Kaip išspręsti mažiausią bendrą kartotinį. Bendras daliklis ir kartotinis

Internetinis skaičiuotuvas leidžia greitai rasti dviejų ar bet kurio kito skaičių didžiausią bendrą daliklį ir mažiausią bendrą kartotinį.

Skaičiuoklė GCD ir NOC paieškai

Raskite GCD ir NOC

GCD ir NOC rasta: 5806

Kaip naudotis skaičiuokle

• Įvesties lauke įveskite skaičius
• Įvedus neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
• paspauskite mygtuką "Rasti GCD ir NOC"

Kaip įvesti skaičius

• Skaičiai įvedami atskirti tarpais, taškais arba kableliais
• Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl rasti ilgų skaičių gcd ir lcm nebus sunku

Kas yra NOD ir NOK?

Didžiausias bendras daliklis iš kelių skaičių yra didžiausias natūralusis sveikasis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.

Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?

Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungus galima patikrinti dalijimąsi iš kai kurių iš jų ir jų derinių.

Kai kurie skaičių dalijimosi požymiai

1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 ženklas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.

2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 ženklas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3. Taigi, norėdami nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, turite apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma pasirodė labai didelė, galite pakartoti tą patį procesą vėl.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: skaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.

3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 ženklas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.

4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 ženklas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: apskaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.

Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM

Kaip rasti dviejų skaičių GCD

Dauguma paprastu būdu apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus tų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.

Apsvarstykite šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:

1. Suskirstome abu skaičius: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
3. Mes apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 \u003d 4 - tai yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.

Kaip rasti dviejų skaičių LCM

Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų tokį skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių GCD. Tiesiog pasvarstykime.

Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti jį iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:

1. Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28 36 = 1008
2. Jau žinoma, kad gcd(28, 36) yra 4
3. LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .

GCD ir LCM radimas keliems numeriams

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam didžiausio bendro daliklio skaičiai išskaidomi į pagrindiniai veiksniai, tada raskite šių skaičių bendrųjų pirminių veiksnių sandaugą. Be to, norėdami rasti kelių skaičių GCD, galite naudoti šį ryšį: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Panašus ryšys taip pat taikomas mažiausiam bendrajam skaičių kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.

1. Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Raskime bendrus veiksnius: 1, 2 ir 2 .
3. Jų produktas duos gcd: 1 2 2 = 4
4. Dabar suraskime LCM: tam pirmiausia randame LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Matematinės išraiškos ir užduotys reikalauja daug papildomų žinių. NOC yra vienas iš pagrindinių, ypač dažnai vartojamas temoje.Tema mokoma vidurinėje mokykloje, o perprasti medžiagą nėra itin sunku, galias ir daugybos lentelę išmanančiam žmogui pasirinkti nebus sunku. reikiamus skaičius ir raskite rezultatą.

Apibrėžimas

Bendrasis kartotinys yra skaičius, kurį vienu metu galima visiškai padalyti į du skaičius (a ir b). Dažniausiai šis skaičius gaunamas padauginus pradinius skaičius a ir b. Skaičius turi dalytis iš abiejų skaičių iš karto, be nukrypimų.

NOC yra priimtas terminas trumpas pavadinimas, surinktas iš pirmųjų raidžių.

Būdai gauti numerį

Norint rasti LCM, skaičių dauginimo būdas ne visada tinka, jis daug geriau tinka paprastiems vienaženkliams arba dviženkliams skaičiams. Įprasta skirstyti į veiksnius, kuo didesnis skaičius, tuo daugiau faktorių bus.

1 pavyzdys

Paprasčiausias pavyzdys – mokyklos dažniausiai ima paprastus, vienženklius arba dviženklius skaičius. Pavyzdžiui, reikia išspręsti šią užduotį, rasti mažiausią skaičių 7 ir 3 bendrąjį kartotinį, sprendimas gana paprastas, tereikia juos padauginti. Dėl to yra skaičius 21, mažesnio skaičiaus tiesiog nėra.

2 pavyzdys

Antrasis variantas yra daug sunkesnis. Pateikiami skaičiai 300 ir 1260, surasti LCM yra privaloma. Norint išspręsti užduotį, atliekami šie veiksmai:

Pirmojo ir antrojo skaičių išskaidymas į paprasčiausius veiksnius. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pirmasis etapas baigtas.

Antrasis etapas apima darbą su jau gautais duomenimis. Kiekvienas gautas skaičius turi dalyvauti skaičiuojant galutinį rezultatą. Už kiekvieną daugiklį – daugiausia didelis skaičiusįvykių. NOC yra iš viso, todėl faktoriai iš skaičių turėtų būti kartojami iki paskutinio, net ir tie, kurie yra vienu atveju. Abu pradiniai skaičiai turi skaičius 2, 3 ir 5 įvairaus laipsnio, 7 yra tik vienu atveju.

Norėdami apskaičiuoti galutinį rezultatą, į lygtį turite paimti kiekvieną skaičių pagal didžiausią jų atstovaujamą galią. Belieka tik padauginti ir gauti atsakymą, teisingai užpildžius užduotis suskirstyta į du veiksmus be paaiškinimo:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Štai ir visa užduotis, jei bandysite apskaičiuoti norimą skaičių padaugindami, atsakymas tikrai nebus teisingas, nes 300 * 1260 = 378 000.

Egzaminas:

6300 / 300 = 21 – tiesa;

6300 / 1260 = 5 yra teisinga.

Rezultato teisingumas nustatomas tikrinant – LCM padalijus iš abiejų pradinių skaičių, jei skaičius abiem atvejais yra sveikasis skaičius, tai atsakymas teisingas.

Ką matematikoje reiškia NOC

Kaip žinia, matematikoje nėra nė vienos nenaudingos funkcijos, ši – ne išimtis. Dažniausias šio skaičiaus tikslas – suvesti trupmenas į bendrą vardiklį. Kas dažniausiai mokomasi 5-6 klasėse vidurinė mokykla. Be to, tai yra bendras visų kartotinių daliklis, jei problemos yra tokios. Tokia išraiška gali rasti kartotinį ne tik dviejų skaičių, bet ir daug didesnio skaičiaus – trijų, penkių ir pan. Kuo daugiau skaičių – tuo daugiau veiksmų užduotyje, tačiau jos sudėtingumas nepadidėja.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į skaičius 250, 600 ir 1500, turite rasti bendrą jų LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 – šiame pavyzdyje detaliai aprašomas faktorizavimas be mažinimo.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Norint sudaryti išraišką, reikia paminėti visus veiksnius, šiuo atveju pateikiami 2, 5, 3 - visiems šiems skaičiams reikia nustatyti maksimalų laipsnį.

Dėmesio: visi daugikliai turi būti visiškai supaprastinti, jei įmanoma, išskaidant iki vienženklių skaitmenų lygio.

Egzaminas:

1) 3000 / 250 = 12 – tiesa;

2) 3000 / 600 = 5 – tiesa;

3) 3000 / 1500 = 2 yra teisinga.

Šis metodas nereikalauja jokių gudrybių ar genialaus lygio sugebėjimų, viskas paprasta ir aišku.

Kitas būdas

Matematikoje daug kas yra susiję, daug ką galima išspręsti dviem ar daugiau būdų, tas pats pasakytina ir ieškant mažiausiojo bendro kartotinio LCM. Šis metodas gali būti naudojamas paprastiems dviženkliams ir vienženkliams skaičiams. Sudaroma lentelė, kurioje daugiklis įvedamas vertikaliai, daugiklis – horizontaliai, o sandauga nurodoma susikertančiose stulpelio langeliuose. Lentelę galite atspindėti linija, paimamas skaičius ir šio skaičiaus padauginimo iš sveikųjų skaičių rezultatai rašomi iš eilės, nuo 1 iki begalybės, kartais užtenka 3-5 taškų, pateikiami antrasis ir vėlesni skaičiai. į tą patį skaičiavimo procesą. Viskas vyksta tol, kol randamas bendras kartotinis.

Atsižvelgiant į skaičius 30, 35, 42, turite rasti LCM, jungiantį visus skaičius:

1) 30 kartotiniai: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 ir kt.

2) 35 kartotiniai: 70, 105, 140, 175, 210, 245 ir kt.

3) 42 kartotiniai: 84, 126, 168, 210, 252 ir kt.

Pastebima, kad visi skaičiai yra gana skirtingi, vienintelis bendras skaičius tarp jų yra 210, taigi tai bus LCM. Tarp procesų, susijusių su šiuo skaičiavimu, taip pat yra didžiausias bendras daliklis, kuris apskaičiuojamas pagal panašius principus ir dažnai susiduriama su gretimomis problemomis. Skirtumas nedidelis, bet pakankamai reikšmingas, LCM apima skaičiaus, kuris dalijasi iš visų nurodytų pradinių verčių, apskaičiavimą, o GCM apima skaičiavimą didžiausią vertę iš kurių dalijasi pradiniai skaičiai.

Kartinys yra skaičius, kuris dalijasi iš duotas numeris be pėdsakų. Mažiausias skaičių grupės kartotinis (LCM) yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno grupės skaičiaus. Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turite rasti pirminius duotųjų skaičių veiksnius. Be to, LCM galima apskaičiuoti naudojant daugybę kitų metodų, taikomų dviejų ar daugiau skaičių grupėms.

Žingsniai

Daugialypių serija

Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurių kiekvienas yra mažesnis nei 10. Jei nurodyta dideli skaičiai, naudokite kitą metodą.

• Pavyzdžiui, suraskite mažiausią skaičių 5 ir 8 bendrąjį kartotinį. Tai maži skaičiai, todėl galima naudoti šį metodą.

1. Skaičiaus kartotinis yra skaičius, kuris dalijasi iš nurodyto skaičiaus be liekanos. Daugybos lentelėje galima rasti kelis skaičius.

   • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 5 kartotiniai, yra: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Užrašykite skaičių seriją, kuri yra pirmojo skaičiaus kartotiniai. Atlikite tai su pirmojo skaičiaus kartotiniais, kad palygintumėte dvi skaičių eilutes.

   • Pavyzdžiui, skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai, yra: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 ir 64.

3. Raskite mažiausią skaičių, esantį abiejose kartotinių serijose. Gali tekti parašyti ilgas kartotinių serijas, kad rastumėte bendrą sumą. Mažiausias skaičius, esantis abiejose kartotinių serijose, yra mažiausias bendras kartotinis.

   • Pavyzdžiui, mažiausias skaičius, kuris pasirodo 5 ir 8 kartotinių serijoje, yra skaičius 40. Todėl 40 yra mažiausias bendras skaičių 5 ir 8 kartotinis.

   Pirminis faktorizavimas

   1. Pažiūrėkite į šiuos skaičius.Čia aprašytą metodą geriausia naudoti, kai pateikiami du skaičiai, kurie abu yra didesni nei 10. Jei pateikiami mažesni skaičiai, naudokite kitą metodą.

      • Pavyzdžiui, raskite mažiausią skaičių 20 ir 84 bendrąjį kartotinį. Kiekvienas skaičius yra didesnis nei 10, todėl galima naudoti šį metodą.

   2. Suskaičiuokite pirmąjį skaičių. Tai yra, reikia rasti tokius pirminius skaičius, kuriuos padauginę gausite nurodytą skaičių. Suradę pirminius veiksnius, užrašykite juos kaip lygybę.

      • Pavyzdžiui, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Ir 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) ) = 10). Taigi, pirminiai skaičiaus 20 veiksniai yra skaičiai 2, 2 ir 5. Užrašykite juos kaip išraišką: .

   3. Padalinkite antrąjį skaičių į pirminius veiksnius. Atlikite tai taip pat, kaip suskaičiavote pirmąjį skaičių, tai yra, suraskite pirminius skaičius, kuriuos padauginus gausite šį skaičių.

      • Pavyzdžiui, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6 = 42) Ir 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Taigi, pirminiai skaičiaus 84 veiksniai yra skaičiai 2, 7, 3 ir 2. Užrašykite juos kaip išraišką: .

   4. Užrašykite abiem skaičiams bendrus veiksnius. Parašykite tokius veiksnius kaip daugybos operaciją. Rašydami kiekvieną veiksnį, perbraukite jį abiejose išraiškose (išraiškose, apibūdinančiose skaičių skaidymą į pirminius veiksnius).

      • Pavyzdžiui, bendras abiejų skaičių koeficientas yra 2, todėl parašykite 2 × (\displaystyle 2\times ) ir abiejose išraiškose išbraukite 2.
      • Bendras abiejų skaičių koeficientas yra dar vienas koeficientas 2, todėl parašykite 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) ir abiejose išraiškose išbraukite antrąjį 2.

   5. Pridėkite likusius veiksnius prie daugybos operacijos. Tai yra veiksniai, kurie nėra perbraukti abiejose išraiškose, tai yra veiksniai, kurie nėra bendri abiem skaičiams.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20 = 2\ kartus 2\ kartus 5) abu du (2) yra perbraukti, nes jie yra bendri veiksniai. Koeficientas 5 nėra perbrauktas, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Išraiškoje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kartai 7\kartai 3\kartai 2) abu dvejetai (2) taip pat perbraukti. 7 ir 3 koeficientai nėra perbraukti, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3).

   6. Apskaičiuokite mažiausią bendrąjį kartotinį. Norėdami tai padaryti, padauginkite skaičius parašytoje daugybos operacijoje.

      • Pavyzdžiui, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\kartai 2\kartai 5\kartai 7\kartai 3=420). Taigi mažiausias bendras 20 ir 84 kartotinis yra 420.

   Bendrų daliklių radimas

   1. Nupieškite tinklelį, kaip tai darytumėte žaisdami „tic-tac-toe“. Toks tinklelis susideda iš dviejų lygiagrečių tiesių, kurios susikerta (stačiu kampu) su kitomis dviem lygiagrečiomis linijomis. Taip atsiras trys eilutės ir trys stulpeliai (tinklelis labai panašus į # ženklą). Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite pirmąjį skaičių. Pirmoje eilutėje ir trečiame stulpelyje parašykite antrąjį skaičių.

      • Pavyzdžiui, raskite mažiausią bendrą 18 ir 30 kartotinį. Pirmoje eilutėje ir antrame stulpelyje parašykite 18, o pirmoje ir trečioje stulpelyje - 30.

   2. Raskite abiem skaičiams bendrą daliklį. Užrašykite jį pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Geriau ieškoti pirminių daliklių, bet tai nėra būtina sąlyga.

      • Pavyzdžiui, 18 ir 30 yra lyginiai skaičiai, taigi jų bendras daliklis yra 2. Taigi pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 2.

   3. Padalinkite kiekvieną skaičių iš pirmojo daliklio. Kiekvieną koeficientą parašykite po atitinkamu skaičiumi. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas.

      • Pavyzdžiui, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2 = 9), todėl rašykite 9 iki 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2 = 15), todėl rašykite 15 iki 30.

   4. Raskite daliklį, bendrą abiem koeficientams. Jei tokio daliklio nėra, praleiskite kitus du veiksmus. Kitu atveju antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje užrašykite daliklį.

      • Pavyzdžiui, 9 ir 15 dalijasi iš 3, todėl antroje eilutėje ir pirmame stulpelyje parašykite 3.

   5. Kiekvieną koeficientą padalinkite iš antrojo daliklio. Kiekvieno padalijimo rezultatą parašykite po atitinkamu koeficientu.

      • Pavyzdžiui, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3 = 3), todėl parašykite 3 po 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3 = 5), todėl rašykite 5 iki 15.

   6. Jei reikia, tinklelį papildykite papildomomis ląstelėmis. Kartokite aukščiau nurodytus veiksmus, kol koeficientai turės bendrą daliklį.

   7. Apibraukite skaičius pirmame stulpelyje ir paskutinėje tinklelio eilutėje. Tada paryškintus skaičius parašykite kaip daugybos operaciją.

      • Pavyzdžiui, skaičiai 2 ir 3 yra pirmame stulpelyje, o skaičiai 3 ir 5 yra paskutinėje eilutėje, todėl daugybos operaciją parašykite taip: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5).

   8. Raskite skaičių padauginimo rezultatą. Taip bus apskaičiuotas mažiausias bendrasis dviejų nurodytų skaičių kartotinis.

      • Pavyzdžiui, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystilius 2\kartai 3\kartai 3\kartai 5=90). Taigi mažiausias bendras 18 ir 30 kartotinis yra 90.

   Euklido algoritmas

   1. Prisiminkite terminiją, susijusią su padalijimo operacija. Dividendas yra dalijamas skaičius. Daliklis yra skaičius, iš kurio reikia padalyti. Dalinys yra dviejų skaičių padalijimo rezultatas. Likutis yra skaičius, likęs padalijus du skaičius.

      • Pavyzdžiui, išraiškoje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6 = 2) poilsis. 3:
        15 yra dalijamasis skaičius
        6 yra daliklis
        2 yra privatus
        3 yra likusi dalis.

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis (gcd)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai bus skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 bus skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami koprime.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami koprime jei jų didžiausias bendras daliklis (gcd) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du dvejetus).
Lieka koeficientai 2 * 2 * 3. Jų sandauga yra 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra 15, nes jis padalija visus kitus skaičius: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) natūraliuosius skaičius a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neišrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, išskaidome 75 ir 60 į paprastus veiksnius: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ir 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašome veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridedame prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (tai yra, sujungiame veiksnius).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Taip pat suraskite mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) išskaidyti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras 12, 15, 20 ir 60 kartotinis būtų 60, nes jis dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. numeris, lygi sumai visus jo daliklius (be paties skaičiaus) jie vadino tobulu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobuluosius skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau iki šiol mokslininkai nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulasis skaičius.
Senovės matematikų susidomėjimas pirminiais skaičiais kyla dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, tai yra, pirminiai skaičiai yra tarsi plytos, iš kurių pastatyti likę natūralieji skaičiai.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai tampa retesni. Kyla klausimas: ar egzistuoja paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Pradžia“, kuri du tūkstančius metų buvo pagrindinis matematikos vadovėlis, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, tai yra, už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi lyginis. didesnis pirminis skaičius.
Pirminiams skaičiams surasti tokį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vienetą, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, ty 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų buvo perbraukti visi skaičiai po 3 (skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.). pabaigoje liko neperbraukti tik pirminiai skaičiai.

Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio antraštėje LCM – mažiausias kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), Ir Ypatingas dėmesys Pažvelkime į pavyzdžius. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime formule išreikštą ryšį tarp LCM ir GCD LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.

Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .

Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .

Atsakymas:

LCM(126, 70)=630 .

Pavyzdys.

Kas yra LCM(68, 34)?

Sprendimas.

Nes 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34) = 68 34: LCM(68, 34) = 68 34:34=68 .

Atsakymas:

LCM(68, 34) = 68 .

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .

LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.

Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kuris aprašytas skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).

Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė yra lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.

Pavyzdys.

Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Sprendimas.

Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .

Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Taigi, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Atsakymas:

LCM(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..

Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.

Atsakymas:

LCM(84, 648) = 4 536 .

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teorema.

Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Pavyzdys.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Pirmiausia randame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .

Dabar randame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54: gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.

Liko surasti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250)=10, iš kur gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Tai yra, m 4 \u003d 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

Atsakymas:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tuo pačiu metu reikia laikytis kita taisyklė. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname šių skaičių išplėtimus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirminiai koeficientai) ir 143=11 13 .

Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7 ) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.