Razlomci su obični brojevi, također se mogu zbrajati i oduzimati. Ali zbog činjenice da sadrže nazivnik, više složena pravila nego za cijele brojeve.
Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka sa isti nazivnici. Zatim:
Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.
Za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je brojnik drugog oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjenim.
Unutar svakog izraza nazivnici razlomaka su jednaki. Po definiciji zbrajanja i oduzimanja razlomaka dobivamo:
Kao što vidite, nije ništa komplicirano: samo zbrojimo ili oduzmemo brojnike i to je to.
Ali čak iu takvim jednostavnim radnjama ljudi uspiju pogriješiti. Ono što se najčešće zaboravlja je da se nazivnik ne mijenja. Na primjer, kada ih zbrajaju, oni se također počinju zbrajati, a to je u osnovi pogrešno.
Riješiti se loša navika Zbrajanje nazivnika je vrlo jednostavno. Probajte istu stvar kod oduzimanja. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak će (iznenada!) izgubiti svoje značenje.
Stoga zapamtite jednom zauvijek: pri zbrajanju i oduzimanju nazivnik se ne mijenja!
Mnogi ljudi također griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje plus.
I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojnik - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:
- Plus za minus daje minus;
- Dvije negativne riječi čine potvrdnu.
Pogledajmo sve ovo na konkretnim primjerima:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju sve je jednostavno, ali u drugom dodajmo minuse brojnicima razlomaka:
Što učiniti ako su nazivnici različiti
Izravno zbrajanje razlomaka sa različite nazivnike Zabranjeno je. Barem je ova metoda meni nepoznata. Međutim, izvorni razlomci uvijek se mogu prepisati tako da nazivnici postanu isti.
Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih govori se u lekciji "Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
U prvom slučaju razlomke svodimo na zajednički nazivnik metodom “križano”. U drugom ćemo tražiti NOO. Primijetimo da je 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Posljednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi relativno prosti. Prema tome, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Što učiniti ako razlomak ima cijeli dio
Mogu vas zadovoljiti: različiti nazivnici u razlomcima nisu najveće zlo. Puno više pogrešaka događa se kada je cijeli dio označen u razlomcima pribrojnika.
Naravno, postoje vlastiti algoritmi zbrajanja i oduzimanja za takve razlomke, ali oni su prilično složeni i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolja upotreba jednostavan dijagram, naveden u nastavku:
- Pretvori sve razlomke koji sadrže cijeli broj u neprave. Dobivamo normalne izraze (čak i s različitim nazivnicima), koji se izračunavaju prema gore razmotrenim pravilima;
- Zapravo, izračunajte zbroj ili razliku dobivenih razlomaka. Kao rezultat toga, praktički ćemo pronaći odgovor;
- Ako je to sve što se tražilo u zadatku, izvodimo inverznu transformaciju, tj. riješiti se nepravi razlomak, ističući cijeli dio u njemu.
Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog dijela detaljno su opisana u lekciji "Što je brojčani razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. Primjeri:
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
Ovdje je sve jednostavno. Nazivnici unutar svakog izraza su jednaki, pa preostaje samo pretvoriti sve razlomke u neprave i brojati. Imamo:
Kako bih pojednostavio izračune, preskočio sam neke očite korake u posljednjim primjerima.
Mala napomena o zadnja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s označenim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo cijeli njegov dio.
Ponovno pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere - i razmislite o tome. Tu početnici rade ogroman broj grešaka. Vole davati takve zadatke testovi. Također ćete ih nekoliko puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će biti uskoro objavljeni.
Sažetak: opća računska shema
Zaključno, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći pronaći zbroj ili razliku dva ili više razlomaka:
- Ako jedan ili više razlomaka ima cijeli dio, pretvorite te razlomke u neprave;
- Dovedite sve razlomke na zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim, naravno, ako to nisu učinili pisci problema);
- Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima;
- Ako je moguće, skratite rezultat. Ako razlomak nije točan, odaberite cijeli dio.
Ne zaboravite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije zapisivanja odgovora.
U ovom članku bavit ćemo se zbrajanje brojeva sa različite znakove . Ovdje ćemo dati pravilo zbrajanja pozitivnih i negativnih brojeva, te razmotriti primjere primjene ovog pravila pri zbrajanju brojeva s različitim predznacima.
Navigacija po stranici.
Pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima
Primjeri zbrajanja brojeva s različitim predznacima
Razmotrimo primjeri zbrajanja brojeva s različitim predznacima prema pravilu razmotrenom u prethodnom paragrafu. Počnimo s jednostavnim primjerom.
Primjer.
Zbrojite brojeve −5 i 2.
Riješenje.
Moramo zbrajati brojeve s različitim predznacima. Slijedimo sve korake propisane pravilom zbrajanja pozitivnih i negativnih brojeva.
Prvo, nalazimo module članova; oni su jednaki 5 i 2, redom.
Modul broja −5 veći je od modula broja 2, pa zapamtite znak minus.
Ostaje staviti zapamćeni znak minus ispred dobivenog broja, dobivamo −3. Time je zbrajanje brojeva s različitim predznacima završeno.
Odgovor:
(−5)+2=−3 .
Za zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima koji nisu cijeli brojevi, treba ih predstaviti kao obične razlomke (možete raditi i s decimalama, ako je to zgodno). Pogledajmo ovu točku pri rješavanju sljedećeg primjera.
Primjer.
Zbrojite pozitivan broj i negativan broj −1,25.
Riješenje.
Predstavimo brojeve u obliku obični razlomci, da bismo to učinili, izvršit ćemo prijelaz s mješovitog broja na nepravi razlomak: , i pretvoriti decimalni razlomak u obični razlomak: 
.
Sada možete koristiti pravilo za zbrajanje brojeva s različitim predznacima.
Moduli brojeva koji se zbrajaju su 17/8 i 5/4. Radi praktičnosti daljnjih radnji, razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika, kao rezultat imamo 17/8 i 10/8.
Sada trebamo usporediti obične razlomke 17/8 i 10/8. Od 17>10, dakle . Dakle, izraz sa znakom plus ima veći modul, stoga zapamtite znak plus.
Sada od većeg modula oduzimamo manji, odnosno oduzimamo razlomke s istim nazivnicima: 
.
Ostaje samo staviti zapamćeni znak plus ispred dobivenog broja, dobivamo , ali - ovo je broj 7/8.
U ovoj lekciji naučit ćemo što je negativan broj i koji se brojevi nazivaju suprotnim. Također ćemo naučiti zbrajati negativne i pozitivne brojeve (brojeve s različitim predznacima) te pogledati nekoliko primjera zbrajanja brojeva s različitim predznacima.
Pogledajte ovaj zupčanik (vidi sliku 1).
Riža. 1. Satni zupčanik
Ovo nije kazaljka koja izravno pokazuje vrijeme, a ne brojčanik (vidi sl. 2). Ali bez ovog dijela sat ne radi.
Riža. 2. Zupčanik unutar sata
Što znači slovo Y? Ništa osim zvuka Y. Ali bez toga mnoge riječi neće "raditi". Na primjer, riječ "miš". Isto tako i negativni brojevi: oni ne pokazuju nikakvu količinu, ali bez njih bi mehanizam izračuna bio mnogo teži.
Znamo da su zbrajanje i oduzimanje ekvivalentne operacije i da se mogu izvesti bilo kojim redoslijedom. Izravnim redoslijedom možemo izračunati: , ali ne možemo početi s oduzimanjem jer se još nismo dogovorili što .
Jasno je da povećanje broja za i zatim smanjenje za znači konačno smanjenje za tri. Zašto ne označiti ovaj predmet i tako brojati: zbrajanje znači oduzimanje. Zatim .
Broj može značiti, na primjer, jabuku. Novi broj ne predstavlja nikakvu stvarnu količinu. Samo po sebi ne znači ništa poput slova Y. To je samo novi alat koji olakšava izračune.
Imenujmo nove brojeve negativan. Sada možemo oduzeti veći broj od manjeg broja. Tehnički, još uvijek morate oduzeti od više manje, ali u odgovor stavite znak minus: .
Pogledajmo još jedan primjer: 
. Možete raditi sve radnje zaredom: .
Međutim, lakše je oduzeti treći broj od prvog broja i zatim dodati drugi broj:
Negativni brojevi mogu se definirati i na drugi način.
Za svaki prirodni broj, na primjer, uvodimo novi broj, koji označavamo i utvrđujemo da ima sljedeće svojstvo: zbroj broja i jednak je : .
Broj ćemo nazvati negativnim, a brojeve i - suprotnim. Tako smo dobili beskonačan broj novih brojeva, npr.
Suprotno od broja;
Suprotno od broja;
Suprotno od broja; 
Suprotno od broja;
Od manjeg broja oduzmi veći broj: . Dodajmo ovom izrazu: . Imamo nulu. Međutim, prema svojstvu: broj koji nulu dodaje pet označava se minus pet: . Stoga se izraz može označiti kao .
Svaki pozitivni broj ima broj blizanac, koji se razlikuje samo po tome što mu prethodi znak minus.Takvi se brojevi nazivaju suprotan(vidi sliku 3).
Riža. 3. Primjeri suprotnih brojeva
Svojstva suprotnih brojeva
1. Zbroj suprotnih brojeva je nula: .
2. Ako od nule oduzmete pozitivan broj, rezultat će biti suprotan negativan broj: .
1. Oba broja mogu biti pozitivna, a već ih znamo zbrajati: .
2. Oba broja mogu biti negativna.
Već smo obradili zbrajanje brojeva poput ovih u prethodnoj lekciji, ali provjerimo razumijemo li što s njima učiniti. Na primjer: .
Da biste pronašli ovaj zbroj, zbrojite suprotne pozitivne brojeve i stavite znak minus.
3. Jedan broj može biti pozitivan, a drugi negativan.
Ako nam odgovara, zbrajanje negativnog broja možemo zamijeniti oduzimanjem pozitivnog: .
Još jedan primjer: . Opet zapisujemo iznos kao razliku. Veći broj možete oduzeti od manjeg broja tako da od većeg oduzmete manji broj, ali koristeći znak minus.
Možemo zamijeniti pojmove: .
Još jedan sličan primjer: .
U svim slučajevima rezultat je oduzimanje.
Kako bismo ukratko formulirali ova pravila, prisjetimo se još jednog pojma. Suprotni brojevi, naravno, nisu međusobno jednaki. Ali bilo bi čudno ne primijetiti što im je zajedničko. Ovo smo nazvali uobičajenim modulni broj. Modul suprotnih brojeva je isti: za pozitivan broj jednak je samom broju, a za negativan broj jednak je suprotnom, pozitivnom. Na primjer: , .
Da biste zbrojili dva negativna broja, morate zbrojiti njihove module i staviti znak minus:
Za zbrajanje negativnog i pozitivnog broja potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul i staviti predznak broja uz veći modul:
Oba broja su negativna, stoga zbrajamo njihove module i stavljamo znak minus:
Dva broja s različitim predznakom, dakle, od modula broja (većeg modula) oduzimamo modul broja i stavljamo znak minus (predznak broja s većim modulom):
Dva broja s različitim predznakom, dakle, od modula broja (većeg modula) oduzimamo modul broja i stavljamo znak minus (predznak broja s većim modulom): .
Dva broja s različitim predznakom, dakle, od modula broja (većeg modula) oduzimamo modul broja i stavljamo znak plus (predznak broja s većim modulom): .
Pozitivni i negativni brojevi kroz povijest su imali različite uloge.
Prvo smo ušli cijeli brojevi za brojanje predmeta:
Zatim smo uveli druge pozitivne brojeve - razlomke, za brojanje necijelih veličina, dijelova: .
Negativni brojevi pojavili su se kao alat za pojednostavljenje izračuna. Nije bilo količina u životu koje ne bismo mogli prebrojati, pa smo izmislili negativne brojeve.
Odnosno, negativni brojevi nisu proizašli iz stvarnog svijeta. Pokazalo se da su toliko zgodni da su na nekim mjestima pronašli primjenu u životu. Na primjer, često čujemo o negativnim temperaturama. Međutim, nikada ne nailazimo na negativan broj jabuka. Koja je razlika?
Razlika je u tome što se u životu negativne količine koriste samo za usporedbu, ali ne i za količine. Ako hotel ima podrum i tamo je ugrađeno dizalo, tada se može pojaviti minus prvi kat kako bi se održalo uobičajeno numeriranje redovnih katova. Ovaj prvi minus znači samo jedan kat ispod razine zemlje (vidi sliku 1).
Riža. 4. Minus prvi i minus drugi kat
Negativna temperatura je negativna samo u usporedbi s nulom, koju je odabrao autor ljestvice Anders Celsius. Postoje i druge ljestvice i tu ista temperatura možda više nije negativna.
Istovremeno, razumijemo da je nemoguće promijeniti početnu točku tako da ne bude pet jabuka, već šest. Tako se u životu pozitivnim brojevima određuju količine (jabuke, kolač).
Također ih koristimo umjesto imena. Svaki telefon može dobiti svoje ime, ali je broj imena ograničen i nema brojeva. Zato koristimo telefonske brojeve. Također za naručivanje (stoljeće za stoljećem).
Negativni brojevi u životu koriste se u drugom smislu (minus prvi kat ispod nule i prvi katovi)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. "Gimnazija", 2006. (monografija).
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. M.: Obrazovanje, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5.-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-govornik za 5.-6 Srednja škola. M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Domaća zadaća
U ovoj lekciji ćemo naučiti zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva, kao i pravila za njihovo zbrajanje i oduzimanje.
Podsjetimo se da su cijeli brojevi pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0. Na primjer, sljedeći brojevi su cijeli brojevi:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitivni brojevi su jednostavni, i. Nažalost, to se ne može reći za negativne brojeve, koji mnoge početnike zbunjuju svojim minusima ispred svakog broja. Kao što praksa pokazuje, pogreške nastale zbog negativnih brojeva najviše frustriraju učenike.
Sadržaj lekcijePrimjeri zbrajanja i oduzimanja cijelih brojeva
Prvo što biste trebali naučiti je zbrajati i oduzimati cijele brojeve pomoću koordinatne crte. Uopće nije potrebno crtati koordinatnu liniju. Dovoljno je to zamisliti u svojim mislima i vidjeti gdje se nalaze negativni brojevi, a gdje pozitivni.
Razmotrimo najjednostavniji izraz: 1 + 3. Vrijednost ovog izraza je 4:
Ovaj primjer se može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti tri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 4. Na slici možete vidjeti kako se to događa:
Znak plus u izrazu 1 + 3 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Primjer 2. Nađimo vrijednost izraza 1 − 3.
Vrijednost ovog izraza je −2
Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi broj 1, morate se pomaknuti ulijevo tri koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na točki gdje se nalazi negativni broj −2. Na slici možete vidjeti kako se to događa:
Znak minus u izrazu 1 − 3 govori nam da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru pada brojeva.
Općenito, morate zapamtiti da ako se izvrši dodavanje, tada se morate pomaknuti udesno u smjeru povećanja. Ako se izvrši oduzimanje, tada se morate pomaknuti ulijevo u smjeru smanjenja.
Primjer 3. Odredi vrijednost izraza −2 + 4
Vrijednost ovog izraza je 2
Ovaj primjer se opet može razumjeti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke u kojoj se nalazi negativni broj −2 potrebno se pomaknuti četiri koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se u točki gdje se nalazi pozitivni broj 2.
Vidi se da smo se pomaknuli od točke u kojoj se nalazi negativni broj −2 do desna stranačetiri koraka, i završila na mjestu gdje se nalazi pozitivni broj 2.
Znak plus u izrazu −2 + 4 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Primjer 4. Odredi vrijednost izraza −1 − 3
Vrijednost ovog izraza je −4
Ovaj se primjer opet može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke u kojoj se nalazi negativni broj −1 potrebno se pomaknuti ulijevo tri koraka. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi negativni broj −4
Vidi se da smo se pomaknuli od točke u kojoj se nalazi negativni broj −1 do lijeva strana tri koraka, i završila na mjestu gdje se nalazi negativni broj −4.
Znak minus u izrazu −1 − 3 govori nam da se trebamo pomaknuti ulijevo u smjeru pada brojeva.
Primjer 5. Odredi vrijednost izraza −2 + 2
Vrijednost ovog izraza je 0
Ovaj primjer se može riješiti pomoću koordinatne linije. Da biste to učinili, od točke gdje se nalazi negativni broj −2 potrebno je pomaknuti se dva koraka udesno. Kao rezultat toga, naći ćemo se na mjestu gdje se nalazi broj 0
Vidi se da smo se od točke u kojoj se nalazi negativni broj −2 pomaknuli na desnu stranu za dva koraka i završili na točki u kojoj se nalazi broj 0.
Znak plus u izrazu −2 + 2 nam govori da se trebamo pomaknuti udesno u smjeru povećanja brojeva.
Pravila za zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva
Za zbrajanje ili oduzimanje cijelih brojeva uopće nije potrebno svaki put zamisliti koordinatnu liniju, a još manje je crtati. Pogodnije je koristiti gotova pravila.
Pri primjeni pravila potrebno je paziti na predznak operacije i predznake brojeva koji se zbrajaju ili oduzimaju. To će odrediti koje pravilo primijeniti.
Primjer 1. Odredi vrijednost izraza −2 + 5
Ovdje se pozitivan broj dodaje negativnom broju. Drugim riječima, zbrajaju se brojevi s različitim predznacima. −2 je negativan broj, a 5 je pozitivan broj. Za takve slučajeve vrijedi sljedeće pravilo:
Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul, a ispred dobivenog odgovora staviti znak broja čiji je modul veći.
Dakle, da vidimo koji je modul veći:
Modul broja 5 veći je od modula broja −2. Pravilo zahtijeva oduzimanje manjeg od većeg modula. Dakle, od 5 moramo oduzeti 2, a ispred dobivenog odgovora staviti znak broja čiji je modul veći.
Broj 5 ima veći modul, pa će predznak ovog broja biti u odgovoru. Odnosno, odgovor će biti pozitivan:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Obično se piše kraće: −2 + 5 = 3
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza 3 + (−2)
Ovdje se, kao iu prethodnom primjeru, dodaju brojevi s različitim predznacima. 3 je pozitivan broj, a −2 je negativan broj. Imajte na umu da je −2 u zagradama kako bi izraz bio jasniji. Ovaj izraz je puno lakše razumjeti od izraza 3+−2.
Dakle, primijenimo pravilo zbrajanja brojeva s različitim predznacima. Kao i u prethodnom primjeru, oduzimamo manji modul od većeg modula i ispred odgovora stavljamo predznak broja čiji je modul veći:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
Modul broja 3 veći je od modula broja −2, pa smo od 3 oduzeli 2, a ispred dobivenog odgovora stavili predznak broja čiji je modul veći. Broj 3 ima veći modul, zbog čega je predznak ovog broja uključen u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.
Obično se piše kraće 3 + (−2) = 1
Primjer 3. Odredi vrijednost izraza 3 − 7
U ovom izrazu se veći broj oduzima od manjeg broja. U tom slučaju vrijedi sljedeće pravilo:
Da biste od manjeg broja oduzeli veći broj, potrebno je od većeg broja oduzeti manji broj, a ispred dobivenog odgovora staviti minus.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Postoji mala začkoljica u ovom izrazu. Podsjetimo se da se znak jednakosti (=) stavlja između veličina i izraza kada su međusobno jednaki.
Vrijednost izraza 3 − 7 je, kako smo naučili, −4. To znači da sve transformacije koje ćemo izvesti u ovom izrazu moraju biti jednake −4
Ali vidimo da u drugom stupnju postoji izraz 7 − 3, koji nije jednak −4.
Da biste ispravili ovu situaciju, izraz 7 − 3 stavite u zagradu i stavite minus ispred ove zagrade:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
U ovom slučaju, jednakost će se promatrati u svakoj fazi:
Nakon što je izraz izračunat, zagrade se mogu ukloniti, što smo i učinili.
Dakle, da budemo precizniji, rješenje bi trebalo izgledati ovako:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Ovo pravilo se može napisati pomoću varijabli. Izgledat će ovako:
a − b = − (b − a)
Velik broj zagrada i znakova operacija može otežati rješavanje naizgled jednostavnog zadatka, pa je preporučljivije takve primjere naučiti kratko pisati, npr. 3 − 7 = − 4.
Zapravo, zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva svodi se samo na zbrajanje. To znači da ako trebate oduzimati brojeve, ovu operaciju možete zamijeniti zbrajanjem.
Dakle, upoznajmo se s novim pravilom:
Oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje umanjeniku broja koji je suprotan broju koji se oduzima.
Na primjer, razmotrimo najjednostavniji izraz 5 − 3. On početne faze proučavajući matematiku, stavili smo znak jednakosti i zapisali odgovor:
Ali sada napredujemo u učenju, pa se moramo prilagoditi novim pravilima. Novo pravilo kaže da oduzimanje jednog broja od drugog znači dodavanje manjem broju istog broja kao i oduzetom.
Pokušajmo razumjeti ovo pravilo na primjeru izraza 5 − 3. Umanjenik u ovom izrazu je 5, a umanjenik je 3. Pravilo kaže da da biste oduzeli 3 od 5, trebate dodati 5 broj koji je suprotan od 3. Suprotan broj od broja 3 je −3 . Napišimo novi izraz:
I već znamo kako pronaći značenje za takve izraze. Ovo je zbrajanje brojeva s različitim predznacima, koje smo ranije pogledali. Za zbrajanje brojeva s različitim predznacima oduzimamo manji modul od većeg modula, a ispred dobivenog odgovora stavljamo predznak broja čiji je modul veći:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
Modul broja 5 veći je od modula broja −3. Stoga smo od 5 oduzeli 3 i dobili 2. Broj 5 ima veći modul, pa smo predznak tog broja stavili u odgovor. Odnosno, odgovor je pozitivan.
U početku nije svatko u stanju brzo zamijeniti oduzimanje zbrajanjem. To je zato što se pozitivni brojevi pišu bez znaka plus.
Na primjer, u izrazu 3 − 1, znak minus koji označava oduzimanje je znak operacije i ne odnosi se na njega. Jedinica u u ovom slučaju je pozitivan broj i ima svoj znak plus, ali ga ne vidimo, jer se plus ne piše ispred pozitivnih brojeva.
Stoga, radi jasnoće, ovaj se izraz može napisati na sljedeći način:
(+3) − (+1)
Radi praktičnosti, brojevi sa svojim predznakom stavljeni su u zagrade. U ovom slučaju, zamjena oduzimanja sa zbrajanjem je mnogo lakša.
U izrazu (+3) − (+1), broj koji se oduzima je (+1), a suprotni broj je (−1).
Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem i umjesto oduzetika (+1) napišimo suprotni broj (−1)
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daljnji izračuni neće biti teški.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
Na prvi pogled moglo bi se činiti kakva je svrha ovih dodatnih pokreta ako možete starom dobrom metodom staviti znak jednakosti i odmah zapisati odgovor 2. Zapravo, ovo pravilo će nam pomoći više puta.
Riješimo prethodni primjer 3 − 7 pomoću pravila oduzimanja. Prvo dovedimo izraz u jasan oblik, dodijelivši svakom broju svoje znakove.
Tri ima znak plus jer je to pozitivan broj. Znak minus koji označava oduzimanje ne odnosi se na sedam. Sedam ima znak plus jer je pozitivan broj:
Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daljnji izračun nije težak:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Primjer 7. Odredi vrijednost izraza −4 − 5
Opet imamo operaciju oduzimanja. Ova se operacija mora zamijeniti zbrajanjem. Umanjeniku (−4) dodamo broj nasuprot oduzetom (+5). Suprotan broj za subtrahend (+5) je broj (−5).
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Došli smo u situaciju da trebamo zbrajati negativne brojeve. Za takve slučajeve vrijedi sljedeće pravilo:
Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora.
Dakle, zbrojimo module brojeva, kao što pravilo nalaže, i stavimo minus ispred dobivenog odgovora:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Unos s modulima mora biti u zagradama, a ispred tih zagrada znak minus. Na ovaj način ćemo dati minus koji bi trebao biti ispred odgovora:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Rješenje za ovaj primjer može se ukratko napisati:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
ili još kraće:
−4 − 5 = −9
Primjer 8. Odredi vrijednost izraza −3 − 5 − 7 − 9
Dovedimo izraz do jasnog oblika. Ovdje su svi brojevi osim −3 pozitivni, pa će imati predznake plus:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Zamijenimo oduzimanja sa zbrajanjem. Svi minusi, osim minusa ispred trojke, promijenit će se u pluseve, a svi pozitivni brojevi u suprotnost:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Sada primijenimo pravilo zbrajanja negativnih brojeva. Za zbrajanje negativnih brojeva potrebno je zbrojiti njihove module i staviti minus ispred dobivenog odgovora:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Rješenje ovog primjera može se ukratko napisati:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
ili još kraće:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Primjer 9. Odredi vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7
Dovedimo izraz u jasan oblik:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Ovdje postoje dvije operacije: zbrajanje i oduzimanje. Zbrajanje ostavljamo nepromijenjeno, a oduzimanje zamjenjujemo zbrajanjem:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Promatrajući, izvodit ćemo redom svaku radnju na temelju prethodno naučenih pravila. Unosi s modulima mogu se preskočiti:
Prva akcija:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
Druga radnja:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Treća radnja:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Četvrta akcija:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Dakle, vrijednost izraza −10 + 6 − 15 + 11 − 7 je −15
Bilješka. Uopće nije potrebno dovoditi izraz u razumljiv oblik stavljanjem brojeva u zagrade. Kada dođe do navikavanja na negativne brojeve, ovaj se korak može preskočiti jer oduzima puno vremena i može biti zbunjujući.
Dakle, da biste zbrajali i oduzimali cijele brojeve, morate zapamtiti sljedeća pravila:
Pridružite nam se nova grupa VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
