Pristatome mūsų tiesinės operacijos vektoriais leidžia sukurti įvairias išraiškas vektoriniai dydžiai ir transformuoti juos naudodami šioms operacijoms nustatytas savybes.
Remdamiesi duotu vektorių a 1, ..., a n rinkiniu, galite sukurti formos išraišką
kur a 1, ... ir n yra savavališki realieji skaičiai. Ši išraiška vadinama linijinis vektorių derinys a 1, ..., a n. Skaičiai α i, i = 1, n reiškia tiesinės kombinacijos koeficientai. Taip pat vadinamas vektorių rinkinys vektorių sistema.
Ryšium su įdiegta vektorių linijinio derinio samprata, iškyla vektorių rinkinio, kurį galima parašyti kaip tam tikros vektorių sistemos a 1, ..., a n linijinį derinį, apibūdinimo problema. Be to, kyla natūralūs klausimai apie sąlygas, kuriomis yra vektoriaus atvaizdavimas linijinio derinio pavidalu, ir apie tokio vaizdavimo unikalumą.
Apibrėžimas 2.1. Vektoriai a 1, ... ir n vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra aibė koeficientų α 1 , ... , α n, kad
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
ir bent vienas iš šių koeficientų yra lygus nuliui. Jei nurodytos koeficientų aibės nėra, tada iškviečiami vektoriai tiesiškai nepriklausomas.
Jei α 1 = ... = α n = 0, tada, akivaizdu, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Turėdami tai omenyje, galime pasakyti taip: vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai nepriklausomi, jei iš lygybės (2.2) išplaukia, kad visi koeficientai α 1 , ... , α n yra lygūs nuliui.
Toliau pateikta teorema paaiškina, kodėl nauja sąvoka vadinama terminu „priklausomybė“ (arba „nepriklausomybė“), ir pateikia paprastą tiesinės priklausomybės kriterijų.
2.1 teorema. Tam, kad vektoriai a 1, ... ir n, n > 1 būtų tiesiškai priklausomi, būtina ir pakanka, kad vienas iš jų būtų tiesinis kitų derinys.
◄ Būtinybė. Tarkime, kad vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi. Pagal 2.1 tiesinės priklausomybės apibrėžimą, lygybėje (2.2) kairėje yra bent vienas nenulinis koeficientas, pavyzdžiui, α 1. Pirmąjį terminą palikę kairėje lygybės pusėje, likusius perkeliame į dešinę, keisdami jų ženklus, kaip įprasta. Padalinę gautą lygybę iš α 1, gauname
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n
tie. vektoriaus a 1 vaizdavimas kaip tiesinis likusių vektorių a 2, ..., a n derinys.
Tinkamumas. Tegu, pavyzdžiui, pirmasis vektorius a 1 gali būti pavaizduotas kaip tiesinė likusių vektorių kombinacija: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Perkeldami visus terminus iš dešinės pusės į kairę, gauname a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, t.y. vektorių a 1, ..., a n linijinis derinys su koeficientais α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, lygus nulinis vektorius.Šiame tiesiniame derinyje ne visi koeficientai yra lygūs nuliui. Pagal 2.1 apibrėžimą vektoriai a 1, ... ir n yra tiesiškai priklausomi.
Tiesinės priklausomybės apibrėžimas ir kriterijus suformuluoti taip, kad reikštų dviejų ar daugiau vektorių buvimą. Tačiau galime kalbėti ir apie tiesinę vieno vektoriaus priklausomybę. Norėdami realizuoti šią galimybę, vietoj „vektoriai yra tiesiškai priklausomi“, turite pasakyti „vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma“. Nesunku suprasti, kad posakis „vieno vektoriaus sistema yra tiesiškai priklausoma“ reiškia, kad šis vienas vektorius yra lygus nuliui (tiesinėje kombinacijoje yra tik vienas koeficientas ir jis neturėtų būti lygus nuliui).
Tiesinės priklausomybės sąvoka turi paprastą geometrinį aiškinimą. Šie trys teiginiai paaiškina šį aiškinimą.
2.2 teorema. Du vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie kolinearinis.
◄ Jei vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi, tai vienas iš jų, pavyzdžiui, a, išreiškiamas per kitą, t.y. a = λb tam tikram realiajam skaičiui λ. Pagal apibrėžimą 1.7 darbai vektoriai vienam skaičiui, vektoriai a ir b yra kolinearūs.
Tegu dabar vektoriai a ir b yra kolinearūs. Jei jie abu yra lygūs nuliui, tai akivaizdu, kad jie yra tiesiškai priklausomi, nes bet koks tiesinis jų derinys yra lygus nuliniam vektoriui. Tegul vienas iš šių vektorių nėra lygus 0, pavyzdžiui, vektorius b. λ pažymėkime vektorių ilgių santykį: λ = |a|/|b|. Kolineariniai vektoriai gali būti vienakryptis arba nukreipta priešingai. Pastaruoju atveju keičiame λ ženklą. Tada, patikrinę 1.7 apibrėžimą, esame įsitikinę, kad a = λb. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a ir b yra tiesiškai priklausomi.
Pastaba 2.1. Dviejų vektorių atveju, atsižvelgiant į tiesinės priklausomybės kriterijų, įrodyta teorema gali būti performuluojama taip: du vektoriai yra kolineariniai tada ir tik tada, kai vienas iš jų vaizduojamas kaip kito sandauga skaičiumi. Tai patogus dviejų vektorių kolineariškumo kriterijus.
2.3 teorema. Trys vektoriai yra tiesiškai priklausomi tada ir tik tada, kai jie yra koplanarinis.
◄ Jeigu trys vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi, tai pagal 2.1 teoremą vienas iš jų, pavyzdžiui, a, yra tiesinė kitų kombinacija: a = βb + γс. Sujungkime vektorių b ir c pradžią taške A. Tada vektoriai βb, γс turės bendrą pradžią taške A ir išilgai pagal lygiagretainio taisyklę jų suma yra tie. vektorius a bus vektorius, kurio kilmė A ir pabaiga, kuri yra lygiagretainio, sudaryto iš komponentų vektorių, viršūnė. Taigi visi vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, ty lygiagrečiai.
Tegul vektoriai a, b, c yra lygiagrečiai. Jei vienas iš šių vektorių yra lygus nuliui, tai akivaizdžiai bus tiesinis kitų vektorių derinys. Pakanka paimti visus tiesinės kombinacijos koeficientus, lygius nuliui. Todėl galime manyti, kad visi trys vektoriai nėra lygūs nuliui. Suderinamas prasidėjošių vektorių bendrame taške O. Tegul jų galai yra atitinkamai taškai A, B, C (2.1 pav.). Per tašką C brėžiame tieses, lygiagrečias tiesėms, einančioms per taškų poras O, A ir O, B. Susikirtimo taškus pažymėdami kaip A" ir B", gauname lygiagretainį OA"CB", todėl OC" = OA" + OB". Vektorius OA" ir nulinis vektorius a = OA yra kolinearūs, todėl pirmąjį iš jų galima gauti antrąjį padauginus iš tikrojo skaičiaus α:OA" = αOA. Panašiai, OB" = βOB, β ∈ R. Dėl to gauname, kad OC" = α OA + βOB, t.y. vektorius c yra vektorių a ir b tiesinė kombinacija. Pagal 2.1 teoremą vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.
2.4 teorema. Bet kurie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
◄ Įrodymą atliekame pagal tą pačią schemą, kaip ir 2.3 teoremoje. Apsvarstykite atsitiktinius keturis vektorius a, b, c ir d. Jei vienas iš keturių vektorių yra lygus nuliui arba tarp jų yra du kolineariniai vektoriai arba trys iš keturių vektorių yra vienodi, tai šie keturi vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Pavyzdžiui, jei vektoriai a ir b yra kolinearūs, galime sudaryti jų tiesinę kombinaciją αa + βb = 0 su ne nuliniais koeficientais, o tada prie šio derinio pridėti likusius du vektorius, koeficientais laikant nulius. Gauname tiesinę keturių vektorių kombinaciją, lygią 0, kurioje yra nulinių koeficientų.
Taigi galime daryti prielaidą, kad tarp pasirinktų keturių vektorių nė vienas vektorius nėra lygus nuliui, nėra dviejų kolinearių ir nėra trijų lygiagrečių. Bendrąja jų pradžia pasirinkime tašką O. Tada vektorių a, b, c, d galai bus kai kurie taškai A, B, C, D (2.2 pav.). Per tašką D nubrėžiame tris plokštumas, lygiagrečiai plokštumoms OBC, OCA, OAB ir tegul A", B", C" yra šių plokštumų susikirtimo taškai su tiesėmis atitinkamai OA, OB, OS. Gauname gretasienį OA"C"B"C"B"DA ", o vektoriai a, b, c yra ant jo briaunų, kylančių iš viršūnės O. Kadangi keturkampis OC"DC" yra lygiagretainis, tai OD = OC" + OC". Savo ruožtu atkarpa OC" yra atkarpos įstrižainė. lygiagretainis OA"C"B", kad OC" = OA" + OB" ir OD = OA" + OB" + OC" .
Belieka pastebėti, kad vektorių poros OA ≠ 0 ir OA" , OB ≠ 0 ir OB" , OC ≠ 0 ir OC" yra kolinijinės, todėl galima parinkti koeficientus α, β, γ taip, kad OA" = αOA, OB" = βOB ir OC" = γOC. Galiausiai gauname OD = αOA + βOB + γOC. Vadinasi, OD vektorius išreiškiamas per kitus tris vektorius, o visi keturi vektoriai pagal 2.1 teoremą yra tiesiškai priklausomi.
Apibrėžimas. Linijinis vektorių derinys a 1 , ..., a n su koeficientais x 1 , ..., x n vadinamas vektoriumi
x 1 a 1 + ... + x n a n .
trivialus, jei visi koeficientai x 1 , ..., x n lygūs nuliui.
Apibrėžimas. Vadinamas tiesinis derinys x 1 a 1 + ... + x n a n ne trivialus, jei bent vienas iš koeficientų x 1, ..., x n nėra lygus nuliui.
tiesiškai nepriklausomas, jei nėra netrivialaus šių vektorių derinio, lygaus nuliniam vektoriui.
Tai reiškia, kad vektoriai a 1, ..., a n yra tiesiškai nepriklausomi, jei x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 tada ir tik tada, jei x 1 = 0, ..., x n = 0.
Apibrėžimas. Vadinami vektoriai a 1, ..., a n tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus šių vektorių derinys, lygus nuliniam vektoriui.
Tiesiškai priklausomų vektorių savybės:
Dėl n matmenų vektorių.
n + 1 vektoriai visada yra tiesiškai priklausomi.
2 ir 3 dimensijų vektoriams.
Du tiesiškai priklausomi vektoriai yra kolineariniai. (Kolineariniai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)
3 dimensijų vektoriams.
Trys tiesiškai priklausomi vektoriai yra vienodi. (Trys lygiagrečiai vektoriai yra tiesiškai priklausomi.)
Vektorių tiesinės priklausomybės ir tiesinės nepriklausomybės problemų pavyzdžiai:
1 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) yra tiesiškai nepriklausomi .
Sprendimas:
Vektoriai bus tiesiškai priklausomi, nes vektorių matmenys yra mažesni už vektorių skaičių.
2 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) yra tiesiškai nepriklausomi.
Sprendimas:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą eilutę prie trečios eilutės:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Šis sprendimas rodo, kad sistemoje yra daug sprendinių, tai yra, yra skaičių x 1, x 2, x 3 reikšmių derinys, kuris nėra nulinis, kad linijinis vektorių a, b, c derinys būtų lygus nulinis vektorius, pavyzdžiui:
A + b + c = 0
o tai reiškia, kad vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.
Atsakymas: vektoriai a, b, c yra tiesiškai priklausomi.
3 pavyzdys. Patikrinkite, ar vektoriai a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) yra tiesiškai nepriklausomi.
Sprendimas: Raskime koeficientų reikšmes, kurioms esant šių vektorių tiesinis derinys bus lygus nuliniam vektoriui.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Šią vektorinę lygtį galima parašyti kaip sistemą tiesines lygtis
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Išspręskime šią sistemą Gauso metodu
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
atimti pirmąją iš antrosios eilutės; atimkite pirmą iš trečios eilutės:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
atimti antrą iš pirmos eilutės; pridėti antrą prie trečios eilutės.
Leisti L yra savavališka tiesinė erdvė, a i Î L,- jo elementai (vektoriai).
Apibrėžimas 3.3.1. Išraiška , kur, - savavališki realieji skaičiai, vadinami tiesiniu deriniu vektoriai a 1, a 2,…, a n.
Jei vektorius R = , tada jie taip sako R suskaidomi į vektorius a 1, a 2,…, a n.
Apibrėžimas 3.3.2. Vadinamas linijinis vektorių derinys ne trivialus, jei tarp skaičių yra bent vienas nulis. Priešingu atveju vadinamas linijinis derinys trivialus.
3 apibrėžimas.3.3 . Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinami tiesiškai priklausomais, jei egzistuoja netrivialus tiesinis jų derinys, kad
= 0 .
3 apibrėžimas.3.4. Vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n vadinamos tiesiškai nepriklausomomis, jei lygybė = 0 galima tik tuo atveju, kai visi skaičiai l 1, l 2,…, l n tuo pačiu metu yra lygūs nuliui.
Atkreipkite dėmesį, kad bet kuris nulinis elementas a 1 gali būti laikomas tiesiškai nepriklausoma sistema, nes lygybė l a 1 = 0 įmanoma tik tuo atveju, jei l= 0.
3.3.1 teorema. Būtina ir pakankama sąlyga tiesinei priklausomybei a 1 , a 2 ,…, a n yra galimybė bent vieną iš šių elementų suskaidyti į likusius.
Įrodymas. Būtinybė. Tegu elementai a 1 , a 2 ,…, a n tiesiškai priklausomas. Tai reiškia kad = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, l n skiriasi nuo nulio. Leisk dėl tikrumo l 1 ¹ 0. Tada
y., elementas a 1 suskaidomas į elementus a 2 , a 3 , …, a n.
Tinkamumas. Tegul elementas a 1 bus išskaidytas į elementus a 2 , a 3 , …, a n, ty 1 = . Tada 
= 0
, todėl yra netrivialus tiesinis vektorių derinys a 1 , a 2 ,…, a n, lygus 0
, todėl jie yra tiesiškai priklausomi .
3.3.2 teorema. Jei bent vienas iš elementų a 1 , a 2 ,…, a n nulis, tada šie vektoriai yra tiesiškai priklausomi.
Įrodymas . Leisti a n= 0 , tada = 0 , o tai reiškia tiesinę šių elementų priklausomybę.
3.3.3 teorema. Jei tarp n vektorių yra bet kuris p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
Įrodymas. Apibrėžtumo dėlei elementai a 1 , a 2 ,…, a p tiesiškai priklausomas. Tai reiškia, kad yra netrivialus tiesinis derinys, toks, kad = 0 . Nurodyta lygybė bus išsaugota, jei elementą pridėsime prie abiejų jo dalių. Tada + = 0 , ir bent vienas iš skaičių l 1, l 2,…, lp skiriasi nuo nulio. Todėl vektoriai a 1 , a 2 ,…, a n yra tiesiškai priklausomi.
Išvada 3.3.1. Jei n elementų yra tiesiškai nepriklausomi, tai bet kuris iš jų k yra tiesiškai nepriklausomas (k< n).
3.3.4 teorema. Jei vektoriai a 1, a 2,…, a n- 1 yra tiesiškai nepriklausomi ir elementai a 1, a 2,…, a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada vektorius a n gali būti išplėstas į vektorius a 1, a 2,…, a n- 1 .
Įrodymas. Kadangi pagal sąlygą a 1 , a 2 ,…,a n- 1, a n yra tiesiškai priklausomi, tada yra netrivialus tiesinis jų derinys = 0 , ir (kitaip jie bus linijiniai priklausomi vektoriai a 1, a 2,…, a n- 1). Bet tada vektorius
,
Q.E.D.
Vektorių sistema vadinama tiesiškai priklausomas, jei yra skaičių, tarp kurių bent vienas skiriasi nuo nulio, kad lygybė https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= “ >.
Jei ši lygybė tenkinama tik tuo atveju, kai visi , vadinasi vektorių sistema tiesiškai nepriklausomas.
Teorema. Vektorinė sistema bus tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, kai bent vienas jo vektorius yra tiesinis kitų vektorių derinys.
1 pavyzdys. Polinomas 
yra tiesinis polinomų derinys https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomai sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą, nes daugianario https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
2 pavyzdys. Matricos sistema https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> yra tiesiškai nepriklausoma, nes linijinis derinys yra lygus nulinė matrica tik tuo atveju, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> tiesiškai priklausomas.
Sprendimas.
Padarykime tiesinį šių vektorių derinį https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" aukštis=" 22">.
Sulyginus tas pačias vienodų vektorių koordinates, gauname https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Pagaliau gauname
Ir
Sistema turi unikalų trivialų sprendimą, todėl tiesinė šių vektorių kombinacija lygi nuliui tik tuo atveju, kai visi koeficientai lygūs nuliui. Todėl ši vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.
4 pavyzdys. Vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi. Kokios bus vektorinės sistemos?
a).
;
b).
?
Sprendimas.
a). Padarykime tiesinį derinį ir prilyginkime nuliui
Pasinaudodami operacijų su vektoriais tiesinėje erdvėje savybėmis perrašome paskutinę lygybę formoje
Kadangi vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, koeficientai ties turi būti lygūs nuliui, ty.gif" width="12" height="23 src=">
Gauta lygčių sistema turi unikalų trivialų sprendimą 
.
Nuo lygybės (*) vykdomas tik tada, kai https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – tiesiškai nepriklausomas;
b). Padarykime lygybę https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Taikydami panašius samprotavimus gauname
Išspręsdami lygčių sistemą Gauso metodu, gauname
arba
Pastaroji sistema turi begalę sprendimų https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Taigi yra ne nulinis koeficientų rinkinys, kuriam taikoma lygybė (**)
. Todėl vektorių sistema – tiesiškai priklausomas.
5 pavyzdys Vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma, o vektorių sistema yra tiesiškai priklausoma..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Lygybėje (***) . Iš tiesų, esant , sistema būtų tiesiškai priklausoma.
Iš santykio (***)
mes gauname 
arba 
Pažymėkime 
.
Mes gauname 
Užduotys skirtos savarankiškas sprendimas(auditorijoje)
1. Sistema, turinti nulinį vektorių, yra tiesiškai priklausoma.
2. Sistema, susidedanti iš vieno vektoriaus A, yra tiesiškai priklausomas tada ir tik tada, a=0.
3. Sistema, susidedanti iš dviejų vektorių, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai vektoriai yra proporcingi (tai yra, vienas iš jų gaunamas iš kito padauginus iš skaičiaus).
4. Jei prie tiesiškai priklausomos sistemos pridėsite vektorių, gausite tiesiškai priklausomą sistemą.
5. Jei vektorius pašalinamas iš tiesiškai nepriklausomos sistemos, tai gauta vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.
6. Jei sistema S yra tiesiškai nepriklausomas, bet pridedant vektorių tampa tiesiškai priklausomas b, tada vektorius b tiesiškai išreikštas sistemos vektoriais S.
c). Matricų sistema , , antros eilės matricų erdvėje.
10. Tegu vektorių sistema a,b,c vektoriaus erdvė yra tiesiškai nepriklausoma. Įrodykite šių vektorinių sistemų tiesinę nepriklausomybę:
a).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– savavališkas skaičius
c).a+b, a+c, b+c.
11. Leisti a,b,c– trys vektoriai plokštumoje, iš kurių galima suformuoti trikampį. Ar šie vektoriai bus tiesiškai priklausomi?
12. Pateikti du vektoriai a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Raskite dar du keturmačius vektorius a3 ira4 kad sistema a1,a2,a3,a4 buvo tiesiškai nepriklausomas .
1 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma. Vektorių sistemą nurodys sistemos matrica, kurios stulpeliai susideda iš vektorių koordinačių.
.
Sprendimas. Tegul linijinis derinys 
lygus nuliui. Užrašę šią lygybę koordinatėmis, gauname tokią lygčių sistemą:
.
Tokia lygčių sistema vadinama trikampe. Ji turi tik vieną sprendimą 
. Todėl vektoriai 
tiesiškai nepriklausomas.
2 užduotis. Išsiaiškinkite, ar vektorių sistema yra tiesiškai nepriklausoma.
.
Sprendimas. Vektoriai 
yra tiesiškai nepriklausomi (žr. 1 uždavinį). Įrodykime, kad vektorius yra tiesinis vektorių derinys 
. Vektorių plėtimosi koeficientai 
yra nustatomi iš lygčių sistemos
.
Ši sistema, kaip ir trikampė, turi unikalų sprendimą.
Todėl vektorių sistema 
tiesiškai priklausomas.
komentuoti. Vadinamos to paties tipo matricos kaip 1 uždavinyje trikampis o 2 uždavinyje – laiptuotas trikampis . Vektorių sistemos tiesinės priklausomybės klausimas lengvai išsprendžiamas, jei iš šių vektorių koordinačių sudaryta matrica yra žingsninė trikampė. Jei matrica neturi specialus tipas, tada naudokite elementarios eilutės konversijos , išsaugant tiesinius ryšius tarp stulpelių, jį galima redukuoti į pakopinę trikampę formą.
Elementarios eilučių konversijos vadinamos matricos (EPS). sekančių operacijų virš matricos:
1) linijų pertvarkymas;
2) eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;
3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus.
3 užduotis. Raskite maksimalų tiesiškai nepriklausomą posistemį ir apskaičiuokite vektorių sistemos rangą
.
Sprendimas. Sumažinkime EPS sistemos matricą į žingsninę trikampę formą. Norėdami paaiškinti procedūrą, eilutę su transformuojamos matricos numeriu pažymime simboliu . Stulpelis po rodyklės nurodo veiksmus su konvertuojamos matricos eilutėmis, kuriuos reikia atlikti norint gauti naujos matricos eilutes.
.
Akivaizdu, kad pirmosios dvi gautos matricos stulpeliai yra tiesiškai nepriklausomi, trečiasis yra jų linijinis derinys, o ketvirtasis nepriklauso nuo pirmųjų dviejų. Vektoriai 
vadinami pagrindiniais. Jie sudaro maksimalų tiesiškai nepriklausomą sistemos posistemį , o sistemos rangas yra trys.
Pagrindas, koordinatės
4 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates geometrinių vektorių aibėje, kurių koordinatės tenkina sąlygą 
.
Sprendimas. Aibė yra plokštuma, einanti per pradžią. Savavališkas pagrindas plokštumoje susideda iš dviejų nekolinearinių vektorių. Pasirinkto pagrindo vektorių koordinatės nustatomos sprendžiant atitinkamą tiesinių lygčių sistemą.
Yra ir kitas būdas išspręsti šią problemą, kai galite rasti pagrindą naudodami koordinates.
Koordinatės 
erdvės nėra koordinatės plokštumoje, nes jos yra susijusios ryšiu 
ty jie nėra nepriklausomi. Nepriklausomi kintamieji ir (jie vadinami laisvaisiais) vienareikšmiškai apibrėžia vektorių plokštumoje, todėl juos galima pasirinkti kaip koordinates . Tada pagrindas 
susideda iš vektorių, esančių ir atitinkančių laisvųjų kintamųjų aibes 
Ir 
, tai yra .
5 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų erdvėje esančių vektorių, kurių nelyginės koordinatės yra lygios viena kitai, aibėje.
Sprendimas. Parinkime, kaip ir ankstesniame uždavinyje, koordinates erdvėje.
Nes 
, tada laisvieji kintamieji 
vienareikšmiškai nustato vektorių iš ir todėl yra koordinatės. Atitinkamas pagrindas susideda iš vektorių.
6 užduotis. Raskite šio pagrindo vektorių pagrindą ir koordinates visų formos matricų aibėje 
, Kur 
– savavališki skaičiai.
Sprendimas. Kiekviena matrica iš unikaliai vaizduojama tokia forma:
Šis ryšys yra vektoriaus išplėtimas pagrindo atžvilgiu 
su koordinatėmis 
.
7 užduotis. Raskite vektorių sistemos tiesinio korpuso matmenis ir pagrindą
.
Sprendimas. Naudodami EPS, transformuojame matricą iš sistemos vektorių koordinačių į žingsninę trikampę formą.
.
Stulpeliai 
paskutinės matricos yra tiesiškai nepriklausomos, o stulpeliai 
tiesiškai išreikštas per juos. Todėl vektoriai 
sudaryti pagrindą 
, Ir 
.
komentuoti. Pagrindas į pasirenkamas dviprasmiškai. Pavyzdžiui, vektoriai 
taip pat sudaro pagrindą 
.
