Este artículo es una colección de información detallada relacionada con el tema de las propiedades de las raíces. Considerando el tema, comenzaremos con las propiedades, estudiaremos todas las formulaciones y aportaremos evidencia. Para consolidar el tema, consideraremos propiedades de enésimo grado.
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Propiedades de las raíces
Hablaremos de propiedades.
- Propiedad numeros multiplicados a Y b, que se representa como la igualdad a · b = a · b. Se puede representar en forma de factores, positivos o iguales a cero. un 1 , un 2 , ... , un k como a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- del cociente a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, también se puede escribir de esta forma a b = a b;
- Propiedad de la potencia de un número. a con exponente par a 2 m = a m para cualquier número a, por ejemplo, la propiedad del cuadrado de un número a 2 = a.
En cualquiera de las ecuaciones presentadas, puedes intercambiar las partes antes y después del signo de guión, por ejemplo, la igualdad a · b = a · b se transforma como a · b = a · b. Las propiedades de igualdad se utilizan a menudo para simplificar ecuaciones complejas.
La prueba de las primeras propiedades se basa en la definición de la raíz cuadrada y las propiedades de las potencias con indicador natural. Para justificar la tercera propiedad, es necesario remitirse a la definición del módulo de un número.
En primer lugar, es necesario demostrar las propiedades de la raíz cuadrada a · b = a · b. Según la definición, es necesario considerar que a b es un número, positivo o igual a cero, que será igual a un segundo durante la construcción en un cuadrado. El valor de la expresión a · b es positivo o igual a cero como producto de números no negativos. La propiedad de las potencias de números multiplicados nos permite representar la igualdad en la forma (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Por definición de raíz cuadrada, a 2 = a y b 2 = b, entonces a · b = a 2 · b 2 = a · b.
De manera similar se puede demostrar que a partir del producto k multiplicadores un 1 , un 2 , ... , un k será igual al producto raíces cuadradas de estos factores. De hecho, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
De esta igualdad se deduce que a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Veamos algunos ejemplos para reforzar el tema.
Ejemplo 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 y 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0, 2 (1) .
Es necesario demostrar la propiedad de la raíz cuadrada aritmética del cociente: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. La propiedad nos permite escribir la igualdad a: b 2 = a 2: b 2, y a 2: b 2 = a: b, mientras que a: b es un número positivo o igual a cero. Esta expresión se convertirá en la prueba.
Por ejemplo, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 y 30,121 = 30,121.
Consideremos la propiedad de la raíz cuadrada del cuadrado de un número. Se puede escribir como una igualdad como a 2 = a Para demostrar esta propiedad, es necesario considerar en detalle varias igualdades para a ≥ 0 y en a< 0 .
Obviamente, para a ≥ 0 la igualdad a 2 = a es cierta. En a< 0 la igualdad a 2 = - a será verdadera. De hecho, en este caso − a > 0 y (− a ) 2 = a 2 . Podemos concluir, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 2
5 2 = 5 = 5 y - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.
La propiedad probada ayudará a justificar a 2 m = a m, donde a– real, y metro-número natural. De hecho, la propiedad de elevar una potencia nos permite reemplazar la potencia. un 2m expresión (soy) 2, entonces a 2 m = (a m) 2 = a m.
Ejemplo 3
3 8 = 3 4 = 3 4 y (- 8 , 3 ) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Propiedades de la raíz enésima
Primero, debemos considerar las propiedades básicas de las raíces enésimas:
- Propiedad del producto de números. a Y b, que son positivas o iguales a cero, se pueden expresar como la igualdad a · b n = a n · b n , esta propiedad es válida para el producto k números un 1 , un 2 , ... , un k como a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
- de un número fraccionario tiene la propiedad a b n = a n b n , donde a es cualquier número real que sea positivo o igual a cero, y b– número real positivo;
- Para cualquier a e incluso indicadores norte = 2 metros a 2 · m 2 · m = a es verdadero, y para impares norte = 2 metro - 1 se cumple la igualdad a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Propiedad de extracción de a m n = a n m , donde a– cualquier número, positivo o igual a cero, norte Y metro – números enteros, esta propiedad también se puede representar en el formulario. . . un norte k norte 2 norte 1 = un norte 1 · norte 2 . . . · n k ;
- Para cualquier a no negativo y arbitrario norte Y metro, que son naturales, también podemos definir la igualdad justa a m n · m = a n ;
- Propiedad de grado norte de la potencia de un número a, que es positivo o igual a cero, a la potencia natural metro, definido por la igualdad a m n = a n m ;
- Propiedad de comparación que tienen los mismos exponentes: para cualquier número positivo a Y b tal que a< b , la desigualdad a n< b n ;
- Propiedad de comparación que tienen los mismos números debajo de la raíz: si metro Y norte – números naturales que metro > norte, entonces en 0 < a < 1 la desigualdad a m > a n es verdadera, y cuando un > 1 ejecutado un m< a n .
Las igualdades dadas anteriormente son válidas si se intercambian las partes antes y después del signo igual. También se pueden utilizar de esta forma. Esto se usa a menudo al simplificar o transformar expresiones.
La prueba de las propiedades anteriores de una raíz se basa en la definición, las propiedades del grado y la definición del módulo de un número. Estas propiedades deben ser probadas. Pero todo está en orden.
- En primer lugar, demostremos las propiedades de la raíz enésima del producto a · b n = a n · b n . Para a Y b , que son positivo o igual a cero , el valor a n · b n también es positivo o igual a cero, ya que es consecuencia de la multiplicación de números no negativos. La propiedad de un producto respecto a la potencia natural nos permite escribir la igualdad a n · b n n = a n n · b n n . Por definición de raíz norte-ésimo grado a n n = a y b n n = b , por lo tanto, a n · b n n = a · b . La igualdad resultante es exactamente lo que había que demostrar.
Esta propiedad se puede demostrar de manera similar para el producto. k multiplicadores: para números no negativos a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
A continuación se muestran ejemplos del uso de la propiedad raíz. norte-ésima potencia del producto: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 y 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Demostremos la propiedad de la raíz del cociente a b n = a n b n . En a ≥ 0 Y b > 0 se cumple la condición a n b n ≥ 0, y a n b n n = a n n b n n = a b .
Veamos ejemplos:
Ejemplo 4
8 27 3 = 8 3 27 3 y 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.
- Para el siguiente paso es necesario demostrar las propiedades del enésimo grado desde el número hasta el grado. norte. Imaginemos esto como la igualdad a 2 m 2 m = a y a 2 m - 1 2 m - 1 = a para cualquier real a y naturales metro. En a ≥ 0 obtenemos a = a y a 2 m = a 2 m, lo que prueba la igualdad a 2 m 2 m = a, y la igualdad a 2 m - 1 2 m - 1 = a es obvia. En a< 0 obtenemos, respectivamente, a = - a y a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. La última transformación de un número es válida según la propiedad de la potencia. Esto es precisamente lo que demuestra que la igualdad a 2 m 2 m = a, y a 2 m - 1 2 m - 1 = a será cierta, ya que se considera el grado impar - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 para cualquier numero C , positivo o igual a cero.
Para consolidar la información recibida, consideremos varios ejemplos utilizando la propiedad:
Ejemplo 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 y (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Demostremos la siguiente igualdad a m n = a n m . Para hacer esto, necesitas intercambiar los números antes y después del signo igual a n · m = a m n. Esto significará que la entrada es correcta. Para a, que es positivo o igual a cero , de la forma a m n es un número positivo o igual a cero. Pasemos a la propiedad de elevar una potencia a potencia y su definición. Con su ayuda, puedes transformar igualdades en la forma a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Esto prueba la propiedad de la raíz de la raíz considerada.
Otras propiedades se demuestran de manera similar. En realidad, . . . un k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . ·n k = . . . un k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . ·n k = . . . un k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . ·n k = . . . = una norte k norte k = una .
Por ejemplo, 7 3 5 = 7 5 3 y 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Demostremos la siguiente propiedad a m n · m = a n . Para ello, es necesario demostrar que an es un número positivo o igual a cero. Cuando se eleva a la potencia n m es igual a soy. si el numero a es positivo o igual a cero, entonces norte-ésimo grado de entre a es un número positivo o igual a 0. En este caso, a n · m n = a n n m , que es lo que había que demostrar.
Para consolidar los conocimientos adquiridos, veamos algunos ejemplos.
- Probemos la siguiente propiedad: la propiedad de una raíz de una potencia de la forma a m n = a n m . Es obvio que cuando a ≥ 0 el grado a n m es un número no negativo. Además, ella norte la enésima potencia es igual a soy, de hecho, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Esto prueba la propiedad del título considerado.
Por ejemplo, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Es necesario demostrar que para cualquier número positivo a y b la condición se cumple a< b . Considere la desigualdad a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Por lo tanto, una n< b n при a< b .
Por ejemplo, demos 12 4< 15 2 3 4 .
- Considere la propiedad de la raíz. norte-ésimo grado. Es necesario considerar primero la primera parte de la desigualdad. En metro > norte Y 0 < a < 1 verdadero un metro > un norte . Supongamos que am ≤ an. Las propiedades le permitirán simplificar la expresión a a n m · n ≤ a m m · n . Entonces, de acuerdo con las propiedades de un grado con exponente natural, se cumple la desigualdad a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, es decir, un norte ≤ un metro. El valor obtenido en metro > norte Y 0 < a < 1 no corresponde a las propiedades dadas anteriormente.
De la misma manera se puede demostrar que cuando metro > norte Y un > 1 la condición a m es verdadera< a n .
Para consolidar las propiedades anteriores, consideremos varias ejemplos específicos. Veamos las desigualdades usando números específicos.
Ejemplo 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
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Intentemos descubrir cuál es este concepto de "raíz" y "con qué se come". Para hacer esto, veamos ejemplos que ya ha encontrado en clase (bueno, o que está a punto de encontrar esto).
Por ejemplo, tenemos una ecuación. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? ¿Qué números se pueden elevar al cuadrado y obtener? Al recordar la tabla de multiplicar, puedes dar fácilmente la respuesta: y (después de todo, cuando se multiplican dos números negativos, se obtiene un número positivo). Para simplificar, los matemáticos introdujeron el concepto especial de raíz cuadrada y le asignaron un símbolo especial.
Definamos la raíz cuadrada aritmética.
¿Por qué el número tiene que ser no negativo? Por ejemplo, ¿a qué es igual? Bueno, bueno, intentemos elegir uno. ¿Tal vez tres? Comprobemos: , no. Tal vez, ? Nuevamente comprobamos: . Bueno, ¿no encaja? Esto es de esperarse, ¡porque no hay números que, cuando se elevan al cuadrado, den un número negativo!
Esto es lo que debes recordar: ¡El número o expresión debajo del signo raíz no debe ser negativo!
Sin embargo, los más atentos probablemente ya se habrán dado cuenta de que la definición dice que la solución de la raíz cuadrada de “un número se llama así no negativo número cuyo cuadrado es igual a ". Algunos de ustedes dirán que al principio analizamos el ejemplo, seleccionamos números que se pueden elevar al cuadrado y obtener, la respuesta fue y, ¡pero aquí estamos hablando de algún tipo de "número no negativo"! Esta observación es bastante apropiada. Aquí solo necesitas distinguir entre los conceptos de ecuaciones cuadráticas y la raíz cuadrada aritmética de un número. Por ejemplo, no es equivalente a la expresión.
De ello se deduce que, es decir, o. (Lea el tema "")
Y se sigue de eso.
Por supuesto, esto es muy confuso, pero es necesario recordar que los signos son el resultado de resolver la ecuación, ya que al resolver la ecuación debemos escribir todas las X, las cuales, al sustituirlas en la ecuación original, darán resultado correcto. En nuestro ecuación cuadrática adecuado para ambos.
Sin embargo, si solo saca la raíz cuadrada de algo, entonces siempre obtenemos un resultado no negativo.
Ahora intenta resolver esta ecuación. Ya no todo es tan sencillo y fluido, ¿verdad? Intente repasar los números, ¿tal vez algo funcione? Empecemos desde el principio, desde cero: - no encaja, siga adelante - menos de tres, también deje a un lado, y si. Comprobemos: - tampoco es adecuado, porque... eso es más de tres. Es la misma historia con los números negativos. ¿Entonces que debemos hacer ahora? ¿La búsqueda realmente no nos dio nada? En absoluto, ahora sabemos con seguridad que la respuesta será algún número entre y, así como entre y. Además, obviamente las soluciones no serán números enteros. Además, no son racionales. Entonces, ¿qué sigue? Grafiquemos la función y marquemos las soluciones en ella.
¡Intentemos engañar al sistema y obtener la respuesta usando una calculadora! ¡Saquemosle la raíz! Oh-oh-oh, resulta que. Este número nunca termina. ¿¡Cómo puedes recordar esto, si no habrá calculadora en el examen!? Todo es muy sencillo, no es necesario que lo recuerdes, solo necesitas recordar (o poder estimar rápidamente) el valor aproximado. y las respuestas mismas. Estos números se llaman irracionales; fue para simplificar la escritura de tales números que se introdujo el concepto de raíz cuadrada.
Veamos otro ejemplo para reforzar esto. Veamos el siguiente problema: necesitas cruzar un campo cuadrado de lado de km en diagonal, ¿cuántos km tienes que recorrer?
Lo más obvio aquí es considerar el triángulo por separado y utilizar el teorema de Pitágoras: . De este modo, . Entonces, ¿cuál es la distancia requerida aquí? Evidentemente, la distancia no puede ser negativa, lo entendemos. La raíz de dos es aproximadamente igual, pero, como señalamos anteriormente, ya es una respuesta completa.
Para resolver ejemplos con raíces sin causar problemas, es necesario verlos y reconocerlos. Para hacer esto, necesita conocer al menos los cuadrados de los números desde hasta y también poder reconocerlos. Por ejemplo, necesitas saber qué es igual a un cuadrado y también, a la inversa, qué es igual a un cuadrado.
¿Entendiste qué es una raíz cuadrada? Luego resuelve algunos ejemplos.
Ejemplos.
Bueno, ¿cómo resultó? Ahora veamos estos ejemplos:
Respuestas:
raíz cúbica
Bueno, parece que hemos resuelto el concepto de raíz cuadrada, ahora intentemos descubrir qué es una raíz cúbica y cuál es su diferencia.
La raíz cúbica de un número es el número cuyo cubo es igual. ¿Has notado que aquí todo es mucho más sencillo? No hay restricciones en valores posibles tanto los valores bajo el signo de la raíz cúbica como el número que se extrae. Es decir, la raíz cúbica se puede extraer de cualquier número: .
¿Sabes qué es una raíz cúbica y cómo extraerla? Luego continúa y resuelve los ejemplos.
Ejemplos.
Respuestas:
Raíz - oh grado
Bueno, hemos entendido los conceptos de raíces cuadradas y cúbicas. Ahora resumamos el conocimiento adquirido con el concepto. 1ra raíz.
1ra raíz de un número es un número cuya ésima potencia es igual, es decir
equivalente.
Si incluso, Eso:
- con negativo, la expresión no tiene sentido (raíces pares de números negativos no se puede eliminar!);
- para no negativo() la expresión tiene una raíz no negativa.
Si - es impar, entonces la expresión tiene una raíz única para cualquiera.
No se alarme, aquí se aplican los mismos principios que con las raíces cuadradas y cúbicas. Es decir, los principios que aplicamos al considerar raíces cuadradas se extienden a todas las raíces de grado par.
Y las propiedades que se usaron para la raíz cúbica se aplican a raíces de grado impar.
Bueno, ¿ha quedado más claro? Veamos ejemplos:
Aquí todo está más o menos claro: primero miramos: sí, el grado es par, el número bajo la raíz es positivo, lo que significa que nuestra tarea es encontrar un número cuyo cuarto poder nos dé. Bueno, ¿alguna suposición? Tal vez, ? ¡Exactamente!
Entonces, el grado es igual - impar, el número bajo la raíz es negativo. Nuestra tarea es encontrar un número que, elevado a una potencia, produzca. Es bastante difícil notar inmediatamente la raíz. Sin embargo, puedes limitar tu búsqueda inmediatamente, ¿verdad? En primer lugar, el número requerido es definitivamente negativo y, en segundo lugar, se puede notar que es impar y, por lo tanto, el número deseado es impar. Intenta encontrar la raíz. Por supuesto, puedes descartarlo con seguridad. Tal vez, ?
¡Sí, esto es lo que estábamos buscando! Tenga en cuenta que para simplificar el cálculo utilizamos las propiedades de los grados: .
Propiedades básicas de las raíces.
¿Está vacío? Si no es así, después de mirar los ejemplos, todo debería encajar.
Multiplicando raíces
¿Cómo multiplicar raíces? La propiedad más simple y básica ayuda a responder esta pregunta:
Comencemos con algo simple:
¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:
¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:
¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!
¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:
¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo tienes que recordar eso Solo podemos ingresar números positivos bajo el signo raíz de un grado par.
Veamos en qué más puede ser útil esto. Por ejemplo, el problema requiere comparar dos números:
Que mas:
No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz. Entonces adelante:
Bueno, sabiendo lo que numero mayor¡Bajo el signo de la raíz, más grande es la raíz misma! Aquellos. si, entonces, . De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!
Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas factorizarlo en factores y extraer lo que extraes!
Fue posible tomar un camino diferente y expandirse a otros factores:
No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.
Por ejemplo, aquí hay una expresión:
En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:
Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:
Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:
Bueno, ¿está todo claro? Entonces aquí tienes un ejemplo:
Estos son los peligros, sobre ellos. siempre vale la pena recordar. En realidad, esto se refleja en los ejemplos de propiedades:
| para impar: para pares y: |
¿Está vacío? Reforzar con ejemplos:
Sí, vemos que la raíz está elevada a una potencia par, el número negativo debajo de la raíz también está elevado a una potencia par. Bueno, ¿funciona igual? Esto es lo que:
¡Eso es todo! Ahora aquí hay algunos ejemplos:
¿Entiendo? Luego continúa y resuelve los ejemplos.
Ejemplos.
Respuestas.
Si ha recibido respuestas, entonces puede tranquilidad de espíritu siga adelante. Si no, entonces entendamos estos ejemplos:
Veamos otras dos propiedades de las raíces:
Estas propiedades deben analizarse en ejemplos. Bueno, ¿hagamos esto?
¿Entiendo? Asegurémoslo.
Ejemplos.
Respuestas.
RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. NIVEL PROMEDIO
raíz cuadrada aritmética
La ecuación tiene dos soluciones: y. Son números cuyo cuadrado es igual a.
Considere la ecuación. Resolvámoslo gráficamente. Dibujemos una gráfica de la función y una recta en el nivel. Los puntos de intersección de estas líneas serán las soluciones. Vemos que esta ecuación también tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa:
Pero en en este caso las soluciones no son números enteros. Además, no son racionales. Para anotar estas decisiones irracionales, introducimos un símbolo especial de raíz cuadrada.
raíz cuadrada aritmética es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a. Cuando la expresión no está definida, porque No existe ningún número cuyo cuadrado sea igual a un número negativo.
Raíz cuadrada: .
Por ejemplo, . Y sigue eso o.
Déjame llamar tu atención una vez más, esto es muy importante: La raíz cuadrada es siempre un número no negativo: !
raíz cúbica de un número es un número cuyo cubo es igual a. La raíz cúbica está definida para todos. Se puede extraer de cualquier número: . Como puedes ver, también puede tomar valores negativos.
La raíz enésima de un número es un número cuya enésima potencia es igual, es decir
Si es par, entonces:
- si, entonces la raíz enésima de a no está definida.
- si, entonces la raíz no negativa de la ecuación se llama raíz aritmética del ésimo grado de y se denota.
Si - es impar, entonces la ecuación tiene una raíz única para cualquiera.
¿Has notado que a la izquierda encima del signo de la raíz escribimos su grado? ¡Pero no para la raíz cuadrada! Si ves una raíz sin grado, significa que es cuadrada (grados).
Ejemplos.
Propiedades básicas de las raíces.
RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo se llama así número no negativo cuyo cuadrado es
Propiedades de las raíces:
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Tenga en cuenta que una de las raíces cuadradas X= 9 es un número positivo. Se llama raíz cuadrada aritmética de 81 y se denota √81, por lo que √81 = 9.
Raíz cuadrada aritmética de un número A es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a A.
Por ejemplo, los números 6 y - 6 son raíces cuadradas del número 36. Sin embargo, el número 6 es una raíz cuadrada aritmética de 36, ya que 6 es un número no negativo y 6² = 36. El número - 6 no es un raíz aritmética.
Raíz cuadrada aritmética de un número A denotado de la siguiente manera: √ A.
El signo se llama signo de raíz cuadrada aritmética; A- llamó expresión radical. Expresión √ A leer así: raíz cuadrada aritmética de un número A. Por ejemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. En los casos en los que está claro que estamos hablando de una raíz aritmética, dicen brevemente: “la raíz cuadrada de A«.
El acto de encontrar la raíz cuadrada de un número se llama raíz cuadrada. Esta acción es la inversa de elevar al cuadrado.
Puedes elevar al cuadrado cualquier número, pero no puedes extraer raíces cuadradas de ningún número. Por ejemplo, es imposible extraer la raíz cuadrada del número - 4. Si tal raíz existiera, entonces, denotándola con la letra X, obtendríamos la igualdad incorrecta x² = - 4, ya que hay un número no negativo a la izquierda y un número negativo a la derecha.
Expresión √ A sólo tiene sentido cuando un ≥ 0. La definición de raíz cuadrada se puede escribir brevemente como: √ un ≥ 0, (√A)² = A. Igualdad (√ A)² = A valido para un ≥ 0. Por tanto, para garantizar que la raíz cuadrada de un número no negativo A es igual b, es decir, en el hecho de que √ A =b, debe comprobar que se cumplan las dos condiciones siguientes: segundo ≥ 0, b² = A.
Raíz cuadrada de una fracción
Calculemos. Tenga en cuenta que √25 = 5, √36 = 6, y comprobemos si se cumple la igualdad.
Porque 
y , entonces la igualdad es verdadera. Entonces, 
.
Teorema: Si A≥ 0 y b> 0, es decir, la raíz de la fracción es igual a la raíz del numerador dividida por la raíz del denominador. Se requiere demostrar que: y 
.
Desde √ A≥0 y √ b> 0, entonces.
Sobre la propiedad de elevar una fracción a una potencia y la definición de raíz cuadrada 
el teorema está demostrado. Veamos algunos ejemplos.
Calcula usando el teorema probado. 
.
Segundo ejemplo: Demuestre que 
, Si A ≤ 0, b < 0. 
.
Otro ejemplo: Calcular.
.
Conversión de raíz cuadrada
Quitando el multiplicador de debajo del signo raíz. Dejemos que se dé la expresión. Si A≥ 0 y b≥ 0, entonces usando el teorema de la raíz del producto podemos escribir:
Esta transformación se llama eliminar el factor del signo raíz. Veamos un ejemplo;
Calcular en X= 2. Sustitución directa X= 2 en la expresión radical conduce a cálculos complejos. Estos cálculos se pueden simplificar si primero elimina los factores debajo del signo raíz: . Sustituyendo ahora x = 2, obtenemos:.
Entonces, al quitar un factor de debajo del signo de la raíz, la expresión radical se representa como un producto en el que uno o más factores son cuadrados de números no negativos. Luego aplica el teorema de la raíz del producto y saca la raíz de cada factor. Consideremos un ejemplo: Simplificamos la expresión A = √8 + √18 - 4√2 quitando los factores en los dos primeros términos debajo del signo de la raíz, obtenemos:. Destacamos que la igualdad 
válido sólo cuando A≥ 0 y b≥ 0. si A < 0, то .
Felicitaciones: hoy veremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)
Mucha gente se confunde con las raíces, no porque sean complejas (lo que tiene de complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de una jungla tal que solo los autores de los libros de texto ellos mismos pueden entender este escrito. Y aun así sólo con una botella de buen whisky. :)
Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de raíz, la única que realmente debes recordar. Y luego explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.
Pero primero recuerda uno. punto importante, que muchos compiladores de libros de texto, por alguna razón, “olvidan”:
Las raíces pueden ser de grado par (nuestro $\sqrt(a)$ favorito, así como todo tipo de $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (todo tipo de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente a la de raíz par.
Probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces se esconden en este jodido "algo diferente". Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:
Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo el número $b$ es tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.
En cualquier caso, la raíz se denota así:
\(a)\]
El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (grado impar), que es También se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.
Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]
Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico, ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.
Las raíces cúbicas también son comunes; no hay que temerles:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]
Bueno, un par de “ejemplos exóticos”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]
Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par e impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!
Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual tuvimos que introducir una definición separada para exponentes pares e impares.
¿Por qué se necesitan raíces?
Después de leer la definición, muchos estudiantes se preguntarán: "¿Qué fumaban los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué se necesitan todas estas raíces?
Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a clases primarias. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como “cinco por cinco – veinticinco”, eso es todo. Pero puedes multiplicar números no en pares, sino en tripletes, cuádruples y, en general, conjuntos completos:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son gente vaga, por eso les costó mucho escribir la multiplicación de diez por cinco así:
Por eso se les ocurrió los títulos. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Algo como esto:
¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino y cuadernos para anotar unos 5.183. Este disco se llamó potencia de un número; en él se encontraron muchas propiedades, pero la felicidad resultó ser de corta duración.
Después de una grandiosa fiesta organizada precisamente para “descubrir” los grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: “¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero el número en sí es desconocido?” Ahora bien, si sabemos que un cierto número $b$, digamos, elevado a la quinta potencia da 243, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $b$?
Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los poderes "ya preparados" no existen tales números "iniciales". Juzgue usted mismo:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]
¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitamos encontrar un número determinado que, multiplicado por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es este número se encuentra entre tres y cuatro, pero no entenderás a qué equivale.
Precisamente por eso a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$ésima. Precisamente por eso se introdujo el símbolo radical $\sqrt(*)$. Designar el propio número $b$, que en el grado indicado nos dará un valor previamente conocido
\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]
No discuto: a menudo estas raíces se calculan fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego intentas extraer de él la raíz de un grado arbitrario, te espera un terrible fastidio.
¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual: como un número entero o una fracción. Y si ingresas este número en una calculadora, verás esto:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Como puedes ver, después del punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puedes redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:
\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox 1.4 \lt 1.5\]
O aquí hay otro ejemplo:
\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox 1.7 \gt 1.5\]
Pero todos estos rodeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, se requiere la habilidad de comparar y redondear para aprobar el examen de perfil).
Por lo tanto, en matemáticas serias no se puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, al igual que las fracciones y los números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.
La incapacidad de representar una raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Estos números se denominan irracionales y no se pueden representar con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para ello (logaritmos, potencias, límites, etc.). Pero hablaremos de eso en otro momento.
Consideremos algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales seguirán estando en la respuesta.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1.2599... \\ \end(align)\]
Naturalmente, según apariencia raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puedes contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada solo nos da los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.
Precisamente por eso se inventaron. Para registrar cómodamente las respuestas.
¿Por qué se necesitan dos definiciones?
El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos están tomadas de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se pueden extraer fácilmente de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.
¿Por qué está pasando esto? Eche un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:
Cronograma función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa Intentemos calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para hacer esto, se dibuja una línea horizontal $y=4$ en el gráfico (marcada en rojo), que se cruza con la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que
Con el primer número todo está claro: es positivo, por lo que es la raíz:
Pero entonces ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Cuatro tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir entonces $\sqrt(4)=-2$? ¿Y por qué los profesores miran esas publicaciones como si quisieran comerte? :)
El problema es que si no impones ninguna condición adicional, entonces el quad tendrá dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán ninguna raíz; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. No acepta valores negativos.
Un problema similar ocurre para todas las raíces con exponente par:
- Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
- De los números negativos, la raíz par $n$ no se extrae en absoluto.
Es por eso que en la definición de raíz de grado par $n$ se estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.
Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, veamos la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:
Una parábola cúbica puede tomar cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número. De este gráfico se pueden extraer dos conclusiones:
- Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de una normal, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, no importa a qué altura dibujemos una línea horizontal, esta línea seguramente se cruzará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer absolutamente de cualquier número;
- Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no es necesario pensar qué número se considera la raíz "correcta" y cuál ignorar. Es por eso que determinar las raíces para un grado impar es más sencillo que para un grado par (no hay requisito de no negatividad).
Es una pena que estos Cosas simples no se explican en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a funcionar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.
Sí, no discuto: también necesitas saber qué es una raíz aritmética. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de ello, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $n$-ésima estarían incompletos.
Pero primero debes comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, se formará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada de nada.
Todo lo que necesitas hacer es entender la diferencia entre indicadores pares e impares. Por eso, recopilemos una vez más todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:
- Una raíz de grado par existe sólo a partir de un número no negativo y en sí misma es siempre un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
- Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí mismo cualquier número: para números positivos es positiva y para números negativos, como sugiere el límite, es negativa.
¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es completamente obvio! Así que ahora practicaremos un poco con los cálculos.
Propiedades básicas y limitaciones.
Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; esto se discutirá en una lección separada. Por lo tanto, ahora consideraremos sólo el "truco" más importante, que se aplica sólo a raíces con un índice par. Escribamos esta propiedad como una fórmula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]
En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz de la misma potencia, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede probar fácilmente (basta con considerar $x$ no negativos por separado y luego los negativos por separado). Los profesores hablan constantemente de ello, se incluye en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen un signo radical), los estudiantes olvidan unánimemente esta fórmula.
Para entender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos calcular dos números directamente:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Esto es muy ejemplos simples. La mayoría de la gente resolverá el primer ejemplo, pero mucha gente se quedará estancada en el segundo. Para resolver cualquier problema de este tipo sin problemas, considere siempre el procedimiento:
- Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es algo fácil. Obtendrá un nuevo número que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
- Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz cuarta. Aquellos. no se produce ninguna "reducción" de raíces y poderes; estas son acciones secuenciales.
Veamos la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero necesitas calcular la expresión bajo la raíz:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:
Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, lo que requiere multiplicarlo por sí mismo 4 veces:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]
Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de desventajas en el producto es 4, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). Luego volvemos a extraer la raíz:
En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta sería la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los inconvenientes y, en este sentido, el resultado es indistinguible de un módulo normal:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecha|=3. \\ \end(alinear)\]
Estos cálculos concuerdan con la definición de raíz de grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también siempre contiene un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.
Nota sobre el procedimiento
- La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que siempre hay un número no negativo bajo el signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ en cualquier caso;
- Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero tomamos la raíz de un cierto número $a$ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.
Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente raíces y grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si la raíz tiene un número negativo y su exponente es par, tenemos muchos problemas.
Sin embargo, todos estos problemas son relevantes sólo para indicadores pares.
Quitar el signo menos debajo del signo raíz
Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que en principio no existe con las pares. A saber:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
En resumen, puede eliminar el signo negativo debajo del signo de raíces de grado impar. Esto es muy propiedad útil, que te permite "tirar" todos los negativos:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]
Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no se preocupe: ¿qué pasa si debajo de la raíz se oculta una expresión negativa, pero el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los inconvenientes fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", seguramente nos llevarán a un error.
Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que en la mayoría de las escuelas se inicia el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Encontrarse!
raíz aritmética
Supongamos por un momento que bajo el signo raíz sólo puede haber números positivos o, en casos extremos, cero. Olvidémonos de los indicadores pares/impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?
Y luego obtendremos una raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.
Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.
Como podemos ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.
Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a las gráficas de la parábola cuadrada y cúbica con las que ya estamos familiarizados:
Área de búsqueda de raíces aritméticas: números no negativos Como puede ver, de ahora en adelante solo nos interesan aquellos fragmentos de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ e $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a poner un número negativo debajo de la raíz o no. Porque, en principio, los números negativos ya no se consideran.
Quizás se pregunte: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan neutralizada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada anteriormente?"
Bueno, daré sólo una propiedad por la cual la nueva definición resulta apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay ejemplos:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
¿Así que cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos hacer esto antes? Este es el por qué. Consideremos una expresión simple: $\sqrt(-2)$ - este número es bastante normal en nuestro entendimiento clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Como puedes ver, en el primer caso quitamos el menos debajo del radical (tenemos todo el derecho, ya que el exponente es impar), y en el segundo caso usamos la fórmula anterior. Aquellos. Desde un punto de vista matemático, todo se hace según las reglas.
¡¿Qué carajo?! ¿Cómo puede un mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Lo que pasa es que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, empieza a producir una completa herejía en el caso de los números negativos.
Fue para deshacerse de tal ambigüedad que se les ocurrió raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos todas sus propiedades en detalle. Así que no nos detendremos en ellos ahora: la lección ya resultó ser demasiado larga.
Raíz algebraica: para los que quieren saber más
Durante mucho tiempo pensé si poner este tema en un párrafo aparte o no. Al final decidí dejarlo aquí. Este material está destinado a aquellos que quieren comprender aún mejor las raíces, ya no en el nivel "escolar" promedio, sino en uno cercano al nivel de la Olimpiada.
Entonces: además de la definición "clásica" de la $n$ésima raíz de un número y la división asociada en exponentes pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas. Esto se llama raíz algebraica.
Definición. La raíz algebraica $n$ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación establecida para dichas raíces, por lo que simplemente pondremos un guión encima:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que raíz algebraica- Este no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, este conjunto viene en sólo tres tipos:
- Conjunto vacio. Ocurre cuando necesitas encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
- Conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares de cero, entran en esta categoría;
- Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar una función cuadrática. En consecuencia, tal disposición sólo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.
El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.
Ejemplo. Evalúa las expresiones:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Solución. La primera expresión es simple:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Son dos números los que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Aquí vemos un conjunto formado por un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.
Finalmente, la última expresión:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Recibimos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta potencia (es decir, ¡par!), nos dé el número negativo −16.
Nota final. Tenga en cuenta: no es casualidad que haya notado en todas partes que trabajamos con números reales. Porque también hay números complejos: es muy posible calcular $\sqrt(-16)$ allí, y muchas otras cosas extrañas.
Sin embargo, los números complejos casi nunca aparecen en los cursos de matemáticas de las escuelas modernas. Han sido eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es “demasiado difícil de entender”.
