsų klasikiniu supratimu, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime konvertuoti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(lygiuoti)$
Kaip matote, pirmuoju atveju pašalinome minusą iš po radikalo (turime visas teises, nes rodiklis yra nelyginis), o antruoju atveju naudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. Matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.
WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, neigiamų skaičių atveju pradeda kelti visišką ereziją.
Būtent norėdami atsikratyti tokio neaiškumo, jie ir sugalvojo aritmetinės šaknys. Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Taigi dabar apie juos nesigilinsime - pamoka jau pasirodė per ilga.
Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau
Ilgai galvojau, ar dėti šią temą į atskirą pastraipą, ar ne. Galų gale nusprendžiau tai palikti čia. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – jau ne vidutinio „mokyklinio“, o artimo olimpiados lygiui.
Taigi: be „klasikinio“ skaičiaus $n$-osios šaknies apibrėžimo ir su juo susijusio padalijimo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir labiau „suaugusiųjų“ apibrėžimas, kuris visiškai nepriklauso nuo pariteto ir kitų subtilybių. Tai vadinama algebrine šaknimi.
Apibrėžimas. Bet kurio $a$ algebrinė $n$-oji šaknis yra visų skaičių $b$ aibė, kad $((b)^(n))=a$. Tokioms šaknims nėra nustatyto pavadinimo, todėl viršuje uždėsime brūkšnį:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas algebrinė šaknis- tai ne konkretus skaičius, o rinkinys. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, šis rinkinys yra tik trijų tipų:
- Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
- Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių galių šaknys, taip pat lyginių nulio laipsnių šaknys;
- Galiausiai rinkinyje gali būti du skaičiai – tie patys $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))=-((x)_(1))$, kuriuos matėme grafiko kvadratinė funkcija. Atitinkamai, toks išdėstymas galimas tik iš teigiamo skaičiaus išimant lyginio laipsnio šaknį.
Paskutinis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.
Pavyzdys. Įvertinkite posakius:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Sprendimas. Pirmoji išraiška paprasta:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Tai du skaičiai, kurie yra rinkinio dalis. Nes kiekvienas iš jų kvadratu duoda ketvertą.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.
Galiausiai paskutinė išraiška:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Gavome tuščią komplektą. Nes nėra nė vieno realaus skaičiaus, kurį pakėlus iki ketvirtosios (t.y. lyginės!) laipsnio, gautume neigiamą skaičių −16.
Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Nes yra ir kompleksinių skaičių - ten visai įmanoma suskaičiuoti $\sqrt(-16)$, ir daug kitų keistų dalykų.
Tačiau šiuolaikiniuose mokykliniuose matematikos kursuose sudėtingi skaičiai beveik niekada nepasirodo. Jie buvo pašalinti iš daugumos vadovėlių, nes mūsų pareigūnai mano, kad tema „per sunku suprasti“.
