Tikimybių teorijos studijos pradedamos sprendžiant tikimybių sudėties ir daugybos uždavinius. Iš karto verta paminėti, kad mokinys, įsisavindamas šią žinių sritį, gali susidurti su problema: jei fizikinius ar cheminius procesus galima vizualizuoti ir suprasti empiriškai, tai matematinės abstrakcijos lygis yra labai aukštas, o supratimas čia ateina tik su patirtį.

Tačiau žaidimas yra vertas žvakės, nes formulės - tiek šiame straipsnyje aptartos, tiek sudėtingesnės - šiandien naudojamos visur ir gali būti naudingos darbe.

Kilmė

Kad ir kaip būtų keista, impulsas plėtoti šią matematikos dalį buvo... azartiniai lošimai. Iš tiesų, kauliukai, monetų metimas, pokeris, ruletė yra tipiški pavyzdžiai, kuriuose naudojamas tikimybių sudėjimas ir dauginimas. Bet kurio vadovėlio užduočių pavyzdyje tai aiškiai matyti. Žmonėms buvo įdomu sužinoti, kaip padidinti savo šansus laimėti, ir turiu pasakyti, kad kai kuriems tai pavyko.

Pavyzdžiui, jau XXI amžiuje vienas žmogus, kurio vardo neatskleisime, per šimtmečius sukauptas žinias panaudojo tiesiogine prasme kazino „išvalymui“, ruletėje laimėdamas kelias dešimtis milijonų dolerių.

Tačiau, nepaisant padidėjusio susidomėjimo šia tema, tik XX amžiuje buvo sukurta teorinė bazė, kuri padarė „teorverį“ visaverčiu.Šiandien beveik bet kuriame moksle galima rasti skaičiavimus tikimybiniais metodais.

Pritaikomumas

Svarbus momentas naudojant tikimybių, sąlyginės tikimybės sudėties ir daugybos formules, yra centrinės ribos teoremos tenkinamumas. Priešingu atveju, nors mokinys to gali ir nesuvokti, visi skaičiavimai, kad ir kokie tikėtini jie atrodytų, bus neteisingi.

Taip, labai motyvuotas besimokantis yra gundomas pasinaudoti naujomis žiniomis kiekviena proga. Bet į Ši byla reikia šiek tiek sulėtinti tempą ir griežtai nubrėžti taikymo sritį.

Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinius įvykius, kurie empiriškai yra eksperimentų rezultatai: mes galime mesti šešiapusį kauliuką, ištraukti kortą iš kaladės, numatyti sugedusių dalių skaičių partijoje. Tačiau kai kuriuose klausimuose kategoriškai neįmanoma naudoti formulių iš šios matematikos dalies. Įvykio tikimybių svarstymo ypatybes, įvykių sudėjimo ir daugybos teoremas aptarsime straipsnio pabaigoje, bet kol kas atsigręžkime į pavyzdžius.

Pagrindinės sąvokos

Atsitiktinis įvykis yra koks nors procesas arba rezultatas, kuris gali pasirodyti arba nepasireikšti kaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, mesti sumuštinį – jis gali nukristi sviestu aukštyn arba sviestu žemyn. Bet kuris iš dviejų rezultatų bus atsitiktinis, ir mes iš anksto nežinome, kuris iš jų įvyks.

Tiriant tikimybių sudėtį ir daugybą, mums reikia dar dviejų sąvokų.

Bendri įvykiai yra tokie įvykiai, kurių įvykimas neatmeta galimybės įvykti ir kitam. Tarkime, į taikinį vienu metu šaudo du žmonės. Jei vienas iš jų pasieks sėkmingą rezultatą, tai neturės įtakos antrojo gebėjimui pataikyti į akis ar nepataikyti.

Nenuoseklūs įvykiai bus tokie įvykiai, kurių įvykimas tuo pačiu metu yra neįmanomas. Pavyzdžiui, ištraukę iš dėžutės tik vieną rutulį, negalėsite iš karto gauti ir mėlynos, ir raudonos spalvos.

Paskyrimas

Tikimybės sąvoka žymima lotyniška didžiąja raide P. Toliau skliausteliuose pateikiami argumentai, žymintys kai kuriuos įvykius.

Sudėties teoremos, sąlyginės tikimybės, daugybos teoremos formulėse skliausteliuose matysite išraiškas, pvz.: A+B, AB arba A|B. Jie suskaičiuos Skirtingi keliai, dabar kreipsimės į juos.

Papildymas

Apsvarstykite atvejus, kai naudojamos tikimybių sudėties ir daugybos formulės.

Nesuderinamiems įvykiams tinka paprasčiausia sudėjimo formulė: bet kurio atsitiktinio rezultato tikimybė bus lygi kiekvienos iš šių baigčių tikimybių sumai.

Tarkime, kad yra dėžutė su 2 mėlynais, 3 raudonais ir 5 geltonais rutuliukais. Iš viso dėžutėje yra 10 prekių. Koks teiginio, kad nupiešime mėlyną arba raudoną rutulį, teisingumo procentas? Jis bus lygus 2/10 + 3/10, ty penkiasdešimt procentų.

Nesuderinamų įvykių atveju formulė tampa sudėtingesnė, nes pridedamas papildomas terminas. Prie jo grįšime vienoje pastraipoje, apsvarstę dar vieną formulę.

Daugyba

Tikimybių sudėjimas ir daugyba nėra priklausomi įvykiai naudojamas įvairiomis progomis. Jei pagal eksperimento sąlygas mus tenkina bet kuris iš dviejų galimų rezultatų, apskaičiuosime sumą; jei norime gauti du tam tikrus rezultatus vienas po kito, naudosime kitą formulę.

Grįžtant prie pavyzdžio iš ankstesnės dalies, pirmiausia norime nupiešti mėlyną rutulį, o tada raudoną. Pirmas mums žinomas skaičius yra 2/10. Kas bus toliau? Liko 9 kamuoliukai, dar tiek pat liko raudonų – trys vnt. Pagal skaičiavimus gausite 3/9 arba 1/3. Bet ką dabar daryti su dviem skaičiais? Teisingas atsakymas yra padauginti, kad gautumėte 2/30.

Bendri renginiai

Dabar vėl galime pereiti prie bendrų renginių sumos formulės. Kodėl mes nukrypstame nuo temos? Norėdami sužinoti, kaip dauginamos tikimybės. Dabar mums reikia šių žinių.

Jau žinome, kokie bus pirmieji du nariai (toks pat kaip ir anksčiau nagrinėtoje sudėjimo formulėje), bet dabar reikia atimti tikimybių sandaugą, kurią ką tik išmokome apskaičiuoti. Aiškumo dėlei parašome formulę: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Pasirodo, vienoje išraiškoje naudojamas ir tikimybių sudėjimas, ir daugyba.

Tarkime, kad norėdami gauti kreditą, turime išspręsti vieną iš dviejų problemų. Pirmąjį galime išspręsti 0,3 tikimybe, o antrąjį – 0,6. Sprendimas: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Atminkite, kad čia nepakaks vien susumuoti skaičius.

Sąlyginė tikimybė

Galiausiai yra sąlyginės tikimybės sąvoka, kurios argumentai nurodyti skliausteliuose ir atskirti vertikalia juosta. Įrašas P(A|B) skamba taip: "įvykio A duoto įvykio B tikimybė".

Pažiūrėkime į pavyzdį: draugas duoda kokį nors įrenginį, tegul tai būna telefonas. Jis gali būti sulūžęs (20%) arba geras (80%). Jūs galite suremontuoti bet kurį į jūsų rankas patekusį įrenginį su tikimybe 0,4 arba negalite to padaryti (0,6). Galiausiai, jei įrenginys veikia, galite skambinti teisingas žmogus su 0,7 tikimybe.

Nesunku suprasti, kaip šiuo atveju veikia sąlyginė tikimybė: sugedus telefonui prie žmogaus nepavyks patekti, o jei jis geras, taisyti nereikia. Taigi, norėdami gauti kokių nors rezultatų „antrame lygyje“, turite žinoti, kuris įvykis buvo įvykdytas pirmą kartą.

Skaičiavimai

Apsvarstykite tikimybių sudėties ir daugybos uždavinių sprendimo pavyzdžius, naudodami ankstesnės pastraipos duomenis.

Pirmiausia suraskime tikimybę, kad pataisysite jums duotą įrenginį. Norėdami tai padaryti, pirma, jis turi būti sugedęs, antra, turite susidoroti su remontu. Tai tipiška daugybos problema: gauname 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kokia tikimybė, kad iš karto pateksite į reikiamą žmogų? Lengviau nei paprasta: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. Tokiu atveju pastebėjote, kad telefonas veikia, ir sėkmingai paskambinote.

Galiausiai apsvarstykite šį scenarijų: gavote sugedusį telefoną, jį sutvarkėte, tada surinkote numerį, o kitame gale esantis asmuo pakėlė ragelį. Čia jau reikia padauginti tris komponentus: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Bet ką daryti, jei vienu metu turite du neveikiančius telefonus? Kokia tikimybė, kad sutvarkysite bent vieną iš jų? dėl tikimybių sudėties ir daugybos, nes naudojami bendri įvykiai. Sprendimas: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Taigi, jei du sugedę įrenginiai pateks į jūsų rankas, 64% atvejų galėsite juos sutvarkyti.

Atsargus naudojimas

Kaip minėta straipsnio pradžioje, tikimybių teorijos naudojimas turėtų būti apgalvotas ir sąmoningas.

Kuo didesnė eksperimentų serija, tuo teoriškai prognozuojama vertė priartėja prie praktiškai gautos vertės. Pavyzdžiui, mes metame monetą. Teoriškai, žinodami apie tikimybių sudėjimo ir daugybos formulių egzistavimą, galime numatyti, kiek kartų galvos ir uodegos iškris, jei eksperimentą atliksime 10 kartų. Atlikome eksperimentą ir atsitiktinai iškritusių pusių santykis buvo 3:7. Bet jei atliksite 100, 1000 ar daugiau bandymų seriją, paaiškės, kad pasiskirstymo grafikas vis labiau artėja prie teorinis: nuo 44 iki 56, 482 iki 518 ir pan.

Dabar įsivaizduokite, kad šis eksperimentas atliekamas ne su moneta, o gaminant kokį nors naują cheminis, kurio tikimybės nežinome. Atliktume 10 eksperimentų ir, negavę sėkmingo rezultato, galėtume apibendrinti: „medžiagos negalima gauti“. Bet kas žino, ar būtume pasiekę tikslą, jei būtume vienuoliktą kartą pabandę, ar ne?

Taigi, jei einate į nežinomybę, į neištirtą sritį, tikimybės teorija gali būti nepritaikoma. Kiekvienas paskesnis bandymas šiuo atveju gali būti sėkmingas, o tokie apibendrinimai kaip „X neegzistuoja“ arba „X neįmanomas“ bus per anksti.

Galutinis žodis

Taigi, mes išnagrinėjome du sudėjimo tipus, daugybos ir sąlygines tikimybes. Toliau studijuojant šią sritį, būtina išmokti atskirti situacijas, kai naudojama kiekviena konkreti formulė. Be to, turite suprasti, ar tikimybiniai metodai apskritai yra taikomi sprendžiant jūsų problemą.

Jei treniruositės, po kurio laiko visas reikalingas operacijas pradėsite atlikti išskirtinai mintyse. Tiems, kurie yra priklausomi kortų žaidimai, šį įgūdį galima laikyti itin vertingu – ženkliai padidinsite savo šansus laimėti, vien tik paskaičiavę konkrečios kortos ar kostiumo iškritimo tikimybę. Tačiau įgytas žinias nesunkiai galima pritaikyti ir kitose veiklos srityse.

Tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremos.
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pavadinimas atrodo bauginantis, bet iš tikrųjų labai paprastas. Įjungta šią pamoką susipažinsime su įvykių tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis, taip pat analizuosime tipines problemas, kurios kartu su Klasikinio tikimybės apibrėžimo uždavinys tikrai susitiks arba, greičiausiai, jau susitiko savo kelyje. Dėl efektyvus mokymasisšio straipsnio medžiaga, turite žinoti ir suprasti pagrindinius terminus tikimybių teorija ir sugebėti atlikti paprastą aritmetines operacijas. Kaip matote, reikia labai nedaug, todėl beveik garantuotas didelis turto pliusas. Bet kita vertus, dar kartą perspėju dėl paviršutiniško požiūrio į praktinius pavyzdžius – subtilybių irgi pakanka. Sėkmės:

Nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema: vieno iš dviejų atsiradimo tikimybė nesuderinamasįvykius arba (Nesvarbu kas), yra lygus šių įvykių tikimybių sumai:

Panašus faktas galioja ir didesniam nesuderinamų įvykių skaičiui, pavyzdžiui, trims nesuderinamiems įvykiams ir:

Svajonių teorema =) Tačiau toks sapnas taip pat turi būti įrodytas, kurį galima rasti, pavyzdžiui, in studijų vadovas V.E. Gmurmanas.

Susipažinkime su naujomis, iki šiol nematytomis sąvokomis:

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pradėkime nuo nepriklausomų įvykių. Renginiai yra nepriklausomas jei atsiradimo tikimybė bet kuris iš jų nepriklauso nuo kitų nagrinėjamos aibės įvykių atsiradimo/nepasirodymo (visais įmanomais deriniais). ... Bet ką čia šlifuoti įprastas frazes:

Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema: nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė ir yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Grįžkime prie paprasčiausio 1-osios pamokos pavyzdžio, kuriame mestos dvi monetos ir šie įvykiai:

- galvos kris ant 1-osios monetos;
- Galvos ant 2-osios monetos.

Raskime įvykio tikimybę (galvos atsiras ant 1-osios monetos Ir Ant 2-osios monetos atsiras erelis - prisimink, kaip skaityti įvykių produktas!) . Tikimybė patekti ant vienos monetos galvos nepriklauso nuo kitos monetos metimo rezultato, todėl įvykiai ir yra nepriklausomi.

Panašiai:
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nusileis galvas Ir ant 2 uodegos;
yra tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras galvos Ir ant 2 uodegos;
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nukris ant uodegų Ir ant 2-ojo erelio.

Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai formuojasi pilna grupė o jų tikimybių suma lygi vienetui: .

Daugybos teorema akivaizdžiai išplečiama ir didesniam nepriklausomų įvykių skaičiui, todėl, pavyzdžiui, jei įvykiai yra nepriklausomi, tai jų bendro atsiradimo tikimybė yra: . Praktikuokime toliau konkrečių pavyzdžių:

3 užduotis

Kiekvienoje iš trijų dėžučių yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje - 7, trečioje - 9. Iš kiekvienos dėžės atsitiktinai išimama viena dalis. Raskite tikimybę, kad visos dalys yra standartinės.

Sprendimas: tikimybė ištraukti standartinę ar nestandartinę dalį iš bet kurios dėžės nepriklauso nuo to, kurios dalys bus ištrauktos iš kitų dėžių, todėl problema yra dėl nepriklausomų įvykių. Apsvarstykite šiuos nepriklausomus įvykius:

– iš 1 dėžės išimama standartinė dalis;
– iš 2 dėžės išimama standartinė dalis;
– Iš 3 stalčiaus išimta standartinė dalis.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
yra atitinkamos tikimybės.

Mus dominantis renginys (Standartinė dalis bus paimta iš 1 stalčiaus Ir nuo 2 standarto Ir nuo 3 standarto) išreiškiamas gaminiu.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

yra tikimybė, kad iš trijų dėžių bus ištraukta viena standartinė dalis.

Atsakymas: 0,504

Po gaivinančių pratimų su dėžėmis mūsų laukia ne mažiau įdomios urnos:

4 užduotis

Trijose urnose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos atsitiktinai ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad: a) visi trys rutuliai bus balti; b) visi trys rutuliai bus vienodos spalvos.

Pagal gautą informaciją atspėk, kaip elgtis su daiktu „būti“ ;-) Pavyzdys Pavyzdys sprendimas parengtas akademiniu stiliumi su išsamiu visų įvykių aprašymu.

Priklausomi įvykiai. Renginys vadinamas priklausomas jei jos tikimybė priklauso iš vieno ar kelių jau įvykusių įvykių. Jums nereikia toli ieškoti pavyzdžių – tiesiog eikite į artimiausią parduotuvę:

- rytoj 19.00 bus išpardavimas šviežia duona.

Šio įvykio tikimybė priklauso nuo daugelio kitų įvykių: ar rytoj bus pristatyta šviežia duona, ar ji bus išparduota iki 19 valandos ar ne ir pan. Atsižvelgiant į įvairias aplinkybes, šis įvykis gali būti ir patikimas, ir neįmanomas. Taigi renginys yra priklausomas.

Duona... ir, kaip reikalavo romėnai, cirkai:

- per egzaminą studentas gaus paprastą bilietą.

Jei eisi ne pats pirmas, tada įvykis priklausys, nes jo tikimybė priklausys nuo to, kokius bilietus klasės draugai jau ištraukė.

Kaip nustatyti įvykių priklausomybę/nepriklausomybę?

Kartais tai tiesiogiai nurodoma problemos būsenoje, tačiau dažniausiai turite atlikti nepriklausomą analizę. Čia nėra vienareikšmės gairės, o įvykių priklausomybės ar nepriklausomybės faktas išplaukia iš natūralaus loginio samprotavimo.

Kad nesumestum visko į vieną krūvą, užduotys priklausomiems įvykiams Išskirsiu kitą pamoką, bet kol kas apsvarstysime dažniausiai praktikoje pasitaikančias teoremas:

Nenuoseklių tikimybių sudėjimo teoremų uždaviniai
ir padauginus nepriklausomų įvykių tikimybes

Šis tandemas, mano subjektyviu vertinimu, veikia apie 80% nagrinėjamos temos užduočių. Hitai ir tikra tikimybių teorijos klasika:

5 užduotis

Du šauliai paleido po vieną šūvį į taikinį. Pirmajam šauliui pataikymo tikimybė yra 0,8, antrajam - 0,6. Raskite tikimybę, kad:

a) tik vienas šaulys pataikys į taikinį;
b) bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Sprendimas: vieno šaulio pataikymo / nepataikymo tikimybė akivaizdžiai nepriklauso nuo kito šaulio pasirodymo.

Apsvarstykite įvykius:
– 1-asis šaulys pataikys į taikinį;
– 2-asis šaulys pataikys į taikinį.

Pagal sąlygą:.

Raskime priešingų įvykių tikimybes, kad atitinkamos rodyklės praleistų:

a) Apsvarstykite įvykį: - į taikinį pataiko tik vienas šaulys. Šį įvykį sudaro du nesuderinami rezultatai:

Pataikys 1-asis šaulys Ir 2-as praleidžia
arba
1-oji praleis Ir 2-asis pataikys.

Ant liežuvio įvykių algebrašį faktą galima parašyti taip:

Pirmiausia naudojame nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą, tada - nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

yra tikimybė, kad bus tik vienas smūgis.

b) Apsvarstykite įvykį: - bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Visų pirma, PAGALVOKIM – ką reiškia sąlyga „BENT VIENA“? Šiuo atveju tai reiškia, kad arba pirmasis šaulys pataikys (antrasis nepataikys) arba 2-as (1-as praleidžiamas) arba abi rodyklės vienu metu – iš viso 3 nesuderinami rezultatai.

Pirmasis metodas: atsižvelgiant į paruoštą ankstesnio elemento tikimybę, įvykį patogu pavaizduoti kaip šių nevienodų įvykių sumą:

vienas gaus (įvykis, susidedantis iš 2 nesuderinamų baigčių) arba
Jei pataikė abi rodyklės, šį įvykį žymime raide .

Taigi:

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad pataikys pirmasis šaulys Ir Pataikys 2-asis šaulys.

Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:
yra bent vieno smūgio į taikinį tikimybė.

Antras metodas: apsvarstykite priešingą įvykį: – abu šauliai praleis.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Kaip rezultatas:

Ypatingas dėmesys atkreipkite dėmesį į antrąjį būdą – apskritai jis racionalesnis.

Be to, yra alternatyvus, trečiasis sprendimo būdas, pagrįstas aukščiau nutylima bendrų įvykių sumavimo teorema.

! Jei skaitote medžiagą pirmą kartą, norint išvengti painiavos, geriau praleisti kitą pastraipą.

Trečias būdas : įvykiai yra jungtiniai, o tai reiškia, kad jų suma išreiškia įvykį „bent vienas šaulys pataiko į taikinį“ (žr. įvykių algebra). Autorius jungtinių įvykių tikimybių sudėjimo teorema ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema:

Patikrinkime: įvykius ir (atitinkamai 0, 1 ir 2 smūgiai) sudaryti visą grupę, todėl jų tikimybių suma turi būti lygi vienetui:
, kuris turėjo būti patikrintas.

Atsakymas:

Nuodugniai išstudijavę tikimybių teoriją, susidursite su dešimtimis militaristinio turinio užduočių ir, kaip būdinga, po jų nebesinori šaudyti į nieką – užduotys beveik dovanotos. Kodėl nepadarius šablono dar paprastesnio? Sutrumpinkime įrašą:

Sprendimas: pagal sąlygą: , yra tikimybė pataikyti į atitinkamus šaulius. Tada jų praleidimo tikimybė yra tokia:

a) Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:
yra tikimybė, kad tik vienas šaulys pataikys į taikinį.

b) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad abu šauliai nepataikys.

Tada: yra tikimybė, kad bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Atsakymas:

Praktiškai galite naudoti bet kurią dizaino parinktį. Žinoma, kur kas dažniau jie eina trumpuoju keliu, bet nereikėtų pamiršti 1-ojo metodo – nors jis ilgesnis, bet prasmingesnis – jame aiškesnis, kas, kodėl ir kodėl sumuojasi ir padaugina. Kai kuriais atvejais tinka hibridinis stilius, kai patogu tik kai kuriuos įvykius nurodyti didžiosiomis raidėmis.

Panašios užduotys nepriklausomas sprendimas:

6 užduotis

Priešgaisrinei signalizacijai sumontuoti du nepriklausomai veikiantys jutikliai. Tikimybė, kad jutiklis veiks gaisro metu, yra atitinkamai 0,5 ir 0,7 pirmajam ir antrajam jutikliams. Raskite tikimybę, kad kilus gaisrui:

a) suges abu jutikliai;
b) abu jutikliai veiks.
c) Naudojant įvykių, sudarytų ištisą grupę, tikimybių sudėjimo teorema, raskite tikimybę, kad gaisro metu veiks tik vienas jutiklis. Patikrinkite rezultatą tiesiogiai apskaičiuodami šią tikimybę (naudojant sudėties ir daugybos teoremas).

Čia įrenginių veikimo nepriklausomumas yra tiesiogiai išreiškiamas būsenoje, o tai, beje, yra svarbus paaiškinimas. Pavyzdinis sprendimas sukurtas akademiniu stiliumi.

Ką daryti, jei panašioje užduotyje pateikiamos tos pačios tikimybės, pavyzdžiui, 0,9 ir 0,9? Jūs turite nuspręsti lygiai taip pat! (kas iš tikrųjų jau buvo parodyta pavyzdyje su dviem monetomis)

7 užduotis

Tikimybė, kad pirmasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, yra 0,8. Tikimybė, kad taikinys nepataikytas pirmajam ir antrajam šauliui iššovus vieną šūvį, yra 0,08. Kokia tikimybė, kad antrasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį?

Ir tai yra mažas galvosūkis, kuris yra trumpai įrėmintas. Sąlygą galima performuluoti glaustai, bet originalo neperdarysiu – praktiškai tenka gilintis į puošnesnius prasimanymus.

Susipažinkite su juo – jis yra tas, kuris jums supjaustė nepamatuojamą kiekį detalių =):

8 užduotis

Darbuotojas valdo tris mašinas. Tikimybė, kad per pamainą pirmai mašinai reikės reguliuoti, yra 0,3, antrosios - 0,75, trečiosios - 0,4. Raskite tikimybę, kad pamainos metu:

a) visas mašinas reikės reguliuoti;
b) tik vieną mašiną reikės reguliuoti;
c) bent vieną mašiną reikės reguliuoti.

Sprendimas: kadangi sąlyga nieko nesako apie vieną technologinį procesą, tai kiekvienos mašinos veikimas turėtų būti laikomas nepriklausomu nuo kitų mašinų veikimo.

Analogiškai su užduotimi Nr. 5, čia galite atsižvelgti į įvykius, susidedančius iš to, kad atitinkamas mašinas reikės koreguoti pamainos metu, užrašyti tikimybes, rasti priešingų įvykių tikimybes ir pan. Tačiau su trimis objektais aš tikrai nenoriu taip rengti užduoties - ji pasirodys ilga ir nuobodu. Todėl pastebimai pelningiau čia naudoti „greitąjį“ stilių:

Pagal sąlygą: - tikimybė, kad pamainos metu atitinkamas mašinas reikės derinti. Tada tikimybė, kad jiems nereikės dėmesio, yra:

Vienas iš skaitytojų čia rado šaunią rašybos klaidą, net netaisysiu =)

a) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti visas tris mašinas.

b) Renginys „Pamainos metu reikės reguliuoti tik vieną mašiną“ susideda iš trijų nesuderinamų rezultatų:

1) 1 mašina pareikalaus dėmesį Ir 2-oji mašina nereikės Ir 3 mašina nereikės
arba:
2) 1-oji mašina nereikės dėmesį Ir 2-oji mašina pareikalaus Ir 3 mašina nereikės
arba:
3) 1-oji mašina nereikės dėmesį Ir 2-oji mašina nereikės Ir 3 mašina pareikalaus.

Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:

- tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik vieną mašiną.

Manau, kad dabar jums turėtų būti aišku, iš kur kilo ši išraiška

c) Apskaičiuokite tikimybę, kad mašinos nereikės reguliuoti, o tada priešingo įvykio tikimybę:
– tai, kad bent vieną mašiną reikės reguliuoti.

Atsakymas:

Punktą „ve“ galima išspręsti ir per sumą , kur tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik dvi mašinas. Šis įvykis, savo ruožtu, apima 3 nesuderinamus rezultatus, kurie yra pasirašyti pagal analogiją su elementu „būti“. Pabandykite patys rasti tikimybę patikrinti visą problemą lygybės pagalba.

9 užduotis

Trys ginklai paleido salvę į taikinį. Tikimybė pataikyti vienu šūviu tik iš pirmo ginklo yra 0,7, iš antrojo - 0,6, iš trečio - 0,8. Raskite tikimybę, kad: 1) bent vienas sviedinys pataikys į taikinį; 2) į taikinį pataikys tik du sviediniai; 3) į taikinį bus pataikyta bent du kartus.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ir vėl apie sutapimus: tuo atveju, jei pagal sąlygą sutampa dvi ar net visos pradinių tikimybių reikšmės (pavyzdžiui, 0,7; 0,7 ir 0,7), tuomet reikia vadovautis lygiai tokiu pat sprendimo algoritmu.

Straipsnio pabaigoje išanalizuosime dar vieną įprastą galvosūkį:

10 užduotis

Šaulys su kiekvienu šūviu pataiko į taikinį ta pačia tikimybe. Kokia yra ši tikimybė, jei tikimybė, kad pataikys bent vienas per tris šūvius, yra 0,973.

Sprendimas: žymi - tikimybę pataikyti į taikinį su kiekvienu šūviu.
ir per – kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Užsirašykime įvykius:
- 3 šūviais šaulys pataikys į taikinį bent kartą;
- šaulys nepataikys 3 kartus.

Pagal sąlygą, tada priešingo įvykio tikimybė:

Kita vertus, pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Taigi:

- kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Kaip rezultatas:
yra kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė.

Atsakymas: 0,7

Paprasta ir elegantiška.

Nagrinėjamoje užduotyje galima kelti papildomus klausimus apie tik vieno, tik dviejų smūgių ir trijų pataikymų į taikinį tikimybę. Sprendimo schema bus lygiai tokia pati kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose:

Tačiau esminis esminis skirtumas yra tas, kad yra pakartotiniai nepriklausomi testai, kurie atliekami nuosekliai, nepriklausomai vienas nuo kito ir su ta pačia rezultatų tikimybe.

Gali būti sunku tiesiogiai suskaičiuoti atvejus, kurie palankūs tam tikram įvykiui. Todėl norint nustatyti įvykio tikimybę, pravartu duotą įvykį pavaizduoti kaip kažkokio kito, daugiau paprasti įvykiai. Tačiau šiuo atveju reikia žinoti taisykles, kurioms paklūsta tikimybės, kai įvyksta įvykių derinys. Būtent į šias taisykles remiasi pastraipos pavadinime nurodytos teoremos.

Pirmasis iš jų yra susijęs su tikimybės, kad įvyks bent vienas iš kelių įvykių, apskaičiavimu.

Sudėjimo teorema.

Tegu A ir B yra du nesuderinami įvykiai. Tada tikimybė, kad įvyks bent vienas iš šių dviejų įvykių, yra lygi jų tikimybių sumai:

Įrodymas. Leisti būti visa poromis nesuderinamų įvykių grupė. Jei tada tarp šių elementarių įvykių yra būtent įvykių, palankių A, ir būtent įvykių, palankių B. Kadangi įvykiai A ir B yra nesuderinami, tai nė vienas iš įvykių negali būti palankus abiems šiems įvykiams. Įvykis (A arba B), susidedantis iš to, kad įvyksta bent vienas iš šių dviejų įvykių, yra akivaizdžiai palankus ir kiekvienam iš A palankių įvykių, ir kiekvieno iš įvykių

Palankus V. Todėl iš visoįvykiui palankūs įvykiai (A arba B) yra lygūs sumai, iš kurios išplaukia:

Q.E.D.

Nesunku suprasti, kad sudėjimo teorema, suformuluota aukščiau dviejų įvykių atveju, gali būti lengvai perkelta į bet kurio baigtinio jų skaičiaus atvejį. Būtent, jei poromis nesuderinami įvykiai, tada

Pavyzdžiui, galima rašyti trijų įvykių atveju

Svarbi sudėjimo teoremos pasekmė yra teiginys: jei įvykiai poromis nesuderinami ir vienareikšmiškai galimi, tada

Iš tiesų, įvykis arba arba arba, darant prielaidą, yra tikras ir jo tikimybė, kaip nurodyta § 1, yra lygi vienetui. Visų pirma, jei reiškia du vienas kitam priešingi įvykiai, tada

Sudėjimo teoremą iliustruosime pavyzdžiais.

Pavyzdys 1. Šaudant į taikinį, puikaus šūvio tikimybė yra 0,3, o gero šūvio tikimybė yra 0,4. Kokia tikimybė gauti bent „gerą“ už kadrą?

Sprendimas. Jei įvykis A reiškia puikų pažymį, o įvykis B reiškia gerą pažymį, tada

2 pavyzdys. Urnoje, kurioje yra balti, raudoni ir juodi rutuliukai, yra balti rutuliukai, o aš – raudoni. Kokia tikimybė nupiešti nejuodą rutulį?

Sprendimas. Jei įvykis A yra balto rutulio išvaizda, o įvykis B yra raudonas rutulys, tada rutulio išvaizda nėra juoda

reiškia balto arba raudono rutulio išvaizdą. Kadangi pagal tikimybės apibrėžimą

tada pagal sudėjimo teoremą nejuodo rutulio atsiradimo tikimybė yra lygi;

Šią problemą galima išspręsti tokiu būdu. Tegul įvykis C susideda iš juodo rutulio pasirodymo. Juodų rutuliukų skaičius yra lygus, kad P (C) Nejuodo rutulio atsiradimas yra priešingas įvykis C, todėl, remiantis aukščiau pateikta sudėjimo teoremos išvada, turime:

kaip ir anksčiau.

3 pavyzdys. Pinigų ir drabužių loterijoje 1000 bilietų serijoje yra 120 pinigų ir 80 drabužių laimėjimų. Kokia tikimybė laimėti vieną loterijos bilietą?

Sprendimas. Jei per A įvardysime įvykį, kurį sudaro piniginės naudos praradimas, o per B - drabužių, tada iš tikimybės apibrėžimo išplaukia

Mus dominantis įvykis yra (A arba B), todėl sudėjimo teorema reiškia

Taigi bet kurio laimėjimo tikimybė yra 0,2.

Prieš pereinant prie kitos teoremos, būtina susipažinti su nauja svarbia sąvoka - sąlyginės tikimybės sąvoka. Šiuo tikslu pradėsime nuo šio pavyzdžio.

Tarkime, sandėlyje yra 400 lempučių, pagamintų dviejose skirtingose ​​gamyklose, kur pirmoji pagamina 75% visų lempučių, o antroji – 25%. Tarkime, kad tarp pirmosios gamyklos pagamintų lempučių 83% atitinka tam tikro standarto sąlygas, o antrosios gamyklos gaminiams šis procentas yra 63. Nustatykime tikimybę, kad atsitiktinai iš sandėlio paimta lemputė atitiks standarto sąlygos.

Atkreipkite dėmesį, kad bendrą standartinių lempučių skaičių sudaro pirmiau pagamintos lemputės.

gamykloje, o antroje gamykloje pagamintos 63 lemputės, tai yra lygus 312. Kadangi bet kurios lemputės pasirinkimas turėtų būti vienodai įmanomas, turime 312 palankių atvejų iš 400, todėl

kur B įvykis reiškia, kad mūsų pasirinkta lemputė yra standartinė.

Atliekant šį skaičiavimą, nebuvo daroma prielaidų, kurios gamyklos gamybai priklauso mūsų pasirinkta lemputė. Jei daromos tokios prielaidos, akivaizdu, kad mus dominanti tikimybė gali pasikeisti. Taigi, pavyzdžiui, jei yra žinoma, kad pasirinkta lemputė buvo pagaminta pirmoje gamykloje (įvykis A), tada tikimybė, kad ji yra standartinė, bus nebe 0,78, o 0,83.

Tokia tikimybė, tai yra įvykio B tikimybė, jei įvyks įvykis A, vadinama sąlygine įvykio B tikimybe, su sąlyga, kad įvykis A įvyksta ir žymi

Jei ankstesniame pavyzdyje A pažymėsime įvykį, kad pasirinkta lemputė pagaminta pirmoje gamykloje, tada galime parašyti

Dabar galime suformuluoti svarbią teoremą, susijusią su įvykių sutapimo tikimybės skaičiavimu.

Daugybos teorema.

A ir B įvykių sujungimo tikimybė yra lygi vieno iš įvykių tikimybės sandaugai su sąlygine kito įvykio tikimybe, darant prielaidą, kad įvyko pirmasis:

Šiuo atveju įvykių A ir B derinys suprantamas kaip kiekvieno iš jų įvykis, tai yra ir įvykių A, ir įvykių B įvykimas.

Įrodymas. Apsvarstykite visą grupę vienodai galimų poromis nesuderinamų įvykių, kurių kiekvienas gali būti palankus arba nepalankus tiek įvykiui A, tiek įvykiui B.

Suskirstykime visus šiuos įvykius į keturias skirtingas grupes taip. Pirmoji grupė apima tuos įvykius, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B; į antrą ir trečią grupes priskiriami tokie įvykiai, kurie teikia pirmenybę vienam iš dviejų mus dominančių įvykių, o ne kitam, pavyzdžiui, antroji grupė – palankūs A, bet nepalanki B, o trečioji – tie, kurie palankiai vertina B, bet nepritaria A; pagaliau į

Ketvirtajai grupei priklauso tie įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Kadangi įvykių numeracija neturi reikšmės, galime manyti, kad šis padalijimas į keturias grupes atrodo taip:

I grupė:

II grupė:

III grupė:

IV grupė:

Taigi tarp vienodai galimų ir poromis nesuderinamų įvykių yra įvykių, kurie palankūs ir įvykiui A, ir įvykiui B, I įvykiai, kurie palankiai vertina įvykį A, bet neteikia palankumo įvykiui, įvykiai, kurie palankiai vertina B, bet neteikia A, ir galiausiai. , įvykiai, kurie nėra palankūs nei A, nei B.

Beje, atkreipkite dėmesį, kad bet kurioje iš keturių mūsų nagrinėtų grupių (ir net daugiau nei vienoje) gali nebūti nei vieno įvykio. Tokiu atveju atitinkamas skaičius, nurodantis įvykių skaičių tokioje grupėje, bus lygus nuliui.

Suskirstymas į grupes leidžia mums iš karto rašyti

nes įvykių A ir B derinys yra palankesnis pirmosios grupės įvykiams ir tik jiems. Bendras A palankių įvykių skaičius yra lygus bendram pirmosios ir antrosios grupių įvykių skaičiui, o palankių B – bendram pirmosios ir trečiosios grupių įvykių skaičiui.

Dabar apskaičiuojame tikimybę, tai yra įvykio B tikimybę, su sąlyga, kad įvykis A įvyko. Dabar įvykiai, įtraukti į trečią ir ketvirtą grupes, išnyksta, nes jų išvaizda prieštarautų įvykio A įvykimui, o galimų atvejų skaičius nebėra lygus . Iš jų B įvykiui pirmenybę teikia tik pirmosios grupės įvykiai, todėl gauname:

Norint įrodyti teoremą, pakanka parašyti akivaizdžią tapatybę:

ir visas tris jame esančias trupmenas pakeiskite aukščiau apskaičiuotomis tikimybėmis. Gauname lygybę, nurodytą teoremoje:

Akivaizdu, kad tapatybė, kurią parašėme aukščiau, turi prasmę tik tuo atveju, jei A visada yra teisinga, nebent A yra neįmanomas įvykis.

Kadangi įvykiai A ir B yra lygūs, juos sukeitę, gauname kitą daugybos teoremos formą:

Tačiau šią lygybę galima gauti taip pat, kaip ir ankstesnę, jei pažymime, kad naudojant tapatybę

Palyginę dviejų tikimybės P(A ir B) išraiškų dešines puses, gauname naudingą lygybę:

Dabar panagrinėkime pavyzdžius, iliustruojančius daugybos teoremą.

4 pavyzdys. Kai kurios įmonės gaminiuose 96% produktų pripažįstami tinkamais (įvykis A). Pirmoji klasė (B renginys) priklauso 75 daiktams iš šimto tinkamų. Nustatykite tikimybę, kad savavališkai paimtas produktas bus tinkamas ir priklausys pirmai klasei.

Sprendimas. Norima tikimybė yra įvykių A ir B sujungimo tikimybė. Pagal sąlygą turime: . Taigi daugybos teorema suteikia

5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu (įvykis A) yra 0,2. Kokia tikimybė pataikyti į taikinį, jei sugenda 2 % saugiklių (t. y. 2 % atvejų šūvis neveikia

Sprendimas. Tegul įvykis B yra toks, kad įvyks šūvis, o B – priešingas įvykis. Tada darant prielaidą ir pagal sudėjimo teoremos išvadą . Be to, pagal būklę

Pataikyti į taikinį reiškia įvykių A ir B kombinaciją (šūvis įvyks ir pataikys), todėl pagal daugybos teoremą

Svarbus specialusis daugybos teoremos atvejis gali būti gautas naudojant įvykių nepriklausomybės sąvoką.

Sakoma, kad du įvykiai yra nepriklausomi, jei vieno iš jų tikimybė nesikeičia dėl to, ar įvyksta kitas.

Nepriklausomų įvykių pavyzdžiai yra skirtingo taškų skaičiaus praradimas, kai vėl metamas kauliukas, arba viena ar kita monetos pusė metant monetą, nes akivaizdu, kad herbo iškritimo tikimybė antras metimas yra lygus nepriklausomai nuo to, ar herbas nukrito, ar nenukrito per pirmąjį.

Panašiai tikimybė antrą kartą ištraukti baltą rutulį iš urnos su baltais ir juodais rutuliais, jei anksčiau buvo grąžintas pirmasis ištrauktas rutulys, nepriklauso nuo to, ar baltas ar juodas rutulys buvo ištrauktas pirmą kartą. Todėl pirmojo ir antrojo išėmimo rezultatai nepriklauso vienas nuo kito. Ir atvirkščiai, jei pirmas ištrauktas rutulys negrįžta į urną, tai antrojo išėmimo rezultatas priklauso nuo pirmojo, nes urnoje esančių kamuoliukų sudėtis po pirmojo išėmimo keičiasi priklausomai nuo jo baigties. Pateikiame priklausomų įvykių pavyzdį.

Naudodami sąlyginių tikimybių žymėjimą, įvykių A ir B nepriklausomumo sąlygą galime užrašyti formoje

Naudodami šias lygybes, galime pateikti nepriklausomų įvykių daugybos teoremą į tokią formą.

Jei įvykiai A ir B yra nepriklausomi, tada jų derinio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Iš tiesų, pakanka įdėti pirminę daugybos teoremos išraišką, kuri išplaukia iš įvykių nepriklausomybės, ir gauname reikiamą lygybę.

Dabar panagrinėkime kelis įvykius: Visus juos vadinsime nepriklausomais, jei kurio nors iš jų pasireiškimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvyko kiti įvykiai, ar ne.

Jei įvykiai yra nepriklausomi visumoje, daugybos teorema gali būti išplėsta iki bet kurio baigtinio jų skaičiaus, todėl ją galima suformuluoti taip:

Nepriklausomų įvykių sujungimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

6 pavyzdys. Darbuotojas prižiūri tris automatines mašinas, prie kurių reikia kreiptis, kad būtų pašalintos gedimai, jei mašina sustoja. Tikimybė, kad pirmoji mašina nesustos per valandą, yra 0,9. Tokia pati tikimybė antrai mašinai yra 0,8, o trečiajai - 0,7. Nustatykite tikimybę, kad per valandą darbuotojui nereikės eiti prie jo aptarnaujamų mašinų.

7 pavyzdys. Tikimybė numušti orlaivį šautuvo šūviu Kokia tikimybė sunaikinti priešo lėktuvą, jei vienu metu iššaunama 250 šautuvų?

Sprendimas. Tikimybė, kad lėktuvas nebus numuštas vienu šūviu, pagal sudėjimo teoremą yra Tada, naudojant daugybos teoremą, tikimybė, kad lėktuvas nebus numuštas 250 šūvių, gali būti apskaičiuojama kaip sujungimo tikimybė. įvykius. Tai lygu Po to vėl galime panaudoti sudėjimo teoremą ir rasti tikimybę, kad lėktuvas bus numuštas kaip priešingo įvykio tikimybę

Tai rodo, kad nors tikimybė numušti orlaivį vienu šautuvo šūviu yra nereikšminga, vis dėlto šaudant iš 250 šautuvų tikimybė numušti orlaivį jau yra labai apčiuopiama. Jis žymiai padidėja, jei padidinamas šautuvų skaičius. Taigi šaudant iš 500 šautuvų tikimybė numušti orlaivį, kaip nesunku paskaičiuoti, yra lygi šaudant iš 1000 šautuvų – net.

Aukščiau įrodyta daugybos teorema leidžia mums šiek tiek išplėsti sudėjimo teoremą, išplečiant ją suderinamų įvykių atveju. Akivaizdu, kad jei įvykiai A ir B yra suderinami, tai bent vieno iš jų įvykimo tikimybė nėra lygi jų tikimybių sumai. Pavyzdžiui, jei įvykis A reiškia lyginį skaičių

taškų skaičius metant kauliuką, o įvykis B yra taškų skaičiaus, kuris yra trijų kartotinis, praradimas, tada įvykiui (A arba B) prarandami 2, 3, 4 ir 6 taškai , tai yra

Kita vertus, tai yra. Taigi šiuo atveju

Tai rodo, kad suderinamų įvykių atveju tikimybių sudėjimo teorema turi būti pakeista. Kaip dabar matysime, ją galima suformuluoti taip, kad ji galiotų ir suderinamiems, ir nesuderinamiems įvykiams, kad anksčiau svarstyta sudėjimo teorema pasirodytų kaip ypatingas naujosios atvejis.

Įvykiai, kurie nepalankūs A.

Visi elementarieji įvykiai, palankūs įvykiui (A arba B), turi būti palankūs arba tik A, arba tik B, arba abu A ir B. Taigi bendras tokių įvykių skaičius yra lygus

ir tikimybė

Q.E.D.

Taikydami formulę (9) aukščiau pateiktam taškų skaičiaus praradimo metant kauliuką pavyzdžiu, gauname:

kuris sutampa su tiesioginio skaičiavimo rezultatu.

Akivaizdu, kad (1) formulė yra ypatingas (9) atvejis. Iš tiesų, jei įvykiai A ir B yra nesuderinami, tada sutapimo tikimybė

pavyzdys. IN elektros grandinė du saugikliai nuosekliai. Pirmojo saugiklio gedimo tikimybė yra 0,6, o antrojo - 0,2. Nustatykime elektros energijos tiekimo sutrikimo tikimybę sugedus bent vienam iš šių saugiklių.

Sprendimas. Kadangi įvykiai A ir B, susidedantys iš pirmojo ir antrojo saugiklių gedimo, yra suderinami, norima tikimybė nustatoma pagal (9) formulę:

Pratimai

7 paskaita. Tikimybių teorija

SUDĖJIMO IR DAUGBA TEORŲ PASEKMĖS

Jungtinių įvykių tikimybių sudėjimo teorema

Sudėjimo teorema už nesuderinamasįvykius. Čia pateiksime sudėjimo teoremą Bendrasįvykius.

Vadinami du renginiai Bendras, jei vieno iš jų pasirodymas neatmeta galimybės kito pasirodymo tame pačiame teisme.

1 pavyzdys . A – keturių taškų atsiradimas metant kauliuką; B - lyginio taškų skaičiaus atsiradimas. Įvykiai A ir B yra bendri.

Tegu įvykiai A ir B yra jungtiniai ir pateikiamos šių įvykių tikimybės bei jų bendro atsiradimo tikimybė. Kaip rasti įvykio A + B tikimybę, susidedančią iš to, kad atsiras bent vienas iš įvykių A ir B? Atsakymą į šį klausimą duoda bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema.

Teorema. Bent vieno iš dviejų bendrų įvykių įvykimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės: P(A + B) = P(A) + P(B) - P (AB).

Įrodymas . Kadangi įvykiai A ir B pagal sąlygą yra sujungti, įvykis A + B įvyks, jei įvyks vienas iš šių trijų nesuderinamų įvykių: . Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą turime:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Įvykis A įvyks, jei įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių: A
arba AV. Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą turime

P (A) \u003d P (A) + P (AB).

P (A) \u003d P (A) - P (AB).(**)

Panašiai turime ir mes

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Pakeitę (**) ir (***) į (*), galiausiai gauname

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

1 pastaba. Naudojant gautą formulę, reikia turėti omenyje, kad įvykiai A ir B gali būti abu nepriklausomas, ir priklausomas.

Nepriklausomiems renginiams

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A) * P (B);

Priklausomiems įvykiams

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A) * P A (B).

2 pastaba. Jei įvykiai A ir B nesuderinamas, tada jų derinys yra neįmanomas įvykis, todėl P(AB) = 0.

Nesuderinamų įvykių formulė (****) įgauna formą

P(A + B) = P(A) + P(B).

Mes vėl gavome nesuderinamų įvykių sudėjimo teoremą. Taigi formulė (****) galioja ir bendriems, ir nebendriems renginiams.

2 pavyzdys Tikimybės pataikyti į taikinį šaudant iš pirmojo ir antrojo ginklo yra atitinkamai lygios: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Raskite tikimybę pataikyti viena salve
(iš abiejų ginklų) bent vienu iš ginklų.

Sprendimas . Tikimybė, kad kiekvienas iš pabūklų pataikys į taikinį, nepriklauso nuo šaudymo iš kito pistoleto rezultato, todėl įvykiai A (pataikyti iš pirmojo ginklo) ir B (pataikyti iš antrojo ginklo) yra nepriklausomi.

Įvykio AB tikimybė (pataikė abu ginklai)

P (AB) \u003d P (A) * P (B) = 0,7 * 0,8 \u003d 0,56.

Norima tikimybė P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB) \u003d 0,7 + 0,8 - 0,56 \u003d 0,94.

3 pastaba. Kadangi šiame pavyzdyje įvykiai A ir B yra nepriklausomi, buvo galima naudoti formulę Р = 1 - q 1 q 2

Iš tiesų, įvykių tikimybė priešingi įvykiai A ir B, t.y. praleidimo tikimybė yra:

q 1 \u003d 1 - p 1 \u003d 1 - 0,7 \u003d 0,3;

q 2 = 1 - p 2 \u003d 1 - 0,8 \u003d 0,2;

Norima tikimybė, kad vienoje salvėje pataikys bent vienas ginklas, yra lygi

P \u003d 1 - q 1 q 2 \u003d 1 - 0,3 * 0,2 \u003d 1 - 0,06 \u003d 0,94.

Kaip ir tikėtasi, gaunamas toks pat rezultatas.

Tegul įvykiai A Ir IN yra nesuderinami, o šių įvykių tikimybė yra žinoma. Klausimas: kaip rasti tikimybę, kad įvyks vienas iš šių nesusijusių įvykių? Į šį klausimą atsako sudėjimo teorema.

Teorema.Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

p(A + IN) = p(A) + p(IN) (1.6)

Įrodymas. Tikrai, tegul n- bendras visų vienodai galimų ir nesuderinamų (t. y. elementarių) rezultatų skaičius. Tegul įvykis A malonės m 1 rezultatai ir įvykis IN – m 2 rezultatai. Tada, pagal klasikinį apibrėžimą, šių įvykių tikimybė yra tokia: p(A) = m 1 / n, p(B) = m 2 / n .

Nuo įvykių A Ir IN nenuoseklus, tada nė vienas iš įvykiui palankių rezultatų A, renginiui nepritaria IN(žr. diagramą žemiau).

Todėl renginys A+IN bus palankus m 1 + m 2 rezultatai. Todėl dėl tikimybės p(A+B) mes gauname:

1 pasekmė. Įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui:

p(A) + p(IN) + p(SU) + … + p(D) = 1.

Iš tiesų, tegul įvykiai A,IN,SU, … , D sudaryti pilną grupę. Dėl šios priežasties jie yra nesuderinami ir vieninteliai įmanomi. Todėl renginys A + B + C + …+D, kuris susideda iš bent vieno iš šių įvykių atsiradimo (išbandymo rezultatas), yra patikimas, t.y. A+B+C+…+D = Ir p(A+B+C+…+D) = 1.

Dėl įvykių nesuderinamumo A,IN,SU, … , D teisinga formulė yra:

p(A+B+C+…+D) = p(A) + p(IN) + p(SU) + … + p(D) = 1.

Pavyzdys. Urnoje yra 30 kamuoliukų, iš kurių 10 raudonų, 5 mėlynų ir 15 baltų. Raskite tikimybę ištraukti raudoną arba mėlyną rutulį, jei iš urnos bus ištrauktas tik vienas rutulys.

Sprendimas. Tegul renginys A 1 yra raudono kamuoliuko ištraukimas ir įvykis A 2 - mėlynojo rutulio ištraukimas. Šie įvykiai yra nesuderinami ir p(A 1) = 10 / 30 = 1 / 3; p(A 2) = 5/30 = 1/6. Pagal sudėjimo teoremą gauname:

p(A 1 + A 2) = p(A 1) + p(A 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

1 pastaba. Pabrėžiame, kad pagal problemos prasmę pirmiausia reikia nustatyti nagrinėjamų įvykių pobūdį – ar jie nesuderinami. Jei aukščiau pateikta teorema taikoma bendriems įvykiams, rezultatas bus neteisingas.