Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja triju ili više brojeva može se svesti na uzastopno pronalaženje gcd dvaju brojeva. Ovo smo spomenuli kada smo proučavali svojstva GCD-a. Tu smo formulirali i dokazali teorem: najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva a 1 , a 2 , …, a k jednak broju dk, koji se nalazi sekvencijalnim izračunom GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
Pogledajmo kako izgleda proces traženja gcd-a nekoliko brojeva gledajući rješenje primjera.
Primjer.
Pronađite najveći zajednički djelitelj četiriju brojeva 78 , 294 , 570 I 36 .
Riješenje.
U ovom primjeru a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Prvo, koristeći Euklidov algoritam, određujemo najveći zajednički djelitelj d 2 prva dva broja 78 I 294 . Dijeljenjem dobivamo jednakosti 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 I 18=6·3. Tako, d 2 =NOT(78, 294)=6.
Sada izračunajmo d 3 =NOT(d 2, a 3)=NOT(6, 570). Upotrijebimo ponovno Euklidov algoritam: 570=6·95, stoga, d 3 =NOT(6, 570)=6.
Ostalo je izračunati d 4 =NOT(d 3, a 4)=NOT(6, 36). Jer 36 podjeljeno sa 6 , To d 4 =NOT(6, 36)=6.
Dakle, najveći zajednički djelitelj četiri zadana broja jednak je d 4 =6, to je, GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Odgovor:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Rastavljanje brojeva na glavni faktori također vam omogućuje izračunavanje gcd tri ili više brojeva. U ovom slučaju, najveći zajednički djelitelj nalazi se kao umnožak svih zajedničkih prostih faktora zadanih brojeva.
Primjer.
Izračunajte gcd brojeva iz prethodnog primjera koristeći njihove proste faktore.
Riješenje.
Raščlanimo brojke 78 , 294 , 570 I 36 prostim faktorima, dobivamo 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Zajednički prosti faktori sva četiri navedena broja su brojevi 2 I 3 . Stoga, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Odgovor:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Vrh stranice
Pronalaženje GCD negativnih brojeva
Ako su jedan, nekoliko ili svi brojevi čiji najveći djelitelj treba pronaći negativni brojevi, tada je njihov NOD jednak najvećem zajedničkom djelitelju modula tih brojeva. To je zbog činjenice da suprotni brojevi a I −a imaju iste djelitelje, kao što smo raspravljali proučavajući svojstva djeljivosti.
Primjer.
Pronađite gcd negativnih cijelih brojeva −231 I −140 .
Riješenje.
Apsolutna vrijednost broja −231 jednaki 231 , i modul broja −140 jednaki 140 , I GCD(−231, −140)=NOT(231, 140). Euklidski algoritam nam daje sljedeće jednakosti: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 I 42=7 6. Stoga, GCD(231, 140)=7. Tada je željeni najveći zajednički djelitelj negativnih brojeva −231 I −140 jednaki 7 .
Odgovor:
GCD(−231, −140)=7.
Primjer.
Odredite NNO tri broja −585 , 81 I −189 .
Riješenje.
Pri pronalaženju najvećeg zajedničkog djelitelja negativne brojeve možemo zamijeniti njihovim apsolutnim vrijednostima, tj. GCD(−585, 81, −189)=NOT(585, 81, 189). Proširenja brojeva 585 , 81 I 189 u proste faktore imaju oblik 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 I 189=3·3·3·7. Zajednički prosti faktori ova tri broja su 3 I 3 . Zatim GCD(585, 81, 189)=3·3=9, stoga, GCD(−585, 81, −189)=9.
Odgovor:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Korijeni polinoma. Bezoutov teorem. (33 i više)
36. Višestruki korijeni, kriterij za višestrukost korijena.
Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma "višestruko".
Višekratnik broja A prirodni je broj koji je bez ostatka djeljiv s A. Stoga se brojevi koji su višekratnici broja 5 mogu smatrati brojevima 15, 20, 25 i tako dalje.
Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.
Zajednički višekratnik prirodni brojevi- broj koji je njima djeljiv bez ostatka.
Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva
Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim tim brojevima.
Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.
Za male brojeve zgodno je zapisati sve višekratnike tih brojeva na crtu dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.
Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj zapis se radi na sljedeći način:
LCM(4, 6) = 24
Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračuna LCM.
Da biste dovršili zadatak, morate zadane brojeve rastaviti na proste faktore.
Najprije na crtu treba zapisati razlaganje najvećeg broja, a ispod njega - ostatak.
Rastavljanje svakog broja može sadržavati različit broj faktora.
Na primjer, rastavimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.
U širenju manjeg broja potrebno je istaknuti čimbenike kojih nema u širenju prvog. veliki broj, a zatim ih dodajte u njega. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.
Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Dakle, umnožak prostih faktora više a faktori drugog broja koji nisu ušli u proširenje većeg broja bit će najmanji zajednički višekratnik.
Da biste pronašli LCM tri ili više brojeva, trebali biste ih sve rastaviti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.
Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu ušle u faktorizaciju većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).
Dakle, potrebno ih je dodati proširenju većeg broja.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.
Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.
Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.
Na primjer, LCM (10, 11) = 110.
Da biste naučili kako pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju ili više brojeva, morate razumjeti što su prirodni, prosti i složeni brojevi.
Prirodni broj je svaki broj koji se koristi za brojanje cijelih objekata.
Ako se prirodni broj može podijeliti samo na sebe i jedan, onda se on naziva prostim brojem.
Svi prirodni brojevi se mogu dijeliti sami sa sobom i jedinicom, ali jedini paran prost broj je 2, svi ostali se mogu dijeliti sa dva. Prema tome, samo neparni brojevi mogu biti prosti.
Ima puno prostih brojeva puni popis oni ne postoje. Da biste pronašli GCD, prikladno je koristiti posebne tablice s takvim brojevima.
Većina prirodnih brojeva može se podijeliti ne samo s jednim, već i s drugim brojevima. Tako se, primjerice, broj 15 može podijeliti s još 3 i 5. Svi se oni nazivaju djeliteljima broja 15.
Dakle, djelitelj bilo kojeg A je broj kojim se ono može podijeliti bez ostatka. Ako broj ima više od dva prirodna faktora, naziva se složenim.
Broj 30 može imati djelitelje kao što su 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Primijetit ćete da 15 i 30 imaju iste djelitelje 1, 3, 5, 15. Najveći zajednički djelitelj ova dva broja je 15.
Dakle, zajednički djelitelj brojeva A i B je broj kojim se oni mogu u cijelosti podijeliti. Najveći se može smatrati najvećim ukupnim brojem kojim se mogu podijeliti.
Za rješavanje problema koristi se sljedeći skraćeni natpis:
GCD (A; B).
Na primjer, gcd (15; 30) = 30.
Da bismo zapisali sve djelitelje prirodnog broja, koristimo oznaku:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
U ovom primjeru prirodni brojevi imaju samo jedan zajednički djelitelj. Zovu se relativno prosti, pa je jedinica njihov najveći zajednički djelitelj.
Kako pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva
Da biste pronašli gcd nekoliko brojeva, trebate:
Naći sve djelitelje svakog prirodnog broja posebno, odnosno rastaviti ih na faktore (proste brojeve);
Odaberite sve identične faktore zadanih brojeva;
Pomnožite ih zajedno.
Na primjer, da biste izračunali najveći zajednički djelitelj brojeva 30 i 56, napisali biste sljedeće:
Kako bi se izbjegla zabuna, zgodno je pisati faktore pomoću okomitih stupaca. Na lijevoj strani linije morate postaviti dividendu, a na desnoj strani - djelitelj. Ispod dividende treba navesti dobiveni kvocijent.
Dakle, u desnom stupcu bit će svi faktori potrebni za rješenje.
Identični djelitelji (pronađeni faktori) mogu biti podvučeni radi praktičnosti. Treba ih prepisati i pomnožiti te napisati najveći zajednički djelitelj.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Ovako je zapravo lako pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva. Ako malo vježbate, to možete učiniti gotovo automatski.
Mrežni kalkulator omogućuje vam brzo pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika za dva ili bilo koji drugi broj brojeva.
Kalkulator za pronalaženje GCD i LCM
Pronađite GCD i LOC
Pronađen GCD i LOC: 5806
Kako koristiti kalkulator
- Unesite brojeve u polje za unos
- Ako unesete netočne znakove, polje za unos bit će označeno crvenom bojom
- kliknite gumb "Pronađi GCD i LOC".
Kako unositi brojeve
- Brojevi se unose odvojeni razmakom, točkom ili zarezom
- Duljina unesenih brojeva nije ograničena, tako da pronalaženje GCD i LCM dugih brojeva nije teško
Što su GCD i NOC?
Najveći zajednički djelitelj više brojeva je najveći prirodni cijeli broj kojim su svi izvorni brojevi djeljivi bez ostatka. Najveći zajednički djelitelj označava se skraćenicom GCD.
Najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva je najmanji broj, koji je djeljiv sa svakim od originalnih brojeva bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik označava se skraćenicom NOC.
Kako provjeriti da li je broj djeljiv drugim brojem bez ostatka?
Da biste saznali je li jedan broj djeljiv s drugim bez ostatka, možete se poslužiti nekim svojstvima djeljivosti brojeva. Zatim se njihovim kombiniranjem može provjeriti djeljivost nekih od njih i njihovih kombinacija.
Neki znakovi djeljivosti brojeva
1. Test djeljivosti broja s 2
Da bi se utvrdilo je li broj djeljiv s dva (je li paran), dovoljno je pogledati posljednju znamenku tog broja: ako je jednaka 0, 2, 4, 6 ili 8, onda je broj paran, što znači da je djeljiv sa 2.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 2.
Riješenje: Gledamo posljednju znamenku: 8 - to znači da je broj djeljiv s dva.
2. Test djeljivosti broja s 3
Broj je djeljiv s 3 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s tri. Dakle, da biste utvrdili je li broj djeljiv s 3, trebate izračunati zbroj znamenki i provjeriti je li djeljiv s 3. Čak i ako je zbroj znamenki vrlo velik, možete ponoviti isti postupak.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 3.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 3, što znači da je broj djeljiv s tri.
3. Test djeljivosti broja s 5
Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka nula ili pet.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 5.
Riješenje: pogledajte zadnju znamenku: 8 znači da broj NIJE djeljiv s pet.
4. Test djeljivosti broja s 9
Ovaj znak je vrlo sličan znaku djeljivosti s tri: broj je djeljiv s 9 kada je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9.
Primjer: odrediti je li broj 34938 djeljiv s 9.
Riješenje: Brojimo zbroj brojeva: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je djeljiv s 9, što znači da je broj djeljiv s devet.
Kako pronaći GCD i LCM dva broja
Kako pronaći gcd dva broja
Najviše na jednostavan način Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva je pronalaženje svih mogućih djelitelja tih brojeva i odabir najvećeg od njih.
Razmotrimo ovu metodu koristeći primjer pronalaženja GCD(28, 36):
- Rastavljamo oba broja na faktore: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Nalazimo zajedničke faktore, odnosno one koje imaju oba broja: 1, 2 i 2.
- Izračunavamo umnožak ovih faktora: 1 2 2 = 4 - to je najveći zajednički djelitelj brojeva 28 i 36.
Kako pronaći LCM dva broja
Postoje dva najčešća načina za pronalaženje najmanjeg višekratnika dva broja. Prvi način je da možete zapisati prve višekratnike dvaju brojeva, a zatim među njima odabrati broj koji će biti zajednički za oba broja, a ujedno i najmanji. A drugi je pronaći gcd ovih brojeva. Razmotrimo samo to.
Da biste izračunali LCM, morate izračunati umnožak izvornih brojeva, a zatim ga podijeliti s prethodno pronađenim GCD. Nađimo LCM za iste brojeve 28 i 36:
- Nađi umnožak brojeva 28 i 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kao što je već poznato, jednak je 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
Pronalaženje GCD i LCM za nekoliko brojeva
Najveći zajednički djelitelj može se pronaći za nekoliko brojeva, a ne samo za dva. Da bi se to postiglo, brojevi koje treba pronaći za najveći zajednički djelitelj rastavljaju se na proste faktore, a zatim se pronalazi produkt zajedničkih prostih faktora tih brojeva. Također možete upotrijebiti sljedeću relaciju da pronađete gcd nekoliko brojeva: NOT(a, b, c) = NOT(NOT(a, b), c).
Sličan odnos vrijedi i za najmanji zajednički višekratnik: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Primjer: pronađite GCD i LCM za brojeve 12, 32 i 36.
- Prvo rastavimo brojeve na faktore: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Nađimo zajedničke faktore: 1, 2 i 2.
- Njihov umnožak će dati GCD: 1·2·2 = 4
- Sada pronađimo LCM: da bismo to učinili, prvo pronađimo LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Da biste pronašli LCM sva tri broja, trebate pronaći GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Napišimo faktore uključene u proširenje prvog od ovih brojeva i dodajmo im faktor 5 koji nedostaje iz proširenja drugog broja. Dobivamo: 2*2*3*5*5=300. Našli smo NOO, t.j. ovaj iznos = 300. Ne zaboravite dimenziju i napišite odgovor:
Odgovor: Mama daje 300 rubalja.
GCD definicija: Najveći zajednički djelitelj (GCD) prirodni brojevi A I V nazvati najveći prirodni broj c, u kojoj a, I b podijeljeno bez ostatka. Oni. c je najmanji prirodni broj za koji i A I b su višestruki.
Napomena: Postoje dva pristupa definiranju prirodnih brojeva
- brojevi koji se koriste pri: popisivanju (numeriranju) objekata (prvi, drugi, treći, ...); - u školama je to obično ovako.
- oznaka broja predmeta (bez Pokemona - nula, jedan Pokemon, dva Pokemona, ...).
Negativni i necijeli (racionalni, realni, ...) brojevi nisu prirodni brojevi. Neki autori uključuju nulu u skup prirodnih brojeva, drugi ne. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N
Napomena: Djelitelj prirodnog broja a nazovi broj b, u kojoj a podijeljeno bez ostatka. Višekratnici prirodnog broja b nazvati prirodnim brojem a, koji je djeljiv sa b bez traga. Ako broj b- djelitelj brojeva a, To a višekratnik broja b. Primjer: 2 je djelitelj broja 4, a 4 je višekratnik broja dva. 3 je djelitelj broja 12, a 12 je višekratnik broja 3.
Napomena: Prirodni brojevi se nazivaju prostim ako su bez ostatka djeljivi samo sa sobom i 1. Istoprosti brojevi su oni koji imaju samo jedan zajednički djelitelj jednak 1.
Definicija kako pronaći GCD u općem slučaju: Kako pronaći GCD (najveći zajednički djelitelj) potrebno je nekoliko prirodnih brojeva:
1) Podijelite ih na proste faktore. (Tablica prostih brojeva može biti vrlo korisna za ovo.)
2) Zapišite čimbenike uključene u proširenje jednog od njih.
3) Precrtajte one koji nisu uključeni u proširenje preostalih brojeva.
4) Pomnožite faktore dobivene u koraku 3).
Problem 2 na (NOK): Za Novu godinu Kolja Puzatov kupio je u gradu 48 hrčaka i 36 džezva za kavu. Fekla Dormidontova, kao najiskrenija djevojčica u razredu, dobila je zadatak da tu imovinu podijeli na što veći broj poklon setova za učitelje. Koliko ste kompleta dobili? Koji je sadržaj setova?
Primjer 2.1. rješavanje problema pronalaženja GCD. Pronalaženje GCD odabirom.
Riješenje: Svaki od brojeva 48 i 36 mora biti djeljiv s brojem darova.
1) Zapiši djelitelje 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Zapiši djelitelje broja 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Odaberite najveći zajednički djelitelj. Vau-la-la! Utvrdili smo da je broj kompleta 12 komada.
3) Podijelite 48 sa 12 da dobijete 4, podijelite 36 sa 12 da dobijete 3. Ne zaboravite dimenziju i napišite odgovor:
Odgovor: Dobit ćete 12 kompleta od 4 hrčka i 3 posude za kavu u svakom setu.
