Aukštosios matematikos lygtys.Racionaliosios daugianario šaknys. Hornerio schema

Jei daugianario

Įrodymas

Tegul visi daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o sveikasis skaičius a yra šio daugianario šaknis. Kadangi šiuo atveju iš to seka, kad koeficientas dalijamas iš a.

komentuoti. Ši teorema iš tikrųjų leidžia rasti aukštesnių laipsnių daugianario šaknis tuo atveju, kai šių daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o šaknis yra racionalusis skaičius. Teoremą galima pakartoti taip: jei žinome, kad daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o jo šaknys yra racionalios, tada šios racionalios šaknys gali būti tik tokios formos, kur p yra skaičiaus daliklis (laisvasis narys), o skaičius q yra skaičiaus daliklis (pirminis koeficientas) .

Sveikųjų skaičių šaknų teorema, kuriuose yra

Jei sveikasis skaičius α yra daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai α yra jo laisvojo nario daliklis.

Įrodymas. Leisti būti:

P (x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais ir sveikuoju skaičiumi α yra jo šaknis.

Tada pagal šaknies apibrėžimą lygybė P (α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Iš skliaustų išėmę bendrą koeficientą α, gauname lygybę:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , kur

a n = -α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)

Kadangi skaičiai a 0 , a 1 ,…a n-1 , an ir α yra sveikieji skaičiai, skliausteliuose yra sveikasis skaičius, todėl a n dalijasi iš α, ką reikėjo įrodyti.

Įrodyta teorema gali būti suformuluota ir taip: kiekviena sveikoji daugianario šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jo laisvojo nario daliklis.
Teorema remiasi algoritmu ieškant sveikųjų daugianario šaknų su sveikųjų skaičių koeficientais: surašykite visus laisvojo termino daliklius ir po vieną užrašykite šių skaičių polinomų reikšmes.

2. Papildoma teorema apie sveikųjų skaičių šaknis

Jei sveikasis skaičius α yra daugianario P(x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai α-1 yra skaičiaus P(1), α+1 yra skaičiaus P(-1) daliklis.

Įrodymas. Iš tapatybės

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

iš to seka, kad sveikiesiems skaičiams b ir c skaičius bⁿ-cⁿ dalijasi iš b∙c. Bet bet kurio daugianario P skirtumas

P(b)-P(c)= (a 0 bⁿ+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +a n)=

=a 0 (bⁿ-cⁿ)+a 1 (bⁿ-1-cⁿ-1)+…+a n-1 (b-c)

ir todėl daugianario P su sveikųjų skaičių koeficientais ir sveikaisiais skaičiais b ir c skirtumas P(b)-P(c) dalijamas iš b-c.

Tada: b = α, c = 1, P (α)-P (1) = -P(1), o tai reiškia, kad P(1) yra padalintas iš α-1. Antrasis atvejis traktuojamas panašiai.

Hornerio schema

Teorema: Tegul neredukuojamoji trupmena p/q yra lygties šaknis a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n =0 su sveikųjų skaičių koeficientais, tada skaičius q yra pirminio koeficiento a0 ir skaičiaus daliklis R yra laisvojo termino a n daliklis.

1 pastaba. Bet kuri sveikoji lygties šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais yra jos laisvojo nario daliklis.

Užrašas 2.Jei lygties su sveikaisiais koeficientais pirmaujantis koeficientas yra lygus 1, tai visos racionalios šaknys, jei jos yra, yra sveikosios.

Polinomo šaknis. Polinomo šaknis f(x)= a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n yra x = c , toks f (c) = 0 .

3 pastaba. Jeigu x = c daugianario šaknis , tada daugianarį galima parašyti taip: f(x)=(x-c)q(x) , Kur yra daugianario koeficientas f(x) pagal monomiją x - c

Dauginamą padalyti iš monomio galima naudojant Hornerio schemą:

Jeigu f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a 0 ≠0 , g(x)=x-c , tada dalijant f (x) įjungta g (x) privatus q(x) atrodo kaip q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , Kur b 0 = a 0 ,

b k =c b k − 1 +a k , k=1, 2, ,n−1. Priminimas r randama pagal formulę r=c b n − 1 +a n

Sprendimas: Aukščiausio laipsnio koeficientas yra 1, todėl sveikųjų lygties šaknų reikia ieškoti tarp laisvojo nario daliklių: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Naudodami Hornerio schemą randame sveikąsias lygties šaknis:

Jei pagal Hornerio schemą pasirenkama viena šaknis. tada galite nuspręsti toliau taip x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3

Klausimas apie radimą racionalios šaknys daugianario f(x)K[x] (su racionaliais koeficientais) redukuoja į klausimą, kaip rasti racionalias daugianario šaknis k ∙ f(x)Z[x] (su sveikųjų skaičių koeficientais). Štai numeris k yra mažiausias bendras tam tikro daugianario koeficientų vardiklių kartotinis.

Būtinos, bet nepakankamos sąlygos racionaliosioms daugianario šaknims egzistuoti su sveikaisiais koeficientais pateikiamos tokia teorema.

6.1 teorema (apie racionalios šaknys daugianario su sveikųjų skaičių koeficientais). Jeigu – racionalioji daugianario šaknisf(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 Su visas koeficientai ir(p, q) = 1, tada trupmenos skaitiklispyra laisvojo termino a daliklis 0 , ir vardiklisqyra pirminio koeficiento a daliklis 0 .

6.2 teorema.Jeigu K ( Kur (p, q) = 1) yra racionalioji daugianario šaknis f(x) su sveikųjų skaičių koeficientais, tada
–Sveiki skaičiai.

Pavyzdys. Raskite visas racionaliąsias daugianario šaknis

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Pagal 6.1 teoremą: jei – racionalioji daugianario šaknis f(x), ( kur ( p, q) = 1), Tai a 0 = 1 p, a n = 6 q. Štai kodėl p { 1}, q (1, 2, 3, 6), o tai reiškia

.

2. Yra žinoma, kad (5.3 išvada) skaičius A yra daugianario šaknis f(x) Jeigu, ir tik jeigu f(x) padalytą ( x – a).

Todėl patikrinkite, ar skaičiai 1 ir –1 yra daugianario šaknys f(x) galite naudoti Hornerio schemą:

f(1) = 60,f(–1) = 120, taigi 1 ir –1 nėra daugianario šaknys f(x).

3. Išravėti dalį likusių skaičių
, naudokime 6.2 teoremą. Jei išraiškos arba
priima sveikųjų skaičių reikšmes atitinkamoms skaitiklio reikšmėms p ir vardiklis q, tada atitinkamose lentelės langeliuose (žr. toliau) rašysime raidę „ts“, kitu atveju - „dr“.

=
=

4. Pagal Hornerio schemą patikriname, ar bus likę skaičiai po išsijojimo
šaknys f(x). Pirmiausia padalinkime f(x) ant ( X – ).

Dėl to turime: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) ir – šaknis f(x). Privatus q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - padalinti 2 iš ( X + ).

Nes q (–) = 30, tada (–) nėra daugianario šaknis q(x), taigi ir daugianario f(x).

Galiausiai padalijame daugianarį q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 ant ( X – ).

Gavau: q () = 0, t.y. – šaknis q(x), taigi yra šaknis f (x). Taigi daugianomas f (x) turi dvi racionalias šaknis: ir.

Išsivadavimas nuo algebrinio neracionalumo trupmenos vardiklyje

Mokykliniame kurse, sprendžiant tam tikro tipo uždavinius, siekiant atsikratyti trupmenos vardiklio neracionalumo, pakanka trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš skaičiaus, susieto su vardikliu.

Pavyzdžiai. 1.t =
.

Čia vardiklyje veikia sutrumpinta daugybos formulė (kvadratų skirtumas), kuri leidžia išsivaduoti nuo vardiklio neracionalumo.

2. Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje

t =
. Išraiška – nepilnas skaičių skirtumo kvadratas A=
Ir b= 1. Naudojant sutrumpintą daugybos formulę A 3 – b 3 = (+b) · ( a 2 – ab + b 2 ), galime nustatyti daugiklį m = (+b) =
+ 1, iš kurio reikia padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį t atsikratyti iracionalumo trupmenos vardiklyje t. Taigi,

Tais atvejais, kai sutrumpintos daugybos formulės neveikia, galima naudoti kitus metodus. Žemiau suformuluosime teoremą, kurios įrodymas, visų pirma, leidžia mums rasti algoritmą, kaip sudėtingesnėse situacijose atsikratyti iracionalumo trupmenos vardiklyje.

Apibrėžimas 6.1. Skaičius z paskambino algebrinė per lauką F, jei yra daugianario f(x) F[x], kurio šaknis yra z, kitaip skaičius z paskambino transcendentinis virš laukoF.

Apibrėžimas 6.2.Algebrinis laipsnis virš lauko F numeriai z vadinamas neredukuojamumo laipsniu virš lauko F daugianario p(x)F[x], kurios šaknis yra skaičius z.

Pavyzdys. Parodykime, kad skaičius z =
yra algebrinis lauke K ir rasti jo laipsnį.

Suraskime nepalengvinamąjį lauke K daugianario p(X), kurio šaknis yra x =
. Pakelkime abi lygybės puses x =
į ketvirtą laipsnį gauname X 4 = 2 arba X 4 – 2 = 0. Taigi, p(X) = X 4 – 2, ir skaičiaus galia z lygus deg p(X) = 4.

6.3 teorema (apie išsivadavimą iš algebrinio iracionalumo trupmenos vardiklyje).Leistiz– algebrinis skaičius laukeFlaipsniųn. Formos išraiškat = ,Kur f(x), (x)F[x], (z) 0

gali būti pavaizduotas tik tokia forma:

t = Su n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Parodysime algoritmą, kaip atsikratyti iracionalumo trupmenos at vardiklyje konkretus pavyzdys.

Pavyzdys. Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje:

t =

1. Trupmenos vardiklis yra daugianario reikšmė (X) = X 2 – X+1 kai X =
. Ankstesnis pavyzdys tai rodo
– algebrinis skaičius lauke K 4 laipsnis, nes tai yra neredukuojamo viršaus šaknis K daugianario p(X) = X 4 – 2.

2. Raskime tiesinį GCD ( (X), p(x)) naudojant Euklido algoritmą.

_x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Taigi, GCD ( (X), p(x)) = r 2 = 7. Raskime jo tiesinį plėtimąsi.

Užrašykime Euklido seką naudodami daugianario žymėjimą.

p(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =p(x) – (x) · q 1 (x)

Sprendžiant lygtis ir nelygybes, dažnai reikia koeficientuoti daugianarį, kurio laipsnis yra trys ar didesnis. Šiame straipsnyje apžvelgsime paprasčiausią būdą tai padaryti.

Kaip įprasta, pagalbos ieškokime teorijos.

Bezouto teorema teigia, kad liekana dalijant daugianarį iš dvejetainio yra .

Bet mums svarbi ne pati teorema, o iš to išplaukia:

Jei skaičius yra daugianario šaknis, tai daugianomas dalijasi iš dvejetainio be liekanos.

Mes susiduriame su užduotimi kažkaip rasti bent vieną daugianario šaknį, tada padalinti daugianarį iš , kur yra daugianario šaknis. Dėl to gauname daugianarį, kurio laipsnis yra vienu mažesnis už pradinio laipsnį. Ir tada, jei reikia, galite pakartoti procesą.

Ši užduotis suskirstyta į dvi dalis: kaip rasti daugianario šaknį ir kaip padalyti daugianarį iš dvejetainio.

Pažvelkime į šiuos dalykus atidžiau.

1. Kaip rasti daugianario šaknį.

Pirmiausia patikriname, ar skaičiai 1 ir -1 yra daugianario šaknys.

Čia mums padės šie faktai:

Jei visų daugianario koeficientų suma lygi nuliui, tai skaičius yra daugianario šaknis.

Pavyzdžiui, daugianario koeficientų suma lygi nuliui: . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.

Jei lyginių laipsnių daugianario koeficientų suma yra lygi nelyginių laipsnių koeficientų sumai, tai skaičius yra daugianario šaknis. Laisvasis terminas laikomas lyginio laipsnio koeficientu, nes , a yra lyginis skaičius.

Pavyzdžiui, daugianario lyginių laipsnių koeficientų suma yra: , o nelyginių laipsnių koeficientų suma yra: . Nesunku patikrinti, kas yra daugianario šaknis.

Jei nei 1, nei -1 nėra daugianario šaknys, tada judame toliau.

Sumažėjusiam laipsnio polinomui (ty polinomui, kurio pagrindinis koeficientas - koeficientas at - yra lygus vienetui), galioja Vietos formulė:

Kur yra daugianario šaknys.

Taip pat yra Vieta formulių, susijusių su likusiais daugianario koeficientais, bet mus domina ši.

Iš šios Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikieji skaičiai, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai.

Remiantis tuo, turime suskaidyti laisvąjį daugianario narį į veiksnius ir nuosekliai, nuo mažiausio iki didžiausio, patikrinti, kuris iš veiksnių yra daugianario šaknis.

Apsvarstykite, pavyzdžiui, daugianarį

Laisvojo termino dalikliai: ; ; ;

Visų daugianario koeficientų suma yra lygi , todėl skaičius 1 nėra daugianario šaknis.

Lyginių galių koeficientų suma:

Nelyginių laipsnių koeficientų suma:

Todėl skaičius -1 taip pat nėra daugianario šaknis.

Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis: vadinasi, skaičius 2 yra daugianario šaknis. Tai reiškia, kad pagal Bezouto teoremą daugianaris dalijasi iš binomo be liekanos.

2. Kaip padalinti daugianarį į dvinarį.

Polinomą į dvinarį galima padalyti stulpeliu.

Padalinkite daugianarį iš dvejetainio naudodami stulpelį:

Yra ir kitas būdas padalyti daugianarį iš dvejetainio – Hornerio schema.

Norėdami suprasti, žiūrėkite šį vaizdo įrašą kaip padalinti daugianarį iš dvejetainio su stulpeliu, ir naudojant Hornerio schemą.

Atkreipiu dėmesį, kad jei dalijant iš stulpelio pradiniame daugianario trūksta tam tikro laipsnio nežinomybės, jo vietoje rašome 0 - taip pat, kaip ir sudarydami Hornerio schemos lentelę.

Taigi, jei mums reikia padalyti daugianarį iš binomo ir dėl padalijimo gauname daugianarį, tada galime rasti daugianario koeficientus naudodami Hornerio schemą:

Taip pat galime naudoti Hornerio schema norėdami patikrinti, ar taip yra duotas numeris daugianario šaknis: jei skaičius yra daugianario šaknis, tai liekana, dalijant daugianarį iš yra lygi nuliui, tai yra, paskutiniame antrosios Hornerio schemos eilės stulpelyje gauname 0.

Naudodami Hornerio schemą „nužudome du paukščius vienu akmeniu“: vienu metu patikriname, ar skaičius yra daugianario šaknis, ir padalijame šį daugianarį iš binomo.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį:

1. Užrašykime laisvojo nario daliklius ir tarp laisvojo nario daliklių ieškokime daugianario šaknų.

Dalikliai iš 24:

2. Patikrinkime, ar skaičius 1 yra daugianario šaknis.

Dauginamo koeficientų suma, todėl skaičius 1 yra daugianario šaknis.

3. Padalinkite pradinį daugianarį į dvinarį pagal Hornerio schemą.

A) Pirmoje lentelės eilutėje užrašykime pradinio daugianario koeficientus.

Kadangi trūksta turinčiojo termino, lentelės stulpelyje, kuriame turėtų būti rašomas koeficientas, rašome 0. Kairėje rašome rastą šaknį: skaičių 1.

B) Užpildykite pirmąją lentelės eilutę.

Paskutiniame stulpelyje, kaip ir tikėtasi, gavome nulį; pradinį daugianarį padalinome iš dvejetainio be liekanos. Dauginamo, gauto padalijus, koeficientai antroje lentelės eilutėje rodomi mėlyna spalva:

Nesunku patikrinti, ar skaičiai 1 ir -1 nėra daugianario šaknys

B) Tęskime lentelę. Patikrinkime, ar skaičius 2 yra daugianario šaknis:

Taigi daugianario laipsnis, gautas padalijus iš vieneto, yra mažesnis už pradinio daugianario laipsnį, todėl koeficientų skaičius ir stulpelių skaičius yra vienu mažiau.

Paskutiniame stulpelyje gavome -40 - skaičių, kuris nėra lygus nuliui, todėl daugianaris dalijasi iš dvinalio su liekana, o skaičius 2 nėra daugianario šaknis.

C) Patikrinkime, ar skaičius -2 yra daugianario šaknis. Kadangi ankstesnis bandymas nepavyko, kad nesusipainiotų su koeficientais, ištrinsiu eilutę, atitinkančią šį bandymą:

Puiku! Kaip liekaną gavome nulį, todėl daugianomas buvo padalintas į dvinarį be liekanos, todėl skaičius -2 yra daugianario šaknis. Daugianaro, gauto padalijus daugianarį iš dvejetainio, koeficientai lentelėje rodomi žaliai.

Dėl padalijimo gavome kvadratinis trinaris , kurio šaknis galima lengvai rasti naudojant Vietos teoremą:

Taigi pradinės lygties šaknys yra šios:

{}

Atsakymas:( }

Kaip jau minėjome, viena iš svarbiausių daugianario teorijos problemų yra jų šaknų radimo problema. Norėdami išspręsti šią problemą, galite naudoti atrankos metodą, t.y. Atsitiktinai paimkite skaičių ir patikrinkite, ar tai yra duoto daugianario šaknis.

Tokiu atveju galite greitai „atsitrenkti“ į šaknį arba niekada jos nerasite. Juk neįmanoma patikrinti visų skaičių, nes jų yra be galo daug.

Kitas reikalas būtų, jei galėtume susiaurinti paieškos sritį, pavyzdžiui, žinodami, kad ieškomos šaknys yra, tarkime, tarp trisdešimties nurodytų skaičių. Ir trisdešimties skaičių galite patikrinti. Atsižvelgiant į visa tai, kas buvo pasakyta aukščiau, šis teiginys atrodo svarbus ir įdomus.

Jei neredukuojama trupmena l/m (l,m yra sveikieji skaičiai) yra daugianario f (x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai šio daugianario pirminis koeficientas dalijamas iš m, o laisvasis narys – iš 1.

Iš tiesų, jei f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, kur an, an-1,...,a1, a0 yra sveikieji skaičiai, tada f (l/) m) =0, ty аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

Abi šios lygybės puses padauginkime iš mn. Gauname anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Tai reiškia:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Matome, kad sveikasis skaičius anln dalijasi iš m. Bet l/m yra neredukuojama trupmena, t.y. skaičiai l ir m yra pirmieji, o tada, kaip žinoma iš sveikųjų skaičių dalijimosi teorijos, skaičiai ln ir m taip pat yra pirmieji. Taigi, anln dalijasi iš m, o m yra ln, o tai reiškia, kad an dalijasi iš m.

Įrodyta tema leidžia žymiai susiaurinti racionalių daugianario šaknų su sveikaisiais koeficientais paieškos sritį. Parodykime tai konkrečiu pavyzdžiu. Raskime daugianario f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 racionaliąsias šaknis. Pagal teoremą šio daugianario racionalios šaknys yra tarp l/m formos neredukuojamųjų trupmenų, kur l yra laisvojo nario daliklis a0=8, o m yra pirminio koeficiento a4=6 daliklis. Be to, jei trupmena l/m yra neigiama, tada skaitikliui bus priskirtas „-“ ženklas. Pavyzdžiui, - (1/3) = (-1) /3. Taigi galime sakyti, kad l yra skaičiaus 8 daliklis, o m yra teigiamas skaičiaus 6 daliklis.

Kadangi skaičiaus 8 dalikliai yra ±1, ±2, ±4, ±8, o teigiami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2, 3, 6, tai aptariamo daugianario racionalios šaknys yra tarp skaičių ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Prisiminkime, kad išrašėme tik neredukuojamas trupmenas.

Taigi, mes turime dvidešimt skaičių - „kandidatų“ į šaknis. Belieka patikrinti kiekvieną iš jų ir atrinkti tuos, kurie tikrai yra šaknys. Bet vėlgi, turėsite atlikti gana daug patikrinimų. Tačiau ši teorema supaprastina šį darbą.

Jei neredukuojama trupmena l/m yra daugianario f (x) šaknis su sveikųjų skaičių koeficientais, tai f (k) dalijasi iš l-km bet kuriam sveikajam skaičiui k, su sąlyga, kad l-km?0.

Norėdami įrodyti šią teoremą, padalykite f (x) iš x-k su liekana. Gauname f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Kadangi f (x) yra daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais, taip yra ir polinomas s (x), o f (k) yra sveikas skaičius. Tegu s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Tada f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Į šią lygybę įdėkime x=l/m. Atsižvelgdami į tai, kad f (l/m) =0, gauname

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Abi paskutinės lygybės puses padauginkime iš mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Iš to seka, kad sveikasis skaičius mnf (k) dalijasi iš l-km. Bet kadangi l ir m yra pirminiai, tada mn ir l-km taip pat yra pirminiai, o tai reiškia, kad f (k) dalijasi iš l-km. Teorema įrodyta.

Dabar grįžkime prie savo pavyzdžio ir naudodamiesi įrodyta teorema dar labiau susiaurinsime racionalių šaknų paieškų ratą. Taikykime šią teoremą k=1 ir k=-1, t.y. jei neredukuojamoji trupmena l/m yra daugianario f (x) šaknis, tai f (1) / (l-m) ir f (-1) / (l+m). Mes lengvai nustatome, kad mūsų atveju f (1) = -5 ir f (-1) = -15. Atkreipkite dėmesį, kad tuo pačiu metu mes neįtraukėme ±1.

Taigi racionalių daugianario šaknų reikia ieškoti tarp skaičių ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.

Laikykime l/m=1/2. Tada l-m=-1 ir f (1) =-5 dalijamas iš šio skaičiaus. Be to, l+m=3 ir f (1) =-15 taip pat dalijasi iš 3. Tai reiškia, kad trupmena 1/2 lieka tarp „kandidatų“ į šaknis.

Tegu dabar lm=- (1/2) = (-1) /2. Šiuo atveju l-m=-3 ir f (1) =-5 nesidalija iš - 3. Tai reiškia, kad trupmena - 1/2 negali būti šio daugianario šaknis ir mes ją pašaliname iš tolesnio svarstymo. Patikrinkime kiekvieną aukščiau parašytą trupmeną ir išsiaiškinkime, kad reikiamos šaknys yra tarp skaičių 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Taigi, gana paprastas triukas gerokai susiaurinome nagrinėjamo daugianario racionaliųjų šaknų paieškos sritį. Na, norėdami patikrinti likusius skaičius, naudosime Hornerio schemą:

10 lentelė

Mes nustatėme, kad liekana dalijant g (x) iš x-2/3 yra lygi - 80/9, ty 2/3 nėra daugianario g (x) šaknis, taigi ir f (x).

Toliau lengvai nustatome, kad - 2/3 yra daugianario g (x) ir g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) šaknis. Tada f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Galima atlikti tolesnį daugianario x2+2x-4 patikrinimą, kuris, žinoma, yra paprastesnis nei g (x) arba dar labiau f (x). Dėl to matome, kad skaičiai 2 ir - 4 nėra šaknys.

Taigi, daugianomas f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 turi dvi racionaliąsias šaknis: 1/2 ir - 2/3.

Prisiminkite, kad aukščiau aprašytas metodas leidžia rasti tik racionalias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais. Tuo tarpu daugianomas taip pat gali turėti iracionalias šaknis. Taigi, pavyzdžiui, pavyzdyje nagrinėjamas daugianomas turi dar dvi šaknis: - 1±v5 (tai yra daugianario x2+2x-4 šaknys). Ir, paprastai kalbant, daugianario racionaliųjų šaknų gali nebūti.

Dabar duokime keletą patarimų.

Tikrinant „kandidatus“ daugianario f (x) šaknims naudojant antrąją iš aukščiau įrodytų teoremų, pastaroji dažniausiai naudojama atvejams k=±1. Kitaip tariant, jei l/m yra „kandidatinė“ šaknis, patikrinkite, ar f (1) ir f (-1) dalijasi atitinkamai iš l-m ir l+m. Bet gali atsitikti taip, kad, pavyzdžiui, f (1) = 0, ty 1 yra šaknis, o tada f (1) dalijasi iš bet kurio skaičiaus, ir mūsų patikrinimas netenka prasmės. Tokiu atveju f (x) reikėtų padalyti iš x-1, t.y. gaukite f(x) = (x-1)s(x) ir patikrinkite daugianarį s(x). Tuo pačiu reikia nepamiršti, kad jau radome vieną daugianario šaknį f (x) - x1=1. Jei tikrindami „kandidatus“ į šaknis, likusias panaudojus antrąją teoremą apie racionaliąsias šaknis, naudodamiesi Hornerio schema, pamatysime, kad, pavyzdžiui, l/m yra šaknis, tuomet reikėtų rasti jos daugumą. Jei jis lygus, tarkime, k, tada f (x) = (x-l/m) ks (x), ir galima atlikti tolesnį s (x) testavimą, o tai sumažina skaičiavimus.

Taigi, mes išmokome rasti racionalias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais. Pasirodo, tai darydami išmokome rasti neracionalias daugianario šaknis su racionaliais koeficientais. Tiesą sakant, jei turime, pavyzdžiui, daugianarį f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, tada, suvedę koeficientus į bendrą vardiklį ir ištraukę jį iš skliaustų, gauti f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Akivaizdu, kad daugianario f (x) šaknys sutampa su daugianario šaknimis skliausteliuose, o jo koeficientai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, įrodykime, kad sin100 yra neracionalus skaičius. Naudokime gerai žinomą formulę sin3?=3sin?-4sin3?. Taigi nuodėmė300=3sin100-4sin3100. Atsižvelgdami į tai, kad sin300=0,5 ir atlikę paprastas transformacijas, gauname 8sin3100-6sin100+1=0. Todėl sin100 yra daugianario f (x) =8x3-6x+1 šaknis. Jei ieškosime racionalių šio daugianario šaknų, įsitikinsime, kad jų nėra. Tai reiškia, kad šaknis sin100 nėra racionalusis skaičius, t.y. sin100 yra neracionalus skaičius.

Dauginamas kintamajame x yra formos: anxn+an-1 xn-1+ išraiška. . . +a 1 x+a 0, kur n - natūralusis skaičius; an, an-1, . . . , a 1, a 0 – bet kokie skaičiai, vadinami šio daugianario koeficientais. Išraiškos anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 vadinami daugianario nariais, o 0 yra laisvasis narys. an yra xn koeficientas, an-1 yra koeficientas xn-1 ir tt Polinomas, kurio visi koeficientai lygūs nuliui, vadinamas nuliu. pavyzdžiui, polinomas 0 x2+0 x+0 yra lygus nuliui. Iš daugianario žymėjimo aišku, kad jis susideda iš kelių narių. Iš čia kilęs terminas ‹‹polinomas›› (daug terminų). Kartais daugianomas vadinamas daugianario. Šis terminas kilęs iš graikų kalbos žodžių πολι – daug ir νομχ – narys.

Viename kintamajame x daugianomas žymimas: . pvz., f (x), g (x), h (x) ir tt, jei pirmasis iš aukščiau paminėtų daugianario žymimas f (x), tada galime parašyti: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomas h(x) vadinamas didžiausiu bendruoju daugianario f(x) ir g(x) dalikliu, jeigu jis dalija f(x), g (x) ir kiekvienas iš jų bendras daliklis. 2. Teigiama, kad polinomas f(x) su koeficientais iš lauko P, kurio n laipsnis, yra redukuojamas per lauką P, jei yra polinomai h(x), g(x) О P[x], kurių laipsnis mažesnis nei n. kad f(x) = h( x)g(x).

Jei yra daugianomas f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 ir an≠ 0, tada skaičius n vadinamas daugianario f (x) laipsniu (arba jie sako: f (x) - n-asis laipsnis) ir parašykite str. f(x)=n. Šiuo atveju an yra vadinamas pirmaujančiu koeficientu, o anxn yra pagrindinis šio daugianario narys. Pavyzdžiui, jei f (x) =5 x 4 -2 x+3, tada str. f (x) =4, pirmaujantis koeficientas - 5, pirmaujantis narys - 5 x4. Polinomo laipsnis yra didžiausias nenulinis jo koeficientų skaičius. Nulinio laipsnio polinomai yra kiti skaičiai nei nulis. , nulinis daugianomas neturi laipsnio; daugianario f (x) =a, kur a yra nulinis skaičius ir turi 0 laipsnį; bet kurio kito daugianario laipsnis lygus didžiausias tarifas kintamojo x, kurio koeficientas lygus nuliui, galia.

Daugiavardžių lygybė. Du daugianariai f (x) ir g (x) laikomi lygiais, jei jų koeficientai tų pačių kintamojo x ir laisvųjų narių laipsniams yra lygūs (jų atitinkami koeficientai yra lygūs). f (x) = g (x). Pavyzdžiui, daugianariai f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 ir g(x) =2 x 23 x+1 nėra lygūs, pirmojo iš jų koeficientas x3 lygus 1, o antrasis turi nulį ( pagal priimtas sutartines galime rašyti: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Šiuo atveju: f (x) ≠g (x). Dauginamai nėra lygūs: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, nes jų koeficientai x yra skirtingi.

Bet polinomai f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 ir g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 yra lygūs tada ir tik tada, jei a = 3, a b = -2. Tegu pateiktas daugianario f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 ir kažkoks skaičius c. Skaičius f (c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 vadinama daugianario f (x) reikšme, kai x=c. Taigi, norėdami rasti f (c), polinomą reikia pakeisti c, o ne x, ir atlikti reikiamus skaičiavimus. Pavyzdžiui, jei f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, tai f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Gali prireikti skirtingų kintamojo x reikšmių daugianario skirtingos reikšmės. Skaičius c vadinamas daugianario f (x) šaknimi, jei f (c) =0.

Atkreipkime dėmesį į skirtumą tarp dviejų teiginių: „polinomas f (x) lygus nuliui (arba, kas yra tas pats, polinomas f (x) lygus nuliui)“ ir „polinomas f (x) ) esant x = c yra lygus nuliui. Pavyzdžiui, polinomas f (x) =x 2 -1 nėra lygus nuliui, jis turi nenulinius koeficientus, o jo reikšmė ties x=1 lygi nuliui. f (x) ≠ 0 ir f (1) = 0. Tarp daugianario lygybės sąvokų ir daugianario reikšmės yra glaudus ryšys. Jei pateikti du vienodi daugianariai f (x) ir g (x), tai jų atitinkami koeficientai yra lygūs, o tai reiškia, kad f (c) = g (c) kiekvienam skaičiui c.

Veiksmai su polinomais Polinomus galima sudėti, atimti ir dauginti naudojant įprastas skliaustų atidarymo ir panašių terminų atvedimo taisykles. Rezultatas vėl yra daugianomas. Šios operacijos turi žinomų savybių: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) + f (x) h (x).

Tegu pateikti du daugianariai f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 ir g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Akivaizdu, kad str. f(x)=n ir str. g(x)=m. Padauginus šiuos du daugianarius, gautume f(x) g(x)=anbmxm+n+ formos daugianarį. . . +a 0 b 0. Kadangi an≠ 0 ir bn≠ 0, tai anbm≠ 0, vadinasi, šv. (f(x)g(x))=m+n. Iš to išplaukia svarbus teiginys.

Dviejų nulinių daugianario sandaugos laipsnis yra lygus veiksnių laipsnių sumai, str. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). Dviejų nulinių polinomų sandaugos pirmaujantis narys (koeficientas) yra lygus veiksnių pirmaujančių narių (koeficientų) sandaugai. Dviejų daugianario sandaugos laisvasis narys yra lygus veiksnių laisvųjų narių sandaugai. Daugiavardžių f (x), g (x) ir f (x) ±g (x) laipsniai yra susieti tokiu ryšiu: str. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Vadinama daugianario f (x) ir g (x) superpozicija. daugianario, pažymėto f (g (x)), kuris gaunamas, jei polinome f (x) vietoj x pakeisime daugianarį g (x). Pavyzdžiui, jei f(x)=x 2+2 x-1 ir g(x) =2 x+3, tada f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1 = 4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1) = 2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Matyti, kad f (g (x)) ≠g (f (x)), t.y. daugianario f (x), g (x) superpozicija ir daugianario g (x), f () superpozicija. x) yra skirtingi. Taigi superpozicijos operacija neturi komutacinės savybės.

, Dalybos algoritmas su liekana Bet kuriam f(x), g(x) egzistuoja q(x) (dalinys) ir r(x) (likutis), kad f(x)=g(x)q(x)+ r(x) ir laipsnis r(x)

Polinomo dalikliai Polinomo f(x) daliklis yra daugianario g(x), kad f(x)=g(x)q(x). Didžiausias bendras dviejų daugianario daliklis Didžiausias bendras daugianario f(x) ir g(x) daliklis yra jų bendras daliklis d(x), kuris dalijasi iš bet kurio kito bendrųjų daliklių.

Euklido algoritmas (nuoseklaus padalijimo algoritmas), skirtas rasti didžiausią bendrąjį polinomų f(x) ir g(x) daliklį Tada yra didžiausias bendras f(x) ir g(x) daliklis.

Sumažinkite trupmeną Sprendimas: Raskite šių polinomų gcd naudodami Euklido algoritmą 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Todėl daugianomas (– x2 – 3 x – 2) yra skaitiklio GCD ir duotosios trupmenos vardiklis. Vardiklio padalijimo iš šio daugianario rezultatas yra žinomas.

Raskime skaitiklio padalijimo rezultatą. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Taigi, atsakymas:

Hornerio schema Padalijus polinomą f(x) su liekana iš nulinio polinomo g(x), reiškia f(x) pavaizduoti f(x)=g(x) s(x)+r(x), kur s (x ) ir r(x) yra daugianariai ir arba r(x)=0 arba st. r(x)

Kairėje ir dešinėje šio ryšio pusėse esantys polinomai yra lygūs, o tai reiškia, kad jų atitinkami koeficientai yra lygūs. Sulyginkime juos pirmiausia atidarydami skliaustus ir panašius terminus perkeldami į dešinę šios lygybės pusę. Gauname: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Prisiminkime, kad reikia rasti nepilnąjį koeficientą, t.y. jo koeficientus ir liekaną. Išreikškime jas iš gautų lygčių: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Radome formules, pagal kurias galima apskaičiuoti dalinio koeficiento s (x) ir liekanos r koeficientus. Šiuo atveju skaičiavimai pateikiami šios lentelės forma; ji vadinama Hornerio schema.

1 lentelė. Koeficientai f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficientų s (x) liekana Pirmoje šios lentelės eilutėje surašykite visus daugianario f (x) koeficientus iš eilės, palikdami pirmą langelį laisvą. Antroje eilutėje, pirmame langelyje, parašykite skaičių c. Likusios šios eilutės langeliai užpildomi po vieną skaičiuojant nepilnojo dalinio s (x) ir likusios r koeficientus. Antrame langelyje parašykite koeficientą bn-1, kuris, kaip nustatėme, yra lygus an.

Koeficientai kiekvienoje paskesnėje langelyje apskaičiuojami pagal tokią taisyklę: skaičius c padauginamas iš skaičiaus ankstesniame langelyje, o skaičius, esantis virš pildomos langelio, pridedamas prie rezultato. Norėdami prisiminti, tarkime, penktą langelį, tai yra, norėdami rasti joje esantį koeficientą, turite padauginti c iš skaičiaus ketvirtame langelyje ir prie rezultato pridėti skaičių, esantį virš penktojo langelio. Padalinkime, pavyzdžiui, daugianarį f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 iš x-2 su liekana, naudodamiesi Hornerio schema. Pildydami pirmąją šios diagramos eilutę, neturime pamiršti ir polinomo nulinių koeficientų. Taigi, koeficientai f (x) yra skaičiai 3, 0, - 5, 3, - 1. Taip pat turėtumėte atsiminti, kad nepilno dalinio laipsnis yra vienu mažesnis už daugianario f (x) laipsnį.

Taigi, skirstymą atliekame pagal Hornerio schemą: 2 lentelė. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Gauname dalinį koeficientą s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 o likusi dalis r=33. Atkreipkite dėmesį, kad tuo pačiu metu apskaičiavome daugianario reikšmę f (2) =33. Dabar tą patį daugianarį f (x) padalinkime iš x+2 su liekana. Šiuo atveju c=-2. gauname: 3 lentelę. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Dėl to gauname f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Daugianario šaknys Tegul c1, c2, …, cm yra skirtingos daugianario f (x) šaknys. Tada f (x) dalijamas iš x-c1, ty f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Į šią lygybę įdėkime x=c2. Gauname f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) ir taip f (c 2) =0, tada (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Bet с2≠с1, ty с2 -с1≠ 0, o tai reiškia, kad s 1 (c 2) =0. Taigi, c2 yra daugianario s 1 (x) šaknis. Iš to išplaukia, kad s 1 (x) dalijasi iš x-c2, ty s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Pakeiskime gautą s 1 (x) išraišką lygybe f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Turime f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Įdėjus x=c3 į paskutinę lygybę, atsižvelgiant į tai, kad f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, gauname, kad c3 yra daugianario s 2 (x) šaknis. Tai reiškia, kad s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), o tada f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) ir tt Tęsiant šiuos samprotavimus likusios šaknys c4, c5, ..., cm, galiausiai gauname f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), t.y. žemiau suformuluotas teiginys yra įrodytas.

Jei с1, с2, …, сm yra skirtingos daugianario f (x) šaknys, tada f (x) gali būti pavaizduota kaip f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x) ). Iš to išplaukia svarbi pasekmė. Jei c1, c2, ..., cm yra skirtingos daugianario f(x) šaknys, tai f(x) dalijamas iš daugianario (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Nenulinio daugianario f (x) skirtingų šaknų skaičius yra ne didesnis už jo laipsnį. Iš tiesų, jei f(x) neturi šaknų, tai aišku, kad teorema yra teisinga, nes str. f(x) ≥ 0. Dabar tegul f(x) turi m šaknų с1, с2, …, сm, ir visos jos yra skirtingos. Tada, remiantis tuo, kas ką tik buvo įrodyta, f (x) padalinamas į (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Šiuo atveju str. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm)) = str. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, t.y. str. f(x)≥m, o m yra nagrinėjamo daugianario šaknų skaičius. Tačiau nulinis daugianomas turi be galo daug šaknų, nes jo reikšmė bet kuriam x yra lygi 0. Visų pirma, dėl šios priežasties jam nėra nustatytas joks konkretus laipsnis. Šis teiginys išplaukia iš ką tik įrodytos teoremos.

Jei polinomas f(x) nėra didesnio nei n laipsnio daugianomas ir turi daugiau nei n šaknų, tai f(x) yra nulinis daugianomas. Tiesą sakant, iš šio teiginio sąlygų išplaukia, kad arba f (x) yra nulinis polinomas, arba str. f (x) ≤n. Jei darysime prielaidą, kad polinomas f (x) nėra lygus nuliui, tada str. f (x) ≤n, tada f (x) turi daugiausia n šaknų. Prieiname prieštaravimą. Tai reiškia, kad f(x) yra nenulinis polinomas. Tegul f (x) ir g (x) yra nuliniai daugianariai, kurių laipsnis daugiausia n. Jei šie daugianariai įgyja tas pačias reikšmes n+1 kintamojo x reikšmėms, tada f (x) =g (x).

Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite daugianarį h (x) =f (x) - g (x). Aišku, kad arba h (x) =0 arba st. h (x) ≤n, t. y. h (x) nėra daugianomas, kurio laipsnis didesnis nei n. Dabar tegul skaičius c yra toks, kad f (c) = g (c). Tada h (c) = f (c) - g (c) = 0, ty c yra daugianario h (x) šaknis. Todėl daugianomas h (x) turi n+1 šaknų, o kai, kaip ką tik įrodyta, h (x) =0, ty f (x) =g (x). Jei f (x) ir g (x) visoms kintamojo x reikšmėms yra vienodos, tada šie daugianariai yra lygūs

Kelios daugianario šaknys Jei skaičius c yra daugianario f (x) šaknis, žinoma, kad šis daugianomas dalijasi iš x-c. Gali atsitikti taip, kad f(x) dalijasi iš tam tikro laipsnio daugianario x-c, ty (x-c) k, k>1. Šiuo atveju c vadinamas daugybine šaknimi. Suformuluokime apibrėžimą aiškiau. Skaičius c vadinamas daugianario f (x) daugybos k šaknimi (k karto šaknis), jei polinomas dalijasi iš (x - c) k, k>1 (k yra natūralusis skaičius), bet nedalomas pagal (x - c) k+ 1. Jei k=1, tai c vadinama paprasta šaknimi, o jei k>1, tai vadinama daugianario f (x) daugine šaknimi.

Jei polinomas f(x) pavaizduotas kaip f(x)=(x-c)mg(x), m yra natūralusis skaičius, tada jis dalijasi iš (x-c) m+1 tada ir tik tada, jei g(x) dalijasi ant x-s. Tiesą sakant, jei g(x) dalijasi iš x-c, ty g(x)=(x-c)s(x), tada f(x)=(x-c) m+1 s(x), ir tai reiškia f(x) ) dalijasi iš (x-c) m+1. Ir atvirkščiai, jei f(x) dalijasi iš (x-c) m+1, tai f(x)=(x-c) m+1 s(x). Tada (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) ir sumažinus (x-c)m gauname g(x)=(x-c)s(x). Iš to seka, kad g(x) dalijasi iš x-c.

Pavyzdžiui, išsiaiškinkime, ar skaičius 2 yra daugianario f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 šaknis, o jei taip, raskite jo daugybą. Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, naudodami Hornerio grandinę patikrinkime, ar f (x) dalijasi iš x-2. turime: 4 lentelę. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kaip matote, likusioji dalis, dalijant f(x) iš x-2, yra lygi 0, t.y. padalintas iš x-2. Tai reiškia, kad 2 yra šio daugianario šaknis. Be to, gavome, kad f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Dabar išsiaiškinkime, ar f(x) yra (x-2) 2. Tai priklauso, kaip ką tik įrodėme, nuo daugianario g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x dalijimosi -12 x-2.

Dar kartą panaudokime Hornerio schemą: 5 lentelė. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Mes nustatėme, kad g(x) dalijasi iš x-2 ir g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Tada f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Taigi f(x) dalijasi iš (x-2)2, dabar turime išsiaiškinti, ar f(x) dalijasi iš (x-2)3. Norėdami tai padaryti, patikrinkime, ar h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 dalijasi iš x-2: 6 lentelė. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Nustatome, kad h(x) ) dalijasi iš x-2, o tai reiškia, kad f(x) yra padalintas iš (x-2) 3, o f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Toliau panašiai patikriname, ar f(x) dalijasi iš (x-2)4, t. y. ar s(x)=x 2+x-3 dalijasi iš x-2: 7 lentelė. 2 1 1 1 3 -3 3 Pastebime, kad liekana dalijant s(x) iš x-2 yra lygi 3, ty s(x) nesidalija iš x-2. Tai reiškia, kad f(x) nesidalija iš (x-2)4. Taigi f(x) dalijasi iš (x-2)3, bet nedalija iš (x-2)4. Todėl skaičius 2 yra daugianario f(x) daugybos 3 šaknis.

Paprastai šaknies daugialypiškumo tikrinimas atliekamas vienoje lentelėje. Šiame pavyzdyje ši lentelė atrodo taip: 8 lentelė. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Kitaip tariant, pagal schemą Hornerio daugianario f (x) padalijimas iš x-2, antroje eilutėje gauname daugianario g (x) koeficientus. Tada šią antrąją eilutę laikome pirmąja eilute nauja sistema Horner ir padalinkite g (x) iš x-2 ir tt Mes tęsiame skaičiavimus, kol gauname likutį, kuris skiriasi nuo nulio. Šiuo atveju šaknies dauginys yra lygus gautų nulinių liekanų skaičiui. Eilutėje, kurioje yra paskutinė ne nulis liekana, taip pat yra dalinio koeficientai, kai f (x) dalijamas iš (x-2) 3.

Dabar, naudodamiesi ką tik pasiūlyta šaknies daugialypiškumo tikrinimo schema, išspręsime šią problemą. Kam a ir b daugianaris f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 turi skaičių - 2 kaip dauginio 2 šaknį? Kadangi šaknies dauginys – 2 turėtų būti lygus 2, tai pagal siūlomą schemą dalijant iš x+2, du kartus gautume liekaną 0, o trečią – nuo ​​nulio skirtingą liekaną. Turime: 9 lentelę. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Taigi skaičius - 2 yra pradinio daugianario daugybos 2 šaknis tada ir tik tada

Racionaliosios daugianario šaknys Jei neredukuojama trupmena l/m (l, m yra sveikieji skaičiai) yra daugianario f (x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai šio daugianario pirminis koeficientas dalijamas iš m, o laisvasis narys yra padalytas iš 1. Iš tiesų, jei f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, kur an, an-1, . . . , a 1, a 0 yra sveikieji skaičiai, tada f(l/m) =0, t.y. аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Abi šios lygybės puses padauginkime iš mn. Gauname anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Tai reiškia anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Matome, kad sveikasis skaičius anln dalijasi iš m. Bet l/m yra neredukuojama trupmena, ty skaičiai l ir m yra pirminiai, o tada, kaip žinoma iš sveikųjų skaičių dalijimosi teorijos, skaičiai ln ir m taip pat yra pirminiai. Taigi, anln dalijasi iš m, o m yra ln, o tai reiškia, kad an dalijasi iš m. Raskime daugianario f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 racionaliąsias šaknis. Pagal teoremą šio daugianario racionaliosios šaknys yra tarp l/m formos neredukuojamųjų trupmenų, kur l yra laisvojo nario daliklis a 0=8, o m yra pirminio koeficiento a 4=6 daliklis. . Be to, jei trupmena l/m yra neigiama, tada skaitikliui bus priskirtas „-“ ženklas. Pavyzdžiui, - (1/3) = (-1) /3. Taigi galime sakyti, kad l yra skaičiaus 8 daliklis, o m yra teigiamas skaičiaus 6 daliklis.

Kadangi skaičiaus 8 dalikliai yra ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, o teigiami skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2, 3, 6, tada nagrinėjamo daugianario racionalios šaknys yra tarp skaičių ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Prisiminkime, kad išrašėme tik neredukuojamas trupmenas. Taigi, mes turime dvidešimt skaičių - „kandidatų“ į šaknis. Belieka patikrinti kiekvieną iš jų ir atrinkti tuos, kurie tikrai yra šaknys. ši teorema supaprastina šį darbą. Jei neredukuojama trupmena l/m yra daugianario f (x) su sveikųjų skaičių koeficientais šaknis, tai f (k) dalijasi iš l-km bet kuriam sveikajam skaičiui k, jei l-km≠ 0.

Norėdami įrodyti šią teoremą, padalykite f(x) iš x-k su liekana. Gauname f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Kadangi f(x) yra daugianomas su sveikųjų skaičių koeficientais, tai yra ir polinomas s(x), o f(k) yra sveikas skaičius. Tegu s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Tada f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Į šią lygybę įdėkime 1 x=l/m. Atsižvelgiant į tai, kad f(l/m)=0, gauname f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Abi paskutinės lygybės puses padauginkime iš mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Iš to seka, kad sveikasis skaičius mnf (k) dalijasi iš l-km. Bet kadangi l ir m yra pirminiai, tada mn ir l-km taip pat yra koprime, o tai reiškia, kad f(k) dalijasi iš l-km. Teorema įrodyta.

Grįžkime prie savo pavyzdžio ir pasinaudodami įrodyta teorema dar labiau susiaurinsime racionalių šaknų paieškų ratą. Taikykime šią teoremą k=1 ir k=-1, t.y. jei neredukuojama trupmena l/m yra daugianario f(x) šaknis, tai f(1)/(l-m) ir f(-1) /(l +m). Mes lengvai nustatome, kad mūsų atveju f(1)=-5, o f(-1)=-15. Atkreipkite dėmesį, kad tuo pat metu mes neįtraukėme į svarstymą ± 1. Taigi racionalių daugianario šaknų reikia ieškoti tarp skaičių ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Laikykime l/m=1/2. Tada l-m=-1 ir f (1) =-5 dalijamas iš šio skaičiaus. Be to, l+m=3 ir f (1) =-15 taip pat dalijasi iš 3. Tai reiškia, kad trupmena 1/2 lieka tarp „kandidatų“ į šaknis.

Tegu dabar lm=-(1/2)=(-1)/2. Šiuo atveju l-m=-3 ir f (1) =-5 nesidalija iš -3. Tai reiškia, kad trupmena -1/2 negali būti šio daugianario šaknis, todėl mes ją pašaliname iš tolesnio svarstymo. Patikrinkime kiekvieną iš aukščiau parašytų trupmenų ir išsiaiškinkime, kad reikiamos šaknys yra tarp skaičių 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Taigi, naudodami gana paprastą techniką, mes gerokai susiaurinome racionaliųjų paieškos sritį. aptariamo daugianario šaknis. Na, norėdami patikrinti likusius skaičius, naudosime Hornerio schemą: 10 lentelė. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Matome, kad 1/2 yra daugianario šaknis f(x) ir f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Aišku, kad visos kitos daugianario f (x) šaknys sutampa su daugianario g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 šaknimis, o tai reiškia, kad tolesnis „kandidatų“ į šaknis tikrinimas. galima atlikti šiam daugianariui. Randame: 11 lentelę. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Mes nustatėme, kad liekana dalijant g(x) iš x-2/3 yra lygi - 80/9, ty 2/3 nėra daugianario g(x) šaknis, todėl ir f(x) nėra. Toliau randame, kad - 2/3 yra daugianario g(x) ir g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4) šaknis.

Tada f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Galima atlikti tolesnį daugianario x 2+2 x-4 patikrinimą, kuris, žinoma, yra paprastesnis nei g (x) arba, juo labiau, f (x). Dėl to matome, kad skaičiai 2 ir - 4 nėra šaknys. Taigi, daugianomas f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 turi dvi racionaliąsias šaknis: 1/2 ir - 2/3. Šis metodas leidžia rasti tik racionalias daugianario šaknis su sveikaisiais koeficientais. Tuo tarpu daugianomas taip pat gali turėti iracionalias šaknis. Taigi, pavyzdžiui, pavyzdyje nagrinėjamas daugianomas turi dar dvi šaknis: - 1±√ 5 (tai yra daugianario x2+2 x-4 šaknys). daugianaris gali iš viso neturėti racionalių šaknų.

Tikrinant polinomo f(x) „kandidatines“ šaknis naudojant antrąją iš aukščiau įrodytų teoremų, pastaroji dažniausiai naudojama atvejams k = ± 1. Kitaip tariant, jei l/m yra „kandidatinė“ šaknis, tada patikrinkite, ar f(1) ir f (-1) atitinkamai l-m ir l+m. Bet gali atsitikti taip, kad, pavyzdžiui, f(1) =0, t.y. 1 yra šaknis, o tada f(1) dalijasi iš bet kurio skaičiaus, ir mūsų patikrinimas netenka prasmės. Tokiu atveju turėtumėte padalyti f(x) iš x-1, t.y. gauti f(x)=(x-1)s(x) ir išbandyti daugianarį s(x). Kartu reikia nepamiršti, kad jau radome vieną daugianario f(x)-x 1=1 šaknį. Jei patikrintume „kandidatus“ į šaknis, likusias panaudojus antrąją racionaliųjų šaknų teoremą, taikant Hornerio schemą, pamatytume, kad, pavyzdžiui, l/m yra šaknis, tuomet reikėtų rasti jos daugybą. Jei jis lygus, tarkime, k, tada f(x)=(x-l/m) ks(x), ir galima atlikti tolesnį s(x) testavimą, o tai sumažina skaičiavimą.

Sprendimas. Pakeitę kintamąjį y=2 x, pereiname prie daugianario, kurio koeficientas lygus vienetui aukščiausiu laipsniu. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padauginkite išraišką iš 4. Jei gauta funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jos yra tarp laisvojo termino daliklių. Užsirašykime juos: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Iš eilės apskaičiuokime funkcijos g(y) reikšmes šiuose taškuose, kol pasieksime nulį. Tai yra, y=-5 yra šaknis ir todėl yra pradinės funkcijos šaknis. Padalinkime daugianarį iš dvejetainio, naudodami stulpelį (kampą)

Nepatartina ir toliau tikrinti likusių daliklių, nes gautą kvadratinį trinarį lengviau koeficientuoti.

Naudojant sutrumpintas daugybos formules ir Niutono dvinarį iki faktoriaus daugianario Kartais išvaizda daugianario siūlo būdą, kaip jį koeficientuoti. Pavyzdžiui, po paprastų transformacijų koeficientai išrikiuojami į eilutę iš Paskalio trikampio, skirto Niutono dvinario koeficientams. Pavyzdys. Dauginamojo koeficientas.

Sprendimas. Transformuokime išraišką į formą: Sumos koeficientų seka skliausteliuose aiškiai rodo, kad tai yra Todėl dabar taikome kvadratų skirtumo formulę: Antrajame skliaustelyje esanti išraiška neturi realių šaknų, o polinomui iš pirmajame skliaustelyje dar kartą taikome kvadratų skirtumo formulę

Vietos formulės, išreiškiančios daugianario koeficientus per jo šaknis. Šias formules patogu naudoti norint patikrinti daugianario šaknų suradimo teisingumą, taip pat sudaryti daugianarį pagal duotas šaknis. Formuluotė Jei yra daugianario šaknys, tai koeficientai išreiškiami simetriniais šaknų polinomais, būtent

Kitaip tariant, ak yra lygus visų galimų k šaknų sandaugų sumai. Jei pirmaujantis koeficientas yra daugianario, tai norint taikyti Vietos formulę, pirmiausia reikia visus koeficientus padalyti iš 0. Šiuo atveju Vietos formulės duoda visų koeficientų santykio su pirmaujančiu išraišką. Iš paskutinės Vietos formulės išplaukia, kad jei daugianario šaknys yra sveikasis skaičius, tai jos yra jo laisvojo nario, kuris taip pat yra sveikasis skaičius, dalikliai. Įrodymas atliekamas įvertinus lygybę, gautą išplėtus daugianarį šaknimis, atsižvelgiant į tai, kad a 0 = 1 Sulyginus koeficientus esant vienodoms x laipsnėms, gauname Vietos formules.

Išspręskite lygtį x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Sprendimas. Pažymime y = x 3, tada pradinė lygtis įgauna formą y 2 – 5 y + 4 = 0, kurią išsprendę gauname Y 1 = 1; Y 2 = 4. Taigi pradinė lygtis yra lygiavertė lygčių rinkiniui: x 3 = 1 arba x 3 = 4, ty X 1 = 1 arba X 2 = Atsakymas: 1;

Bezout teoremos apibrėžimas 1. Elementas vadinamas daugianario šaknimi, jei f(c)=0. Bezouto teorema. Polinomo Pn(x) dalijimo iš dvejetainio (x-a) liekana yra lygi šio daugianario reikšmei, kai x = a. Įrodymas. Pagal padalijimo algoritmą f(x)=(xc)q(x)+r(x), kur arba r(x)=0, arba, ir todėl. Taigi f(x)=(x-c)q(x)+r, todėl f(c)=(c-c)q(c)+r=r, taigi f(x)=(xc)q(x) +f (c).

1 išvada: polinomo Pn (x) padalijimo iš dvinario ax+b liekana yra lygi šio daugianario reikšmei, kai x = -b/a, t.y. R=Pn (-b/a). 2 išvada: jei skaičius a yra daugianario P (x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš (x-a) be liekanos. 3 išvada: jei daugianario P(x) šaknys poromis skiriasi a 1 , a 2 , ... , an, tada jis dalijamas iš sandaugos (x-a 1) ... (x-an) be liekanos. 4 išvada: n laipsnio daugianomas turi daugiausia n skirtingų šaknų. 5 išvada: bet kurio daugianario P(x) ir skaičiaus a skirtumas (P(x)-P(a)) dalijasi iš dvejetainio (x-a) be liekanos. 6 išvada: skaičius a yra polinomo P(x), kurio laipsnis yra bent pirmas, šaknis tada ir tik tada, kai P(x) dalijasi iš (x-a) be liekanos.

Racionaliosios trupmenos skaidymas į paprastas trupmenas Parodykime, kad bet kuri tinkama racionalioji trupmena gali būti išskaidyta į paprastųjų trupmenų sumą. Tegu duota tinkama racionali trupmena (1).

1 teorema. Tegu x=a yra trumpumo k vardiklio šaknis, t.y., kur f(a)≠ 0, tai ši tinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip dviejų kitų suma tinkamos trupmenos taip: (2) kur A yra konstanta, nelygi nuliui, o F 1(x) yra daugianaris, kurio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį

kur yra daugianaris, kurio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį. Ir panašiai kaip ankstesnėje formulėje, galite gauti: (5)