Trapez naziva se četverokut samo dva stranice su međusobno paralelne.
Nazivaju se bazama figure, ostalo - stranama. Paralelogram se smatra posebnim slučajem figure. Postoji i krivolinijski trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za područje trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, i Najbolja odluka odabrani ovisno o zadanim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu dodijeljene su visini i središnjoj liniji. središnja linija- ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina trapez je nacrtan pod pravim kutom od gornjeg kuta do baze.
Površina trapeza kroz visinu jednaka je umnošku polovine zbroja duljina baza, pomnoženog s visinom:
Ako je srednja linija poznata prema uvjetima, tada je ova formula znatno pojednostavljena, jer je jednaka polovici zbroja duljina baza:
Ako su prema uvjetima zadane duljine svih stranica, tada možemo razmotriti primjer izračuna površine trapeza pomoću ovih podataka: 
Pretpostavimo da je dan trapez s bazama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm. Odredite površinu figure: 
Površina jednakokračnog trapeza
Poseban slučaj je jednakokračan ili, kako se još naziva, jednakokračan trapez.
Poseban slučaj je i pronalaženje površine jednakokračnog (istokračnog) trapeza. Izvedena formula različiti putevi- kroz dijagonale, kroz kutove uz osnovicu i polumjer upisane kružnice.
Ako je duljina dijagonala određena uvjetima i poznat je kut između njih, možete koristiti sljedeću formulu:
Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza međusobno jednake!
To jest, znajući jednu od njihovih baza, stranu i kut, možete lako izračunati područje.
Površina krivocrtnog trapeza
Poseban slučaj je krivolinijski trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničen je na graf kontinuirane pozitivne funkcije.
Njegova baza nalazi se na X osi i ograničena je na dvije točke: 
Integrali pomažu izračunati površinu krivocrtnog trapeza.
Formula je ovako napisana:
Razmotrite primjer izračuna površine krivocrtnog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad određeni integrali. Prvo, analizirajmo vrijednost određenog integrala: 
Ovdje je F(a) vrijednost antiderivativna funkcija f(x) u točki a , F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u točki b . 
Sada riješimo problem. Na slici je prikazan krivolinijski trapez omeđen funkcijom. Funkcija 
Moramo pronaći područje odabrane figure, koja je zakrivljeni trapez omeđen na vrhu grafom, s desne strane je ravna linija x = (-8), s lijeve strane je ravna linija x = (- 10), a os OX je ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure pomoću formule: 
Dana nam je funkcija prema uvjetima problema. Koristeći ga, pronaći ćemo vrijednosti antiderivacije u svakoj od naših točaka:
Sada
Odgovor: površina zadanog krivocrtnog trapeza je 4.
Ne postoji ništa teško u izračunavanju ove vrijednosti. Važna je samo krajnja pažnja u izračunima.
Trapez je posebna vrstačetverokut u kojem su dvije nasuprotne stranice međusobno paralelne, a druge dvije nisu. Razni stvarni objekti imaju trapezoidni oblik, pa ćete možda trebati izračunati opseg takve geometrijske figure za rješavanje svakodnevnih ili školskih problema.
Trapezoidna geometrija
Trapez (od grčkog "trapezion" - stol) je lik u ravnini, ograničen s četiri segmenta, od kojih su dva paralelna, a dva nisu. Paralelni segmenti nazivaju se bazama trapeza, a neparalelni - stranicama figure. Stranice i njihovi kutovi nagiba određuju vrstu trapeza, koji može biti višenamjenski, jednakokračan ili pravokutan. Osim baza i stranica, trapez ima još dva elementa:
- visina - udaljenost između paralelne baze figure;
- srednja linija - segment koji povezuje središnje točke strana.
Ovaj geometrijski lik rašireno u stvarnom životu.
Trapez u stvarnosti
U Svakidašnjica mnogi stvarni predmeti poprimaju oblik trapeza. Trapeze možete lako pronaći u sljedećim područjima ljudske djelatnosti:
- dizajn interijera i dekor - sofe, radne ploče, zidovi, tepisi, spušteni stropovi;
- krajobrazni dizajn - granice travnjaka i umjetnih rezervoara, oblici ukrasnih elemenata;
- moda - oblik odjeće, obuće i dodataka;
- arhitektura - prozori, zidovi, temelji zgrada;
- proizvodnja - razni proizvodi i detalji.
Uz tako široku upotrebu trapeza, stručnjaci često moraju izračunati opseg geometrijske figure.
Opseg trapeza
Opseg lika je numerička karakteristika, koja se izračunava kao zbroj duljina svih stranica n-kuta. Trapez je četverokut iu općem slučaju sve njegove stranice imaju različite duljine, pa se opseg izračunava po formuli:
P = a + b + c + d,
gdje su a i c osnovice figure, b i d njegove stranice.
Iako ne moramo znati visinu kada računamo opseg trapeza, kod kalkulatora zahtijeva unos ove varijable. Budući da visina ni na koji način ne utječe na izračun, kada koristite naš online kalkulator, možete unijeti bilo koju vrijednost visine koja je veća od nule. Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjeri iz stvarnog života
Rupčić
Recimo da imate šal A kroja i želite ga obrubiti resicama. Morat ćete znati opseg šala kako ne biste kupili dodatni materijal ili otišli dvaput u trgovinu. Neka vaš jednakokračni šal ima sljedeće parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Ove podatke unosimo u online obrazac i dobivamo odgovor u obrascu:
Dakle, opseg šala je 340 cm, a to je duljina pletenice ruba za njegov ukras.
padinama
Na primjer, odlučili ste napraviti padine za nestandardne metalno-plastične prozore koji imaju trapezoidni oblik. Takvi se prozori naširoko koriste u projektiranju zgrada, stvarajući sastav od nekoliko kapaka. Najčešće se takvi prozori izvode u obliku pravokutni trapez. Otkrijmo koliko je materijala potrebno za dovršetak padina takvog prozora. Standardni prozor ima sljedeće parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Koristimo te podatke i dobivamo rezultat u obliku
Dakle, opseg trapezoidnog prozora je 390 cm, a to je koliko će vam trebati kupiti plastične ploče za oblikovanje kosina.
Zaključak
Trapezoid je lik popularan u svakodnevnom životu, čija definicija parametara može biti potrebna u najneočekivanijim situacijama. Izračun opsega trapezom potreban je mnogim profesionalcima: od inženjera i arhitekata do dizajnera i mehaničara. Naš katalog online kalkulatora omogućit će vam izvođenje izračuna za sve geometrijske oblike i tijela.
Ovaj kalkulator je izračunao 2192 problema na temu "Površina trapeza"
TRG TRAPEZO
Odaberite formulu za izračunavanje površine trapeza koju namjeravate primijeniti za rješenje vašeg problema:
Opća teorija za izračunavanje površine trapeza.
trapez - ovo je ravna figura koja se sastoji od četiri točke, od kojih tri ne leže na jednoj ravnoj liniji, i četiri segmenta (stranice) koje spajaju te četiri točke u parovima, u kojoj su dvije suprotne stranice paralelne (leže na paralelnim crtama), a druga dva nisu paralelna.
Bodovi se zovu vrhovi trapeza a označavaju se velikim latiničnim slovima.
Segmenti se nazivaju stranice trapeza a označava se parom velikih slova latinična slova koji odgovaraju vrhovima koje segmenti povezuju.
Dvije paralelne stranice trapeza nazivaju se osnovice trapeza .
Dvije neparalelne stranice trapeza nazivaju se stranice trapeza .
Slika #1: Trapez ABCD
Na slici 1 prikazan je trapez ABCD sa vrhovi A,B,C, D i stranice AB, BC, CD, DA.
AB ǁ DC - osnovice trapeza ABCD.
AD, BC su stranice trapeza ABCD.
Kut koji čine zrake AB i AD zove se kut pri vrhu A. Označava se kao ÐA ili ÐBAD, odnosno ÐDAB.
Kut koji čine zrake BA i BC zove se kut pri vrhu B. Označava se kao ÐB ili ÐABC, ili ÐCBA.
Kut koji čine zrake CB i CD zove se vršni kut C. Označava se kao ÐC ili ÐDCB ili ÐBCD.
Kut koji tvore zrake AD i CD zove se vršni kut D. Označava se kao ÐD ili ÐADC ili ÐCDA.
Slika #2: Trapez ABCD
Na slici 2 naziva se odsječak MN koji spaja središta stranica središnja linija trapeza.
Srednja linija trapeza paralelne s bazama i jednake njihovom poluzbroju. To je, 
.
Slika #3: Jednakokračni trapez ABCD
Na slici #3, AD=BC.
Trapez se zove jednakokračan (istokračan) ako su mu stranice jednake.
Slika #4: Pravokutni trapez ABCD
Na slici br. 4 kut D je ravan (jednak 90°).
Trapez se zove pravokutan, ako je kut na bočnoj stranici ravan.
Kvadrat S ravan likova, u koje spada i trapez, naziva se omeđeni zatvoreni prostor na ravnini. Kvadrat ravna figura pokazuje veličinu ove figure.
Područje ima nekoliko svojstava:
1. Ne može biti negativan.
2. Ako je dana neka zatvorena površina na ravnini, koja se sastoji od nekoliko likova koji se međusobno ne sijeku (to jest, likovi nemaju zajedničkih unutarnjih točaka, ali se mogu dodirivati), tada je površina Takva površina jednaka je zbroju površina njegovih sastavnih likova.
3. Ako su dva lika jednaka, onda su im jednake površine.
4. Površina kvadrata izgrađenog na jediničnom segmentu jednaka je jedinici.
Iza jedinica mjerenja područje uzmite površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedinica mjerenja segmentima.
Pri rješavanju problema često se koriste sljedeće formule za izračunavanje površine trapeza:
1. Površina trapeza je polovica zbroja njegovih baza pomnoženih s njegovom visinom:
2. Površina trapeza jednaka je proizvodu njegove srednje linije i visine:
3. Uz poznate duljine baza i stranica trapeza, njegova se površina može izračunati po formuli: 
4. Moguće je izračunati površinu jednakokračnog trapeza s poznatom duljinom polumjera kruga upisanog u trapez i poznata vrijednost kut na bazi prema sljedećoj formuli:
Primjer 1: Izračunaj površinu trapeza s osnovicama a=7, b=3 i visinom h=15.
Riješenje:
Odgovor:
Primjer 2: Odredite stranicu osnovice trapeza površine S=35 cm 2 , visine h=7 cm i druge osnovice b = 2 cm.
Riješenje:
Da bismo pronašli stranicu baze trapeza, koristimo se formulom za izračunavanje površine:
Iz ove formule izražavamo stranicu baze trapeza:
Dakle, imamo sljedeće:
Odgovor:
Primjer 3: Odredi visinu trapeza površine S=17 cm2 i osnovica a=30 cm, b=4 cm.
Riješenje:
Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo se formulom za izračunavanje površine:
Dakle, imamo sljedeće:
Odgovor:
Primjer 4: Izračunajte površinu trapeza visine h=24 i središnje linije m=5.
Riješenje:
Da biste pronašli površinu trapeza, upotrijebite sljedeću formulu za izračunavanje površine:
Dakle, imamo sljedeće:
Odgovor:
Primjer 5: Odredite visinu trapeza površine S = 48 cm 2 i središnje crte m = 6 cm.
Riješenje:
Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:
Visinu trapeza izražavamo ovom formulom:
Dakle, imamo sljedeće:
Odgovor:
Primjer 6: Odredite srednju liniju trapeza površine S = 56 i visine h=4.
Riješenje:
Da bismo pronašli središnju liniju trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:
Iz ove formule izražavamo središnju liniju trapeza:
Dakle, imamo sljedeće.
I . Sada možemo početi razmatrati pitanje kako pronaći područje trapeza. Ovaj se zadatak u svakodnevnom životu događa vrlo rijetko, ali ponekad se pokaže potrebnim, na primjer, pronaći površinu sobe u obliku trapeza, koji se sve više koristi u izgradnji modernih stanova, ili u projektima obnove.
Trapez je geometrijski lik koji čine četiri segmenta koji se sijeku, od kojih su dva međusobno paralelna i nazivaju se osnovicama trapeza. Druga dva segmenta nazivaju se stranicama trapeza. Osim toga, kasnije će nam trebati još jedna definicija. Ovo je srednja linija trapeza, koja je segment koji povezuje središta stranica i visinu trapeza, koja je jednaka udaljenosti između baza.
Poput trokuta, trapez ima posebne vrste u obliku jednakokračnog (istokračnog) trapeza, u kojem su duljine stranica jednake i pravokutnog trapeza, u kojem jedna od stranica s osnovicama tvori pravi kut.
Trapezi imaju neka zanimljiva svojstva:
- Srednjica trapeza je polovica zbroja osnovica i paralelna je s njima.
- Jednakokračni trapezi imaju jednake stranice i kutove koje tvore s bazama.
- Središta dijagonala trapeza i sjecište njegovih dijagonala nalaze se na istoj ravnici.
- Ako je zbroj stranica trapeza jednak zbroju osnovica, tada se u njega može upisati kružnica.
- Ako je zbroj kutova koje tvore stranice trapeza na bilo kojoj njegovoj osnovici 90, tada je duljina segmenta koji povezuje središta baza jednaka njihovoj polurazlici.
- Jednakokračni trapez može se opisati kružnicom. I obrnuto. Ako je trapez upisan u krug, onda je on jednakokračan.
- Isječak koji prolazi središtima osnovica jednakokračnog trapeza bit će okomit na njegove osnovice i predstavlja os simetrije.
Kako pronaći područje trapeza.
Površina trapeza bit će polovica zbroja njegovih baza pomnoženih s njegovom visinom. U obliku formule, ovo je zapisano kao izraz:
gdje je S površina trapeza, a,b je duljina svake baze trapeza, h je visina trapeza.
Ovu formulu možete razumjeti i zapamtiti na sljedeći način. Kao što slijedi iz donje slike, trapez pomoću središnje linije može se pretvoriti u pravokutnik, čija će duljina biti jednaka polovici zbroja baza.
Također možete rastaviti bilo koji trapez na jednostavnije oblike: pravokutnik i jedan ili dva trokuta, a ako vam je lakše, pronađite površinu trapeza kao zbroj površina njegovih sastavnih likova.
Postoji još jedna jednostavna formula za izračunavanje njegove površine. Prema njemu, površina trapeza jednaka je umnošku njegove središnje crte i visine trapeza i zapisuje se kao: S \u003d m * h, gdje je S površina, m duljina srednja linija, h je visina trapeza. Ova je formula prikladnija za matematičke probleme nego za svakodnevne probleme, jer u stvarnim uvjetima nećete znati duljinu srednje crte bez preliminarnih izračuna. A znat ćete samo duljine baza i stranica.
U ovom slučaju, područje trapeza može se pronaći pomoću formule:
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
gdje je S površina, a,b su osnovice, c,d su stranice trapeza.
Postoji još nekoliko načina za pronalaženje površine trapeza. No, nezgodne su otprilike kao i posljednja formula, što znači da nema smisla zadržavati se na njima. Stoga preporučamo da koristite prvu formulu iz članka i želimo da uvijek dobijete točne rezultate.
Praksa prošlogodišnjih USE i GIA pokazuje da geometrijski problemi stvaraju poteškoće mnogim studentima. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.
U ovom ćete članku vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Isti ti mogu naići na KIM-ovima na ispitima za svjedodžbu ili na olimpijadama. Stoga ih pažljivo tretirajte.
Što trebate znati o trapezu?
Za početak, podsjetimo se toga trapez zove se četverokut, u kojega su dvije nasuprotne stranice, zovu se i osnovice, paralelne, a druge dvije nisu.
U trapezu se može i izostaviti visina (okomito na osnovicu). Nacrtana je srednja linija - to je ravna linija koja je paralelna s bazama i jednaka je polovici njihovog zbroja. Kao i dijagonale koje se mogu presijecati, tvoreći oštre i tupe kutove. Ili unutra pojedinačni slučajevi, pod pravim kutom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati kružnica. I opišite krug oko njega.
Formule površine trapeza
Prvo, razmotrite standardne formule za pronalaženje površine trapeza. Načini izračunavanja površine jednakokračnih i krivuljastih trapeza bit će razmotreni u nastavku.
Dakle, zamislite da imate trapez s bazama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovicu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno. Samo trebate podijeliti s dva zbroj duljina baza i pomnožiti dobiveno s visinom: S = 1/2(a + b)*h.
Uzmimo drugi slučaj: pretpostavimo da trapez osim visine ima središnju liniju m. Poznata nam je formula za određivanje duljine srednje crte: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za područje trapeza na sljedeći oblik: S = m * h. Drugim riječima, da biste pronašli područje trapeza, trebate pomnožiti srednju liniju s visinom.
Razmotrimo drugu opciju: u trapezu su nacrtane dijagonale d 1 i d 2 koje se ne sijeku pod pravim kutom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate prepoloviti umnožak dijagonala i pomnožiti ono što dobijete s grijehom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Sada razmotrite formulu za pronalaženje područja trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim duljina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i komplicirana formula, ali bit će korisno zapamtiti je za svaki slučaj: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za područje pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija strana graniči s bazama pod pravim kutom.
Jednakokračni trapez
Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokračan. Razmotrit ćemo nekoliko varijanti formule za područje jednakokračnog trapeza.
Prva opcija: za slučaj kada je unutar jednakokračnog trapeza upisana kružnica polumjera r, a bočna stranica i veća osnovica tvore šiljasti kut α. U trapez se može upisati kružnica pod uvjetom da je zbroj duljina njegovih osnovica jednak zbroju duljina stranica.
Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice s četiri i sve podijelite s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine poseban je slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.
Opcija 2: Ovaj put ćemo uzeti jednakokračni trapez, u kojoj su osim toga ucrtane dijagonale d 1 i d 2 te visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovica zbroja osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući ovo, lako je pretvoriti formulu površine trapeza koja vam je već poznata u ovaj oblik: S = h2.
Formula za područje krivuljastog trapeza
Počnimo s razumijevanjem: što je zakrivljeni trapez. Zamislimo koordinatnu os i graf kontinuirane i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar zadanog segmenta na x-osi. Krivuljasti trapez formiran je grafom funkcije y \u003d f (x) - na vrhu, osi x - na dnu (segment), a sa strane - ravnim linijama povučenim između točaka a i b i grafikona funkcije.
Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure pomoću gore navedenih metoda. Ovdje se trebate prijaviti matematička analiza i koristiti integral. Naime, Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli F je antiderivacija naše funkcije na odabranom intervalu. A površina krivocrtnog trapeza odgovara prirastu antiderivacije na danom segmentu.
Primjeri zadataka
Kako bi vam sve ove formule bile bolje u glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo sami pokušate riješiti probleme, a tek onda dobiveni odgovor provjerite gotovim rješenjem.
Zadatak #1: Zadan je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale od kojih je jedna duga 12 cm, a druga 9 cm.
Rješenje: Izgradite trapez AMRS. Povucite pravac RX kroz vrh P tako da bude paralelan s dijagonalom MC i siječe pravac AC u točki X. Dobili ste trokut APX.
Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMPX.
Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MP = 4 cm. Gdje možemo izračunati stranicu AX trokuta ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
Također možemo dokazati da je trokut ARCH pravokutan (da biste to učinili, primijenite Pitagorin teorem - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Zatim morate dokazati da su trokuti AMP i PCX jednake površine. Osnova će biti jednakost strana MP i CX (već dokazano gore). A također i visine koje spuštate na te strane - jednake su visini AMRS trapeza.
Sve ovo će vam omogućiti da tvrdite da je S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Zadatak #2: Zadan je trapez KRMS. Točke O i E nalaze se na njegovim bočnim stranicama, a OE i KS su paralelne. Također je poznato da su površine trapeza ORME i OXE u omjeru 1:5. PM = a i KS = b. Morate pronaći OE.
Rješenje: Nacrtajte pravac kroz točku M paralelno s RK, a točku njegovog sjecišta s OE označite kao T. A je točka presjeka pravca povučenog kroz točku E paralelno s RK s osnovicom KS.
Uvedimo još jednu oznaku - OE = x. Kao i visina h 1 za trokut TME i visina h 2 za trokut AEC (sličnost ovih trokuta možete samostalno dokazati).
Pretpostavit ćemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OXE odnose se kao 1:5, što nam daje pravo da sastavimo sljedeću jednadžbu: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Budući da su trokuti TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Kombinirajte oba unosa i dobijte: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Dakle, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Zaključak
Geometrija nije najlakša znanost, ali sigurno ćete se snaći s ispitnim zadacima. Potrebno je samo malo strpljenja u pripremi. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.
Potrudili smo se na jednom mjestu prikupiti sve formule za izračunavanje površine trapeza kako biste ih mogli koristiti kada pripremate ispite i ponavljate gradivo.
Obavezno recite svojim kolegama i prijateljima o ovom članku u u društvenim mrežama. Neka bude više dobrih ocjena za Jedinstveni državni ispit i GIA!
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
