Ciljevi lekcije:
- obrazovni: osposobljavanje u rješavanju sustava jednadžbi koji sadrže homogenu jednadžbu, simetričnih sustava jednadžbi;
- razvijanje: razvoj razmišljanja, pažnje, pamćenja, sposobnost isticanja glavne stvari;
- obrazovni: razvoj komunikacijskih vještina.
Vrsta lekcije: lekcija u učenju novog gradiva.
Korištene tehnologije učenja:
- Rad u skupinama;
- projektna metoda.
Oprema: računalo, multimedijski projektor.
Tjedan dana prije sata učenici dobivaju teme kreativnih zadataka (po opcijama).
Opcija I. Simetrični sustavi jednadžbi. Rješenja.
Opcija II. Sustavi koji sadrže homogenu jednadžbu. Rješenja.
Svaki učenik, koristeći dodatnu nastavnu literaturu, mora pronaći odgovarajući nastavni materijal, odabrati sustav jednadžbi i riješiti ga.
Po jedan učenik iz svake opcije izrađuje multimedijske prezentacije na temu kreativnog zadatka. Nastavnik, po potrebi, daje konsultacije za učenike.
I. Motivacija odgojno-obrazovnih aktivnosti učenika
Uvodni govor nastavnika
U prethodnoj lekciji razmatrali smo rješavanje sustava jednadžbi zamjenom nepoznanica. Ne postoji opće pravilo za odabir novih varijabli. Međutim, dvije vrste sustava jednadžbi mogu se razlikovati kada postoji razuman izbor varijabli:
- simetrični sustavi jednadžbi;
- sustava jednadžbi, od kojih je jedna homogena.
II. Učenje novog gradiva
Učenici opcije II izvještavaju o domaćoj zadaći.
1. Demonstracija slajdova multimedijske prezentacije "Sustavi koji sadrže homogenu jednadžbu" (prezentacija 1).
2. Rad u parovima učenika koji sjede za istim stolom: učenik II. opcije objašnjava susjedu na stolu rješenje sustava koji sadrži homogenu jednadžbu.
Izvještaj učenika I. opcije.
1. Demonstracija slajdova multimedijske prezentacije "Simetrični sustavi jednadžbi" (prezentacija 2).
Učenici zapisuju u bilježnicu:
2. Rad u parovima učenika koji sjede za istim stolom: učenik I. opcije objašnjava susjedu na stolu rješenje simetričnog sustava jednadžbi.
III. Učvršćivanje proučenog gradiva
Rad u grupama (učenici koji sjede za susjednim stolovima ujedinjeni su u grupu od 4 učenika).
Svaka od 6 grupa obavlja sljedeći zadatak.
Odredite vrstu sustava i riješite ga:
Učenici u grupama analiziraju sustave, određuju njihovu vrstu, zatim tijekom frontalnog rada raspravljaju o rješenjima sustava.
a) sustav
simetrično, uvodimo nove varijable x + y = u, xy = v
b) sustav
sadrži homogenu jednadžbu.
Par brojeva (0; 0) nije rješenje sustava.
IV... Kontrola znanja učenika
Samostalan rad na opcijama.
Riješite sustav jednadžbi:
Učenici predaju vježbenice učitelju na provjeru.
V. Domaća zadaća
1. Ispunjavaju svi učenici.
Riješite sustav jednadžbi:
2. "Jaki" učenici to rade.
Riješite sustav jednadžbi:
Vi. Sažetak lekcije
pitanja:
Koje ste vrste sustava jednadžbi upoznali na satu?
Koja se metoda rješavanja sustava jednadžbi koristi za njihovo rješavanje?
Komuniciranje ocjena koje su učenici dobili tijekom sata.
Početna> RješenjeRacionalne jednadžbe i nejednakosti
I. Racionalne jednadžbe.
Linearne jednadžbe.
Sustavi linearnih jednadžbi.
Refleksne jednadžbe.
Vietina formula za polinome višeg stupnja.
Sustavi jednadžbi drugog stupnja.
Metoda uvođenja novih nepoznanica pri rješavanju jednadžbi i sustava jednadžbi.
Homogene jednadžbe.
Rješenje simetričnih sustava jednadžbi.
Jednadžbe i sustavi jednadžbi s parametrima.
Grafička metoda za rješavanje sustava nelinearnih jednadžbi.
Jednadžbe koje sadrže znak modula.
Osnovne metode rješavanja racionalnih jednadžbi
II. Racionalne nejednakosti.
Svojstva ekvivalentnih nejednakosti.
Algebarske nejednakosti.
Metoda intervala.
Razlomke racionalne nejednakosti.
Nejednadžbe koje sadrže nepoznanicu pod apsolutnom vrijednošću.
Nejednakosti s parametrima.
Sustavi racionalnih nejednakosti.
Grafičko rješenje nejednačina.
III. Test provjere.
Racionalne jednadžbe
Funkcija pregleda
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,
gdje je n prirodan broj, a 0, a 1,..., a n su neki realni brojevi, naziva se cijela racionalna funkcija.
Jednadžba oblika P (x) = 0, gdje je P (x) cijela racionalna funkcija, naziva se cijela racionalna jednadžba.
Jednadžba oblika
P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) +… + P m (x) / Q m (x) = 0,
gdje su P 1 (x), P 2 (x),..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x),..., Q m (x) cijele racionalne funkcije, naziva se racionalna jednadžba .
Rješavanje racionalne jednadžbe P (x) / Q (x) = 0, gdje su P (x) i Q (x) polinomi (Q (x) 0), svodi se na rješavanje jednadžbe P (x) = 0 i provjeravajući da li korijeni zadovoljavaju uvjet Q (x) 0.
Linearne jednadžbe.
Jednadžbe oblika ax + b = 0, gdje su a i b neke konstante, naziva se linearna jednadžba.
Ako je a0, tada linearna jednadžba ima jedan korijen: x = -b / a.
Ako je a = 0; b0, tada linearna jednadžba nema rješenja.
Ako je a = 0; b = 0, dakle, prepisivanjem izvorne jednadžbe u obliku ax = -b, lako je vidjeti da je bilo koji x rješenje linearne jednadžbe.
Jednadžba ravne linije ima oblik: y = ax + b.
Ako pravac prolazi kroz točku s koordinatama X 0 i Y 0, tada te koordinate zadovoljavaju jednadžbu ravne, odnosno Y 0 = aX 0 + b.
Primjer 1.1... Riješite jednadžbu
2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.
Riješenje. Proširite zagrade uzastopce, dajte slične pojmove i pronađite x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,
Primjer 1.2. Riješite jednadžbu
2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.
Riješenje. 2x + 2x - 4x = 3 + 2 - 4 - 7, 0x = - 6.
Odgovor: .
Primjer 1.3... Riješite jednadžbu.
2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.
Riješenje. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,
- 4x + 9 = 9 - 4x,
4x + 4x = 9 - 9,
Odgovor: Bilo koji broj.
Sustavi linearnih jednadžbi.
Jednadžba oblika
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b,
gdje su a 1, b 1,…, a n, b neke konstante, naziva se linearna jednadžba s n nepoznanica x 1, x 2,…, x n.
Sustav jednadžbi naziva se linearnim ako su sve jednadžbe uključene u sustav linearne. Ako se sustav sastoji od n nepoznanica, moguća su sljedeća tri slučaja:
sustav nema rješenja;
sustav ima točno jedno rješenje;
sustav ima beskonačno mnogo rješenja.
Primjer 2.4. riješiti sustav jednadžbi
Riješenje. Sustav linearnih jednadžbi može se riješiti metodom supstitucije, koja se sastoji u tome da se neka jednadžba sustava izrazi jednom nepoznanicom u terminima drugih nepoznanica, a zatim se vrijednost te nepoznanice supstituira u ostale jednadžbe .
Iz prve jednadžbe izražavamo: x = (8 - 3y) / 2. Ovaj izraz zamijenimo drugom jednadžbom i dobivamo sustav jednadžbi
X = (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y = 7. Iz druge jednadžbe dobivamo y = 2. Uzimajući to u obzir, iz prve jednadžbe x = 1. Odgovor: (1 ; 2). Primjer 2.5. Riješiti sustav jednadžbi
Riješenje. Sustav nema rješenja, jer se dvije jednadžbe sustava ne mogu zadovoljiti istovremeno (iz prve jednadžbe x + y = 3, a iz druge x + y = 3,5).
Odgovor: Ne postoje rješenja.
Primjer 2.6. riješiti sustav jednadžbi
Riješenje. Sustav ima beskonačno mnogo rješenja, budući da se druga jednadžba dobiva iz prve množenjem s 2 (tj. zapravo postoji samo jedna jednadžba s dvije nepoznanice).
Odgovor: Postoji beskonačno mnogo rješenja.
Primjer 2.7. riješiti sustav jednadžbi
x + y - z = 2,
2x - y + 4z = 1,
Riješenje. Prilikom rješavanja sustava linearnih jednadžbi prikladno je koristiti Gaussovu metodu, koja se sastoji u transformaciji sustava u trokutasti oblik.
Prvu jednadžbu sustava množimo s - 2 i, zbrajajući ovaj rezultat s drugom jednadžbom, dobivamo - 3y + 6z = - 3. Ova jednadžba se može prepisati kao y - 2z = 1. Dodavanjem prve jednadžbe s trećom , dobivamo 7y = 7, ili y = 1.
Tako je sustav dobio trokutasti oblik
x + y - z = 2,
Zamjenom y = 1 u drugoj jednadžbi nalazimo z = 0. Zamjenom y = 1 i z = 0 u prvoj jednadžbi, nalazimo x = 1 Odgovor: (1; 1; 0) Primjer 2.8. za koje vrijednosti parametra a sustav jednadžbi
2x + ay = a + 2,
(a + 1) x + 2ay = 2a + 4
ima beskonačno mnogo rješenja? Riješenje. Iz prve jednadžbe izražavamo x:
x = - (a / 2) y + a / 2 +1.
Zamjenom ovog izraza u drugu jednadžbu dobivamo
(a + 1) (- (a / 2) y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.
(a + 1) (a + 2 - ay) + 4ay = 4a + 8,
4ay - a (a + 1) y = 4 (a + 2) - (a + 1) (a + 2),
da (4 - a - 1) = (a + 2) (4 - a - 1),
da (3 - a) = (a + 2) (3 - a).
Analizirajući posljednju jednadžbu, primjećujemo da za a = 3 ona ima oblik 0y = 0, tj. ono je zadovoljeno za bilo koju vrijednost y. Odgovor: 3.
Kvadratne jednadžbe i jednadžbe koje se na njih svode.
Jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b i c neki brojevi (a0);
x je varijabla koja se zove kvadratna jednadžba.
Formula za rješavanje kvadratne jednadžbe.
Prvo, podijelimo obje strane jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 s a - to neće promijeniti njezine korijene. Za rješavanje rezultirajuće jednadžbe
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
odaberite cijeli kvadrat na lijevoj strani
x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =
= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2 )).
Radi kratkoće, izraz (b 2 - 4ac) označavamo s D. Tada rezultirajući identitet poprima oblik
Moguća su tri slučaja:
ako je broj D pozitivan (D> 0), tada u ovom slučaju možemo izdvojiti kvadratni korijen od D i napisati D u obliku D = (D) 2. Zatim
D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, stoga identitet ima oblik
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2.
Koristeći formulu za razliku kvadrata, izvlačimo odavde:
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a) - (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =
= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).
Teorema: Ako je identitet
ax 2 + bx + c = a (x - x 1) (x - x 2),
tada kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0 za X 1 X 2 ima dva korijena X 1 i X 2, a za X 1 = X 2 ima samo jedan korijen X 1.
Na temelju ovog teorema, iz gornjeg identiteta slijedi da je jednadžba
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,
i stoga jednadžba ax 2 + bx + c = 0, ima dva korijena:
X 1 = (- b + D) / 2a; X 2 = (-b - D) / 2a.
Dakle, x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x - x1) (x - x2).
Obično su ovi korijeni napisani u jednoj formuli:
gdje je b 2 - 4ac = D.
ako je broj D jednak nuli (D = 0), tada je identitet
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
poprima oblik x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.
Otuda slijedi da za D = 0 jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima jedan korijen višestrukosti 2: X 1 = - b / 2a
3) Ako je broj D negativan (D< 0), то – D >0, a time i izraz
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))
je zbroj dva člana, od kojih je jedan nenegativan, a drugi pozitivan. Ovaj zbroj ne može biti nula, pa jednadžba
x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0
nema valjanih korijena. Nema ih ni jednadžba ax 2 + bx + c = 0.
Dakle, da bi se riješila kvadratna jednadžba, treba izračunati diskriminant
D = b 2 - 4ac.
Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedinstveno rješenje:
Ako je D> 0, tada kvadratna jednadžba ima dva korijena:
X 1 = (- b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).
Ako je D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Ako je jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se kvadratna jednadžba može riješiti bez izračunavanja diskriminanta:
b = 0; c 0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)
b 0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b / a.
Korijeni opće kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 nalaze se po formuli
Kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent kod x 2 1 naziva se reduciranom. Obično se redukovana kvadratna jednadžba označava na sljedeći način:
x 2 + px + q = 0.
Vietin teorem.
Odlučili smo o identitetu
x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x - x1) (x - x2),
gdje su X 1 i X 2 korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0. Proširimo zagrade na desnoj strani ovog identiteta.
x 2 + (b / a) x + (c / a) = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2.
Iz toga slijedi da je X 1 + X 2 = - b / a i X 1 X 2 = c / a. Dokazali smo sljedeći teorem, koji je prvi postavio francuski matematičar F. Viet (1540. - 1603.):
Teorem 1 (Vieta). Zbroj korijena kvadratne jednadžbe jednak je koeficijentu na X, uzetom s suprotnim predznakom i podijeljenom s koeficijentom na X 2; umnožak korijena ove jednadžbe jednak je slobodnom članu podijeljenom s koeficijentom na X 2.
Teorem 2 (obratno). Ako vrijede jednakosti
X 1 + X 2 = - b / a i X 1 X 2 = c / a,
tada su brojevi X 1 i X 2 korijeni kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0.
Komentar. Formule X 1 + X 2 = - b / a i X 1 X 2 = c / a ostaju istinite i u slučaju kada jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima jedan korijen X 1 višestrukosti 2, ako stavimo X 2 = X 1. Stoga je općenito prihvaćeno da za D = 0 jednadžba ax 2 + bx + c = 0 ima dva korijena koji se međusobno podudaraju.
Prilikom rješavanja problema vezanih uz Vietin teorem, korisno je koristiti relacije
(1 / X 1) + (1 / X 2) = (X 1 + X 2) / X 1 X 2;
X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;
X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;
X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =
= (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).
Primjer 3.9. Riješite jednadžbu 2x2 + 5x - 1 = 0.
Riješenje. D = 25 - 42 (- 1) = 33> 0;
X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Odgovor: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.
Primjer 3.10. Riješite jednadžbu x 3 - 5x 2 + 6x = 0
Riješenje. Faktorirajte lijevu stranu jednadžbe x (x 2 - 5x + 6) = 0,
dakle x = 0 ili x 2 - 5x + 6 = 0.
Rješavajući kvadratnu jednadžbu, dobivamo X 1 = 2, X 2 = 3.
Odgovor: 0; 2; 3.
Primjer 3.11.
x 3 - 3x + 2 = 0. Rješenje. Prepišite jednadžbu tako što ćete napisati –3x = - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 = 0, a sada grupa x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) = 0, (x - 1) ( x ( x + 1) - 2) = 0, x - 1 = 0, x 1 = 1, x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1 Odgovor: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Primjer 3.12. Riješi jednadžbu 7
(x - 1) (x - 3) (x - 4)
(2x - 7) (x + 2) (x - 6) Rješenje. Nađimo raspon dopuštenih vrijednosti x: X + 2 0; x - 6 0; 2x - 7 0 ili x - 2; x 6; x 3.5 Smanjite jednadžbu na oblik (7x - 14) (x 2 - 7x + 12) = (14 - 4x) (x 2 - 4x - 12), otvorite zagrade. 7x 3 - 49x 2 + 84x - 14x 2 + 98x - 168 + 4x 3 - 16x 2 - 48x - 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 - 93x 2 + 190x = 0, x (11x 2 - 93x + 190) = 0,19x + 190 = 0,93 (8649 - 8360) 93 17 x 2,3 = =,
Oni. x 1 = 5; x 2 = 38/11.
Pronađene vrijednosti zadovoljavaju ODZ.
Odgovor: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38/11.
Primjer 3.13. Riješite jednadžbu x 6 - 5x 3 + 4 = 0
Riješenje. Označimo y = x 3, tada izvorna jednadžba poprima oblik
y 2 - 5y + 4 = 0, nakon što smo ga riješili dobivamo Y 1 = 1; Y 2 = 4.
Dakle, izvorna jednadžba je ekvivalentna skupu
jednadžbe: x 3 = 1 ili x 3 = 4, tj. X 1 = 1 ili X 2 = 3 4
Odgovor: 1; 3 4.
Primjer 3.14. Riješite jednadžbu (x 3 - 27) / (x - 3) = 27
Riješenje. Faktorizirajmo brojnik (koristeći formulu za razliku između kocki):
izvješćeZnanstveni savjetnik: Kulabukhov Sergej Yurievich, kandidat fizikalnih i matematičkih znanosti, nastavnik dodatnog obrazovanja MOU DOD DTDiM, Rostov-na-Donu.
1.
Jednadžbe se nazivaju simetrične jednadžbe 3. stupnja ako imaju formu
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.
Za uspješno rješavanje ovakvih jednadžbi korisno je poznavati i znati koristiti sljedeća najjednostavnija svojstva rekurentnih jednadžbi:
a) Svaka povratna jednadžba neparnog stupnja uvijek ima korijen jednak -1.
Doista, ako grupiramo članove s lijeve strane na sljedeći način: a (x 3 + 1) + bx (x + 1) = 0, to jest, moguće je izvaditi zajednički faktor, t.j. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) = 0, dakle,
x + 1 = 0 ili ax 2 + (b - a) x + a = 0, prva jednadžba dokazuje tvrdnju koja nas zanima.
b) Povratna jednadžba nema korijen jednak nuli.
v) Kada se polinom neparnog stupnja podijeli s (x + 1), kvocijent je opet rekurentni polinom, a to se dokazuje indukcijom.
Primjer.
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.
Riješenje.
Izvorna jednadžba mora imati korijen x = -1, pa dijelimo x 3 + 2x 2 + 2x + 1 s (x + 1) prema Hornerovoj shemi:
| . |
1 |
2 |
2 |
1 |
| -1 |
1 |
2 – 1 = 1 | 2 – 1 = 1 | 1 – 1 = 0 |
x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.
Kvadratna jednadžba x 2 + x + 1 = 0 nema korijena.
Odgovor: -1.
2.
Jednadžbe se nazivaju simetrične jednadžbe 4. stupnja ako imaju formu
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.
Algoritam za rješavanje slične jednadžbe su sljedeće:
a) Podijelite obje strane izvorne jednadžbe s x 2. Ova akcija neće dovesti do gubitka korijena, jer x = 0 nije rješenje zadane jednadžbe.
b) Koristeći grupiranje, dovedite jednadžbu u oblik:
a (x 2 + 1 / x 2) + b (x + 1 / x) + c = 0.
v) Unesite novu nepoznanicu: t = (x + 1 / x).
Napravimo transformacije: t 2 = x 2 + 2 + 1 / x 2. Ako sada izrazimo x 2 + 1 / x 2, tada je t 2 - 2 = x 2 + 1 / x 2.
G) Riješi rezultirajuću kvadratnu jednadžbu u novim varijablama:
na 2 + bt + c - 2a = 0.
e) Obrnuta zamjena.
Primjer.
6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.
Riješenje.
6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 = 0.
6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 = 0.
Unesite t: zamjena (x + 1 / x) = t. Zamjena: (x 2 + 1 / x 2) = t 2 - 2, imamo:
6t 2 - 5t - 50 = 0.
t = -5/2 ili t = 10/3.
Vratimo se na varijablu x. Nakon obrnute zamjene rješavamo dvije dobivene jednadžbe:
1) x + 1 / x = -5/2;
x 2 + 5/2 x +1 = 0;
x = -2 ili x = -1/2.
2) x + 1 / x = 10/3;
x 2 - 10/3 x + 1 = 0;
x = 3 ili x = 1/3.
Odgovor: -2; -1/2; 1/3; 3.
Metode rješavanja nekih vrsta jednadžbi viših stupnjeva
1. Jednadžbe koje imaju oblik (x + a) n + (x + b) n = c, rješavaju se zamjenom t = x + (a + b) / 2. Ova metoda se zove metoda simetrije.
Primjer takve jednadžbe bila bi jednadžba oblika (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.
Primjer.
(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.
Riješenje.
Izvodimo gore navedenu zamjenu:
t = x + (3 + 1) / 2 = x + 2, nakon pojednostavljenja: x = t - 2.
(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.
(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.
Uklanjanjem zagrada pomoću formula, dobivamo:
t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.
2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.
t 4 + 6t 2 - 135 = 0.
t 2 = 9 ili t 2 = -15.
Druga jednadžba ne daje korijene, ali iz prve imamo t = ± 3.
Nakon obrnute zamjene, dobivamo da je x = -5 ili x = 1.
Odgovor: -5; jedan.
Za rješavanje takvih jednadžbi često se pokaže učinkovitim i metoda faktoriranja lijeve strane jednadžbe.
2. Jednadžbe oblika (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = A, gdje je a + d = c + b.
Tehnika rješavanja takvih jednadžbi je djelomično otvaranje zagrada, a zatim uvođenje nove varijable.
Primjer.
(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.
Riješenje.
Izračunaj: 1 + 4 = 2 + 3. Grupiraj zagrade u parove:
((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,
(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.
Napravivši supstituciju x 2 + 5x + 4 = t, imamo jednadžbu
t (t + 2) = 24, kvadrat je:
t 2 + 2t - 24 = 0.
t = -6 ili t = 4.
Nakon što izvršimo obrnutu zamjenu, lako možemo pronaći korijene izvorne jednadžbe.
Odgovor: -5; 0.
3. Jednadžbe oblika (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = Ax 2, gdje je ad = cb.
Metoda rješenja sastoji se u djelomičnom otvaranju zagrada, dijeljenju oba dijela s x 2 i rješavanju skupa kvadratnih jednadžbi.
Primjer.
(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.
Riješenje.
Množenjem prve dvije i zadnje dvije zagrade s lijeve strane dobivamo:
(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Dijelimo s x 2 ≠ 0.
(x + 14 + 24 / x) (x + 11 + 24 / x) = 4. Zamjenom (x + 24 / x) = t dolazimo do kvadratne jednadžbe:
(t + 14) (t + 11) = 4;
t 2 + 25x + 150 = 0.
t = 10 ili t = 15.
Obrnutom zamjenom x + 24 / x = 10 ili x + 24 / x = 15, nalazimo korijene.
Odgovor: (-15 ± √129) / 2; -4; -6.
4.
Riješite jednadžbu (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.
Riješenje.
Ovu jednadžbu je teško odmah klasificirati i odabrati metodu rješenja. Stoga prvo transformiramo pomoću razlike kvadrata i razlike kocki:
((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Zatim, nakon uklanjanja zajedničkog faktora, dolazimo do jednostavne jednadžbe:
(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.
Odgovor: -5; -9 ± √33.
Zadatak.
Napišite polinom stupnja 3 s jednim korijenom jednakim 4, višestrukom 2 i korijenom jednakim -2.
Riješenje.
f (x) / ((x - 4) 2 (x + 2)) = q (x) ili f (x) = (x - 4) 2 (x + 2) q (x).
Množenjem prve dvije zagrade i dovođenjem sličnih pojmova dobivamo: f (x) = (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).
x 3 - 6x 2 + 32 je polinom trećeg stupnja, dakle, q (x) je neki broj iz R(tj. valjano). Neka je q (x) jedan, tada je f (x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Odgovor: f (x) = x 3 - 6x 2 + 32.
Imate još pitanja? Niste sigurni kako riješiti jednadžbe?
Da biste dobili pomoć od učitelja -.
Prva lekcija je besplatna!
blog., uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.
Uvod
Simetrija ... je ideja kroz koju je čovjek kroz stoljeća pokušavao shvatiti i stvoriti red, ljepotu i savršenstvo.
Koncept simetrije prolazi kroz cijelu povijest čovječanstva. Nalazi se već u izvorima ljudskog znanja. Nastao je u vezi s proučavanjem živog organizma, odnosno osobe, a koristili su ga kipari još u 5. stoljeću prije Krista. e.
Riječ "simetrija" je grčka. Znači "razmjernost", "srazmjernost", istovjetnost u rasporedu dijelova. Široko ga koriste sva područja moderne znanosti bez iznimke.
Mnogi veliki ljudi razmišljali su o ovom obrascu. Na primjer, Lav Tolstoj je rekao: “Stojeći ispred crne ploče i crtajući kredom različite oblike na njoj, iznenada me je sinula misao: zašto je simetrija jasna oku? Što je simetrija? Ovo je urođen osjećaj. Na čemu se temelji?"
Doista, simetrija je ugodna oku. Tko se nije divio simetriji stvorenja prirode: lišća, cvijeća, ptica, životinja; ili ljudske kreacije: zgrade, tehnologija, - sve što nas okružuje od djetinjstva, ono što teži ljepoti i harmoniji.
Simetrija (starogrč. συμμετρία - "proporcionalnost"), u širem smislu - nepromjenjivost pod bilo kojim transformacijama. Tako, na primjer, sferna simetrija tijela znači da se oblik tijela neće promijeniti ako se rotira u prostoru pod proizvoljnim kutovima (održavajući jednu točku na mjestu). Bilateralna simetrija znači da desna i lijeva strana izgledaju isto u odnosu na bilo koju ravninu.
Sa simetrijom se susrećemo posvuda – u prirodi, tehnologiji, umjetnosti, znanosti. Obratite pažnju, na primjer, na simetriju svojstvenu leptiru i javorovom listu, simetriju automobila i aviona, simetriju u ritmičkoj konstrukciji pjesme i glazbene fraze, simetriju ukrasa i obruba, simetriju atomskog struktura molekula i kristala. Pojam simetrije proteže se kroz čitavu stoljetnu povijest ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već na izvorima ljudskog znanja; široko ga koriste sva područja moderne znanosti bez iznimke. Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, kemiji i biologiji, inženjerstvu i arhitekturi, slikarstvu i kiparstvu, poeziji i glazbi. Zakoni prirode koji upravljaju slikom pojava koje su neiscrpne u svojoj raznolikosti, zauzvrat, pokoravaju se načelima simetrije.
Ciljevi:
Razmotrite vrste i vrste simetrija;
Analizirati kako i gdje se koristi simetrija;
Razmotrite kako se simetrija koristi u školskom tečaju algebre
Simetrija.
Riječ "simetrija" ima dvosmisleno značenje. U jednom smislu, simetrično znači nešto visoko proporcionalno, uravnoteženo; simetrija pokazuje način na koji se mnogi dijelovi spajaju, čime se spajaju u cjelinu. Drugo značenje ove riječi je ravnoteža. Čak je i Aristotel govorio o simetriji kao stanju koje karakterizira omjer ekstrema. Iz ove tvrdnje proizlazi da je Aristotel, možda, bio najbliži otkriću jednog od najosnovnijih zakona prirode - zakona njezine dvojnosti.
Potrebno je istaknuti aspekte bez kojih je simetrija nemoguća:
1) predmet je nositelj simetrije; stvari, procesi, geometrijski oblici, matematički izrazi, živi organizmi itd. mogu djelovati kao simetrični objekti.
2) neki znakovi - količine, svojstva, odnosi, procesi, pojave - predmeta, koji ostaju nepromijenjeni tijekom transformacija simetrije; nazivaju se invarijantnima ili invarijantnima.
3) promjene (predmeta), koje ostavljaju objekt identičnim sebi po nepromjenjivim značajkama; takve promjene nazivaju se transformacijama simetrije;
4) svojstvo objekta da se, prema odabranim značajkama, transformira u sebe nakon njegovih odgovarajućih promjena.
Dakle, simetrija izražava očuvanje nečega uz neke promjene ili očuvanje nečega unatoč promjeni. Simetrija podrazumijeva nepromjenjivost ne samo samog objekta, već i bilo kojeg njegovog svojstva u odnosu na transformacije koje se vrše na objektu. Promjenjivost pojedinih objekata može se uočiti u odnosu na različite operacije - na rotacije, prijenose, međusobnu zamjenu dijelova, refleksije itd. U tom smislu razlikuju se različite vrste simetrije.
Asimetrija
Asimetrija - odsutnost ili kršenje simetrije.
U arhitekturi su simetrija i asimetrija dvije suprotne metode pravilne organizacije prostornog oblika. U procesu razvoja arhitekture nastale su asimetrične kompozicije kao utjelovljenje složenih kombinacija životnih procesa i uvjeta okoline.
Nesimetrija
Narušena, djelomično poremećena simetrija koju nazivamo nesimetrija
.
Disimetrija je raširena pojava u divljini. To je također tipično za ljude. Osoba je disimetrična, unatoč činjenici da obrisi njegovog tijela imaju ravninu simetrije. Disimetrija utječe
bolja kontrola jedne od ruku, u asimetričnom rasporedu srca i mnogih drugih organa, u građi tih organa.
Slične su disimetrije ljudskog tijela i odstupanja od točne simetrije u arhitekturi. Obično su uzrokovane praktičnom nuždom, činjenicom da se raznolikost funkcija ne uklapa u granice krutih zakona simetrije. Ponekad takva odstupanja predstavljaju osnovu za akutni emocionalni učinak.
^ Vrste simetrija koje se nalaze u matematici i prirodnim znanostima:
Bilateralna simetrija- simetrija zrcalne refleksije, u kojoj predmet ima jednu ravninu simetrije, u odnosu na koju su dvije njegove polovice zrcalno simetrične. Kod životinja se bilateralna simetrija očituje u sličnosti ili gotovo potpunoj istovjetnosti lijeve i desne polovice tijela. U tom slučaju uvijek postoje slučajna odstupanja od simetrije (na primjer, razlike u papilarnim linijama, grananje žila Često postoje male, ali pravilne razlike u vanjskoj građi i značajnije razlike između desne i lijeve polovice tijela u mjestu unutarnjih organa.Na primjer, srce u sisavaca obično je asimetrično, pomaknuto ulijevo.
Kod životinja je pojava bilateralne simetrije u evoluciji povezana s puzanjem po podlozi (duž dna rezervoara), u vezi s čime se pojavljuju leđna i trbušna, kao i desna i lijeva polovica tijela. Općenito, među životinjama je bilateralna simetrija izraženija u aktivno pokretnim oblicima nego kod sjedećih biljaka; kod biljaka bilateralna simetrija obično nije cijeli organizam, već njegovi pojedinačni dijelovi - listovi ili cvjetovi. Dvostrano simetrične cvjetove botanika naziva zigomorfnim.
^ Simetrija N-tog reda- simetrija u odnosu na zavoje kroz kut od 360 ° / n oko bilo koje osi. Opisala grupa Zn.
Aksijalna simetrija(radijalna simetrija, radijalna simetrija) je oblik simetrije u kojem se tijelo (ili lik) poklapa sa samim sobom kada se predmet okreće oko određene točke ili ravne linije. Često se ta točka poklapa sa središtem simetrije objekta, odnosno točkom u kojoj
sijeku se beskonačan broj osi bilateralne simetrije. Geometrijski objekti kao što su krug, lopta, cilindar ili stožac imaju radijalnu simetriju. Opisano od strane SO (2) grupe.
^ Sferna simetrija- simetrija s obzirom na rotacije u trodimenzionalnom prostoru pod proizvoljnim kutovima. Opisano od strane SO (3) grupe. Lokalna sferna simetrija prostora ili medija naziva se i izotropijom.
^ Rotacijska simetrija- izraz koji označava simetriju objekta u odnosu na sve ili neke od pravilnih rotacija m-dimenzionalnog euklidskog prostora.
^ Simetrija kod životinja i ljudi.
Simetrija je vitalni znak koji odražava karakteristike strukture, načina života i ponašanja životinje. Ribi je potrebna simetrija da bi plivala; ptica da leti. Dakle, postoji razlog za simetriju u prirodi: ona je također korisna, ili, drugim riječima, svrsishodna. U biologiji centar simetrije je: cvjetovi, meduze, morske zvijezde itd. Prisutnost oblika simetrije se može pratiti čak i kod protozoa – jednostaničnih (cilijati, amebe).Ljudsko tijelo je građeno na principu bilateralne simetrije. Mozak je podijeljen na dvije polovice. U potpunom skladu s općom simetrijom ljudskog tijela, svaka hemisfera je gotovo točna zrcalna slika druge. Kontrola osnovnih pokreta ljudskog tijela i njegovih senzornih funkcija ravnomjerno je raspoređena između dvije hemisfere mozga. Lijeva hemisfera kontrolira desnu stranu mozga, a desna lijevu stranu. Istraživanja su pokazala da je simetrično lice privlačnije. Istraživači također tvrde da je lice idealnih proporcija znak da je tijelo njegovog vlasnika dobro pripremljeno za borbu protiv infekcija. Prehlada, astma i gripa imaju veliku vjerojatnost da će se povući kod ljudi čija je lijeva strana točno kao desna. I u odjeći, osoba također, u pravilu, pokušava zadržati dojam simetrije: desni rukav odgovara lijevom, desna noga odgovara lijevoj. Gumbi na jakni i košulji sjede točno u sredini, a ako se povlače od nje, onda na simetričnim udaljenostima. A u isto vrijeme, ponekad osoba pokušava naglasiti, ojačati razliku između lijeve i desne strane. U srednjem vijeku muškarci su svojedobno nosili pantalone s hlačama različitih boja (na primjer, jedne crvene, a druge crne ili bijele). Ali
ova moda je uvijek kratkog vijeka. Dugo ostaju samo taktična, skromna odstupanja od simetrije.
Simetrija u umjetnosti
Simetrija u umjetnosti općenito, a posebno u likovnoj umjetnosti, ima svoje ishodište u stvarnosti, prepunom simetrično raspoređenih oblika.
Simetričnu organizaciju kompozicije karakterizira uravnoteženost njezinih dijelova u smislu mase, tona, boje, pa čak i oblika. U takvim slučajevima jedan dio je gotovo zrcalan drugome. Simetrične kompozicije često imaju izraženo središte. U pravilu se podudara s geometrijskim središtem ravnine slike. Ako je točka nestajanja pomaknuta iz središta, jedan od dijelova je masivno opterećen, ili je slika građena dijagonalno, sve to daje dinamiku kompozicije i donekle narušava idealnu ravnotežu.
Kipari antičke Grčke koristili su pravilo simetrije. Primjer je kompozicija zapadnog frontona Zeusovog i Olimpijinog hrama. Temelji se na borbi Lapita (Grka) s kentaurima u prisutnosti boga Apolona. Kretanje se postupno povećava od rubova do središta. Najveću izražajnost postiže u liku dvojice mladića koji su zamahnuli kentaurima. Sve veći pokret, takoreći, odmah se prekida na prilazima liku Apolona, koji mirno i veličanstveno stoji u središtu zabata.
Ideja o izgubljenim djelima poznatih slikara 5. stoljeća pr e. može se sastaviti od antičkog vaznog slikarstva i pompejskih freski, inspiriranih, kako vjeruju istraživači, djelima grčkih majstora klasičnog doba ...
Simetrične kompozicije uočene su i među grčkim majstorima 4.-3. stoljeća pr. e. To se vidi iz kopija fresaka. Na pompejskim freskama glavni su likovi u središtu simetrične piramidalne kompozicije.
Umjetnici su često pribjegavali pravilima simetrije kada su prikazivali svečane prepune skupove, parade, sastanke u velikim dvoranama itd.
Umjetnici rane renesanse veliku su pozornost posvećivali pravilu simetrije, o čemu svjedoči monumentalno slikarstvo (npr. Giottoove freske). Tijekom visoke renesanse talijanska kompozicija dostigla je zrelost. Na primjer, na slici Leonarda da Vincija “Sveta Ana s Marijom i djetetom Kristom” sastavlja tri lika u trokut usmjeren prema gore. U donjem desnom kutu daje figuricu janjeta koje drži mali Krist. Sve je posloženo tako da se ovaj trokut može samo naslutiti pod volumetrijsko-prostornom skupinom likova.
Posljednja večera Leonarda da Vincija također se može nazvati simetričnom kompozicijom. Ovaj mural prikazuje dramatičan trenutak kada
Krist je rekao svojim učenicima: "Jedan od vas će me izdati." Psihološka reakcija apostola na ove proročke riječi povezuje likove s kompozicijskim središtem, u kojem se nalazi lik Krista. Dojam cjelovitosti iz ove centripetalne kompozicije pojačava činjenica da je umjetnik prikazao blagovaonicu u perspektivi s točkom nestajanja paralelnih linija u sredini prozora, na kojoj je jasno nacrtana Kristova glava. Tako je gledateljev pogled nehotice usmjeren na središnju figuru slike.
Među djelima koja pokazuju mogućnosti simetrije može se nazvati i Rafaelova "Marijina zaruka", gdje su kompozicijske tehnike karakteristične za renesansu došle do najpotpunijeg izražaja.
Slika V. M. Vasnetsova "Heroji" također se temelji na pravilu simetrije. Središte kompozicije je lik Ilya Muromets. Lijevo i desno, kao u zrcalu, su Alyosha Popovich i Dobrynya Nikitich. Likovi su postavljeni duž ravnine neba, mirno sjedeći na konjima. Simetrična konstrukcija kompozicije prenosi stanje relativne smirenosti. Lijeva i desna figura nisu masivno iste, što je posljedica ideološke namjere autora. Ali oba su manje moćna u usporedbi s likom Murometsa i općenito daju potpunu ravnotežu kompoziciji.
Stabilnost kompozicije čini da se gledatelj osjeća sigurnim u nepobjedivost heroja, branitelja ruske zemlje. Štoviše, "Heroji" su prenijeli stanje napetog odmora na rubu prijelaza u akciju. A to znači da simetrija nosi i embrij dinamičkog kretanja u vremenu i prostoru.
Simetrija u algebri.
Najjednostavniji simetrični izrazi za korijene kvadratne jednadžbe nalaze se u Vietinom teoremu. To im omogućuje da se koriste u rješavanju nekih problema vezanih uz kvadratne jednadžbe. Pogledajmo neke primjere.
Primjer 1:
Kvadratna jednadžba 
ima korijene i. Bez rješavanja ove jednadžbe izražavamo kroz i zbrojeve,. Izraz je simetričan u odnosu na i. Izrazimo ih u terminima + i, a zatim primijenimo Vietin teorem.
