Diferencia de logaritmos naturales. Fórmulas de logaritmos. Soluciones de ejemplos de logaritmos

En relación a

Se puede establecer la tarea de encontrar cualquiera de los tres números a partir de los otros dos dados. Si se dan a y luego N, se encuentran mediante exponenciación. Si N y entonces a están dados sacando la raíz del grado x (o elevándolo a la potencia). Consideremos ahora el caso en el que, dados a y N, necesitamos encontrar x.

Sea positivo el número N: sea positivo el número a y distinto de uno: .

Definición. El logaritmo del número N en base a es el exponente al que se debe elevar a para obtener el número N; el logaritmo se denota por

Así, en la igualdad (26.1) el exponente se encuentra como el logaritmo de N en base a. Publicaciones

tienen el mismo significado. La igualdad (26.1) a veces se considera la identidad principal de la teoría de los logaritmos; en realidad expresa la definición del concepto de logaritmo. Por esta definición La base del logaritmo a siempre es positiva y distinta de la unidad; el número logarítmico N es positivo. Los números negativos y el cero no tienen logaritmos. Se puede demostrar que cualquier número con una base determinada tiene un logaritmo bien definido. Por lo tanto, la igualdad implica. Tenga en cuenta que la condición aquí es esencial; de lo contrario, la conclusión no estaría justificada, ya que la igualdad es verdadera para cualquier valor de x e y.

Ejemplo 1. Encontrar

Solución. Para obtener un número, debes elevar la base 2 a la potencia Por tanto.

Puede tomar notas al resolver dichos ejemplos de la siguiente forma:

Ejemplo 2. Encuentra .

Solución. Tenemos

En los ejemplos 1 y 2, encontramos fácilmente el logaritmo deseado representando el número del logaritmo como una potencia de la base con un exponente racional. En el caso general, por ejemplo, etc., esto no se puede hacer, ya que el logaritmo tiene un valor irracional. Prestemos atención a una cuestión relacionada con esta afirmación. En el párrafo 12, dimos el concepto de la posibilidad de determinar cualquier potencia real de un número positivo dado. Esto fue necesario para la introducción de los logaritmos, que, en general, pueden ser números irracionales.

Veamos algunas propiedades de los logaritmos.

Propiedad 1. Si el número y la base son iguales, entonces el logaritmo es igual a uno y, a la inversa, si el logaritmo es igual a uno, entonces el número y la base son iguales.

Prueba. Dejemos que por la definición de logaritmo tenemos y de donde

Por el contrario, dejemos entonces por definición

Propiedad 2. El logaritmo de uno con cualquier base es igual a cero.

Prueba. Por definición de logaritmo (la potencia cero de cualquier base positiva es igual a uno, ver (10.1)). De aquí

Q.E.D.

La afirmación inversa también es cierta: si , entonces N = 1. De hecho, tenemos .

Antes de formular la siguiente propiedad de los logaritmos, aceptemos decir que dos números a y b se encuentran en el mismo lado del tercer número c si ambos son mayores que c o menores que c. Si uno de estos números es mayor que c y el otro es menor que c, entonces diremos que están a lo largo lados diferentes del pueblo

Propiedad 3. Si el número y la base están en el mismo lado de uno, entonces el logaritmo es positivo; Si el número y la base están en lados opuestos de uno, entonces el logaritmo es negativo.

La prueba de la propiedad 3 se basa en el hecho de que la potencia de a es mayor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es positivo o la base es menor que uno y el exponente es negativo. Una potencia es menor que uno si la base es mayor que uno y el exponente es negativo o la base es menor que uno y el exponente es positivo.

Hay cuatro casos para considerar:

Nos limitaremos a analizar el primero de ellos; el lector considerará por su cuenta el resto.

Supongamos entonces que en igualdad el exponente no puede ser negativo ni igual a cero, por lo tanto, es positivo, es decir, como se requiere demostrar.

Ejemplo 3. Descubra cuáles de los siguientes logaritmos son positivos y cuáles son negativos:

Solución, a) ya que el número 15 y la base 12 se encuentran en el mismo lado de uno;

b) ya que 1000 y 2 están ubicados en un lado de la unidad; en este caso no importa que la base sea mayor que el número logarítmico;

c) dado que 3,1 y 0,8 se encuentran en lados opuestos de la unidad;

G); ¿Por qué?

d) ; ¿Por qué?

Las siguientes propiedades 4-6 a menudo se denominan reglas de logaritmación: permiten, conociendo los logaritmos de algunos números, encontrar los logaritmos de su producto, cociente y grado de cada uno de ellos.

Propiedad 4 (regla del logaritmo del producto). Logaritmo del producto de varios números positivos a una base determinada. igual a la suma logaritmos de estos números en la misma base.

Prueba. Sean positivos los números dados.

Para el logaritmo de su producto, escribimos la igualdad (26.1) que define el logaritmo:

Desde aquí encontraremos

Comparando los exponentes de la primera y la última expresión, obtenemos la igualdad requerida:

Tenga en cuenta que la condición es esencial; el logaritmo del producto de dos números negativos tiene sentido, pero en este caso obtenemos

En general, si el producto de varios factores es positivo, entonces su logaritmo es igual a la suma de los logaritmos de los valores absolutos de estos factores.

Propiedad 5 (regla para tomar logaritmos de cocientes). El logaritmo de un cociente de números positivos es igual a la diferencia entre los logaritmos del dividendo y del divisor, llevados a la misma base. Prueba. Constantemente encontramos

Q.E.D.

Propiedad 6 (regla del logaritmo de potencias). El logaritmo de la potencia de cualquier número positivo es igual al logaritmo de ese número multiplicado por el exponente.

Prueba. Escribamos nuevamente la identidad principal (26.1) del número:

Q.E.D.

Consecuencia. El logaritmo de una raíz de un número positivo es igual al logaritmo del radical dividido por el exponente de la raíz:

La validez de este corolario se puede probar imaginando cómo y utilizando la propiedad 6.

Ejemplo 4. Llevar logaritmo a base a:

a) (se supone que todos los valores b, c, d, e son positivos);

b) (se supone que ).

Solución, a) Conviene ir a potencias fraccionarias en esta expresión:

Con base en las igualdades (26.5)-(26.7), ahora podemos escribir:

Notamos que se realizan operaciones más simples sobre los logaritmos de los números que sobre los números mismos: al multiplicar números se suman sus logaritmos, al dividir se restan, etc.

Es por eso que los logaritmos se utilizan en la práctica informática (ver párrafo 29).

La acción inversa del logaritmo se llama potenciación, a saber: la potenciación es la acción mediante la cual se encuentra el número mismo a partir de un logaritmo dado de un número. En esencia, la potenciación no es una acción especial: se reduce a elevar una base a una potencia (igual al logaritmo de un número). El término "potenciación" puede considerarse sinónimo del término "exponenciación".

Al potenciar, se deben utilizar las reglas inversas a las reglas de la logaritmación: sustituir la suma de logaritmos por el logaritmo del producto, la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente, etc. En particular, si hay un factor delante del signo del logaritmo, luego durante la potenciación debe transferirse al exponente grados bajo el signo del logaritmo.

Ejemplo 5. Encuentre N si se sabe que

Solución. En relación con la regla de potenciación recién expuesta, transferiremos los factores 2/3 y 1/3 que se encuentran delante de los signos de los logaritmos en el lado derecho de esta igualdad a exponentes bajo los signos de estos logaritmos; obtenemos

Ahora reemplazamos la diferencia de logaritmos por el logaritmo del cociente:

Para obtener la última fracción de esta cadena de igualdades, liberamos a la fracción anterior de la irracionalidad en el denominador (cláusula 25).

Propiedad 7. Si la base es mayor que uno, entonces numero mayor tiene un logaritmo mayor (y un número menor tiene uno menor), si la base es menor que uno, entonces un número mayor tiene un logaritmo menor (y un número menor tiene uno mayor).

Esta propiedad también se formula como regla para tomar logaritmos de desigualdades cuyos ambos lados son positivos:

Al logaritmar desigualdades con una base mayor que uno, se conserva el signo de la desigualdad, y cuando se logaritma con una base menor que uno, el signo de la desigualdad cambia al opuesto (ver también el párrafo 80).

La prueba se basa en las propiedades 5 y 3. Considere el caso en el que Si , entonces y, tomando logaritmos, obtenemos

(a y N/M se encuentran en el mismo lado de la unidad). De aquí

El caso a sigue, el lector lo descubrirá por sí solo.

propiedades principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

motivos idénticos

Log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Transición a una nueva fundación.

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo.

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El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi.

Propiedades básicas de los logaritmos.

Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

4. Dónde .

Ejemplo 2. Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente numeros regulares, aquí hay reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, utilizamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchos se basan en este hecho. papeles de prueba. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador.

Fórmulas de logaritmos. Ejemplos de soluciones de logaritmos.

Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en los convencionales. expresiones numéricas. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo de b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia x () en la que se satisface la igualdad.

Propiedades básicas del logaritmo.

Es necesario conocer las propiedades anteriores, ya que casi todos los problemas y ejemplos relacionados con logaritmos se resuelven en base a ellas. El resto de las propiedades exóticas se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.

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Al calcular la fórmula para la suma y diferencia de logaritmos (3.4), te encuentras con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es par diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele denominarse logaritmo decimal y se denota simplemente por lg(x).

De la grabación se desprende claramente que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo

Un logaritmo natural es un logaritmo cuya base es un exponente (denotado por ln(x)).

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro logaritmo importante en base dos se denota por

La derivada del logaritmo de una función es igual a uno dividido por la variable.

El logaritmo integral o antiderivado está determinado por la relación

El material proporcionado es suficiente para que resuelvas una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para ayudarlo a comprender el material, le daré solo algunos ejemplos comunes de currículum escolar y universidades.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

2.
Por la propiedad de diferencia de logaritmos tenemos

3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos

4. Dónde .

Una expresión aparentemente compleja se simplifica utilizando una serie de reglas.

Encontrar valores de logaritmos

Ejemplo 2. Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos al último término 5 y 13 propiedades.

Lo dejamos constancia y lloramos

Como las bases son iguales, igualamos las expresiones.

Logaritmos. Primer nivel.

Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Solución: Tomemos un logaritmo de la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de sus términos.

Este es solo el comienzo de nuestro conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas; pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver este tipo de ecuaciones, ampliaremos sus conocimientos con otro no menos tema importante- desigualdades logarítmicas...

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, utilizamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Cómo resolver logaritmos

Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Transición a una nueva fundación.

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

A medida que la sociedad se desarrolló y la producción se volvió más compleja, las matemáticas también se desarrollaron. Paso de lo simple a lo complejo. De la contabilidad ordinaria utilizando el método de suma y resta, con sus repetidas repeticiones, llegamos al concepto de multiplicación y división. La reducción de la operación repetida de multiplicación se convirtió en el concepto de exponenciación. Las primeras tablas de la dependencia de los números de la base y el número de exponenciación fueron compiladas en el siglo VIII por el matemático indio Varasena. A partir de ellos se puede contar el tiempo de aparición de los logaritmos.

Bosquejo histórico

El renacimiento de Europa en el siglo XVI también estimuló el desarrollo de la mecánica. t requirió una gran cantidad de cálculo relacionado con la multiplicación y la división números de varios dígitos. Las mesas antiguas fueron de gran utilidad. Permitieron el reemplazo operaciones complejas a los más simples: suma y resta. Un gran paso adelante fue el trabajo del matemático Michael Stiefel, publicado en 1544, en el que hizo realidad la idea de muchos matemáticos. Esto hizo posible utilizar tablas no solo para potencias en forma de números primos, sino también para números racionales arbitrarios.

En 1614, el escocés John Napier, desarrollando estas ideas, introdujo por primera vez el nuevo término "logaritmo de un número". Se compilaron nuevas tablas complejas para calcular los logaritmos de senos y cosenos, así como tangentes. Esto redujo enormemente el trabajo de los astrónomos.

Comenzaron a aparecer nuevas tablas que los científicos utilizaron con éxito durante tres siglos. Pasó mucho tiempo antes nueva operación en álgebra adquirió su forma completa. Se dio la definición del logaritmo y se estudiaron sus propiedades.

Sólo en el siglo XX, con la llegada de la calculadora y el ordenador, la humanidad abandonó las antiguas tablas que habían funcionado con éxito durante los siglos XIII.

Hoy llamamos logaritmo de b en base a al número x que es la potencia de a para formar b. Esto se escribe como una fórmula: x = log a(b).

Por ejemplo, log 3(9) sería igual a 2. Esto es obvio si sigues la definición. Si elevamos 3 a la potencia de 2, obtenemos 9.

Por tanto, la definición formulada establece sólo una restricción: los números a y b deben ser reales.

Tipos de logaritmos

La definición clásica se llama logaritmo real y en realidad es la solución de la ecuación a x = b. La opción a = 1 está en el límite y no es de interés. Atención: 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1.

Valor real del logaritmo se define solo cuando la base y el argumento son mayores que 0, y la base no debe ser igual a 1.

Lugar especial en el campo de las matemáticas. jugar logaritmos, que se nombrarán dependiendo del tamaño de su base:

Reglas y restricciones

La propiedad fundamental de los logaritmos es la regla: el logaritmo de un producto es igual a la suma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante de esta afirmación quedará: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la función cociente es igual a la diferencia de las funciones.

De las dos reglas anteriores es fácil ver que: log a(b p) = p * log a(b).

Otras propiedades incluyen:

Comentario. No es necesario cometer un error común: el logaritmo de una suma no es igual a la suma de logaritmos.

Durante muchos siglos, la operación de encontrar un logaritmo fue una tarea que requería bastante tiempo. Los matemáticos utilizaron la conocida fórmula de la teoría logarítmica de la expansión polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), donde n - número natural mayor que 1, lo que determina la precisión del cálculo.

Los logaritmos con otras bases se calcularon utilizando el teorema de la transición de una base a otra y la propiedad del logaritmo del producto.

Dado que este método requiere mucha mano de obra y al resolver problemas prácticos Difícil de implementar, utilizamos tablas de logaritmos precompiladas, lo que aceleró significativamente todo el trabajo.

En algunos casos, se utilizaron gráficos de logaritmos especialmente compilados, lo que dio menos precisión, pero aceleró significativamente la búsqueda del valor deseado. La curva de la función y = log a(x), construida sobre varios puntos, permite utilizar una regla normal para encontrar el valor de la función en cualquier otro punto. ingenieros largo tiempo Para estos fines se utilizó el llamado papel cuadriculado.

En el siglo XVII aparecieron las primeras condiciones de computación analógica auxiliar, que Siglo 19 adquirió un aspecto acabado. El dispositivo más exitoso se llamó regla de cálculo. A pesar de la simplicidad del dispositivo, su apariencia aceleró significativamente el proceso de todos cálculos de ingeniería, y esto es difícil de sobreestimar. Actualmente, pocas personas están familiarizadas con este dispositivo.

La llegada de las calculadoras y los ordenadores hizo inútil el uso de cualquier otro dispositivo.

Ecuaciones y desigualdades

Para resolver diversas ecuaciones y desigualdades utilizando logaritmos, se utilizan las siguientes fórmulas:

Pasar de una base a otra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Como consecuencia de la opción anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver desigualdades es útil saber:

El valor del logaritmo será positivo sólo si la base y el argumento son mayores o menores que uno; si se viola al menos una condición, el valor del logaritmo será negativo.
Si la función logaritmo se aplica a los lados derecho e izquierdo de una desigualdad, y la base del logaritmo es mayor que uno, entonces se conserva el signo de la desigualdad; de lo contrario cambia.

Problemas de muestra

Consideremos varias opciones para usar logaritmos y sus propiedades. Ejemplos de resolución de ecuaciones:

Considere la opción de colocar el logaritmo en una potencia:

Problema 3. Calcula 25^log 5(3). Solución: en las condiciones del problema, la entrada es similar a la siguiente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Escribámoslo de otra manera: 5^log 5(3*2), o el cuadrado de un número como argumento de función se puede escribir como el cuadrado de la función misma (5^log 5(3))^2. Usando las propiedades de los logaritmos, esta expresión es igual a 3^2. Respuesta: como resultado del cálculo obtenemos 9.

Uso práctico

Al ser una herramienta puramente matemática, parece lejos de ser vida real que el logaritmo adquirió repentinamente gran importancia para describir objetos del mundo real. Es difícil encontrar una ciencia donde no se utilice. Esto es en Al máximo se aplica no sólo a los campos del conocimiento naturales, sino también a los humanitarios.

Dependencias logarítmicas

A continuación se muestran algunos ejemplos de dependencias numéricas:

Mecanica y fisica

Históricamente, la mecánica y la física siempre se han desarrollado utilizando métodos de investigación matemática y al mismo tiempo sirvieron de incentivo para el desarrollo de las matemáticas, incluidos los logaritmos. La teoría de la mayoría de las leyes de la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas. Demos sólo dos ejemplos de descripción de leyes físicas utilizando el logaritmo.

El problema de calcular una cantidad tan compleja como la velocidad de un cohete se puede resolver utilizando la fórmula de Tsiolkovsky, que sentó las bases de la teoría de la exploración espacial:

V = I * ln (M1/M2), donde

V es la velocidad final del avión.
I – impulso específico del motor.
M 1 – masa inicial del cohete.
M 2 – masa final.

Otro ejemplo importante- esto se utiliza en la fórmula de otro gran científico, Max Planck, que sirve para evaluar el estado de equilibrio en termodinámica.

S = k * ln (Ω), donde

S – propiedad termodinámica.
k – constante de Boltzmann.
Ω es el peso estadístico de diferentes estados.

Química

Menos obvio es el uso de fórmulas en química que contienen la proporción de logaritmos. Pongamos sólo dos ejemplos:

Ecuación de Nernst, la condición del potencial redox del medio en relación con la actividad de las sustancias y la constante de equilibrio.
El cálculo de constantes como el índice de autólisis y la acidez de la solución tampoco se puede realizar sin nuestra función.

Psicología y biología

Y no está del todo claro qué tiene que ver la psicología con esto. Resulta que esta función describe bien la fuerza de la sensación como la relación inversa entre el valor de intensidad del estímulo y el valor de intensidad más bajo.

Después de los ejemplos anteriores, ya no sorprende que el tema de los logaritmos se utilice ampliamente en biología. Se podrían escribir volúmenes enteros sobre formas biológicas correspondientes a espirales logarítmicas.

Otras areas

Parece que la existencia del mundo es imposible sin conexión con esta función, y ella rige todas las leyes. Especialmente cuando las leyes de la naturaleza están relacionadas con progresión geométrica. Vale la pena consultar el sitio web de MatProfi, donde encontrará muchos ejemplos de este tipo en las siguientes áreas de actividad:

La lista puede ser interminable. Habiendo dominado los principios básicos de esta función, podrá sumergirse en el mundo de la sabiduría infinita.