Susiję ir vertikalūs kampai. Statmenos tiesios linijos. Kokie kampai vadinami greta? Kas yra dviejų gretimų kampų suma

Klausimas 1.Kokie kampai vadinami greta?
Atsakymas.Du kampai vadinami greta, jei jie turi vieną bendrą pusę, o kitos šių kampų šalys yra papildomos puslankiai.
31 paveiksle, kampai (a 1 b) ir (A 2 b) greta. Jie turi pusę B apskritai, o Šalys 1 ir 2 yra papildomi puslankiai.

2 klausimas.Įrodyti, kad gretimų kampų suma yra 180 °.
Atsakymas. 2.1 teorema.Gretimų kampų suma yra 180 °.
Įrodymai. Leiskite kampui (A 1 b) ir kampas (A 2 b) - šie gretimi kampai (žr. 31 pav.). "Beam B" eina tarp diegimo kampo 1 ir 2 pusių. Todėl kampų (A 1 b) ir (A 2 b) suma yra lygi dislokuotam kampui, t.y. 180 °. Q.E.D.

3 klausimas.Įrodyti, kad jei du kampai yra lygūs, tada gretimų kampų taip pat yra lygūs.
Atsakymas.

Nuo teorijos 2.1 iš to išplaukia, kad jei du kampai yra lygūs, gretimi kampai yra lygūs.
Tarkime, kampai (a 1 b) ir (C1 d) yra lygūs. Turime įrodyti, kad kampai (A 2 b) ir (C2 d) taip pat yra lygūs.
Gretimų kampų suma yra 180 °. Iš to matyti, kad 1 B + A 2 B \u003d 180 ° ir C1 D + C2 D \u003d 180 °. Taigi, 2 b \u003d 180 ° - A 1 B ir C2 D \u003d 180 ° - C1 D. Kadangi kampai (a 1 b) ir (C1 d) yra lygūs, gauname, kad 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d C2 D. Remiantis lygybės ženklo tranzito turtu, iš to išplaukia, kad 2 b \u003d C2 D. Q.E.D.

4 klausimas.Koks kampas vadinamas tiesioginiu (aštriu, kvailiu)?
Atsakymas. Kampas, lygus 90 °, vadinamas tiesioginiu kampu.
Kampas yra mažesnis nei 90 °, vadinamas aštriu kampu.
Kampas didesnis kaip 90 ° ir mažesnis 180 ° yra vadinamas kvailas.

5 klausimas. Įrodyti, kad kampas, šalia tiesioginio, yra tiesus kampas.
Atsakymas.Nuo teorijos dėl gretimų kampų sumos, kad jis yra tas, kad kampas, šalia tiesioginio kampo, yra tiesioginis kampas: x + 90 ° \u003d 180 °, x \u003d 180 ° - 90 °, x \u003d 90 °.

6 klausimas.Kokie kampai vadinami vertikaliais?
Atsakymas.Du kampai vadinami vertikaliais, jei to paties kampo šonuose yra papildomos pusiau tiesiog kitos pusės.

7 klausimas.Įrodyti, kad vertikalūs kampai yra lygūs.
Atsakymas. 2.2 teorema. Vertikalūs kampai yra lygūs.
Įrodymai.Leiskite (a 1 b 1) ir (A 2 B 2) - šie vertikalūs kampai (34 pav.). Kampas (A 1 B 2) yra šalia kampo (A 1 B 1) ir kampu (A 2 B 2). Taigi teorema dėl gretimų kampų sumos, mes darome išvadą, kad kiekvienas iš kampų (A 1 B 1) ir (A 2 B 2) papildo kampą (A 1 B 2) iki 180 °, t.y. Kampai (A 1 B 1) ir (A 2 B 2) yra lygūs. Q.E.D.

8 klausimas.Įrodyti, kad jei su dviejų tiesių linijų sankirta viena iš linijos kampų, tada likusieji trys kampas taip pat yra tiesus.
Atsakymas.Tarkime, kad "Direct AB" ir "CD" kerta vienas kitą taške O. Tarkime, kad AOD kampas yra 90 °. Kadangi gretimų kampų suma yra 180 °, mes gauname, kad AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° yra 90 ° \u003d 90 °. COB kampo vertikalus AOD kampas, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas COB \u003d 90 °. COA kampo vertikalus kampinis BOD, todėl jie yra lygūs. Tai yra, kampas BOD \u003d 90 °. Taigi visi kampai yra 90 °, tai yra tiesiogiai. Q.E.D.

9 klausimas.Kokie yra tiesioginiai yra laikomi statmenai? Koks ženklas naudojamas tiesioginio tiesioginio statmenai?
Atsakymas.Dvi tiesios linijos vadinamos statmenomis, jei jie susikerta stačiu kampu.
Tiesioginio tiesioginio statmenos žymens yra žymenis (Perp). Įrašai (a Perp b) Skaito: "Tiesioginis statmenai tiesioginiam B".

10 klausimas.Įrodyti, kad per bet kurį tašką tiesiai gali būti vykdomas jo statmenai, ir tik vienas.
Atsakymas. 2.3 teorema.Per kiekvieną tiesioginį galima atlikti tiesiogiai ir tik vieną.
Įrodymai.Tegul tai yra tiesioginis ir a - šis taškas ant jo. Žymi 1 vieną iš puslaidininkiško tiesioginio a su pradžios taško a (38 pav.). Mes atidėsime nuo pusiauciotinio 1 kampo (1 B 1), lygus 90 °. Tada tiesioginis su pluoštu B 1 bus statmena tiesioginiam a.

Tarkime, kad yra dar viena tiesia linija, taip pat eina per A ir statmenai tiesia linija a. Nurodo C1, pusiau šios tiesios linijos pusiau ašį, esančią pusiau plokštumoje su pluoštu B 1.
Kampai (a 1 b 1) ir (a 1 C1), lygi kiekvienam 90 °, yra atidėti per pusę plokštumoje nuo pusiau supaprastinto a 1. Bet iš semiconduma a 1 šioje pusėje plokštumoje, tik vienas kampas gali būti atidėtas lygus 90 °. Todėl ne būti dar vienas tiesioginis einantis per A ir statmenai tiesioginį a. Įrodyta teorema.

11 klausimas.Kas yra statmena tiesia linija?
Atsakymas. Statmena šiai tiesiogiai vadinama tiesia linija, statmena, kuri turi vieną iš jo galų savo sankirtos tašką. Šis segmento pabaiga vadinama bazė Statmenai.

12 klausimas.Paaiškinkite, kad bjaurus.
Atsakymas. 2,3 teorijos taikomosios įrodymų metodas vadinamas priešininko įrodymu. Šis įrodymų metodas yra tas, kad mes iš pradžių padarysime prielaidą, kuri yra priešinga tai, kas yra patvirtinta teorijos. Tada, argumentais, remdamiesi aksionais ir įrodytais teoremais, atėjo į išvadą, kuri prieštarauja teorijos ar vienos iš aksiomų ar anksčiau patvirtintos teoremo būklės. Tuo remiantis mes darome išvadą, kad mūsų prielaida buvo neteisinga, todėl teorijos pareiškimas yra teisingas.

13 klausimas.Kas vadinama "Bisector" kampu?
Atsakymas.Kampo bisektorius vadinamas spindu, kuris ateina iš kampo viršaus, eina tarp savo šalių ir padalija kampą per pusę.

Studijuojant "kampas", "vertikalių kampų" koncepcijos geometrija, "gretimų kampų" yra gana dažnas. Supratimas Kiekviena terminų padės išsiaiškinti užduotį ir teisingai jį išspręsti. Kas yra gretimų kampų ir kaip juos nustatyti?

Susiję kampai - sąvokos apibrėžimas

Sąvoka "gretimų kampų" apibūdina du kampą, suformuotus bendrinamu pluoštu ir dviem papildomais puslankiais, esančiais vienoje tiesioje linijoje. Visi trys spinduliai išeina iš vieno taško. Bendras pusiau amžius vienu metu yra abiejų ir antrojo kampo pusėje.

Susiję kampai - pagrindinės savybės

1. Remiantis gretimų kampų formuluotu, nėra sunku pastebėti, kad tokių kampų suma visada yra išsamus kampas, kurio laipsnis yra 180 °:

• Jei μ ir η yra gretimų kampų, tada μ + η \u003d 180 °.
• Žinant vieną iš gretimų kampų (pavyzdžiui, μ), lengva apskaičiuoti antrojo kampo (η) laipsnį, naudojant išraišką η \u003d 180 ° - μ.

2. Ši kampų nuosavybė leidžia jums daryti šią išvadą: gretima tiesi kampo kampas taip pat bus tiesioginis.

3. Atsižvelgiant į trigonometrinę funkciją (Sin, COS, TG, CTG), remiantis gretimų kampų formulėmis μ ir η, tai yra tiesa:

• sinη \u003d Sin (180 ° - μ) \u003d Sinμ,
• cosη \u003d cos (180 ° - μ) \u003d -COSμ,
• tgη \u003d tg (180 ° - μ) \u003d -tgμ,
• ctgη \u003d Ctg (180 ° - μ) \u003d -Ctgμ.

Susiję kampai - pavyzdžiai

1 pavyzdys.

Trikampis su viršūnių M, P, Q yra Δmpq. Raskite kampus, gretimus kampus ∠qmp, ∠mpq, ∠pqm.

• Mes pratęsime kiekvieną trikampio pusę tiesiai.
• Žinant, kad gretimi kampai papildo vienas kitą su išplėstiniu kampu, sužinokite, kad:

šalia kampo ∠qmp bus ∠lmp,

šalia kampo ∠mpq bus ∠spq,

susiję su kampu ∠pqm bus ∠HQP.

2 pavyzdys.

Vieno gretimų kampo vertė yra 35 °. Kas yra antrojo gretimų kampo laipsnis?

• Du šalia esant 180 ° kampu.
• Jei ∠μ \u003d 35 °, tada gretimas ∠η \u003d 180 ° - 35 ° \u003d 145 °.

3 pavyzdys.

Nustatykite gretimų kampų vertes, jei yra žinoma, kad vienas iš apačios tris kartus daugiau laipsnio kito kampo laipsnį.

• Žymi vieno (mažesnio) kampo vertę - ∠μ \u003d λ.
• Tada, atsižvelgiant į problemos būklę, antrojo kampo vertė bus lygi ∠η \u003d 3λ.
• Remiantis pagrindinėmis gretimų kampų savybėmis, μ + η \u003d 180 ° taip

λ + 3λ \u003d μ + η \u003d 180 °,

λ \u003d 180 ° / 4 \u003d 45 °.

Todėl pirmasis vienas kampas ∠μ \u003d λ \u003d 45 ° ir antrasis kampas ∠η \u003d 3λ \u003d 135 °.

Gebėjimas apskųsti terminologiją, taip pat žinios apie gretimų kampų pagrindines savybes, padės susidoroti su daugelio geometrinių užduočių sprendimu.

G l a v a.

Pagrindinės sąvokos.

§vienuolika. Susiję ir vertikalūs kampai.

1. Susiję kampai.

Jei tęsiame kai kurių viršų kampo pusę, gausime du kampą (Damn 72): / Ir saulė I. / "Twds", turintys vieną orlaivio pusę, o du kiti AVI CD sudaro tiesią liniją.

Du kampas, kuriame viena pusė yra bendra, o kiti du sudaro tiesią liniją, vadinama gretimais kampais.

Susiję kampai gali būti gaunami ir tokiu būdu: jei yra iš tam tikro taško (ne gulėti ant šios linijos), tada mes gauname gretimų kampų.
Pavyzdžiui, / ADF I. / FDV - gretimų kampų (Damn 73).

Susiję kampai gali turėti įvairias pozicijas (funkcijas. 74).

Gretimi kampai sumos sudaro išplėstinį kampą, taigi dviejų gretimų kampų yra lygūs2d.

Iš čia yra tiesus kampas, kuris gali būti apibrėžiamas kaip kampas, lygus jo gretimam kampui.

Žinant vieno iš gretimų kampų dydžio, mes galime rasti kito užteršto kampo dydį.

Pavyzdžiui, jei vienas iš gretimų kampų yra 3/5 d.Tada antrasis kampas bus lygus:

2d.- 3 / 5 d. \u003d L 2/5. d..

2. Vertikalūs kampai.

Jei tęsiame viršaus kampo pusę, gausime vertikalius kampus. 75 eof kampų ir AOS vertikalėje; Kampai yra OO ir CO - taip pat vertikaliai.

Du kampai vadinami vertikaliais, jei to paties kampo šonuose yra kito kampo šonų tęstinumas.

Leisti būti / 1 = 7 / 8 d. (Damn 76). Šalia jo / 2 bus lygi 2 d.- 7 / 8 d., i.e. 1 1/8 d..

Taip pat galite apskaičiuoti, kas yra lygi / 3 I. / 4.
/ 3 = 2d. - 1 1 / 8 d. = 7 / 8 d.; / 4 = 2d. - 7 / 8 d. = 1 1 / 8 d. (Damn 77).

Mes matome / 1 = / 3 I. / 2 = / 4.

Galite išspręsti šiek tiek daugiau tų pačių užduočių, ir kiekvieną kartą bus gautas tas pats rezultatas: vertikalūs kampai yra lygūs vieni kitiems.

Tačiau, siekiant įsitikinti, kad vertikalūs kampai visada yra lygūs vieni kitiems, nepakanka apsvarstyti atskirus skaitmeninius pavyzdžius, nes išvados, padarytos remiantis privačių pavyzdžių pagrindu, kartais gali būti klaidingos.

Įsitikinkite, kad vertikalių kampų savybių teisingumas yra būtinas pagal įrodymus.

Įrodymas gali būti atliekamas taip (prakeiktas 78):

/ a +./ c. = 2d.;
/ b +./ c. = 2d.;

(Kadangi gretimų kampų suma yra lygi 2 d.).

/ a +./ c. = / b +./ c.

(Kadangi kairioji šios lygybės pusė yra 2 d.ir jo dešinė dalis taip pat yra lygi 2 d.).

Ši lygybė apima tą patį kampą. nuo..

Jei mes esame lygūs vienodoms lygių reikšmėms, ji išliks vienodai. Kaip rezultatas, tai pasirodys: / a. = / b., i.e. Vertikalūs kampai yra lygūs vieni kitiems.

Apsvarstant vertikalių kampų klausimą, pirmiausia paaiškinome, kurie kampai vadinami vertikaliais, i.e. Dali apibrėžimas Vertikalūs kampai.

Tada išreiškėme sprendimą (patvirtinimą) apie vertikalių kampų lygybę ir šio sprendimo teisme buvo įsitikinę įrodymais. Tokie sprendimai, kurių teisingumas turi būti pakviestas teoriniai.. Taigi šioje dalyje davėme vertikalių kampų apibrėžimą ir taip pat išreiškėme ir įrodytų teoriją apie savo turtą.

Ateityje, studijuojant geometriją, mes nuolat turėsime susitikti su apibrėžimais ir įrodymais teorijų.

3. Kampų, turinčių bendrą viršūnę, suma.

79 brėžinyje. / 1, / 2, / 3 I. / 4 yra vienoje pusėje tiesiai ir turi bendrą viršūnę. Šių kampų kiekiu yra išplėstinis kampas, t.y.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d..

Brėžinyje 80. / 1, / 2, / 3, / 4 I. / 5 Turėkite bendrą viršūnę. Šių kampų kiekiu sudaro pilną kampą, t.y. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d..

Pratimai.

1. Vienas iš gretimų kampų yra 0,72 d. Apskaičiuokite kampą, kurį sudaro šių gretimų kampų bisectors.

2. Įrodyti, kad dviejų gretimų kampų bisektorius sudaro tiesinį kampą.

3. Įrodyti, kad jei du kampai yra lygūs, tada jų gretimi kampai yra lygūs.

4. Kiek gretimų kampų brėžinyje 81?

5. Ar gretimų kampų pora susideda iš dviejų aštrių kampų? Iš dviejų kvailų kampų? Iš tiesaus ir kvailo kampo? Iš tiesaus ir ūminio kampo?

6. Jei vienas iš gretimų kampų yra tiesus, tai, ką galima pasakyti apie gretimų kampo dydį su juo?

7. Jei su dviem tiesiomis linijomis, vienas kampas yra tiesioginis, tai, ką galima pasakyti apie kitų trijų kampų dydį?

Kaip rasti gretimų kampą?

Matematika - senovės tiksli mokslas, kuris būtinai mokosi mokyklose, kolegijose, institutuose ir universitetuose. Tačiau pagrindinės žinios visada yra mokykloje. Kartais vaikas yra prašoma gana sudėtingų užduočių, o tėvai negali padėti, nes jie tiesiog pamiršo kai kuriuos matematikos dalykus. Pavyzdžiui, kaip rasti gretimų kampą į pagrindinį kampą dydį ir tt Užduotis yra paprasta, tačiau gali sukelti sunkumų sprendžiant dėl \u200b\u200bnežinojimo apie tai, kokie kampai yra vadinami susiję ir kaip juos rasti.

Išsamiau atsižvelgti į gretimų kampų apibrėžimą ir savybes, taip pat kaip juos apskaičiuoti pagal užduotį duomenis.

Apibrėžimas ir savybės gretimų kampų

Dvi sijos, kylančios iš vienos taško formos, vadinamas "plokščiu kampu". Šiuo metu šis taškas vadinamas kampo piko, ir spinduliai yra jos šalys. Jei tęsiate vieną iš spindulių ant pradinio taško tiesia linija, tada suformuotas kitas kampas, kuris vadinamas gretimu. Kiekviename kampe, šiuo atveju, yra du gretimų kampas, nes kampo pusė yra lygiavertis. Tai yra, visada yra šalia 180 laipsnių kampu.

Pagrindinės gretimų kampų savybės yra

• Gretimi kampai turi bendrą viršūnę ir vieną pusę;
• Gretimų kampų suma visada yra 180 laipsnių arba PI skaičius, jei skaičiavimas atliekamas radianams;
• Gretimų kampų sinusai visada yra lygūs;
• Šališkos kampų kosinimai ir liestiniai yra lygūs, tačiau turi priešingus ženklus.

Kaip rasti gretimų kampų

Trys užduočių variantai pateikiami gretimų kampų dydžiui.

• Pateikiamas pagrindinio kampo dydis;
• Pateikiamas pagrindinio ir gretimos kampo santykis;
• Dana vertikalus kampas.

Kiekviena užduoties versija turi savo sprendimą. Apsvarstykite juos.

Pagrindinio kampo dydis

Jei pagrindinis kampas yra nurodytas užduotyje, gretimas kampas yra labai paprastas. Norėdami tai padaryti, pakanka 180 laipsnių atimti pagrindinio kampo dydį, ir gausite gretimų kampą. Šis sprendimas gauna nuo gretimų kampo savybių - gretimų kampų suma visada yra 180 laipsnių.

Jei pagrindinis kampo dydis pateikiamas radianuose ir užduotyje, reikia rasti gretimų kampo radianuose, tada būtina atimti iš pagrindinio kampo skaičiaus, nes bendras išplėtoto kampo dydžio 180 Laipsniai yra lygūs PI skaičiui.

Pagrindinio ir gretimų kampo santykis

Problema gali būti suteikta pagrindinio ir gretimų kampo santykis vietoj laipsnių ir pagrindinio kampo dydžio. Šiuo atveju sprendimas atrodys kaip proporcingai lygtis:

1. Mes nurodome pagrindinio kampo dalį kaip kintamąjį "Y".
2. Akcija, susijusi su gretimu kampu, vadinama kintama "x".
3. Kiekvienos proporcijos laipsnių skaičius, pavyzdžiui, "A".
4. Bendra formulė atrodys kaip tai - a * x + a * y \u003d 180 arba a * (x + y) \u003d 180.
5. Mes randame bendrą "A" lygybės veiksnį pagal formulę A \u003d 180 / (x + y).
6. Tada gauta bendrojo veiksnio vertė "A" yra padauginta iš kampo, kurį reikia nustatyti.

Taigi, mes galime rasti gretimo kampo dydžio laipsniais. Tačiau, jei būtina rasti sumą radianuose, tada jums reikia tiesiog versti laipsnius į radianus. Norėdami tai padaryti, padauginkite kampą į skaičių į skaičių PI ir padalinkite visus 180 laipsnių. Gauta vertė bus radianai.

Vertikali kampo vertė

Jei problema nėra suteikta pagrindinio kampo vertės, tačiau vertikalaus kampo vertė yra pateikta, tada gretimų kampas gali būti apskaičiuojamas pagal tą pačią formulę kaip pirmoje pastraipoje, kur yra pagrindinis kampas.

Vertikalus kampas yra kampas, kuris ateina iš to paties taško kaip pagrindinis, tačiau jis yra nukreiptas į griežtai priešinga kryptimi. Taigi paaiškėja veidrodžio atspindys. Tai reiškia, kad vertikalus kampas yra lygus pagrindiniam. Savo ruožtu, gretimas kampas vertikalaus kampo yra lygus gretimam kampui pagrindinio kampo. Dėl to galite apskaičiuoti gretimų pagrindinio kampo kampą. Norėdami tai padaryti, tiesiog atimkite iš 180 laipsnių vertikalios vertės ir gauti gretimų kampo kampo laipsniais.

Jei vertė pateikiama radianuose, tai būtina atimti nuo vertikalaus kampo vertės skaičiaus, nes bendras padidėjęs 180 laipsnių kampas yra lygus PI skaičiui.

Taip pat galite perskaityti mūsų naudingus straipsnius ir.

kampas Prieš dislokuotą, tai yra, lygi 180 °, todėl juos rasti, išskaičiuoti iš to, žinoma pagrindinio kampo α₁ \u003d α₂ \u003d 180 ° vertė.

Iš to yra. Jei du kampas vienu metu ir greta ir lygūs, jie yra tiesūs. Jei vienas iš gretimų kampų yra tiesioginis, tai yra 90 laipsnių, tada kitas kampas taip pat yra tiesus. Jei vienas iš gretimų kampų yra aštrus, tada kitas bus bukas. Panašiai, jei vienas iš kampų yra kvailas, tada antrasis, bus aštrus.

Aštrių kampo yra toks laipsnis, kurio laipsnis yra mažesnis nei 90 laipsnių, bet daugiau nei 0. kvailas kampas turi laipsnį daugiau nei 90 laipsnių, bet mažiau nei 180.

Kita gretimų kampų nuosavybė yra suformuluota taip: jei du kampai yra lygūs, tada kampai, greta jų, taip pat yra lygūs. Būtent jei yra du kampas, laipsnis, kuriam sutampa (pavyzdžiui, tai yra 50 laipsnių) ir tuo pačiu metu jis turi gretimų kampą, šių gretimų kampų vertės taip pat sutampa (jų pavyzdyje) Laipsnio priemonė bus 130 laipsnių).

Šaltiniai:

• Didelis enciklopedinis žodynas - susiję kampai
• 180 laipsnių kampu

Žodis "" turi įvairius interpretacijas. Geometrijos kampu yra plokštumos dalis, apribota dviejų spindulių, kurie ateina iš vieno taško - viršūnių. Kai kalbama apie tiesioginius, aštrus, dislokuoti kampai, tada geometriniai kampai yra skirti.

Kaip ir bet kokie geometrijos skaičiai, kampai gali būti lyginami. Anglų lygybę lemia judėjimas. Kampas yra lengva padalinti į dvi lygias dalis. Tai šiek tiek sudėtingesnė padalinti į tris dalis, tačiau vis dar tai galima padaryti naudojant valdiklį ir apyvartą. Beje, ši užduotis atrodė gana sudėtinga. Apibūdinkite, kad vienas kampas yra didesnis nei arba mažiau nei kitas, geometriškai lengva.

Kaip matavimo vienetas kampų, praėjo - 1/180