Tikimybių teorija – speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Jūs nebijote perspektyvų susipažinti su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematiniais lūkesčiais ir diskrečiąja sklaida atsitiktinis kintamasis? Tada ši tema jums bus labai įdomi. Susipažinkime su keliomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo šakos sąvokomis.
Prisiminkime pagrindus
Net jei prisimenate labiausiai paprastos sąvokos tikimybių teoriją, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Esmė ta, kad be aiškus supratimas pagrindus, negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.
Taigi kai kas vyksta atsitiktinis įvykis, kažkoks eksperimentas. Dėl savo veiksmų galime sulaukti kelių rezultatų – vieni iš jų pasitaiko dažniau, kiti rečiau. Įvykio tikimybė yra faktiškai gautų vieno tipo rezultatų skaičiaus santykis su iš viso galima. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir sklaidą.
Vidutinis
Dar mokykloje per matematikos pamokas pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Mums svarbiausia Šis momentas yra tai, kad su juo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir sklaidos formulėse.
Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko mums reikia, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus lygi 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.
Sklaida
Moksliniu požiūriu dispersija yra vidutinis gautų charakteristikos verčių nuokrypių kvadratas nuo aritmetinio vidurkio. Jis žymimas viena didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia jai apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp esamo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau viską susumuojame ir padalijame iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.
Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją būtų galima panaudoti sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, kai atsitiktinis dydis padidėja X kartų, dispersija padidėja X kvadratu kartų (t. y. X*X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo verčių keitimo aukštyn arba žemyn vienodais kiekiais. Be to, nepriklausomų bandymų atveju sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.
Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskretinio atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.
Tarkime, kad atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1, 2, 2, 3, 4, 4 ir 5 kartus. Kam bus lygi dispersija?
Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalinkite ją iš 7, gaudami 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, kiekvieną reikšmę padėkite kvadratu ir sudėkite rezultatus. Rezultatas yra 12. Dabar tereikia skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.
Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus
Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklyje gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš esmės yra tas pats). Nuo ko tai priklauso?
Jei testų skaičius matuojamas šimtais, tai į vardiklį turime dėti N. Jei vienetais, tai N-1. Mokslininkai nusprendė ribą nubrėžti gana simboliškai: šiandien ji eina per skaičių 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada sumą padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.
Užduotis
Grįžkime prie mūsų dispersijos ir matematinių lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.
Tikėtina vertė
Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Tikėtina vertė yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos skaičiavimo rezultatas, visai problemai gaunamas tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų joje atsižvelgiama.
Matematinio lūkesčio formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame jį iš tikimybės, pridedame tą patį antram, trečiam rezultatui ir tt Viską, kas susiję su šia sąvoka, nesunku apskaičiuoti. Pavyzdžiui, numatomų verčių suma yra lygi numatomai sumos vertei. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Toks paprastos operacijos Ne kiekvienas tikimybių teorijos dydis leidžia tai padaryti. Paimkime problemą ir apskaičiuokime dviejų sąvokų, kurias iš karto ištyrėme, reikšmę. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.
Dar vienas pavyzdys
Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičių nuo 0 iki 9 – skirtingu procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir kt. Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.
Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename pradinė mokykla: 50/10 = 5.
Dabar paverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Kitas: (-4) * (-4) = 16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, sudėję juos visus gausite 90.
Tęskime dispersijos ir numatomos vertės skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl mes pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai padarėte paprastą klaidą skaičiavimuose. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikriausiai viskas atsistos į savo vietas.
Galiausiai prisiminkite matematinio lūkesčio formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Numatoma vertė bus 5,48. Prisiminkime tik, kaip atlikti operacijas, kaip pavyzdį naudodami pirmuosius elementus: 0*0.02 + 1*0.1... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jos tikimybės.
Nukrypimas
Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su sklaida ir matematiniais lūkesčiais, yra vidutinė. standartinis nuokrypis. Jis taip pat yra paskirtas su lotyniškomis raidėmis sd arba graikiškai mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši sąvoka parodo, kiek vidutiniškai nukrypsta vertės centrinė savybė. Norėdami sužinoti jo vertę, turite apskaičiuoti Kvadratinė šaknis nuo dispersijos.
Jei nubraižote normalaus pasiskirstymo grafiką ir norite tiesiogiai jame matyti kvadratinį nuokrypį, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo mados ( centrinė svarba), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp skirstinio vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį dydis parodys standartinį nuokrypį.
Programinė įranga
Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinės lūkesčių skaičiavimas aritmetiniu požiūriu nėra pati paprasčiausia procedūra. Kad nebūtų gaištas laikas, prasminga naudotis programa, naudojama aukštosiose mokyklose švietimo įstaigų- jis vadinamas "R". Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.
Pavyzdžiui, nurodote reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Pagaliau
Sklaida ir matematinis lūkestis yra be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos aptariamos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iš karto pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijos pabaigoje gauna blogus pažymius, o tai atima stipendiją.
Praktikuokite bent vieną savaitę, pusvalandį per dieną, spręsdami problemas, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą galėsite susidoroti su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir sukčiavimo lapų.
Matematinis lūkestis yra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė.Matematinis diskretiškojo atsitiktinio kintamojo lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma:
Pavyzdys.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Sprendimas: matematinis lūkestis yra lygus visų galimų X reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:
M (X) = 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.
Norint apskaičiuoti matematinius lūkesčius, patogu atlikti skaičiavimus „Excel“ (ypač kai yra daug duomenų), siūlome naudoti paruoštą šabloną ().
Pats sprendimo pavyzdys (galite naudoti skaičiuotuvą).
Raskite diskretiškojo atsitiktinio dydžio X matematinį tikėjimą, pateiktą skirstymo dėsnio:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Matematinis lūkestis turi šias savybes.
Savybė 1. Pastovios reikšmės matematinė tikėtis lygi pačiai konstantai: M(C)=C.
Savybė 2. Pastovus koeficientas gali būti paimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas: M(CX)=CM(X).
Savybė 3. Matematinis vienas nuo kito nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos lūkestis yra lygus faktorių matematinių lūkesčių sandaugai: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Savybė 4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
189 uždavinys. Raskite atsitiktinio dydžio Z matematinę lūkesčius, jei žinomi X ir Y matematiniai lūkesčiai: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Sprendimas: Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis (matematinis sumos lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai; pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo), gauname M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Naudodamiesi matematinio lūkesčio savybėmis, įrodykite, kad: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) nuokrypio X-M(X) matematinė lūkestis lygi nuliui.
191. Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja tris galimas reikšmes: x1= 4 Su tikimybe p1 = 0,5; xЗ = 6 Su tikimybe P2 = 0,3 ir x3 su tikimybe p3. Raskite: x3 ir p3, žinant, kad M(X)=8.
192. Pateikiamas galimų diskretinio atsitiktinio dydžio X reikšmių sąrašas: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1, taip pat žinomi šios reikšmės ir jos kvadrato matematiniai lūkesčiai: M(X) = 0,1 , M(X^2) = 0 ,9. Raskite tikimybes p1, p2, p3, atitinkančias galimas xi reikšmes
194. 10 dalių partijoje yra trys nestandartinės dalys. Dvi dalys buvo parinktos atsitiktinai. Raskite matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio X lūkestį – nestandartinių dalių skaičių tarp dviejų pasirinktų.
196. Raskite tokių penkių kauliukų metimų, kurių kiekviename ant dviejų kauliukų atsiras po vieną tašką, diskretinio atsitiktinio dydžio X skaičiaus matematinį tikėjimą, jei bendras metimų skaičius yra dvidešimt.
Matematinė dvinario skirstinio prognozė yra lygi bandymų skaičiui, padaugintam iš įvykio, kuris įvyks viename bandyme, tikimybės:
Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.
Tegul atsitiktinis dydis ims tik atitinkamai lygias tikimybių reikšmes, tada atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis nustatomas lygybe
Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis užima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada
Be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.
komentuoti. Iš apibrėžimo išplaukia, kad matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) dydis.
Matematinio lūkesčio apibrėžimas bendruoju atveju
Nustatykime atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nebūtinai yra diskretus, matematinį lūkestį. Pradėkime nuo neneigiamų atsitiktinių dydžių atvejo. Idėja bus apytiksliai aproksimuoti tokius atsitiktinius dydžius naudojant diskrečius, kurių matematinis lūkestis jau buvo nustatytas, ir nustatyti matematinį lūkesčius, lygius jį aproksimuojančių diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių ribai. Beje, tai labai naudinga bendra mintis, kuri yra ta, kad paprastiems objektams pirmiausia nustatoma kokia nors charakteristika, o po to sudėtingesniems objektams ji nustatoma aproksimuojant juos paprastesniais.
Lema 1. Tegul yra savavališkas neneigiamas atsitiktinis kintamasis. Tada yra tokia diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kad
Įrodymas. Padalinkime pusašį į vienodo ilgio segmentus ir nustatykime
Tada 1 ir 2 savybės lengvai išplaukia iš atsitiktinio dydžio apibrėžimo ir
Lema 2. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis ir dvi diskrečiųjų atsitiktinių dydžių sekos, turinčios 1-3 savybes iš 1 lemos.
Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad leidžiame naudoti neneigiamus atsitiktinius kintamuosius
Remiantis 3 savybe, nesunku pastebėti, kad yra tokia teigiamų skaičių seka, kad
Tai seka
Naudodami diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių savybes, gauname
Pereinant iki ribos ties gauname 2 lemos teiginį.
Apibrėžimas 1. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis, - diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kurios savybės yra 1-3 iš 1 lemos. Atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis yra
2 lema garantuoja, kad ji nepriklauso nuo aproksimacinės sekos pasirinkimo.
Tegul dabar yra savavališkas atsitiktinis kintamasis. Apibrėžkime
Iš apibrėžimo ir tai lengvai išplaukia
Apibrėžimas 2. Savavališko atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra skaičius
Jei bent vienas iš skaičių dešinėje šios lygybės pusėje yra baigtinis.
Matematinės lūkesčių savybės
Savybė 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:
Įrodymas. Konstantą laikysime diskrečiu atsitiktiniu dydžiu, kuris turi vieną galimą reikšmę ir priima ją su tikimybe, todėl
Pastaba 1. Apibrėžkime pastovaus kintamojo sandaugą diskrečiu atsitiktiniu dydžiu kaip diskrečią atsitiktinę, kurios galimos reikšmės lygios konstantos sandaugoms pagal galimas reikšmes; galimų reikšmių tikimybės yra lygios atitinkamų galimų reikšmių tikimybei. Pavyzdžiui, jei galimos reikšmės tikimybė yra lygi, tada tikimybė, kad reikšmė įgis vertę, taip pat yra lygi
Savybė 2. Pastovus koeficientas gali būti išimamas iš matematinio lūkesčio ženklo:
Įrodymas. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu:
Atsižvelgdami į 1 pastabą, rašome atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį
2 pastaba. Prieš pereinant prie kitos savybės, atkreipiame dėmesį, kad du atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgavo kitas kintamasis. Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Keli atsitiktiniai dydžiai vadinami vienas nuo kito nepriklausomais, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes įgavo likę kintamieji.
3 pastaba. Apibrėžkime nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugą ir kaip atsitiktinį dydį, kurio galimos reikšmės yra lygios kiekvienos galimos reikšmės sandaugai iš kiekvienos galimos reikšmės, sandaugos galimų reikšmių tikimybės yra lygios veiksnių galimų reikšmių tikimybių sandaugai. Pavyzdžiui, jei galimos vertės tikimybė yra, galimos vertės tikimybė yra tada galimos vertės tikimybė yra
Savybė 3. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
Įrodymas. Tegul nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai nurodomi jų pačių tikimybių pasiskirstymo dėsniais:
Surinkime visas reikšmes, kurias gali įgauti atsitiktinis kintamasis. Norėdami tai padaryti, padauginkime visas galimas reikšmes iš kiekvienos galimos reikšmės; Dėl to gauname ir, atsižvelgdami į 3 pastabą, parašome paskirstymo dėsnį, paprastumo dėlei darydami prielaidą, kad visos galimos produkto reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, tada įrodymas atliekamas panašiu būdu):
Matematinis lūkestis yra lygus visų galimų verčių ir jų tikimybių sandaugų sumai:
Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.
Savybė 4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:
Įrodymas. Tegul atsitiktiniai dydžiai turi būti nurodyti šiais skirstymo dėsniais:
Surinkime visas įmanomas dydžio reikšmes. Norėdami tai padaryti, prie kiekvienos galimos reikšmės pridedame kiekvieną galimą reikšmę; Paprastumo dėlei darykime prielaidą, kad šios galimos reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, tada įrodymas atliekamas panašiai), o jų tikimybes pažymime atitinkamai ir
Matematinis vertės lūkestis yra lygus galimų verčių sandaugų ir jų tikimybių sumai:
Įrodykime, kad įvykis, kuris įgaus reikšmę (šio įvykio tikimybė yra lygi), apima įvykį, kuris įgis reikšmę arba (šio įvykio tikimybė pagal sudėjimo teoremą yra lygi), ir atvirkščiai. Iš to išplaukia, kad lygybės įrodomos panašiai
Pakeitę dešiniąsias šių lygybių puses į santykį (*), gauname
arba pagaliau
Dispersija ir standartinis nuokrypis
Praktikoje dažnai reikia įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę. Pavyzdžiui, artilerijoje svarbu žinoti, kaip arti sviediniai kris šalia taikinio, į kurį bus smogta.
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad dispersiją lengviausia įvertinti apskaičiuojant visus galimus atsitiktinio dydžio nuokrypius ir tada rasti jų vidutinę reikšmę. Tačiau šis kelias nieko neduos, nes vidutinė nuokrypio reikšmė, t.y. bet kuriam atsitiktiniam dydžiui yra lygus nuliui. Ši savybė paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, o kiti – neigiami; dėl jų abipusio panaikinimo vidutinė nuokrypio reikšmė lygi nuliui. Šie svarstymai rodo, kad patartina galimus nuokrypius pakeisti jų absoliučiomis vertėmis arba kvadratais. Tai jie daro praktiškai. Tiesa, tuo atveju, kai galimi nukrypimai pakeičiami absoliučiomis reikšmėmis, tenka operuoti su absoliučiomis reikšmėmis, o tai kartais sukelia rimtų sunkumų. Todėl dažniausiai jie pasuka kitu keliu, t.y. apskaičiuokite vidutinę kvadratinio nuokrypio reikšmę, kuri vadinama dispersija.
Lūkesčiai ir dispersija yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius pasiskirstymo požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Daugelyje praktinių uždavinių pilna, išsami atsitiktinio dydžio charakteristika – pasiskirstymo dėsnis – arba išvis negali būti gauta, arba visai nereikalinga. Tokiais atvejais apsiribojama apytiksliu atsitiktinio dydžio aprašymu, naudojant skaitines charakteristikas.
Tikėtina vertė dažnai vadinama tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio verte. Atsitiktinio dydžio sklaida yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo matematinį lūkestį.
Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis
Priartėkime prie matematinio lūkesčio sampratos, pirmiausia remdamiesi mechaniniu diskretiškojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo aiškinimu. Tegul masės vienetas pasiskirsto tarp x ašies taškų x1 , x 2 , ..., x n, ir kiekvienas materialus taškas turi atitinkamą masę p1 , p 2 , ..., p n. Būtina pasirinkti vieną tašką abscisių ašyje, apibūdinantį visos materialių taškų sistemos padėtį, atsižvelgiant į jų mases. Natūralu tokiu tašku laikyti materialių taškų sistemos masės centrą. Tai yra atsitiktinio dydžio svertinis vidurkis X, prie kurios kiekvieno taško abscisė xiįeina su „svoriu“, lygiu atitinkamai tikimybei. Tokiu būdu gauta vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė X vadinamas jo matematiniu lūkesčiu.
Matematinė diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:
1 pavyzdys. Surengta loterija, kuriai laimi. Yra 1000 laimėjimų, iš kurių 400 yra 10 rublių. 300-20 rublių kiekvienas. 200-100 rublių kiekvienas. ir po 100-200 rublių. Koks yra vidutinis laimėjimas perkant vieną bilietą?
Sprendimas. Vidutinį laimėjimą rasime, jei bendrą laimėjimų sumą, kuri yra 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublių, padalinsime iš 1000 (bendra laimėjimų suma). Tada gauname 50000/1000 = 50 rublių. Tačiau vidutinio laimėjimo apskaičiavimo išraiška gali būti pateikta tokia forma:
Kita vertus, tokiomis sąlygomis laimėjimo dydis yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti 10, 20, 100 ir 200 rublių. su tikimybėmis, atitinkamai lygiomis 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Todėl numatomas vidutinis laimėjimas yra lygus laimėjimų dydžio ir tikimybės juos gauti sandaugų sumai.
2 pavyzdys. Leidykla nusprendė išleisti naują knygą. Knygą jis planuoja parduoti už 280 rublių, iš kurių 200 gaus pats, 50 – knygynui ir 30 – autoriui. Lentelėje pateikiama informacija apie knygos išleidimo kaštus ir tikimybę parduoti tam tikrą knygos egzempliorių skaičių.
Raskite numatomą leidėjo pelną.
Sprendimas. Atsitiktinis dydis „pelnas“ yra lygus skirtumui tarp pardavimo pajamų ir išlaidų sąnaudų. Pavyzdžiui, jei parduodama 500 knygos egzempliorių, tada pardavimo pajamos yra 200 * 500 = 100 000, o išleidimo kaina - 225 000 rublių. Taigi leidėjui gresia 125 000 rublių nuostolis. Šioje lentelėje apibendrinamos tikėtinos atsitiktinio dydžio – pelno – reikšmės:
| Skaičius | Pelnas xi | Tikimybė pi | xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Iš viso: | 1,00 | 25000 |
Taigi gauname matematinius leidėjo pelno lūkesčius:
.
3 pavyzdys. Tikimybė pataikyti vienu šūviu p= 0,2. Nustatykite sviedinių sunaudojimą, kuris matematiškai tikisi, kad smūgių skaičius lygus 5.
Sprendimas. Iš tos pačios matematinės lūkesčių formulės, kurią naudojome iki šiol, išreiškiame x- apvalkalo suvartojimas:
.
4 pavyzdys. Nustatykite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą x smūgių skaičius trimis šūviais, jei kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė p = 0,4 .
Patarimas: raskite atsitiktinių kintamųjų reikšmių tikimybę pagal Bernulio formulė .
Matematinės lūkesčių savybės
Panagrinėkime matematinio lūkesčio savybes.
1 nuosavybė. Matematinis pastovios vertės lūkestis yra lygus šiai konstantai:
2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo:
3 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai (skirtumui):
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:
5 nuosavybė. Jei visos atsitiktinio dydžio reikšmės X sumažinti (padidėti) tuo pačiu skaičiumi SU, tada jo matematinis lūkestis sumažės (padidės) tokiu pat skaičiumi:
Kai negali apsiriboti vien matematiniais lūkesčiais
Daugeliu atvejų tik matematinis lūkestis negali pakankamai apibūdinti atsitiktinio dydžio.
Tegul atsitiktiniai dydžiai X Ir Y pateikiami šiais platinimo dėsniais:
| Reikšmė X | Tikimybė |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Reikšmė Y | Tikimybė |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Šių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – lygūs nuliui:
Tačiau jų paskirstymo modeliai skiriasi. Atsitiktinė vertė X gali imti tik reikšmes, kurios mažai skiriasi nuo matematinio lūkesčio, ir atsitiktinį kintamąjį Y gali priimti vertes, kurios labai skiriasi nuo matematinio lūkesčio. Panašus pavyzdys: vidutinis darbo užmokestis neleidžia spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų dalį. Kitaip tariant, iš matematinio lūkesčio negalima spręsti, kokie nukrypimai nuo jo, bent jau vidutiniškai, galimi. Norėdami tai padaryti, turite rasti atsitiktinio dydžio dispersiją.
Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija
Dispersija diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas jo nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadrato matematiniu lūkesčiu:
Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis X jos dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė reikšmė vadinama:
.
5 pavyzdys. Apskaičiuokite atsitiktinių dydžių dispersijas ir standartinius nuokrypius X Ir Y, kurių paskirstymo dėsniai pateikti aukščiau esančiose lentelėse.
Sprendimas. Atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai X Ir Y, kaip nurodyta aukščiau, yra lygūs nuliui. Pagal dispersijos formulę at E(X)=E(y)=0 gauname:
Tada atsitiktinių dydžių standartiniai nuokrypiai X Ir Y makiažas
.
Taigi su tais pačiais matematiniais lūkesčiais atsitiktinio dydžio dispersija X labai mažas, bet atsitiktinis dydis Y- reikšmingas. Tai yra jų pasiskirstymo skirtumų pasekmė.
6 pavyzdys. Investuotojas turi 4 alternatyvius investicinius projektus. Lentelėje su atitinkama tikimybe apibendrinamas šių projektų numatomas pelnas.
| 1 projektas | 2 projektas | 3 projektas | 4 projektas |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Raskite kiekvienos alternatyvos matematinį lūkestį, dispersiją ir standartinį nuokrypį.
Sprendimas. Parodykime, kaip šios vertės apskaičiuojamos trečiajai alternatyvai:
Lentelėje apibendrinamos rastos visų alternatyvų reikšmės.
Visos alternatyvos turi tuos pačius matematinius lūkesčius. Tai reiškia, kad ilgainiui visi turi vienodas pajamas. Standartinis nuokrypis gali būti interpretuojamas kaip rizikos matas – kuo jis didesnis, tuo didesnė investicijos rizika. Investuotojas, nenorintis didelės rizikos, rinksis 1 projektą, nes jo standartinis nuokrypis yra mažiausias (0). Jei investuotojas pirmenybę teikia rizikai ir didelei grąžai per trumpą laikotarpį, jis rinksis didžiausią projektą standartinis nuokrypis- 4 projektas.
Dispersijos savybės
Pateiksime dispersijos savybes.
1 nuosavybė. Pastovios vertės dispersija lygi nuliui:
2 nuosavybė. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu:
.
3 nuosavybė. Atsitiktinio dydžio dispersija yra lygi šios reikšmės kvadrato matematiniam lūkesčiui, iš kurio atimamas pačios reikšmės matematinio lūkesčio kvadratas:
,
Kur 
.
4 nuosavybė. Atsitiktinių dydžių sumos (skirtumo) dispersija yra lygi jų dispersijų sumai (skirtumui):
7 pavyzdys. Yra žinoma, kad diskretinis atsitiktinis dydis X ima tik dvi reikšmes: −3 ir 7. Be to, žinomas matematinis lūkestis: E(X) = 4. Raskite diskretinio atsitiktinio dydžio dispersiją.
Sprendimas. Pažymėkime pagal p tikimybė, su kuria atsitiktinis kintamasis įgauna reikšmę x1 = −3 . Tada vertės tikimybė x2 = 7 bus 1 − p. Išveskime matematinio lūkesčio lygtį:
E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kur gauname tikimybes: p= 0,3 ir 1 − p = 0,7 .
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Šio atsitiktinio dydžio dispersiją apskaičiuojame pagal formulę iš 3 dispersijos savybės:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Pats raskite matematinį atsitiktinio kintamojo lūkestį ir pažiūrėkite į sprendimą
8 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis dydis X ima tik dvi vertes. Ji priima didesnę iš reikšmių 3 su tikimybe 0,4. Be to, žinoma atsitiktinio dydžio dispersija D(X) = 6 . Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą.
9 pavyzdys. Urnoje yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš urnos ištraukiami 3 rutuliai. Baltų rutulių skaičius tarp ištrauktų rutulių yra diskretusis atsitiktinis dydis X. Raskite šio atsitiktinio dydžio matematinę lūkesčius ir dispersiją.
Sprendimas. Atsitiktinė vertė X gali gauti reikšmes 0, 1, 2, 3. Atitinkamas tikimybes galima apskaičiuoti iš tikimybių daugybos taisyklė. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Taigi matematinis šio atsitiktinio kintamojo lūkestis:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Tam tikro atsitiktinio dydžio dispersija yra tokia:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Ištisinio atsitiktinio dydžio lūkestis ir dispersija
Ištisiniam atsitiktiniam dydžiui mechaninis matematinio lūkesčio aiškinimas išliks ta pati reikšmė: masės centras masės vienetui, nuolat paskirstytam x ašyje su tankiu. f(x). Skirtingai nuo diskretinio atsitiktinio dydžio, kurio funkcijos argumentas xi staigiai keičiasi; nuolatinio atsitiktinio dydžio argumentas nuolat keičiasi. Tačiau matematinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio lūkestis taip pat yra susijęs su jo vidutine verte.
Norėdami rasti ištisinio atsitiktinio dydžio matematinį lūkestį ir dispersiją, turite rasti apibrėžtuosius integralus . Jei pateikiama nuolatinio atsitiktinio dydžio tankio funkcija, tada jis tiesiogiai patenka į integrandą. Jei pateikiama tikimybių skirstinio funkcija, tada ją diferencijuojant reikia rasti tankio funkciją.
Visų galimų nuolatinio atsitiktinio dydžio verčių aritmetinis vidurkis vadinamas jo matematinis lūkestis, žymimas arba .
Atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis yra vidutinė reikšmė.
1. M(C) = C
2. M(CX) = CM(X), Kur C= konst
3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)
4. Jei atsitiktiniai dydžiai X Ir Y tada yra nepriklausomi M(XY) = M(X) M(Y)
Sklaida
Atsitiktinio dydžio X dispersija vadinama
D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).
Dispersija yra atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypio nuo jo vidutinės vertės matas.
1. D(C) = 0
2. D(X + C) = D(X)
3. D(CX) = C 2 D(X), Kur C= konst
4. Nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams
D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)
Atsitiktinio dydžio X dispersijos kvadratinė šaknis vadinama standartiniu nuokrypiu 
.
@3 užduotis: Tegul atsitiktinis dydis X turi tik dvi reikšmes (0 arba 1) su tikimybe q, p, Kur p + q = 1. Raskite matematinį lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas:
M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 – p) 2 q = pq.
@4 užduotis: Atsitiktinio dydžio lūkestis ir dispersija X yra lygūs 8. Raskite atsitiktinių dydžių matematinį lūkestį ir dispersiją: a) X – 4; b) 3x-4.
Sprendimas: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.
@5 užduotis: Visų šeimų pasiskirstymas pagal vaikų skaičių yra toks:
| x i | x 1 | x 2 | ||
| p i | 0,1 | p2 | 0,4 | 0,35 |
Apibrėžkite x 1, x 2 Ir p2, jei tai žinoma M(X) = 2; D(X) = 0,9.
Sprendimas: Tikimybė p 2 lygi p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Nežinomas x randamas iš lygčių: M(X) = x 1 · 0,1 + x 2 · 0,15 + 2 · 0,4 + 3 · 0,35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.
Populiacija ir imtis. Parametrų įvertinimai
Atrankinis stebėjimas
Statistinis stebėjimas gali būti organizuojamas nuolatinis arba nenuoseklus. Nuolatinis stebėjimas apima visų tiriamos populiacijos vienetų tyrimą ( gyventojų). Gyventojų skaičius tai visuma fizinių ar juridinių asmenų, kuriuos tyrėjas tiria pagal savo užduotį. Tai dažnai nėra ekonomiškai naudinga, o kartais neįmanoma. Šiuo atžvilgiu tiriama tik dalis bendrosios populiacijos - imties populiacija .
Rezultatai, gauti iš imties visumos, gali būti išplėsti į bendrą populiaciją, jei laikomasi šių principų:
1. Imties visuma turi būti nustatyta atsitiktinai.
2. Imties visumos vienetų skaičius turi būti pakankamas.
3. Turi būti pateikta reprezentatyvumas ( reprezentatyvumas). Reprezentatyvi imtis yra mažesnis, bet tikslus visumos modelis, kurį ji turi atspindėti.
Mėginių tipai
Praktikoje naudojami šių tipų pavyzdžiai:
a) griežtai atsitiktinis, b) mechaninis, c) tipinis, d) serijinis, e) kombinuotas.
Tinkama atsitiktinė atranka
At tikroji atsitiktinė imtis imties visumos vienetų atranka atliekama atsitiktinai, pavyzdžiui, burtų keliu arba naudojant atsitiktinių skaičių generatorių.
Mėginiai gali būti kartojami arba nekartojami. Atliekant pakartotinį atranką, atrinktas vienetas grąžinamas ir išsaugoma lygiavertė galimybė būti dar kartą paimtam. Atliekant nepasikartojančią atranką, į imtį įtrauktas populiacijos vienetas ateityje nedalyvaus imtyje.
Klaidos, būdingos imties stebėjimui, atsirandančios dėl to, kad imties visuma nevisiškai atkuria bendrąją populiaciją, vadinamos. standartinės klaidos . Jie rodo vidutinį kvadratinį skirtumą tarp rodiklių, gautų iš imties, verčių ir atitinkamų bendrosios populiacijos rodiklių verčių.
Atsitiktinės kartotinės atrankos standartinės paklaidos skaičiavimo formulės yra šios: , o atsitiktinės nepasikartojančios atrankos atveju: 
, kur S 2 yra imties visumos dispersija, n/N – pavyzdžio dalis, n, N- imties ir bendrosios visumos vienetų skaičius. At n = N standartinė paklaida m = 0.
Mechaninis mėginių ėmimas
At mechaninis mėginių ėmimas Visuomenė padalinama į vienodus intervalus ir iš kiekvieno intervalo atsitiktine tvarka parenkamas vienas vienetas.
Pavyzdžiui, naudojant 2 % atrankos dažnį, iš gyventojų sąrašo pasirenkamas kas 50 vienetas.
Standartinė mechaninio atrankos paklaida apibrėžiama kaip tikrai atsitiktinio nepasikartojančio atrankos paklaida.
Tipiškas pavyzdys
At tipinis pavyzdys bendroji populiacija suskirstoma į vienarūšes tipines grupes, tada iš kiekvienos grupės atsitiktinai atrenkami vienetai.
Įprasta imtis naudojama heterogeninės populiacijos atveju. Tipiškas pavyzdys suteikia tikslesnius rezultatus, nes užtikrina reprezentatyvumą.
Pavyzdžiui, mokytojai, kaip visa populiacija, skirstomi į grupes pagal šiuos kriterijus: lytis, patirtis, kvalifikacija, išsilavinimas, miesto ir kaimo mokyklos ir kt.
Tipinės imties standartinės klaidos apibrėžiamos kaip tikrai atsitiktinės imties klaidos, su vieninteliu skirtumu S 2 pakeičiamas grupės vidaus dispersijų vidurkiu.
Serijinis mėginių ėmimas
At serijinis mėginių ėmimas bendroji populiacija suskirstoma į atskiras grupes (serija), tada atsitiktinai atrinktos grupės yra nuolat stebimos.
Standartinės serijinės imties paklaidos apibrėžiamos kaip tikrai atsitiktinės imties paklaidos, vienintelis skirtumas yra tas, kad S 2 pakeičiamas dispersijų tarp grupių vidurkiu.
Kombinuotas pavyzdys
Kombinuotas pavyzdys yra dviejų ar daugiau pavyzdžių tipų derinys.
Taško įvertinimas
Galutinis imties stebėjimo tikslas yra rasti populiacijos ypatybes. Kadangi to negalima padaryti tiesiogiai, imties visumos charakteristikos išplečiamos į bendrą aibę.
Įrodyta esminė galimybė iš vidutinės imties duomenų nustatyti visumos aritmetinį vidurkį Čebyševo teorema. Su neribotu padidinimu n tikimybė, kad skirtumas tarp imties vidurkio ir bendrojo vidurkio bus savavališkai mažas, yra 1.
Tai reiškia, kad populiacijos charakteristikos tikslumu. Šis įvertinimas vadinamas tašką .
Intervalo įvertinimas
Intervalų įvertinimo pagrindas yra centrinės ribos teorema.
Intervalo įvertinimas leidžia atsakyti į klausimą: kokiame intervale ir su kokia tikimybe yra nežinoma, pageidaujama populiacijos parametro reikšmė?
Paprastai mes kalbame apie pasitikėjimo tikimybę p = 1 – a, su kuriuo jis bus intervale – D< < + D, где D = t kr m > 0 ribinė paklaida pavyzdžiai, a - reikšmingumo lygis (tikimybė, kad nelygybė bus klaidinga), t kr- kritinė vertė, kuri priklauso nuo verčių n ir a. Mažam pavyzdžiui n< 30 t kr nurodoma naudojant Studento t skirstinio kritinę reikšmę dvipusiam bandymui su n– 1 laisvės laipsnis su reikšmingumo lygiu a ( t kr(n – 1, a) yra iš lentelės „Stujuno t skirstinio kritinės reikšmės“, 2 priedas). n > 30, t kr– tai kvantilis normalus įstatymas paskirstymai ( t kr randama Laplaso funkcijos reikšmių lentelėje F(t) = (1 – a)/2 kaip argumentas). Kai p = 0,954, kritinė vertė t kr= 2 esant p = 0,997 kritinei vertei t kr= 3. Tai reiškia, kad ribinė paklaida paprastai yra 2-3 kartus didesnė už standartinę paklaidą.
Taigi atrankos metodo esmė yra ta, kad remiantis tam tikros nedidelės populiacijos dalies statistiniais duomenimis galima rasti intervalą, kuriame su patikimumo tikimybe p randama norima bendrosios populiacijos charakteristika (vidutinis darbuotojų skaičius, vidutinis balas, vidutinis derlingumas, standartinis nuokrypis ir kt.).
@1 užduotis. Atsiskaitymų su korporacinių įmonių kreditoriais greičiui nustatyti komerciniame banke buvo atlikta atsitiktinė 100 mokėjimo dokumentų atranka, pagal kurią vidutinis terminas pinigų pervedimas ir gavimas pasirodė 22 dienos (= 22) su standartiniu 6 dienų nuokrypiu (S = 6). Su tikimybe p= 0,954 nustato didžiausią imties vidurkio paklaidą ir šios korporacijos įmonių vidutinės atsiskaitymų trukmės pasikliautinąjį intervalą.
Sprendimas: Imties vidurkio ribinė paklaida pagal(1)lygus D= 2· 0,6 = 1,2, o pasikliautinasis intervalas apibrėžiamas kaip (22 – 1,2; 22 + 1,2), t.y. (20,8; 23,2).
§6.5 Koreliacija ir regresija
