Laipsnių papildymas ir atimtumas

Akivaizdu, kad numeriai su laipsniais gali būti tikslūs kaip kitos vertės , pridedant juos po kito su jų ženklais.

Taigi, suma A 3 ir B 2 yra 3 + B 2.
Suma A 3 - B N ir H 5 -D 4 yra 3 - b n + h 5 - d 4.

Faktoriai vienodi tų pačių kintamųjų laipsniai Gali būti suprojektuota arba išskaičiuojama.

Taigi 2a ir 3a 2 dydis yra 5A 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei vartojate du kvadratus, arba tris kvadratus a arba penki kvadratai a.

Tačiau laipsniai skirtingi kintamieji ir. \\ T Įvairūs laipsniai identiški kintamiejituri būti atliekami jų požymiais.

Taigi, suma A 2 ir 3 yra suma yra 2 + a 3.

Tai akivaizdu, kad numerio A kvadratas ir numeris A, nėra lygus dvigubam kvadratiniam a, bet dvigubai Kubai a.

A 3 B N ir 3A 5 B 6 suma yra 3 b n + 3a 5 b 6.

Atimti Laipsniai yra atliekami taip pat, kaip ir papildoma, išskyrus tai, kad atimamųjų požymiai turi būti atitinkamai keičiami.

Arba:
2A 4 - (-6a 4) \u003d 8A 4
3H 2 B 6 - 4H 2 B 6 \u003d -H 2 B 6
5 (A - H) 6 - 2 (A - H) 6 \u003d 3 (A - H) 6

Dauginant laipsnius

Skaičiai su laipsniais gali būti padaugintos iš kitų vertybių, rašydami juos po kito, su daugybos arba be jo tarp jų.

Taigi dauginimo rezultatas A 3 B 2 yra 3 B 2 arba AAABB.

Arba:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3A 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 B 3 Y 2 ⋅ A 3 B 2 Y \u003d A 2 B 3 Y 2 A 3 B 2 Y

Pastarasis pavyzdys gali būti užsakytas pridedant tuos pačius kintamuosius.
Sąvoka bus forma: 5 B 5 Y 3.

Keletas numerių (kintamųjų) lyginant su laipsniais, matome, kad jei du iš jų yra dauginami, rezultatas yra numeris (kintamasis) su laipsniu lygiu lygiu lygiu suma Sąlygų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.

Čia 5 yra dauginimo rezultatas, lygus 2 + 3, komponentų laipsnių sumą.

Taigi, a n .a m \u003d a m + n.

Už n, a yra imamas kaip daugikliai tiek kartų kaip laipsnis n;

Ir m, yra daug kartų, kaip ir laipsnio m;

Todėl, laipsnį su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti nuo laipsnių pridėjimo.

Taigi, a 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d A 8. Ir x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.

Arba:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 Y 3 ⋅ B 4 Y \u003d B 6 Y 4
(B + H - Y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - Y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja numeriams, kurių laipsnis - neigiamas.

1. Taigi, A -2 .a -3 \u003d A -5. Tai galima parašyti forma (1 / AA). (1 / AAA) \u003d 1 / AAAAA.

2. y -n .y -m \u003d y -n-m.

3. a -n .a m \u003d m-n.

Jei A + B yra padaugintas iš A - B, rezultatas bus lygus 2 - B 2: tai yra

Dviejų skaičių dydžio ar skirtumo dauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai ar skirtumui.

Jei suma yra padauginta ir dviejų skirtumų skirtumas aikštė. \\ t, rezultatas bus lygus šių numerių sumai ar skirtumui ketvirta laipsnis.

Taigi, (a - y). (A + y) \u003d a 2 - Y 2.
(A 2 - Y2) ⋅ (A 2 + Y 2) \u003d A 4 \u200b\u200b- Y 4.
(A 4 - Y 4) ⋅ (A 4 + Y 4) \u003d A 8 - Y 8.

Sprendimų ugdymas. \\ T

Skaičiai su laipsniais gali būti padalintas, kaip ir kiti numeriai, atsižvelgiant padalinį skirstytuvą arba jų išdėstymą frakcijai.

Taigi, 3 B 2 padalintas iš B 2, lygus 3.

5 įrašymas 5 padalintas iš 3 atrodo kaip $ \\ t $. Tačiau tai lygi 2. Daugeliu atvejų
+4, A +3, A + 2, A +1, A 0, A -1, A -2, A -3, A -4.
bet koks skaičius gali būti suskirstytas į kitą, o laipsnis bus lygus skirtumas. \\ T Rodiklių dalimis.

Kai dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai yra išskaičiuojami..

Taip, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Tai yra, $ frac \u003d y $.

Ir n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Tai yra $ frac \u003d a ^ n $.

Arba:
y 2m: y m \u003d y m
8A n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3

Taisyklė taip pat yra teisinga ir numeriai su neigiamas laipsnių vertės.
A -5 skyriaus rezultatas - A -3 yra lygus -2.
Taip pat $ frac: frac \u003d frac. \\ T frac \u003d frac \u003d frac $.

h 2: H -1 \u003d H 2 + 1 \u003d H 3 arba $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. frac \u003d h ^ $ 3

Būtina labai gerai įsisavinti laipsnių dauginimąsi ir padalijimą, nes tokios operacijos yra labai plačiai naudojamos algebre.

Pavyzdžių sprendimo pavyzdžiai su frakcijomis, kuriose yra numerių su laipsniais

1. Sumažinkite laipsnius $ frac $ Atsakyti: $ frac $.

2. Sumažinkite laipsnius $ frac $. Atsakymas: $ frac $ arba 2x.

3. Sumažinkite 2 / A3 ir A-3 / A -4 laipsnius ir atneškite bendrą vardiklį.
a 2 .a -4 yra -2 pirmasis skaitiklis.
a 3 .a -3 yra 0 \u003d 1, antrasis skaitmuo.
3 .a -4 yra -1, bendras skaitiklis.
Po supaprastinimo: A -2 / A -1 ir 1 / A -1.

4. Sumažinkite 2A 4/5A 3 ir 2/2 / A4 laipsnių rodiklius ir pateikite bendrą vardiklį.
Atsakymas: 2A 3/5A 7 ir 5A 5/5A 7 arba 2A 3 / 5A 2 ir 5 / 5A 2.

5. Padauginkite (3 + b) / B 4 į (a - b) / 3.

6. Padauginkite (5 + 1) / x 2 į (B 2 - 1) / (x + a).

7. Padauginkite B 4 / A -2 ant H -3 / X ir N / Y -3.

8. Padalinkite 4 / Y 3 3 / Y 2. Atsakymas: A / Y.

Laipsnio savybės

Mes jums priminti, kad šioje pamokoje suprantate laipsnių savybės su natūraliais rodikliais ir nuliu. Laipsniai su racionaliais rodikliais ir jų savybės bus apsvarstytos 8 klasių pamokose.

Santykis su natūraliu rodikliu turi keletą svarbių savybių, leidžiančių supaprastinti skaičiavimus pavyzdžiais su laipsniais.

Nekilnojamojo turto numeris 1.
Laipsnių darbas

Kai padauginus laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, bazė lieka nepakitusi, o laipsnių rodikliai yra sulankstyti.

a m · a n \u003d a m + n, kur "a" yra bet koks skaičius ir "m", "n" - bet kokie natūralūs numeriai.

Šis laipsnių turtas taip pat veikia trijų ir daugiau laipsnių darbu.

• Supaprastinti išraišką.
  b · B 2 · B 3 · B 4 · B 5 \u003d B 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d B 15
• Atstovauti laipsnio forma.
  6 15 · 36 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 15 · 6 2 \u003d 6 17
• Atstovauti laipsnio forma.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15

Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje nuosavybėje jis buvo tik apie dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis. . Jis netaikomas jų papildymui.

Neįmanoma pakeisti sumos (3 3 + 3 2) 3 5. Tai suprantama, jei
apskaičiuokite (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36, A 3 5 \u003d 243

Nekilnojamojo turto numeris 2.
Privatus laipsnis

Kai dalijant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, pagrindas išlieka nepakitusi, o nuo padalinio rodiklio atskaitomas dalijimosi laipsnį.

• Parašykite asmeninį laipsnio forma
  (2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
• Apskaičiuoti.

11 3 - 2 · 4 2 - 1 \u003d 11 · 4 \u003d 44
Pavyzdys. Išspręsti lygtį. Mes naudojame privačių laipsnių turtą.
3 8: T \u003d 3 4

Atsakymas: t \u003d 3 4 \u003d 81

Naudojant savybes Nr. 1 ir Nr. 2, galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.

Pavyzdys. Supaprastinti išraišką.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4 m - 3 \u003d 4 2m + 5

Pavyzdys. Raskite išraiškos vertę naudodami laipsnio savybes.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Atkreipkite dėmesį, kad nuosavybėje 2 buvo tik dalijantis laipsnius su tomis pačiomis bazėmis.

Neįmanoma pakeisti skirtumo (4 3-4 2) iki 4 1. Tai suprantama, jei apskaičiuojate (4 3-4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48, A 4 1 \u003d 4

Nekilnojamojo turto numeris 3.
Pastatyti

Svarbu laipsnį laipsnį, pamatas išlieka nepakitęs, o laipsnių rodikliai yra kintami.

(a n) m \u003d n · m, kur "A" yra bet koks skaičius ir "m", "n" - bet kokie natūralūs numeriai.

Primename, kad privatus gali būti atstovaujamas kaip frakcija. Todėl šiuo klausimu mes daugiau dėmesio skirsime kitame puslapyje.

Kaip padauginti laipsnius

Kaip padauginti laipsnį? Kokie laipsniai gali daugintis ir kas nėra? Kaip padauginti laipsnį?

Algebra rasti laipsnių produktą dviem atvejais:

1) jei laipsniai turi tas pačias bazes;

2) Jei laipsniai turi tuos pačius rodiklius.

Kai padauginus laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, būtina palikti tą patį ir rodikliai yra sulankstyti:

Kai dauginant laipsnius su tais pačiais rodikliais, bendras rodiklis gali būti pasiektas petnešomis:

Apsvarstykite, kaip padauginti laipsnius konkrečių pavyzdžių.

Įrenginys nėra parašytas indikatoriuje, bet kai dauginant laipsnius - atsižvelgiama į:

Kai dauginasi, laipsnių skaičius gali būti bet koks. Reikėtų prisiminti, kad priešais raidinius dauginimo ženklą negali rašyti:

Išraiškose, pirmiausia atliekama statyba.

Jei numeris reikalingas norint dauginti iki laipsnio, pirmiausia turite būti pakeltas į laipsnį ir tik vėliau - dauginimas:

Laipsnių dauginimas su tomis pačiomis bazėmis

Šis vaizdo pamoka yra prieinama prenumeratos

Ar jau turite prenumeratą? Atvykti į

Šioje pamokoje mes ištirsime laipsnių dauginimąsi su tomis pačiomis bazėmis. Pirma, prisiminkime laipsnio laipsnį ir suformuluoti nuosavybės teisingumo teoriją . Tada mes pateikiame savo naudojimo pavyzdžius konkrečiais skaičiais ir įrodyti. Mes taip pat taikome teoriją, kad galėtume išspręsti įvairias užduotis.

Tema: laipsnis su natūraliu indikatoriumi ir jo savybėmis

Pamoka: laipsnių dauginimas su tomis pačiomis bazėmis (formulė)

1. Pagrindiniai apibrėžimai.

Pagrindinės apibrėžtys:

n. - rodiklis,

— n.Datos laipsnis.

2. 1 teorijos formuluotė

1 teorija. Už bet kurį numerį bet ir bet kokie natūralūs n. ir. \\ T k. Lygybė yra teisinga:

Skiriasi: jei bet - bet koks skaičius; n. ir. \\ T k. Natūralūs numeriai:

Taigi 1 taisyklė:

3. Aiškinamosios užduotys

Išėjimas: Privatūs atvejai patvirtino 1 teorijos teisingumą. Mes tai įrodome bendru atveju, tai yra bet ir bet kokie natūralūs n. ir. \\ T k.

4. 1 teorijos įrodymas

Dano numeris bet - kiekvienas; Skaičiai. \\ T n. ir. \\ T k - Natūralus. Įrodyti

Įrodymas grindžiamas laipsnio nustatymu.

5. Sprendimas pavyzdžių su Theorem 1

1 pavyzdys: Įsivaizduokite laipsnio forma.

Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, mes naudojame 1 teoriją.

g) g)

6. 1 teorijos apibendrinimas

Apibendrinimas yra naudojamas čia:

7. Sprendimas pavyzdžių su 1 teoremo apibendrinimo pagalba

8. Įvairių užduočių sprendimas naudojant 1 teoriją

2 pavyzdys: Apskaičiuokite (galite naudoti pagrindinių laipsnių krepšelį).

bet) (ant stalo)

b) b)

3 pavyzdys: Užsirašykite laipsnio forma su baze 2.

bet)

4 pavyzdys: Nustatykite numerio ženklą:

, bet - Neigiamas, nes -13 rodiklis yra keista.

5 pavyzdys: Pakeiskite (·) numerio laipsnį su baze r:

Mes turime, tai yra.

9. Apibendrinimas

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Baynovich E.A. Ir kiti. Algebra 7. 6 leidimas. M.: Apšvietimas. 2010 m

1. Mokyklos asistentas (šaltinis).

1. Įsivaizduokite laipsnio forma:

a B C D E)

3. Užsirašykite laipsnio forma su baze 2:

4. Nustatykite:

bet)

5. Pakeiskite (·) numerio laipsnį su pagrindu r:

a) R4 · (·) \u003d R15; b) (·) · R5 \u003d R6

Dauginimas ir laipsnių pasidalijimas su tais pačiais rodikliais

Šioje pamokoje mes ištirsime laipsnių dauginimąsi su tais pačiais rodikliais. Pirma, leiskite mums prisiminti pagrindines sąvokas ir teoremai daugybos ir dalijantis laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir delytis laipsnį laipsnį. Tada mes suformuluoti ir įrodyti teoremą dėl dauginimo ir dalijantis laipsnius su tais pačiais rodikliais. Ir tada su jų pagalba, mes nuspręsti tipiškų užduočių.

Priminimas Pagrindiniai apibrėžimai ir teoremai

Čia a. - laipsnio pagrindas

— n.Datos laipsnis.

1 teorija. Už bet kurį numerį bet ir bet kokie natūralūs n. ir. \\ T k. Lygybė yra teisinga:

Kai padauginus laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, rodikliai yra sulankstyti, pagrindas išlieka nepakitęs.

2 teorija. Už bet kurį numerį bet ir bet kokie natūralūs n. ir. \\ T k, Toks toks dalykas n. > k. Lygybė yra teisinga:

Kai dalijant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, rodikliai yra suplėšyti, o pagrindas išlieka nepakitęs.

3 teorema. Už bet kurį numerį bet ir bet kokie natūralūs n. ir. \\ T k. Lygybė yra teisinga:

Visi išvardyti teoremai buvo susiję su tokiu pačiu laipsniais baseinai, šioje pamokoje bus laikoma laipsniais su tuo pačiu rodikliai. \\ T.

Pavyzdžiai, skirti laipsnių skaičiavimui su tais pačiais rodikliais

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius:

Sumažinti išraiškas, kad nustatytumėte laipsnį.

Išėjimas: Iš pavyzdžių galite pamatyti Tačiau jis vis dar turi įrodyti. Mes suformulavome teorį ir įrodyti jį bendru atveju, tai yra bet ir. \\ T b. ir bet kokie natūralūs n.

4 teorijos formuluotė ir įrodymas

Už bet kokius numerius bet ir. \\ T b. ir bet kokie natūralūs n. Lygybė yra teisinga:

Įrodymai Teorems 4. .

Pagal laipsnį:

Taigi, tai įrodėme .

Siekiant padauginti laipsnius su tais pačiais rodikliais, pakanka dauginti bazes, o laipsnio rodiklis nepakito.

5 teorijos formuluotė ir įrodymas

Mes suformulavome teoremo laipsnį su tais pačiais rodikliais.

Už bet kurį numerį bet ir. \\ T b () ir bet kokie natūralūs n. Lygybė yra teisinga:

Įrodymai Teorems 5. .

Serga ir pagal laipsnio apibrėžimą:

Žodžių teorijos formuluotė

Taigi, mes tai įrodėme.

Padalinkite vieni kitus su tais pačiais rodikliais, pakanka atskirti vieną bazę į kitą, o laipsnio rodiklis nepakito.

Tipinių užduočių sprendimas naudojant teoriją 4

1 pavyzdys: Yra laipsnių kūrinio pavidalu.

Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, mes naudojame 4 teoremą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, prisiminkime formulę:

4 teorijos apibendrinimas.

4 teorijos apibendrinimas:

Pavyzdžių sprendimas su generalizuotu teorema 4

Toliau sprendžiant tipines užduotis

2 pavyzdys: Užsirašykite tam tikrą darbo laipsnį.

3 pavyzdys: Užsirašykite laipsnio forma su rodikliu 2.

Apskaičiavimo pavyzdžiai

4 pavyzdys: Apskaičiuokite racionaliausią kelią.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.s. Algebra 7. m.: Ventana grafikas

3. Kolyagin Y..M., TKACHEV M.V., FEDOROVA N.E. ir kiti. Algebra 7 .m .: Apšvietos. 2006 m

2. Mokyklos asistentas (šaltinis).

1. Dalyvavimas laipsnių darbe:

bet); b); į); d);

2. Įrašykite darbą kaip laipsnį:

3. Užsirašykite laipsnio forma su rodikliu 2:

4. Apskaičiuokite racionaliausią kelią.

Matematikos pamoka temoje "Degrees" dauginimas ir padalijimas "

Skyriai: Matematika.

Pedagoginis tikslas:

studentas mokysis atskirti dauginimo ir laipsnių padalijimo savybes su natūraliu indikatoriumi; taikyti šias savybes vienodų bazių atveju;

studentas gaus galimybę Gebėti transformuoti laipsnius su skirtingomis bazėmis ir sugebėti atlikti transformacijas kombinuotomis užduotimis.

Užduotys:

organizuoti studentų darbą pakartojant anksčiau ištirtą medžiagą;

pateikite atkūrimo lygį atlikdami įvairių tipų pratimus;

organizuokite studentų savęs vertinimo patikrinimą bandant.

Veiklos vienetai pratybų: Natūralaus rodiklio nustatymas; laipsnių komponentai; privačių apibrėžimas; Derinys dauginimo įstatymas.

I. Demonstracinių studentų žinių valdymas. (1 žingsnis)

a) žinių aktualizavimas:

2) formuluoja laipsnio nustatymą su natūraliu indikatoriumi.

n \u003d a a ... a (n kartus)

b k \u003d b b b b b a ... b (k laikas) pateisina atsakymą.

Ii. Organizuoti savarankiško nagrinėjimo mokytojo nuosavybės teisėta patirtis. (2 žingsnis)

Bandymas savikontrolės: (individualus darbas dviem versijomis.)

A1) Paruoškite 7 7 7 7 x x x x laipsnio forma:

A2) yra produkto (-3) 3 x 2 pavidalu

A3) Apskaičiuokite: -2 3 2 + 4 5 3

Užduočių skaičius bandyme pasirenkamas pagal klasės lygio paruošimą.

Į bandymą pateikiu raktą dėl savikontrolės. KRITERIJAI: Pradėkite - ne stovėti.

III. Švietimo ir praktinio uždavinio (3 žingsnis) + 4 žingsnis (formuluoti pačių studentų savybes)

apskaičiuoti: 2 2 2 3 \u003d? 3 3 3 2 3 \u003d?

Supaprastinkite: a 2 a 20 \u003d? B 30 B 10 B 15 \u003d?

Sprendžiant 1) ir 2), studentai siūlo sprendimą, ir aš, kaip mokytojas, organizuojant klasę ieškant laipsnių supaprastinimo, kai padauginus su tomis pačiomis bazėmis.

Mokytojas: sugalvokite būdą, kaip supaprastinti laipsnius, kai dauginasi su tomis pačiomis bazėmis.

Įrašo įrašas:

Pamokos tema yra suformuluota. Laipsnių dauginimas.

Mokytojas: sugalvokite laipsnio skyriaus taisyklę su tomis pačiomis bazėmis.

Argumentavimas: kokio veiksmo yra tikrinamas? 5: ir 3 \u003d? kad 2 a 3 \u003d a 5

Grįžti į schemą - klasteris ir papildo įrašymą - ... atskaitymas atimkite ir pridėti pamokos temą. ... ir dalijantis laipsnius.

IV. Žinių studentams (bent jau maksimaliai) studentams.

Mokytojas: minimalaus už šiandienos pamoką užduotis yra išmokti taikyti dauginimo ir dalijantis laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, ir didžiausia: taikyti dauginimąsi ir padalijimą kartu.

Valdyboje yra parašyta : a m ir n \u003d a m + n; A m: a n \u003d a m-n

V. naujos medžiagos tyrimo organizavimas. (5 žingsnis)

a) vadovėlyje: №403 (A, B, D) užduotys su skirtingomis formuluotėmis

№404 (A, D, E) nepriklausomas darbas, tada organizuoti abipusį testą, aš pateikiu raktus.

b) Kokia vertė yra lygybė? 16 a m \u003d 32; xH h x 14 \u003d x 28; x 8 (*) \u003d x 14

Užduotis: sugalvokite panašius pavyzdžius padalijimui.

c) № 417 (a) №418 (a) Studentų spąstai: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 \u003d 9 6; A 16: A 8 \u003d A 2.

Vi. Studijuoto apibendrinimas, diagnostikos darbas (kuris skatina studentus, o ne mokytojus tyrinėti šią temą) (6 žingsnis)

Diagnostinis darbas.

Testas (Įdėkite raktus bandymo gale).

Objekto parinktys: yra privataus x 15: x 3 laipsnio forma; Paruoškite produktą (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; Su kuria m yra lygybė 16 a m \u003d 32; Rasti išraiškos vertę h 0: h 2 esant h \u003d 0,2; Apskaičiuokite vertės vertę (5 2 5 0): 5 2.

Pamokos rezultatas. Atspindys. Aš dalysiu klasę į dvi grupes.

Rasti I grupės argumentus: naudai apie laipsnio savybių žinias, o II grupė yra argumentai, kurie pasakys, kad galite padaryti be savybių. Visi atsakymai klausosi, mes darome išvadas. Vėlesnėse pamokose galima pasiūlyti statistinius duomenis ir skambinti rubrika "netinka galvoje!"

Vidurinis žmogus gyvena 32 10 2 kg agurkų.

"WaphP" gali atlikti ne galutinį skrydį 3,2 10 2 km.

Kai stiklo įtrūkimai, įtrūkis taikomas maždaug 5 10 km / h greičiu.

Varlė valgo daugiau nei 3 tonų uodų už savo gyvenimą. Naudojant laipsnį, užsirašykite kg.

Visa derlinga yra vandenyno žuvys - mėnulis (Mola Mola), kuris yra atidėti už vieną neršimą iki 3 000 000 kiaušinių, kurių skersmuo yra apie 1,3 mm. Užsirašykite šį numerį naudodami laipsnį.

Vii. Namų darbai.

Istorinė nuoroda. Kokie skaičiai vadinami ūkio numeriais.

P.19. №403, №408, №417

Naudotos knygos:

Tutorial "Algebra-7", autoriai Yu.n. Makarychev, N.G. Mindyuk ir kiti.

7 laipsnio didaktinė medžiaga, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvavich, S.B. Suvorov.

Matematikos enciklopedija.

Žurnalas "Kvert".

Laipsnių, formuluotės, įrodymų, pavyzdžių savybės.

Nustatant numerio numerį, logiška kalbėti apie laipsnio savybės. Šiame straipsnyje mes suteiksime pagrindines numerio laipsnio savybes, o visi galimi laipsnio kursai. Čia taip pat pateikiame visų laipsnio savybių įrodymus, taip pat parodyti, kaip šios savybės taikomos sprendžiant pavyzdžius.

Naršymo puslapis.

Laipsnių savybės su gamtos rodikliais

Nustatydama natūralų rodiklio laipsnį, n yra N multiplikatorių, kurių kiekvienas yra a. Išstumti šį apibrėžimą, taip pat naudojant savybės dauginant galiojančius numerius, galite gauti ir pateisinti šiuos dalykus laipsnio savybės su natūraliu indikatoriumi:

pagrindinė magistro laipsnis yra m · a n \u003d a m + n, jo apibendrinimas N 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d n 1 + n 2 + ... + n k;

privačių laipsnių turtas su tomis pačiomis bazėmis a m: n \u003d m-n;

nekilnojamojo turto laipsnis (a · b) n \u003d a n · b n, jo prailginimas (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n;

privatus turtas natūraliu laipsniu (A: b) n \u003d a n: b n;

laipsnio laipsnis (a m) n \u003d a m · N, jo apibendrinimas (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k;

laipsnio palyginimas su nuliu:

• jei a\u003e 0, tada n\u003e 0 bet kokiam natūraliam N;
• jei a \u003d 0, tada n \u003d 0;
• jei 2 · m\u003e 0, jei 2 · M-1 N;
• jei m ir n yra tokie natūralūs numeriai, kurie m\u003e n, tada 0m n, o a\u003e 0 yra tikra nelygybė a m\u003e a n.

Nedelsiant atkreipkite dėmesį, kad visi įrašyti lygybė yra identiškas Laikantis šių sąlygų, ir jų dešinėje ir kairiojoje dalys gali būti keičiamos vietose. Pavyzdžiui, pagrindinė frakcijų nuosavybė m · a n \u003d a m + n supaprastinkite išraiškas Jis dažnai naudojamas kaip m + n \u003d a m · a n.

Dabar apsvarstykite kiekvieną iš jų išsamiai.

Pradėkime nuo dviejų laipsnių darbo su tomis pačiomis bazėmis, vadinamomis tomis pačiomis bazėmis pagrindinė laipsnio nuosavybė: Bet kokiam faktiniam A ir bet kokiems natūraliems skaičiams M ir N, lygybė a m · a n \u003d a m + n yra galiojantis.

Pateikiame pagrindinį laipsnio turtą. Pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliu rodikliu, laipsnių su tomis pačiomis formų bazėmis, kurių forma yra m · a n gali būti parašyta kaip darbas . Pagal dauginimo savybes gauta išraiška gali būti parašyta kaip Ir šis produktas yra skaičius a numeris su natūraliu indikatoriumi M + N, tai yra, a m + n. Tai yra patvirtintas įrodymas.

Pateikite pavyzdį, patvirtinantį pagrindinį laipsnio turtą. Paimkite laipsnius su tomis pačiomis bazėmis 2 ir natūralių laipsnių 2 ir 3, pagal pagrindinę laipsnio turtą, galite įrašyti lygybę 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Patikrinkite jo teisingumą, už kurį apskaičiuoju 2 2 · 2 ir 2 5 išraiškų reikšmes. Atliekant statybą, mes turime 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 ir 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, kaip paaiškėja vienodas reikšmes, tada lygybė 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 - teisinga, ir tai patvirtina pagrindinę laipsnio nuosavybę.

Pagrindinė dauginimo savybių pagrindinė nuosavybė gali būti apibendrinta trijų ir daugiau laipsnių darbe su tomis pačiomis bazėmis ir gamtiniais rodikliais. Taigi už bet kokį skaičių k natūralių skaičių N 1, N 2, ..., N K, lygybė a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

Pavyzdžiui, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 \u003d (2.1) 3 + 3 + 4 + 7 \u003d (2,1) 17.

Galite pereiti prie šio laipsnio turto su natūraliu indikatoriumi - privačių laipsnių turtas su tuo pačiu pagrindu: Dėl bet kokio kito galiojančio skaičiaus A ir savavališkų natūralių numerių M ir N, patenkinant M\u003e N būklę, lygybė A M: n \u003d m-n yra tiesa.

Prieš pateikdami šio turto įrodymą, mes aptarsime papildomų sąlygų reikšmę formuluote. Sąlyga A ≠ 0 yra būtina siekiant išvengti padalijimo į nulį, kaip 0 n \u003d 0, ir kai sutinkate su padalijimu, sutikome, kad neįmanoma padalinti iki nulio. Įdiegta M\u003e N sąlyga, kad mes neviršijame natūralių rodiklių apimties. Iš tiesų, M\u003e N, AM-N laipsnis yra natūralus skaičius, kitaip jis bus nulis (kuris vyksta M-N) arba neigiamo skaičiaus (kuris vyksta MM-N · A (M-N) + N \u003d AM. Iš gauto lygybės AM-N · AN \u003d AM ir nuo dauginimo su padalijimu sujungimu, tai reiškia, kad AM-N yra privatūs laipsniai AM ir AN. Tai įrodo privačių laipsnių turtas su privačių laipsnių turtu tos pačios bazės.

Pateikite pavyzdį. Paimkite du laipsnius su tomis pačiomis bazėmis π ir natūralių rodiklių 5 ir 2, laikomas laipsnio laipsnis atitinka lygybę π 5: π 2 \u003d π 5-3 \u003d π 3.

Dabar apsvarstykite darbo nuosavybė: Dviejų realių A ir B darbų natūralus laipsnis yra lygus N ir B n laipsnio produktui, ty (a · b) n \u003d a n · b n.

Iš tiesų, nustatant laipsnį su natūraliu rodikliu . Paskutinis darbas dėl dauginimo savybių galima perrašyti kaip Lygus n · b n.

Pateikite pavyzdį: .

Šis turtas tęsiasi iki trijų ir daugiau daugiklių produktų. Tai yra, natūralaus laipsnio n nuosavybė iš daugiklių darbai yra įrašomi kaip (a 1 · a 2 · ... · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · ... · a k n.

Siekiant aiškumo, parodysime šį turtą pavyzdyje. Dėl trijų veiksnių darbui iki 7 laipsnio.

Yra ši nuosavybė privatus turtas natūra: Privatūs galiojantys numeriai A ir B, B ≠ 0 į natūralų laipsnį N yra lygus privatiems laipsniams A N ir B N, ty (A: b) n \u003d a n: b n.

Įrodymas gali būti atliekamas naudojant ankstesnį turtą. Taigi (A: b) n · bn \u003d (a: b) · b) n \u003d A ir iš lygybės (A: b) n · bn \u003d taip, kad (a: b) n yra privatiems nuo dalijimo bn.

Mes rašome šį turtą apie konkrečių numerių pavyzdį: .

Dabar išreiškė laipsnio laipsnis: Dėl bet kurio faktinio skaičiaus A ir bet kokie natūralūs numeriai M ir N, M iki laipsnio laipsnis yra lygus skaičiui A su indikatoriumi M · N, ty (a m) n \u003d a m · n.

Pavyzdžiui, (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6.

Laipsnio laipsnio nuosavybės įrodymas yra tokia lygiavertiškumo grandinė: .

Nagrinėjamu turtu gali būti pratęstas iki laipsnio laipsnio ir kt. Pavyzdžiui, už bet kokius natūralius skaičius P, Q, R ir S. Lygybė yra teisinga . Siekiant didesnio aiškumo, pateikiame pavyzdį su konkrečiais numeriais: (((5.2) 3) 2) 5 \u003d (5.2) 3 + 2 + 5 \u003d (5.2) 10.

Lieka gyventi dėl laipsnių palyginimo su natūraliu rodikliu.

Pradėkime nuo nulinio palyginimo savybių ir laipsnio su natūraliu rodikliu.

Pradžioje mes pateisiname, kad n\u003e 0 už bet kurį\u003e 0.

Dviejų teigiamų skaičių produktas yra teigiamas skaičius, kuris išplaukia iš dauginimo apibrėžimo. Šios faktų ir dauginimo savybės rodo, kad bet kokio teigiamo skaičiaus skaičiaus dauginimo rezultatas bus teigiamas skaičius. Ir numerio laipsnis su natūraliu indikatoriumi N pagal apibrėžimą yra N daugiklių produktas, kurio kiekvienas yra a. Šie argumentai rodo, kad bet kokiam teigiamam pagrindui A laipsnį yra teigiamas skaičius. Pagal įrodytą turtą 3 5\u003e 0, (0,00201) 2\u003e 0 ir .

Tai gana akivaizdu, kad už bet kokį natūralų N a \u003d 0 laipsnio n yra nulis. Iš tiesų, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. Pavyzdžiui, 0 3 \u003d 0 ir 0 762 \u003d 0.

Eikite į neigiamus laipsnio pagrindus.

Pradėkime su tuo atveju, kai laipsnis rodiklis yra lygus skaičius, mes pažymėti jį kaip 2 · m, kur m yra natūralus. Tada . Pagal neigiamų skaičių dauginimo taisyklę, kiekvienas iš formos kūrinių A · A yra lygus numerių A ir A ir A modulių produktui, o tai reiškia, kad tai yra teigiamas skaičius. Todėl darbas bus teigiamas ir 2 · m. Mes pateikiame pavyzdžius: (-6) 4\u003e 0, (-2,2) 12\u003e 0 ir.

Galiausiai, kai A laipsnio bazė yra neigiamas skaičius, o laipsnio rodiklis yra nelyginis skaičius 2 · M-1, tada . Visi dirba a · A yra teigiami numeriai, šių teigiamų numerių produktas taip pat yra teigiamas, ir jo dauginimas iki likusio neigiamo skaičiaus a kaip neigiamo skaičiaus rezultatas. Pagal šį turtą (-5) 3 17 n n, tai yra kairiųjų ir dešiniųjų iš tikinčiųjų nelygybės dalis nelygybės savybės yra teisingos ir įrodyta, kad yra N N formos nelygybė. Pavyzdžiui, dėl šio turto, nelygybė 3 7 7 galioja .

Dar reikia įrodyti paskutinį išvardytus laipsnių savybes su gamtos rodikliais. Žodis. Dviejų laipsnių su natūraliais rodikliais ir tuo pačiu teigiamais pagrindais, kurie yra mažesni už vienetus, tuo didesnis yra mažesnis nei; Ir dviejų laipsnių su gamtos rodikliais ir tomis pačiomis bazėmis, dideliais vienetais, daugiau nei laipsnis, kurio rodiklis yra didesnis. Eikite į šio turto įrodymą.

Mes įrodome, kad m\u003e n ir 0m n. Norėdami tai padaryti, mes parašyti skirtumą M-N ir palyginti jį su nuliu. Užfiksuotas skirtumas po to, kai n t vienam laikikliams bus rodoma n · (M-N -1) forma. Gautas produktas yra neigiamas kaip teigiamo ir neigiamo numerio AM-N -1 produktas (yra teigiamas kaip natūralus teigiamas skaičius, ir skirtumas AM-N -1 yra neigiamas, nes MN\u003e 0 yra dėl pradinės būklės m\u003e n, kur tai reiškia, kad 0m-n yra mažesnis nei vienas). Todėl m -A n n n, kuris turėjo įrodyti. Pavyzdžiui, mes suteikiame tikinčijamą nelygybę.

Lieka įrodyti antrąją turto dalį. Mes įrodome, kad M\u003e N ir A\u003e 1, a m\u003e a n yra tiesa. Skirtumas a m -a n po to, kai skliausteliuose yra n · (M-N -1) forma. Šis produktas yra teigiamas, nes a\u003e 1 laipsnio yra teigiamas skaičius, o skirtumas AM-N -1 yra teigiamas skaičius, nes MN\u003e 0 dėl pradinės būklės ir esant 1 laipsniui -N daugiau vienetų. Todėl m -A n\u003e 0 ir m\u003e a n, kuris turėjo įrodyti. Šio objekto iliustracija Tarnauja nelygybė 3 7\u003e 3 2.

Laipsnių savybės su sveikais skaičiais

Kadangi visi teigiami skaičiai yra natūralūs numeriai, tada visos laipsnių su sveiku skaičiumi teigiami rodikliai tiksliai sutampa su laipsnių su gamtos rodikliais savybes ir įrodyta ankstesnėje pastraipoje savybių savybes.

Laipsnis su visu neigiamu rodikliu, taip pat laipsnio su nuliniu rodikliu, mes nustatėme, kad visos gamtinių rodiklių laipsnių savybės galioja, išreikštos lygumu. Todėl visos šios savybės galioja nulinio laipsnio ir neigiamų rodiklių, o, žinoma, laipsnių bazės skiriasi nuo nulio.

Taigi, bet kokie galiojantys ir skirtingi numeriai A ir B, taip pat bet kokie sveikieji skaičiai M ir N yra šie laipsnių savybės su sveikais skaičiais:

• a m · a n \u003d a m + n;
• a m: n \u003d m-n;
• (a · b) n \u003d a n · b n;
• (A: b) n \u003d a n: b n;
• (a m) n \u003d a m · n;
• jei n yra sveikas skaičius teigiamas skaičius, A ir B - teigiami skaičiai, ir a n ir a -n\u003e b-o;
• jei m ir n yra sveikieji skaičiai ir m\u003e n, tada 0m N, ir a\u003e 1, nelygybė a m\u003e a n yra atliekamas.

A \u003d 0 laipsnių a m ir n n, tai yra prasminga tik tada, kai m ir n teigiami sveikieji skaičiai, tai yra natūralūs numeriai. Taigi, naujai įrašytos savybės taip pat galioja tais atvejais, kai A \u003d 0, ir numeriai M ir N yra sveikieji skaičiai teigiami.

Ne sunku įrodyti kiekvieną iš šių savybių, pakanka naudoti natūralaus ir sveikojo skaičiaus laipsnio apibrėžimus, taip pat veiksmus su galiojančiais numeriais. Pavyzdžiui, mes įrodome, kad laipsnio nuosavybė atliekama tiek visam teigiamam skaičiui, tiek vieniems numeriams. Norėdami tai padaryti, būtina parodyti, kad jei p yra nulis arba natūralus skaičius ir Q yra nulis arba natūralus skaičius, tada lygybė (AP) Q \u003d AP · q, (a -p) q \u003d a (-p) · Q, (AP) -Q \u003d AP · (-Q) ir (A -P) -Q \u003d a (-P) · (-Q). Padarykime tai.

Dėl teigiamų P ir Q, lygybė (A P) Q \u003d A P · Q įrodyta ankstesnėje pastraipoje. Jei p \u003d 0, tada mes turime (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 ir a 0 · q \u003d a 0 \u003d 1, iš kur (a 0) q \u003d a 0 · q. Panašiai, jei q \u003d 0, tada (a p) 0 \u003d 1 ir P · 0 \u003d a 0 \u003d 1, iš kur (a p) 0 \u003d a p · 0. Jei ir p \u003d 0 ir q \u003d 0, tada (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 ir 0,0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1, iš kur (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

Dabar mes įrodome, kad (A -P) q \u003d a (-p) · q. Nustatyti visą neigiamą rodiklį, tada . Pagal privačių turtą tiek mes turime . Nuo 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 ir tada. Paskutinė išraiška pagal apibrėžimą yra a - (P · Q) laipsnis, kuris pagal dauginimo taisykles galima parašyti kaip a (-p) · q.

Panašiai. Panašiai .

Ir. \\ T .

Tuo pačiu principu galite įrodyti visas kitas laipsnio savybes su sveiku skaičiumi, užregistruotu lygių pavidalu.

Atliekant už įrašytas savybes, verta apsistoti -n\u003e B -N nelygybės įrodymui, kuris galioja bet kokiam visam neigiamam ir bet kokiam teigiamam A ir B teigiamam A ir B, kuriai yra įvykdyta a sąlyga . Mes rašome ir paverstume skirtumą tarp kairiųjų ir dešiniųjų šios nelygybės dalių: . Kaip sąlyga a n N, todėl b n -a n\u003e 0. Produktas N · B n taip pat yra teigiamas kaip teigiamų numerių produktas N ir B n. Tada gauta frakcija yra teigiama, nes privatūs teigiami numeriai b n-n ir n · b n. Todėl, iš kur yra -n\u003e B -N, kuri turėjo įrodyti.

Paskutinis laipsnių su sveikojo skaičiaus rodiklių laipsnių yra įrodyta taip pat, kaip panašus turtas laipsnių su tikrais rodikliais.

Laipsnių su racionaliais rodikliais savybės

Mes nustatėme laipsnį su daliniu rodikliu, paskleidžiant laipsnio savybes su sveiku skaičiumi. Kitaip tariant, laipsniai su daliniais rodikliais turi tas pačias savybes kaip ir sveikųjų skaičių rodiklius. Būtent:

1. laipsnių darbo su tomis pačiomis bazėmis nuosavybė a\u003e 0, tada, jei, tada a≥0;
2. privataus laipsnio nuosavybė su identiškais pagrindais a\u003e 0;
3. darbo nuosavybė daliniame laipsnyje a\u003e 0 ir b\u003e 0, ir jei, esant a≥0 ir (arba) b≥0;
4. privatus turtas daliniame laipsnyje a\u003e 0 ir B\u003e 0, ir jei, esant a≥0 ir b\u003e 0;
5. laipsnis a\u003e 0, tada, jei, tada a≥0;
6. laipsnių palyginimas su lygiomis racionaliais rodikliais: už bet kokius teigiamus numerius A ir B, a 0 Sąžiningai nelygybė A P p, ir p p\u003e b p;
7. palyginimų palyginimo su racionaliais rodikliais ir lygiomis bazėmis savybės: racionaliems numeriams P ir Q, P\u003e Q AT 0P Q ir A\u003e 0 - nelygybė A P\u003e A Q.

Laipsnių su daliniais rodikliais savybių įrodymas grindžiamas laipsnio nustatymu daliniu rodikliu, ant aritmetinio šaknies N-esminių ir laipsnių savybių su sveiku skaičiumi savybių. Mes pateikiame įrodymus.

Nustatyti laipsnį su daliniu rodikliu ir tada . Aritmetinio šaknies savybės leidžia užrašyti šiuos lygius. Toliau, naudodami laipsnio turtą su sveiku skaičiumi, mes gauname iš kur, norint nustatyti laipsnį su daliniu rodikliu Ir gauto laipsnio rodiklis gali būti transformuojamas taip :. Tai yra patvirtintas įrodymas.

Absoliučiai panašiai įrodo, kad antrasis laipsnių turtas su daliniais rodikliais:


Dėl panašių principų, likusi lygybės dalis yra įrodyta:


Eikite į kito turto įrodymą. Mes įrodome, kad už bet kokį teigiamą A ir B, a 0 Sąžiningai nelygybė a p p, ir p p\u003e b p. Mes parašytume racionalų skaičių p kaip m / n, kur m yra sveikas skaičius, ir n yra natūralus. Sąlygos P 0 Šiuo atveju bus lygi su sąlygomis m 0, atitinkamai. Ne m\u003e 0 ir esu m. Nuo šios nelygybės iki šaknų savybių, ir nuo A ir B yra teigiami numeriai, tada remiantis nustatymu laipsnį su daliniu rodikliu, gauta nelygybė gali būti perrašyta kaip, tai yra, P p p.

Panašiai, M M M\u003e B m, iš kur yra, ir P\u003e B p.

Lieka įrodyti paskutinė išvardytų savybių. Mes įrodome, kad racionaliems numeriams p ir q, p\u003e q at 0p Q ir esant\u003e 0 - nelygybė a p\u003e a q. Mes visada galime sukelti bendrą vardiklį racionalius numerius P ir Q, net jei mes gauname įprastas frakcijas ir, kur M 1 ir M 2 yra sveikieji skaičiai, ir N yra natūralūs. Tokiu atveju, sąlyga p\u003e q atitiks sąlygą m 1\u003e m 2, kuri išplaukia iš lyginant paprastų frakcijų su tais pačiais vardiklių taisyklė. Tada, atsižvelgiant į laipsnių palyginimo su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliais rodikliais, esant 0m 1 m 2, ir esant 1 - nelygybei a m 1\u003e a m 2. Šiam skirtumai ant šaknų savybių gali būti perrašyta pagal ir. \\ T . Ir racionalaus rodiklio laipsnio nustatymas leidžia jums pereiti prie nelygybės ir atitinkamai. Iš čia mes padarome galutinę išvadą: P\u003e q ir 0p Q ir A\u003e 0 - nelygybė a p\u003e a q.

Regulių su neracionalais rodikliais savybės

Iš to, kaip nustatomas neracionalus rodiklis, galima daryti išvadą, kad ji turi visas laipsnių savybes su racionaliais rodikliais. Taigi už bet kurį\u003e 0, B\u003e 0 ir neracionalūs numeriai P ir Q yra šie regulių su neracionalais rodikliais savybės:

1. p q \u003d a p + q;
2. p: A Q \u003d P-Q;
3. (a · b) p \u003d a p · b p p;
4. (A: b) p \u003d a p: b p;
5. (A p) q \u003d a p q;
6. dėl bet kokių teigiamų numerių A ir B, a 0 Sąžiningai nelygybė A P p, ir p p\u003e b p;
7. neracionaliems numeriams p ir q, p\u003e q adresu 0p Q ir a\u003e 0 - nelygybė a p\u003e a q.

Iš čia galime daryti išvadą, kad laipsniai su bet kokiais galiojančiais parametrais P ir Q ne a\u003e 0 turi tas pačias savybes.

• Algebra - 10-oji klasė. Trigonometrinių lygčių pamoka ir pristatymas temoje: "Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas" Papildomos medžiagos Gerbiami vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visos medžiagos [...]
• Konkursas už poziciją "Pardavėjas - Konsultantas": Atsakomybė: mobiliųjų telefonų pardavimas ir mobiliojo ryšio paslaugų tarnybos priedai BEELINE, TELE2, MTS, jungiantys tarifų planus ir paslaugas Beeline ir Tele2, MTS konsultavimas [...]
• Lygiagrečios lygiagrečios formulė yra polihedronas su 6 veidais, kurių kiekvienas yra lygiagrama. Stačiakampis lygiagretus yra lygiagretus, kiekvienas veidas yra stačiakampis. Bet kokiam lygiagrečiam pasižymi 3 [...]
• Rašyba N ir Nn skirtingose \u200b\u200bkalbos dalyse s.G. Zelinskaya didaktinė medžiaga teorinė įkrovimas 1. Kada yra parašyta būdvardžiai? 2. Nurodykite šių taisyklių išimtis. 3. Kaip atskirti neapibrėžtą būdvardį su priesaga - nuo bendrystės su [...]
• "Bryansk" regiono gostechnadzor inspekcija Valstybės muito mokėjimo gavimo (atsisiųsti-12,2 kB) registracijos registracija fiz.litz (atsisiųsti-12 kB) juridiniams asmenims registracija (atsisiųsti-11,4 kB) 1. Kada Registruoti naują mašiną: 1. Rekomenduojama 2. Pasas [...]
• Astanos vartotojų apsaugos visuomenė, norint gauti PIN kodą, kad galėtumėte pasiekti šį dokumentą mūsų svetainėje, siųsti SMS žinutę su tekstu ZAN į GSM operatorių abonentų (Active, Kcell, Beeline, Neo, Tele2), siunčiant SMS į numerį , [...]
• Priimti bendrųjų dildių įstatymą priimti federalinį įstatymą dėl nemokamo Rusijos Federacijos ar regiono šeimos paskirstymo dėl bendrojo turto susitarimo dėl bendrojo turto, esant tokioms sąlygoms: 1. Svetainė išsiskiria [... ]
• V.M. Alus Filosofija ir mokslo metodika: pamoka magistro ir absolventų studentams Petrozavodsk: leidykla Petrgu, 2013 - 320 s.isbn 978-5-821-1647-0 PDF 3 MB pamoka skirta studentams vyresniųjų kursų, magistro ir absolventų studentams socialinių ir socialinių ir [...]

Pirmasis lygis

Laipsnį ir savybes. Išsamus vadovas (2019)

Kodėl jums reikia? Kur jie ateis pas jus? Kodėl jums reikia praleisti laiką savo tyrimui?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, tai, ko jiems reikia, kaip naudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnių žinios atneš jums arčiau sėkmingo atsisakymo OGE ar EGE ir patekti į savo svajonių universitetą.

Leiskite "eiti ... (važiuoti!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulės matote Abracadabra, valykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, spustelėkite Ctrl + F5 ("Windows") arba CMD + R ("Mac").

Pirmasis lygis

Pratimai yra tokia pati matematinė operacija kaip papildymas, atimtumas, dauginimas arba padalijimas.

Dabar aš paaiškinsiu visą žmogaus kalbą labai paprastais pavyzdžiais. Atkreipk dėmesį. Elementų pavyzdžiai, bet paaiškinantys svarbius dalykus.

Pradėkime nuo to.

Čia nėra nieko paaiškinti. Jūs visi žinote viską: esame aštuoni žmonės. Kiekvienas turi du butelius Cola. Kiek yra kola? Teisė - 16 butelių.

Dabar dauginimas.

Tas pats pavyzdys su kola galima įrašyti skirtingai :. Matematika - žmonių gudrus ir tingus. Jie pirmiausia pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvokite kelią, kaip "skaičiuoti" juos greičiau. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tą patį skaičių kola butelių ir atėjo su priėmimu, vadinamu dauginimu. Sutinku, tai yra laikoma lengviau ir greičiau nei.

Taigi, skaityti greičiau, lengviau ir be klaidų, jums tiesiog reikia prisiminti lentelės dauginimas. Žinoma, jūs galite padaryti viską lėčiau, sunkiau ir klaidų! Bet ...

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir kitas, gražesnis:

Ir kokie kiti gudrybės atėjo su tingiais matematikais? Teisė - erekcija.

Erekcija

Jei jums reikia dauginti savo numerį penkis kartus, tada matematika sako, kad jums reikia sukurti šį skaičių penktą laipsnį. Pavyzdžiui, . Matematika prisimena, kad du penktąjį laipsnį yra. Ir jie išsprendžia tokias užduotis proto - greičiau, lengviau ir be klaidų.

Už tai jums reikia tik prisiminkite, kas yra paryškinta spalvų skaičiumi numerių lentelėje. Tikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl antrasis laipsnis vadinamas aikštė. \\ T numeriai ir trečia - kuba? \\ T Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar bus jums ir kvadratai bei Kuba.

Pavyzdys iš gyvenimo numerio 1

Pradėkime nuo kvadrato arba nuo antrojo skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį metrų dydžio mastelį ant metro. Baseinas yra jūsų dachoje. Šiluma ir tikrai norite plaukti. Bet ... baseinas be apačios! Turite laikyti baseino plytelių apačią. Kiek jums reikia plytelių? Norint tai nustatyti, jums reikia išsiaiškinti baseino apačios.

Galite tiesiog apskaičiuoti, pirštu, kad baseino apačioje sudaro metrų kubeliai už metrą. Jei skaitikliui turite matuoklio plyteles, jums reikės vienetų. Tai lengva ... Bet kur matėte tokią plytelę? Plytelės yra labiau tikėtina, kad pamatysite ir tada "pirštu suskaičiuoti" kankinimus. Tada jūs turite daugintis. Taigi, vienoje pusėje baseino apačioje, mes pritaikome plyteles (gabalus) ir ant kitų per plytelių. Dauginant, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad norint nustatyti baseino apačios plotą, mes pats padauginome tą patį skaičių? Ką tai reiškia? Tai padauginta iš to paties numerio, mes galime pasinaudoti "naikinimo įrenginiui". (Žinoma, kai turite tik du numerius, padauginkite juos arba pakelkite juos į laipsnį. Bet jei turite daug jų, yra daug lengviau pakelti juos skaičiavimais, per daug mažiau. Egzaminui yra labai svarbu).
Taip trisdešimt iki antrojo laipsnio (). Arba mes galime pasakyti, kad trisdešimt kvadratūros bus. Kitaip tariant, antrasis skaičius skaičius visada gali būti sudarytas kaip kvadratas. Ir priešingai, jei matote kvadratą - tai visada yra antrasis tam tikro skaičiaus laipsnis. Kvadratas yra antrojo laipsnio skaičiaus vaizdas.

Pavyzdys iš gyvenimo numerio 2

Čia yra užduotis, skaičiuokite, kiek kvadratų ant šachmatų lentos su numerio kvadratu ... vienoje ląstelių pusėje ir ant kito. Norint apskaičiuoti jų kiekį, turite padauginti aštuonis arba ... Jei pastebėsite, kad šachmatūros yra šono kvadratas, tada galite pastatyti aštuonis už kvadratą. Jis išsijungia ląsteles. () Taigi?

3 gyvenimo pavyzdys

Dabar kubas arba trečiasis skaičius. Tas pats baseinas. Bet dabar jums reikia žinoti, kiek vandens turės užpildyti šį baseiną. Jums reikia skaičiuoti garsumą. (Kiekiai ir skysčiai, beje, yra matuojami kubiniais metrais. Staiga, tikrai?) Nupieškite baseiną: matuoklio dydžio apačią ir metrų gylį ir bandykite suskaičiuoti, kiek kubelių matuoklio dydis bus matuoklis Įveskite savo baseiną.

Teisė rodo pirštu ir skaičiuoti! Kartą, du, trys, keturi ... dvidešimt du, dvidešimt trys ... Kiek tai įvyko? NĖRA NUTRAUKTA? Sunku suskaičiuoti pirštu? Taip, kad! Paimkite pavyzdį iš matematikų. Jie yra tingūs, todėl pastebėjo, kad apskaičiuoti baseino tūrį, būtina padauginti vieni kitus ilgio, pločio ir aukščio. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams ... lengviau tiesai?

Ir dabar įsivaizduokite, kiek matematika yra tingūs ir gudrus, jei jie supaprastinami. Atvedė į vieną veiksmą. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygus ir kad tas pats numeris Varnims pati savaime ... ir ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką jūs manote su savo pirštu, jie daro viename veiksme: trys Kuboje yra lygūs. Tai parašyta taip :.

Jis išlieka tik atminkite lentelės laipsnius. Jei esate, žinoma, tas pats tingus ir gudrus kaip matematika. Jei norite dirbti daug ir padarykite klaidas - galite toliau suskaičiuoti pirštą.

Na, pagaliau įtikinti jus, kad laipsniai atėjo su "Lodii" ir "Cunnies" sprendžiant savo gyvenimo problemas, o ne kurti problemų, čia yra dar viena pora pavyzdžių iš gyvenimo.

Pavyzdys iš gyvenimo numerio 4

Turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje uždirbate kas milijonus dar vieną milijoną. Tai yra, kasmet kasmet padvigubins kiekvienų metų pradžioje. Kiek pinigų turėsite per metus? Jei sėdite dabar ir "Jūs manote savo pirštą", tada esate labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakysite per kelias sekundes, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais - du dauginami du ... Antraisiais metais - kas atsitiko, dar du, trečiaisiais metais ... Sustabdyti! Pastebėjote, kad pats skaičius daugina. Taigi, du penktą laipsnį - milijonas! Ir dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir šie milijonai gaus tą, kuris ras greičiau ... Verta prisiminti numerių laipsnį, ką manote?

5 gyvenimo pavyzdys 5

Jūs turite milijoną. Kiekvienų metų pradžioje uždirbate kiekvieną milijoną dar du. Didžioji tiesa? Kas milijonus triviečių. Kiek pinigų turėsite po metų? Leiskite skaičiuoti. Pirmieji metai yra daugintis, tada rezultatas vis dar yra ... jau nuobodu, nes jūs jau supratote viską: trys yra padaugintos savaime. Todėl ketvirtas laipsnis yra lygus milijonui. Tik būtina prisiminti, kad trys ketvirtame laipsnyje yra arba.

Dabar jūs žinote, kad su numerio montavimas, jūs labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime šalia to, ką galite padaryti su laipsniais ir ką reikia žinoti apie juos.

Sąlygos ir sąvokos ... taip, kad nebūtų supainioti

Taigi, už starterius, nustatykite sąvokas. Ką tu manai, kas yra laipsnio rodiklis? \\ T Tai labai paprasta - tai yra numeris, kuris yra "viršuje" skaičius. Ne moksliškai, bet tai yra aiški ir lengva prisiminti ...

Gerai, tuo pačiu metu toks pamatų laipsnis? \\ T Dar lengviau - tai yra žemiau esantis numeris.

Čia yra lojalumo brėžinys.

Na, apskritai, apibendrinti ir geriau prisiminti ... laipsnį su pagrindu "" ir rodiklis "yra skaitoma kaip" laipsnį "ir yra parašyta taip:

Numerio laipsnis su natūraliu indikatoriumi

Jūs jau tikriausiai atspėjote, nes rodiklis yra natūralus skaičius. Taip, bet kas yra natūralus skaičius? \\ T ! Natūralūs Tai yra numeriai, kurie yra naudojami sąskaitoje, kai nurodoma elementai: vienas, du, trys ... mes, kai manome, nesakau: "minus penki", "minus šeši", "minus septyni". Mes taip pat nesakome: "trečdaliu" arba "nulio visos penkios dešimtosios". Tai nėra natūralūs numeriai. Ir ką manote?

Numeriai, tokie kaip "minus penki", "minus šešios", "minus septyni" priklauso sveiki skaičiai. Apskritai, į sveikus skaičius apima visus natūralius numerius, skaičiai yra priešingi natūraliems (tai yra, paimta su minuso ženklu) ir numerį. Nulis supranta lengvai - tai yra tada, kai nieko. Ir ką jie reiškia neigiami ("minus") numeriai? Tačiau jie buvo išradingi pirmiausia paskirti skolas: jei turite telefono numerio pusiausvyrą, tai reiškia, kad turėtumėte operatoriaus rublių.

Visos rūšys frakcijos yra racionalūs numeriai. Kaip jie atsirado, ką manote? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų, mūsų protėviai nustatė, kad jiems trūksta natūralių numerių matuoti ilgą, svorį, kvadratą ir kt. Ir jie išrado racionalūs numeriai... Įdomu, ar tai tiesa?

Taip pat yra neracionalūs numeriai. Kas yra šis numeris? Jei trumpas, tada begalinė dešimtainė dalis. Pavyzdžiui, jei apskritimo ilgis yra padalintas į jo skersmenį, tada neracionalus skaičius bus.

Santrauka:

Mes apibrėžiame laipsnio koncepciją, kurio rodiklis yra natūralus skaičius (t. Y., visas ir teigiamas).

1. Bet koks skaičius iki pirmojo laipsnio taip pat:
2. Įvertinkite kvadrato numerį - tai reiškia, kad jį padaugins:
3. Įvertinkite kubo numerį - tai reiškia, kad jis pats padaugina tris kartus:

Apibrėžimas. Įvertinkite skaičių natūraliu laipsniu - tai reiškia dauginti visų laikų skaičių sau:
.

Laipsnių savybės

Iš kur kilo šios savybės? Aš jums parodysiu.

Pažiūrėkime: kas yra ir. \\ T ?

A-Priory:

Kiek daugiklių yra čia?

Labai paprasta: baigėme daugiklius daugikliai, paaiškėjo veiksnius.

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra numeris su rodikliu, tai yra, kad tai buvo būtina įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinti išraišką.

Sprendimas: Svarbu pastebėti, kad mūsų taisyklių anksčiau Turi būti tas pats pamatas!
Todėl sujungiame laipsnius su pagrindu, bet lieka atskiras daugiklis:

tik laipsnių darbui!

Jokiu būdu negali rašyti.

2. Tai yra Numerio laipsnis

Kaip ir ankstesniu turtu, mes kreipiamės į laipsnio apibrėžimą:

Pasirodo, kad išraiška yra padauginta savaime, tai yra, atsižvelgiant į apibrėžimą, tai yra, yra numeris:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama "skliaustų rodikliu". Bet niekada negali tai padaryti sumoje:

Prisiminkite sutrumpintos multiplikacijos formulę: kiek kartų mes norėjome rašyti?

Bet tai yra neteisinga, nes.

Neigiamas

Iki šio taško tik aptarėme, ką turėtų būti rodiklis.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

S. laipsnių natūralus rodiklis Pagrindas gali būti bet koks skaičius. Ir tiesa, mes galime daugintis vieni kitiems, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar netgi.

Pagalvokime apie tai, kokie ženklai ("arba" ") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnį?

Pavyzdžiui, teigiamas arba neigiamas skaičius? Bet? ? \\ T Su pirmuoju viskas yra aiški: kiek teigiamų numerių mes negauname vienas kito, rezultatas bus teigiamas.

Bet su neigiamu šiek tiek įdomiau. Galų gale, mes prisimename paprastą 6 laipsnio taisyklę: "Minus už minus suteikia pliusas." Tai yra, arba. Bet jei mes dauginame, tai bus.

Savarankiškai nustatyti, kas pasirašo šias išraiškas:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Susidoroti?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, kad viskas yra suprantama? Pažvelkite į pagrindą ir indikatorių ir taikyti atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje), viskas taip pat nėra tokia baisu, kaip atrodo, nes tai yra lygi bazei - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, su tuo atveju, kai bazė yra nulis. Priežastis nėra lygi? Akivaizdžiai ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 Mokymo pavyzdžiai

6 pavyzdžių sprendimai

Jei nesate atkreipti dėmesį į aštuntąjį laipsnį, ką mes matome čia? Prisiminkite 7 laipsnio programą. Taigi, prisiminė? Tai yra sutrumpintos dauginimo formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai pažvelgti į vardiklį. Jis yra labai panašus į vieną iš skaitiklio daugiklių, bet kas negerai? Ne sąlygų tvarka. Jei jie pakeis juos vietose, būtų galima taikyti taisyklę.

Bet kaip tai padaryti? Tai paaiškėja labai paprasta: lygus denominatoriaus laipsnis padeda mums.

Stebuklingai, komponentai pasikeitė vietose. Šis "reiškinys" taikomas bet kokiai išraiškai lygiai: mes galime laisvai pakeisti ženklus skliausteliuose.

Tačiau svarbu prisiminti: visi požymiai keičiasi tuo pačiu metu.!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Sveikasis skaičius Mes vadiname natūralius skaičius priešais jiems (tai yra, paimti su ženklu "") ir numerį.

visas teigiamas skaičius, Ir tai nesiskiria nuo natūralių, tada viskas atrodo tiksliai kaip ir ankstesniame skyriuje.

Ir dabar apsvarstykime naujus atvejus. Pradėkime su rodikliu lygiu.

Bet koks skaičius iki nulio lygų vienam:

Kaip visada, mes paklausiame manęs: kodėl taip taip?

Apsvarstykite bet kokį laipsnį. Paimkite, pavyzdžiui, ir dominuoja:

Taigi, mes dauginome numerį ir gavo tą patį, kaip buvo. Ir už kokį skaičių turi būti padaugintas taip, kad niekas nepasikeitė? Tai tiesa. SO.

Mes galime padaryti tą patį su savavališku numeriu:

Pakartokite taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio lygus vienam.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra numeris (kaip bazė).

Viena vertus, ji turėtų būti lygi bet kokiu mastu - kiek nulio nėra nei dauginama, vis dar gauti nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet koks skaičius iki nulinio laipsnio, turėtų būti lygūs. Taigi, kas yra tiesa? Matematika nusprendė nesusijusi ir atsisakė pastatyti nulį iki nulio. Tai yra, dabar mes galime būti ne tik suskirstyti į nulį, bet ir statyti jį iki nulio.

Eikime toliau. Be natūralių skaičių ir numerių yra neigiami numeriai. Norint suprasti, koks neigiamas laipsnis, mes darysime paskutinį kartą: ypač įprastu numeriu, kuris yra toks pat, kaip ir neigiamam laipsniui:

Iš čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar mes skleidžiame gautą taisyklę savavališkam laipsniui:

Taigi, mes suformulavome taisyklę:

Numeris yra neigiamas laipsnis į tą patį skaičių į teigiamą laipsnį. Bet tuo pačiu metu pagrindas negali būti nulis: (Nes tai neįmanoma padalinti).

Apibendrinime:

I. Sąvoka nėra apibrėžta byloje. Jei tada.

Ii. Bet koks skaičius iki nulio yra lygus vienam :.

III. Numeris, kuris nėra lygus nuliui, į neigiamą laipsnį į tą patį skaičių į teigiamą laipsnį :.

Self sprendimų užduotys:

Na, kaip įprasta, savarankiškų sprendimų pavyzdžiai:

Užduočių analizė savarankiškai sprendimų:

Žinau, aš žinau, kad skaičiai yra baisūs, tačiau egzaminas turėtų būti pasirengęs viskas! Pasidalinkite šiuos pavyzdžius arba išsklaidykite savo sprendimą, jei negalėčiau nuspręsti ir išmoksiu lengvai susidoroti su jais egzaminui!

Toliau plėsti numerių ratą, "tinka" kaip laipsnio rodiklį.

Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionalūs?

Atsakymas: viskas, kas gali būti atstovaujama frakcijų pavidalu, kur ir - sveikieji skaičiai ir.

Suprasti, kas yra "Krovinių laipsnis", Apsvarstykite frakciją:

Tiek lygiavertės dalių pagal laipsnį:

Dabar prisiminkite taisyklę "Laipsnio laipsnis":

Kokį skaičių reikėtų imti į laipsnį?

Ši formuluotė yra šaknų laipsnio apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus šaknis () yra vadinamas numeriu, kuris yra lygus naikinimui.

Tai yra, šaknų laipsnis yra operacija, atvirkščiai pratimas į laipsnį :.

Pasirodo. Akivaizdu, kad šis konkretus atvejis gali būti išplėstas :.

Dabar pridėkite numeratorių: Kas yra? Atsakymas yra lengva gauti su "laipsnio laipsniu" taisyklės pagalba:

Bet ar gali būti priežastis? Galų gale, šaknis negali būti išgaunamas iš visų numerių.

Niekas!

Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, pastatytas į lygų laipsnį, yra teigiamas skaičius. Tai yra, išgauti net laipsnio šaknis nuo neigiamų skaičių tai neįmanoma!

Tai reiškia, kad tokių numerių neįmanoma į dalinį laipsnį su lygiu vardikliu, ty išraiška nėra prasminga.

Ką apie išraišką?

Tačiau yra problema.

Numerį galima atstovauti DRGIH forma, pvz., Sumažintos frakcijos, arba. \\ T

Ir paaiškėja, kad yra, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite rašyti. Tačiau verta rašyti mums kitaip, ir vėl mes gauname nepatogumą: (tai yra, jie gavo visiškai kitokį rezultatą!).

Siekiant išvengti panašių paradoksų, mes manome tik teigiamas laipsnio pamatas su daliniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralus skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionaliu rodikliu yra labai naudingi konvertuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 pavyzdžiai mokymui

5 pavyzdžių analizė

Na, dabar - sunkiausia. Dabar mes suprasime neracionalus.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokie patys kaip ir racionalus rodiklis, su išimtimi

Galų gale, pagal apibrėžimą neracionalūs skaičiai yra skaičiai, kurių negalima atstovauti frakcijai, kur ir - sveikieji skaičiai (ty neracionalūs numeriai yra galiojantys numeriai, išskyrus racionalius).

Studijuojant laipsnius su natūraliu, sveiku ir racionaliu rodikliu, mes kiekvieną kartą sudarėme tam tikrą "vaizdą", "analogija", arba aprašymas labiau pažįstami.

Pavyzdžiui, natūralus skaičius yra skaičius, kelis kartus dauginami save;

...nulis - Tai, kaip šis skaičius padauginamas iš savęs, tai yra, tai dar neprasidėjo dauginti, tai reiškia, kad pats numeris net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras "ruošinys" numeris ", ty skaičius;

...laipsnis su visu neigiamu rodikliu "Atrodė, kad įvyko tam tikras" atvirkštinis procesas ", ty skaičius nebuvo padaugintas pats, bet deli.

Beje, moksle dažnai naudojamas su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis nėra net galiojantis numeris.

Tačiau mokykloje mes nemanome apie tokius sunkumus, turėsite galimybę suvokti šias naujas sąvokas institute.

Kur esame tikri, kad darysite! (Jei išmoksite išspręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Solim sau:

Debris:

1. Pradėkime nuo įprastų JAV pratybų taisyklių taisyklių:

Dabar pažvelkite į rodiklį. Ar jis jums nieko primins? Prisiminkite sutrumpinto dauginimo formulę. Kvadratiniai skirtumai:

Tokiu atveju,

Pasirodo, kad:

Atsakymas: .

2. Mes atnešame frakciją laipsnių rodikliuose į tą pačią formą: abu dešimtainius arba tiek paprastus. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16.

3. Nieko ypatinga, mes naudojame įprastas laipsnių savybes:

Papildomas lygis

Laipsnio nustatymas

Laipsnis vadinamas formos išraiška: kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - indikatorius.

Laipsnis su natūraliu indikatoriumi (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Sukurkite natūralų laipsnį N - tai reiškia dauginant numerį sau vieną kartą:

Laipsnis su sveiku skaičiumi (0, ± 1, ± 2, ...)

Jei yra laipsnio rodiklis programinė įranga teigiama Numeris:

Statyba. \\ T nulinio laipsnio:

Išraiška yra neribota, nes, viena vertus, bet kokiu mastu ji yra ir kita vertus - bet koks laipsnio skaičius.

Jei yra laipsnio rodiklis visiškai neigiamas Numeris:

(Nes tai neįmanoma padalinti).

Dar kartą apie nulius: išraiška nėra apibrėžta byloje. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Racionalus. \\ T

• - natūralus skaičius;
• - sveikasis skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnių savybės

Kad būtų lengviau išspręsti problemas, pabandykime suprasti: kur kilo šios savybės? Mes juos įrodome.

Pažiūrėkime: Kas tai?

A-Priory:

Taigi, dešinėje šios išraiškos dalyje toks darbas gaunamas:

Tačiau pagal apibrėžimą tai yra numeris su rodikliu, ty:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas Šis sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas Šis sprendimas : Svarbu pastebėti, kad mūsų taisyklių anksčiauturi būti tos pačios bazės. Todėl sujungiame laipsnius su pagrindu, bet lieka atskiras daugiklis:

Kita svarbi pastaba: tai yra taisyklė - tik laipsnių darbui!

Jokiu būdu nervu to rašyti.

Kaip ir ankstesniu turtu, mes kreipiamės į laipsnio apibrėžimą:

Pergrupame šį darbą:

Pasirodo, kad išraiška yra padauginta savaime, tai yra, atsižvelgiant į apibrėžimą, tai yra - pagal skaičių laipsnį:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama "skliaustų rodikliu". Bet niekada negali to padaryti sumoje:!

Prisiminkite sutrumpintos multiplikacijos formulę: kiek kartų mes norėjome rašyti? Bet tai yra neteisinga, nes.

Laipsnį su neigiamu pagrindu.

Iki šio taško aptarėme tik tai, kas turėtų būti rodiklis. \\ T laipsnis. Bet kas turėtų būti pagrindas? S. laipsnių natural. rodiklis. \\ T Pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Ir tiesa, mes galime daugintis vieni kitiems, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar netgi. Pagalvokime apie tai, kokie ženklai ("arba" ") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnį?

Pavyzdžiui, teigiamas arba neigiamas skaičius? Bet? ? \\ T

Su pirmuoju viskas yra aiški: kiek teigiamų numerių mes negauname vienas kito, rezultatas bus teigiamas.

Bet su neigiamu šiek tiek įdomiau. Galų gale, mes prisimename paprastą 6 laipsnio taisyklę: "Minus už minus suteikia pliusas." Tai yra, arba. Bet jei mes dauginame (), paaiškėja.

Ir taip ir į begalybę: kiekvieną kartą, kai kitas dauginimas pakeis ženklą. Galima suformuluoti paprastas taisykles:

1. net Laipsnis - numeris teigiamas.
2. Neigiamas skaičius pastatytas į nelyginis Laipsnis - numeris neigiamas.
3. Teigiamas skaičius iki laipsnio yra teigiamas skaičius.
4. Nulis iki laipsnio yra nulis.

Savarankiškai nustatyti, kas pasirašo šias išraiškas:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Susidoroti? Čia yra atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Per pirmuosius keturis pavyzdžius, tikiuosi, kad viskas yra aiški? Pažvelkite į pagrindą ir indikatorių ir taikyti atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje), viskas taip pat nėra tokia baisu, kaip atrodo, nes tai yra lygi bazei - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, su tuo atveju, kai bazė yra nulis. Priežastis nėra lygi? Akivaizdžiai ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia žinoti, kad mažiau: ar? Jei prisimenate, kad paaiškėja, kad ir todėl bazė yra mažesnė nei nulis. Tai yra, mes taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl mes naudojame laipsnio laipsnį:

Viskas kaip įprasta - užrašykite laipsnių apibrėžimą ir padalinkite juos vieni kitiems, padalinkite ant porų ir gaukite:

Prieš išardydami paskutinę taisyklę, išsprendžiame keletą pavyzdžių.

Apskaičiuotos išraiškos:

Sprendimai :

Jei nesate atkreipti dėmesį į aštuntąjį laipsnį, ką mes matome čia? Prisiminkite 7 laipsnio programą. Taigi, prisiminė? Tai yra sutrumpintos dauginimo formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai pažvelgti į vardiklį. Jis yra labai panašus į vieną iš skaitiklio daugiklių, bet kas negerai? Ne sąlygų tvarka. Jei jie buvo pakenkti vietose, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Tai paaiškėja labai paprasta: lygus denominatoriaus laipsnis padeda mums.

Jei jūs jį pieate, nieko nepasikeis, tiesa? Bet dabar paaiškėja:

Stebuklingai, komponentai pasikeitė vietose. Šis "reiškinys" taikomas bet kokiai išraiškai lygiai: mes galime laisvai pakeisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu prisiminti: visi požymiai keičiasi tuo pačiu metu!Jūs negalite pakeisti, keičiant tik vieną nesuprantamą minusą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: aš atskleisiu laipsnio sąvoką ir supaprastinsiu:

Na, dabar aš atskleisiu skliaustelius. Kiek gaus raides? Vieną kartą apie daugiklius - ką ji primena? Tai yra tik operacijos apibrėžimas dauginimas. \\ T: Iš viso buvo veiksnių. Tai reiškia, kad pagal apibrėžimą yra rodiklis su rodikliu:

Pavyzdys:

Neracionalus

Be informacijos apie laipsnius vidutiniam lygiui, mes analizuosime laipsnį su neracionalu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokie patys, kaip ir racionalus rodiklis, su išimtimi - galų gale, pagal apibrėžimą, neracionalūs numeriai yra skaičiai, kurių negalima pateikti frakcijai, kur - sveikieji skaičiai (ty neracionalūs numeriai yra visi galiojantys numeriai be racionalaus).

Studijuojant laipsnius su natūraliu, sveiku ir racionaliu rodikliu, mes kiekvieną kartą sudarėme tam tikrą "vaizdą", "analogija", arba aprašymas labiau pažįstami. Pavyzdžiui, natūralus skaičius yra skaičius, kelis kartus dauginami save; Nulinio laipsnio numeris yra kažkaip, kai skaičius padaugintas savaime, tai yra, tai dar nepradėjo dauginti, tai reiškia, kad pats numeris net nepasirodė - todėl tik tam tikra "ruošinė", būtent rezultatas ; Viso neigiamo rodiklio laipsnis yra toks pat, kaip įvyko tam tikras "atvirkštinis procesas", tai yra, skaičius nebuvo dauginamas pats, bet padalintas.

Įsivaizduokite, kad laipsnis su neracionalu rodikliu yra labai sunku (lygiai taip pat sunku pateikti 4-dimensijų erdvę). Tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematika sukurta plėsti laipsnio koncepciją į visą vietos erdvę.

Beje, moksle dažnai naudojamas su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis nėra net galiojantis numeris. Tačiau mokykloje mes nemanome apie tokius sunkumus, turėsite galimybę suvokti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką mes darome, jei matome neracionalų greitį? Mes stengiamės atsikratyti su visa galia! :)

Pavyzdžiui:

Solim sau:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Prisimename formulę kvadratų skirtumą. Atsakymas:.
2. Mes suteikiame frakciją į tą pačią formą: abu dešimtainius arba tiek paprastus. Mes gauname, pavyzdžiui :.
3. Nieko ypatinga, mes naudojame įprastas laipsnių savybes:

Skyriaus ir pagrindinių formulių santrauka

Laipsnis vadinamas formos išraiška: kur:

Sveikasis skaičius

laipsnį, kurio rodiklis yra natūralus skaičius (t. Y., visas ir teigiamas).

Racionalus. \\ T

laipsnį, kurio rodiklis yra neigiami ir daliniai numeriai.

Neracionalus

laipsnį, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė dalis arba šaknis.

Laipsnių savybės

Laipsnių ypatybės.

• Neigiamas skaičius pastatytas į net Laipsnis - numeris teigiamas.
• Neigiamas skaičius pastatytas į nelyginis Laipsnis - numeris neigiamas.
• Teigiamas skaičius iki laipsnio yra teigiamas skaičius.
• Nulis iki laipsnio yra lygus.
• Bet koks skaičius iki nulio lygų.

Dabar jums reikia žodžio ...

Kaip jums reikia straipsnio? Užrašykite komentarus kaip ir ne.

Pasakykite man apie savo patirtį naudodamiesi laipsnių savybėmis.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymai.

Parašykite komentarus.

Ir sėkmės egzaminuose!

Pamoka apie temą: "Taisyklės, skirtos dauginimui ir laipsnių pasidalijimui su tuo pačiu ir skirtingais rodikliais. Pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Gerbiami vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų. Visos medžiagos tikrina antivirusinę programą.

Mokymo vadovai ir simuliatoriai internetinėje parduotuvėje "Integral" 7 laipsniui
Vadovo vadovė Yu.n. Makarychev naudos vadovėliui A.G. Mordkovich.

Pamokos tikslas: mokosi atlikti veiksmus su skaičiaus laipsniais.

Norėdami pradėti, prisiminkite "skaičiaus laipsnio" sąvoką. "Underbrace" tipo (A * A * ldots * a) _ (n) $ išraiška gali būti atstovaujama kaip $ a ^ n $.

Taip pat yra tiesa atvirkštinė: $ a ^ n \u003d undercrace (A * A * ldots * a) _ (n) $.

Ši lygybė vadinama "laipsnio įrašu į darbo pavidalą". Tai padės mums nustatyti, kaip padauginti ir dalytis laipsniais.
Prisiminti:
a. - laipsnio pagrindas.
n. - indikatorius.
Jeigu n \u003d 1., Taigi, numeris bet Jie paėmė vieną kartą ir atitinkamai: $ a ^ n \u003d 1 $.
Jeigu n \u003d 0., tada $ a ^ 0 \u003d 1 $.

Kodėl taip atsitinka, galėsime sužinoti, kada susipažinsime su dauginarčių ir laipsnių pasidalijimo taisyklėmis.

Daugybos taisyklės

a) Jei laipsniai padauginami su ta pačia baze.
Iki $ a ^ n * a ^ m $, užrašykite darbo laipsnį: $ undercrace (A * A * ldots * a) _ (n) * Undercrace (A * A * ldots * a) _ (m) $.
Paveikslas rodo, kad numeris bet paėmė n + M. Kartą, tada $ a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m) $.

Pavyzdys.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Šis turtas yra patogus naudoti, ką supaprastinti darbą, kai statyti skaičių iki didesnio laipsnio.
Pavyzdys.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jei laipsniai yra padauginti su skirtingomis bazėmis, bet tas pats rodiklis.
Iki $ a ^ n * b ^ n $, užrašykite darbo laipsnį: $ Undercrace (A * A * ldots * a) _ (n) * Undercrace (B * B * ldots * b) _ (m) $.
Jei pakeisite daugiklio vietas ir apskaičiuokite gautus poras, mes gauname: $ Undercrace ((A * B) * (A * B) * ldots * (a * b)) _ (n) $.

Taigi, $ a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n $.

Pavyzdys.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Skyriaus taisyklės

a) laipsnio bazė yra tokie patys, skirtingi rodikliai.
Apsvarstykite galimybę padalinti laipsnį su dideliu skaičiumi laipsnio dalijimui mažesniu rodikliu.

Taigi, tai yra būtina $ Frac (a ^ n) (a ^ m) $kur n\u003e M..

Mes rašome laipsnį frakcijos pavidalu:

$ Frac (undercrace (a * a * ldots * a) _ (n)) (a * a * a * ldots * a) _ (m)) $.

Dėl patogumo padalija rašys paprastos frakcijos pavidalu.

Dabar sumažins frakciją.

Pasirodo: $ Underbrace (a * a * ldots * a) _ (n-m) \u003d a ^ (n-m) $.
Tai reiškia $ Frac (a ^ n) (a ^ m) \u003d a ^ (n-m) $.

Šis turtas padės paaiškinti situaciją su nulinio laipsnio skaičiumi. Tarkime, kad n \u003d M., tada $ a ^ 0 \u003d a ^ (n - n) \u003d frac (a ^ n) \u003d 1 $.

Pavyzdžiai.
$ Frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) \u003d 3 ^ (3-2) \u003d 3 ^ 1 \u003d 3 $.

$ Frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d 2 ^ (2-2) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.

b) laipsnio pamatas yra kitoks, rodikliai yra vienodi.
Tarkime, kad tai yra būtina $ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Mes parašytume numerių laipsnį frakcijos pavidalu:

$ Frac (underbrace (A * A * ldots * a) _ (n)) (undercrace (b * b * ldots * b) _ (n)) $.

Dėl patogumo įsivaizduokite.

Naudojant frakcijų turtą, mes sulaužome didelę frakciją mažų, mes gauname.
$ Underbrace (a) (b) * (a) (b) * ldots * frac (a) (b)) _ (n) $.
Atitinkamai, $ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d (frac (a) (b)) ^ n $.

Pavyzdys.
$ Frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) \u003d (frac (4) (2)) ^ 3 \u003d 2 ^ 3 \u003d $ 8.

Kiekviena aritmetinė operacija kartais tampa pernelyg sudėtinga įrašyti ir bandyti jį supaprastinti. Kai tai buvo taip su papildymu. Žmonėms reikia daug laiko papildymo, pavyzdžiui, apskaičiuoti vienos šimto persų kilimų išlaidas, kurių kaina yra 3 aukso monetos kiekvienam. 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. Dėl didelių gabaritų, jis buvo išrastas sumažinti įrašą į 3 * 100 \u003d 300. Tiesą sakant, įrašymas "trys padauginti su šimtu" reiškia, kad jums reikia paimkite šimtą trot ir sulankstykite vieni kitus. Praėjo dauginimas, įgijo bendrą populiarumą. Tačiau pasaulis nėra stovi, o viduramžiais buvo reikia atlikti daugkartinio laiko dauginimąsi. Senoji Indijos paslaptis yra prisiminama, prašydamas atlygio už kviečių grūdų darbą tokiu kiekiu: pirmajai šachmatų lentos ląstelei, jis paprašė vieno grūdų, antrojo - dviejų, trečiojo - penktojo - aštuoni, taigi. Taigi pasirodė pirmasis laipsnių dauginimas, nes žalios spalvos kiekis buvo lygus ląstelių skaičiaus laipsnio laipsniui. Pavyzdžiui, paskutinėje ląstelėje bus 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 grūdai, kurie yra lygūs 18 simbolių skaičiui, o tai, kas, tiesa, mįsles prasmė.

Pratimai vyko gana greitai, taip pat greitai reikia atlikti papildymą, atimti, padalijimą ir dauginimą laipsnių. Paskutinis ir verta apsvarstyti išsamiau. Laipsnių pridėjimo formulės yra paprastos ir lengvai prisimintos. Be to, labai lengva suprasti, kur jie ateina iš kurių laipsnis pakeičiamas dauginimu. Tačiau pirmiausia turėtų būti išspręsta pradinėje terminologijoje. Išraiška a ^ b (skaityti "A iki B laipsnį") reiškia, kad skaičius A skaičius turėtų būti padaugintas savaime B vieną kartą, ir "A" vadinamas laipsnio pagrindu, o "B" yra galios indikatorius. Jei laipsnių pagrindai yra vienodi, formulės yra visiškai paprastos. Konkretus pavyzdys: Raskite išraiškos 2 ^ 3 * 2 ^ 4 vertę. Žinoti, kas turėtų įvykti, prieš pradedant sprendimą išsiaiškinti atsakymą į kompiuterį. Įžado šią išraišką bet kuriam internetiniam skaičiuotuvui, paieškos sistemai, įvesdami "laipsnių dauginimąsi skirtingais pagrindais" arba matematinis paketas, išėjimas bus 128. Dabar mes parašysime šią išraišką: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 , 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2. Pasirodo, kad 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4). Pasirodo, kad laipsnių su ta pačia baze produktas yra lygus žemei, pastatytam į laipsnį, lygų dviejų ankstesnių laipsnių sumai.

Galbūt manote, kad tai yra nelaimingas atsitikimas, bet ne: bet koks kitas pavyzdys gali patvirtinti tik šią taisyklę. Taigi, bendroje formulėje, formulė yra tokia: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m). Taip pat yra taisyklė, kad bet koks skaičius iki nulio vienodai yra vienas. Čia būtina prisiminti neigiamų laipsnių taisyklę: a ^ (- n) \u003d 1 / a ^ n. Tai yra, jei 2 ^ 3 \u003d 8, tada 2 ^ (- 3) \u003d 1/8. Naudojant šią taisyklę, galite įrodyti lygybės galiojimą a ^ 0 \u003d 1: a ^ 0 \u003d a ^ (NN) \u003d a ^ n * a ^ (- n) \u003d a ^ (n) * 1 / a ^ ( N), a ^ (n) Galite sumažinti ir vienetas lieka. Jis taip pat yra paimtas iš taisyklė, kad privatūs laipsniai su tomis pačiomis bazėmis yra lygios šiam bazei laipsnio lygiaverčiai indikatoriui padalijimo ir skirstytuvo: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m). Pavyzdys: supaprastinti išraišką 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Dauginimas yra komutalinis operacija, todėl pirmiausia pridedamas dauginimo rodiklių: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2 . Kitas turėtų būti sprendžiamas padalijimui į neigiamą laipsnį. Būtina atimti skirstytuvo indikatorių nuo padalinimo indikatoriaus: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 . Pasirodo, kad padalijimo veikimas į neigiamą identiškos dauginimo veikimo laipsnį panašiam teigiamam rodikliui. Taigi galutinis atsakymas yra 8.

Yra pavyzdžių, kai nėra kanoninės laipsnių dauginimo. Padauginus laipsnius su skirtingomis bazėmis yra labai daug sunkiau, o kartais tai neįmanoma. Turėtų būti pateikti keli įvairių galimų metodų pavyzdžiai. Pavyzdys: supaprastinti 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Akivaizdu, kad yra skirtingų bazių laipsnių dauginimas. Tačiau reikia pažymėti, kad visi pamatai yra skirtingi trejeto laipsniai. 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4.3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6. Naudojant taisyklę (a ^ n) ^ m \u003d a ^ (n * m), turėtumėte perrašyti išraišką patogiau: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7) -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11). Atsakymas: 3 ^ 11. Tais atvejais, kai įvairios bazės, a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n veikia vienodų rodiklių. Pavyzdžiui, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3. Priešingu atveju, kai skirtingos bazės ir rodikliai neįmanoma visapusiškai daugintis. Kartais galima iš dalies supaprastinti arba pasinaudoti kompiuterių technologijų pagalba.

Matematikos laipsnio koncepcija įvesta 7-ojoje klasėje Algebros klasėje. Ir ateityje, visą matematikos tyrimo metu, ši sąvoka yra aktyviai naudojama įvairių tipų. Laipsnis yra gana sudėtinga tema, reikalaujant saugoti vertybes ir įgūdžius teisingai ir greitai skaičiuoti. Greitesniam ir aukštos kokybės darbui su matematikos laipsniais buvo išradingos laipsnio savybės. Jie padeda sumažinti didelius skaičiavimus, bet kokiu mastu paversti didžiulį pavyzdį. Savybės nėra tiek daug, ir jie visi lengvai prisimenami ir taikomi praktikoje. Todėl straipsnyje aptariamos pagrindinės laipsnio savybės, taip pat jos taikomos.

Laipsnio savybės

Mes pažvelgsime į 12 laipsnio savybių, įskaitant laipsnių savybes su tomis pačiomis bazėmis, ir kiekvienam turtui, kurį pateikiame pavyzdį. Kiekviena iš šių savybių padės jums išspręsti užduotis su laipsniais, taip pat išgelbėti jus nuo daugelio skaičiavimo klaidų.

1 turtas.

Daugelis dažnai pamiršo apie šią nuosavybę, daro klaidas, atstovaujančias nuliniu laipsniu kaip nulis.

2-asis turtas.

3-asis turtas.

Reikia nepamiršti, kad ši nuosavybė gali būti taikoma tik tada, kai atliekami numeriai, jis neveikia su sumos! Ir mes neturime pamiršti, kad tai yra taip, savybės taikomos tik laipsnių su tomis pačiomis bazėmis.

4-oji nuosavybė.

Jei vardiklis yra pastatytas vardiklyje iki neigiamo laipsnio, tada, kai atimant vardiklio laipsnį imamas į skliaustelius laipsnį, kad būtų tinkamai pakeis žymenį tolesniame skaičiavime.

Nekilnojamasis turtas veikia tik dalijimosi metu, netaikoma, kai atimama!

5-asis turtas.

6-asis turtas.

Šis turtas gali būti taikomas priešinga kryptimi. Vienetas, suskirstytas į tam tikru mastu, yra minuso laipsnio numeris.

7-asis turtas.

Šis turtas negali būti taikomas sumai ir skirtumai! Kai pastatyta suma ar skirtumas, naudojamos sutrumpintos dauginimo formulės, o ne laipsnių savybės.

8-asis turtas.

9-asis turtas.

Šis turtas veikia bet kokiam daliniam laipsniui, kurio skaitmuo yra lygus vienam, formulė bus ta pati, tik šaknies laipsnis skirsis priklausomai nuo vardiklio.

Be to, ši nuosavybė dažnai naudojama atvirkštine tvarka. Bet kokio laipsnio šaknis iš skaičiaus gali būti atstovaujama kaip skaičius į laipsnio vienetą, padalytą iš šaknų laipsnio. Šis turtas yra labai naudingas tais atvejais, jei šaknis nėra išgaunamas.

10-oji nuosavybė.

Šis turtas veikia ne tik su kvadratine šaknimi ir antra. Jei šaknų laipsnis ir laipsnis, kai šis šaknis užtrunka, jie sutampa, atsakymas bus šėrimo išraiška.

11 turtas.

Šis turtas turi sugebėti matyti laiką, kai nuspręsite atsikratyti didžiulių skaičiavimo.

12-oji nuosavybė.

Kiekviena iš šių savybių pakartos jums užduotys, ji gali būti suteikta savo gryna forma, ir gali prireikti tam tikrų transformacijų ir kitų formulių naudojimą. Todėl, teisingam sprendimui, tik savybės žino, jums reikia praktikuoti ir prijungti kitas matematines žinias.

Laipsnių ir jų savybių naudojimas

Jie aktyviai naudojami algebra ir geometrijoje. Matematikos laipsniai turi atskirą, svarbią vietą. Su jų pagalba, orientacinės lygtys ir nelygybė yra išspręsta, taip pat laipsnių dažnai apsunkina lygtis ir pavyzdžių, susijusių su kitais skyriuose matematikos. Laipsnis padeda išvengti didelių ir ilgų skaičiavimų, laipsnis yra lengviau sumažinti ir apskaičiuoti. Bet dirbti su dideliais laipsniais arba su didelių numerių laipsniais, turite žinoti ne tik laipsnių savybes, bet ir dirbti teisingai ir su pagrindais, galėsite suskaidyti juos palengvinti užduotį. Siekiant patogumui, turėtų būti žinomas į laipsnį pastatytų skaičių vertė. Tai sumažins jūsų laiką sprendžiant, pašalins ilgo skaičiavimo poreikį.

Laipsnio koncepcija atlieka ypatingą vaidmenį logaritmmuose. Kadangi logaritmas iš esmės yra skaičiaus laipsnis.

Sutrumpintos dauginimo formulės yra dar vienas laipsnių naudojimo pavyzdys. Jie negali būti naudojami pagal laipsnių savybes, jie yra atskleidžiami pagal specialias taisykles, tačiau kiekvienoje sutrumpintos dauginimo formulėje yra visada yra.

Tie patys laipsniai yra aktyviai naudojami fizikos ir kompiuterių moksle. Visi SI sistemos pervedimai yra pagaminti naudojant laipsnius ir ateityje, laipsnio savybės yra naudojamos sprendžiant problemas. Informatika aktyviai naudojama preparatų, atsižvelgiant į sąskaitos patogumą ir supaprastinti numerių suvokimą. Tolesni skaičiavimai pervedimų vienetų matavimo ar skaičiavimų užduočių, taip pat fizikos, atsiranda naudojant laipsnio savybes.

Netgi laipsniai yra labai naudingi astronomijoje, tai retai galima taikyti laipsnio savybių naudojimą, tačiau laipsnis aktyviai naudojami siekiant sumažinti įvairių kiekių ir atstumų įrašymą.

Laipsniai naudojami paprastame gyvenime, skaičiuojant vietoves, apimtis, atstumai.

Naudodamiesi laipsniais, ji yra labai didelė ir labai maža vertybių bet kurioje mokslo srityse.

Orientacinės lygtys ir nelygybė

Speciali vieta laipsnio nuosavybės užima orientacines lygtis ir nelygybę. Šios užduotys yra labai dažnai randamos tiek mokyklos kursuose ir egzaminuose. Visi jie išspręsta naudojant laipsnio savybes. Nežinoma visada yra laipsnio, todėl žinant visas savybes, nėra sunku išspręsti tokią lygtį ar nelygybę.